Systeemtheorie. De Brabanter Jos

Systeemtheorie De Brabanter Jos

Deel I Inleiding

1

Hoofdstuk 1 Signalen en Systemen 1.1

Signalen en classificatie van signalen

Een signaal wordt mathematisch voorgesteld als een functie van een onafhankelijke variabele t.In deze curcus wordt een signaal aangeduid door x (t) . (i) Continue tijdssignalen en discrete tijdssignalen: Een signaal x (t) is een continu tijdssignaal als t ∈ R. Als t ∈ Z, dan is x (t) een discreet tijdssignaal. Een discreet tijdssignaal wordt dikwijls voorgesteld als een rij van getallen, genoteerd als x[n], waarbij n ∈ Z. Een illustratie van een continu tijdssignaal x(t) en een discreet tijdssignaal x[n] wordt weergegeven in Figuur 1.1

Figuur 1.1: Grafische voorstelling van (a) een continu tijdssignaal en (b) een discreet tijdssignaal (ii) Analoog- en digitale signalen: indien een continu tijdssignaal x(t) elke waarde in het interval (−∞, ∞) kan aannemen, dan noemen we het signaal x(t) analoog. Indien een discreet tijdssignaal x[n] enkel een eindig aantal verschillende waarden kan aannemen, noemen we het een digitaal signaal. (iii) Deterministische- en willekeurige signalen: Deterministische signalen zijn signalen waarvan de waarden compleet gespecifieerd zijn voor eender welk tijdstip. Dus, een deterministisch signaal kan gemodelleerd worden door een gekende functie van tijd t. Willekeurige signalen zijn signalen waarvan de waarden willekeurig zijn bij eender welke tijd en moeten statistisch gekarakteriseerd worden. Willekeurige signalen behoren niet tot het doel van deze cursus.

2

HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN

3

(iv) Even- en oneven signalen: x(t) of x[n] is een even signaal als x(−t) = x(t) x[−n] = x[n]

(1.1)

Een signaal x(t) of x[n] is een oneven signaal als x(−t) = −x(t) x[−n] = −x[n]

(1.2)

Voorbeelden van even en oneven signalen worden getoond in Figuur 1.2

Figuur 1.2: Voorbeelden van even signalen (a,b) en oneven signalen (c,d) (v) Periodische- en niet-periodische signalen: Een continu tijdssignaal x(t) wordt periodisch genoemd met periode T als er een T ∈ R+ 0 bestaat waarvoor x(t + T ) = x(t)

∀t

(1.3)

Een voorbeeld van een periodisch signaal wordt voorgesteld in Figuur 1.3(a). Uit (1.3) of Figuur 1.3(a) volgt dat x(t + mT ) = x(t)

(1.4)

∀t en m ∈ N. Elk continu signaal welke niet periodiek is, wordt niet-periodisch of aperiodiek genoemd. Periodieke discrete signalen worden op analoge manier gedefinieerd. Een discreet signaal x[n] wordt periodiek genoemd met periode N indien er een natuurlijk getal N bestaat waarvoor geldt dat x[n + N ] = x[n]

∀n.

(1.5)


4

Figuur 1.3: Voorbeelden van periodieke signalen Een voorbeeld van een periodiek discreet signaal is weergegeven in Figuur 1.3(b). Uit (1.5) en Figuur 1.3(b) volgt dat x[n + mN ] = x[n] voor alle n en elk natuurlijk getal m. De fundamentele periode N0 van x[n] is het kleinste positieve geheel getal N uit (1.5). Elk discreet signaal welke niet periodiek is, wordt niet-periodiek of aperiodisch genoemd. (vi) Energie- en vermogensignalen: Zij v(t) het voltage over een weerstand R en i(t) de stroom door de weerstand. Het ogenblikkelijke vermogen p(t) per ohm is gedefinieerd als v(t)i(t) p(t) = = i2 (t) (1.6) R De totale energie E en het gemiddeld vermogen P op een per-ohm basis zijn Z ∞ E = i2 (t) dt joules (1.7) −∞

1 P = lim T →∞ T

Z

T /2

i2 (t) dt

watt

(1.8)

−T /2

Voor een willekeurig continu tijdssignaal x(t), wordt de genormaliseerde energie hoeveelheid E van x(t) gedefinieerd als Z ∞ E= |x(t)|2 dt (1.9) −∞

Het genormaliseerd gemiddeld vermogen P van x(t) wordt gedefinieerd als Z 1 T /2 |x(t)|2 dt P = lim T →∞ T −T /2

(1.10)


5

Voor een discreet tijdssignaal x[n] wordt de genormaliseerde energie hoeveelheid E van x[n] gedefinieerd als ∞ X E= |x[n]|2 (1.11) n=−∞

Het genormaliseerd gemiddeld vermogen P van x[n] wordt gedefinieerd als N X 1 P = lim |x[n]|2 . N →∞ 2N + 1 n=−N

(1.12)

Gebaseerd op de definities (1.9) tot (1.12), kunnen we volgende klassen van signalen definiëren 1. x(t) (of x[n]) is een energie-signaal als en slechts als 0 < E < ∞ en dus P = 0 2. x(t) (of x[n]) is een vermogen-signaal als en slechts 0 < P < ∞ en hieruit volgt dat E = ∞ 3. Signalen welke niet voldoen aan voorgaande eigenschappen worden noch energiesignalen noch vermogen-signalen genoemd Merk wel op dat een periodiek signaal een vermogen-signaal is als de energie-inhoud per periode eindig is, en het gemiddelde vermogen van dit signaal moet enkel worden berekend over een periode.

1.2 1.2.1

Continue signalen De stapfunctie

De stapfunctie u(t) of Heaviside unit functie, is gedefinieerd als ½ 1, t > 0; u(t) = 0, t < 0.

(1.13)

welke wordt voorgesteld in Figuur 1.4(a). Merk op dat de stapfunctie discontinu is bij t = 0 en dat de waarde bij t = 0 ongedefinieerd is. Gelijkaardig wordt de verschoven stapfunctie gedefinieerd als ½ 1, t > t0 ; u(t − t0 ) = (1.14) 0, t < t0 . welke wordt voorgesteld in Figuur 1.4(b)

1.2.2

Hellingsfunctie

De hellingsfunctie r(t) wordt gedefinieerd als ½ t, t ≥ 0; r(t) = 0, t < 0.

(1.15)


6

Figuur 1.4: (a) stapfunctie; (b) verschoven stapfunctie welke wordt voorgesteld in Figuur 1.5. Merk op dat voor t ≥ 0 de richtingscoëfficiënt 1 is. De hellingsfunctie r(t) is gelijk aan de integraal van de stapfunctie u(t) Z t

r(t) =

u(λ) dλ −∞

Omgekeerd is de eerste afgeleide van r(t) naar de tijd gelijk aan u(t), behalve bij t = 0, waar de afgeleide van r(t) niet gedefinieerd is.

Figuur 1.5: hellingsfunctie

1.2.3

De impulsfunctie

De eenheidimpulsfunctie of Dirac functie, is een mathematische onregelmatigheid. Dirac (1930), gebruikte de impulsfunctie eerst in zijn werk over quantum mechanica. Hij definieerde de delta functie δ (t) door volgende vergelijkingen Z ∞ δ (t) dt = 1 (1.16) −∞

δ (t) = 0 voor t 6= 0. welke is voorgesteld in Figuur 1.6. De belangrijkste eigenschap van de delta functie is Z ∞ f (t) δ (t) dt = f (0)

(1.17)

(1.18)

−∞

met f (t) een reguliere functie die continu is in t = 0. Merk op dat (1.18) een symbolische uitdrukking is en moet niet beschouwd worden als een gewone Riemann integraal. In deze context, δ (t) wordt dikwijls een gegeneraliseerde functie genoemd en f (t) is gekend als


7

Figuur 1.6: een testfunctie. Dirac noemde de delta functie een oneigelijke functie omdat in die tijd geen rigoreuze mathematische bewijsvorming bestond. In 1950 publiseerde Schwarts The theory of distributions, welke een mathematische basis bevatte voor de delta functie. Op gelijkaardige wijze wordt de verschoven delta functie δ(t − t0 ) gedefinieerd door Z ∞ f (t) δ (t − t0 ) dt = f (t0 ) (1.19) −∞

met f (t) een reguliere functie die continu is in t = t0 . De functies δ (t) en δ (t − t0 ) worden grafisch weergegeven in Figuur 1.7.

Figuur 1.7: (a) éénheidsimpulsfunctie;(b) verschoven éénheidsimpulsfunctie Enkele eigenschappen van δ (t) zijn δ (at) =

1 δ (t) |a|

(1.20)

δ (−t) = δ (t)

(1.21)

x (t) δ (t) = x (0) δ (t)

(1.22)

x (t) δ (t − t0 ) = x (t0 ) δ (t − t0 )

(1.23)

als x (t) continu is in t = 0.


8

als x (t) continu is in t = t0 . Gebruikmakend van (1.18) en (1.21), elk continu tijdsignaal x (t) kan geschreven worden als Z ∞ x (t) = x (τ ) δ (t − τ ) dτ. (1.24) −∞

1.2.4

Sinuso¨ıdale signalen

Een continu sinussignaal kan worden geschreven als x(t) = A cos(ω0 t + θ)

(1.25)

met A de amplitude, ω0 de hoekfrequentie en θ de fasehoek. Het sinuso¨ıdaal signaal wordt voorgesteld in Figuur 1.8. Een sinuso¨ıdaal signaal is een voorbeeld van een periodiek signaal.

Figuur 1.8: Continu sinuso¨ıdaal tijdssignaal

1.3

Discrete basissignalen

1.3.1

De ´ e´ enheidstapsequentie

De éénheidstapsequentie u[n] is gedefinieerd als ½ 1 n≥0 u[n] = 0 n<0

(1.26)

welke getoond wordt in Figuur 1.9(a). Merk op dat de waarde van u[n] bij n = 0 gedefinieerd is (de continue stapfunctie u(t) is niet gedefinieerd bijt = 0) en gelijk is aan de éénheid. Op een gelijkaardige wijze wordt de verschoven éénheidstapsequentie u[n − k] gedefinieerd als ½ 1 n≥k u[n − k] = (1.27) 0 n

9

Figuur 1.9: (a) Eenheidstapsequentie; (b) verschoven éénheidstapsequentie

1.3.2

De ´ e´ enheidimpulssequentie

De éénheidimpulssequentie δ[n] is gedefinieerd als ½ 1 n=0 δ[n] = 0 n 6= 0

(1.28)

welke wordt voorgesteld in Figuur 1.10(a). Op een gelijkaardige wijze wordt de verschoven

Figuur 1.10: (a) Eenheidimpulssequentie; (b) verschoven éénheidsimpulssequentie éénheidimpulssequentie δ[n − k] gedefinieerd als ½ 1 n=k δ[n − k] = 0 n= 6 k

(1.29)

Dit wordt ge¨ıllustreerd in Figuur 1.10(b). Anders dan bij de continue impulsfunctie δ(t), is δ[n] gedefinieerd zonder mathematische moeilijkheden. De eigenschappen van δ[n] zijn analoog met (1.20) tot (1.23).

1.4

Systemen en classificatie van systemen

Gegeven een ingangsignaal en een uitgangsignaal x en y. Een systeem is een mathematisch model van een fysisch proces dat y in functie van x weergeeft. Het systeem kan worden opgevat als een mapping en wordt voorgesteld door y = T [x]

(1.30)

waarbij T een operator is. Relatie (1.30) is weergegeven in Figuur 1.11. Meervoudige ingangsignalen en/of uitgangsignalen zijn mogelijk en worden weergegeven in Figuur 1.11.


10

Figuur 1.11: Systeem met enkelvoudige of meervoudige ingang-uitgangsignalen Systemen kunnen worden ingedeeld op verschillende manieren, nl: (a) Lineaire- en niet-lineaire systemen Als de operator T in (1.30) voldoet aan de volgende twee voorwaarden, dan is T een lineaire operator en het systeem voorgesteld door de lineaire operator wordt dan een lineair systeem genoemd. (1) Additiviteit: Gegeven dat y1 = T [x1 ] en y2 = T [x2 ] , dan y1 + y2 = T [x1 + x2 ]

(1.31)

αy = T [αx] ,

(1.32)

voor alle signalen x1 en x2 . (2) Homogeniciteit (schaling): α∈R

voor alle signalen x1 en x2 . Elk systeem dat niet voldoet aan (1.31) en (1.32) wordt geclassificieerd als niet-lineair systeem. Vergelijkingen (1.31) en (1.32) kunnen geschreven worden als een voorwaarde, zoals α1 y1 + α2 y2 = T [α1 x1 + α2 x2 ] ,

α1 , α2 ∈ R.

(1.33)

Vergelijking (1.33) is gekend als de superpositie eigenschap. Een ander belangrijke eigenschap van een lineair systeem is dat een zero ingang een zero respons geeft (α = 0 in (1.32)). (b) Continue- en discrete tijdssystemen Als x, y ∈ R, dan wordt het systeem een continu systeem genoemd, zie Figuur 1.12 (a).

Figuur 1.12: (a) continu tijdsysteem; (b) discreet tijdsysteem Als x, y ∈ Z, dan wordt het systeem een discreet systeem genoemd, Figuur 1.12 (b).


11

(c) Causale en niet-causale systemen Een systeem wordt causaal genoemd als voor elke tijd t0 de uitgangrespons y (t0 ) , gegenereerd door ingang x (t) , niet afhankelijk is van de ingang x (t) voor t > t0 . Dus in een causaal systeem is het niet mogelijk een uitgang te bekomen voordat er een ingang wordt aangelegd aan het systeem (verondersteld dat er geen initiële energie aanwezig is). Een systeem wordt niet-causaal genoemd als het niet causaal is. (d) Systemen met geheugen en zonder geheugen Een causaal systeem wordt geheugenloos genoemd als voor elke tijd t0 de uitgang bij t0 enkel afhankelijk is van de ingang bij tijd t0 . (e) Tijdsinvariante en tijdsveranderlijke systemen Een systeem wordt tijdsinvariant genoemd als een tijdsverschuiving in het ingangsignaal dezelfde tijdsvertraging veroorzaakt in het uitgangsignaal. Voor een continu systeem, het systeem is tijdsinvariant als y (t − τ ) = T [x (t − τ )] ,

τ ∈ R.

(1.34)

Voor een discreet systeem, het systeem is tijdsinvariant als y [n − k] = T [x [n − k]] ,

k ∈ Z.

(1.35)

(f ) Lineaire tijdsinvariante systemen Als het systeem lineair en tijdsinvariant is, dan wordt het een lineair tijdsinvariant (LTI) syteem genoemd. (g) Stabiele systemen Een systeen is begrensd-ingang/begrensd-uitgang (BIBO) stabiel als voor elk begrensde ingang |x| ≤ k1 de overeenstemmende uitgang y ook begrensd is ( |y| ≤ k2 ),waarbij k1 , k2 ∈ R. Merk op dat er vele andere definities van stabiliteit zijn (zie volgende hoofdstukken). (h) Teruggekoppelde systemen Een teruggekoppeld systeem wordt voorgested in Figuur 1.13.

Figuur 1.13: Teruggekoppeld systeem Het uitgangsignaal wordt teruggekoppeld en opgeteld bij het ingangsignaal van het systeem.


1.5

12

Voorbeelden van continue systemen

Auto op horizontaal vlak Beschouw een auto op een horizontaal vlak voorgesteld in Figuur 1.14.

Figuur 1.14: Auto met voorwaartse- of remkracht x(t) Zoals aangegeven, de uitgang y(t) is de positie van de auto in functie van tijd t t.o.v. een bepaalde referentie en de ingang x(t) is de kracht toegepast op de auto op tijdstip t. Volgens Newton’s tweede wet van beweging, zijn y(t) en x(t) gerelateerd door volgende tweede orde vergelijking M

d2 y(t) dy(t) + kw = x(t) 2 dt dt

(1.36)

waarbij M de massa van de auto en kw de wrijvingscoëfficiënt voorstellen. RC-netwerk Gegeven een RC-netwerk, Figuur 1.15. De RC kring kan worden voorgesteld als een ingang-uitgang continu systeem met ingang x(t) gelijk aan de stroom i(t) en met uitgang y(t) gelijk aan de spanning vC (t) over de capaciteit.

Figuur 1.15: RC circuit Door toepassing van Kirchoff’s stroomwet iC (t) + iR (t) = i(t)

(1.37)

De spanning-stroom relatie voor de capaciteit is iC (t) = C

dvC (t) dt

(1.38)


13

en voor de weerstand iR (t) =

1 vC (t) R

(1.39)

Substitutie van (1.38) en (1.39) in (1.37) geeft de volgende lineaire differentiaalvergelijking C

dy(t) 1 + y(t) = x(t) dt R

(1.40)

Mathematische slinger Beschouw een slinger van lengte L en massa M , zie Figuur (1.16). De ingang x(t) is de toegepaste kracht op de massa M rakend aan de bewegingsrichting van de massa, en M g sin θ(t) is de kracht t.g.v. de gravitatie rakend aan de bewegingsrichting. De uitgang y(t) wordt gedefinieerd als de hoek θ(t) tussen de slinger en de verticale positie.

Figuur 1.16: Mathematische slinger Volgens de wetten van de mechanica, de ingang en de uitgang zijn gerelateerd door volgende tweede orde differentiaalvergelijking I

d2 θ(t) + M gL sin θ(t) = Lx(t) dt2

(1.41)

waarbij g de gravitatieconstante en I het traagheidsmoment is gegeven door I = M L2 . Door de aanwezigheid van de term sin θ(t) is de ingangs-uitgangs differentiaalvergelijking (1.41) een niet lineaire differentiaalvergelijking. Door deze niet lineariteit kan de differentiaalvergelijking niet in een expliciete uitdrukking y(t) in functie van x(t) worden bepaald. y(t) kan nu wel numeriek benaderd worden door numerieke technieken voor het oplossen van niet lineaire differentiaalvergelijkingen. Indien de grootte |θ(t)| van de hoek θ(t) klein is, kan de sin θ(t) worden benaderd door θ(t) zelf, de niet lineaire differentiaalvergelijking (1.41) wordt dan d2 θ(t) + M gLθ(t) = Lx(t) I dt2

(1.42)


1.6

14

Voorbeelden van discrete systemen

Terugbetaling banklening De terugbetaling van een banklening kan behandeld worden als een discreet tijdssysteem op volgende manier: Met n = 0, 1, 2, . . . , de ingang x[n] is de terugbetaling van de lening in de n-de maand, en de uitgang y[n] is de balans van de lening na de n-de maand. Hier is n de tijdsindex welke de maand voorstelt, de ingang x[n] en de uitgang y[n] zijn discrete tijdssignalen welk functie zijn van n. De beginvoorwaarde y[0] is het bedrag van de lening. Normaal zijn de terugbetalingen x[n] constant; dit is, x[n] = c, n = 0, 1, 2, . . ., waarbij c een constante is. In dit voorbeeld is x[n] toegelaten te variëren van maand tot maand (bv. de terugbetalingen kunnen niet gelijk zijn). De terugbetaling van de lening wordt beschreven door volgende verschilvergelijking µ ¶ I y[n] − 1 + y[n − 1] = −x[n], n = 0, 1, 2, . . . (1.43) 12 waarbij I het jaarlijkse intrestpercentage bedraagt in decimale vorm. Stel dat het jaarlijkse intrestpercentage 10% bedraagt dan is I = 0.1. Vergelijking (1.43) is een eerste orde lineaire verschilvergelijking. Discrete tijdsbehandelig van analoge signalen De meeste discrete tijdssignalen worden monsters te nemen van continue tijdssignalen zoals spraak- en audiosignalen,... Het proces welke deze signalen converteert in een digitale vorm wordt analog-to-digital (A/D) conversie genoemd. Het omgekeerd proces dat het analoog signaal reconstrueert via zijn monsters is gekend als digital-to-analog (D/A) conversie. Figuur 1.17 bestaat uit een opeenvolging van een A/D convertor, een discreet tijdssysteem en een D/A convertor.

Figuur 1.17: Behandelen van een analoog signaal gebruikmakend van een discreet tijdsysteem. C/D=continu/discreet en D/C=discreet/continu Het ingangsignaal xa (t) en het uitgangsignaal ya (t) zijn analoge signalen, Ts is de bemonsteringsperiode, x[n] en y[n] zijn de respectievelijke discrete ingang- en uitgangsignaal en H(e(jω) ) is de systeemfunctie van het discreet systeem.


1.7

15

Matlab en Signaal Analyse

Een continu signaal x (t) gegeven in een analytische vorm kan gedefinieerd en afgebeeld worden gebruikmakend van het software pakket Matlab. Om het gebruik te illustreren beschouwen we het volgende signaal µ ¶ 2 x (t) = exp (−0.1t) sin t . (1.44) 3 Een plot van x (t) versus t voor verschillende waarden van t kan gegenereerd worden met Matlab. Bijvoorbeeld, voor t variërend van 0 tot 30 in stappen van 0.1 seconden, de Matlab commando’s voor het genereren van x (t) zijn Algoritme 1.1 Een continu signaal x (t) . t = 0:0.1:30; x = exp(-0.1*t).*sin(2/3*t); plot(t,x) axis([0 30 -1 1]); grid ylabel(’x(t)’) xlabel(’Time (sec)’) De resulterende plot van x (t) wordt getoond in Figuur(1.18). In contrast met een continu 1

0.8

0.6

0.4

x(t)

0.2

0

−0.2

−0.4

−0.6

−0.8

−1

0

5

10

15 Time (sec)

20

25

Figuur 1.18: Matlab plot van het signaal x (t) = exp (−0, 1t) sin

30

¡2 ¢ t . 3

signaal x (t), het discreet signaal voorgesteld door x [n] wordt in Matlab afgebeeld in een


16

stem plot. De waarden van x [n] worden gemerkt in de plot door gesloten cirkels welke met lijnen verbonden zijn met de tijd-as. Bijvoorbeeld, veronderstel dat het discreet signaal x [n] wordt gegeven door x [−2] = 0, x [−1] = 0, x [0] = 1, x [1] = 2, x [2] = 1, x [3] = 0,

(1.45)

x [4] = −1, x [5] = 0, x [6] = 0 De stem plot van x [n] is weergegeven in Figuur (1.19). Een plot van dit signaal kan worden gegenereerd gebruikmakend van volgende Matlab commando’s Algoritme 1.2 Een discreet signaal x [n] . n = -2:6; x=[0 0 1 2 1 0 -1 0 0]; stem(n,x); xlabel(’n’) ylabel(’x[n]’)

2

1.5

x[n]

1

0.5

0

−0.5

−1 −2

−1

0

1

2 n

3

4

Figuur 1.19: Matlab plot voor x [n] .

5

6


17

Verschillende elementaire functies (eenheidstapfunctie, hellingfunctie en impulsfunctie) worden gedefinieerd in Matlab als volgt function u = step_function(t) u = 0.5*(sign(t + eps) + 1); % Functie voor het genereren van de hellingfunctie % function r = ramp_function(t) r = 0.5*t.*(sign(t) + 1); %Functie voor het genereren van de eenheidimpuls % function impuls = impuls_function(t, delta) impuls = ( step_function(t+delta/2) - (step_function(t-delta/2))/delta; Om het gebruik van deze functies te demonstreren genereren we volgende functies. Het resultaat (zie Figuur 1.20) en de programma’s worden hieronder weergegeven. 1. een stapfunctie met beginpunt t = 2 naar rechts gaande. 2. Een hellingsfunctie met helling 2 vertrekkende vanaf t = 4. 3. Een éénheidimpuls voortkomend bij t = −3.5. Algoritme 1.3 Construeren van een Stap-, helling- en impulsfunctie t = -10 : 0.005 : 10; x = step_function(t-2); y = 2*ramp_function(4+t); z = impuls_function(t+3.5, 0.05); subplot(3,1,1) plot(t,x) axis([-10 10 0 1.5]) xlabel(’t’) ylabel(’u(t-2)’) subplot(3,1,2) plot(t,y) xlabel(’t’) ylabel(’2r(4+t)’) subplot(3,1,3) plot(t,z) axis([-10 10 0 25]) xlabel(’t’) ylabel(’delta(t+3)’)


18

u(t−2)

1.5 1 0.5 0 −10

−8

−6

−4

−2

0 t

2

4

6

8

10

−8

−6

−4

−2

0 t

2

4

6

8

10

−8

−6

−4

−2

0 t

2

4

6

8

10

2r(4+t)

30 20 10 0 −10 25 delta(t+3)

20 15 10 5 0 −10

Figuur 1.20: Verschillende elementaire signalen bepaald en geplot met Matlab. Verdere voorbeelden van elementaire signalen en het bouwen van meer complexe signalen worden nu besproken. Bijvoorbeeld, het construeren van s (t) = 4u (t − 1) + (−4)u(t − 2).

(1.46)

De plot van s (t) is weergegeven in Figuur (1.21). Een plot van dit signaal kan worden gegenereerd gebruikmakend van volgende Matlab commando’s Algoritme 1.4 Construeren van een rechthoekige puls t = -10 : 0.005 : 10; x =4*step_function(t-1)+(-4)*step_function(t-2); plot(t,x) axis([0 5 -5 5]) xlabel(’t’) ylabel(’s(t)’) Een eenvoudige manier om een rechthoekige pulstrein te construeren is gebruikmaken van de eigenschap dat de stapfunctie gelijk is aan 0 wanneer zijn argument negatief is. De functie µ µ ¶¶ πt (1.47) s (t) = u sin T ¡ ¢ is nul wanneer sin πt negatief is. De plot is weergegeven in Figuur (1.22). Een plot van T dit signaal kan worden gegenereerd gebruikmakend van volgende Matlab commando’s


19

5

4

3

2

s(t)

1

0

−1

−2

−3

−4

−5

0

0.5

1

1.5

2

2.5 t

3

3.5

4

4.5

5

Figuur 1.21: Constructie van een rechthoekige puls met een stapfunctie. Algoritme 1.5 Construeren van een rechthoekige puls trein. t = -0.2 : 0.005 : 6; T=1; x = step_function(sin(pi*t/T)); plot(t,x) axis([-0.2 5.8 -1 2]) xlabel(’t’) ylabel(’s(t)’) Als laatste voorbeeld, beschouw een puls zoals voorgesteld in Figuur(blz 33, Network analyse and synthese). Deze puls kan met de elementaire functies als volgt worden geschreven: 1. Voor dalende t, de eerste van nul verschillende component is de functie 2 (t − 1) u (t − 1) . 2. Bij t = 2, het stijgen van de rechte lijn wordt gestopt met de term −2 (t − 2) u (t − 2) 3. Het niveau wordt op nul gebracht met −2u (t − 2) . Dit wordt samengevat in Figuur (blz 33, Network analyse and synthese). De plot is weergegeven in Figuur (1.23). Een plot van dit signaal kan worden gegenereerd gebruikmakend van volgende Matlab commando’s


20

2

1.5

s(t)

1

0.5

0

−0.5

−1

0

1

2

3

4

5

t

¡ ¡ ¢¢ Figuur 1.22: Het signaal u sin πt met Matlab. T Algoritme 1.6 Construeren van een driehoekpuls. t = 0: 0.005 : 5; x=2*ramp_function(t-1).*step_function(t-1)-2*ramp_function(t-2).* step_function(t-2)-2*step_function(t-2); plot(t,x) axis([-5 6 -1 6]) xlabel(’t’) ylabel(’s(t)’)


21

3

2.5

2

s(t)

1.5

1

0.5

0

−0.5

−1

0

0.5

1

1.5

2

2.5 t

3

3.5

4

4.5

5

Figuur 1.23: Driehoekpuls met Matlab.

1.8

Oefeningen

Signalen en classificatie van signalen Oefening 1.1 Gegeven een continu tijdssignaal x(t), zie Figuur 1.24. Teken elk van de volgende signalen (a) x(t − 2), Figuur 1.25(a) (b) x(2t), Figuur 1.25(b) (c) x( 2t ), Figuur 1.25(c) (d) x(−t), Figuur 1.25(d)


Figuur 1.24: Oplossing

Figuur 1.25:

22


23

Oefening 1.2 Gegeven twee discrete tijdssignalen x1 [n] en x2 [n], zie Figuur 1.26. Stel volgende signalen op een grafiek voor (a) y1 [n] = x1 [n] + x2 [n], Figuur 1.27(a) (b) y2 [n] = 2x1 [n], Figuur 1.27(b) (c) y3 [n] = x1 [n]x2 [n], Figuur 1.27(c)

Figuur 1.26: Oplossing

Figuur 1.27:


24

Oefening 1.3 Gegeven een continu tijdssignaal x(t), Figuur 1.28. Teken de volgende signalen (a) x(t)u(1 − t) (b) x(t)[u(t) − u(t − 1)] (c) x(t)δ(t − 32 )

Figuur 1.28:

Oplossing (a) Volgens de definitie van de stapfunctie geldt ½ u(1 − t) =

1, t < 1; 0, t > 1.

en x(t)u(1 − t) is voorgesteld in Figuur 1.29(a) (b) Volgens de definitie van de stap ½ u(t) − u(t − 1) =

1, 0 < t ≤ 1; 0, anders.

en x(t)[u(t) − u(t − 1)] is voorgesteld in Figuur 1.29(b) (c) Volgens (1.23) µ

3 x(t)δ t − 2

¶

µ ¶ µ ¶ µ ¶ 3 3 3 =x δ t− = 2δ t − 2 2 2

wordt voorgesteld in Figuur 1.29(c)


Figuur 1.29: Oefening 1.4 Bereken volgende integralen R1 (a) −1 (3t2 + 1)δ(t) dt R2 (b) 1 (3t2 + 1)δ(t) dt R∞ (c) −∞ (t2 + cos πt)δ(t − 1) dt R∞ (d) −∞ e−t δ(2t − 2) dt Oplossing (a) Volgens vergelijking (1.18), met a = −1 en b = 1 geldt Z 1 ¯ (3t2 + 1)δ(t) dt = (3t2 + 1)¯t=0 = 1 −1

(b) Volgens vergelijking (1.18), met a = 1 en b = 2 geldt Z 2 (3t2 + 1)δ(t) dt = 0 1

(c) Volgens vergelijking (1.19) Z ∞ ¯ (t2 + cos πt)δ(t − 1) dt = (t2 + cos πt)¯t=1 = 1 + cos π = 1 − 1 = 0 −∞

25

HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN (d) Gebruikmakend van vergelijkingen (1.19) en (1.20) Z ∞ Z ∞ −t e δ(2t − 2) dt = e−t δ[2(t − 1)] dt −∞ Z−∞ ∞ 1 = e−t δ(t − 1) dt |2| −∞ 1 −t ¯¯ = e t=1 2 1 = 2e

26


27

Oefening 1.5 Beschouw de condensator in Figuur 1.30 (a) Bepaal de ingang-uitgang relatie (b) Bepaal of het systeem (i) geheugenloos, (ii) causaal, (iii) lineair of (iv) tijdsinvariant is.

Figuur 1.30: Oplossing (a) Indien we aannemen dat de capaciteit C constant is, dan bestaat er volgend verband tussen het uitgangsvoltage y(t) over de condensator en de ingangsstroom x(t) Z 1 t y(t) = T {x(t)} = x(τ ) dτ (1.48) C −∞ (b)

(i) Uit vergelijking (1.48) kunnen we zien dat de uitgang y(t) van vorige en huidige waarde van de ingang afhangt. Dus het systeem is niet geheugenloos (ii) aangezien de uitgang y(t) dus niet afhankelijk is van toekomstige waarden van de ingang is het systeem causaal (iii) Stel x(t) = α1 x1 (t) + α2 x2 (t). Dan is Z 1 t y(t) = T {x(t)} = [α1 x1 (τ ) + α2 x2 (τ )] dτ C −∞ · Z t ¸ · Z t ¸ 1 1 = α1 x1 (τ ) dτ + α2 x2 (τ ) dτ C −∞ C −∞ = α1 y1 (t) + α2 y2 (t) of m.a.w. het systeem is lineair (iv) Stel y1 (t) is de uitgang afkomstig van de verschoven ingangsstroom in de tijd x1 (t) = x(t − t0 ). Er geldt Z 1 t x(τ − t0 ) dτ y1 (t) = T {x(t − t0 )} = C −∞ Z 1 t−t0 = x(λ) dλ = y(t − t0 ) C −∞ Het systeem is dus tijdsinvariant


28

Oefening 1.6 Het discrete tijdssysteem, Figuur 1.31, is bekend als The Unit Delay Element. Bepaal of het systeem (a) geheugenloos, (b) causaal, (c) lineair of (d) tijdsinvariant is.

Figuur 1.31: Unit Delay element Oplossing (a) De ingang-uitgangsrelatie wordt gegeven door y[n] = T {x[n]} = x[n − 1]

(1.49)

Aangezien de uitgangswaarden bij n afhankelijk zijn van de ingangswaarden bij n − 1, zal het systeem niet geheugenloos zijn. (b) Aangezien de uitgang niet afhangt van toekomstige ingangswaarden, zal het systeem causaal zijn. (c) Stel x[n] = α1 x1 [n] + α2 x2 [n]. Dan geldt y[n] = T {α1 x1 [n] + α2 x2 [n]} = α1 x1 [n − 1] + α2 x2 [n − 1] = α1 y1 [n] + α2 y2 [n] Het systeem is dus lineair (d) Stel y1 [n] is de respons op x1 [n] = x[n − n0 ]. Bijgevolg zal y1 [n] = T {x1 [n]} = x1 [n − 1] = x[n − 1 − n0 ] en y[n − n0 ] = x[n − n0 − 1] = x[n − 1 − n0 ] = y1 [n] Het systeem is tijdsinvariant.


29

Oefening 1.7 Gegeven de ingang-uitgang relatie y = T [x] = x2 . Toon aan dat het systeem niet-lineair is. oplossing

T [x1 + x2 ] = (x1 + x2 )2 = x21 + 2x1 x2 + x22

(1.50)

T [x1 ] + T [x2 ] = x21 + x22

(1.51)

(1.50) 6= (1.51), dus het systeem is niet-lineair. Oefening 1.8 Gegeven de ingang-uitgang relatie y = T [x] = ax + b. Toon aan dat het systeem nietlineair is oplossing T [x1 + x2 ] = a (x1 + x2 ) + b

(1.52)

T [x1 ] + T [x2 ] = ax1 + b + ax2 + b = a (x1 + x2 ) + 2b

(1.53)

(1.52) 6= (1.53), dus het systeem is niet-lineair. Oefening 1.9 Laat T een continu LTI systeem voorstellen. Toon aan dat T [exp (st)] = λ exp (st) , s is een complexe variabele en λ ∈ C. bewijs Laat y (t) de uitgang van het systeem zijn met als ingang x (t) = exp (st) . Dan T [exp (st)] = y (t) .

(1.54)

Daar het systeem tijdsinvariant is, hebben we T [exp (s (t + t0 ))] = y (t + t0 )

(1.55)

voor een willekeurige t0 . Het systeem is lineair, en we kunnen (1.55) schrijven als T [exp (s (t + t0 ))] = T [exp (st) exp (st0 )] = exp (st0 ) T [exp (st)] = exp (st0 ) y (t) .

(1.56)

y (t + t0 ) = exp (st0 ) y (t) .

(1.57)

y (t0 ) = exp (st0 ) y (0) .

(1.58)

Uit (1.54) en (1.56) Stel t = 0 en we verkrijgen


30

Daar t0 is willekeurig, vervangen van t0 door t, kunnen we (1.58) herschrijven als y (t) = exp (st) y (0) = λ exp (st)

(1.59)

T [exp (st)] = λ exp (st) ,

(1.60)

of waarbij λ = y (0) . Een functie x (·) dat voldoet aan de vergelijking T [x (·)] = λx (·)

(1.61)

wordt een eigenfunctie (of karakteristieke functie) van de operator T genoemd, en de constante λ is de eigenwaarde.


31

Oefening 1.10 Bepaal de ingang-uitgang relatie van het teruggekoppelde systeem voorgesteld in Figuur 1.32.

Figuur 1.32: oplossing De ingang van de eenheid vertragingselement is x [n] − y [n] . Dus de uitgang y [n] van het vertragingselement is y [n] = x [n − 1] − y [n − 1] . (1.62) Herschikken van (1.62) geeft y [n] + y [n − 1] = x [n − 1] .

(1.63)

De ingang-uitgang relatie van het systeem kan geschreven worden als een eerste-orde verschilvergelijking met constante coëfficiënten.

Systeemtheorie. De Brabanter Jos

Recommend Documents