Systeemtheorie en Regeltechniek

Systeemtheorie en Regeltechniek Oefenzitting Lineaire Tijds-invariante (LTI) Discrete tijdssystemen:

Oplossen van de differentievergelijking

[email protected]

1

Hoe kunnen we een system voorstellen? •Verschillende mogelijkheden: o o

o o o

x[k  1]  A x[k ]  B u[k ]. y[k ]  C x[k ]  D u[k ].

Blok-diagram Toestandsbeschrijving / state space representation Differentie- / differentiaalvergelijking u[k-2] u[k-1] x Impulsresponsie x -16 Transferfunctie -8 1

n

a i0

m

i

* y[k  i]   bi * u[k  i] i 1

2 [email protected]

2

+

(k)

u[k]

Lineaire Homogene differentievergelijking Orde n

n

a i0

i

* y[k  i]  0

(k)

Voorgestelde oplossing : lineaire combinatie van termen van de vorm rk Invullen van rk in de differentievergelijking levert: n

a i0

*r  0

(k)

i

i

= ‘karakteristieke’ vgl

Aan deze gelijkheid is echter enkel voldaan als r een nulpunt van de bovenstaande n-degraads veeltermvgl is. 3 [email protected]

Lineaire Homogene differentievergelijking Dus voor nulpunten r j is de oplossing van de vorm:

n

y[k ]   c j * rj

k

j 1

Met rj een nulpunt van de karakteristieke vgl.

Echter, voor m-voudige nulpunten zijn ook er ook oplossingstermen van de vorm

k

k *r j ,..., k

m 1

*r j

k

(Verifieer dit op een simpel voorbeeld, bv. y[k+2] - 4 y[k+1] + 4 y[k] = 0) 4 [email protected]

Lineaire Homogene differentievergelijking • Een reële veeltermvgl kan ook paren complex toegevoegde nulpunten hebben:

rj  R e , rj1  R e jφ

-jφ

( rj *)

 c jrjk  c j 1rjk1

Omdat dan de coëfficiënten ook complex toegevoegd moeten zijn, nl.

c j  R 0 e j0 , c j1  R 0 e-j0

( c j *)

Kunnen beide oplossingstermen samengenomen worden en herschreven als volgt (formule van Euler):

c j * rjk  c j 1rjk1  2 R 0 R k cos(k  0 ) (Toon aan dat dit effectief zo is) 5 [email protected]

Lineaire Homogene differentievergelijking • De coefficienten c1…cn kunnen bepaald worden adhv de beginvoorwaarden y[0] … y[n-1] • Deze leiden tot het stelsel: n

y[0]   c j * rj

0

j 1

 c1 … cn

... n

y[n  1]   c j * rj

n 1

j 1

6 [email protected]

Lineaire niet-homogene differentievergelijking •

General form:

n

a i0

m

i

* y[k  i]   bi * u[k  i]

(k)

i 1

•

A linear combination of inputs results in the same linear combination of the outputs resulting from each input individually. (~linearity)

•

The equation can thus be solved for each input individually and the results added together afterwards.

•

The resulting particular solutions can then be added to the general form of the homogenous solution.

7 [email protected]

Lineaire niet-homogene differentievergelijking n

a i0

m

i

* y[k  i]   bi * u[k  i]

(k)

i 1

Ingang u[k] is gegeven, hoe bepalen we y[k]?

Merk op: totale oplossing ytot[k] = yhom[k] + ypart[k] 1. Bepaal eerst de algemene oplossing voor de overeenkomstige homogene differentievergelijking yhom[k]. Bepaal de coefficienten ci nog niet! 2. Stel een geschikte particuliere oplossing ypart[k] voor (zie tabel) en bepaal via de methode van de onbepaalde coefficienten (= substitutie van de particuliere oplossing in de differentievergelijking) de parameters αi . 3. Bepaal de coefficienten ci van de homogene termen zodat aan de beginvoorwaarden ytot[0], y8tot[1],… voldaan is. [email protected]

Lineaire niet-homogene differentievergelijking • De reden waarom eerst de homogene oplossing gezocht moet worden: o als deze termen van dezelfde vorm als de ingang u[k] bevat, dan moet een particuliere opl. voorgesteld worden met termen die een hogere graad in k bevatten dan normaal. o Anders zal door de particuliere opl. niet aan de diff. vgl. voldaan kunnen worden.

9 [email protected]

Lineaire niet-homogene differentievergelijking • Voorbeeld: y[k] - 4 y[k-1] + 4 y[k-2] = 2k. (Probeer zelf eerst uit!) o Homogene opl. van de vorm c0 2k + c1 k 2k o Particuliere opl. van de vorm a0 2k + a1 k 2k + a2 k2 2k. o We zetten a0 = a1 = 0 omdat deze termen ook deel zijn van de homogene opl. (en hun coefficienten dus later via c0 en c1 door de beginvwden bepaald zullen worden). o Uiteindelijke particuliere opl. is dus uitsluitend van de vorm a2 k 2 2k o Merk op dat als men enkel een particuliere opl. van de vorm 2k beschouwt, nooit aan de diff. vgl voldaan kan zijn 10 [email protected]

Particuliere oplossingen:

(cursus p3.14) 11 [email protected]

Opgave Oefening 1 • Oefening 3.8 uit de cursus: Stel de differentievergelijking op voor de evolutie van het aantal konijnenparen als we de volgende veronderstellingen maken: o Een mannelijk en vrouwelijk konijn worden geboren bij elk paar volwassen konijnen op het einde van iedere maand; o een pasgeboren paar konijnen heeft zijn eerste nageslacht op de ouderdom van twee maand o Eenmaal bijeen gebracht zal een paar konijnen bij elkaar blijven en blijft het altijd produceren volgens de vorige twee veronderstellingen • Wat is het aantal konijnenparen dat men bekomt na 12 maand als men vertrekt met een pasgeboren paar op maand nul? Los hiervoor de opgestelde differentievergelijking op! 12 [email protected]

Oplossing Oefening 1 • In deze oplossing: y = # konijnenparen • Differentievergelijking: (Fibonacci) Y[k] = y[k-1] + y[k-2]

• Karakteristieke veelterm: λ2 – λ – 1 = 0 • Nulpunten: 1 5 1 5 1  , 2  2 2 13 [email protected]

Oplossing Oefening 1 • Homogene oplossing: 1 5 k 1 5 k y[k ]  c1 ( )  c2 ( ) 2 2

• Beginvoorwaarden: y[0]  c1  c2  1 1 5 1 1 5 1 y[1]  c1 ( )  c2 ( ) 1 2 2 • Waardes van ci:

5 5 c1  ( ), 10

5 5 c2  ( ) 14 10

[email protected]

Opgave Oefening 2 • Een LTI-systeem met een ingang u[k] wordt gekarakteriseerd door de differentievergelijking y[k] – 4 y[k-1] + 4y[k-2] = u[k]. De aangelegde ingang is van de vorm u[k] = k*ak cos(kφ) met a = 4 en φ = π . y[0] = 1, y[1] = 2. o Bepaal de uitgang y[k] van het systeem. Los hiervoor de differentievergelijking op. Hint: de oplossing bestaat uit een homogeen en een particulier deel. o Teken het blokdiagram van het systeem o Bepaal de toestandsbeschrijving van het systeem (de resulterende matrices A,B,C en D zijn nog nodig in oefening 4). o (Bepaal de begintoestanden x[0] van het systeem. ) 15 [email protected]

Oplossing Oefening 2 • Homogene oplossing: (dubbel nulpunt 2) yhomogeen[k ]  c1 (2) k  c2 k (2) k

• Particuliere oplossing: !! merk op dat u[k] = k(-4)k !! y part[k ]   0 (4) k  1k (4) k

• Part. Opl. Invullen in diff. vgl:  0 (4) k 1 (k  1)(4) k   0 (4)  1k (4)  4   (  4 ) (  4 )  



k

k



 0 (4) k 1 (k  2)(4) k  k  4   k (-4)  2 (4) 2  (4)  16 [email protected]

(moet gelden k!!! )

Oplossing Oefening 2 • In het algemeen geldt voor coefficienten di, ei: ( d i ) * (4) k  ( ei ) * k (4) k  0 i

k !!

i

 ( d i )  0 en ( ei )  0 i

i

• Hierdoor kunnen we de ingevulde diff.vgl. uit de vorige slide herschrijven tot 2 aparte vgln waaruit de 2 onbekenden gevonden kunnen worden:

8  α0  , 27 17 [email protected]

4 α1  9

Oplossing Oefening 2 • Totale oplossing ytot [k ]  y part[k ]  yhomogeen[k ] 

8 4 (4) k  * k (4) k  c1 (2) k  c2 * k (2) k 27 9

• Beginvoorwaarden: y[0]  1, y[1]  2 19  c1  , 27

16 c2  9 18

[email protected]

Oplossing Oefening 2 • Blokdiagram uit herschreven diff.vgl.: y[k] = 4 y[k-1] - 4y[k-2] + u[k]. y[k-2]

x1

-4

y[k-1]

x2

4

u[k]

+

• Toestandsbeschrijving:

x[k  1]  A x[k ]  B u[k ]. y[k ]  C x[k ]  D u[k ]. [email protected]

19

y[k]

 0 1 0  A ,B     4 4 1 C   4 4, D  1

Opgave Oefening 3 • Modelleer het signaal u[k] = k*ak cos(kφ) met a = 4 en φ = π als de uitgang van een autonoom LTI-systeem. o Bepaal de differentievergelijking van dit LTI-systeem. Hint: schrijf eerst u[k], u[k+1], … als een lineaire combinatie van een aantal basisfuncties. Een signaal van de vorm kn*ak cos(kφ + φ0) heeft 2(n+1) mogelijke basisfuncties. Deze zijn: ak cos(kφ), …, kn*ak * cos(kφ) en ak * sin(kφ), …, kn*ak *sin(kφ) . o Teken het blokdiagram van het systeem o Bepaal de toestandsbeschrijving van het autonoom systeem (de resulterende matrices F en G zijn nog nodig in oefening 4) o Bepaal de begintoestanden x[0] van het systeem. Hint: gebruik hiervoor de toestandsbeschrijving. 20 [email protected]

Oplossing Oefening 3 • Een autonoom (zonder ingang dus) LTI-systeem met een uitgang u[k] kan altijd gekarakteriseerd worden door een diff.vgl. van de vorm: n

a i0

i

* u[k  i]  0

(k), of ook :

c0   u[k ]      T a U [k ]  0, met c   ... , U [k ]   ...  cn  u[k  n] • We zoeken dus een lineair verband tussen u[k], u[k+1], … , u[k+n] .

21 [email protected]

Oplossing Oefening 3 • Merk op dat u[k] .. u[k+n], als we ze uitschrijven en vereenvoudigen, zelf lineaire combinaties zijn van enkele basisfuncties. Voor u[k] = k (-4)k zijn dit slechts 2 basisfuncties: (-4)k en k(-4)k.

• Hierdoor is de vector U te schrijven als U[k](n+1)x1 = A(n+1)x2*b[k]2x1 met

 (4) k  b[k ]   k k (4)  22 [email protected]

Oplossing Oefening 3 a T U[k]  0 k

Dus :

 a T A b[k]  0 k (!)  (zie oef. 2) a T A  0 A a 0 T

• Dit wil zeggen dat elke vector a die in de nulruimte van AT ligt voldoet aan de voorwaarde aTU[k] = 0 en dus tot een geldige differentievergelijking leidt. 23 [email protected]

Oplossing Oefening 3 • AT heeft dimensie 2x(n+1) en heeft dus reeds een nulruimte voor n = 2. Als we dus u[k] .. u[k+2] uitschrijven ifv voorheenvermelde basisfuncties krijgen we:

0  4 32 A   1  4 16   AT a  0  a 0  16a 2 , a 1  8a 2 T

Zo krijgen we bv : u[k  2]  8 u[k  1]  16u[k]  0

24 [email protected]

Alternatieve Oplossing Oefening 3 • Deze oefening kon sneller opgelost worden door op te merken dat een uitgang van de vorm k(-4)^k voor een autonoom systeem (met een lineaire homogene differentievergelijking dus) slechts mogelijk is als de karakteristieke vgl twee nulpunten -4 heeft, en dus een factor (r + 4)2 bevat.

• Zo komen we voor een minimaal systeem ((r + 4)2=0) ook direct bij de oplossing u[k+2] + 8u[k+1] + 16 u[k] = 0.

25 [email protected]

Oplossing Oefening 3 • Blokdiagram uit herschreven diff.vgl.: u[k] = -8 u[k-1] – 16u[k-2]. u[k-2]

x1

u[k-1]

-16

x2

-8 +

• Toestandsbeschrijving:

1  0 x1, 2 [k  1]  F x1, 2 [k ]. F     16  8 u[k ]  G x1, 2 [k ]. G   16  8 26

[email protected]

u[k]

Oplossing Oefening 3 • Begintoestand x[0] te vinden via toestandsbeschrijving:

 1   u [ 0 ]  G x [ 0 ]  0   8 u[k ]  GF k x[0]   x [ 0 ]    1  u[1]  GF x[0]  - 4    4 

27 [email protected]

Opgave Oefening 4 • Een LTI-systeem met een ingang wordt gekarakteriseerd door de

differentievergelijking y[k] – 4 y[k-1] + 4y[k-2] = u[k]. De aangelegde ingang is van de vorm u[k] = k*ak cos(kφ) met a = 4 en φ = π (cfr. Oefening 2 en 3). Modelleer als een cascadeschakeling van twee systemen, gebruik hiervoor de blokdiagrammen uit oefening 2 en 3. o Bepaal de toestandsbeschrijving van het resulterende systeem. Hint: Gebruik de matrices A,B,C,D,F en G uit de vorige oefeningen om deze toestandsbeschrijving eenvoudig in blokmatrixvorm neer te schrijven. Noem de resulterende matrices van deze toestandsbeschrijving A* en C*. o Gebruik de nieuw bekomen matrix A* om de uitgang van het autonoom systeem te bepalen. Hint: De uitgangen van dit autonoom systeem zijn volledig bepaald door de eigenwaardes van A* (de polen/‘resonanties’ van het systeem) en de beginvoorwaarden en/of begintoestanden van het systeem. 28 [email protected]

Oplossing Oefening 4 • Mbv blokdiagrammen uit oef. 2 en 3: u[k-2]

-16

u[k-1] x1

y[k-2]

x2 -8

y[k-1]

x3

4

-4 u[k]

+

x4

+

• Mbv toestandsbeschrijvingen uit oef. 2 en 3:

 F 0 x1, 2,3, 4 [k  1]  A x1, 2,3, 4 [k ]. A    BG A   y[k ]  C * x1, 2,3, 4 [k ]. C *  DG C  *

*

29 [email protected]

y[k]

Oplossing Oefening 4 • De uitgang van het volledige systeem wordt bepaald door de

• •

nulpunten van zijn karakteristieke vgl (zie oef 1.). Deze kan ook opgesteld worden als det(A* - λ*I4) = 0. De nulpunten van de karakteristieke vgl zijn dus ook de eigenwaardes van A*. De eigenwaardes van deze onderdriehoeks-blokdiagonaalmatrix zijn gelijk aan de eigenwaardes van A en die van F. (resp. 2,2,-4,-4). De oplossing is dus van de vorm:

y [k ]  c1 (2) k  c2 k (2) k  c3 (4) k  c4 k (4) k • c1..c4 kunnen dan bepaald worden via: *k

y[k ]  C A x[0]  y[0]... y[3]  c1...c4 *

(en zijn uiteraard dezelfde als in oef 2.) 30 [email protected]

[email protected] e

31

[email protected] e

32