Inleiding Wiskundige Systeemtheorie

Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056 Docent :

Anton Stoorvogel E-mail: [email protected]

1/28

Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

EWI

Evenwichtspunt .x0 ; y0 ; u0 / heet een evenwichtspunt van het stelsel: x.t T / D f .x.t /; u.t /; t / y.t / D h.x.t /; u.t /; t / als f .x0 ; u0 ; t / D 0;

h.x0 ; u0 ; t / D y0

voor alle t > 0.

2/28


EWI

Taylor approximatie We kunnen de functies f en h benaderen via de Taylor approximatie: f .x; u/ D f .x0 ; u0 / C

@f .x0 ;u0 / .x @x

x0 / C

@f .x0 ;u0 / .u @u

C o.x

x0 ; u

u0 / u0 /

en h.x; u/ D h.x0 ; u0 / C

@h.x0 ;u0 / .x @x

x0 / C

@h.x0 ;u0 / .u @u

C o.x

3/28

x0 ; u

u0 / u0 /


EWI

Linearisatie Zij xz, u z en yz een oplossing van: xzT .t / D f .z x .t /; u z.t //;

xz.0/ D x0

y.t z / D h.z x .t /; u z.t // Dan voldoen xy D x bij benadering aan:

xz, u yDu

u z en yy D y

xyT .t / D A.t /y x .t / C B.t /y u.t /;

yz

xy.0/ D x0

y.t y / D C.t /y x .t / C D.t /y u.t /

4/28


EWI

met: @f .z x .t /; u z.t //; A.t / D @x @h C.t / D .z x .t /; u z.t //; @x

5/28

@f B.t / D .z x .t /; u z.t //; @u @h D.t / D .z x .t /; u z.t //; @u


EWI

Linearisatie van een sateliet rU D r.T /

2

g C u1 ; 2 r

U D

1 2T rT C u2 r r

Een linearisatie rond u1 .t / D u2 .t / D 0 r.t / D ;

.t / D !t

met 3 ! 2 D g.

6/28


EWI

Beschouw het volgende niet-lineaire systeem: xT 1 .t / D 2x2 .t /u.t / C 2tx22 .t / xT 2 .t / D y.t /

2t u2 .t /

u.t /

D x1 .t /

2tx2 .t /u.t /

Een linearisatie rond u.t / D sin t;

7/28

x1 .t / D t sin.2t /;

x2 .t / D cos t


EWI

Een evenwichtspunt x0 van een nietlineair system is asymptotisch stabiel als de linearisatie van het systeem rond het evenwichtspunt asymptotisch stabiel is. De omkering van deze bewering is niet correct !

8/28


EWI

Een evenwichtspunt x0 van een nietlineair system is niet stabiel als de linearisatie van het systeem rond het evenwichtspunt een eigenwaarde in het open rechter half vlak heeft. De omkering van deze bewering is niet correct !

9/28


EWI

xT 1 D x2 xT 2 D x1

x12

x2

Evenwichtspunten . 1; 0/ en .0; 0/. Stabiel ??

10/28


EWI

xT D x 3 .1

x/3 :

Evenwichtspunten 0 en 1. Stabiel ??

11/28


EWI

Lyapunov stabiliteit

xT D f .x/ Stel we hebben een functie V zodanig dat: d @V V .x.t // D .x.t //f .x/ < 0; dt @x voor alle x0 met x.t / D x0 en V .x/ > 0 voor alle x 2 Rn met x ¤ 0. Dan is het systeem asymptotisch stabiel. Zo’n functie wordt een Lyapunov functie genoemd.

12/28


EWI

xT D

x3

Systeem (asymptotisch) stabiel ? De linearisatie is xT D 0 is stabiel maar niet asymptotisch stabiel. De functie V .x/ D x 2 is een Lyapunov functie.

13/28


EWI

xT D x 2 Systeem (asymptotisch) stabiel ? De linearisatie is xT D 0 is stabiel maar niet asymptotisch stabiel. We kunnen geen Lyapunov functie vinden.

14/28


EWI

xT D Ax We zoeken een Lyapunov functie van de vorm V .x/ D x T P x.

V is een Lyapunov functie als: P >0 en AT P C PA < 0

15/28


EWI

Gegeven Q > 0. Een systeem xT D Ax is asymptotisch stabiel dan en slechts dan als AT P C PA C Q D 0 een oplossing P > 0 heeft.

16/28


EWI

BIBO stabiliteit Als voor alle m er een M bestaat zodanig dat uit ku.t /k < m voor alle t volgt dat ky.t /k < M voor alle t dan wordt het systeem BIBO (begrensde ingang, begrensde uitgang) stabiel genoemd.

17/28


EWI

xT D Ax C Bu;

x.0/ D 0

y D C x C Du Als alle eigenwaarden van A in het open linker halfvlak liggen dan is het systeem BIBO stabiel. Dit is een voldoende voorwaarde maar niet noodzakelijk. Bijvoorbeeld: Als C D 0 is het systeem BIBO stabiel, Als B D 0 is het systeem BIBO stabiel.

18/28


EWI

Definitie In een continue-tijdsysteem met gedrag ˚ n Cn B w W R ! R u y met partitie w D .u; y/ is u een ingang en y een uitgang, indien: lok nu ny voor alle u 2 Llok .R; R / is er een y 2 L .R; R / waarvoor 1 1 .u; y/ 2 B.

voor geen enkele component yk van y geldt: nu C1 / zijn er componenten – voor alle .u; yk / 2 Llok 1 .R; R ny / voor j ¤ k van y waarvoor .u; y/ 2 B. yj 2 Llok .R; R 1

19/28


EWI

We hebben:

q Llok .R; R / WD 1

8 < :

20/28

f W R ! Rq j

Zb

kf .t /k dt < 1 voor all a; b 2 R

9 = ;

a


EWI

Massa-veer-demper systeem q.t / k m

F .t /

r Variabelen: w D .F; q/.

21/28


EWI

Beschouw het systeem in toestandsrepresentatie: xT D Ax C Bu y D C x C Du Dan geldt dat voor elke x0 2 Rn , de oplossing x.t / D e A.t

t0 /

x0 C

Zt

e A.t

/

Bu. / d

t0

goed gedefinieerd en continu is.

22/28


EWI

Beschouw het systeem in toestandsrepresentatie: xT D Ax C Bu y D C x C Du Dan geldt dat voor elke x0 2 Rn , de oplossing y.t / D C e A.t

t0 /

x0 C

Zt

C e A.t

/

Bu. / d C Du.t /

t0

goed gedefinieerd en lokaal integreerbaar is.

23/28


EWI

Beschouw het systeem in toestandsrepresentatie: xT D Ax C Bu

(?)

y D C x C Du In het systeen met gedrag: ˇ 8 9 ˇ < u = ˇ B WD W R ! Rnu Cny ˇˇ (?) geldt voor zekere x : y ; ˇ

is het signaal u een ingang en y een uitgang.

24/28


EWI

Beschouw het systeem: wT 1 D w2 Op zijn hoogst 4 mogelijkheden: ingang u D .w1 ; w2 / en geen uitgang ingang u D w1 en uitgang y D w2 ingang u D w2 en uitgang y D w1 geen ingang en uitgang y D .w1 ; w2 /. Alleen de derde mogelijkheid werkt!

25/28


EWI

Hogere-orde differentiaalvergelijkingen

pn y .n/ C pn

1y

.n 1/

D qn u.n/ C qn

26/28

C pn

.n 1/ 1u

2y

.n 2/

C qn

C C p1 y .1/ C p0 y

.n 2/ 2u

C C q1 u.1/ C q0 u


EWI

Voorbeeld

yU C 5yT C 6y D 7uT C 8u

27/28


EWI

Algemeen geval

pn y .n/ C pn

1y

.n 1/

D qn u.n/ C qn

28/28

C pn

.n 1/ 1u

2y

.n 2/

C qn

C C p1 y .1/ C p0 y

.n 2/ 2u

C C q1 u.1/ C q0 u


EWI

Inleiding Wiskundige Systeemtheorie

Recommend Documents