Wiskundige denkactiviteiten

Wiskundige denkactiviteiten versie 2 1.

AvS

Over leren en onderwijzen van wiskunde

Met enkele steekwoorden kunnen we de doelen van ons wiskundeonderwijs karakteriseren: Weten dat: kennis van feiten en begrippen, reproduceren, technieken beheersen. Weten hoe: probleemaanpak, toepassen, onderzoeksvaardigheden. Weten waarom: principes, abstracties, rijke schema’s, argumenteren, overzicht. Weten over weten: reflecteren, monitoren, kennis over je eigen weten en aanpak. Houding: wiskunde leren is leuk, interessant, groei in kennis geeft voldoening, ik kan het. Weten dat Hierbij gaat het om de wiskundekennis, die je paraat moet hebben om daarmee problemen te kunnen oplossen. Parate kennis helpt om bij het oplossen van problemen het werkgeheugen te ontlasten, zodat er meer capaciteit beschikbaar blijft voor het echte probleem. In de wiskunde gaat het daarbij niet alleen om een kern aan feitelijke kennis (bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras kennen of uitleggen wat a 4 betekent) maar ook om de technische basisvaardigheden als het snel en foutloos kunnen oplossen van een bepaald type vergelijking. Natuurlijk moet die kern van wat leerlingen paraat moeten hebben per schooltype verschillen en beperkt blijven, wil er nog ruimte overblijven voor de andere leerdoelen. Weten hoe Hierbij gaat het om de analyse van het probleem, het toepassen van heuristische methoden, een systematische probleemaanpak, het controleren, het ontwikkelen van een onderzoeksopzet, het stellen van een probleem, het formuleren van een onderzoeksvraag e.d. Zonder dit type kennis is de toepassing van feiten en begrippen in nieuwe situaties, waarbij geen sprake is van louter reproductie, niet mogelijk. Het gaat dus om het leren gebruiken van wiskundige kennis en vaardigheden om daarmee niet-standaard opgaven of problemen mee op te lossen. Daarbij moet worden bedacht dat veel typen

Wiskundige denkactiviteiten versie 2 AvS

1

opgaven uit de schoolboeken voor leerlingen niet-standaard zijn, omdat ze te weinig voorkomen om tot het beheersingsniveau van routine te kunnen rekenen. Dat geldt zeker ook voor bijna alle opgaven waarin leerlingen uit een context een wiskundige aanpak moeten destilleren en die toepassen. Weten waarom De kennis van leerlingen of studenten blijkt vaak fragmentarisch te zijn opgeslagen, zonder onderlinge verbanden, waardoor die kennis ook slecht toegankelijk is voor gebruik bij het oplossen van problemen. Bij Weten waarom gaat het om het begrijpen en verklaren van concepten en methoden, het formaliseren, abstraheren en generaliseren, het blijk geven van overzicht, het redeneren met kenmerken en stellingen. Weten over weten Het gaat bij Weten over weten over de bekwaamheid om je eigen inzicht en denken te beoordelen, bijvoorbeeld tijdens het oplossen van een probleem. Dit type kennis wordt metacognitie genoemd. Vaak uit die metacognitie zich in de vorm van een interne dialoog, praten met jezelf over je vorderingen, over de vraag waar je ook al weer mee bezig bent, het controleren en reflecteren, het zoeken van een probleemaanpak enzovoort. In dit verband wordt de term 'monitoren' gebruikt, even uit je eigen oplossingspoging stappen en daar van buitenaf naar kijken voordat je verder gaat. Reflecteren op de toegepaste aanpak en de methoden, afwegen wanneer welke probleemaanpak veelbelovend is, het eigen repertoire aan methoden uitbreiden. Zelfstandig werkende leerlingen plegen bij een verkregen oplossing onmiddellijk door te stomen naar de volgende opgave zonder even terug te blikken. En zodoende leren ze dan ‘niet genoeg’ van het maken van een opgave. ‘Niet genoeg’ houdt in dat de beperkte leerstofdoelen uit de categorie Weten dat nog wel redelijk worden gehaald, maar dat de doelen uit de categorie Weten waarom en deels ook uit de categorie Weten hoe niet worden nagestreefd.


2

Houding Voor het bereiken van een goede kwaliteit van onderwijs en een goede opbrengst is het essentieel dat leerlingen leren reflecteren op hun eigen kennis en aanpak en zelfvertrouwen ontwikkelen. Daarmee annex gaat het om het ontwikkelen van een positieve houding ten aanzien van het leren van rekenen en wiskunde; het is interessant, het geeft voldoening en ik kan het. Een dergelijke positieve houding kan wel een voorwaarde worden genoemd voor het bereiken van een blijvende leeropbrengst.

2.

Oriëntatie op wiskundige denkactiviteiten

De term 'Wiskundige denkactiviteiten' is voor het eerst gebruikt in het visiedocument van cTWO 'Rijk aan betekenis'. Die term is daar ingevoerd als een verzamelbegrip voor al die waardevol geachte streefdoelen voor het beoogde wiskundeonderwijs die niet onder de leerstofomschrijvingen vallen. Internationaal past daar de uitdrukking mathematical reasoning and thinking bij. Enerzijds wordt de wiskunde gezien als een statisch en gestructureerd systeem, opgebouwd uit feiten, procedures en concepten. Een systeem dat kan worden gememoriseerd en gereproduceerd. Anderzijds wordt de kern van de wiskunde opgevat als een dynamisch proces, wiskunde als een menselijke activiteit, geïnspireerd door de manier waarop 'doers and users' wiskunde bedrijven. Die wiskundige denkactiviteit omvat het gebruik van wiskundig gereedschap om patronen te onderzoeken, problemen aan te pakken en redeneringen te rechtvaardigen. In het visiedocument van cTWO worden de volgende denkactiviteiten onderscheiden: - modelleren en algebraïseren - ordenen en structureren - analytisch denken en probleemoplossen - formules manipuleren - abstraheren - logisch redeneren en bewijzen.


3

Op deze manier zijn wiskundige denkactiviteiten te onderscheiden, maar ze zijn natuurlijk niet te scheiden, omdat ze onderling verweven zijn. Het gaat in de lespraktijk om het werk maken van deze verschillende aspecten, zodat leerlingen niet alleen kennis kunnen memoriseren en reproduceren ook een zekere wiskundige bekwaamheid ontwikkelen in het gebruiken en toepassen van deze wiskundige kennis. In het vervolg bekijken we twee invalshoeken die van belang zijn voor het realiseren van de centrale plaats voor wiskundige denkactiviteiten in wiskundeonderwijs. We kijken naar de kwaliteit van de wiskundige opdrachten die in het wiskundeonderwijs worden gebruikt, vanaf de eerste introductie van een nieuw begrip tot en met de toetsing op het centraal schriftelijk eindexamen. Daarnaast is de rol van de wiskundeleraar van even groot belang. Wat doet en organiseert de wiskundeleraar om de aandacht van leerlingen te vestigen op de wiskundige denkactiviteiten en hoe geeft hij/zij vorm aan het onderwijzen van de onderliggende denkmethoden. Allerlei vormen van interactie tussen de leerlingen en de wiskundeleraar zijn in dit verband cruciaal.

de wiskundige opdrachten De wiskundige opdrachten, opgaven, taken, sommen, problemen bepalen in hoge mate voor de leerlingen wat wiskunde is en hoe zij wiskunde moeten leren. Opdrachten die wiskundige denkactiviteiten stimuleren zijn vaker complex en tijdrovend dan meer routinematig op te lossen opgaven. De aard van de bedoelde opdrachten kan variëren met de fase in het leerproces. Te denken valt aan open opdrachten ter oriëntatie op een nieuwe leergebied, aan voorgestructureerde opdrachten gericht op begripsontwikkeling, aan problemen om wiskundige begrippen en methoden te leren toepassen, aan grote probleembeschrijvingen die tot een (groeps)werkstuk leiden, aan allerlei vormen van toetsopgaven tot en met de opgaven van het centraal schriftelijk eindexamen. Wiskundige denkactiviteiten versie 2 AvS

4

de activerende leraar coaching Leerlingen hebben veelal een voorkeur voor routinetaken met weinig persoonlijke risico en dringen daar dan ook op aan bij de leraar. Deze moet daarom veel aandacht besteden aan het ondersteunen of coachen van leerlingen om hen te helpen niet-routinetaken aan te pakken. zelf-monitoring Leerlingen moeten worden gestimuleerd zichzelf vragen te stellen tijdens hun voortgang en zelf te monitoren hoe ver ze zijn gevorderd in het proces van aanpak en oplossen. Het is de leraar die hen daartoe aanzet en daar ook waarde aan toekent. reflecteren op en expliciteren van denkmethoden Leerlingen leren niet vanzelf een adequate manier om wiskunde toe te passen in geschikte opdrachten. Het is de leraar die stelselmatig en systematisch leerlingen coacht in het reflecteren op en expliciteren van goede denkmethoden.


5

3.

Opgaven, routinesommen, problemen en wiskundige denkactiviteiten

Aan de hand van het volgende schema (van Streun 1989) kunnen we in kort bestek aangeven wanneer er sprake kan zijn van wiskundige denkactiviteiten. Het startpunt is een opgave, die de leerling zou moeten 'oplossen'. Achtereenvolgens lopen we na wat er nodig is om dat doel te bereiken.

De verzamelnaam voor vraagstukken, probleemstellingen, toepassingen, onderzoek enzovoort wordt opgave genoemd. We onderscheiden twee caregorieën: Reproductie Van leerlingen wordt verwacht dat ze direct herkennen welke kennis of vaardigheid leidt tot een correct antwoord. Het gaat in die opgave om het toetsen van Weten dat, feitelijke kennis en algoritmische methoden die leerlingen paraat moeten hebben. Die herkenning kan door oefenen geïsoleerd ingeslepen zijn of ontleend zijn aan een breder betekenisrijk overzicht. Productie Een opgave van dit type noemen we meestal een probleem. Er bestaat pas een probleem, wanneer een persoon de oplossing niet onmiddellijk kan geven of een algoritmische methode kan vinden. Een probleem vraagt in die definitie om een analyse van de probleemsituatie en een zoekprocedure. Het oplossingsproces convergeert naar een oplossing.


6

Onderzoek Een speciaal geval van een probleem is het onderzoek. Het onderscheidt zich van een probleem door de open probleemstelling en heeft tot doel divergent denken te stimuleren. Sommige open onderzoeksopdrachten vallen daaronder, het profielwerkstuk en alle zogenaamde praktische opdrachten die voldoende keuzeruimte voor leerlingen open laten om eigen keuzes te maken. Dit type opdrachten stelt heel andere eisen aan het ontwerpen, laten uitvoeren en coachen dan het geval is bij de andere typen opgaven. Reproductie of productie, een routinesom of een probleem? Voordat we verder ingaan op WDA (afkorting van wiskundige denkactiviteiten) is het nodig om het onderscheid tussen een routinesom (R) en een probleem (P) te verhelderen. Een opgave is voor een oplosser een probleem als zij/hij niet onmiddellijk een oplossingsweg ziet. In dat geval is er sprake van productie, anders is het reproductie. Kijken we naar leerlingen in een concrete onderwijssituatie dan moeten we per leerjaar en schooltype vastleggen wat voor die leerlingen 'geen probleem' mag zijn en wat wel. De opgaven die gelet op onze leerstofdoelen 'geen probleem' voor leerlingen mogen zijn, behoren tot de verzameling routineopgaven en de kennis die daarmee wordt getoetst vormt een deel van het wiskundig gereedschap dat leerlingen paraat moeten hebben. Een opgave kan in het begin van een leerproces over een bepaald gebied, b.v. differentiëren, voor leerlingen een probleem zijn, terwijl die opgave na een tiental lessen een routineopgave kan zijn geworden. Wiskundige denkactiviteiten en de functie van problemen Wiskundige denkactiviteiten kunnen worden ontwikkeld en gestimuleerd aan de hand van problemen. Is een opgave voor de oplosser een routinesom, dan zal zij/hij na een eerste inspectie het type opgave herkennen en een oplossingsmethode gaan toepassen die direct of in stappen tot een oplossing leidt. Zo zal een tweedegraads vergelijking van het type (x − 2)2 + 7 = 16 in de loop van het derde leerjaar een routinesom (moeten) zijn. Een tweedeklasser die voor het eerst dit type vergelijking ziet, zal deze opgave als een probleem ervaren. Beschikt die tweedeklasser over een conceptueel netwerk van Wiskundige denkactiviteiten versie 2 AvS

7

eerstegraads vergelijkingen dan zal hij op basis van het actueel aanwezige begrip de gedachte kunnen oproepen dat dit dus weer een vergelijking is. Een vergelijking waar (nog) geen pasklare oplossingsmethode voor beschikbaar is. Op basis van de beheersing van het begrip vergelijking en het netwerk van eerstegraads vergelijkingen kan de leerling toch tot een oplossing komen. Uit dat netwerk kan een heuristische methode worden geabstraheerd, die in deze nieuwe situatie kan worden toegepast. Zo iets als: we zoeken een getal voor x waarvoor dit waar is, gevolgd door het systematisch numeriek proberen. Dan hebben we voor deze leerling te maken met wiskundige denkactiviteiten, zoals abstraheren (een onderliggend concept in een nieuwe situatie toepassen) en probleemoplossen door een eerder gebruikte heuristische methode te benutten. Voor een derdeklasser doet zich dezelfde situatie voor als hij wordt geconfronteerd met een vergelijking zoals (x 2 − 2)2 + 7 = 16 . De brug naar bestaande kennis wordt nu b.v gevormd door de heuristische methode zoek een soortgelijk eenvoudiger geval en los dat eerst op. Bladerend in schoolboeken is het duidelijk dat de WDA in elke fase van het onderwijs in een hoofdstuk of deelgebied bij allerlei opgaven aan de orde kunnen worden gesteld of kunnen worden overgeslagen. Kies je als docent ervoor om bij een introductie snel naar het inoefenen van routines over te gaan, dan hanteer je de voordoen-nadoen-oefenen strategie bij elk type opgave. De leerlingen komen dan geen problemen tegen en slaan bij elk type opgave een procedure op die geheid tot een goede oplossing leidt. Naarmate er meer typen opgaven zijn en meer typen oplossingsmethoden raken steeds meer leerlingen verward in die onsamenhangende verzameling koppelingen en treedt klontering op. Op het moment dat die leerlingen een voor hen nieuwe situatie moeten aanpakken zijn ze onthand en alleen de slimme leerlingen slagen er dan in om tot een oplossing te komen. Niet omdat ze dat in het onderwijs hebben geleerd, maar omdat aangeboren intelligentie alles te maken heeft met het doorzien van achterliggende overeenkomsten.


8

4.

Exemplarische voorbeelden geïnspireerd door voorbeeldexamens havo

Een werkgroep van cTWO heeft een voorbeeldexamen havo A en een voorbeeldexamen havo B geanalyseerd en beoordeeld op de mogelijkheid daarmee wiskundige denkactiviteiten te toetsen. Verschillende opgaven zijn aangepast om daarmee, naar het inzicht van de werkgroep, die wiskundige denkactiviteiten beter tot hun recht te laten komen. En om een beter zicht te krijgen op wat die denkactiviteiten in die toetssituatie zouden kunnen zijn. In het vervolg wordt van die analyse gebruik gemaakt en wordt exemplarisch de weg terug naar het voorafgaand onderwijs bewandeld. In de bijlagen staan nog meer voorbeelden van opdrachten en onderzoeken die aanleiding kunnen geven tot WDA. Voorbeelden uit het voorbeeldexamen havo A Allereerst moet we het eens zijn over de classificatie van de opgaven in termen van routineopgaven of problemen. We moeten dus overeenstemming bereiken over de vraag of een opgave een beroep doet op reproductie of productie. En die classificatie hangt natuurlijk af van het curriculum van havo A en de mate waarin bepaalde begrippen en procedures als standaard mogen worden beoordeeld. Waarschijnlijk zullen de experts, in dit geval de wiskundeleraren die in havo A lesgeven, het daar niet voor de 100% over eens zijn. Bij een vernieuwd curriculum kunnen de ontwikkelaars, de docenten van de pilotscholen en de betrokken toetsdeskundigen overeenstemming moeten bereiken over die classificatie. Alleen op die manier kan het bedoelde leerplan in overeenstemming met de gestelde leerdoelen worden geïmplementeerd. Schematisch ziet de situatie er dus als volgt uit. Objectieve indeling curriculum havo A

Routineopgave reproductie

Probleem productie

Leerling ervaart R Leerling ervaart P

meestal wel meestal niet

meestal niet meestal wel

Theoretisch zou het onderwijs in havo A elk type opgave door veel oefenen kunnen reduceren tot een routineopgave. Theoretisch want er is natuurlijk geen onbegrensde hoeveelheid tijd beschikbaar. Bovendien is het de vraag of veel typen problemen wel door het oefenen met procedures tot routineopgaven kunnen worden. Op die vraag komen we aan de hand van de voorbeelden nog terug.


9

China's defensie-uitgaven WDA: structureren en analyseren van de gegevens, probleem oplossen en logisch redeneren met de begrippen absoluut en relatief, probleemoplossen, helder communiceren. Er kan aan leerlingen worden gevraagd om met behulp van de beide grafieken een artikel te schrijven waarin de beide standpunten worden verklaard en een kwantitatieve analyse te geven van de toename van het bnp van China.


10

Voorbereidend onderwijs Het wiskundig gereedschap bestaat in deze context uit het kunnen lezen en aflezen van grafieken en het kunnen omrekenen van absolute aantallen naar relatieve eenheden en omgekeerd. Dat is goed onderwijsbaar en te oefenen totdat een hoge mate van beheersing wordt bereikt. Op basis van de gegevens en de vraag lijkt dit evenwel een probleem dat een beroep doet op WDA. Allereerst een probleemanalyse, wat weten we al, kunnen we dat ook numeriek vastleggen in getallen. Waar moeten we naar toe? Welke vragen kunnen we stellen? Hoe kunnen we die beantwoorden? Welk redeneringen zijn hier relevant? Hoe kunnen we een kwantitatieve verklaring geven? En als we eenmaal weten hoe deze probleemsituatie in elkaar steekt, hoe schrijven we dat op? Vormen van interactief onderwijs o.l.v. de wiskundeleraar liggen bij de start van de aanpak voor de hand. Wie heeft een idee? Hoe pakken we dit aan? Welke vragen kun je jezelf stellen? In afwisseling met werken in tweetallen wordt ter afsluiting een korte schriftelijke beschouwing ingeleverd, die door de leraar wordt beoordeeld en nabesproken. In een nabeschouwing wordt teruggekeken op de aanpak bij dit soort van probleemsituaties. Het aantal mogelijke probleemstellingen van dit type is zo groot dat het nagenoeg onmogelijk is om die allemaal tot routineopgaven terug te brengen.


11

Mastermind WDA: systematische probleemaanpak, ordenen, structureren, analyseren, logisch redeneren.

Voorbereidend onderwijs Dit een voorbeeld van een klasse van opgaven waarin de modale leerling moet leren de gehele situatie systematisch aan te pakken door gestructureerd de mogelijkheden uit te schrijven. Dat help de modale leerling, die anders veelal geneigd is om zich onmiddellijk op de vraag te storten en een antwoord te bedenken. Veel vragen in de wiskunde kunnen alleen goed beantwoord worden door eerst de situatie goed te analyseren. Die goede werkmethode is aan te leren als de leerlingen in de lessen en door de selectie van opgaven de ervaring opdoen dat die SPA helpt. Door oefening kunnen veel voorkomende (spel)situaties wellicht tot routinesommen worden gereduceerd, maar de systematische aanpak blijft ook dan nodig. De herkenning leidt dan tot een goede heuristische methode!


12

Platvissen WDA: modelleren, algebraïseren, ordenen, structureren, logisch redeneren.


13

Voorbereidend onderwijs Hier is duidelijk spraken van een sterke verwevenheid tussen de kennis van eigenschappen van grafieken met hun betekenis en het redeneren met die eigenschappen. De vraag kan worden beantwoord met het logisch redeneren met de eigenschappen van grafieken of door het structureren met tabellen of het redeneren met hellingen. In de lessituatie en ook op toetsen (met feedback!) moeten leerlingen geregeld dit soort situaties leren aanpakken en hun redenering correct uitschrijven, want een vanzelfsprekende, in te oefenen procedure ontbreekt. WDA: formules manipuleren en logisch redeneren

Voorbereidend onderwijs Het is evident dat hier sprake is van de toetsing op niveau havo A van symbol sense, wat in termen van WDA wordt benoemd als logisch redeneren met formules en formules manipuleren. Dat is de top van de algebraleerlijn, die al ver in de onderbouw moet starten en de focus heeft op het analyseren van de betekenis van een formule. Natuurlijk is daarbij de reproduceerbare kennis over typen van formules (lineair, kwadratisch, exponentieel, omgekeerd evenredig enzovoort noodzakelijk maar niet voldoende. De toelichting in deze opgave over de exponentiële afname is overbodig, want dat moet behoren tot de basiskennis. Het oefenen van standaardprocedures, bijvoorbeeld voor het oplossen van vergelijkingen, draagt weinig bij aan het leren


14

redeneren en manipuleren met 'wilde' formules. Wel de telkens weer herhaalde vraag naar de betekenis, b.v. voor de grafiek of de groeisnelheid, van delen van de formule. Kwartcirkel en raaklijn WDA: probleemanalyse, situatie structureren, adequate kennis selecteren Voorbereidend onderwijs Het type problemen als in vraag 5 vraagt een systematische probleemaanpak, die de modale leerling in het voorafgaand onderwijs vele malen moet hebben doorlopen en waarin zij/hij door de leraar moet zijn gecoacht.


15

Archimedes Wave Sling WDA: structureren, ordenen, modelleren, symbool sense

5.

Bijlagen als inspiratiebron

Hierna volgt een volgt wilde verzameling van opgaven, die door de auteurs als problemen zijn gekenschetst en soms ook echte onderzoeken zijn. Het zal duidelijk zijn dat een geringe aanpassing van opgaven uit een schoolboek, zoals hiervoor bij de proefexamens is gebeurd, een R-opgave ineens tot een P-opgave kan promoveren. Vaak is het zelfs voldoend om alle subvragen uit het schoolboeken weg te laten en te straten met de situatiebeschrijving of de allerlaatste subvraag! Voor een onderzoek komt meer lijken en het werken aan een onderzoek zal meestal ook meerder lessen beslaan. Zie de voorbeelden hierna.


16

5a

Denkactiviteit Piet Versnel

Doelgroep:

5/6 VWO Wiskunde C

Onderwerp:

Perspectief

Schilderij:

Bartholomeus van Eijck (1443) Annunciatie Aix-en-Provence

Vraag 1:

Waar stond de schilder toen hij dit tafereel schilderde ? Beargumenteer je antwoord.

Vraag 2:

In het schilderij is een aantal zaken te vinden dat niet in overeenstemming is met de regels van perspectief. Geef daar minimaal drie voorbeelden van.

Opdracht 3:

Maria is op het schilderij knielend afgebeeld. Bereken wat de lengte van Maria op het schilderij is.

Eventuele tip: Probeer eerst eens uit te zoeken welke gegevens je nodig hebt om die lengte te kunnen berekenen. Ga daarna eens zoeken op internet of (en waar) je die gegevens kunt vinden. Voer tenslotte de berekening uit.


17

5b

Denkopgaven Peter van Wijk

Vwo-B,Havo-B, Vlakke Meetkunde De 15 rode ballen van een snookerspel passen precies in een frame (gelijkzijdige driehoek) met zijden van 30 cm. Hoe groot is de diamater van één bal?

Havo-A, Vwo-C, Tellen In precies 20% van alle bladzijde nummers van een boek komt het cijfer 9 voor. Alle bladzijden zijn genummerd. Hoeveel bladzijden heeft dit boek? Havo-3

a.Welke leeftijdsgroep besteedt de meeste tijd per dag aan media? b.Probeer op basis van bovenstaande gegevens uitspraken te doen over het gebruik van media voor de leeftijdsgroep van 30-34? b.Hoe groter het aantal minuten, hoe groter de cirkel. Onderzoek of er een verband bestaat tussen het aantal minuten en de grootte van de cirkel.

Vwo-B, Meetkunde In een gelijkzijdige driehoek ABC wordt een willekeurig punt P geprikt. Bereken de kans dat driehoek ABP scherphoekig is.


18

5c.

Denkactiviteit Piet Versnel

Zo blijkt dat de gemiddelde lengte van mannen rond de Middeleeuwen ongeveer 160 cm. bedroeg en deze omstreeks 1700 was toegenomen tot ongeveer 165 cm. Ongeveer 125 jaar later (1825) was deze toegenomen tot gemiddeld ongeveer 169 cm. Dit bleek uit metingen die in 1979 werden verricht bij het ruimen van 7 Nederlandse kerkhoven, waarbij 382 skeletten van volgroeide mannen werden geselecteerd. Omstreeks 1915 bleek bij het meten van militaire keurlingen in een aantal Noord Europese landen de gemiddelde lengte ongeveer 174 cm. te zijn. Daarna bleek uit de statistieken dat de groei gestadig toenam en de volgroeide jonge mannen in 1990 een gemiddelde lengte hadden van ongeveer 182 cm. Bovenstaande gegevens worden grafisch weergegeven op de volgende grafiek:

Grafiek 15 Gemiddelde lichaamslengte


19

5d.

Opdrachten denkactiviteiten Hielke

Opgave 1 (vwo wiskunde B) a Teken een driehoek ABC met AC < AB en teken het middelpunt M van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC. b Laat het punt C de cirkel met middelpunt A en straal AC doorlopen. De ligging van het punt M varieert dan mee. Wat is de meetkundige plaats van de punten M? c Laat vervolgens vanuit de gegeven driehoek ABC het punt B de cirkel met middelpunt A en straal AB doorlopen. Hoe ziet in dit geval de meetkundige plaats van de punten M eruit? Gebruik bijvoorbeeld Geogebra.. d Noem het ‘gat’ in de meetkundige plaats lijnstuk PQ. Hoe is de ligging van het punt B als het punt M samenvalt met P? Beantwoord deze vraag ook voor de situatie dat M samenvalt met Q. e Probeer de lengte van PQ uit te drukken in die van AB en AC. Opgave 2 (wiskunde A) a Iemand fietst met een constante snelheid van 18 km/u en traject tussen twee plaatsen A en B. Dit traject heeft een lengte van 6 km. Tijdens het fietsen passeren 120 auto’s deze fietser. Ga er van uit dat deze auto’s allemaal met een constante snelheid van 80 km/u rijden. Hoeveel auto’s passeren in het tijdsbestek dat de fietser onderweg is een vast punt van dit traject? b In de zelfde situatie heeft de fietser een snelheid van f km/u heeft en de auto’s een snelheid van a km/u. Druk nu het aantal auto’s dat het vaste punt passeert uit in f en a. Opgave 3 (wiskunde A en B) a Het aantal rokers onder leerlingen op een school verandert van 1 op de 18 naar 1 op de 15. Is dit een afname of een toename (procentueel gezien)? Hoeveel procent is die verandering? b De verandering is van 1 op a naar 1 op b. Laat algebraïsch zien dat de 100(a − b) procentuele verandering P te schrijven is als P = . ab


20

Opgave 4 (vwo A en B, nog geen quotiëntregel bekend)

Hierboven zie je de grafiek van de functie f ( x) =

x−4 . x2 + 1

Harmen zegt dat hij wel weet hoe je deze functie moet differentiëren: f !( x) =

1 . Hoe 2x

komt hij hierbij en kun je met behulp van de grafiek nagaan of hij gelijk heeft?


21

5e

Denkactiviteiten Leon van den Broek

vwoB Meetkunde met coördinaten Een ladder staat tegen een muur en glijdt weg: de onderkant over de grond, de bovenkant langs de muur. Een punt P op de ladder beschrijft dan een figuur. Hiernaast staan twee voorbeelden.

P

a. Bewijs dat de figuur een kwartcirkel is, in het geval P halverwege de ladder ligt. b. Hoe vind je de lengte van de ladder uit de figuur?

P

vwoB Meetkunde met coördinaten De aarde beweegt om de zon in een (nagenoeg) cirkelvormige baan met straal 1 AE. (AE is de zg. astronomische eenheid; dat is de gemiddelde afstand aarde-zon.) We brengen een assenstelsel aan met de oorsprong in de zon en de AE als lengteeenheid, zo dat de bewegingsvergelijking van de aarde zijn: x = cos t , y = sin t. Hierin stelt t de tijd voor. Wat is de eenheid van tijd? Havo-vwo 3 We bekijken een rooster van 20 bij 20 stippen; de afstand tussen twee naburige stippen is 1 cm. We gaan alle stippen met één lijn verbinden. Als volgt: van de stip linksboven gaat de lijn helemaal naar beneden, dan gaat hij 1 stip naar rechts, dan helemaal naar boven, dan 1 stip naar rechts, enz. a Bij welke stip eindigt de lijn. b. Hoe lang is de lijn.


22

Er zijn veel meer manieren om een lijn te trekken die alle stippen verbindt. c. Beredeneer dat de lijnen die de 20×20 stippen verbinden allemaal even lang zijn. havoA Verbanden Anne heeft in een voedingswijzer gelezen dat een hamburger 272 kcal ofwel 1139 kJ per 100 gram heeft. In Wikipedia leest ze: De calorie (van Lat. calor, warmte) is een verouderde eenheid voor energie (E) of warmte (W). De calorie is officieel vervangen door de joule, maar vooral in de voedingsindustrie is de kcal nog gangbaar. Energie kan dus uitgedrukt worden in kcal (=kilocalorie) en in kJ (=kiloJoule). a. Als je de hoeveelheid energie van een voedingswaar weet, uitgedrukt in kilojoule, hoe reken je die energie dan om in naar kilocalorieën? In dezelfde voedingswijzer stond dat een droge beschuit 392 kcal per 100 gram heeft. Anne doet aan de lijn en let goed op wat ze eet. Ze concludeert dat ze beter een hamburger kan eten dan een droge beschuit. b. Geef commentaar op Annes conclusie. vwo A/C Rijen/ kansrekening Rij 7 van de schouwburg heeft twintig stoelen`, genummerd 1 t/m 20, van links naar rechts. De rij kan alleen van de linkerkant bereikt worden.

We nemen aan dat alle twintig plaatsen bezet worden en dat de toeschouwers een voor een arriveren in de rij. Als bijvoorbeeld de persoon op stoel 10 eerder arriveert dan de persoon op stoel 15, moet de persoon van stoel 10 opstaan om hem te laten passeren. a. Wat is – naar verwachting - het aantal keer dat de persoon op stoel 10 moet opstaan? b. Wat is de verwachtingswaarde van het totaal aantal keer dat in de rij moet worden opgestaan? havoB De oppervlakte van een cirkel is evenredig met de straal van de cirkel. a. Wat is de evenredigheidsconstante? Het grijze gebied wordt begrensd door twee cirkel; met straal 1 cm en met straal 7 cm. Dit grijze gebied wordt verdeeld door een cirkel in twee stukken van gelijke oppervlakte. b. Wat is de straal van die cirkel?


23

Wiskunde A en C vwo Bij een zekere opleiding moeten de studenten één moderne vreemde taal kiezen: òf Duits, òf Frans, òf Engels. Van de 100 vrouwelijke studenten kiezen er 20 Frans. Van de mannelijke studenten kiezen er 10 Duits en 30 Engels. Procentueel wordt elk van de drie talen even vaak door de vrouwelijke studenten gekozen als door de mannelijke studenten. Hoeveel mannelijke studenten telt de opleiding?


24

5f

Piet Versnel

Verhoudingen Het menselijk lichaam is een ingewikkeld fenomeen. We weten allemaal hoe het er uitziet, maar hoe steekt het nou eigenlijk echt in elkaar? Deze les gaat over de basis van het menselijk lichaam en de verhoudingen. Want als je weet hoe alles in verhouding staat tot elkaar, kom je er al snel achter hoe je een natuurgetrouw beeld kan maken van een mens. Eerst maar eens een mensbeeld voor ons halen: Verhoudingen Het menselijk lichaam is een ingewikkeld fenomeen. We weten allemaal hoe het er uitziet, maar hoe steekt het nou eigenlijk echt in elkaar? Deze les gaat over de basis van het menselijk lichaam en de verhoudingen. Want als je weet hoe alles in verhouding staat tot elkaar, kom je er al snel achter hoe je een natuurgetrouw beeld kan maken van een mens. Eerst maar eens een mensbeeld voor ons halen:

5g Denkopgave Rindert Reijenga In dagblad TROUW van 1 maart 2011 stond onderstaande grafiek: De grafiek geeft het aanbod weer van wind voor windenergie, in de periode van 1995 – 2010. Je ziet onder andere dat het in 2010 minder hard waaide dan in 2009. En dat 1998 een topjaar was wat betreft het aanbod van wind. Ook zie je rechts boven in de grafiek staan: INDEX: 1996-2005=100. a Onderzoek of het indexcijfer 100 met behulp van de gegevens van de grafiek klopt. Het lijkt of het aanbod van wind in de loop van de jaren afneemt. Die trend kun je weergeven met een (rechte) lijn: de lijn waar de werkelijke waarden omheen schommelen. b Teken die lijn in de figuur. Zorg ervoor dat de index 1996-2005 gelijk blijft aan 100. c Stel een vergelijking op van de trendlijn. Veronderstel dat de dalende trend zich blijft doorzetten. d Onderzoek in welk jaar het aanbod van wind gehalveerd is t.o.v. de periode 1996 – 2005


25

5h Denkopgave Daan van Smaalen

Het volleybalprobleem Informatie De organisatoren van de volleybalkamp willen het afsluitende volleybaltoernooi spannender maken. Ze zoeken een manier om de deelnemers zo eerlijk mogelijk over verschillende teams te verdelen. Hiervoor hebben de organisatoren gegevens van de deelnemers verzameld door tryouts te houden en door te informeren bij de coaches van de deelnemers. Deze informatie moet worden gebruikt om drie gelijkwaardige teams samen te stellen. De probleemstelling De organisatoren van het volleybalkamp geven aan jullie de opdracht om de deelnemers zo in te delen dat drie gelijkwaardige teams ontstaan. Naast het opstellen van drie gelijkwaardige teams, willen de organisatoren een brief waarin jullie beschrijven hoe de drie gelijkwaardige teams zijn gevormd. De organisatoren willen jullie methode namelijk gebruiken om een groot aantal deelnemers aan een internationaal volleybalkamp eerlijk over verschillende teams te verdelen. Zorg er dus voor dat jullie methode voor het samenstellen van gelijkwaardige teams ook kan worden gebruikt wanneer het om een groot aantal spelers gaat. Data van try-outs

Naam

Lengte speler in cm

Verticale sprong in cm

Sprint van 40 meter in seconden

Serviceresu ltaten (het aantal goed uitgevoerde opslagen bij 10 pogingen)

Gwen

185

51

6,21

8

Brenda

157

64

5,98

7

Jolanda

178

61

6,44

8

Amy

178

69

6,01

9


26

Smashresul taten (bij 5 pogingen)

Prikkenretour Prikkenscoren Kill Net Retour Kill Retour Uit Prikkenretour Kill Uit Retour Retour Kill Net Kill Kill Prikken-

Anna

168

64

6,95

10

Karin

173

43

7,12

6

Roos

160

53

6,34

5

Christine

165

58

7,34

8

Andrea

165

61

6,32

9

Nienke

170

48

8,18

10

Kim

175

58

6,75

7

Rianne

173

38

5,87

8

Esmeralda

163

53

6,72

8

Linda

170

48

6,88

9

Tinka

155

61

6,27

6

Aafke

178

58

6,54

8


27

scoren Kill Retour Uit Net Retour Retour Prikkenretour Kill Prikkenscoren Kill Retour Kill Uit Kill Net Net Prikkenretour Net Kill Kill Kill Prikkenscoren Net Uit Net Uit Retour Prikkenscoren Kill Kill Uit Retour Prikkenretour Kill Retour Uit Kill Kill Kill Kill Prikkenscoren Net Kill Retour Uit Net Prikkenretour Uit Net Net Kill Retour Prikkenscoren Prikkenretour Prikkenretour Kill Uit Uit Kill Uit Uit Prikkenretour

Reina

160

66

7,01

9

Rebecca

175

46

6,78

10

Prikkenscoren Net Kill Kill Kill Net Uit Kill Prikkenretour Kill

Toelichting bij smashresultaten Kill. Het lukt de tegenpartij niet om de smash te retourneren. Uit. De speler slaat de bal buiten de lijnen, zodat de opslag overgaat naar de tegenpartij. Retour. De tegenpartij retourneert de smash. Prikken-scoren. In plaats van te smashen wordt de bal met een zacht tikje over het net gespeeld. De tegenpartij kan de bal niet retourneren. Prikken-retour. In plaats van te smashen wordt de bal met een zacht tikje over het net gespeeld. De tegenpartij retourneert de bal. Net. De speler krijgt de bal niet over het net. Opmerkingen van de coaches Gwen: Ze beweegt zich traag richting de bal. Brenda: Behendig voetenwerk. Jolanda: Haar lengte is een aanwinst voor elk team. Amy: Ze is een geweldige springer, maar ze moet haar wapen op het juiste moment inzetten. Anna: Anna heeft bij teams gespeeld die niet erg succesvol waren. Karin: Karin beweegt zich erg snel naar een geserveerde bal. Roos: Ze is op haar best wanneer het team goed speelt. Christine: Haar privéomstandigheden hebben een negatieve invloed op haar spel. Andrea: Andrea is uitzonderlijk sterk voor haar leeftijd. Nienke: Nienke doet veel dingen goed. Haar service is erg sterk. Kim: Kim is een goede blokker. Rianne: We hebben op onze club nog nooit zo’n harde werker gehad als zij. Esmeralda: Ze is zeer geliefd. Waar ze ook aan meedoet, ze weet altijd te winnen. Linda: Linda krijgt niet altijd haar opslag over het net. Tinka: Tinka is een van de meest gedreven spelers die we ooit hebben gezien. Aafke: Haar vader is coach van een plaatselijke volleybalvereniging. Reina: Haar zus is een zeer goede volleybalster die speelt bij Oranje. Rebecca: Rebecca volgt zeer goed aanwijzingen op.


28

Wiskundige denkactiviteiten

Recommend Documents