Verslag Regeltechniek 2

Verslag Regeltechniek 2

Door: Arjan Koen en Bert Schultz Studenten Werktuigbouw deeltijd Cohort 2004

Inhoudsopgave 1

Inleiding

blz. 3

2

Open lus eerste-orde systeem

blz. 4

3

Gesloten lus P-geregeld eerste orde systeem

blz. 6

4

Gesloten lus PI-geregeld eerste orde systeem

blz. 10

5

Gesloten lus P-geregeld tweede orde systeem

blz. 20

6

Gesloten lus PI-geregeld tweede orde systeem

blz. 26

7

Gesloten lus PID-geregeld tweede orde systeem

blz. 35

8

Dode tijd

blz. 51

9

Samenvatting eerste orde systemen

blz. 56

10

Samenvatting tweede orde systemen

blz. 58

11

Literatuurlijst

blz. 60


pagina 2/60

1

Inleiding

Tijdens de opleiding tot Werktuigbouwkundig Ingenieur wordt van studenten verwacht dat zij 2 verslagen maken voor het vak Regeltechniek. Tijdens Regeltechniek 1 is het de bedoeling om de regeling te beschrijven van een proces van de eerste-orde. Dit zijn processen waar slechts één buffer aanwezig is. Voor het verslag van Regeltechniek 2 moeten in Matlab verschillende regelaars ontworpen worden. Dit doen we met behulp van een poolbaan, die ons inzicht geeft over de snelheid, nauwkeurigheid en demping van een systeem. De gebruikte regelaars, zullen aan de hand van de simulaties vergeleken worden met elkaar. Van systemen van de eerste orde moet met de volgende systemen gesimuleerd worden:  Openlus systeem  P-regelaar  PI-regelaar Van systemen van de tweede orde moet met de volgende systemen gesimuleerd worden:  P-regelaar  PI-regelaar  PID-regelaar Hierna moet er bij iedere regelaar wat dode tijd toegevoegd worden, om hier de invloed van te kunnen zien. De in het verslag omschreven simulaties zijn met behulp van het computersimulatie programma Matlab / Simulink gesimuleerd. Om dit programma op de juiste manier te voeden, zal de overdrachtsvergelijking van het systeem omgezet moeten worden om in te voeren in Matlab. Voor deze uitwerking is kennis van lineaire differentiaalvergelijkingen en Laplace transformaties noodzakelijk. Onderstaand verslag doet notitie van het uitwerken van de genoemde eerste- en tweede orde systemen en de invloed van het gebruik van verschillende regelaars.


pagina 3/60

2

Eerste orde openlus systeem

2.1

Inleiding

De meest eenvoudige versie van een eerste orde systeem zal hieronder beschreven worden. Als eerste zullen we in Matlab het blokschema tekenen. Daarna zullen we de waarden die we kunnen wijzigen (in dit geval alleen  p ) zodanig aanpassen zodat er een duidelijk verschil waarneembaar is. De waarde voor K p staat hier standaard ingesteld op 1.

2.2

Blokschema

Dit blokschema bestaat uit een aantal elementen te weten:  Een bron of ingangssignaal (step)  De omzetting (transfer FCN)  Een uitgang (To workspace) Het één en ander is in onderstaand figuur weergegeven:

Figuur: blokschema open lus eerste orde systeem

Vervolgens zullen we in Matlab aangeven wat de waarden moeten zijn. We hebben onderstaande gegevens ingevoerd:   p 1 

p  4



Kp 1


pagina 4/60

2.3

Simulaties

Als eerste laten we Matlab simuleren met de standaard waarde van  p  1 . De simulatie ziet er dan als volgt uit:

Figuur: grafiek Matlab

De  p heeft in deze grafiek de volgende waarden: 

blauw:

p = 1



rood:

p = 4

Op het moment dat we de  p wijzigen in een hogere waarde dan zal dit direct invloed hebben op de snelheid. We hebben dit getest door in plaats van  p  1 te kiezen voor  p  4 . Zoals te zien in de grafiek duurt het langer voordat de eindwaarde is bereikt (zelfs zo lang dat dit niet binnen de ingestelde 10 seconden gaat).

Conclusie Zodra we binnen een eerste orde open lus systeem de  p kleiner maken, dan wordt het systeem sneller.


pagina 5/60

3

P-geregeld eerste orde systeem

3.1

Inleiding

Van de gesloten lus systemen is de P-regelaar de meest eenvoudige regelaar. Het is de bedoeling dat er met verschillende waarden voor de Kr gesimuleerd word, om zo de invloed aan te tonen van de Kr met betrekking op:  snelheid  nauwkeurigheid  relatieve stabiliteit Vervolgens moet er een systeem ontworpen worden, met behulp van een poolbaan.

3.2

Blokschema

Figuur: blokschema P-geregeld eerste orde systeem

3.3

De poolbaan vergelijking

Om te komen tot de uiteindelijke simulatie in Matlab met behulp van een poolbaan vergelijking, zullen we eerst laten zien hoe we aan deze vergelijking komen. De basis ligt uiteindelijk bij het blokschema zoals dit omschreven is in paragraaf 3.2. Het is de bedoeling om de karakteristieke vergelijking om te zetten naar een poolbaan vergelijking die in Matlab ingevoerd kan worden. Overdrachtsfunctie P-geregeld eerste orde systeem:

U gewenst ( s )

Kr  Kp s  p  1   U gemeten ( s ) Kr  Kp 1 s  p  1

De noemer van de overdrachtsfunctie is het linkerlid van de karakteristieke vergelijking: 

1

Kr  Kp 0 s  p  1


pagina 6/60

Dit moet worden omgezet naar een poolbaan vergelijking om uiteindelijk in te voeren in Matlab: Kr  Kp   1 1  p (s  ) p 1



1 s 

1 p



1 Kr  Kp ( ) p

Dit noemen we de poolbaanvergelijking.

3.4

Poolbaan

De ingestelde parameters voor deze simulatie zijn:  Kp  1  p  2 

Kr  1



1 p

Figuur: poolbaan van P-geregeld eerste orde systeem


pagina 7/60

Het vierkantje geeft de plaats aan waar de waarde van Kr nul is. Deze waarde van Kr is ook te berekenen via de gain. De gain is de noemer van het rechterlid uit de poolbaan vergelijking, namelijk:

(

Kr  Kp ) p

3.5



(

0 1 ) =0 2

Simulaties

Figuur: grafiek P-regelaar eerste orde met verschillende Kr

De Kr heeft in deze grafiek de volgende waarden:  blauw: Kr = 1  rood: Kr = 2  groen: Kr = 10  zwart: Kr = 100


pagina 8/60

Conclusie Snelheid: Wat duidelijk te zien is in de grafieken, is als de Kr van de regelaar groter gekozen wordt, dat de snelheid van het systeem ook groter wordt.

s

De waarde van s in een P-geregeld eerste orde systeem heeft de vorm:

1 p

1  K

p

Kr 

Deze waarde is bepaald door de karakteristieke vergelijking op te lossen. S invullen in a  e st levert a  e

t p (1 K p Kr )

op.

Dit laat zien dat het systeem sneller wordt naarmate de Kr groter wordt. Dan wordt namelijk de uiteindelijke waarde voor de t meer negatief, waardoor de amplitude in de tijd sneller afneemt. Nauwkeurigheid: Wat duidelijk te zien is in de grafieken, is als de Kr van de regelaar groter gekozen wordt, dat de nauwkeurigheid van het systeem ook groter wordt. De formule voor de statische afwijking is: U statafwijking (t )  U gewenst (t ) 

1 . 1 K p Kr

De waarde van Kp is een systeemconstante en is niet te veranderen. Als de waarde van Kr groter wordt, zal de noemer groter worden, en uiteindelijk de statische afwijking kleiner. Relatieve stabiliteit: Dit is bij een eerste orde proportioneel geregeld proces niet aan de orde. Een systeem gaat pas oscilleren, als de waarden die voor de s gevonden worden, complex zijn. Dit kan dus alleen bij een kwadratische vergelijking, met een discriminant kleiner dan 0.


pagina 9/60

4

PI-geregeld eerste orde systeem

4.1

Inleiding

De volgende regelaar die we zullen behandelen betreft een PI-regelaar eerste orde systeem. De PI- regelaar heeft er dus een extra I-actie bij gekregen ten opzichte van de hiervoor beschreven P-regelaar.

4.2

Blokschema

Het blokschema is bij een PI-regelaar opgedeeld in een aantal blokken. In Matlab aangemaakt ziet dit er als volgt uit:

Figuur: blokschema PI-geregeld eerste orde systeem

De elementen zijn:  Een bron of ingangssignaal (step)  De regelaar (Zero-pole)  Het systeem (Transfer Fcn)  Een uitgang (To Workspace)

Aan het systeem kunnen we niets veranderen, dit noemen we de proces parameters. Dit zijn de  p en de K p . Aan de regelaar echter wel, we noemen dit de regelparameters. Dit zijn de K r en de  i . Deze 2 parameters zullen we vervolgens in de volgende paragraaf toelichten met simulaties. 4.3

De poolbaanvergelijking

Om te komen tot de uiteindelijke systeemontwerp in Matlab met behulp van een poolbaan vergelijking zullen we eerst laten zien hoe we aan deze vergelijking komen. De basis ligt uiteindelijk bij het blokschema zoals dit omschreven is in paragraaf 4.2. Hiervoor mag je ook schrijven:

rechtdoorgaand , oftewel: 1  rondgaand


pagina 10/60

U gewenst ( s )

 1   Kp  K r  1       i  s    p  s 1   U gemeten ( s )  1   Kp  1  K r  1       i  s    p  s 1

De noemer van de overdrachtsfunctie is het linker lid van de karakteristieke vergelijking. Dus: Kp  1   1  K r  1  0   i  s   p  s 1

Kp  1   K r  1   1   i  s   p  s 1   s 1 K K  i  r p  p   s  s  1   p  

    1    

s 

1 i

s



1 1 s p



1  Kr  Kp     i 


4.4

Systeem ontwerpen zonder doorschot s

Als we nu K r gelijk stellen aan nul dan krijgen we: 

s

1 i

1



s

1 0 i



s

1 1 1 s 0 s  i p p

1 0 p



s

1 p

Dan wordt:

s

en:

s

1 p



1  0  Kp     i 

Bij een poolbaan zonder doorschot geldt  i   p . We zullen nu een poolbaan maken met de waarden uit paragraaf 4.3:   p 1 

Kp  2



Kr  1



 i  10 Verslag Regeltechniek 2

pagina 11/60



1 p



1 i

Figuur: poolbaan plot eerste orde PI-geregeld systeem

 K  Kp  De noemer van het rechterlid  r  noemen we de gain, dus zodra we deze waarde op   i  1 1 nul stellen zoals we hiervoor gedaan hebben zien we op de poolbaan bij  en bij  een p i gain van nul. Zie de grafiek op pagina 13.


pagina 12/60


Op de poolbaan is te zien dat de 

1 1 (blauwe lijn) rechts van de  (groene lijn) ligt. Dit i p

zorgt ervoor dat het systeem stabiel verloopt. Zodra we de waarde van 

1 1 links van  i p

komt te liggen zal het systeem onstabiel worden. Dit zullen we in de onderstaande simulatie aantonen.


pagina 13/60

4.5

Systeem ontwerpen met doorschot

Bij een poolbaan met doorschot geldt  i   p . Ook hier kiezen we een waarde uit paragraaf 4.3: 

 p 1



Kp  2



Kr  1



 i  0.01


1 1 (groen lijn) rechts van  (blauwe lijn) ligt. Om dit te p i bereiken is er een imaginair deel ontstaan. Dit imaginaire is de doorschot. Dus zolang de 1 1 waarde van  groter is dan  dan zal het systeem zich stabiel gedragen. i p Op de poolbaan is te zien dat 


pagina 14/60

Simulaties met  i

4.7

In deze paragraaf zullen we zoals gezegd gaan zien wat de invloed van deze regelparameters is op de snelheid, nauwkeurigheid en relatieve stabiliteit. Als eerste zullen we de PI-regelaar simuleren met de volgende waarden:   p 1 

Kp  2



Kr  1



 i  i  10, 1, 0.1 en 0.01

Matlab genereert de volgende grafiek:

Figuur: plot eerste orde PI-geregeld systeem.

De  i heeft in deze grafiek de volgende waarden:  Rood:  i  10  

Groene: Blauw:



Paars:

i  1  i  0.1  i  0.01


pagina 15/60

Conclusie Een steeds kleiner wordende  i heeft de volgende invloed op de snelheid, nauwkeurigheid en relatieve stabiliteit: Snelheid: Naar mate de  i kleiner wordt zal het systeem sneller worden. Bij een hoge  i zal het lang duren voordat de ingestelde waarde gehaald wordt. Bij een lage  i is het systeem wel snel maar zeer onstabiel. Nauwkeurigheid: Het systeem wordt niet nauwkeuriger, het zal altijd de ingestelde waarde halen. Relatieve stabiliteit: Wat zeer goed te zien is in de grafiek is het verschil in stabiliteit, hoe kleiner de  i hoe groter de oscillatie en hoe kleiner de relatieve stabiliteit. Bij een  i van 0.01 zien we een enorme uitslag, deze zet over een langere periode door waardoor het uiteindelijk langer duurt voordat de ingestelde waarde bereikt wordt. Simulaties met Kr en  i  1

4.8

We zullen nu hetzelfde systeem vergelijken met 2 verschillende waarden voor  i en 4 verschillende waarden voor K r . De eerste simulatie die we uitvoeren heeft de volgende instellingen:   p 1 

Kp  2



K r = 1, 2, 10 en 100



i  1


pagina 16/60


Figuur: plot eerste orde PI-geregeld systeem met verschillende Kr

Hierbij zijn:  Rood:  Groen:  Blauw:  Paars:

Kr = 1 Kr = 2 Kr = 10 Kr = 100

Conclusie Als we een steeds grotere waarde voor K r invullen dan wordt de regelaar veel sneller. Ook wordt de doorschot kleiner naarmate de Kr groter wordt.


pagina 17/60

Simulaties met Kr en  i  10

4.9

Bij de 2e simulatie zullen we de waarde van  i wijzigen van 1 naar 10. De instellingen zijn dus:   p 1 

Kp  2



K r  1, 2,10,100



 i  10

Met deze instellingen ontstaat de onderstaande grafiek:

Figuur: plot eerste orde PI-geregeld systeem met verschillende Kr

Ook hier geldt:  Rood:  Groen:  Blauw:  Paars:

Kr = 1 Kr = 2 Kr = 10 Kr = 100


pagina 18/60

Conclusie Als we een steeds grotere waarde voor K r invullen dan wordt de regelaar veel sneller. Bij een kleine (1) waarde van  i zien we een geringe doorschot, dit zien we niet terug als we de waarde van  i verhogen (10).


pagina 19/60

5

P-geregeld tweede orde systeem

5.1

Inleiding

De volgende regelaar die we zullen behandelen betreft een P-regelaar van een tweede orde systeem. Aan het systeem kunnen we niets veranderen, dit noemen we de proces parameters. Dit zijn de  p1 ,  p 2 en de Kp. Aan de regelaar echter wel; we noemen dit de regelparameter Kr. Het is de bedoeling dat er met een poolbaan een systeem ontworpen wordt. Hierna wordt er met verschillende waarden voor Kr gesimuleerd, om zo de invloed aan te tonen van de Kr met betrekking op:  snelheid  nauwkeurigheid  relatieve stabiliteit 5.2

Blokschema

Het blokschema is bij een P-regelaar opgedeeld in een aantal blokken. In Matlab zijn de volgende elementen gebruikt:  Een bron of ingangssignaal (step)  De regelaar (Gain)  Het systeem (Transfer Fcn1 en Fcn)  Een uitgang (To Workspace)

Figuur: blokschema P-geregeld tweede orde systeem

5.3


Om te komen tot de uiteindelijke simulatie in Matlab met behulp van een poolbaan vergelijking, zullen we eerst laten zien hoe we aan deze vergelijking komen. De basis ligt uiteindelijk bij het blokschema zoals dit omschreven is in paragraaf 5.2. Het is de bedoeling om de karakteristieke vergelijking om te zetten naar een vergelijking die in Matlab ingevoerd kan worden.


pagina 20/60

De overdrachtsfunctie van een P-geregeld tweede orde systeem:

U gewenst ( s )

Kr  Kp ( s  p1  1)( s  p 2  1)   U gemeten ( s ) Kr  Kp 1 ( s  p1  1)( s  p 2  1)

De noemer van de overdrachtsfunctie is het linker lid van de karakteristieke vergelijking:

1



Kr  Kp 0 ( s  p1  1)( s  p 2  1)

Dit moet worden omgezet naar een poolbaan vergelijking om uiteindelijk in te voeren in Matlab: Kr  Kp   1 1 1  p1 ( s  )   p 2 ( s  )  p1  p2 Kr  Kp 1   1  p1   p 2 ( s  1 )  ( s  1 )  p1  p2



1

 (s 

1 1 )  (s  )  p1  p2



1 Kr  Kp  p1  p 2

Dit is de poolbaanvergelijking. Om de simulatie in te voeren Matlab, moet de noemer van het linkerlid omgeschreven worden naar een functie van s. Dit gaat als volgt:

1 1 1 s  s   p1  p2  p1   p 2



s2 



1 1 1 s2  (  )  s1   s0  p1  p 2  p1   p 2

5.4

Poolbaan

De ingestelde parameters voor deze simulatie zijn:   p1  1 

 p2  2



Kp  1 Verslag Regeltechniek 2

pagina 21/60



1

 p2



1  p1

Figuur: poolbaan P-geregeld tweede orde systeem

5.5

Systeem ontwerpen

Er is in de grafiek gekozen om een systeem te ontwerpen met een β van ongeveer 0,7 (0,724). Dit is een licht gedempt systeem. De snelheid die bij dit punt hoort is 0,714 rad/sec. De gain is in grafiek af te lezen en is 0,573. Deze is ook te berekenen volgens de formule: gain  s 

1 1  s  p1  p2



0, 252  0, 7142  0, 252  0, 7142 = 0,5723.

Hiermee kunnen we de waarde van de Kr uitrekenen: gain =

Kr  Kp  0,573  p1   p 2

Met een  p1 van 1 seconde, een  p 2 van 2 seconden en een Kp van 1, levert dit: Kr 1  0,573 1 2



Kr = 1,146


pagina 22/60

De Kr is ook te berekenen via de absolute lengtes van de lijnen tussen de nulpunten en de gekozen gain. Dit allemaal ingevuld in de poolbaanvergelijking geeft: 1 s



1 1  s  p1  p2



1 Kr  Kp ( )  p1  p 2



s

1 1 Kr  Kp  s ( )  p1  p2  p1   p 2

( 0, 252  0, 7142 )  ( 0, 252  0, 7142 )  (

Kr 1 ) 1 2



Kr = 1,145

De berekende piektijd bij gebruik van een Kr van 1,146 is:

  0, 714 rad/s





2 T

De piektijd is een ½ T dus piektijd =



T

2  2,8 0, 714

2,8  4,4 seconden. 2

Piektijd = ½ T

Figuur: grafiek P-geregeld tweede orde systeem

Conclusie Wat te zien is, dat de berekende waarde voor de piektijd, overeen komt met de waarde in de grafiek. Verslag Regeltechniek 2

pagina 23/60

5.6

Simulaties met Kr

In deze paragraaf zullen we zoals gezegd gaan zien wat de invloed van deze regelparameters is op de snelheid, nauwkeurigheid en relatieve stabiliteit. Als eerste zullen we de P-regelaar simuleren met de volgende waarden:   p1  1 

 p2  2



Kp  1 Kr = 1, 2, 10 en 100.





Voor de waarden van Kr geldt:  blauw: Kr = 1  rood: Kr = 2  groen: Kr = 10  zwart: Kr = 100


pagina 24/60

Conclusie Snelheid: Wat duidelijk te zien is in de grafieken, is als de Kr van de regelaar groter gekozen wordt, dat de snelheid van het systeem ook groter wordt. Nauwkeurigheid: Wat duidelijk te zien is in de grafieken, is als de Kr van de regelaar groter gekozen wordt, dat de nauwkeurigheid van het systeem ook groter wordt. De waarde van Kp is een systeemconstante en is niet te veranderen. Relatieve stabiliteit: Hoe kleiner de Kr gekozen wordt, hoe stabieler het systeem is. Dit gaat echter wel ten koste van de snelheid. Er is wel in alle simulaties een doorschot te zien.


pagina 25/60

6

PI-geregeld tweede orde systeem

6.1

Inleiding

De volgende regelaar die we zullen behandelen betreft een PI-regelaar van een tweede orde systeem. Aan het systeem kunnen we niets veranderen, dit noemen we de proces parameters. Dit zijn de  p1 ,  p 2 en de K p . Aan de regelaar daar echter wel; we noemen dit de regelparameters Kr en  i . Het is de bedoeling dat er met verschillende waarden voor Kr en  i gesimuleerd wordt, om zo de invloed aan te tonen van de Kr en  i met betrekking op:   

6.2

snelheid nauwkeurigheid relatieve stabiliteit

Blokschema

Het blokschema is bij een PI-regelaar opgedeeld in een aantal blokken. In Matlab aangemaakt ziet dit er als volgt uit: De elementen zijn:  Een bron of ingangssignaal (step)  De regelaar (Zero-pole)  Het systeem (Transfer Fcn en Fcn1)  Een uitgang (To Workspace)

Figuur: blokschema PI-geregeld tweede orde systeem

6.3


Om te komen tot de uiteindelijke simulatie in Matlab met behulp van een poolbaan vergelijking zullen, we eerst laten zien hoe we aan deze vergelijking komen. De basis ligt uiteindelijk bij het blokschema zoals dit omschreven is in paragraaf 6.2. Het is de bedoeling om de karakteristieke vergelijking om te zetten naar een vergelijking die in Matlab ingevoerd kan worden.


pagina 26/60

De overdrachtsfunctie van een PI-geregeld tweede orde systeem:

U gewenst ( s )

Kr ( i s  1) Kp is ( p1s  1)( p 2 s  1)   U gemeten ( s ) Kr  ( i s  1) Kp 1 is ( p1s  1)( p 2 s  1)

De noemer van de overdrachtsfunctie is het linker lid van de karakteristieke vergelijking:

1



Kr  ( i s  1) Kp 0 is ( p1s  1)( p 2 s  1)

Dit moet worden omgezet naar een poolbaan vergelijking om uiteindelijk in te voeren in Matlab: s

 s(s 

1 i

1 1 )  (s  )  p1  p2



1 Kr  Kp  p1   p 2

Dit is de poolbaanvergelijking. Om de simulatie in te voeren Matlab, moet de noemer van het linkerlid omgeschreven worden naar een functie van s. Dit gaat als volgt:

1 1 1 s  s  )  p1  p2  p1  p 2



s(s 2 



1 1 1 s3  (  )  s2  s  p1  p 2  p1   p 2

6.4

Poolbaan

De ingestelde parameters voor deze simulatie zijn:   p1  0.5 

 p2  2



Kp 1



Kr  1



i  2


pagina 27/60


1  p2

1  p1

1 i

Figuur: poolbaan PI geregeld tweede orde systeem

Het linker punt is:

1  p1

oftewel

Het rechter punt is:

1  p2

oftewel

En:

1 i

1  2 0.5

1  0.5 2 1 oftewel  0.5 2


pagina 28/60

6.5

Systeem ontwerpen

We hebben een punt op de poolbaan gekozen voor een licht gedempt systeem met een   0.7 . De gain is in de poolbaan 1,61. Hiermee kunnen we de waarde van de Kr uitrekenen:

Kr  Kp  1.61  p1   p 2 Als de bovenstaande gegevens ingevuld worden, levert dit: Kr 1  1.61 0.5  2



Kr = 1,61

Figuur: grafiek PI-geregeld tweede orde systeem


pagina 29/60

De berekende piektijd bij gebruik van een Kr van 1,61 is:

  0.783 rad/s





2 T




T

2  8.02 seconden 0.783

8.02  4.01 seconden. 2


Piektijd = ½ T


Conclusie Wat te zien is, dat de berekende waarde voor de piektijd, overeen komt met de waarde in de grafiek.


pagina 30/60

6.6

Simulaties met Kr

In deze paragraaf zullen we zoals gezegd gaan zien wat de invloed van deze regelparameters is op de snelheid, nauwkeurigheid en relatieve stabiliteit. In de vorige paragraaf hebben we via de poolbaan bepaald wat de Kr waarde is. Om nu te kijken wat de invloed is van de K r op de snelheid, nauwkeurigheid en relatieve stabiliteit hebben we naast de gevonden waarde van K r = 1.61 nog 2 waarden op de poolbaan gekozen, te weten:  gain = 1.19

  0.917

 K r  1.19

 gain = 0.997

 1

 K r  0.997

Deze 3 waarden voor de Kr hebben we vervolgens in Matlab ingevoerd om te kijken wat de invloed is. Matlab genereert de volgende grafiek:

Figuur: grafiek PI-geregeld tweede orde systeem met verschillende waarde voor Kr


pagina 31/60

Waarbij:  rode lijn:

K r  0.997



groene lijn:

K r  1.19



blauwe lijn:

K r  1.62

Conclusie Snelheid: Naarmate we de waarde van K r verhogen, zien we dat de snelheid toeneemt. Samen met de snelheid zien we ook doorslag ontstaan. Nauwkeurigheid: Uiteindelijk zal de regelaar de ingestelde waarde behalen. Relatieve stabiliteit: Naarmate de K r waarde groter wordt zal het systeem steeds onstabieler worden.


pagina 32/60

Simulaties met  i

6.7

Vervolgens zullen we de regelaar gaan simuleren met verschillende waarden voor  i . We zullen de PI-regelaar simuleren met de volgende waarden:   p1  1 

 p2  2



Kp 1



Kr  1



 i  0.5, 1, 5 en 10


Figuur: grafiek PI-geregeld tweede orde systeem met verschillende waarde voor  i

Waarbij:  Rode lijn:

 i  0.5



Groene lijn:

i  1



Paarse lijn:

i  5



Blauwe lijn:  i  10 Verslag Regeltechniek 2

pagina 33/60

Conclusie Snelheid: Naarmate we de waarde van  i verkleinen, zien we dat de snelheid toeneemt. Samen met de snelheid zien we ook de doorslag toenemen. In beide uiterste gevallen (dus  i  0,5 en  i  10) duurt het heel lang voor dat de waarde bereikt is. In het ene geval doordat het systeem blijft oscilleren, in het andere geval omdat het systeem heel langzaam de ingestelde waarde bereikt. Nauwkeurigheid: Uiteindelijk zal de regelaar de ingestelde waarde behalen. Relatieve stabiliteit: Naarmate de  i waarde kleiner wordt zal het systeem steeds onstabieler worden. Bij een waarde van  i  0.1 zien we dat het systeem heel lang door blijft oscilleren.


pagina 34/60

7

PID-geregeld tweede orde systeem

7.1

Inleiding

De volgende regelaar die we zullen behandelen betreft een proportioneel integrerend differentiërend (PID) tweede orde systeem. Dit PID-systeem zullen we beoordelen met behulp van de 4 regelparameters, te weten K r ,  i ,  d en a (de tamheidsfactor). Aan de procesparameters kunnen we niets veranderen, dit zijn  p1 ,  p 2 en de K p . Ook bij dit systeem zullen we bekijken wat de invloed is van deze regelparameters op de:  Snelheid  Nauwkeurigheid  Relatieve stabiliteit

7.2

Blokschema

Het blokschema is bij een PID-regelaar opgedeeld in een aantal blokken. In Matlab aangemaakt ziet dit er als volgt uit: De elementen zijn:  Een bron of ingangssignaal (Step)  De Regelaar (Zero Pole)  Het systeem (Transfer Fcn en Fcn1)  Een uitgang (To Workspace

Figuur: blokschema Matlab PID tweede orde systeem

Verder uitgesplitst, zien we dat de regelaar bestaat uit: 

De P-actie

Kr s



De I-actie



De D-actie

1 i

s s  d  1 s  a  d  1


pagina 35/60

Het systeem is hier als 2 blokken getekend maar bestaat in werkelijkheid uit 1 systeem: Kp ( s  p1  1)  ( s  p 2  1)

Samengevoegd ziet dit er als volgt uit:

Bovenstaand blokschema zullen we straks nodig hebben om de poolbaanvergelijking op te stellen. 7.3

De poolbaanvergelijking

Om tot een uiteindelijke poolbaan te kunnen komen zullen we eerst de poolbaan vergelijking op moeten stellen. Dit doen we op basis van het blokschema uit paragraaf 7.2. Hierbij geld: 1 + rondgaand = 0 1   s i  1  K r  K p   s  

1   s i   s  

   s   1  1 d  0    s  a  d  1  ( s  p1  1)  ( s  p 2  1)  

    s  1    d    d     1     a  d  s  a  d   

  1   1    1  1     p1   s    p 2   s      p1    p2 

 1  1  s   s   1  i    d    Kr  K p  1   1   1  s  s   s   s       a  d    p1    p 2   p1  p 2  a  



pagina 36/60

Van deze poolbaanvergelijking is het linkerlid het deel wat we straks in gaan voeren in Matlab, het rechterdeel noemen we de gain. Met deze gain gaan we net als bij de andere regelaars later de K r bepalen. Ook hier gaan we straks een slim punt op de poolbaan kiezen (een punt wat overeen komt met de verwachting). Na het bepalen van de K r , zullen we in een simulatie gaan bekijken of deze K r aan de verwachtingen voldoet.

7.4

De poolbaan

Voordat we de poolbaan door Matlab kunnen laten genereren, moeten we eerst de teller en noemer omschrijven naar voor Matlab begrijpelijke commando’s. Dit gaat als volgt: De poolbaan vergelijking is:  1  1  s   s   1  i    d    Kr  K p  1   1   1  s  s   s   s       a  d    p1    p 2   p1  p 2  a  

Als we de teller van het linkerlid uitvermenigvuldigen staat er:

 1 1 2 1 1  1   s    s  d i   i  d  Invoer in matlab wordt dan: teller=[1 ((1/taud)+(1/taui)) (1/(taui*taud))];

Hetzelfde doen we voor de noemer van het linker lid:  1 s  s  a  d 

  1   1     s      s     p1    p 2 

Uitvermenigvuldigd geeft dit:  1 1 1 s4       p1  p 2 a   d

 3  1 1 1     s      p1  p 2 a  d  p1 a  d  p 2


 2  1   s     a   d   p1   p 2

 1   s 

pagina 37/60

Invoer in Matlab wordt dan: noemer=[1 (1/(a*taud)+1/taup1+1/taup2) (1/(a*taud*taup1)+1/(a*taud*taup2)+1/(taup1*taup2)) (1/(a*taud*taup1*taup2)) 0];

Het verschil met het PI-geregeld tweede orde system t.o.v. een PID-geregeld tweede orde systeem is dat er in de poolbaan een extra pool en een extra punt bijkomen. Onderstaande plot maakt het een en ander duidelijk.

1 d

1 i

1  p2

1  p1

Figuur: PID tweede orde systeem poolbaan

Het linker punt is: Het 2e punt is: Het 3e punt is: Het 4e punt is:

1 d 1  p2 1  p1 1 i

1  2.22 0.45 1 oftewel  2 0.5 1 oftewel  0.5 2 1 oftewel  0.4 2.5

oftewel


pagina 38/60

7.5

Systeem ontwerpen

7.5.1

Simulaties met Kr

Nadat de poolbaanvergelijking is ingevoerd in Matlab kunnen we beginnen met het ontwerpen van het PID systeem. Om tot een slim gekozen K r waarde te komen zal eerst een poolbaan gecreëerd moeten worden. Met de volgende waarden ingevoerd in Matlab:  Kr  2 

 i  2.5

 

a  0.9  d  0.45



Kp 1



 p 2  0.5



 p1  2

Matlab genereert onderstaande grafiek



pagina 39/60

We hebben op de poolbaan een punt gekozen met een   0.7 (0.703), zoals te zien geeft dit een gain van 2,57. Met deze gain gaan we de K r bepalen, dit doen we zoals gezegd m.b.v. het rechterlid van de poolbaanvergelijking (zie paragraaf 7.3). 2.57 



Kr  K p p1

 p 2  a 

Met de waardes ingevuld:

2.57 

K r 1  2  0.5  0.9 

 Kr 

2.57   2  0.5  0.9   2.31 3 1

Om nu te kijken of het gekozen punt op de poolbaan voldoet aan de verwachting, gaan we dezelfde exercitie uitvoeren met nog 2 punten op de poolbaan. De andere punten zijn:  Gain = 5.85   0.478  K r  6.5 

Gain = 1.04

 1

 K r  0.936



pagina 40/60

Waarbij:  groene lijn:

K r  6.5



rode lijn:

K r  2.313



blauwe lijn:

K r  0.936

De berekende piektijd bij gebruik van een Kr van 2.31 is:

  1.18 rad/s





2 T




T

2  5.32 1.18

5.32  2.66 seconden. 2

Als we nu Matlab de grafiek laten genereren met een K r van 2.313 dan zien we dat de berekende piektijd overeen komt met de zichtbare piektijd in de grafiek.

Figuur: grafiek PID-geregeld tweede orde systeem


pagina 41/60

Conclusie Snelheid: Naarmate we de waarde van K r verhogen, zien we dat de snelheid toeneemt. Samen met de snelheid zien we ook de doorslag toenemen. De door ons op de poolbaan gekozen waarde van 2.313 laat geen doorslag zien. Nauwkeurigheid: Uiteindelijk zal de regelaar de ingestelde waarde behalen. Relatieve stabiliteit: Naarmate de K r waarde groter wordt zal het systeem steeds onstabieler worden.


pagina 42/60

7.5.2

Simulatie met  i

Voor het simuleren van de  i zijn we uitgegaan van de instellingen uit de vorige paragraaf, te weten:  K r  2.313 

 i  1,  i  2.5 en  i  5

 

a  0.9  d  0.45



Kp 1



 p 2  0.5



 p1  2


Figuur: grafiek PID-geregeld tweede orde systeem invloed

Waarbij:  groene lijn:

i

i  5



rode lijn:

 i  2.5



blauwe lijn:

i  1 Verslag Regeltechniek 2

pagina 43/60

Conclusie Snelheid: Naarmate we de waarde van  i verhogen, zien we dat de snelheid toeneemt. Samen met de snelheid zien we ook de doorslag toenemen Nauwkeurigheid: Uiteindelijk zal de regelaar de ingestelde waarde behalen. Relatieve stabiliteit: Naarmate de  i waarde kleiner wordt zal het systeem steeds onstabieler worden.


pagina 44/60

7.5.3

Simulatie met  d

Bij deze simulatie van het PID systeem gaan we kijken wat de invloed is van de  d . Net als bij de simulaties van de K r en  i gebruiken we dezelfde instellingen van de regelaar. Voor de  d gebruiken we nog 2 andere waarden als vergelijking.  K r  2.313 

 i  2.5

 

a  0.9  d  0.01, 0.6 en 10



Kp 1



 p 2  0.5



 p1  2




d

pagina 45/60

Waarbij:  blauwe lijn:

 d  0.01



rode lijn:

 d  0.6



groene lijn:

 d  10

Conclusie Snelheid: Naarmate we de waarde van  d verhogen, zien we dat de snelheid iets toeneemt. Nauwkeurigheid: Uiteindelijk zal de regelaar de ingestelde waarde behalen. Relatieve stabiliteit: Naarmate de  d waarde groter wordt zal het systeem steeds meer doorschot vertonen.


pagina 46/60

7.5.4

Simulatie met tamheidsfactor a

Als laatste zullen we gaan bekijken wat de invloed is van de zogenaamde tamheidsfactor a of thf. De waarden die gebruikt zijn:  K r  2.313 

 i  2.5

 

a  5, 0.9 en 0.2  d  0.45



Kp 1



 p 2  0.5



 p1  2



Waarbij:  blauwe lijn:  rode lijn:  groene lijn:

a

a=5 a = 0.9 a = 0.2


pagina 47/60

Conclusie Snelheid: Naarmate we de waarde van a verhogen, zien we dat de snelheid afneemt. Nauwkeurigheid: Uiteindelijk zal de regelaar de ingestelde waarde behalen. Relatieve stabiliteit: Naarmate de a waarde groter wordt zal het systeem steeds onstabieler worden. Er treedt een doorschot op


pagina 48/60

7.7

Samengestelde grafiek

Om de verschillen tussen tweede orde systemen inzichtelijker te maken hebben we de P, PI en PID tweede orde systemen in 1 grafiek gezet. De waarden voor de regelparameters hebben we als volgt gekozen:  Kr  1 

i  1



a  0.5  d  0.45



De waarden van de systeemparameters zijn: Kp 1   p2  2   p1  1  De P- en PI tweede orde systemen hebben we in eerdere hoofdstukken met dezelfde waarden gesimuleerd; het PID systeem echter heeft afwijkende waarden voor wat betreft enkele parameters. Niet te min geeft het een aardig overzicht van de verschillen tussen de drie tweede orde systemen. Matlab genereert de volgende grafiek:

Figuur: 3 regelaars in 1 grafiek


pagina 49/60

Waarbij:  Blauw:  Rood:  Groen:

P-geregeld PI-geregeld PID-geregeld

Conclusie P-regelaar Bij de P-regelaar is een grote statische afwijking te zien. Het systeem is wel snel ten opzichte van de andere twee regelaars. Het heeft een lichte doorschot. PI-regelaar Dit systeem is nauwkeuriger geworden dan het systeem met de P-regelaar. Dit is echter wel ten koste gegaan van de snelheid. PID-regelaar Dit systeem heeft een betere demping gekregen door de extra D-actie.


pagina 50/60

8

Dode tijd

8.1

Eerste orde openlus systeem met dode tijd

We zullen nu per regelaar gaan bekijken wat de invloed is van dode tijd op de regelaar. We hebben per regelaar de waarden voor de variabelen aangehouden zoals we die ook in het verslag hebben gebruikt. Het eerste systeem betreft het eerste orde open lus systeem. Het Matlab blokschema ziet er na invoeging van de dode tijd uit zoals onderstaand figuur:

Figuur: blokschema open lus eerste orde systeem met dode tijd

Als we voor de dode tijd 1 seconde nemen en de andere waarden laten we gelijk dan genereert Matlab de volgende grafiek:

Figuur: grafiek open lus eerste orde systeem met en zonder dode tijd


pagina 51/60

8.2

P-geregeld eerste orde systeem met dode tijd

De 2e regelaar uit ons verslag is een P-geregeld eerste orde systeem. Ook hier passen we dezelfde truc toe op onderstaand Matlab model.

Figuur: blokschema P-geregeld eerste orde systeem met dode tijd

Als we voor de dode tijd 2 seconden nemen en de andere waarden laten we gelijk, dan genereert Matlab de volgende grafiek:

Figuur: grafiek P-geregeld eerste orde systeem met en zonder dode tijd


pagina 52/60

8.3

PI-geregeld eerste orde systeem met dode tijd.

De 3e regelaar uit de eerste orde serie is het PI-geregelde systeem. Matlab toont ons onderstaand model.

Figuur: blokschema PI-geregeld eerste orde systeem met dode tijd

Als input hebben wij gebruikt:  p  1 , K p  2 , K r  1 ,  i  1

Als we voor de dode tijd 1 seconde nemen, dan genereert Matlab de volgende grafiek:

Figuur: grafiek PI-geregeld eerste orde systeem met en zonder dode tijd


pagina 53/60

8.4

P-geregeld tweede orde systeem met dode tijd

De eerste regelaar van de serie tweede orde systemen is een P-geregeld systeem. Na invoer van de transport delay geeft dit het volgende blokschema:

Figuur: blokschema P-geregeld tweede orde systeem met dode tijd

Als input hebben wij gebruikt:  p1  1 ,  p 2  2 , K p  1 , K r  1

Als we voor de dode tijd 2 seconden nemen, dan genereert Matlab de volgende grafiek:

Figuur: grafiek P-geregeld tweede orde systeem met en zonder dode tijd


pagina 54/60

8.5

PI-geregeld tweede orde systeem met dode tijd

Bij de volgende regelaar hebben we t.o.v. de vorige regelaar een I-actie toegevoegd, het blokschema in Matlab ziet er na invoegen van de dode tijd als volgt uit.

Figuur: blokschema PI-geregeld tweede orde systeem met dode tijd

Als input hebben wij gebruikt:  p1  1 ,  p 2  2 , K p  1 , K r  1 ,  i  1


Figuur: grafiek PI-geregeld tweede orde systeem met en zonder dode tijd


pagina 55/60

8.6

PID-geregeld tweede orde systeem met dode tijd

Als laatste zullen we de PID geregeld tweede orde systeem gaan simuleren, ook hier moeten we eerst de dode tijd “inbouwen”. In Matlab ziet dat er als volgt uit:

Figuur: blokschema PID-geregeld tweede orde systeem met dode tijd

Als input hebben wij gebruikt:  p1  2 ,  p 2  0.5 , K p  1 , K r  2 ,  i  2,5 ,  d  0, 45 , a  0, 9


Figuur: grafiek PID-geregeld tweede orde systeem met en zonder dode tijd


pagina 56/60

9

Samenvatting eerste orde systemen

9.1

Openlus systeem:

Een andere  p heeft de volgende invloed Bij een kleiner wordende  p wordt het systeem sneller.

9.2

P geregeld systeem:

Een andere Kr heeft de volgende invloed: Snelheid: Als de K r groter wordt, zal de snelheid van het systeem groter worden. Nauwkeurigheid: Als de K r groter wordt, zal de statische afwijking steeds kleiner worden. Relatieve stabiliteit: De K r heeft geen invloed op de relatieve stabiliteit.

9.3

PI geregeld systeem:

Een andere Kr heeft de volgende invloed: Snelheid: Als de K r groter wordt, zal de snelheid van het systeem groter worden. Nauwkeurigheid: De Kr heeft geen invloed op de statische afwijking. Die is bij de PI-regelaar niet aanwezig. Relatieve stabiliteit: Bij een grotere Kr zal de doorschot kleiner worden. Een andere  i heeft de volgende invloed: Snelheid: Als de  i kleiner wordt zal het systeem sneller worden. Nauwkeurigheid: De  i heeft geen invloed op de statische afwijking. Die is bij de PI-regelaar niet aanwezig. Relatieve stabiliteit: Hoe kleiner de  i hoe groter de oscillatie. Het duurt veel langer voordat het systeem stabiel wordt.


pagina 57/60

10

Samenvatting tweede orde systemen

10.1

P geregeld systeem:

Een andere Kr heeft de volgende invloed: Snelheid: Hoe groter de Kr van de regelaar gekozen wordt, hoe hoger de snelheid van het systeem wordt. Nauwkeurigheid: Hoe groter de Kr van de regelaar gekozen wordt, hoe hoger de nauwkeurigheid van het systeem wordt. Relatieve stabiliteit: Hoe kleiner de Kr gekozen wordt, hoe stabieler het systeem is. Dit gaat echter wel ten koste van de snelheid. Er is wel in alle simulaties een doorschot te zien.

10.2

PI geregeld systeem:

Een andere Kr heeft de volgende invloed: Snelheid: Naarmate we de waarde van K r verhogen, zien we dat de snelheid toeneemt. Samen met de snelheid zien we ook de doorslag toenemen. Nauwkeurigheid: Uiteindelijk zal de regelaar de ingestelde waarde behalen. Relatieve stabiliteit: Naarmate de K r waarde groter wordt zal het systeem steeds onstabieler worden. Een andere  i heeft de volgende invloed: Snelheid: Een kleinere  i geeft een toename van de snelheid. Nauwkeurigheid: Uiteindelijk zal de regelaar de ingestelde waarde behalen. Relatieve stabiliteit: Als de  i hoger de Kr wordt, zal de doorslag toenemen. Ook duurt het langer voordat het systeem stabiel wordt.


pagina 58/60

10.3

PID geregeld systeem:

Een andere Kr heeft de volgende invloed: Snelheid: Naarmate we de waarde van K r verhogen, zien we dat de snelheid toeneemt. Samen met de snelheid zien we ook de doorslag toenemen. De door ons op de poolbaan gekozen waarde van 2.313 laat geen doorslag zien. Nauwkeurigheid: Uiteindelijk zal de regelaar de ingestelde waarde behalen. Relatieve stabiliteit: Naarmate de K r waarde groter wordt zal het systeem steeds onstabieler worden. Bij een waarde van K r  6.5 zien we dat het systeem onstabiel gedrag vertoond. Een andere  i heeft de volgende invloed: Snelheid: Als de  i kleiner wordt zal het systeem sneller worden. Nauwkeurigheid: De  i heeft geen invloed op de statische afwijking. Die is bij de PI-regelaar niet aanwezig. Relatieve stabiliteit: Hoe kleiner de  i hoe groter de oscillatie. Het duurt veel langer voordat het systeem stabiel wordt. Een andere  d heeft de volgende invloed: Snelheid: Naarmate we de waarde van  d verhogen, zien we dat de snelheid toeneemt. Nauwkeurigheid: Uiteindelijk zal de regelaar de ingestelde waarde behalen. Relatieve stabiliteit: Naarmate de  d waarde groter wordt zal het systeem steeds onstabieler worden. Een andere tamheidfactor a heeft de volgende invloed: Snelheid: Naarmate we de waarde van a verhogen, zien we dat de snelheid afneemt. Nauwkeurigheid: Uiteindelijk zal de regelaar de ingestelde waarde behalen. Relatieve stabiliteit: Naarmate de a waarde groter wordt zal het systeem steeds onstabieler worden. Er treedt een doorschot op. Verslag Regeltechniek 2

pagina 59/60

11

Literatuurlijst

De literatuur die voor dit verslag gebruikt is, bestaat uit:     

Dictaat W130 geschreven door Ir. Klaas Nauta Boek Regeltechniek voor HTO deel 1 door Jaap Schrage Dictaat Systeemdynamica W110 van InHolland Dictaat Wiskunde W033 geschreven door Ir. Klaas Nauta Internet


pagina 60/60

Verslag Regeltechniek 2

Recommend Documents