Uitwerking notebook tentamen Systeem- en Regeltechniek 1 ( )

Systeem- en regeltechniek 1 (191131151)

1/10

Uitwerking notebook tentamen Systeem- en Regeltechniek 1 (191131151) 2 juli 2012 13:45 – 17:15 uur Opgave 1 a. Beredeneer dat in dit geval de auto met twee vrijheidsgraden kan worden beschreven. Stel vrijlichaamsdiagram(men) op. Benoem relevante grootheden en geef duidelijk aan hoe optredende krachten en/of momenten in het systeem kunnen worden berekend. Hiervoor mogen zelf gedefinieerde symbolen worden gebruikt als uit het antwoord blijkt hoe deze zijn uit te drukken in de grootheden die in de opgave zijn gedefinieerd. Let op dat gevraagd wordt om de auto met twee vrijheidsgraden te beschrijven. De excitatie door de testbank van de achterwielen za (t) is een voorgeschreven functie van de tijd voor de onderkant van de veer-demper-combinatie bij de achterwielen. De auto wordt in het algemeen geëxciteerd via de voor- en achterwielen, zv (t) en za (t) respectievelijk in de figuur van de opgave. De beweging in de auto zal zich dan, gezien de aannamen, in het vlak van de tekening afspelen. Twee voor de hand liggende vrijheidsgraden voor de auto zijn dan • vertikale translatie van het massamiddelpunt m: z • rotatie om het massamiddelpunt J: θ DOF’s:

z θ

massamiddelpunt z1

Auto

m, J L/2

zv=0

kv

dv

z2 L/2

ka

da

za

Weg Voorwielen

Achterwielen

Figuur 1: IPM van de auto met twee vrijheidsgraden z en θ. Een IPM staat in figuur 1. Voor de verlenging van de veren en dempers hebben we de positie van de bovenkant van de veren nodig. Voor kleine hoeken θ geldt: ˙ • voor: z1 = z − θL/2 z˙1 = z˙ − θL/2 ˙ • achter: z2 = z + θL/2 z˙2 = z˙ + θL/2

De VLS-sen voor translatie en rotatie staan dan in figuur 2. De uitdrukkingen voor de krachten en momenten staan in de figuur. Normering: Maximaal 12 punten. Andere keuzes voor de vrijheidsgraden zijn ook mogelijk, bv. bovengenoemde z1 en z2 . De VLS-sen worden dan wel lastig. Verder mag de zwaartekracht worden meegenomen, maar dan moet het wel correct gebeuren. Koppeling tussen θ en z vergeten kost minstens 2 punten, maar vaak is er dan meer fout. Ontbreken van VLS-sen kost ook punten (en is vaak het begin van fouten). Voor een 1-DOF systeem zijn maximaal 4 punten te behalen.


Uitwerking notebook tentamen 2-jul-2012 - 2/10

z

θ

m

J

Fka = ka (z + θL/2 − za ) ˙ Fda = da (z˙ + θL/2 − z˙a ) ˙ Fdv = dv (z˙ − θL/2) Fkv = kv (z − θL/2)

Mka = L/2 · Fka Mda = L/2 · Fda Mdv = L/2 · Fdv Mkv = L/2 · Fkv

Figuur 2: VLS-sen voor translatie (links) en rotatie (rechts) bij het IPM van figuur 1.

b. Stel een blokschema op vanuit het vrijlichaamsdiagram. Neem hierbij de excitatie van de achterwielen za (t) als ingang. In dit onderdeel en het volgende wordt de invloed van de dempers verwaarloosd, m.a.w. dv = 0 en da = 0. Het blokschema kan vrij eenvoudig worden getekend door te beginnen met twee massasubsystemen voor de massa m en de traagheid J. Verder zijn er twee veren kv en ka en moeten uiteraard de momenten worden berekend. Het resultaat staat in figuur 3. 1 s

1/m

1 s

z

1/m

F_kv

F_ka

z_2 − z_a

ka

1 z_a

ka z_1 kv L/2 M_kv

kv

L/2

L/2

M_ka 1/J

1 s

1 s

1/J

L/2

θ

Figuur 3: Blokschema van de auto met twee vrijheidsgraden. De ingang za (t) bevindt zich aan de rechterkant. Er is geen expliciete uitgang gedefinieerd. Normering: Maximaal 12 punten. Voor een 1-DOF systeem zijn maximaal 4 punten te behalen. c. Pas (gemotiveerd) het blokschema uit opgave b aan als is gegeven dat de VCM wordt aangestuurd met een spanningsbron U en wordt gekarakteriseerd door een motorconstante km , een elektrische weerstand van de spoelen Rm en een zelfinductie Lm . Net als in opgave b hoeven de dempers niet gemodelleerd te worden. Nu wordt de spanning U als ingang genomen en de auto wordt niet door de testbank geëxciteerd (dus ook za (t) = 0). Ga er bij de modelvorming vanuit dat de elektrische tijdconstante van het systeem klein is. In woorden: De VCM verzorgt nu een kracht FVCM en die is km maal de stroom I. Als de elektrische tijdconstante klein is, betekent dit dat het effect van de zelfinductie verwaarloosbaar is. M.a.w. de weerstand is stroombepalend I=

URm 1 = (U − km v1 ). Rm Rm



In deze uitdrukking wordt de back-EMF bepaald door de snelheid van de actuator. Aangezien de onderkant in deze opgave stil staat (za = 0 dus ook z˙a = 0), is deze gelijk aan de snelheid aan de bovenkant van de veer-demper-combinatie in figuur 2, dus ˙ v2 = z˙2 = z˙ + θL/2. De VCM kracht FVCM werkt analoog aan Fda in figuur 2. Net als Fda en Fka zal de VCM kracht dan ook voor een moment zorgen. Dat is in het blokschema uit te rekenen door FVCM en Fka bij elkaar op te tellen. Het uiteindelijke blokschema staat in figuur 4.

1 s

1/m U 1 U(t)

1 s

z

1/m

UR

I 1/Rm 1/Rm

F_VCM

km

F_ka

km

z_2

ka ka

z_1

F_kv kv L/2 M_kv

kv

L/2

L/2

M_ka 1/J

1 s

1 s

1/J

L/2

θ

L/2

v_2 km km

Figuur 4: Blokschema van het systeem met 2 vrijheidsgraden en een VCM.

Normering: Maximaal 10 punten. Let op dat de back-EMF op de juiste plek zit (2 punten).

Opgave 2 a. Kan de regelaar zoals die in de figuur in de opgave is getekend, worden ingedeeld in e´ e´ n van de “bekende” soorten zoals P, PD, PI, PID, lead, lag, zuivere I-actie, zuivere D-actie, laagdoorlaatfilter of een combinatie hiervan? Motiveer uw antwoord. Het gedeelte van het blokschema dat voor het systeem P (s) staat, kan worden geschreven als C(s) = kp (τ s + 1). Hier is een P-actie (kp ) en D-actie (kp τ ) te herkennen, dus een PD-regelaar. Normering: Maximaal 6 punten. De uitdrukking voor C(s) verprutsen door deze bijvoorbeeld als τ s + kp te schrijven, kost minstens 1 punt. b. Geef de gesloten lus overdracht van referentie r(t) naar uitgang y(t) voor het systeem in de figuur in de opgave.



Met C(s)P (s) = kp (1 + τ s)/(Js2 + c) is de gesloten lus overdracht T (s) =

C(s)P (s) kp (1 + τ s)/(Js2 + c) kp τ s + kp = = . 2 2 1 + C(s)P (s) 1 + kp (1 + τ s)/(Js + c) Js + kp τ s + c + kp

Verder vereenvoudigen zoals bijvoorbeeld teller en noemer delen door J is facultatief. Normering: Maximaal 7 punten. Een breuk in een breuk laten staan kost minstens 2 punten. c. Geef instellingen van de regelaar zodanig dat het systeem net in staat is een referentie signaal r(t) in de vorm van een scheve sinus met een opzettijd van 0.30 s te volgen met een maximale fout van 2% na de opzetperiode, dus na 0.30 s. De fout is hierbij gedefinieerd ten opzichte van de eindwaarde van de uitgang y(t). Bereken de eindfout van het gevonden gesloten lus systeem. Aangezien er met een scheve sinus wordt gewerkt, passen we de “Groenhuis” formules toe. Er is niets over demping voorgeschreven, dus we kunnen ζ = 0.75 kiezen, zodat vergelijking (3.37) uit het dictaat toegepast mag worden. Let wel: Er is ook nog een nulpunt in T (s), maar dat wordt verwaarloosd, aangezien we (zeker in eerste instantie) geen mogelijkheid hebben om dat te verdisconteren. Met de opzet tijd tm = 0.30 s en u/hm = 2% = 0.02 geeft vergelijking (3.37) τG3 = 0.02/0.06 = 0.33, waarin met τG de τ uit het dictaat wordt aangegeven om verwarring met de τ uit de regelaar te voorkomen. Hiermee krijgen we achtereenvolgens: τG = 0.69, Te = τG · tm = 0.21 s, ωn =

2π = 30 rad/s. Te

Deze bandbreedte en de gekozen ζ = 0.75 kunnen we realiseren met de overdracht T (s) door de termen in de noemer correct te “tunen” met (kp + c)/J = ωn2 → kp = ωn2 · J − c = 0.18 − 0.10 = 0.16 kp τ /J = 2ζωn

→ τ = 2ζωn · J/kp = 0.056

Voor de invloed van het nulpunt merken we nog op dat daar bij de responsie op een scheve sinus geen “vuistregels” in het dictaat zijn gegeven. Analoog aan de settling time bij een stapresponsie verwachten we echter dat de invloed op de fout na de opzet tijd relatief klein is. Rest nog de berekening van de eindfout. De stationaire gesloten lus versterking is T (0) =

kp 0.16 = = 0.89. c + kp 0.02 + 0.16

De (relatieve) eindfout is dan 1 − T (0) ofwel zo’n 11%! Normering: Maximaal 9 punten. De juiste “Groenhuis” levert 2 punten, bandbreedte en demping 2 punten, instellingen regelaar 3 punten en de eindfout eveneens 2 punten. Merk op dat de “verkeerde” Groenhuis formule (die zonder demping) fout is, omdat de regelaar naar wens demping toevoegt. De formules voor een stapresponsie zijn evenmin geschikt om de specificaties in concrete regelaar instellingen te vertalen. Deze leveren maximaal 4 punten.



d. Controleer de werking van het hierboven ontworpen systeem met behulp van M ATLAB en/of S I MULINK en geef zonodig gemotiveerde suggesties voor aanpassingen van de ontworpen regelaar en/of het gebruikte referentiesignaal om de fout na 0.30 s binnen de 2% van de eindwaarde te houden. Voor het genereren van de scheve sinus kan gebruik worden gemaakt van de verstrekte bestanden. Let echter op dat in een blokschema geen zuivere differentiator mag worden gebruikt. Het verstrekte S IMULINK model schevesinustest.mdl met bijbehorend script schevesinus.m is een prima startpunt voor deze test. Complicatie is alleen dat de PD-regelaar en servosysteem P (s) niet direct zoals getekend in figuur 2 van de opgave ingevoerd kunnen worden vanwege de zuivere differentiator. Dat is echter eenvoudig op te lossen door gebruik te maken van de gesloten lus overdracht die we in onderdeel b al hebben opgesteld. Het resultaat staat in het bovenste deel van figuur 5. Merk op dat de referentie ook in de Scope wordt getoond. Om de responsie van het systeem goed met de referentie k +c te kunnen vergelijken, is een vermenigvuldiging met pkp toegevoegd om ervoor te compenseren dat de stationaire versterking van de gesloten lus overdracht T (s) niet gelijk aan e´ e´ n is maar

1+c/kp Scheve Sinus 0.3 s 1.0 rad

Gain

kp*taud.s+kp J.s2 +kp*taud.s+kp+c

kp c+kp .

theta

PD + servo

ref

1+c/kp Gain − alt

kp 2 J.s +kp*taud.s+kp+c

theta − alt

PD + servo − alt

Figuur 5: Blokschema om de PD-regelaar te testen. Het bovenste systeem is de originele PD-regelaar en in het onderste systeem is het nulpunt in de gesloten lus overdrachtsfunctie voorkomen.

(a) Standaard PD-regelaar

(b) Met differentiator in de terugkoppellus en ingezoomd.

Figuur 6: Responsies op de scheve sinus (met de referentie).



Als we deze simulatie uitvoeren, krijgen we de responsie van figuur 6(a). Wat hier gelijk opvalt is de grote overshoot die er voor zorgt dat niet aan de specificaties wordt voldaan. In het vorige onderdeel hadden we al geconstateerd dat de gesloten lus overdrachtsfunctie afwijkt van de standaard tweede orde overdracht door de aanwezigheid van een nulpunt. Hiervan is bekend dat het voor overshoot kan zorgen, dus een voor de hand liggende oplossing is dit nulpunt verwijderen door het (1 + τ s) deel van de PDregelaar uit de rechtdoorgaande weg te verplaatsen naar de lus van de terugkoppeling, net als in figuur 4.5 van het dictaat. Dan wordt de gesloten lus overdrachtsfunctie: Talt (s) =

kp /(Js2 + c) kp = . 1 + kp (1 + τ s)/(Js2 + c) Js2 + kp τ s + c + kp

Het gesloten lus systeem met deze alternatieve regelaar is opgenomen in het onderste deel van het blokschema in figuur 5. De responsie van dit systeem blijkt nauwelijks nog overshoot te vertonen zoals is te zien in figuur 6(b). Om duidelijk te kunnen controleren of aan de specificatie wordt voldaan is in deze grafiek ingezoomd rond 0.30 s. Dan valt op dat het systeem nog iets te traag is. Een voor de hand liggende aanpak is om de bandbreedte te verhogen door kp te vergroten. Het blijkt echter dat dit slechts weinig helpt. Een betere suggestie is om de opzettijd van de scheve sinus iets te verkorten. In figuur 6(b) lezen we af de huidige responsie ca. 0.02 s te langzaam is. Wanneer de opzettijd nu op tm = 0.28 s wordt ingesteld, dan blijkt de responsie voor t = 0.30 s binnen de gevraagde 2% van de eindwaarde te zijn en te blijven. Normering: Maximaal 10 punten.

Opgave 3 a. Ontwerp met behulp van een Bode diagram een regelaar C(s) met uitsluitend proportionele actie voor dit gesloten lus systeem waarmee wordt geprobeerd de gewenste bandbreedte in te stellen. Onderzoek de stabiliteit van het ontworpen systeem en toon aan dat met dit ontwerp de gerealiseerde relatieve demping kleiner is dan gewenst. Voor het ontwerpen van een regelaar gaan we uit van de open lus overdracht P (s). Met het M ATLAB bode commando kan hier heel eenvoudig een Bode plot van gemaakt worden, zie figuur 7. Voor wie het niet direct wil geloven, kunnen de karakteristieken van deze plot worden gecontroleerd. Let op dat dit optioneel is, want het is niet gevraagd in de opgave. Doen we het toch, dan is het laagfrequente gedrag P (s) ≈

1.1 · 107 = 3.5 = 11 dB. 1250 · 2500

Dat levert in de amplitudeplot een constante waarde van 11 dB en een fase van 0o . Er zijn geen nulpunten, dus de omslagpunten liggen bij de polen. Er is een reële pool in −1250 en een complex polenpaar. Voor dit laatste is ωn2 = 2500, dus het omslagpunt ligt bij 50 rad/s. Dan levert het complex polenpaar het eerste omslagpunt. Bij 50 rad/s verandert de helling met −2 en de fase met −180o . De opslingering in de amplitude grafiek volgt uit de relatieve demping van het polenpaar. Aangezien 2ζωn = 30 is ζ = 0.3. Dat levert een piekje ter hoogte van 1/2ζ = 1.7 ofwel 4 dB. De omslag van de fase gaat niet abrupt, maar een stuk minder geleidelijk dan bij een eerste orde pool. Dat eerste orde gedrag zien we bij het tweede omslagpunt: Een reële pool, dus een extra verandering van de helling met −1 en van de fase met −90o .

Hoogfrequent is het resultaat dan ook een helling van −3 en een fase van −270o , hetgeen ook klopt met de hoogfrequente benadering voor P (s), namelijk P (s) ≈

1.1 · 107 . s3



Terug naar wat wel gevraagd is. Bode Diagram Magnitude (dB)

40 20 0 −20 −40 −60 −80

Phase (deg)

0 P(s) k P(s)

−90

p

−180 −270 1

10

2

10 Frequency (rad/s)

3

10

Figuur 7: Bode plot voor het ontwerp van een proportionele regelaar. Met alleen proportionele actie kunnen we geen invloed op de fase uitoefenen en alleen met de amplitude grafiek in verticale richting schuiven. Voor een bandbreedte van 300 rad/s proberen we de cross-over frequentie op deze waarde te krijgen. De grafiek van het ongecompenseerde systeem gaat bij deze frequentie door −20 dB. Met M ATLAB kan dit nauwkeuriger als −20.2 dB worden berekend. Gebruiken we de afgeronde waarde, dan wordt met C(s) = 20 dB = 10 de gewenste bandbreedte bereikt, zie eveneens figuur 7. De fase verandert niet, zodat de fasemarge direct in Bode plot van P (s) bij 300 rad/s kan worden afgelezen. Deze is in elk geval negatief, namelijk PM ≈ −10o . Met M ATLAB berekenen we PM = −8o . Dat komt overeen met een relatieve demping van ζ ≈ PM/100o = −0.08, hetgeen negatief is en uiteraard kleiner is dan gewenst. De negatieve demping en de negatieve fasemarge geven aan dat het gesloten lus systeem instabiel is. Normering: Maximaal 11 punten. Let op dat alle punten van de vraag worden beantwoord. En er kunnen diverse minpunten worden verzameld als open en gesloten lus overdrachten onjuist worden gebruikt. b. Ontwerp voor C(s) een lead filter waarmee wel aan de gestelde eisen voor het gesloten lus systeem kan worden voldaan. Gebruik wederom een Bode diagram bij het ontwerp en controleer hiermee de gesloten lus stabiliteit van het gesloten lus systeem. Een formule voor het lead filter is C(s) = kp

T s+1 . αT s + 1

Met het stappenplan vinden we hiervoor: • Gezien de gewenste bandbreedte mikken we in eerste instantie op een cross-over frequentie op de helft van de gewenste bandbreedte ligt, dus ωc = 150 rad/s.



• Bij die frequentie is de amplitude van het ongecompenseerde systeem P (jωc ) = −7 dB (met dank aan M ATLAB). Om deze cross-over frequentie in te stellen moet kp = 7 dB= 2.3 zijn. • Bij de gewenste cross-over frequentie van ωc = 300 rad/s lezen we de ongecompenseerde PM af (zie vorige onderdeel), namelijk PM = −8o . • Voor een gewenste relatieve demping van ca. ζ = 0.35 streven we naar een PM = 35o . • Het lead filter moet dus voor Φmax = 50o zorgen als we een extra marge van 7o nemen. • Dan volgt voor α een acceptabele waarde uit α= • Dan is T =

1 − sin Φmax = 0.13. 1 + sin Φmax 1 √

ωc α

= 0.0092 en αT = 0.0012.

Magnitude (dB)

Bode Diagram 40 20 0 −20 −40 −60 −80

P(s) kp P(s) C(s) P(s)

Phase (deg)

0 −90 −180 −270 1

10

2

10 Frequency (rad/s)

3

10

Figuur 8: Bode plot voor het ontwerp van een lead filter. Hiermee is het ontwerp klaar: C(s) = 2.3

0.0092 s + 1 . 0.0012 s + 1

Het geschetste Bode diagram staat in figuur 8. Hierin is eerst de grafiek van de absolute waarde “opgetild” met de kp om de cross-over frequentie initieel op 150 rad/s te leggen. De fase verandert hierbij niet. Daarna is het effect van het dynamisch deel van het lead filter toegevoegd. Hoogfrequent wordt hierdoor een extra versterking 1/α = 7.5 aangebracht met omslagpunten bij nulpunt en pool (110 rad/s en 820 rad/s). Bijgevolg schuift de cross-over frequentie naar rechts en uiteraard wordt ook de fasemarge vergroot met de gewenste 50o . In figuur 8 is duidelijk te zien dat de fase- en versterkingsmarge positief zijn (geen versterking groter dan 0 dB bij een fase van −180o ), zodat het systeem met dit lead filter stabiel is. Merk op dat de gewenste cross-over frequentie niet helemaal wordt gehaald. Normering: Maximaal 11 punten. c. Gebruik poolbanen om voor het systeem P (s) een regelaar C(s) met alleen P-actie te ontwerpen waarmee de maximale bandbreedte wordt gerealiseerd als wordt geëist dat het gesloten lus systeem stabiel moet zijn.



Verifieer tenslotte dat de gevonden regelaar en bandbreedte in overeenstemming zijn met wat hiervoor verwacht kon worden op basis van e´ e´ n van de Bode diagrammen uit de eerste onderdelen van deze opgave. Een regelaar met P-actie voegt alleen een versterking kp aan het systeem toe, zodat de open lus polen en nulpunten worden gegeven door P (s). Dit systeem heeft geen nulpunten en drie polen. Er is e´ e´ n reële pool in −1250 en een complex polenpaar met ωn = 50 rad/s en ζ = 0.3 (zie afleiding in onderdeel a), dus in −15 ± 48 i. De poolbanen kunnen we snel met M ATLAB plotten, maar voor de zekerheid lopen we de stappen na: Regel 1: Er zijn drie polen en geen nulpunten, dus er gaan drie poolbanen naar oneindig. Regel 2: De reële as is (een deel van) een poolbaan links van −1250. Regel 3: De asymptoten maken hoeken van 60o , 180o en 300o met de positieve reële as. Regel 4: Het startpunt hiervoor is (−15 − 15 − 1250)/3 = −427. Regel 5 levert de vertrekhoeken in het complexe polenpaar. Voor de pool −15 + 48 i zijn de bijdragen van de andere polen +90o en arctan

48 = 3o . 1250 − 15

De vertrekhoek is dan 180o − 90o − 3o = 87o Regel 6 voor mogelijk samenvallende polen levert geen bruikbare resultaten, omdat met de informatie uit de andere regels de poolbanen volgens figuur 9 kunnen worden getekend. Root Locus

Imaginary Axis (seconds−1)

1500 1000 500 0 −500 −1000 −1500 −2000−1500−1000 −500

0

500 1000 1500 2000

Real Axis (seconds−1)

Figuur 9: Poolbanen van P (s) met alleen P-actie. Voor een stabiel systeem moeten de gesloten lus polen natuurlijk allemaal in het linkerhalfvlak liggen. Als kp te groot wordt, is dat niet meer het geval. Het grensgeval is als er zuiver imaginaire polen zijn. De ligging van die polen volgt uit de doorsnijding van de poolbanen en de imaginaire as in figuur 9. Door in de M ATLAB plot in te zoomen, kunnen we aflezen dat deze polen gelijk zijn aan ±200 i en dat geeft gelijk de maximale bereikbare bandbreedte voor een stabiel systeem met alleen P-actie. Als twee gesloten lus polen p1 en p2 zuiver imaginair zijn, dan is p1 + p2 = 0 en volgt de derde reële pool p3 uit vergelijking (5.24) X

open lus polen =

X

gesloten lus polen

Systeem- en regeltechniek 1 (191131151) Uitwerking notebook tentamen 2-jul-2012 - 10/10 namelijk p3 = −1250 − 15 + 48 i − 15 − 48 i = −1280. Met vergelijking (5.22) is dan de versterking te bepalen als

(−1280 + 1250)(−12802 + 30 · −1280 + 2500) 1 kp = = = 4.4. |P (−1280)| 1.1 · 107

De karakteristieke vergelijking D(s) + kp N (s) = 0 voor de gesloten lus polen van dit systeem met deze kp kan worden geschreven als s3 + 1280s2 + 4 · 104 s + 3.1 · 106 + 4.4 · 1.1 · 107 = 0 ofwel s3 + 1280s2 + 4 · 104 s + 5.12 · 107 = 0. Het oplossen van deze derdegraads vergelijking is niet triviaal, met M ATLAB wel mogelijk en eigenlijk niet eens zo moeilijk omdat e´ e´ n oplossing, namelijk p3 = −1280 al bekend is. Hieruit volgt dat deze vergelijking is te schrijven als (s + 1280)(s2 + 4 · 104 ) = 0 waaruit de andere (uiteraard zuiver imaginaire) oplossingen voor de gesloten lus polen √ p1,2 = ± 4 · 104 i = ±200 i volgen. Hieruit volgt de maximale bandbreedte gelijk aan 200 rad/s, hetgeen gelijk is aan de afgelezen waarde. In het Bode diagram van onderdeel a kan deze maximale bandbreedte worden afgelezen in de fase plot, namelijk daar waar die net de −180o doorsnijdt. Dat kan in de grafiek worden afgelezen, maar nauwkeuriger met het margin commando worden berekend: wederom 200 rad/s. De versterking volgt uit de Bode plot van de absolute waarde. Om de cross-over frequentie namelijk op deze 200 rad/s te krijgen, moet deze met de GM van 13 dB worden opgetild hetgeen correspondeert met een versterking van 4.4. Klopt ook dus. Normering: Maximaal 12 punten. Verdeling: 7 punten voor het regelaarontwerp met poolbanen en 5 punten voor de vergelijking met het Bode diagram.

20120702uit

Uitwerking notebook tentamen Systeem- en Regeltechniek 1 ( )

Recommend Documents