Systeem- en Regeltechniek: Doelen. Systeem- en Regeltechniek voor IO. Systeem- en Regeltechniek: Doelen (2) Huishoudelijke zaken & organisatie

Systeem- en Regeltechniek: Doelen

Systeem- en Regeltechniek voor IO +deels: Systeem- en Regeltechniek 1 voor WB (vakcodes 280214 / 113115) Docent:

Assistenten:

Ronald Aarts Vakgroep Werktuigbouwkundige Automatisering (WA) Kamer: HR W 234 Tel.: (053) 489 2557 Email: [email protected] WWW: TeleTOP Rutger de Boef Ronald Dieterman Bert van de Ridder Arjan Westerhuis (Steven Boer) (Ali Riza Konuk)

§ 1.1

• Modelvorming van de dynamica van multidomein systemen t.b.v. ontwerpen van mechatronische systemen • Differentiaalvergelijkingen • Toestandsbeschrijving • Overdrachtsfuncties • Blokschema’s → Matlab/Simulink → Tijddomein: Bv. stapresponsie → Frequentiedomein: Bode diagrammen • Discrete parameter modellering • Systematische aanpak voor mechanische systemen ¨ energie • Kinetische en potentiele → Systeemtheorie • Relatie tussen dynamische specificaties en “kenmerken” van een systeem • Analyse → begrip • Synthese → ontwerp

S&R-IO/1/1 Ronald Aarts UT / CTW / WA

Systeem- en Regeltechniek: Doelen (2) • Ontwerpen van geregelde elektromechanische systemen (mechatronische) systemen • Gesloten lus systemen: be¨ınvloeden van systeemgedrag met regelaars om aan dynamische specificaties te voldoen • Snelheids- en positieterugkoppeling


Huishoudelijke zaken & organisatie • Studiemateriaal (actuele versies):

• Collegedictaat Inleiding Systeem- en Regeltechniek, editie 2006/2007. De relevante hoofdstukken zijn 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10 en 12. Deze zijn geheel in PDF-formaat beschikbaar via TeleTOP. • Deze sheets.

• P-, PI-, PD-, PID-, lead-, lag-regelaars

• Opgaven.

• Regelaarontwerp voor tweede orde systemen in het s-vlak

• Regelaarontwerp in het frequentiedomein (Bode ontwerpprocedure) → Regeltechniek


• De inhoud van dit vak is de laatste jaren niet wezenlijk veranderd, wel de vorm. Oudere edities studiemateriaal zijn daarom wel nog bruikbaar, maar worden niet aanbevolen.


Huishoudelijke zaken & organisatie (2)

Huishoudelijke zaken & organisatie (3)

• Software: Matlab/Simulink. • Tips voor gebruik te vinden in dictaat, evt. ook “na te spelen”. • Noodzakelijk bij het maken van de opgaven, gelijk vanaf de eerste week. • Beschikbaar op notebook via NSC.

• Colleges volgens rooster en overzicht op TeleTOP: • Gastcollege door prof. Soemers over mechatronisch ontwerpen (18 juni). • Hoorcolleges voor IO & WB deels samen (vanaf 9 juni). • Werkcolleges voor IO aansluitend. • Tijd gereserveerd voor “inleveropgave” in week 26. • Afronding: • Vier oefenopgaven → Niet inleveren. • “Inleveropgave” → Wel inleveren en wordt beoordeeld. • Uitwerken individueel of in kleine groepjes, vermits individuele inbreng duidelijk is bv. door aanwezigheid bij de werkcolleges.

Dit vak wordt vaak moeilijk gevonden. • De inhoud is nogal mathematisch. • Waar zijn de echte componenten zoals massa’s en veren gebleven? • Juist door de wiskundige veralgemenisering levert systeemleer veel inzicht en zijn er legio toepassingen. • Regelaars blijven vaak iets “magisch”. • Toch is P-actie gewoon een elektronische / elektromechanische / digitale veer! • Het tempo ligt hoog: 3.5 EC = ca. 100 uur in 4 weken betekent toch gemiddeld 25 uur per week. • Gebruik de werkcolleges: Maken van de opgaven, stellen van vragen, enz. ¨ • Vragen stellen bij werkcolleges is efficienter dan bv. email: De antwoorden zijn “beter” en de responsie is sneller.



§ 1.3 § 1.2

Introductie: Mechatronisch systemen

Verwachte voorkennis Mechanisch domein

• Enkele elementaire vergelijkingen voor translerende mechanische systemen (hfd 3, 4 & 5): Eigenfrequenties, de tweede wet van Newton, kinetische ¨ energie. energie, potentiele • Enkele begrippen uit de wiskunde van complexe getallen. Zie evt. appendix A.

Voeding/ Versterking

Actuatoren

Mechanisch proces

Sensoren

Voeding/ Versterking

Digitale regeling Stuursignalen

• Enige vertrouwdheid met het werken met matrices, zoals bv. de eigenwaarden van een matrix. Zie evt. appendix B.

Meetsignalen Software

Elektrisch domein

• Enige bekendheid met het werken in het frequentiedomein (Fourier transformatie). Zie evt. appendix C.

Mechatronisch ontwerpen:

De Laplace transformatie wordt niet bekend verondersteld, maar vormt wel de wiskundige achtergrond achter vele uitdrukkingen in dit vakgebied.

• Niet in dit college, maar wel intro door prof. Soemers tijdens apart “gast”-college. • Wel: Dynamische specificaties in bv. hoofdstuk 9.



§ 1.4

Systeemtechniek:

Modellen van dynamische systemen Modelrepresentaties in hfd. 3:

Analyse, modelvorming en synthese • Systeem analyse houdt in dat de performance van het systeem wordt bepaald. D.w.z. de responsie van het systeem op een gegeven set van inputs wordt bepaald. Geschikt model: niet te veel en niet te weinig detail. • Modelvorming moet de interne werkingsprincipes van een systeem bloot leggen. Moet analyse mogelijk maken: Diverse representaties. Mate van detaillering afhankelijk van stadium in ontwerpproces.

• • • •

Differentiaalvergelijkingen (DV’s, bekend) Overdrachtsfunctie Toestandsvergelijkingen Blokschema

In hfd. 4 gevolgd door analyse van het dynamische gedrag van de systemen: • Tijddomein: Bv. stapresponsie • Frequentiedomein: Bode diagrammen Aan de hand van voorbeelden: • • • •

• Synthese is de compositie of combinatie van delen of elementen tot een systeem dat een gewenst gedrag vertoont in overeenstemming met de specificaties.

Voorbeeld 1: Slinger met vast draaipunt Voorbeeld 2: Slinger op wagentje Opgave 1: Landend vliegtuig op schip Elektrische systemen, thermische systemen, ...



§ 2.2

Signalen in het tijddomein x(t)

§ 2.4

Dynamische systemen

xk

u

Systeem G

y

Een systeem G.

0

t

(a) tijd-continue signaal

Hfd. 3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

k

(b) tijd-discreet signaal

• Dynamisch systeem: y(t) = Gu(t) • Ingang u(t) en uitgang y(t) zijn functies van de tijd t

• Tijd-continue signalen ↔ tijd-discreet signalen

• Continue signaalwaarden ↔ eindige resolutie (bv. PC)

• De systeembeschrijving G geeft de relatie tussen y(t) en u(t) → Hfd. 3.

In dit college voornamelijk continue signalen (m.u.v. practicum IO). S&R-IO/3/2 Ronald Aarts UT / CTW / WA


§ 2.4

LTI-systemen — SISO/SIMO/MISO/MIMO u

Systeem G

y

impliceert dat ook G(α1u1 + α2u2) = α1y1 + α2y2

Een systeem G.

ingang scalar u scalar u vector u vector u

Modelvorming, de kip en het ei

LTI-systemen: lineair en tijdsinvariant, d.w.z. als y1 = Gu1 en y2 = Gu2

uitgang scalar y vector y scalar y vector y

• Uiteindelijke plan van aanpak modelvorming (hfd. 5):

• Na decompositie in elementaire componenten volgt direct het blokschema. • Daaruit volgen toestandsvergelijkingen en overdrachtsfuncties.

benaming SISO - Single Input Single Output SIMO - Single Input Multiple Output MISO - Multiple Input Single Output MIMO - Multiple Input Multiple Output

• Eventueel kan hieruit een differentiaalvergelijking worden afgeleid.

• Eerst: Overzicht van modelrepresentaties en inzicht in dynamisch gedrag van systemen (hfd. 3 en 4). • Hoe komen we nu al aan de modellen? Noodgreep:

• Veronderstel dat differentiaalvergelijkingen bekend zijn.

• In dit college voornamelijk LTI & SISO.

• Gebruik deze voor de afleiding van overdrachtsfuncties, toestandsvergelijkingen en blokschema’s.

• Niet-lineair, dan proberen te lineariseren. Voorbeeld sin θ ≈ θ voor |θ| 1. S&R-IO/3/4 Ronald Aarts UT / CTW / WA


§ 3.1

Voorbeeld 1: Slinger met vast draaipunt

§ 3.2

Differentiaalvergelijkingen voorbeeld 1 — Intro DV: J θ¨ = M + Mf + Mg

M

Algemeen M

M

g

θ

Voorbeeld 1a: Gewone slinger

Niet-lineair:

θ

1 1 msl2 θ¨ + b θ˙ + msgl sin θ = M. 3 2

g

Voorbeeld 1a (gewone slinger)

g

Gelineariseerd:

Voorbeeld 1b: Inverse slinger

(|θ| 1)

1 1 msl2 θ¨ + b θ˙ + msgl θ = M. 3 2

Voorbeeld 1b (inverse slinger)

Aandrijving met koppel M en meten van hoek θ (ingang/uitgang). Viskeuze wrijving in draaipunt: Mf = −b θ˙ (afremmen evenredig met snelheid). S&R-IO/3/6 Ronald Aarts UT / CTW / WA

Gelineariseerd: (θ ∗ = θ − π, |θ ∗| 1)

1 1 msl2 θ¨∗ + b θ˙∗ − msgl θ ∗ = M. 3 2


θ

DV’s voorbeeld 1a — Oplossingen Wrijvingsloze (b = 0) en homogene (M = 0) DV:

Oplossing:

θ(0) = θ0

0.01 θ [rad]

˙ θ(0) = 0.

en

θ(t) = θ0 cos ωt

met

ω=

s

3g . 2l

5 t [s]

10

lineair model,

5 t [s]

10

q

π

0

5 t [s]

M

π

0

0

g −π

0

Instabiel !!!

θ

−1 0

˙ θ(0) = 0.

θ

0

−0.1 0

en

q

π

M

g −0.01

θ(0) = π + θ0

3g Oplossing: θ(t) = π + θ20 exp( 3g 2l t) + exp(− 2l t) .

1

0

1 1 msl2 θ¨ − ms gl θ = 0. 3 2

Wrijvingsloze (b = 0) en homogene (M = 0) DV: Vanuit stilstand:

0.1

0

1 1 msl2 θ¨ + ms gl θ = 0. 3 2

θ [rad]

Vanuit stilstand:

DV’s voorbeeld 1b — Oplossingen

−π 0

10

5 t [s]

niet-lineair model

10

−π 0

lineair model,

5 t [s]

10

0

5 t [s]

niet-lineair model



§ 3.3

Overdrachtsfunctie G(s)

Relatie tussen DV en overdrachtsfunctie:

Geeft de ingangs-uitgangs-relatie van een systeem m.b.v. de Laplace getransformeerden van ingangs- en uitgangssignaal.

Dus DV voorbeeld 1a:

y(s) = G(s) u(s) met Laplace getransformeerden u

Systeem G

y

Een systeem G.

u(s) = L{u(t)} = en y(s) analoog.

Z∞

wordt −st

u(t) e

dt,

0

10

d ⇔s dt

1 1 msl2 θ¨ + b θ˙ + msgl θ = M 3 2

1 1 msl2 s2 + b s + msgl θ(s) = M (s). 3 2

M

g

θ

Dan is de overdrachtsfunctie G1(s) tussen ingang M en uitgang θ: uitgang θ(s) 1 . = = 1 1 2 2 ingang M (s) 3 ms l s + b s + 2 ms gl

Belangrijke eigenschappen:

G1(s) =

¨ • Differentieren in het tijddomein wordt vermenigvuldigen met s: L(x(t)) ˙ = s L(x(t)) = s x(s). (Als x(0) = 0).

Weglaten “(s)” en met de numerieke waarden voor de parameters (tabel 3.1):

• Integreren in het tijddomein wordt vermenigvuldigen met 1s : Z 1 1 L( x(t) dt) = L(x(t)) = x(s). s s

G1(s) = S&R-IO/3/10 Ronald Aarts UT / CTW / WA

1 1 θ = = 1 . 1 m gl 2 + 0.2 s + 4.9 2 2 M 0.33 s m l s + b s + 3 s 2 s S&R-IO/3/11 Ronald Aarts UT / CTW / WA

Overdrachtsfuncties • De overdrachtsfunctie geeft de ingangs-uitgangs-relatie

Overdrachtsfuncties en M ATLAB G1(s) =

uitgang . ingang

d ⇔ s en vice versa! dt • Overdrachtsfunctie is een breuk met in teller en noemer een polynoom in s: amsm + ... + a2s2 + a1s + a0 , G(s) = bnsn + ... + b2s2 + b1s + b0 ¨ coeffici ¨ ¨ met reele enten a0, a1, ..., am en b0, b1, ..., bn.

M ATLAB’s Control System Toolbox: tf commando (van de Engelse benaming Transfer Function)

• Relatie met differentiaalvergelijking:

• Dan wordt Gfout(s) =

1 1 1 + s+1

herschreven als G(s) =

s+1 . s+2

• De kracht zal blijken in hoofdstuk 4. • G(s) zal worden behandeld als een complexe functie van een complex getal s. • De hoogste macht van s in de noemer geeft de orde van het betreffende systeem. • G1(s) hoort bij een tweede orde systeem.

M

>> s = tf(’s’); >> ms = 1; l = 1; b = 0.2; g = 9.81; >> G1 = 1/(ms*lˆ2/3*sˆ2 + b*s + ms*g*l/2)

g

θ

Transfer function: 1 -------------------------0.3333 sˆ2 + 0.2 s + 4.905 • Dictaat appendix E. • In dictaat gebruikte voorbeelden beschikbaar via TeleTOP.



§ 3.4

Toestandsvergelijkingen voorbeeld 1a

Toestandsvergelijkingen De toestandsvergelijkingen zijn per definitie een stelsel eerste orde differentiaalvergelijkingen van de vorm

De DV van de gewone slinger bevat een tweede afgeleide θ¨: 1 1 msl2 θ¨ + b θ˙ + ms gl θ = M. 3 2

x˙ = Ax + B u, y = Cx + D u.

M

g

θ

˙ dan θ¨ = ω˙ en Introduceer hoeksnelheid ω = θ,

met een

  1 ms l2 ω ˙ +bω + 1 3 2 ms gl θ = M,  ω = θ. ˙

• toestandsvector x met n toestanden, ingang u en uitgang y. • matrices: A: n × n systeemmatrix, B : n × 1 ingangsmatrix, C : 1 × n uitgangsmatrix, D : 1 × 1 “Feedthrough” matrix. • n is (wederom) de orde van het systeem.

Herschikken tot   θ˙ = S&R-IO/3/14 Ronald Aarts UT / CTW / WA

 ω ˙

= − 3g 2l θ

ω, − m3bl2 ω s

+ m3l2 M. s


Toestandsvergelijkingen voorbeeld 1a (2) ¨ toestandsvector x = Definieer

dan:

"

θ˙ ω˙

#

=

"

0 1 3b − 3g − 2l msl2 h

=

θ

1 0

"

#

θ , ingang u = M en uitgang y = θ, ω

# "

θ ω

#

+

"

θ ω

#

+

i

"

0 3 ms l2

h

0

i

#

M

M, g

M.

θ

A= C=

0 1 3b − − 3g 2l ms l2

h

i

#

, B=

1 0 ,

D=

"

0

3 msl2 h i

#

Deze uitdrukkingen zijn geenszins uniek zijn! Verwissel bv. de componenten van de toestandsvector. Er zijn oneindig veel varianten. Voor correcte toestandsvergelijkingen geldt • de toestandsvector heeft de juiste lengte n en bestaat uit toestanden die de configuratie van het systeem vastleggen;

Dit zijn toestandsvergelijkingen met de matrices "

Toestandsvergelijkingen

• de ingang wordt in u gestopt (of bij meerdere ingangen in een vector u);

,

• de uitgang wordt in y gestopt (of bij meerdere uitgangen in een vector y ); • de matrices A, B , C en D hangen niet af van toestanden of ingangen.

0 .

Twee toestanden dus de orde van dit systeem twee is. S&R-IO/3/16 Ronald Aarts UT / CTW / WA

Matlab’s Control System Toolbox: ss commando (van de Engelse benaming State Space) >> ms = 1; l = 1; b = 0.2; g = 9.81; >> ss( [ 0, 1; -3*g/2/l, -3*b/ms/lˆ2 ], [ 0; 3/ms/lˆ2 ], ... [ 1 0 ], [ 0 ]) a = x1 0 -14.72

§ 3.5

Blokschema

Toestandsvergelijkingen en M ATLAB

x1 x2


x2 1 -0.6

• Een blokschema geeft een grafische representatie van differentiaalvergelijkingen. • Een blokschema geeft ook aan hoe die vergelijkingen opgelost kunnen worden! • Blokschema’s is de “taal” van S IMULINK. Na invoer in de GUI zijn direct simulaties mogelijk. • Vanaf hoofdstuk 5 en 6 zijn blokschema’s het startpunt van de modelvorming. Een blokschema bestaat uit een aantal blokken verbonden door lijnen (=signalen). • Elk blok is een (sub)systeem met of alleen ingang(en) (“Sink”), of alleen uitgang(en) (“Source”), of beide. ¨ • Een blok met zowel ingang als uitgang moet definieren hoe die uitgang van de ingang afhangt. • De lijnen geven aan hoe de diverse blokken van elkaar afhangen • De uitgang van het ene blok kan de ingang van een ander blok zijn.

b = ... Continuous-time model. tf en ss kunnen ook elkaars representaties omzetten, zie § 3.6. S&R-IO/3/18 Ronald Aarts UT / CTW / WA


¨ Blokschema: Differentieren versus integreren

Blokschema (2)

¨ In blokschema’s gebruiken we geen blokjes voor differentieren.

De “Simulink Library Browser” (appendix E.2) is een bibliotheek met geavanceerde en elementaire blokken voor een blokschema

1 In1

1

1 s

Constant

Integrator

(d)

(e)

1 Gain

(a)

(b)

(c)

2

2

1

1

1

0

0

−1 −2

1 Out1 (f)

∫ x dt

2

x

“In” om de ingang van een (sub)systeem aan te geven (ovaal). “Gain” voor vermenigvuldiging met een constante (driehoekig). “Sum” voor sommatie (meestal rond). ¨ “Constant” voor het definieren van een constante (rechthoekig). “Integrator” voor het integreren van de ingang (rechthoekig). “Out” om de uitgang van een (sub)systeem aan te geven (ovaal).

dx/dt

• • • • • •

´ reden hiervoor: Differentieren ¨ Een leidt tot een onaanvaardbare versterking van numerieke of experimentele ruis.

−1 0 π/2

−2

π 3π/2 2π t [s]

−1 0 π/2

π 3π/2 2π t [s]

D

x(t) = x(0) +

tZ0=t

x(t=0) x0

x˙ (t0) dt0 .

dx/dt dx/dt

x

1 s

1

t0=0

1 x

Integrator


Blokschema voorbeeld 1a

1 s Integrator

M

  3g 3 3b   θ¨ = − θ − θ˙ + M,   2  2l ml ml2

g

θ

˙ = 0) = 0, θ(t       θ(t = 0) = θ , 0

Stap 1: Integreer 2× de afgeleiden θ¨ en θ˙

D dx/dt B

π 3π/2 2π t [s]

DV + beginvoorwaarden:

Oplossing eerste vergelijking m.b.v. integraalvorm: Integreer x ˙ om x te krijgen, dan geeft deze vergelijking het “recept” om x ˙ te berekenen uit u en x:

B

0 π/2

Daarom vergelijkingen in integraalvorm:

Blokschema en toestandsvergelijkingen

1 u

−2

Differentiatie (links) en integratie (rechts) van een signaal met circa 5% ruis (midden).


x˙ = Ax + B u, y = Cx + D u.

0

x C C

1 y

d theta/d t (t=0)

0

theta(t=0) theta0

A A

d2 theta/d t2 1 d2 theta/d t2

1 s

d theta/d t

1 s

theta 1 theta

Bereken de uitgang y met de tweede vergelijking eveneens uit u en x. S&R-IO/3/22 Ronald Aarts UT / CTW / WA


M

Blokschema voorbeeld 1a (2)

Blokschema’s en Matlab g

Berekening van

θ

In Matlab kan van een Simulink blokschema een toestandbeschrijving worden gevonden met het commando

3b 3 3 mgl 3g θ˙ + M = θ , M − b θ˙ − θ¨ = − θ − 2 2 2 2l ml ml ml 2

[A,B,C,D]=linmod(’mymodel’);

als een sommatie (Sum) van een drietal vermenigvuldigingen (Gain) van constanten met respectievelijk signalen die al door integratie zijn berekend (θ˙ en θ) en ingang M .

waarin mymodel de naam van een Simulink blokschema model is. Dit levert de toestandmatrices A, B,C en D.

theta(t=0) theta0

1

3/ms/l^2

M

1 s

1 s

hoeksnelheid

hoek

mymodelss=ss(A,B,C,D); mymodeltf=tf(mymodelss);

1 theta

b

geven een toestandsbeschijving mymodelss en een overdrachtsfunctie mymodeltf in Matlab objecten.

ms*g*l/2

Hierop kunnen weer talloze bewerkingen worden losgelaten.

Voor bruikbare simulaties: Definieer ingang M en voeg Scope toe. S&R-IO/3/24 Ronald Aarts UT / CTW / WA


§ 3.1

Voorbeeld 2: Slinger op wagentje x

F

Differentiaalvergelijkingen voorbeeld 2 — Intro x

x

Dit voorbeeld heeft twee vrijheidsgraden: positie x en hoek θ. Er zijn twee (niet-lineaire) gekoppelde tweede orde differentiaalvergelijkingen voor x ¨ en θ¨.

F θ g

θ

§ 3.2

g

F

Linearisatie voor de gewone slinger (voorbeeld 2a, |θ| 1) levert:

Voorbeeld 2a: Voorbeeld 2b: Gewone slinger op een wagentje Inverse slinger op een wagentje Aandrijving met kracht F en meten van positie x en hoek θ.

g

 1 lθ ¨ = F,  (mw + ms )¨ x + dx˙ + ms 2  m 1 l¨ 1 1 2 ¨ + m g lθ = 0. s 2 x + ms 3 l θ s 2

Hoe op te lossen? Druk x ¨ en θ¨ uit in de rest (oplossing van lineair stelsel, appendix G).

Viskeuze wrijving van wagentje: Ff = −d x. ˙ S&R-IO/3/26 Ronald Aarts UT / CTW / WA


θ

§ 3.3

Overdrachtsfuncties voor voorbeeld 2a

DV’s voorbeeld 2a — Oplossingen

x

Wrijvingsloze (d = 0) en homogene (F = 0) oplossingen. ˙ θ(0) = 0,

θ(0) = θ0,

Vanuit stilstand:

θ(t) = θ0 cos ωt

θ [rad]

x [m]

Oplossing:

ω=

met

x(0) = 0 s

en

Wederom associatie van tijdafgeleiden en vermenigvuldigen met s

6g(mw + ms) . l(4mw + ms)

0.005

0.05

0.5

0

0

0

0.01

0.1

1

0

0

0

−0.01

−0.1

−1

  (mw + ms ) s2x + d sx + ms 1 l s2θ = F, 2  m 1 l s2 x + m 1 l2 s2 θ + m g 1 l θ = 0. s3 s 2 s2

x(0) ˙ =0

g

Ingang F en uitgang θ, dan elimineren van x uit deze vergelijkingen en na “even doorpakken”

x

F

G3(s) = g

F

θ

θ

θ −s , = 2 1 2 3 F ( 3 mw + 6 ms)l s + 3 dl s2 + (mw + ms )g s + dg

en invullen numerieke waarden (tabel 3.1) 0

5 t [s]

10

0

5 t [s]

lineair model,

10

0

5 t [s]

10

G3(s) =

niet-lineair model

−s

1.5 s3 + 4 s2 + 29.4 s + 58.9

.

Noot: x kan ook als uitgang worden genomen: Overdrachtsfunctie G4(s). S&R-IO/3/28 Ronald Aarts UT / CTW / WA


§ 3.5 § 3.4

Toestandsvergelijkingen voor voorbeeld 2a

Blokschema voor voorbeeld 2a x

Zowel x ¨ als θ¨ moeten twee keer ge¨ıntegreerd worden:

Met oplossing voor x ¨ en θ¨ en introductie van hoeksnelheid van de slinger ω = θ˙ en snelheid van het wagentje v = x˙ volgt vierde orde stelsel

F d theta/d t (t=0)

  x˙ =         v˙ =

 θ˙ =         ω ˙ =

v, − 4mw4d +ms v

d2 theta/d t2 1

sg + 4m3m θ w +ms

+ 4mw4+ms F,

0

theta(t=0) theta0

d theta/d t

1 s

theta

1 s

1 theta

d2 theta/d t2 d x/d t (t=0)

0

x(t=0)

g

0

ω, 6d v (4mw +ms )l

w +ms )g − 6(m θ (4m +m )l w

s

− (4m 6+m )l F. w s

Hieruit volgen vrij eenvoudig de toestandsvergelijkingen.

d2 x/d t2 2 d2 x/d t2

1 s

d x/d t

1 s

x 2 x

Hierin kan de expliciete berekening van x ¨ en θ¨ worden opgenomen, zie figuur 3.14 in dictaat. S&R-IO/3/30 Ronald Aarts UT / CTW / WA


θ

§ 3.6

Representaties in elkaar omzetten

Van blokschema naar toestandsvergelijkingen

• Differentiaalvergelijking(en) ↔ overdrachtsfunctie.

x˙ = Ax + B u, y = Cx + D u.

• Differentiaalvergelijking(en) → toestandsvergelijkingen. • Toestandsvergelijkingen → overdrachtsfunctie. • Differentiaalvergelijking(en) → blokschema.

• Als de toestandsvector x (dus de toestanden) zijn gekozen en ingang(en) u en uitgang(en) y al waren afgesproken, ligt de toestandsbeschrijving vast.

Zijn er nog andere handigheidjes en/of kunnen we Matlab nog meer inschakelen?

• Met het Matlab commando linmod kunnen van een blokschema de toestandsmatrices A, B , C en D worden bepaald. • Hierbij neemt Matlab de uitgangen van de integratoren als toestanden!

• Blokschema manipulaties om een overdrachtsfunctie af te leiden.

• M.a.w. het aantal integratoren bepaalt het aantal toestanden en dus de orde van het systeem.

• Matlab commando’s linmod, tf en ss (voor WB niet verplicht). • Blokschema → toestandsvergelijkingen (voor IO niet verplicht).


Van blokschema naar toestandsvergelijkingen (2)


Van blokschema naar toestandsvergelijkingen (3) theta(t=0) theta0

theta(t=0) theta0 1

3/ms/l^2

M 1

3/ms/l^2

M

1 s

1 s

hoeksnelheid

hoek

1 s

1 s

hoeksnelheid

hoek

1 theta

1 theta

b

b

M ms*g*l/2

g

θ

• De ingang u is het motormoment M en de uitgang y is de hoek θ. • Er zijn twee Integrator blokken met uitgangen: hoeksnelheid ω en hoek θ van de slinger. Neem deze als toestanden. Het is een tweede orde systeem. S&R-IO/3/34 Ronald Aarts UT / CTW / WA

ms*g*l/2

• Volg de ingangen van de integratoren tot in het rechterlid uitdrukkingen staan met alleen toestanden en ingang: msgl 3 θ − b ω . M − θ˙ = ω en ω˙ = msl2 2 M • Idem voor uitgang y = θ. g

⇒ toestandsvergelijkingen. S&R-IO/3/35 Ronald Aarts UT / CTW / WA

θ

Voorbeeldsysteem 1a: Blokschemamanipulaties Blokschemamanipulaties theta(t=0) theta0

Voor overdracht uit blok is het handig om lussen te kunnen “wegwerken”: u_a

1 u

Ga

y_a

1 y

LTI System 1 y_b

Gb

u_b

LTI System 2

y = Ga · u a

en

ua = u − Gb · y,

1

3/ms/l^2

M

Wegwerken van ua levert y = Ga (u − Gby) , y = Gau − GaGby, (1 + GaGb)y = Gau,

1 s

1 s

hoeksnelheid

hoek

1 theta

b

M

ms*g*l/2

en na herschrijven

g

Voor de “binnenlus” met de wrijving geldt

y rechtdoorgaande weg Ga(s) = = . u 1 + rondgaande weg 1 + Ga(s)Gb (s)

θ

3 1

rechtdoorgaande weg 3 ms l2 s = . = 1 + rondgaande weg msl2 s + 3b 1 + 3 2 1s b ms l



Van toestandsvergelijkingen naar overdrachtsfunctie

Voorbeeldsysteem 1a: Blokschemamanipulaties (2) theta(t=0) theta0

3

1 M

ms*l^2.s+3*b

1 s

Transfer Fcn

hoek

Herschrijven eerste vergelijking van de toestandsvergelijkingen tot

x˙ − A x = B u.

1 theta

Met een eenheidsmatrix I en na Laplace transformatie M

ms*g*l/2

g

Negeer beginconditie θ0, dan resterende lus: 3

G1(s) =

1

θ rechtdoorgaande weg ms l2 s+3b s = = . 1m g 1l 3 M 1 + rondgaande weg 1+ 2 s s 2 ms l s+3b

Na opschonen:

3 θ = G1(s) = . M msl2 s2 + 3b s + 3 2 ms gl

θ

(sI − A) x(s) = B u(s). Indien inverteerbaar is, dan oplossing

x(s) = (sI − A)−1 B u(s). zodat y(s) = C (sI − A)−1 B u(s) + D u(s).



Voorbeeld 1a: Gewone slinger De gezochte overdrachtsfunctie is dus

  θ˙ =

y(s) G(s) = = C (sI − A)−1 B + D . u(s)

 ω ˙

ω,

= − 3g 2l θ

− m3bl2 ω s

M

+ m3l2 M. s g

Na Laplace transformatie: Deze uitdrukking oogt weliswaar eenvoudig op het eerste gezicht, maar zal in de praktijk bij wat grotere systemen toch moeilijk toepasbaar zijn door de benodigde matrixinversie.

  sθ =  sω

θ

ω,

= − 3g 2l θ

− m3bl2 ω s

+ m3l2 M. s

Elimineer ω:

Voor een handmatige afleiding is het dan verstandiger om de toestandsvergelijkingen direct naar het Laplace domein te transformeren en ´ voor e´ en ´ te elimineren. dan “met verstand” de (ongewenste) toestanden e´ en

s2 θ = −

3g 3b 3 θ− sθ + M. 2 2l msl msl2

(Niet voor IO)

Verzamelen van de termen met θ: Matlab commando: tf

s2 θ +

3g 3 3b sθ + θ= M 2 msl 2l msl2

⇒ G1(s).



§ 3.7

§ 3.8

Discrete parameter systemen

Teruggekoppelde systemen

Modellen in de conceptfase van een systeemontwerp moeten niet al te gedetailleerd zijn. 1 M

3/ms/l^2

Scope

Voorbeeld: de hoek van een slinger, terwijl slinger misschien wel elastisch kan doorbuigen.

M C theta_ref

Regelaar

M

De tegenhanger: gedistribueerde parameter modelvorming. Deze leveren ¨ differentiaalvergelijkingen (PDV’s) met bv. de temperatuur een functie partiele van de tijd t en plaats. Voor numerieke oplossing wordt vaak een eindige elementen aanpak gebruikt. S&R-IO/3/42 Ronald Aarts UT / CTW / WA

1 s hoeknl

1 theta

b

theta

Niet−lineaire slinger ms*g*l/2

Dit college: discrete parameter modelvorming of lumped parameter. Een eigenschap van een systeem wordt beschreven met een eindige set grootheden, die (alleen) een functie van de tijd t zijn en leiden tot gewone differentiaalvergelijkingen met de tijd als de onafhankelijke variabele.

1 s hoeksnelheidnl

Volledige schema met slinger en regelaar

sin sin

Animation Function

Subsystem niet-lineaire slinger model

Later in dit college beschouwen we het gebruik van regelaars. Voorbeeld: Het regelen van de stand van de inverse slinger. Ingang is nu een referentiehoek θref in plaats van het koppel M zoals voorheen! “open lus” versus “gesloten lus” configuratie. S&R-IO/3/43 Ronald Aarts UT / CTW / WA

Hfd. 5

Teruggekoppelde systemen (2)

Waar zijn we bij het begin van hoofdstuk 5?

Gesimuleerde hoek van de slinger: C(s) = 5

C(s) = 10

2π θ [rad]

We hebben kennis gemaakt met een aantal modelrepresentaties (hfd. 3): C(s) = 10*(s/3+1)/(s/30+1)

2π

• Differentiaalvergelijking(en).

2π

• Overdrachtsfunctie. π

π

• Toestandsvergelijkingen.

π

• Blokschema. 0

0 0

5 t [s]

10

0 0

5 t [s]

10

0

5 t [s]

en een analyse van het dynamische gedrag van de systemen (hfd. 4):

10

• Tijddomein: Bv. stapresponsie referentie θref ,

• Frequentiedomein: Bode diagrammen

uitgang θ

Deze zijn toegepast op mechanische systemen.

Afhankelijk van keuze regelaar → Vanaf hoofdstuk 9. S&R-IO/3/44 Ronald Aarts UT / CTW / WA


Hfd. 5

§ 5.2

En wat gaan we in de hoofdstukken 5 en 6 doen?

Een translerende massa

• Een systematische aanpak voor de modellering van translerende mechanische systemen opzetten in hoofdstuk 5.

Tweede wet van Newton:

• “Lumped” ofwel discrete parameter modellen: • alleen grote lijnen. • systeem verdelen in elementaire componenten.

“De verandering van de hoeveelheid beweging is recht evenredig met de bewegingskracht.”

• Startpunt is een blokschema! • de componenten hebben duidelijke ingangs-uitgangs-relaties. • operatie op energie vormen de basis.

• Hieruit volgen toestandsvergelijkingen en/of overdrachtsfuncties (met de hand en met Matlab). • Uitbreiden naar roterende mechanische systemen in hoofdstuk 6 (IO niet). • Dan tevens aandacht voor diverse overbrengingen.


“De hoeveelheid beweging is de maat voor datgene, dat gemeenschappelijk wordt veroorzaakt door de snelheid en de hoeveelheid materie.” → impuls p=m·v dp = F, dt p v= . m

p˙ =

(behoudswet) (constitutieve relatie)


Input output relaties

¨ Differentieren heeft nadelen:

Voor een blokschema moeten we een relatie tussen ingang (input) en uitgang (output) van een blok kennen.

• Er kan geen beginwaarde worden opgegeven. Bij integreren: v = v0 +

Fysica: Geen onderscheid tussen oorzaak en gevolg.

Z

• Het is numeriek erg gevoelig voor ruis (uit § 3.5):

Te kiezen:

2

2

1

1

1

0

0

−1

v ingang, F uitgang, dan F = m

F ingang, v uitgang, dan v =

−2

dv ¨ , dus differentieren. dt

1 t F dt, dus integreren. m 0

∫ x dt

2

x

(causaal verband)

dx/dt

Computer: Wel output = functie(input)

1 t F dt m 0

−1 0 π/2

π 3π/2 2π t [s]

−2

0 −1

0 π/2

−2

π 3π/2 2π t [s]

0 π/2

π 3π/2 2π t [s]

Resultaat van differentiatie (links) en integratie (rechts) van een signaal met een beetje ruis (midden).

Z



§ 5.2.2

Blokschema voor massa element

§ 5.2.3

Kinetische energieopslag in de massa

Op basis van integraalvorm: v= F

∫

1 m

Z

v=

F dt

p

v

F

1/m

Z

Energiefunctie of Hamiltoniaan: E(p) =

F dt m

a

1 s

1/m 1/m

v

Integrator

Co-energiefunctie of Lagrangiaan: E ∗(v) = v v=

Met positie als uitgang F

a 1/m 1/m

1 s Integrator1

v

1 s

p2 . 2m 1 mv 2. 2 v

p m

dE(p) = v ⋅dp

dv

dE *(v) = p ⋅dv

x

dp

p

p=mv

(a)

Integrator2

p

(b)

→ Massa-element: Opslag van kinetische (co-)energie.

→ Dit is de elementaire bouwsteen voor het massa element! S&R-IO/5/6 Ronald Aarts UT / CTW / WA


§ 5.3

Elastisch element ofwel veer F = k · ∆x = k · (x2 − x1)

met veerconstante k (wet van Hooke).

x1

§ 5.3.4

Componenten versus ideale elementen

x2

m1

Elastische metalen strip die ook massa heeft (links) weer te geven in discrete parameter model (rechts) ?

m2

x, v

xl

x1 ∆ x x2

dm

meq

F

k

Sum

¨ energieopslag: V (x) = → Potentiele

F

F k

k

¨ energie: Stijfheid k (rechts) is stijfheid strip (links). Met potentiele

1 2 kx . 2

→ Dit is de elementaire bouwsteen voor het veer element! S&R-IO/5/8 Ronald Aarts UT / CTW / WA


Massa met kinetische co-energie: Links integreren over strip: E∗ =

1 2

Zl

Let wel: De equivalente grootheden hangen af van het veronderstelde gedrag en dus van inklemming, enz.

Rechts:

vx(xl )2 dm.

xl =0 1m 2 ∗ v . E =

E∗ =

2 3

• Tweede voorbeeld: Beide kanten van de strip bewegen. → Verdeel massa gelijk over beide uiteinden.

1 meq v 2. 2

• Derde voorbeeld: Strip met buigbelasting.

Dus de strip is te modelleren met een equivalente massa

Equivalente massa 1 meq = m. 3

l

x, v

xl F dm

k meq

x F

F


b

h

meq,b = 0.23 m. keq,b =

3EI , l3

oppervlaktetraagheidsmoment

I=

Equivalente stijfheid met

b h3 . 12


§ 5.4

Dissipatief element ofwel demper

§ 5.4.1

Niet-lineaire wrijving

Algemeen: Fd = functie(v). Viskeuze demper Fd = D · v.

Viskeuze demping of viskeuze wrijving is lineair: Fd = D · v.

Hierin is D de zogenaamde dempingsconstante met dimensie [Ns/m]. v

Fd

I.h.a. is demping/wrijving niet-lineair, bv. droge of Coulombse wrijving. viskeuze vloeistof

v1 ∆ v v2

(a)

Fd

(d)

v viskeuze vloeistof

Fw

F

D

Sum

Fd

Fd D

v

v

v

Fd

(b) D

In dit college: Alleen lineaire systemen.

v

(c)

(e) S&R-IO/5/12 Ronald Aarts UT / CTW / WA


§ 5.5

§ 5.7

Star gekoppelde massa’s Vervangingsmassa mtot =

X

Systematisch opstellen van model: Case

mi.

Product massa m

i

Weegplatform massa mp

§ 5.6

Vrijlichaamsdiagrammen Optellen van alle externe krachten Fext,i die op een massa (of star gekoppelde massa’s) m werken p˙ =

X

Fext,i

(behoudswet)

i

v=

p m

of v˙ = (constitutieve relatie)

1X Fext,i. m i


Veer massa mv stijfheid k

Geleiding massa ms Demper massa md demping D

1. Identificeer de massa’s. Voeg star gekoppelde massa’s samen tot vervangingsmassa. Bepaal aantal vrijheidsgraden. 2. Identificeer elastische elementen en dempers. Bepaal de krachten. 3. Geef deze krachten in vrijlichaamsdiagrammen (VLS-en). 4. Stel blokschema op uit de VLS-en. 5. Met dit blokschema in Simulink kunnen simulaties worden uitgevoerd. S&R-IO/5/15 Ronald Aarts UT / CTW / WA

Case: Blokschema

Case: IPM & VLS Product massa m

Fg

g Step:m

Weegplatform massa mp

m

g

F

Fv

a

Fd

1/meq

v

1 s

−K−

x

1 s

snelheid

positie

Scope:x

Krachtensommatie

mp

Veer massa mv stijfheid k

D D

mv /3 Geleiding massa ms

k

x

ms

k

meq k

md

Demper massa md demping D

0 D Fg

Fd

Ideaal Fysisch Model

Vrijlichaamsdiagram

IFM / IPM

VLS

Invoeren in Simulink: simuleren en/of toestandsvergelijkingen bepalen.

x [m]

−0.005 Fv

−0.010

D=20

−0.015

D=6 D=2

−0.020

0

1

2 t [s]


3

4


Case: Bode diagram en eigenfrequentie Case: Overdrachtsfunctie en toestandsvergelijkingen Toestandsvergelijkingen: Neem de uitgangen van de integratoren als toestanden (x en v) en bepaal de relaties voor de ingangen (x˙ en v): ˙

Overdracht van neerwaartse kracht op plateau Fg naar uitwijking x: G2(s) =

1 x(s) = Fg (s) meq s2 + D s + k

  x˙ = v   

−1

|G(jω)|

10

D k g    ·v− ·x− · m,  v˙ = − meq meq meq

10

D=20

−5

Bode volgens Matlab afhankelijk van demping D

−g x(s) = . 2 m(s) meq s + D s + k


∠ G(jω)

10

Overdrachtsfunctie: Uit toestandsvergelijkingen of met blokschemamanipulaties: G(s) =

D=2

−3

0 −90 −180 0 10

D=2 D=20

1

10 ω [rad/s]

2

10


§ 5.7.4

Case: Bode diagram en eigenfrequentie (3)

Case: Bode diagram en eigenfrequentie (2) −1

10 |G(jω)|

Herkennen “standaard” tweede orde overdracht: k

1 meq . G2(s) = D k 2 ks + meq s + meq

ωn =

zodat:

ζ = 0.026 ζ = 0.078 ζ = 0.26

k = meq

s

D=20

−5

1 D 2= k , en verder: 2ζωn = en ωn k meq meq s

10 10

∠ G(jω)

Voorfactor

D=2

−3

1000 D D = 26 rad/s en ζ = = p : 1.5 2meqωn 2 meqk

(D = 2 Ns/m), (D = 6 Ns/m), (D = 20 Ns/m).

0 −90 −180 0 10

Omslagpunt bij 26 rad/s t.g.v. zwak gedempte polenpaar.

D=2 D=20

1

2

10 ω [rad/s]

10

Laagfrequent: G(s) ≈

1 , dan is |G(iω)| constant en 6 G(iω) = 0o. k

Hoogfrequent: G(s) ≈

1 , dan |G(iω)| helling −2 en 6 G(iω) = −180o. meqs2



§ 5.7.5

Case: Karakteristieke eigenschappen stapresponsie ωn = 26 rad/s en

0

x [m]

−0.005

ζ = 0.026 of 0.078 of 0.26.

−0.010

D=20

−0.015

Dan ωd = ωn ·

D=6 D=2

−0.020

0

1

2 t [s]

3

4

q

1 − ζ 2 ≈ ωn

Eerste deel systematische modelvorming: Aanwijzen van de kinetische energie ¨ energiebuffers (elastische elementen) en buffers (massa’s), potentiele dissipatieve elementen (dempers). Na elementaire decompositie (Ideaal Fysisch Model) opstellen van blokschema uit elementaire submodellen:

en θ = arcsin ζ ≈ ζ.

x

Massa π +θ π Rise time: tr = 2 ≈ = 0.06 s. ωd 2ωn

2% settling time: ts,2% ≈

4 , met ζωn

ζωn =

§ 5.8

Uitleiding

m

x1

Translatieveer

x2

1 PF x ¨= m ext

F = k(x1 − x2)

k

F

a 1/m 1/m

v

1 s Integrator1

x1 ∆ x x2

F k k

Sum

D , 2meq

v1

Translatiedemper

dan ts,2% ≈ 5.9 s of 2.0 s of 0.59 s. S&R-IO/5/22 Ronald Aarts UT / CTW / WA

1 s Integrator2

v2 D

Fd = D(v1 − v2)

v1 ∆ v v2 Sum

Fd D D


x

§ 4.1

Hfd. 4

Analyse van dynamische systemen

Polen, nulpunten en eigenwaarden

We hebben kennis gemaakt met een aantal modelrepresentaties (hfd. 3):

¨ van een teller en noemer van polynomen in s. • Overdrachtsfuncties is quotient

• Differentiaalvergelijking(en).

• Beschouw deze als complexe functie G(s) van complexe variabele s.

• Toestandsvergelijkingen.

Nu gevolgd door analyse van het dynamische gedrag van de systemen:

• Polen: De waarden van s waarvoor de noemer nul is (en G(s) naar oneindig gaat). Vanwege y(s) = C (sI − A)−1 B + D . G(s) = u(s) zijn de polen ook de waarden van s waarvoor de inverse (sI − A)−1 niet bestaat. Dat zijn de eigenwaarden van A.

• Tijddomein: Bv. stapresponsie

• Frequentiedomein: Bode diagrammen

Nulpunten van hogere graads polynomen zijn niet eenvoudig uit te rekenen.

Uitgangspunt: Overdrachtsfunctie.

Wel van eerste en tweede graads uitdrukkingen.

• Nulpunten: De waarden van s waarvoor de teller nul is (en G(s) ook).

• Overdrachtsfunctie. • Blokschema.

Deze zijn toegepast op slinger systemen (vorige hoofdstuk) & landend vliegtuig (opgave).



M

M

Polen en nulpunten van gewone slinger (2)

Polen en nulpunten van gewone slinger Beschouw voorbeeldsysteem 1a van de gewone slinger: G1(s) =

g

θ

¨ polen in s = • D > 0 dan twee verschillende reele

1 1 msl2 s2 + b s + msgl = 0 3 2

3 √ −3b ± D. 2 2msl 2ms l2

¨ polen in s = • D = 0 dan twee samenvallende reele

−3b . 2msl2

• D < 0 dan een complex geconjugeerd polenpaar

Oplossingen: −b ±

θ

2 3 D = b2 − m2 s gl 3

θ 1 . = 1 1 m gl 2 2 M m l s + b s + s s 3 2

Geen nulpunten, wel polen:

s=

g

Afhankelijk van teken van de discriminant

in s =

q

2 m2gl3 b2 − 3 s . 2 m l2 3 s

3 √ −3b ± −D i, met complexe getal i2 = −1. 2ms l2 2msl2

¨ of een complex geconjugeerd paar. ⇒ Polen en nulpunten zijn altijd reeel S&R-IO/4/3 Ronald Aarts UT / CTW / WA


M

Polen en nulpunten met M ATLAB

Polen en nulpunten van gewone slinger (3) g

Geen wrijving (b = 0), dan twee zuiver imaginaire polen in s

s=± −

θ

s

3g 3g =± i = ±3.8 i (b = 0). 2l 2l

1

3 = 2 . s + 0.6 s + 14.7

√

>> pole(G1)

En als de toestandsmatrices zijn gedefinieerd:

Negatieve discriminant D = −58.5, dus complex geconjugeerd polenpaar −0.6 s= ± 2

θ

-0.3000 + 3.8243i -0.3000 - 3.8243i

Getallenvoorbeeld van de polen met wrijving: Beschouw noemer van

0.33 s2 + 0.2 s + 4.9

g

>> G1 = 1/(ms*lˆ2/3*sˆ2 + b*s + ms*g*l/2); >> zero(G1) Empty matrix: 0-by-1

Precies gelijk aan de eigenfrequentie van de slinger vermenigvuldigd met i.

G1(s) =

M

>> eig(Ass)

% Systeem matrix A

-0.3000 + 3.8243i -0.3000 - 3.8243i

58.5 i = −0.3 ± 3.8 i. 2 S&R-IO/4/5 Ronald Aarts UT / CTW / WA


Ligging van de polen

M

Polen en responsie

M

Aangegeven met kruisjes in het complexe s-vlak (onder ingezoomd):

0.1

0 −5 −5

0

5 0 −5 −5

5

0

−0.1 0

5 t [s]

−0.1 10 0

0

5 t [s]

−0.1 10 0

b=0

0

5 t [s]

−0.1 10 0

5 t [s]

10

4

0 Reële as

Toenemende b: Meer demping.

0 −5 −5

5

1

4

0 Reële as

0 −5 −5

5

1

4

0 Reële as

5

b = 0.5

5

3 −1

0 Reële as

b = 0.2

5

3 −1

0

5

Reële as

b = 0.1

5

3 −1

0

5

Reële as

Imaginaire as

0

Imaginaire as

θ [rad]

Reële as

b = 0.5 Imaginaire as

0.1

b=0.5

5

b = 0.2

Imaginaire as

0.1

b=0.2

b = 0.1 Imaginaire as

0.1

b=0.1

b=0

Imaginaire as

b=0.0

g

θ

Imaginaire as

Gewone slinger met vaste beginhoek θ0, zonder M en met variaties van de demping b.

Imaginaire as

g

1

5 4 3 −1

0

1

Reële as

Complex polenpaar op de imaginaire as: ongedempte trilling. ¨ deel: Steeds meer demping. Negatiever reeel S&R-IO/4/7 Ronald Aarts UT / CTW / WA


θ

x

Polen en nulpunten van gewone slinger op wagentje

§ 4.1.2

Polen en de oplossing van de homogene differentiaalvergelijking

F

Vereenvoudiging: Geen demping (d = 0), dan g

2 l s2 + g x 3 = 2 G4d(s) = 1 m )l s4 + (m + m )g s2 F ( 3 mw + 6 s w s

Complex nulpuntenpaar op de imaginaire as: s = ± Vier polen: s = 0 ∨ s = 0 ∨ s = ±

s

s

θ

Oplossingen van de vorm

(d = 0). y(t) = y0est,

3g i. 2l

dan moet s een pool van de overdrachtsfunctie zijn. ¨ deel: Afnemende exponentiele ¨ term. • Pool met negatief reeel

6g(mw + ms) i = ±4.43 i. l(4mw + ms)

• Zuiver imaginaire pool: Ongedempte harmonische trilling.

¨ deel: Toenemende exponentiele ¨ term. • Pool met positief reeel Conclusie: Een systeem met rechterhalfvlak (RHP) polen is instabiel!

Twee samenvallende polen in de oorsprong: “vrije massa”. Complex polenpaar op imaginaire as in ±4.43i: eigenfrequentie. S&R-IO/4/9 Ronald Aarts UT / CTW / WA


§ 4.1.1

zpk notatie voor de overdrachtsfunctie

§ 4.2/§ 2.2.1

Tijddomein: Impuls- en stapresponsie Toont direct de polen pi en nulpunten zi: G(s) = K

Responsie op bv. eenheidsstap:

(s − z1)(s − z2)...(s − zm) . (s − p1)(s − p2)...(s − pn)

Eventueel voor polenparen en nulpuntenparen een tweedegraads uitdrukking.

1(t − t0) =

(

0 1

t < t0 , t > t0

δ(t)

1(t)

In M ATLAB:

1

>> zpk(G1)

0

Zero/pole/gain: 3 --------------------(sˆ2 + 0.6s + 14.71)

Eenheidsstap


t

0

t

Eenheidsimpuls


§ 4.2.1

Eindwaarde en stationaire versterking Responsie van een systeem

Met M ATLAB berekende impuls- en stapresponsie van gewone slinger:

• De responsie van een systeem hangt sterk af van de polen.

Impulsresponsie G1(s)

y(s) = G(s) u(s)

0.4

0.5

0.3 θ [rad]

θ [rad]

• De responsie van een systeem hangt af van de ingang en volgt m.b.v. Laplace transformaties uit

Stapresponsie G1(s)

1

0 −0.5

.

−1

1 Stapresponsie: y(s) = s(s) van u(s) = 1(s) = . s

0.2 0.1

0

5 t [s]

10

0

0

5 t [s]

10

De stapresponsie convergeert naar een bepaalde eindwaarde.



Eindwaarde en stationaire versterking (3)

Eindwaarde en stationaire versterking (2)

Eenheidsstap als ingangssignaal: De eindwaarde volgt direct uit het zogenaamde eindwaarde theorema (Engels: Final Value Theorem):

lim y(t) = lim s G(s)

t→∞

Beschouw een signaal y(t) en zijn Laplace getransformeerde y(s). Als alle polen van s y(s) in het linkerhalfvlak liggen, dan geldt voor de limiet lim y(t) = lim s y(s).

t→∞

1 = lim G(s) = G(0), s→0 s

nu op voorwaarde dat G(s) alleen polen in het linkerhalfvlak heeft en dat de limiet voor s → 0 kan worden gevonden door s = 0 in G(s) in te vullen. Bij stap ter grootte h als ingang:

s→0

lim y(t) = G(0) · h.

Toepassen op systeem G(s):

t→∞

Deze G(0) is de stationaire versterking of “DC gain”.

lim y(t) = lim s G(s) u(s),

t→∞

s→0

s→0

uiteraard op voorwaarde dat s G(s) u(s) alleen polen in het linkerhalfvlak heeft. S&R-IO/4/15 Ronald Aarts UT / CTW / WA

1 = 0.20. Voorbeeld gewone slinger: G1(0) = 1 m 2 s gl S&R-IO/4/16 Ronald Aarts UT / CTW / WA

§ 4.2.2

Stapresponsie van een eerste orde systeem

Stapresponsie van een eerste orde systeem (2)

σ ´ pool in −σ: G(s) = Beschouw systeem met e´ en s+σ (Genormeerd z.d.d. G(0) = 1).

G(s) =

σ s+σ

Impulsresponsie: g(t) = σe−σt (voor t ≥ 0) Impulsresponsie 2

s(t) = 1 − e−σt (voor t ≥ 0)

Stapresponsie:

Stapresponsie 1

Impulsresponsie

Stapresponsie

2

1−1/e

1.5 g(t)

1

1

0.5

s(t)

s(t)

g(t)

1.5

1

1−1/e

0.5

0

0

1

2

3

0

4

0

1

2

t [s]

3

4

0

0

1

t [s]

G(s) =

1 , s+1

G(s) =

2

3

4

t [s]

0

0

1

2

3

4

t [s]

1 geeft aan hoe lang het duurt tot de responsie op σ 1/e = 37% van de eindwaarde is.

2 s+2

Tijdconstante τ =



Stapresponsie van een eerste orde systeem (3)

§ 4.2.3

Stapresponsie van een tweede orde systeem

Stapresponsie en polen-nulpuntenplot met Matlab: Step Response

Pole−Zero Map

Tweede orde overdrachtsfunctie zonder nulpunten: G(s) =

1

1

0.8

Amplitude

Imag Axis

0.5

0

−0.5

−1 −2

p1p2 . (s − p1)(s − p2)

¨ en verschillend: Combinatie van twee eerste Situatie 1: Polen p1 en p2 reeel orde responsies. Vaak “snelle” en “langzame” pool, dan dominant eerste orde gedrag.

0.6

0.4

0.2

0 −1.5

−1

−0.5

0

0

1

2

4

5

6

Situatie 2: Polen p1 en p2 zijn samenvallend of een complex geconjugeerd polenpaar. Dan notatie:

Time (sec)

Real Axis

>> G=tf(1,[1 1]) Transfer function: 1 ----s + 1

3

>> pzmap(G); >> step(G);

Standaard tweede orde overdrachtsfunctie:

2 ωn G(s) = 2 2 s + 2ζωn s + ωn

¨ parameters ζ en ωn. met reele S&R-IO/4/19 Ronald Aarts UT / CTW / WA


M

Stapresponsie van een tweede orde systeem (2) 2 ωn G(s) = 2 2 s + 2ζωn s + ωn

Polen: p1,2 = −ζωn ±

Stapresponsie van een tweede orde systeem (3)

q

1 − ζ 2 ωn i,

g

Beschouw voorbeeldsysteem 1a van de gewone slinger:

θ

3g

zijn complex geconjugeerd polenpaar of samenvallende als 0 ≤ ζ ≤ 1.

G1(s) =

Pole−Zero Map

ζ=0 ζ = 0.5 ζ = 0.7

Imag Axis

500

Dit is een standaard tweede orde overdracht met: θ

jωd

ζ=1

0

• Een constante voorfactor G1(0) =

-ζωn

−500 −1000

−500

0

500

1 θ 2 2l = 1 · . = 3g 1 m gl 2 2 M m m l s + b s + s lg s2 + 3b 2 s + 2l 3 s 2 s ms l

3g 2 , dus ωn = • ωn =

1000

Real Axis

2l

• ζ is de relatieve demping: ζ = 0 ongedempt, ζ = 1 kritisch gedempt. • ωn is de ongedempte eigenfrequentie of ongedempte natuurlijke frequentie.

• 2ζωn =

s

2 = 0.20. mslg

3g = 3.84 rad/s (de bekende ongedempte eigenfrequentie). 2l

3b 3b 1 , dus ζ = = 0.0782 msl2 msl2 2ωn



Stapresponsie van een tweede orde systeem (4) Stapresponsie van een tweede orde systeem (5) In M ATLAB:

M

>> G1

g

θ

Transfer function: 1 -------------------------0.3333 sˆ2 + 0.2 s + 4.905

2 ωn Eenheidsstapresponsie van G(s) = 2 m.b.v. Laplace: 2 s + 2ζωn s + ωn

θ -ζωn

>> damp(G1)

jωd

e−ζωn t s(t) = 1 − q [cos(ωdt − θ)] , 1 − ζ2

met gedempte natuurlijke frequentie ωd = ωn ·

7.82e-002 7.82e-002

3.84e+000 3.84e+000

Trilling met omhullende:

1 0.5 0


1 − ζ2

2π/ωd

Freq. (rad/s) Amplitude

-3.00e-001 + 3.82e+000i -3.00e-001 - 3.82e+000i

Damping

q

Step Response

en sin(θ) = ζ. 1.5

Eigenvalue

t ≥ 0.

0

5

10 Time (s)

15

20S&R-IO/4/24 Ronald Aarts UT / CTW / WA

Neem



¨ Stapresponsies bij varierende relatieve demping

¨ Stapresponsies bij varierende ωn en constante ζ

ωn = 10 rad/s

ζ =0–1

en

en

2 = 20 – 100 rad2/s2 ωn

Positie van de polen als functie van ωn

Stapresponsies als funcie van ζ

Positie van de polen als functie van ζ 10

1.4

6

1.2

4

1.5

5

(in 5 stappen): Stapresponsie als functie van ωn

8

2

−5

1

0.5

2

Amplitude

0

Imag Axis

1 Amplitude

Imag Axis

ζ = 0.7

Neem

(in 5 stappen):

0 −2

0.2

−6 0 −15

−10

−5

0

5

10

15

0

1

2

3

4

Time (sec)

Real Axis

−8 −7

0.6 0.4

−4

−10

0.8

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

0

0

0.5

Real Axis


• Rise time (cos(ωdt − θ) = 0) tr =

1.5 Overshoot

π/2 + θ ωd

n ts ) √ • 2% settling time ( exp(−ζω ≤ 0.02) 2

1 s

1−ζ

4 ts,2% ≈ ζωn

0.5

tr tp Time (s)

• Overshoot (bij tp)

100 80 60

20 0

0.2

0.4

ζ

0.6

0.8

1.0

2 ωn . Tot nu toe: Stapresponsie van G(s) = 2 2 s + 2ζωn s + ωn

Wat nu als de overdracht anders is?

Beschouw twee uitbreidingen:

π



x(tp ) − 1 = exp −ζ q  1 − ζ2 

40

0




• Voorfactor K = G(0) 6= 1: Eindwaarde is anders, maar dynamisch gedrag is feitelijk niet anders.

• Peak time (afgeleide 0) π tp = ωd

ts

% overshoot

0

1.5

Overdrachtsfunctie niet gelijk aan de “standaard” tweede orde overdracht

Stapresponsie van een tweede orde systeem (8) Karakteristieken:

1 Time (sec)




• De aanwezigheid van een nulpunt. • Een extra pool.


2

§ 4.2.4

Stapresponsie bij een extra nulpunt

Stapresponsie bij een extra nulpunt (2) Stapresponsie G(s) met LHP nulpunt

Stapresponsie G(s) met nulpunt

2

Polen in −ζωn ±

q

1.5

1 − ζ 2 ωn i.

Met ωn = 1 rad/s:

1

0

• Weinig effect op ts. • Veel invloed op overshoot en tr . • Vooral als α < 4 a` 5.

(s/αζ) + 1 G(s) = 2 s + 2ζ s + 1 1 1 s = 2 + 2 s + 2ζ s + 1 αζ s + 2ζ s + 1

α=5 α = 100

0.5

Nulpunt in −αζωn.

0

G(s)

1.5 s(t)

(s/αζωn) + 1 (s/ωn )2 + 2ζ(s/ωn ) + 1

s(t)

G(s) =

α=1 α=2

5 t [s]

10

1

G0(s)

0.5 Gd(s)

0 0

5 t [s]

= G0(s) + Gd(s)

10

De responsie van een systeem met nulpunt is die van het systeem zonder nulpunt G0(s) plus een bijdrage van de afgeleide Gd(s) S&R-IO/4/29 Ronald Aarts UT / CTW / WA


§ 4.2.5

Stapresponsie bij een extra pool

Stapresponsie bij een extra nulpunt (3) Stapresponsie G(s) met RHP nulpunt

1 0.5 s(t)

G(s) = G0(s) + Gd(s)

G(s) =

G0(s)

1 (s/αζωn + 1)(s/ωn )2 + 2ζ(s/ωn ) + 1

G(s)

Stapresponsie G(s) met extra pool

1.5

0

Als α < 0: −0.5 • Nulpunt in RHP. −1 • Bijdrage van Gd(s) begint negatief. • Responsie gaat dus eerst in de 0 verkeerde richting. • Niet-minimum fase systeem.

Polen in −ζωn ±

Gd(s)

en in −αζωn.

5 t [s]

10


q

1 − ζ 2 ωn i

• Weinig effect op ts. • Veel invloed op overshoot en tr . • Vooral als α < 4 a` 5.

α = 100 α=5

1 s(t)

1.5

α=2

0.5

α=1 0

0

• Als 0 < α 1 dan dominant eerste orde gedrag.

5 t [s]

10 S&R-IO/4/32 Ronald Aarts UT / CTW / WA

§ 4.3.1

§ 4.3

Responsie op harmonische signalen en Bode diagrammen

Frequentiedomein: Bode diagrammen

Met de theorie van Laplace transformaties kan de exacte interpretatie van een Bode diagram in het frequentiedomein worden afgeleid. De essentie is:

• De overdrachtsfunctie G(s) is ge¨ıntroduceerd via de associatie van de tijdafgeleide d/dt en de Laplace operator s.

f = 0.6 Hz

• Hoe visualiseren we een complexe functie (complex getal s → complex getal G(s), dus 2D → 2D)? • Een Bode diagram levert een analyse van een systeem in het frequentiedomein: Hoe reageert een systeem op harmonische (d.w.z. sinusvormige) signalen? • Voor een Bode diagram beschouwen we de complexe functie G(s) alleen voor imaginaire s, dus s = iω en worden grafieken gemaakt van de absolute waarde |G(iω)| en fase 6 G(iω) als functie van de hoekfrequentie ω.

¨ • Als een stabiel systeem G(s) wordt geexciteerd met een harmonisch ingangssignaal u(t) = u0 sin(ωt) dan zal de uitgang na het uitdempen van opstartverschijnselen ook een harmonisch signaal zijn, dus y(t) = y0 sin(ωt + φ) y0 = |G(iω)|. u0

• Amplitude verhouding

1 θ [rad]

• De overdrachtsfunctie G(s) kan ook als een complexe functie G van een complex getal s worden gelezen (en zo vonden we bv. polen en nulpunten).

0 −1 0

M

Beschouw voorbeeldsysteem 1a van de gewone slinger met M (t) = M0 sin(2πf t) , dan θ(t) = θ0 sin(2πf t + φ) f = 0.12 Hz

Imaginaire as |G(iω)| 6

⇒ M ATLAB demo sigpiezoplaysweep.m

Reële as

−0.2

−1 390

400

410

0 −0.01 78

80

82

15.5

1

1

0

0

0

−1 390

400 t [s]

410

Responsie op harmonische signalen en Bode diagrammen (3) De simulaties leveren drie punten in het Bode diagram: f = 0.12 Hz f = 0.6 Hz f = 3.0 Hz

(ω = 0.75 rad/s) amplitude θ0 = 0.21 (ω = 3.8 rad/s) amplitude θ0 = 1.3 (ω = 18.8 rad/s) amplitude θ0 = 0.009

fase φ ≈ 0o. fase φ ≈ −80o. fase φ ≈ −180o.

0

1

−1


|G1(iω)|

0

M [Nm]

f = 3 Hz

G(iω)

0.01

1

0

θ

16

80 t [s]

82

10

−2

10

−4

10

16.5

0

−1 78

15.5

16 t [s]

16.5


30

G(iω)

• Fase verandering φ = 6 G(iω).

∠ G1(iω)

θ [rad]

0.2

f = 0.6 Hz

g

20 t [s]


Responsie op harmonische signalen en Bode diagrammen (2)

10

−90 −180 −1 10

0

10

1

ω [rad/s]

10

2

10


§ 4.3.2

Responsie op harmonische signalen en Bode diagrammen (4) Interpretatie Bode diagram voor de gewone slinger met gelineariseerde differentiaalvergelijking:

• Matlab commando bode

θ(t) = θ0 sin(ωt + φ) ˙ θ(t) = θ0ω cos(ωt + φ) ¨ θ (t) = −θ0ω 2 sin(ωt + φ).

1 1 msl2 θ¨ + b θ˙ + msgl θ = M. 3 2

g

θ

1 msgl θ ≈ M. 2 De verhouding tussen hoek θ en moment M is de stationaire versterking G1(0).

• De (ongedempte) eigenfrequentie is

• Snel en makkelijk (als een computer in de buurt is). • Geeft echter weinig inzicht.

• Laagfrequent: Verwaarloos versnellingen, dan: s

Hoe tekenen we zo’n Bode plot?

M

3g = 3.84 rad/s. 2l

Opslingering! 1 ms l2 θ¨ ≈ M. 3 Dan zijn hoek θ en moment M in tegenfase en neemt de verhouding af met toenemende frequentie.

• Hoogfrequent: Versnelling belangrijkst, dan:

• En stimuleert daarmee veel trial en error. • Berekenen van de complexe functiewaarde van G(iω) voor een voldoende representatieve verzameling hoekfrequenties. • Bewerkelijk. • Schetsen als som van deelbijdragen in zowel amplitude als fase plot. • Geeft wel inzicht.

• Geeft later mogelijkheden om gericht goede instellingen voor een regelaar te vinden.



Bode diagrammen met M ATLAB

Bode diagrammen schetsen

bode(G1) Beschouw zpk notatie G(s) = K Magnitude (dB)

Bode Diagram 20 0

Voor Bode diagram s = iω, dus G(iω) = K

−20 −40

(iω − z1)(iω − z2)...(iω − zm) . (iω − p1)(iω − p2)...(iω − pn)

Schrijven elke factor in de teller en noemen als complex getal s1, ..., sm+n, dan

−60 0

Phase (deg)

(s − z1)(s − z2)...(s − zm) (s − p1)(s − p2)...(s − pn)

G(iω) = K

−45 −90

s1s2...sm . sm+1sm+2...sm+n

Imaginaire as

G(iω)

−135 −180 −1 10

|G(iω)| 0

1

10

10

2

10

Nu elke factor si in polaire notatie si = ri eiφi

Frequency (rad/sec)

Decibel schaal: |G|db = 20 log10 |G|

en

|G| = 10|G|db/20 .

6

G(iω)

Reële as S&R-IO/4/39 Ronald Aarts UT / CTW / WA


Bode diagrammen schetsen (3) Bode diagrammen schetsen (2) Dan G(iω) = K

Conclusie:

r1r2...rm ei(φ1 +φ2+...+φm−φm+1−φm+2−φm+n) rm+1rm+2...rm+n |G(iω)| = K

• Absolute waarde

r1r2...rm rm+1rm+2...rm+n

• Pool in de oorsprong (1/s termen) of nulpunt in de oorsprong (s termen). ´ (negatieve) reele ¨ pool of nulpunt. • Een

Vermenigvuldig deelbijdragen. Op log-schaal: Optellen!

• Een complex polen- of nulpuntenpaar.

6 G(iω) = φ1 + φ2 + ... + φm − φm+1 − φm+2 − φm+n

• Fase

Een Bode plot van een overdracht kan vrij eenvoudig worden geschetst door een aantal deelbijdragen bij elkaar op te tellen:

¨ Daarna met verkregen inzicht nog efficienter:

Eveneens optellen van deelbijdragen!

• Beschouw laag- en hoogfrequent asymptoten en tussenliggende omslagpunten. S&R-IO/4/41 Ronald Aarts UT / CTW / WA


Bode diagrammen: Polen/nulpunten in oorsprong

§ 4.3.3

Bode diagrammen: Pool / nulpunt in oorsprong • Pool in oorsprong G(iω) = 1/iω

1 • G(s) = sn = −n s

• Nulpunt in oorsprong G(iω) = iω

• G(s) =

1 ms2 2

n

G(s) = 1/ms

−180 1 ω [rad/s]

10

∠ G(iω) [deg]

180 90 0 0.1

1 ω [rad/s]

10


40

s

2

s

0

1/s

2

−40

1/s

180 90 0 −90 −180

s

0.1

1/s 2 1/s 1 ω [rad/s]

Dus helling n en fase 90o · n (ook voor asymptoten)

s

10

2

|G(iω)| [dB]

|G(iω)| [dB]

−90

∠ G(iω) [deg]

|G(iω)| [dB] ∠ G(iω) [deg]

0

40 20 0 −20 −40

∠ G(iω) [deg]

G(s) = s

G(s) = 1/s 40 20 0 −20 −40

0.1

|G(iω)| [dB]

G(s) = s

80 40 0 m=10 −40 −80

m=2

m=1

m=0.01

0 −90 −180 0.1

1 ω [rad/s]

10

Waar ligt het snijpunt met 0 dB? Bij ω waarvoor ω 2 = 1/m. S&R-IO/4/44 Ronald Aarts UT / CTW / WA

´ negatieve reele ¨ pool (2) Bode diagrammen: Een

§ 4.3.4

´ negatieve reele ¨ pool Bode diagrammen: Een

s-vlak

|k|

ω 2 + a2 Dus |G| is |k| / de lengte van −a naar iω.

ω 6 G(iω) = − arctan a Dus 6 G is −α.

iω

α Reële as

−a

|G(iω)| [dB]

Imaginaire as

G(s) = 100/(s+10)

∠ G(iω) [deg]

k G(s) = s+a |G(iω)| = q

100 s + 10 • Asymptoten: – ω 10: G(iω) ≈ 10, dus |G| = 10 = 20 dB en 6 G = 0o – ω 10: G(iω) ≈ 100/iω, dus |G| = 100/ω dus |G|db = 40 dB − 20 · log10 ω en 6 G = −90o • G(s) =

20 −3 dB 0

0 −45 −90 1

• Omslagpunt ω = 10 rad/s: 100 10 = √ = 20 dB − 3 dB |G(10i)| = 10i + 10 2 6 G(10i) = 6

100 = −45o. 10i + 10

10 ω [rad/s]

(−3 dB punt: Per definitie de bandbreedte ωBW )



§ 4.3.4

´ pool / nulpunt in LHP Bodediagrammen: Een

´ negatief reeel ¨ nulpunt Bode diagrammen: Een G(s) = k (s + a)

Imaginaire as

ω 2 + a2

G(s) = s+10

ω a

|G(iω)| [dB]

iω

|G(iω)| [dB]

G(s) = 100/(s+10)

Dus |G| is |k| × de lengte van −a naar iω.

20 −3 dB 0

40 +3 dB 20

α −a

Reële as


0 −45 −90 1

10 ω [rad/s]

100

∠ G(iω) [deg]

6 G(iω) = + arctan

´ negatief reeel ¨ nulpunt • Een (in LHP)

s-vlak

q

Dus 6 G is +α.

´ negatieve reele ¨ pool • Een (in LHP)

∠ G(iω) [deg]

|G(iω)| = |k|

100

90 45 0 1

10 ω [rad/s]

100


´ pool / nulpunt in RHP Bodediagrammen: Een ´ positieve reele ¨ pool • Een (in RHP)

45 0 100

• Bandbreedte (= -3 dB punt) bij benadering ωn.

G(s) = ω2/(s2 + 2ζω s + ω2)

40 20

n

20

n

n

ζ=0.1

0

• Hoogte resonantiepiek

ζ=1.1

−20

afhankelijk van ζ: |G(iωn)| ≈

−40

1 . 2ζ

0 −45 −90 1

10 ω [rad/s]

100

Niet-minimum fase systeem.

∠ G(iω) [deg]

90

Instabiele pool.

• ωn = 10 rad/s, ζ = 0.1...1.1.

|G(iω)| [dB]



0

10 ω [rad/s]

1 (s/ωn)2 + 2ζ(s/ωn ) + 1

G(s) = −s+10

20

1

• G(s) =

´ positief reeel ¨ nulpunt • Een (in RHP)

G(s) = 100/(−s+10)

§ 4.3.5

Bode diagrammen: Complex polenpaar

0 ζ=1.1

−90

ζ=0.1

• Voor ω ωn is de helling -40 dB/decade ofwel -2.

−180 1

10 ω [rad/s]

100



M

§ 4.3.6

Bode diagrammen: Samenvatting

Bode diagrammen: “Methode 2”

Bode amplitude- en fase diagrammen van een overdracht G(s) kunnen worden geschetst door:

Beschouw voorbeeldsysteem 1a van de gewone slinger: G1(s) =

Methode 1: • De overdracht te splitsen in eerste en tweede orde termen;

g

θ

1 θ 3 = 1 . = 2 1 2 2 M s + 0.6 s + 14.7 3 ms l s + b s + 2 ms gl

Omslagpunten: Geen nulpunten en polenpaar in s = −0.3 ± 3.8i.

• De diagrammen hiervan te tekenen;

• En tenslotte bij elkaar op te tellen (denk aan de stationaire versterking).

Voor dit complex polenpaar is: ωn = 3.8 rad/s en ζ = 0.08. 3 = 0.20 = −14 dB. 14.7 Asymptoten: Constant (helling 0 dB/decade) en fase 0o. 3 • Hoogfrequent: G1(s) ≈ 2 . s Asymptoten: Absolute waarde helling van −40 dB/decade en fase −180o. Punt op de asymptoot: Voor ω = 10 rad/s is |G(iω)| = 0.0300 = −30 dB.

• Laagfrequent: G1(s) ≈

Methode 2: • Het asymptotisch gedrag van amplitude en fase te beschouwen voor ω → 0 en ω → ∞;

• Voor omega tussen 0 en ∞ de omslagpunten op te zoeken bij de polen en nulpunten; • Bij elk omslagpunt het amplitude- en faseverloop aan te passen. S&R-IO/4/51 Ronald Aarts UT / CTW / WA


Hfd. 9

Bode diagrammen: “Methode 2” (2)

Waar zijn we?

1

|G (iω)| [dB]

´ omslagpunt bij polenpaar met ωn = 3.8 rad/s. • Een Verandering van helling in absolute waarde plot met −40 dB/decade en 1 hoogte piek bij ωb in plot van absolute waarde: = 6 = 16 dB. 2ζ Faseverandering is −180o. 0 −20 −40 −60 −80

M

g

θ

We kunnen mechanische systemen in het translatie- en rotatiedomein modelleren: • “Lumped” modellen, dus alleen grote lijnen.

• Met behulp van decompositie in ideale componenten. • Blokschema’s.

• Toestandsvergelijkingen en/of overdrachtsfuncties.

• Symbolisch (d.w.z. in formulevorm met symbolen) en met Matlab (numerieke resultaten).

∠ G1(iω)

0

We kunnen systemen ook analyseren:

−90 −180 −1 10

0

10

1

ω [rad/s]

10

• Stap- en impulsresponsie in het tijddomein.

2

10

• Bode diagrammen in het frequentiedomein. S&R-IO/4/53 Ronald Aarts UT / CTW / WA


Ter herinnering: Model representaties Wat komt nu? • De responsie van (een mechanisch systeem met) een tweede orde overdrachtsfunctie op een stap of een scheve sinus nader bekijken (analyse). • Tijddomein specificaties vertalen naar eisen aan een tweede orde overdrachtsfunctie (synthese). • Het “vormen” van de overdracht t.b.v. gewenst systeemgedrag voor een servosysteem, d.w.z. een mechanisch systeem met een actuator en een regelsysteem.

Blokschema’s

M ·x ¨ = −D · x˙ − k · x − F x˙ = Ax + Bu y = Cx + Du

Hogere orde DV’s Set van eerste orde toestandvergelijkingen.

• Hierbij introduceren van een bepaald type regelaar, namelijk op basis van positie- en snelheidsterugkoppeling. H(s)


Overdrachtfuncties


Voorbeeld mechanisch 2e orde systeem x

m

§ 9.1

Opzet functie “scheve sinus”: r(t) = 0 t≤0 m t − hm sin 2π t 0 < t ≤ tm r(t) = htm 2π tm r(t) = hm t > tm

r

1 r

x˙ v˙

#

r−x

=

"

Schematische weergave

1 s

1 s

integrator

integrator

1/m 1/m

1 x

1 0

# " "

i

x v

#

x v

#

"

+

0 k/m

#

r

k x(s) ω2 m Overdrachtsfunctie: G(s) = = 2 n 2 = k r(s) s + ωn s2 + m s k . met natuurlijke frequentie ωn = m

k(r-x)

IPM

0 1 −k/m 0 h

k r(t)

k k

=

y

x

m

r(t)

Toestandsvergelijkingen: "

x

m

§ 9.1.1

Model nokmechanisme

VLS

Nokmechanisme S&R-IO/9/4 Ronald Aarts UT / CTW / WA


§ 9.1.2

Toevoegen van demping

Nokmechanisme met demping Toestandsvergelijkingen:

x

m D

"

x,v

m k Dv

r(t)

k(r-x)

IPM

x˙ v˙ y

#

=

"

0 1 −k/m −D/m

=

VLS

h

1 0

i

# "

x v

#

"

x v

#

+

"

0 k/m

#

r

Overdrachtsfunctie: 1 r

r(t)

r−x

v

Fv k

1 s

1 s

integrator

integrator

1/m k

Fd

1/m

x 1 x

D D

Blokschema S&R-IO/9/6 Ronald Aarts UT / CTW / WA

k 2 x(s) ωn m = G(s) = = 2 2 D k r(s) s + 2ζωn s + ωn s2 + s + m m


§ 9.2.1

Eigenschappen van 2e orde systemen (herhaling)

Eigenschappen van 2e orde systemen (samenvatting)

Positie van de polen / eigenwaarden in het s-vlak

Stapresponsie: Karakteristieken

1.5

Gedempte eigenfrequentie:

sin θ = ζ

cos θ =

q

1 − ζ2 =

ωd ωn

Stapresponsie:

-ζωn

n ts ) √ ) • 2% settling time (1 + exp(−ζω 2

1

1 − ζ2

0.5 0

tr tp

• Peak time (afgeleide 0) π tp = ωd

ts Time (s)

e−ζωn t x(t) = 1 − q [cos(ωdt − θ)] 1 − ζ2

100

• Overshoot (bij tp)

80 60

0



π



x(tp ) − 1 = exp −ζ q  1 − ζ2 

40 20


1−ζ

4 ts,2% ≈ ζωn

% overshoot

jωd

q

Overshoot

s

θ

ωd = ωn ·

• Rise time (cos(ωdt − θ) = 0) π/2 + θ tr = ωd

0

0.2

0.4

ζ

0.6

0.8

1.0




Eindfout • De formules voor de settling time ts geven aan wanneer de responsie x(t) van het systeem binnen een bepaalde nauwkeurigheid in de buurt van de uiteindelijke responsie komt en blijft. • Deze “uiteindelijke responsie” heet de eindwaarde x(∞) of final value en kan wiskundig worden genoteerd als x(∞) = lim x(t). t→∞

• De formules voor de settling time geven echter geen informatie over de mate waarin deze eindwaarde x(∞) in de buurt ligt van de opgegeven referentie r. • Het verschil tussen referentie r(t) en responsie x(t) is de fout e(t) = r(t) − x(t) en de uiteindelijke waarde van deze fout e(∞) heet de eindfout of steady state error en wordt ook als ess genoteerd: ess = e(∞) = lim e(t).

§ 9.2.2

Synthese: Vertaal ontwerp specificaties naar gewenste positie van polen in s-vlak Voorbeeld van het nokmechanisme met massa m = 15 kg. Eis voor stapresponsie: Verplaatsing in tm = 0.05 s over hm = 0.02 m met nauwkeurigheid van ±0.0001 m en overshoot niet groter dan 0.002 m. Twee ontwerpvrijheden: te weten de stijfheid k van de stang en demping D van de demper.

t→∞

• Voor stationaire ingang hm en stationaire versterking G(0) is de eindfout ess = r(∞) − x(∞) = hm (1 − G(0)). S&R-IO/9/10 Ronald Aarts UT / CTW / WA


Aanpak met “karakteristieken”: Simulatie met k = 5.1 · 105 N/m, D = 3.3 · 103 Ns/m:

• Overshoot ≤ 10%, dan relatieve demping ζ ≥ 0.6. 1−ζ 2

. 0.021

Met al gevonden waarde voor ζ = 0.6 geeft dit ζωn = 110 rad/s dus ωn = 184 rad/s.

x (m)

0.02

Dan voor overdrachtsfunctie:

0.01

k 2 x(s) ωn m = G(s) = = 2 2 D k r(s) s + 2ζωn s + ωn s2 + s + m m Oplossingen:

2m k = ωn

x (m)

−ζωn 0.05

• Omhullende hm + 0.0001 ≥ hm + hm · e √

0

0

0.025 0.050 Time (s)

0.020

0.019

0.075

0

0.025 0.050 Time (s)

0.075

Ingezoomd rond hm

Gehele responsie

(ζ = 0.6 en ωn = 184 rad/s)

= 5.1 · 105 N/m,

D = 2ζωn m = 3.3 · 103 Ns/m. S&R-IO/9/12 Ronald Aarts UT / CTW / WA


§ 9.3

Servosystemen – Inleiding

Conclusies & discussie • Met deze waarden voor D en k wordt juist aan de specificaties voldaan. • Het is beter, ook mede door optredende narigheden in praktische situaties, het ontwerp te baseren op onder- en bovengrenzen. De ontwerpparameters worden dan zo gekozen dat aan de eisen wordt voldaan en nog een “veilige” afstand tot de grenzen wordt aangehouden. • In het s-vlak resulteren dan gebieden met mogelijke posities voor de polen.

Vervang mechanische rol door motor + regeling Im(s) ζmin 1 r

Re(s)

Model met servodemping en -stijfheid

Model van nok met demper en veer r(t)

r−x

v

Fv k

1 s

1/m k

Fd

1/m

integrator

1 s integrator

x 1 x

1 r

r(t)

r−x

Fp

kp

1/m 1/m

−Fv


1 s

1 s

integrator

integrator

v

D D

kv kv Regelaar

(-ζωn)min

v

F

kp

x Elektromechanisch systeem

k x(s) m G(s) = = D k r(s) 2 s + s+ m m

kp x(s) m G(s) = = kv kp r(s) 2 s + s+ m m

Fysiek: stoterstang + demper

Fysiek: 2 sensoren + motor


x 1 x

§ 9.3.1

Snelheid en positie terugkoppeling

De regeling van dit voorbeeld heet “snelheid en positie terugkoppeling” en dat betekent dus dat het mechanisch systeem wordt aangedreven door een motor waarvan de kracht of het moment wordt voorgeschreven door een regeling als F = −kv · vm − kp · (xm − x). 1 r

r(t)

r−x

Fp

v

F

kp kp

1/m 1/m

−Fv

1 s

integrator

integrator

1 x

v kv kv

Specificaties • 0.02 m verplaatsen in 0.05 s. • Nauwkeurigheid beter dan ±0.0001 m. • Maximale overshoot 0.002 m. Realisatie in termen van relatieve demping ζ en “bandbreedte” ωn: • Overshoot kleiner dan 10%, dan ζ = 0.6. • De settling time ts = 0.05 s voor een nauwkeurigheid beter 0.5%, dus voor de omhullende geldt

x

1 s

Ontwerpen van servosysteem op basis van de 2e orde stapresponsie van geslotenlus systeem

exp(−ζωn0.05)

x

Regelaar

q

1 − ζ2

Elektromechanisch systeem

=

0.0001 0.02

Invullen, dan minimale bandbreedte ωn = 184 rad/s. kp 2 x(s) ωn m G(s) = = = 2 2 kv kp r(s) s + 2ζωn s + ωn s2 + s + m m

Realisatie in servosysteem met snelheid en positie terugkoppeling (voor m = 15 kg): 2 = 5.1 · 105 N/m • Positielus: kp = mωn Die kennen we al! • Snelheidslus: kv = 2mζωn = 3.3 · 103 Ns/m


Ligging polen ofwel poolbanen (root locus)


§ 9.3.2

Poolbanen: gesloten lus polen

• Tijddomeinspecificaties zijn dus te vertalen in eisen aan ζ en ωn voor een (veronderstelde) “standaard” tweede orde overdrachtsfunctie. • Feitelijk geven we hier de gewenste ligging van de (gesloten lus) polen in het s-vlak mee aan. ´ • Hoe kunnen we de ligging van de (gesloten lus) polen be¨ınvloeden door e´ en ¨ of meer parameters te varieren? Een antwoord op de laatste vraag geeft een poolbaan of root locus. Deze geeft ´ parameter de positie van de gesloten lus polen van een overdracht als e´ en wordt gevarieerd, namelijk de versterking K. e

u K Regelaar

y G(s) Systeem

Open lus systeem

r

e

u K Regelaar

y

r

e

u K Regelaar

Als G(s) =

y G(s) Systeem

Dynamisch gedrag wordt bepaald door de gesloten lus overdracht K · G(s) y(s) = . T (s) = r(s) 1 + K · G(s)

tellerpolynoom N (s) K · N (s) = dan is T (s) = . noemerpolynoom D(s) D(s) + K · N (s)

De gesloten lus polen zijn de oplossingen voor s van de karakteristieke vergelijking D(s) + K · N (s) = 0.

G(s) Systeem

Gesloten lus systeem S&R-IO/9/18 Ronald Aarts UT / CTW / WA

Door deze in het s-vlak te plotten als functie van K krijgen we de poolbanen. Matlab rlocus, verder in hoofdstuk 11 (WB). S&R-IO/9/19 Ronald Aarts UT / CTW / WA

Poolbanen: positielus kp G1(s) =

1 meqs2

Poolbanen: snelheidslus kv

met alleen positieterugkoppeling K1 = kp : s

kp . meq

Root Locus

Imag Axis

Karakteristieke vergelijking: K + meqs2 = 0, dus polen in ±i

Na sluiten positielus: kv bepaalt de demping, dus polen op cirkel met straal ωn .

Root Locus

Imag Axis

200 100

0 −100

m = 15 kg dan Matlab commando rlocus(1,[15 0 0])

0

100

−300

−100

0

Real Axis

−100 −200 −1

−200

−0.5

0

0.5

Hiermee kunnen de gewenste polen worden bereikt, als met kp de juiste bandbreedte ωn is ingesteld.

1

Real Axis

Met kp alleen kan wel ωn worden gevarieerd, maar geen demping worden aangebracht (ζ = 0).

Meer over poolbanen en root locus ontwerp procedure in hoofdstuk 11 (WB)


§ 9.4

Opzetfuncties

Responsie van een tweede orde systeem op een scheve sinus

• Stapvormig: • Oneindige versnelling.

2 ωn op basis Voor “standaard” tweede orde overdracht G(s) = 2 2 s + 2ζωn s + ωn van simulaties voor ζ = 0 en ζ = 0.75:

• Tweede graads (zie case printerkop): • Blokvormige versnelling.

• Derde graads: • Versnelling verandert lineair en continu. • Scheve sinus: • Versnelling verandert sinusvormig.


−4

3

x 10

ζ≈0.75 ζ=0

Voor ζ ≈ 0.75: u = 0.06 · τ 3 · hm.

r [m]

0.015 0.010 0.005 0

0

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 t [s]

(Tweede en derde graads opzetfuncties worden in S&R-2 behandeld.)

u is de fout op tijdstip t = tm hm is de opzet τ = Te/tm met Te = 2π/ωn.

2 u (m)

0.020

1

0

0

0.1

0.2

τ

0.3

0.4

0.5

(Groenhuis) S&R-IO/9/22 Ronald Aarts UT / CTW / WA


§ 9.5 § 9.4.3

Ontwerp van een tweede orde servosysteem

Case: Spindelslede Motor

op basis van een scheve sinus

Rechtgeleiding Slede

Gebruik u = 0.06 · τ 3 · hm Aanpak:

Spindel

• Toegestane fout u of u/hm geeft τ . • Hieruit volgt ωn.

• De formule mag worden gebruikt voor ζ ≈ 0.75.



Spindelslede: modelvorming Spindelslede: Regelaarontwerp (1)

• Zie dictaat: Drie vrijheidsgraden. • Blokschema:

1 M

theta2 M2

theta2

Jm+Js/2

theta1

c

M1

c

theta1

Js/2

x

xs −K− p/2pi

k

F

k

x

1 x

ml

• Opzet met scheve sinus, dus ontwerpregel u = 0.06 · τ 3 · hm. tm = 1 s, hm = 0.2 m en u = 5 · 10−6 m. • Dan moet gelden dat τ < 0.075.

• De minimaal noodzakelijke bandbreedte is dan wn = 2π/Te = 84.1 rad/s (of fn = 13.4 Hz).

−K− p/2pi

• Overdrachtsfunctie (3-DOF):

θ 1.0 · 104 s4 + 1.5 · 1012 s2 + 2.8 · 1018 Ga(s) = 2 = M s6 + 2.1 · 108 s4 + 5.3 · 1014 s2

• Relatieve demping ζ ≈ 0.75.

• Aanname: Tweede orde overdrachtsfunctie (1-DOF)!

• Eigenfrequenties: 1.6 · 103 rad/s en 1.4 · 104 rad/s.



Spindelslede: Modelvereenvoudiging • De minimaal noodzakelijke bandbreedte (wn = 2π/Te = 84.1 rad/s) is veel lager dan de eigenfrequenties (1.6 · 103 rad/s en 1.4 · 104 rad/s).

Spindelslede: Regelaarontwerp (2) 1 . Jtots2 • wn = 2π/Te = 84.1 rad/s, ζ ≈ 0.75.

• We beschouwen daarom in eerste instantie het systeem als star zodat een vereenvoudiging tot een tweede orde systeem mogelijk is.

• G0(s) =

• Dat levert G0(s) =

• Dan:

1

, Jtots2 met Jtot de op de motoras gereduceerde equivalente traagheid van het gehele systeem: Jtot = 1.9 · 10−4 kg m2.

• Nu kan (bijvoorbeeld) een regelaar met positie- en snelheidsterugkoppeling worden ontworpen.

2 = 1.4, kp = Jtot ωn kv = Jtot 2ζωn = 0.024. • Met simulaties kunnen we nu controleren of deze regelaar ook werkt voor het niet vereenvoudigde systeem.



Spindelslede: Simulaties (1)


• Bij “co-located control”, d.w.z. positie- en snelheidssensor op de motoras werkt de regelaar naar behoren.

• Er kan ook “non-co-located control” worden toegepast waarbij positie- en snelheidssensor op de slede worden geplaatst.

−5

1

0.2

x r

0.1

r, x [m]

0.5 r−x [m]

r, x [m]

0.2

x 10

0

x r

0.1

−0.5 0 0

0

0.5 t [s]

Gehele simulatie

1

−1 0.9

0.95

1 t [s]

1.05

1.1

r − x rond t = 1 s

• Het ontwerp voldoet. De gemaakte aanname dat het systeem zich gedraagt alsof het een tweede orde systeem is, is terecht geweest. S&R-IO/9/30 Ronald Aarts UT / CTW / WA

0

0.5 t [s]

1

• Regelaar (wederom) ontworpen op basis van 1-DOF aanname. 3-DOF simulatie: instabiel gedrag! → Analyse met poolbanen en Bode diagrammen in resp. hfd. 11 en 12. S&R-IO/9/31 Ronald Aarts UT / CTW / WA


Hfd. 10

Waar zijn we na hoofdstuk 9?

• We kunnen ook onderzoek of de slede minder stijf uitgevoerd kan worden. De laagste eigenfrequentie ω1 zal dan dalen. −5

x 10

−4

10 max(r−x) [m]

1

r−x [m]

0.5 0

• Andersom kunnen we gewenst gedrag in het tijddomein vertalen naar eisen die aan een “standaard” tweede orde overdracht moeten worden gesteld, bv. wat betreft de ligging van de polen (synthese).

−5

10

−0.5 −6

−1 0.9

10 0.95

1 t [s]

ω1/ωn = 2

1.05

1

1.1

• We kennen enkele tijddomein karakteristieken van de responsie van een 2 ωn op een stap en op “standaard” tweede orde overdracht 2 2 s + 2ζωn s + ωn een scheve sinus (analyse).

ω1 / ωn

10

Maximale fout en ω1/ωn

• Voor ω1/ωn = 2 wordt de fout te groot, maar voor ω1/ωn > 4 blijkt het systeem nog steeds te werken.

• We hebben voor de berekening van de eindfout de eindwaardestelling en het type van het systeem gebruikt. • De invloed van toevoegen van extra pool en nulpunt aan een overdracht is in kaart gebracht. • Het eerste beschouwde voorbeeld van een servosysteem bestaat uit een mechanisch systeem met positie- en snelheidsterugkoppeling (kp en kv ).



§ 10.1

Redenen voor terugkoppeling Wat volgt nu?

• Open lus versus gesloten lus.

• Verbetering van storingsonderdrukking.

• Nut van terugkoppeling.

• Vermindering van gevoeligheid voor parametervariaties.

• Regelaars: P, PD, PI, PID.

Voorbeeld: Nok als servosysteem met extra veer (stijfheid k) en een stoorkracht, bv. wrijving Fw .



Aangepast nokmechanisme (1) — model

Aangepast nokmechanisme (1) — eindfout

Uitgevoerd als servosysteem met extra veer k.

k

Uitgevoerd als servosysteem met extra veer k.

k

k

x

m

k 1 r

r(t)

Fp

e=r−x

v

F

kp kp

1/m

−Fv

1 s

integrator

integrator

1 x

v

kv

kv


r(t)

r(t)

kp x m Gol(s) = = k kv r 2 s + s+ m m

kx x,v

m

Gcl(s) = kv v

kp x m Gclose(s) = = kv k + kp r 2 s + s+ m m

kp

x

Regelaar

x

kv

kv

kp

m

x

1 s

1/m

kp (r-x)

Eindwaarde: x(∞) = lim s · Gcl(s) · s→0

kp hm = Gcl(0) · hm = hm s k + kp

Eindfout:

kp m

x = k + kp kv r s2 + s + m m

ess = e(∞) = r(∞) − x(∞) = hm − hm S&R-IO/10/4 Ronald Aarts UT / CTW / WA

kp k = hm k + kp k + kp S&R-IO/10/5 Ronald Aarts UT / CTW / WA

Ongelijk 0 !

Aangepast nokmechanisme (2)

§ 10.1.1

Open lus aansturing

Uitgevoerd als servosysteem met extra veer k en wrijving Fw . k

Fw

2

xol = ColG(s) r + G(s) Fw .

Overdracht:

k k r(t)

Fw

x

m

1 r

e=r−x kp kp

Fp

v

F

1 s

1 s

integrator

integrator

1/m 1/m

−Fv

x(t) 1 x

Fw

kv

kv

2

kv

kp Regelaar


1 r

r(t)

Fw

kx m

kv v

kp x m Gol(s) = = kv k r 2 s + s+ m m x,v

kp (r-x)

kp m

x Gcl(s) = = kv k + kp r s2 + s + m m

Open lus overdracht: Zelfde eindfout t.g.v. ingang r.


Met

G(s) =

Col

G

Col

Nok

1 x

Tol(s) = ColG(s),

1 m s2 + k

.


Open lus en gesloten lus

Gesloten lus regeling Overdracht:

xcl =

Open lus overdracht

CclG(s) G(s) r+ Fw . 1 + CclG(s) 1 + CclG(s)

Bedoeling dat Fw

1 r

xol = ColG(s) r + G(s) Fw .

xol(∞) = r(∞) als Fw = 0, dan

Col(s) = 1/G(0) = k.

2

Ccl

G

Ccl

Nok

1 x

Gesloten lus overdracht xcl =

CclG(s) G(s) r+ Fw 1 + CclG(s) 1 + CclG(s)

met een constante Ccl. Gesloten lus overdracht:

Tcl(s) =

CclG(s) . 1 + CclG(s)

Eindfout (als Fw = 0): ess,cl = hm − hm

k Ccl = hm . k + Ccl k + Ccl



§ 10.1.2

Open lus versus gesloten lus: Verstoringsonderdrukking

Open lus versus gesloten lus: Eindwaarde

De eindwaarde voor de uitgang x als Fw 6= 0 is respectievelijk: Open lus: xss,ol = ColG(0) hm + G(0) Fw,ss =

De eindwaarde voor de uitgang x is respectievelijk (Fw = 0):

1 Col hm + Fw,ss. k k

Gesloten lus:

Open lus: x(∞) = (Col/k) r, dus x(∞) = r als Col = k. CclG(s) Gesloten lus: xcl = r ≈ r voor grote Ccl. 1 + CclG(s)

xss,cl =

CclG(0) G(0) hm + Fw,ss 1 + CclG(0) 1 + CclG(0)

xss,cl =

1 Ccl hm + Fw,ss. k + Ccl k + Ccl

Open lus lijkt beter, echter .... Het systeem met terugkoppeling is een factor 1 + Ccl/k minder gevoelig voor de verstoring. S&R-IO/10/10 Ronald Aarts UT / CTW / WA


§ 10.1.3

Open lus versus gesloten lus: Parameter onzekerheid Dus Stel dat bijvoorbeeld de stijfheid k niet exact bekend is. Daardoor zal de aangenomen waarde k niet exact kloppen en deze in werkelijkheid k + δk bedragen.

δxss,ol xss,ol

≈

Gesloten lus:

Het effect op de open lus en gesloten lus overdrachten is zichtbaar als een verandering in de respectievelijke eindfout.

xss,cl =

Ccl hm, k + δk + Ccl

In eerste orde

Open lus: xss,ol = ColG(0) hm =

Relatieve verandering:

k hm. k + δk

δxss,ol xss,ol

≈

δk ,. k

δxss,cl xss,cl

≈

k δk .. k k + Ccl

Het systeem met terugkoppeling is een factor 1 + Ccl/k minder gevoelig voor variaties in de parameters.

δk ,. k S&R-IO/10/12 Ronald Aarts UT / CTW / WA

§ 10.1.4

Type van het (openlus) systeem Eenheidsterugkoppeling: r

e

y

Eindfout afhankelijk van systeem type en ingangssignaal (tabel 10.1):

Gol (s)

Stap In laatste voorbeeld:

kp x m Gol(s) = = kv k e 2 s + s+ m m Bevat geen “zuivere integrator” d.w.z. geen 1s term. “Type van het systeem” = aantal zuivere integratoren in de open lus overdracht.

Type 0 1 2

Ingangssignaal Lineair Parabool

positie 1 1+Kp

0 0

snelheid

versnelling

∞

∞

1 Kv

s→0

∞

1 Ka

0

Kp = lim Gol(s)


(DC gain)

Kv = lim s Gol(s) s→0

Ka = lim s2 Gol(s) s→0

Dus type 0: DC gain bepaalt de eindfout voor een stap. S&R-IO/10/14 Ronald Aarts UT / CTW / WA

§ 10.2

Regelacties • P-actie: Alleen een proportionele term in de terugkoppeling Ccl(s) = kp. • Verbetert o.a. gevoeligheid voor verstoringen. • Voegt echter geen demping toe en de eindfout kan 6= 0 blijven.

• D-actie: De eerder gebruikte snelheidslus voegt wel demping toe, maar ¨ vereist een extra (snelheids)sensor. Stel we “mogen” differentieren en nemen Ccl(s) = kD s. • Voegt wel demping toe.

• I-actie: De eindfout kan worden gereduceerd door het type van het systeem te verhogen. Dat kan door in de regelaar een zuivere integrator op te nemen Ccl(s) = kI 1s . • Vermindert de eindfout. Combineren? S&R-IO/10/15 Ronald Aarts UT / CTW / WA

Regelaars

Vrijheden bij het regelaar ontwerp

• P-regelaar: Alleen P-actie

Snelheids- en positieterugkoppeling (hfd. 9):

Ccl(s) = kp.

1 r

• PI-regelaar: Combineer P- en I-actie # " k 1 Ccl(s) = kp + I = kp 1 + . s TI s

r(t)

r−x

Fp

v

F

kp kp

1 s

1 s

integrator

integrator

1/m 1/m

−Fv

x 1 x

v kv kv

• PD-regelaar: Combineer P- en D-actie

Regelaar

x Elektromechanisch systeem

Ccl(s) = kp + kD s = kp [1 + TD s]. kp 2 ωn x m = 2 T (s) = = 2 kv kp r s + 2ζωn s + ωn s2 + s + m m

• PID-regelaar: Combineer P-, I- en D-actie # " k 1 Ccl(s) = kp + I + kD s = kp 1 + + TD s . s TI s Instellingen en meer eigenschappen van deze regelaars volgen in hoofdstuk 12.

Te vervangen door (zuivere) PD-regelaar (hfd. 10)?


r(t) +

(Zuivere) PD-regelaar:

C(s)

P(s)


y(t)

-

Splits regelaar C(s) in C1(s) en C2(s) met C(s) = C1(s)C2 (s): r(t) +

C(s)

P(s)

y(t)

-

P (s) =

met

1 ms2

en

r(t) +

C (s) -

C(s) = kp(1 + τD s) .

1

P(s)

y(t)

C (s) 2

Dan:

Tl (s) =

kpτD kp s+ C(s)P (s) m m . = T (s) = kp kpτD 1 + C(s)P (s) 2 s+ s + m m

C(s)P (s) 1 + C(s)P (s)

Tr (s) =

C1(s)P (s) 1 + C(s)P (s)

Polen identiek: Even stabiel/instabiel.

Noemers zijn hetzelfde als kv = kpτD , maar bovenstaande gesloten lus overdracht heeft een extra nulpunt! S&R-IO/10/18 Ronald Aarts UT / CTW / WA

Nulpunten zijn rechts “instelbaar” door de keuze van de splitsing van C(s) in C1(s) en C2(s).


r(t) +

Voorbeeld: Splits (zuivere) PD-regelaar:

C (s) -

1

P(s)

y(t)

Nog een extra vrijheid: Voeg overdracht C3(s) toe in referentiepad: r(t)

C (s)

3

2

met

Dan:

P (s) =

1 , ms2

C1(s) = kp

en

C (s)

+

C(s)

P(s)

y(t)

-

C2(s) = 1 + τD s .

kp C1(s)P (s) m = . T (s) = k τD kp p 1 + C(s)P (s) 2 s + s+ m m

T3(s) =

C3(s)C(s)P (s) 1 + C(s)P (s)

Polen van C3(s) kunnen bijvoorbeeld wegvallen tegen nulpunten van C(s).

Noot 1: De stationaire versterking C2(0) = 1, dus deze splitsing heeft geen invloed op de eindwaarde/eindfout bij een stationair ingangssignaal. Noot 2: Deze “truc” om nulpunten uit de gesloten lus overdracht te halen, kan ook worden toegepast als C(s) een andere overdracht bevat dan die van een PD-regelaar.

Let op: Bij nulpunten van de regelaar C(s) is dat exact in te stellen en kan dat werken, maar het aanpakken van nulpunten in P (s) is minder eenvoudig vanwege modelfouten. Noot: Splitsen van C(s) als voorheen is nog steeds mogelijk.



§ 10.4 Hfd. 12

Overzicht regelaars hoofdstuk 10 • Feedback verbetert: – stabiliteit – tijd responsies – stationaire fout – verstoringsonderdrukking – robuustheid voor parametervariaties • Proportionele (P) actie – snellere responsie – betere stationaire fout – maar kans op instabiliteit of oscillerend gedrag

Waar zijn we na hoofdstuk 10?

• Integrerende (I) actie – uitstekend stationair gedrag – robuustheid voor parametervariaties – reductie van stabiliteit ¨ • Differentierende (D) actie – verhoogt demping – verbetert stabiliteit • Systeem type – mogelijkheden voor tracking – mate van verstoringsonderdrukking • Stabiliteit: alle polen in LHP S&R-IO/10/22 Ronald Aarts UT / CTW / WA

• We kennen de relaties tussen de ligging van de polen en enkele tijddomein karakteristieken van de responsie van een “standaard” tweede orde overdracht op een stap en op een scheve sinus (analyse & synthese). • De invloed van toevoegen van een extra pool en nulpunt aan een overdracht is in kaart gebracht. • We hebben voor de berekening van de eindfout de eindwaardestelling en het type van het systeem gebruikt. • Het nut van terugkoppeling is besproken.

• We kunnen een servosysteem met positie- en snelheidsterugkoppeling (kp en kv ) ontwerpen. • Diverse andere regelaars zijn ge¨ıntroduceerd: P, PD, PI, PID. S&R-IO/12/1 Ronald Aarts UT / CTW / WA

Open lus Bode versus gesloten lus Bode Open lus Bode t.b.v. stabiliteit

Gesloten lus geeft bandbreedte 2

|G(iω)| [dB]

Wat volgt nog? Het gebruik van Bode diagrammen voor het ontwerp van regelaars. • Open-lus Bode diagrammen en gesloten-lus stabiliteit.

• Gain margin (GM), phase margin (PM) en cross-over frequency (ωc) uit een Bode diagram versus relatieve demping ζ en bandbreedte (ωn of ωBW ). • Ontwerp regelaars met Bode diagrammen: P, PD/lead, PI/lag, PID.

20

2

ζ=0.1

0

ζ=1.1

−20 −40

2

G(s) = ωn/(s + 2ζωn s + ωn)

1

Crossover ωc bij doorsnijding met 0 dB. |KG(iωc)| = 1 = 0 dB

10 ω [rad/s]

100

Bandbreedte ωBW bij -3 dB punt Geeft frequentiebereik dat door de uitgang wordt gevolgd.

|T (s)| = |KG(s)|/|1 + KG(s)| |T (iωc)| = 1/|1 + KG(iωc)|

ωc ≈ ωBW

Standaard tweede orde: ωc ≈ ωBW ≈ ωn S&R-IO/12/2 Ronald Aarts UT / CTW / WA


Stabiliteit & Bode plot

§ 12.1

Bode diagrammen en stabiliteit Gesloten lus: T (s) =

1 Systeem G(s) = met proportionele terugkoppeling K. s(s + 1)2

“Neutral stability” als 1 + KG(iω) = 0, dus als KG(iω) = −1,

Root Locus 1 In1

1

K

s(s+1)(s+1) K

|KG(iω)| = 1 en 6 G(iω) = ±180o

3

1 Out1

KG(s) 1 + KG(s)

G(s)

2

“Neutral stability”: polen in ±iω Oplossen 1 + KG(iω) = 0 iω(iω + 1)2 + K = 0 j(−ω 3 + ω) + (−2ω 2 + K) = 0 Dus ω = 1 en K = 2.

K=2

Gesloten lus stabiliteit wordt zo gekoppeld aan een Bode plot van de openlus overdracht KG(s):

1 Imag Axis

KG(s) T (s) = 1 + KG(s)

0

|KG(iω)| < 1 bij 6 G(iω) = ±180o

−1

−2

−3 −4

−3

−2

−1

0

1

Real Axis

Instabiel voor K > 2 S&R-IO/12/4 Ronald Aarts UT / CTW / WA

Voorwaarden: • Systeem wordt instabiel bij toenemende K. ´ keer. • |KG(iω)| doorsnijdt 0 dB lijn e´ en Betrouwbaardere test: Nyquist criterium (dit jaar geen tentamenstof voor dit vak). S&R-IO/12/5 Ronald Aarts UT / CTW / WA

Demping en fasemarge

§ 12.2

Stabiliteitsmarges Voor een ideaal tweede orde systeem geldt Hoe ver ligt de Bode plot van instabiliteit af? • Stabiliteitsconditie: |KG(iω)| < 1 bij 6 G(iω) = ±180o

2ζ P M = tan−1 rq ≈ ζ · 100o 1 + 4ζ 4 − 2ζ 2

Bode Diagram

GM=−20 dB K=20

Figure 6.36: Damping ratio vs. phase margin (PM)

1

0 −20

K=0.2

0.8

GM=20 dB

−40

Damping ration ζ

• Fasemarge = Phase Margin = PM Wat is de speling in de fase t.o.v. −180o + k · 360o bij |KG(iω)| = 1.

K=2

20

−60 −90

Phase (deg)

• Versterkingsmarge = Gain Margin = GM: Hoe ver kan K worden vergroot tot bij 6 G(iω) = −180o + k · 360o instabiliteit optreedt (|KG(iω)| ≥ 1).

Magnitude (dB)

40

−135 o

PM=68 −180

0.6

0.4

0.2

o

PM=−48

−225

0 −270 −1 10

0

1

10

0

10

20

40 60 Phase Margin [deg]

80

Frequency (rad/sec)



§ 4.3.7

Relatie tussen Bode amplitude en fase plot

§ 12.3

Gesloten lus Bode diagrammen

Voor elk stabiel, minimum-fase systeem (dus geen rechterhalfvlak polen en nulpunten) geldt dat de fase 6 G(iω) bij elke frequentie uniek is gekoppeld aan de absolute waarde |G(iω).

Open lus Bode diagrammen geven de cross-over frequentie ωc bij de doorsnijding met de 0 dB lijn.

Ruwweg geldt dat een helling van n in de absolute waarde gepaard gaat met een fase van n × 90o.

Gesloten lus Bode diagrammen geven de bandbreedte ωBW bij de doorsnijding met de −3 dB lijn.

G(s) = ω2n/(s2 + 2ζωn s + ω2n)

40

s

s

0

1/s

1/s2

−40

180 90 0 −90 −180

s

s2

1/s 0.1

1/s2 1 ω [rad/s]

10

|G(iω)| [dB]

2

∠ G(iω) [deg]

∠ G(iω) [deg]

|G(iω)| [dB]

G(s) = sn 20

Bij een open lus overdracht KG(s) met eenheidsterugkoppeling is de gesloten lus overdracht

ζ=0.1

0

ζ=1.1

−20

T (s) =

−40 0 ζ=1.1

−90

ζ=0.1

Voor de Bode “magnitude” plot betekent dat

−180 1

10 ω [rad/s]

KG(s) . 1 + KG(s)

100


( KG(iω) 1 |T (iω)| = ≈ 1 + KG(iω) |KG(iω)|

ω ωc ω ωc S&R-IO/12/9 Ronald Aarts UT / CTW / WA

§ 12.4.1

Gesloten lus Bode diagrammen (2)

Bode & filters: PD

De (open lus) cross-over frequentie ωc is bij benadering gelijk aan de (gesloten lus) bandbreedte ωBW .

• C(s) = kp(τz s + 1)

In de regel geldt: ωc ≤ ωBW ≤ 2ωc. |G(iω)| [dB]

G(s) = s+10

20

PM = 90o

−3 dB ωc

−20

−40 0 10

1

10 ω [rad/s]

+1

+3 dB 20

1/τz

0

∠ G(iω) [deg]

|G(iω)| [dB]

PM = 20o

40

90 45 0 1

10 ω [rad/s]

100

2

10

• Laagfrequent: Versterking kp • Hoogfrequent: Differentiator ∼ s – 90ofasevoorijling – helling +1 • Toepassingen/voordelen: – Toevoegen van demping – Verhogen van bandbreedte • Nadelen: – Geen “roll-off”, erger: – Hoogfrequent versterking (ruis) – Aanwezigheid van zuivere differentiator



§ 12.4.2

Lead filter ofwel “tamme” PD regelaar (2)

Bode & filters: lead ofwel “tamme” PD

Magnitude (dB)

20 15

5 0 60

Phase (deg)

+1

10

1/τz

1/τp

30

0 0 10

1

10

2

10

Frequency (rad/sec)

3

10


τz s + 1 τps + 1

• Fasevoorijling in bepaald frequentiegebied: demping 1−α bij • φmax = arcsin 1+α 1 ωmax = √ met τz τp α = τp/τz < 1 • Geen roll-off • Toepassingen: - Bandbreedte verhogen - Demping toevoegen.

(τz > τp)

Bode Diagram 20 15 10

+1

5 0 60

1/τz

1/τp

φmax

30

0 0 10

1

10

ωmax

2

3

10

10

Frequency (rad/sec) fasemarge PM [graden]

Bode Diagram

• Laagfrequent: Versterking kp • Hoogfrequent: Versterking kp ττpz • Fasevoorijling in beperkt frequentiegebied: demping! • Toepassingen/voordelen: – Toevoegen van demping – Verhogen van bandbreedte – Geen zuivere differentiator • Nadelen: – Geen “roll-off”, maar: – Kleinere hoogfrequent versterking dan PD.

Magnitude (dB)

(τz > τp)

• C(s) = kp

Phase (deg)

τz s + 1 • C(s) = kp τps + 1

90 60 30 0

1

10 1/α

100


Voorbeeld ontwerp lead filter

Stappen plan voor ontwerp van lead filter τs + 1 ατ s + 1

• DC-motor: G(s) =

4. Bepaal α = τp/τz uit 1 − sin φ 90 . α= 1 + sin φ 60 30 0

1 s(s + 1)

• Ontwerpdoelen: – Overshoot < 25% – Stationaire fout op eenheidsramp < 0.1 1

10 1/α

5. Bepaal pool en nulpunt ligging uit crossover frequentie en de kantelpunten: √ pool: ωc/ α √ nulpunt: ωc · α 6. Teken het Bode diagram van C(s)G(s). 7. Itereer eventueel.

• Voor overshoot gewenste ζ = 0.4, dus PM=40o.

k G(s) p

20 0

G(s)

−20

• Dus nog toe te voegen 25o. We nemen 35o.

−40 −60 −90

• Dan α = 0.27.

−135

−180 −1 10

0

10

1

10

Frequency (rad/sec)


Voorbeeld ontwerp lead filter (2) • Uit ωc = 3 rad/s en α = 0.27 1 volgt τ = √ = 0.64 ωc α • Hieruit volgt de ligging van het nulpunt in −1/τ = −1.6 de pool in −1/ατ = −6.

• Controle stap:

τs + 1 : drie parameters. ατ s + 1 • De bandbreedte/cross over wordt voornamelijk door kp be¨ınvloed √ (en een beetje door α door extra versterking 1/ α bij ωmax). • Lead filter C(s) = kp

• Met het “dynamisch” deel van de regelaar kan de juiste hoeveelheid fase marge op de juiste plaats worden aangebracht.

Step Response

1.4

Gm = Inf, Pm = 43.206 deg (at 4.9832 rad/sec)


Voorbeeld ontwerp lead filter (3)

• Het ontwerp kan ge¨ıtereerd worden, want door het lead-filter verschuift de cross-over frequentie.

Bode Diagram

τs + 1 ατ s + 1

• Fasemarge van kpG(s) bij ωc ≈ 3 rad/s: PM=15o.

Gm = Inf, Pm = 17.964 deg (at 3.0842 rad/sec) 40

• Lead filter C(s) = kp

• Stationaire fout: kp = 10.

Bode Diagram

100

Magnitude (dB)

1. Bepaal kp : 1a. Stel kp zo in dat de openloop crossover frequentie ωc van kp G(s) initieel op de helft van de gewenste bandbreedte ωBW ligt. 1b. Of: Bepaal kp uit eisen aan de maximale eindfout. 2. Bepaal benodigde extra fasemarge φ bij ωc. 3. Tel hierbij 5o–12o bij op.

Phase (deg)

fasemarge PM [graden]

C(s) = kp

1

−20 −40

−90

0.8 0.6 0.4

−135

0.2 0

−180 −1 10

0

10

1

10

2

10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Time (sec)

Frequency (rad/sec)


• Praktische toepassingen: 0.1 < α < 1. Kleinere waarden van α: • Meer (ongewenste) hoogfrequent versterking (= 1/α) • Beperkte toename fasevoorijling Beter: twee lead filters achter elkaar!

fasemarge PM [graden]

0

−60

Phase (deg)

• Met de Bode plots kunnen deze effecten prima in kaart worden gebracht.

1.2

20

Amplitude

Magnitude (dB)

40

90 60 30 0

1

10 1/α S&R-IO/12/17 Ronald Aarts UT / CTW / WA

100

§ 12.4.4

§ 12.4.3

Bode & filters: lag

Bode & filters: PI !

• Hoogfrequent: Versterking kp • Laagfrequent: Integrator ∼ 1/s – −90o fasenaijling – helling −1 • Toepassingen/voordelen: – Vermindering van eindfout • Nadelen: – Vermindering demping – Risico van instabiliteit

Magnitude (dB)

20 15 10

−1

5 0

1/τI

Phase (deg)

0

−45

−90 1 10

2

• Laagfrequent hogere versterking • Verlaagt de bandbreedte (minder demping) • Toepassingen: - Vermindering van statische fout.

(τz < τp)

Bode Diagram

15

5

0

1/τp

1/τz

−30

−60 0 10

10

−1

10

0

3

10

τp τz s + 1 τz τps + 1

20 Magnitude (dB)

Bode Diagram 25

• C(s) = kp

Phase (deg)

1 • C(s) = kp 1 + τI s

Frequency (rad/sec)

1

2

10

3

10

10

Frequency (rad/sec)

Alternatief: PI-regelaar (helling -1 gaat door voor ω → 0)



§ 12.4.5

Bode & filters: PID (“tam”) PID regelaar: Instellingen τz s + 1 • C(s) = kp τps + 1

1 1+ τis

!

• • • •

Bode Diagram Magnitude (dB)

20 10 0 −10 −20

Laagfrequent hoge versterking Fasevoorijling Geen roll-off Toepassingen: - Verhoging systeem type - Verhoging van bandbreedte - Toevoeging van demping.

Phase (deg)

90 45 0 −45 −90 −1 10

0

10

1

10

2

10

• C(s) = kp

τz s + 1 τps + 1

1+

1 τis

!

• Ziegler-Nichols tuning op basis van empirische data (zie bv. Franklin § 4.2.4, geen tentamenstof). • Combinatie van benodigd laagfrequent gedrag en lead-ontwerp methode: • Stap 1: Ontwerp lead-filter als voorheen voor gewenst gedrag bij de cross-over/bandbreedte: kp, τz , τp. • Stap 2: Kies τi voor gewenst laagfrequent gedrag zonder de lead werking te be¨ınvloeden. Vaak levert dit τi = 2τz . • In S&R-2: Uitgewerkt getallenvoorbeeld voor G(s) = 1/ms2:

3

10

Frequency (rad/sec)



§ 12.4.6

Bode & filters: Tweede orde laagdoorlaatfilter § 12.6

ωr2

• C(s) = kp 2 s + 2βωr s + ωr2

• Geeft roll-off • Typische instellingen: ωr ca. 5 maal bandbreedte, β = 0.5...0.8 • Toepassingen: - Roll-off: onderdrukken van hoogfrequente ruis en andere verstoringen.

Bode Diagram Magnitude (dB)

10 0 −10 −20 −30 −40

Phase (deg)

0

−90 −135 0

10

PD/lead: Aanbrengen van fasevoorijling voor hogere frequenties en daarmee demping en verbetering van stabiliteit. Bij een PD-regelaar (met “echte” D-actie) kan dit in de praktijk tot te veel hoogfrequent versterking leiden. Bij de “tamme” D-actie van het lead filter is dit minder, maar is de fasevoorijling ook minder en slechts in een beperkt frequentiegebied aanwezig. PI/lag: Vergroting van de laagfrequent versterking. Dit gaat samen met fasenaijling en dus een reductie van demping en stabiliteit. Zonodig kunnen de negatieve effecten worden beperkt door een lag filter te gebruiken i.p.v. een PI-regelaar, maar dan bevat de regelaar ook geen zuivere integrator meer.

−45

−180 −1 10

Overzicht regelaars

1

10

Frequency (rad/sec)



Hernieuwde analyse spindelslede (§ 9.5) Motor

Ontwerpen van regelaars Rechtgeleiding

• Denk aan de eigenschappen van de verschillende klassieke regelaars: Wat is nodig voor een specifiek probleem en welke regelactie kan dat leveren? • Regelaar ontwerp in het s-domein (tweede orde overdrachten): Specificaties vertalen in ζ en ωn.

Slede

Spindel

• Regelaar ontwerp in het frequentiedomein: Specificaties vertalen in PM en ωc.



Spindelslede: Modelvorming Spindelslede: Aanpak

Identificeer (ideale) componenten als massa’s, veren, omzetters, ...

• Modelvorming.

x

• Vertalen van tijddomein specificaties in gesloten lus eigenschappen als gewenste bandbreedte en demping.

Rotor

Schematisch model:

• Regelaarontwerp 1 met snelheids- en positieterugkoppeling: Vereenvoudig tot tweede orde systeem, voeg regelaar toe en stel kp en kv zo in dat de gewenste ligging van de polen wordt verkregen (uit ζ en ωn). Zie § 9.5.

θ2

θ2

IPM:

VLS-sen:

θ1

θ1 x

M c

Jm Js /2

• Regelaarontwerp 2 met lead filter: Beschouw Bode diagram en streef naar de juiste fasemarge (PM) en cross-over frequentie ωc. Controleer de stabiliteit van het gerealiseerde systeem.

Slede

slede product

Js /2 p/2 π

k

θ2

θ1

c(θ2 - θ1)

Mk = Fk ⋅p/2 π

M Jm+Js /2

Js /2

θ1

Fk

ml

= k(xs -x)

x ml

xs = θ1 ⋅p/2 π



Spindelslede: Co-located control met lead filter

Spindelslede: Blokschema

θ 1.0 · 104 s4 + 1.5 · 1012 s2 + 2.8 · 1018 Gc(s) = 2 = . M s6 + 2.1 · 108 s4 + 5.3 · 1014 s2 1

theta2 M2

theta2

M Jm+Js/2

theta1

c

M1

c

theta1

Js/2

p/2pi

Bode diagram:

x

xs −K−

k

F

k

x

1 x

ml

• Laagfrequent: Gc(s) ≈

−K− p/2pi

1 : Helling −2 en fase −180o. 1.9 · 10−4s2

Bij ω = 100 rad/s is |Gc(iω)| = 0.5 = −6 dB.

Wat is de uitgang van de sensor:

• Nulpunten in ±1.4 · 103i en ±1.2 · 104i: Telkens hellingsverandering +2 en faseverandering +180o.

Co-located control (θ2) of non co-located control (x)? Ontwerp een regelaar met een lead filter voor een gesloten lus bandbreedte van 84.1 rad/s (of fn = 13.4 Hz) en een relatieve demping van ζ ≈ 0.5 (minder dan in § 9.5). S&R-IO/12/28 Ronald Aarts UT / CTW / WA

• Polen in 0 (dubbel, geen omslagpunten), ±1.6 · 103i en ±1.4 · 104i: Telkens hellingsverandering −2 en faseverandering −180o. 1 • Hoogfrequent: Gc(s) ≈ : Helling −2 en fase −180o. 1.0 · 10−4s2 S&R-IO/12/29 Ronald Aarts UT / CTW / WA

Ontwerp lead filter - Stap 1: Stel ωc in op de helft van de bandbreedte met kp, dus ωc = 42 rad/s.

Bode diagram van θ 1.0 · 104 s4 + 1.5 · 1012 s2 + 2.8 · 1018 Gc(s) = 2 = . M s6 + 2.1 · 108 s4 + 5.3 · 1014 s2

|Gc(iωc)| = 3 = 10 dB

40 Magnitude (dB)

Magnitude (dB)

Bode Diagram

0 −40 −80

−90 −180 1 10

0 −40 −80 −120 0

Phase (deg)

Phase (deg)

−120 0

Bode Diagram

40

2

10

3

10

4

10

−90 −180 1 10

5

10

Frequency (rad/sec)

2

10

3

10

4

10

5

10

Frequency (rad/sec)



Stel kp in op 1/|Gc(iωc)| = 0.33 = −10 dB Magnitude (dB)

Bode Diagram

40

Stap 2 (vervolg): benodigde fasemarge voor ζ = 0.5 is PM = 50o.

0

Stap 3: Tel hierbij 5o–12o bij op, dus streef naar bv. PM = 55o.

−40 −80

Phase (deg)

−120 0

Stap 4: Dan is α =

1 − sin 55o = 0.1. 1 + sin 55o

−90 −180 1 10

2

10

3

10

4

10

Stap 5: Bepaal pool en nulpunt ligging uit crossover frequentie en de kantelpunten: √ Pool: τp = α/ωc = 0.0038 √ Nulpunt: τz = 1/( α · ωc) = 0.038

5

10

Frequency (rad/sec)

Stap 2: Huidige fasemarge is 0o. S&R-IO/12/32 Ronald Aarts UT / CTW / WA


Test met simulatie: Stap 6: Teken Bode diagram van C(s)Gc (s): Bode Diagram

−5

6

0

4 r, x [m]

−40 −80

x r

0.1

Phase (deg)

−120 90

3 2 1 0

0

−1 0

−90 −180 1 10

x 10

5

0.2 r−x [m]

Magnitude (dB)

40

2

10

3

10

4

10

5

0

0.2

0.4

0.6 t [s]

0.8

−2 0.9

1

Frequency (rad/sec)

Fase van −180o en versterking groter dan 1 komt niet voor: Stabiel.

1 t [s]

Het gesloten lus systeem is in elk geval wel stabiel.

1.76 · 1015 x = 6 . M s + 2.1 · 108 s4 + 5.3 · 1014 s2

x 1.76 · 1015 . = 6 M s + 2.1 · 108 s4 + 5.3 · 1014 s2

1 : Helling −2 en fase −180o. 0.30s2

• Geen nulpunten!

• Polen in 0 (dubbel, geen omslagpunten), ±1.6 · 103i en ±1.4 · 104i: Telkens hellingsverandering −2 en faseverandering −180o. 1 : Helling −6 en fase −540o. 5.7 · 10−16s6


Magnitude (dB)

Bode Diagram

Bij ω = 100 rad/s is |Gnc(iω)| = 3.3 · 10−4 = −70 dB.

• Hoogfrequent: Gnc(s) ≈

Bode diagram van Gnc(s) =

Bode diagram: • Laagfrequent: Gnc(s) ≈


Phase (deg)

Gnc(s) =

1.1

De prestaties zijn wat minder dan met de eerder ontworpen regelaar met snelheids- en positieterugkoppeling: Itereren.


Spindelslede: Non co-located control met lead filter

1.05

r − x rond t = 1 s

Gehele simulatie

10

0.95

0 −40 −80 −120 −160 −200 −240 0 −180 −360 −540 1

10

2

10

3

10

4

10

5

10

Frequency (rad/sec)


Bode Diagram

Bode Diagram

0 −40 −80 −120 −160 −200 −240 0

40 0 −40 −80 −120 −160 0

Phase (deg)

Phase (deg)

Magnitude (dB)

|Gnc(iωc)| = 0.0019 = −54 dB

Stel kp in op 1/|Gnc(iωc)| = 530 = 54 dB Magnitude (dB)

Ontwerp lead filter - Stap 1: Stel ωc in op de helft van de bandbreedte met kp, dus ωc = 42 rad/s.

−180 −360 −540

−180

1

10

2

10

−360

3

10

4

10

5

10

Frequency (rad/sec)

−540 1

10

2

10

3

10

4

10

5

10

Stap 2: Huidige fasemarge is 0o.

Frequency (rad/sec)



Stap 6: Teken Bode diagram van C(s)G(s):

Stap 2 (vervolg): benodigde fasemarge voor ζ = 0.5 is PM = 50o. Stap 3: Tel hierbij 5o–12o bij op, dus streef naar bv. PM = 55o.

Magnitude (dB)

Bode Diagram 40 0 −40 −80 −120

Stap 5: Bepaal pool en nulpunt ligging uit crossover frequentie en de kantelpunten: √ Pool: τp = α/ωc = 0.0038 √ Nulpunt: τz = 1/( α · ωc) = 0.038

Phase (deg)

−160 0

1 − sin 55o = 0.1. Stap 4: Dan is α = 1 + sin 55o

−180 −360 −540 1

10

2

10

3

10

4

10

5

10

Frequency (rad/sec)

Fase van −180o en versterking groter dan 1 komt wel voor: Instabiel. Exacte berekening gesloten lus polen: O.a. in +0.83 ± 1.6 · 103i!



Spindelslede: Slot Met de Bode ontwerp methode kunnen regelaars worden ontworpen en kan tevens de gesloten lus stabiliteit worden gecontroleerd. Hieruit blijkt bv. de instabiliteit van non co-located control voor de spindelslede. Het al dan niet optreden van deze instabiliteit hangt mede af van de hoogte van de pieken (dus de demping) en de ligging ten opzichte van de cross-over frequentie (dus de eigenfrequenties). → Zie bv. “robuuste” stabiliteit in S&R-2.


Systeem- en Regeltechniek: Doelen. Systeem- en Regeltechniek voor IO. Systeem- en Regeltechniek: Doelen (2) Huishoudelijke zaken & organisatie

Recommend Documents