489
Supersymetrie 1) Sjednocení elektromagnetických a slabých interakcí U(1) symetrie M jmež Dirac v lagrangián
= iψγ α ∂ aψ − mψψ
( 1741 )
popisující ástice se spinem ½ a hmotností m. Vlnová funkce ψ je ty spinor, ψ = ψ †ψ 0 , γ α jsou Diracovy matice 4 × 4. Lagrangián ( 1741 ) je invariantní v i transformaci
ψ → ψ ′ = eiaψ ,
ψ → ψ ′ = e −iaψ ,
a = konst.
( 1742 )
Nech nyní a = a(xα). Nový lagrangián bude mít tvar ′=
− T β ∂αβ ( xα ) ,
( 1743 )
kde
T β = ψγ βψ ,
( 1744 )
a není tedy v i transformacím
( ) ψ →ψ ′ = e ψ , ia xα
ψ →ψ ′ = e
( )ψ ,
− ia xα
( 1745 )
invariantní. Jak minimáln modifikovat lagrangián aby byl v i ( 1745 ) invariantní, jsme si nazna ili v kapitole o Diracov rovnici. Vezmeme-li modifikovaný lagrangián ve tvaru
490
1
=
+ eAα ( x ) Tα ( x ) ,
e = konst.
( 1746 )
a požadujeme-li, aby se p i transformaci ( 1745 ) m nily veli iny Aα podle vztahu
1 Aα → A′α = Aα + ∂α a ( x ) , e
( 1747 )
bude ′1 =
+ eAα Tα +
1
,
( 1748 )
nebo
T ′α = T α .
( 1749 )
Abychom dosáhli požadované vlastnosti lagrangiánu, zavedli jsme nové veli iny Aα(x) s požadovanými transforma ními vlastnostmi ( 1747 ). Veli iny Aα(x) tvo í vektorové pole a transformace ( 1742 ), ( 1745 ) jsou kalibra ními transformacemi. Globální kalibra ní transformací je ( 1742 ), lokální kalibra ní transformací je ( 1745 ). Po dosazení t chto výsledk do Diracovy rovnice se ukáže, že 1
= iψ γ α ( ∂α − ieAα ) ψ − mψψ .
( 1750 )
Z Diracovy teorie jsme již d íve rozeznali, že Aα(x) je vektorový potenciál elektromagnetického pole a e je náboj ástice. Lagrangián ( 1750 ) není ovšem lagrangiánem celého systému „elektron + elektromagnetické pole“. K úplnému lagrangiánu se dosp je snadno, p idáme-li k ( 1750 ) ješt len s kinetickou energií (tj. len kvadratický v Aα). Výsledkem je vztah
491
1 Fαβ F αβ , 4
( 1751 )
Fαβ = ∂α Aβ − ∂ β Aα .
( 1752 )
L=
1
−
Kde
K elektromagnetickému poli jsme tudíž dosp li na základ požadavku globální symetrie, který jsme poté rozší ili o požadavek symetrie lokální. Kalibra ní transformace ( 1745 ), ( 1747 ) závisí na jediném parametru a, tvo í tedy jednoparametrickou abelovskou grupu U(1). Uvedený postup se zobec uje na další globální a poté i lokální symetrie s cílem popsat i jiné, než elektromagnetické interakce.
Symetrie SU(2) Jako další p íklad uvažujme o dubletu komplexních skalárních polí ozna ených jako
ϕ=
ϕu , ϕd
( 1753 )
a lagrangián pole vezm me ve tvaru 2 1 1 = ∂ aϕ †∂α ϕ − µ 2ϕ †ϕ − λ (ϕ †ϕ ) , 2 4
( 1754 )
kde λ, µ jsou konstanty. Uvedený lagrangián je invariantní v i transformaci
i 2
ϕ → ϕ ′ = exp − τ A a A ϕ .
( 1755 )
492
Veli iny aA (A = 1, 2, 3) reprezentují 3 parametry, které tuto transformaci ur ují a τ A jsou 3 matice (2 × 2), které spl ují komuta ní relace
τA τB 2
,
2
= iε
τC
ABC
2
,
( 1756 )
kde ε ABC je Levi-Civit v tenzor. Pro obecnou matici M p itom platí: ∞
e = M
n =0
Mn . n!
( 1757 )
Transformace ( 1755 ) tvo í reprezentaci grupy SU(2). Požadavek globální symetrie rozší íme tak, že parametry aA budou nyní funkcemi prostoro asových sou adnic xα :
i 2
ϕ → ϕ ′ = exp − τ A a A ( xα ) ϕ .
( 1758 )
Lagrangián ( 1754 ) v i transformaci ( 1758 ) invariantní není. Invariantním však m že být u in n zavedením t í nových kalibra ních polí AαN ( x β ) , N = 1, 2, 3 , do lagrangiánu. Nejprve nahradíme oby ejné parciální derivace ∂α derivacemi kovariantními g Dα = ∂α + i τ N AαN ( x ) . 2
( 1759 )
Poté zvolíme transforma ní zákon pro Aα p i transformaci ( 1748 ) takový, aby výsledný lagrangián z stal invariantním:
Aα′ = UAα U −1 −
i U∂α U −1 , g
( 1760 )
493
p i emž matice
1 Aα = τ A AαA , 2
U = exp −i
τA 2
α A = exp ( −ia ) .
( 1761 )
Lagrangián † 2 1 λ = ( Dα ϕ ) ( Dα ϕ ) − µ 2 (ϕ †ϕ ) − (ϕ †ϕ ) 2 4
poté invariantním již je, nemá však ješt kalibra ní pole AαN ( x β ) .
( 1762 )
len s kinetickou energií pro
Nejjednodušší volbou je 1 − FαβN FNαβ , 4
( 1763 )
kde
FαβN = ∂α AβN − ∂ β AαN − gε NPQ Aα P Aβ Q .
( 1764 )
V maticovém ozna ení se zavedením 1 Fαβ = τ A FαβN 2
( 1765 )
pak bude
Fαβ = ∂α Aβ − ∂ β Aα + ig Aα , Aβ
.
( 1766 )
Komplexní a lokáln kalibra ní lagrangián tedy je L=
.
( 1767 )
494
Popisuje sv t tvo ený dublety hmotných skalárních polí (ϕu , ϕ d ) , která
spolu interagují p es len λ (ϕ †ϕ ) a tripletem nehmotných kalibra ních 2
polí ( Aα1 ( x ) , Aα2 ( x ) , Aα3 ( x ) , ) , která spolu interagují prost ednictvím
posledního lenu v ( 1766 ). D sledkem formulace lokáln kalibra n invariantních teorií je tedy objevení se nehmotného kalibra ního pole. Pro reálný popis interakcí s krátkým dosahem je však t eba hmotného kalibra ního pole. Odpovídajícího úsp šného popisu bylo dosaženo a p íslušná jev byl nazván spontánním narušením symetrie. Uvažujme o neutrálním a hmotném skalárním poli Φ, které interagují samo se sebou a jehož lagrangián je =
1 α 1 1 ∂ Φ ) ( ∂α Φ ) − µ 2 Φ 2 − λΦ 4 . ( 2 2 4
( 1768 )
Tento lagrangián je symetrický v i reflexi Φ → −Φ
( 1769 )
reprezentující velmi jednoduchou transformaci globální symetrie. R zné tvary potenciálu V (Φ) =
1 2 2 1 µ Φ + λΦ 4 2 4
jsou pro p ípady µ2 > 0 a µ2 < 0 uvedeny na obr. 48
( 1770 )
495
Obr. 48
V p ípad µ2 > 0 existuje jen jediné minimum funkce V(Φ), a to v bod Φ = 0. To odpovídá p ípadu jediného stabilního, nedegenerovaného stavu. V p ípad µ2 < 0 existují dv minima funkce V(Φ), a to v bodech
Φ = ±Φ 0 ,
µ2 − λ
12
= Φ0 > 0 .
( 1771 )
Za základní stav je možno vybrat vždy jen jednu z t chto dvou hodnot. Oba tyto základní vakuové stavy narušují symetrii ( 1769 ). Všimn me si ešení blízko jednoho stavu, ekn me pro ur itost stavu +Φ0 > 0. Zave me novou veli inu Φ′ = Φ − Φ 0 .
Bod Φ = 0 není bodem stability, bod Φ′ = 0 však ano. Teorie vztažená k bodu +Φ0 již není symetrická vzhledem k transformaci ( 1769 ). Lagrangián ( 1768 ) p epíšeme s pomocí Φ′:
( 1772 )
496
=
1 α 1 2 2 3 ′ ′ ′ ′ ∂ Φ ∂ Φ + µ Φ − λ Φ Φ − λ Φ ′4 . ( ) ( ) α 0 2 4
( 1773 )
Pro pole Φ′ se tedy vyno il hmotný len -2µ2 . Symetrie Φ′ → −Φ′ však již z Lagrangiánu patrná není, a koli stále existuje - je skrytá, nikoli však ztracená. V obecném p ípad je globální symetrie spojitou grupou transformací a ne jen prostou diskrétní transformací ( 1769 ), kterou jsme v našem p íkladu užili. Jestliž je taková obecná globální symetrie spontánn narušena, objeví se ástice se spinem nula a s nulovou hmotností. Nazývají se Goldsteinovými bosony. Na semiklasické úrovni je možno vznik Goldsteinových boson demonstrovat, vyjdeme-li z lagrangiánu dvou reálných polí σ a ρ se vzájemnou interakcí
V=
1 2 2 µ (σ + ρ 2 ) + λ (σ 2 + ρ 2 ) , 2
λ >0 .
( 1774 )
Nehmotné Goldsteinovy bosony jsou dob e známy z fyziky pevných látek. Dojde-li nap . ke spontánnímu narušení symetrie ve feromagnetu, objeví se Goldsteinovy bosony ve form magnon . Jestliže je spontánn narušena symetrie lokální kalibra ní grupy, získají Goldsteinovy bosony hmotnost. Tehdy hovo íme o tzv. Higgsov mechanismu : Uvažujme komplexní skalární pole Φ′ = Φ1 + iΦ 2
( 1775 )
s lagrangiánem = ( ∂α Φ
∗
)( ∂ Φ ) + 2 ( Φ Φ ) + λ4 ( Φ Φ ) . α
µ2
∗
∗
( 1776 )
Tento lagrangián je invariantní vzhledem ke globální transformaci U(1)
497
Φ → e − ia Φ .
( 1777 )
Budeme-li tuto symetrii kalibrovat, tj. budeme-li požadovat invarianci lagrangiánu také v i lokální U(1) grup :
Φ→e
− ia( x )
Φ ( x),
( 1778 )
musíme uskute nit zám nu
∂α → ∂α + ieAα
( 1779 )
zavedením kalibra ního pole Aα(x), kde e zna í elementární náboj. Pro U(1)loc je
1 Aα ( x ) → Aα ( x ) − ∂α a ( x ) e
( 1780 )
a nyní již invariantní lagrangián má tvar
1 = ( ∂α + ieAα ) Φ ∗ ( ∂α − ieAα ) Φ − V ( Φ ) − Fαβ F αβ , 4
( 1781 )
kde
Fαβ = ∂α Aβ − ∂ β Aα .
( 1782 )
Pro µ 2 > 0 jde o skalární elektrodynamiku (fotony a masivní skalární ástice). Spontánní narušení symetrie se objeví p i µ 2 < 0. Minima funkce V ( Φ ) leží na kružnici Φ = Φ 0
µ2 Φ0 = λ
12
.
( 1783 )
498
Obr. 49
Konkrétní volba minima Φ = Φ 0 definuje základní stav a zavede se op t fyzikální pole ( 1772 ). Abychom obdrželi ásticovou formulaci, zavedeme speciální kalibraci, v níž
Φ′ = h
( 1784 )
kde h > 0 je reálné pole. To je možno u init práv proto, že lagrangián ( 1781 ) je lokáln kalibra n invarianní. Tato operace nám nyní dovoluje dáti fyzikální interpretaci jednotlivým len m v lagrangiánu. V uvedené speciální kalibraci má lagrangián ( 1781 ) tvar
499
1 1 1 1 = − Fαβ F αβ + ( ∂α h ) ( ∂α h ) + e 2 Φ 02 Aα Aα + e 2 Aα Aα h ( 2Φ 0 + h ) − 4 2 2 2 1 1 − h 2 ( 3λ 2 Φ 02 + µ 2 ) − λΦ 0 h3 − λ h 4 . ( 1785 ) 2 4 Fundamentální pole zde odpovídají ásticím a koeficienty v kvadratických lenech odpovídají hmotnostem t chto ástic. Z lagrangiánu ( 1785 ) m žeme po bližší analýze vy íst, že je p ítomna reálná skalární ástice h s kvadrátem hmoty
mh2 = 3λ 2 Φ 02 + µ 2
( 1786 )
a hmotný vektorový boson An s hmotou
mA = e Φ 0 .
( 1787 )
Narušení U(1) symetrie tak vede k reálnému poli h > 0 (Higgsovo pole) a ke hmotnému poli Aα(x) vektorových boson . Elektroslabé sjednocení V šedesátých letech se ukázalo, že je možné vytvo it teorii, která by jednotn popisovala elektromagnetickou i slabou interakci. První výrazný úsp ch na této cest byl zaznamenán p i sjednocování elektromagnetické interakce a slabé interakce v tzv. elektroslabou interakci - jedná se o Weinbergovu-Salamovu-Glashowovu teorii. P ed vznikem konstantního skalárního Higgsova pole H má tato teorie kalibra ní symetrii SU(2)×U(1) a popisuje elektroslabé interakce ástic zp sobované vým nami nehmotných vektorových boson . Po vzniku skalárního pole H se symetrie spontánn naruší až do podgrupy U(1), odpovídající ást vektorových boson (W+,W−,Z°) získá hmotnost ( ádu ~ e.H ≈ 102 GeV), p íslušné interakce se stanou krátkodosahovými → slabé interakce, zatímco další pole Ai z stává nehmotné → elektromagnetické pole. Poda ilo se tak sjednotit slabé a
500
elektromagnetické interakce do jedné teorie, v níž vystupují jako dva r zné aspekty téhož jevu. Problém jednotného popisu elektromagnetické a slabé interakce (tzv. elektroslabé interakce) je otázkou nalezení symetrie, která obsahuje jak U(1)loc tak SU(2) symetrii, tj. symetrii elektromagnetické a slabé interakce. To se poda ilo Stevenu Weinbergovi, Abdusu Salamovi a Shaldonu Lee Glashowovi, kte í za teorii elektroslabé interakce obdrželi Nobelovu cenu za fyziku pro rok 1979. Teorie elektroslabé interakce p edpov d la, že krom fotonu existují ješt další t i vým nné ástice: intermediální bosony W+, W-, Z0, které odpovídají za slabou interakci. Intermediální bosony W+, W-, Z0 byly objeveny v CERNu v roce 1983 ve vst ícných proton antiprotonových svazcích o energii 270 GeV. Jejich objevitelé Carlo Rubbia a Simon van der Meer obdrželi za tento objev Nobelovu cenu za fyziku pro rok 1984. Tv rci elektroslabého sjednocení
Sheldon Lee Glashow(1932)
Abdus Salam (1926)
Steven Weinberg (1933)
Objevitelé ástic W a Z
Carlo Rubbia (1934)
Simon van der Meer (1925)
501
V teorii elektroslabé interakce je jeden zásadní problém. Platí-li symetrie U(1)loc a SU(2) beze zbytku, vyjdou hmotnosti všech ty intermediálních ástic nulové. Ve skute nosti je nulová jen klidová hmotnost fotonu (s tím souvisí nekone ný dosah elektromagnetické interakce) a ástice W± a Z0 mají klidové hmotnosti 80 GeV a 91 GeV (s tím souvisí krátký dosah slabé interakce). V teorii to znamená, že symetrie musí být narušena. Tento jev nazýváme spontánní narušení symetrie. Za narušení symetrie by m ly být odpov dné další ástice, které nazýváme Higgsovy bosony nebo Higgsovo pole. Tyto ástice jsou v posledních letech usilovn hledány a je nad je, že bude možné tyto ástice detekovat na v sou asné dob stav ných urychlova ích. Práv energie Higgsova pole mohla být jakousi rozn tkou infla ní fáze raného Vesmíru. Jev analogický spontánnímu narušení symetrie známe i z b žného života. Postavíme-li jehlu na povrchu stolu na špi ku, m la by podle klasické teorie spadnout tím pozd ji, ím lépe je jehla na za átku postavena svisle. P i p esné symetrii (jehla p esn na špi ce) by nem la spadnou v bec, protože nelze vybrat žádný preferovaný sm r. P esto dojde k narušení symetrie a jehla v kone ném ase dopadne na povrch stolu.
Peter Higgs (1929)
S SU(2) symetrií slabé interakce souvisí, podobn jako v elektromagnetizmu, i ur itý kvantový náboj. Nazýváme ho v n a nejde o nic jiného než o jiné pojmenování druh kvark . Základní konstanta interakce je op t s energií ástic prom nná. P i energiích 102 GeV by se ob interakce m ly chovat jednotn (jako jediná elektroslabá interakce). P i energiích nižších dojde k narušení symetrie a "odd lení" interakce
502
elektromagnetické od slabé a tyto interakce se chovají r zn . Ve Vesmíru m ly takové energie ástice v dob 10-10 s po jeho vzniku. Odpovídající teplota v té dob byla 1015 K. Weinbergovu-Salamovu teorii elektroslabé interakce lze dnes již považovat za experimentáln prakticky ov enou, protože v r.1973 byla v CERNu prokázána existence tzv. slabých "neutrálních proud " (zp sobujících reakce typu νµ + e → νµ + e), a hlavn v r.1983 byly ve vst ícných proton-antiprotonových svazcích (270 GeV proti 270 GeV) collideru velkého protonového synchrotronu v CERN objeveny intermediální bosony W±,Z°, jejichž hmotnosti (mW ≅ 82 GeV, mZ ≅ 93 GeV) i zp soby rozpadu velmi dob e souhlasí s p edpov dí Weinbergova-Salamova modelu.
SU(3) symetrie Všechny t írozm rné unitární unimodulární matice realizují grupu SU(3). Každou z nich lze zapsat ve tvaru
U = e iH ,
( 1788 )
kde matice H vyhovuje požadavk m
H† = H ,
Tr H = 0 .
( 1789 )
Existuje práv 8 lineárn nezávislých hermitovských matic 3 × 3 s nulovou stopou. Lze za n zvolit nap . následující tzv. Gell-Mannovy matice:
503 j
0 , 0
j
≡
4
⋅ ⋅ 1 ≡ ⋅ ⋅ ⋅ ,
0
j = 1, 2, 3,
5
⋅ ⋅ −i ≡ ⋅ ⋅ ⋅ ,
1 ⋅ ⋅
6
8
1 ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ≡ ⋅ ⋅ 1 , ⋅ 1 ⋅
7
⋅
⋅ ⋅ ⋅ ≡ ⋅ ⋅ −1 , ⋅ i ⋅
1 ⋅ ⋅ ≡ ⋅ 1 ⋅ . ⋅ ⋅ −2
( 1790 )
Tyto matice evidentn vyhovují požadavk m † a
=
Tr
a a
,
=0,
a = 1,
( 1791 )
,8.
Ponecháme tená i jako jednoduché cvi ení, aby dokázal, že také platí Tr
a
b
= 2δ ab ,
a, b = 1,
,8
( 1792 )
a že z posledních dvou relací vyplývá lineární nezávislost všech osmi matic λa , tj, že libovolnou t írozm rnou unitární unimodulární matici lze jednozna n ur it pomocí osmi reálných parametr {αa , a = 1, … , 8} tak, že
U (α ) = exp i
8
a =1
kde
α a ta ,
( 1793 )
504
1 ta = λa . 2
( 1794 )
P ímým výpo tem se lze snadno p esv d it, že platí realce
[
a
,
b
] = 2i
8
f abc
c
,
c =1
{
a
,
b
4 } = δ ab + 2 3
( 1795 )
8
d abc
c
,
c =1
kde koeficienty fabc, resp. dabc jsou antisymetrické, resp. symetrické v i vzájemné zám n libovolných dvou index a p itom všechny nenulové. Jsou jednozna n specifikovány následujícími výrazy:
f123 = 1 , f147 = f 246 = f 257 = f345 = f516 = f 637 = f 458 = f 678 =
1 , 2
( 1796 )
3 , 2
d118 = d 228 = d338 = − d888 =
1 , 3
d146 = d157 = d 256 = d344 = d355 = d 247 = d366 = d377
1 , 2
1 =− , 2
d 448 = d558 = d 668 = d 778 = −
1 2 3
( 1797 )
.
Povšimn me si, že relace ( 1795 ) lze ekvivalentn vyjád it též ve tvaru
505
a
,
b
8
2 = δ ab + 3
( d abc + if abc )
c
,
( 1798 )
c =1
což je bezprost edním zobecn ním dob e známé relace mezi Pauliho maticemi
j
,
k
3
= δ jk + i
ε jkl
l
.
( 1799 )
l =1
Díky rovnostem ( 1791 ), ( 1792 ) z t chto relací také okamžit plynou rovnosti
Trλa [ λb , λb ] = 4if abc , Trλa [ λb , λb ] = 4d abc ,
( 1800 )
tj.
Trλa λb λb = 2 ( d abc + if abc ) .
( 1801 )
Z formulí ( 1793 ), ( 1795 ) víme, že koeficienty f abc p edstavují strukturní koeficienty osmiparametrické Lieovy grupy SU(3), a tedy ˆ odpovídající generátor m této grupy musí v jakékoliv její operátory T a reprezentaci vyhovovat komuta ním relacím ˆ ,T ˆ =i T a b
8
ˆ . f abc T c
( 1802 )
c =1
Z vyjád ení ( 1796 ) je z ejmé, že
∀a ≠ j = 1, 2,3 : a p itom
ˆ ,T ˆ =0∧ T ˆ ,T ˆ ≠0 T 8 j 8 a
( 1803 )
506
3
ˆ ,T ˆ =i T j k
∀j , k = 1, 2,3 :
ε jkl Tˆ l .
( 1804 )
c =1
Odtud okamžit vidíme, že 1) rank SU(3) je roven dv ma, ˆ , j = 1, 2,3 realizují generátory SU(2) ⊂ SU(3), 2) operátory T j 3) bázi prostoru, na kterém je realizována libovolná reprezentace algebry SU(3), lze vždy zvolit tak, aby ji tvo ily spole né vlastní vektory operátor ˆ ≡ Tˆ 3 , T
3
Tˆ j2
2
a
j=1
yˆ =
2 ˆ T8 . 3
( 1805 )
Výše uvedenou SU(2) ⊂ SU(3) budeme pro ur itost nazývat izospinorovou podgrupou. Pro další je užite né specifikovat ješt jiné dv podgrupy SU(2) grupy SU(3). K tomu nejprve definujme operátory
ˆ ≡ Tˆ , U 1 6
ˆ ≡ Tˆ , U 2 7
ˆ ≡ Tˆ , V 1 4
ˆ ≡ Tˆ , V 2 5
(
)
ˆ ≡ 1 −Tˆ + 3 Tˆ , U 1 3 8 2 ˆ ≡ 1 Tˆ + 3 Tˆ . V 3 3 8 2
(
)
( 1806 )
Snadno se lze p esv d it, že komuta ní relace ( 1802 ) z stanou ˆ →U ˆ , tak po zám n T ˆ →V ˆ , a tedy také v platnosti jak p i zám n T ˆ , j = 1, 2, 3 realizují generátory n jaké SU(2) ⊂ SU(3) a operátory U j ˆ . totéž platí i o operátorech V j
Práv specifikovanou SU(2) budeme nazývat U-spinovou, resp. V-spinovou podgrupou. Z definice ( 1806 ) vidíme, že ˆ −U ˆ . Tˆ 3 = V 3 3
( 1807 )
507
Zave me v trojrozm rném Hilbertov prostoru (≡ U 3) ortonormální bázi tvo enou vektory j , ( j = 1, 2, 3) a definujme operátory ˆt a , ( a = 1, , 8 ) tak, že 3
ˆt a
j
≡ k =1
[ta ]( k , j )
k
,
( 1808 )
Kde na pravé stran vystupují elementy matice ( 1794 ). Libovolný vektor ψ ∈ U 3 lze zapsat ve tvaru
ψ =
3
ψ
j
j
,
( 1809 )
j =1
kde
ψj≡
j
ψ ,
( 1810 )
a tedy
tˆ a ψ =
3
ψ tˆ a j
j =1
3 j
=
ψ [ta ]( k , j ) j
j ,k =1
3 j
≡
ψ ′j
j
,
( 1811 )
j =1
tj. transformaci
ψ → ψ ′ ≡ tˆ a ψ
( 1812 )
m žeme ekvivalentn vyjád it jako
ψ →ψ ′ ≡ j
3
j
k =1
[ta ]( k , j ) ψ k .
( 1813 )
508
Definice ( 1808 ) automaticky zaru uje, že operátory tˆ a vyhovují komuta ním relacím 8
tˆ a , tˆ b = i
f abc tˆ c ,
( 1814 )
c =1
a tedy realizují 3-rozm rnou reprezentaci algebry SU(3), která se ve fyzikální literatu e obvykle ozna uje symbolem {3}. Z uvedené definice také okamžit vidíme, že pro každý operátor 8
ˆ (α ) ≡ exp i U
α a tˆ a
( 1815 )
α =1
platí ˆ (α) U
3 j
U( k , j ) ( α )
=
k
,
( 1816 )
k =1
kde na pravé stran vystupují elementy matice ( 1793 ). P itom transformaci
ψ → ψ ′ ≡ Uˆ (α ) ψ
( 1817 )
m žeme ekvivalentn vyjád it jako
ψ →ψ ′ ≡ j
3
j
k ˆ U ( k , j ) (α )ψ .
( 1818 )
k =1
Operátory ( 1815 ) realizují ireducibilní reprezentaci {3} grupy SU(3). V souladu s vžitou konvencí užíváme stejného symbolu k ozna ení reprezentace Lieovy grupy a odpovídající reprezentace algebry jejích generátor . Uvažujme nyní devítirozm rný Hilbert v prostor
509
(3 ,3 ) ≡ U 3 ⊗ U 3 . 2
0
( 1819 )
Je z ejmé, že operátory
ˆ ( 3 ,3 ) (α ) ≡ U ˆ (α ) ⊗ U ˆ (α ) U 2
0
( 1820 )
na n m realizují reprezentaci
{3} ⊗ {3}
( 1821 )
grupy SU(3). Vzhledem k tomu, že vektory j1 j2
≡
j1
j2
j1 , j2 = 1, 2, 3
,
( 1822 )
tvo í ortonormální bázi uvažovaného prostoru, m žeme jich využít k definici „operátoru transpozice“ Pˆ12 tak, že požadujeme, aby
Pˆ12
j1 j2
=
j2 j1
,
∀ j1 , j2 = 1, 2, 3 .
( 1823 )
Z definice ( 1820 ) pak okamžit plynou relace
ˆ ,U ˆ ( 3 ,3 ) (α ) = Sˆ , U ˆ (3 ,3 ) (α ) = A ˆ ( 3 ,3 ) (α ) = 0 , ( 1824 ) Pˆ12 , U 2
0
2
0
2
0
kde
(
)
1 Sˆ ≡ 1 + Pˆ12 , 2
(
)
ˆ ≡ 1 1 − Pˆ . A 12 2
( 1825 )
Uvážíme-li, že operátor transpozice je unitární a že jeho kvadrát je operátorem identity, vidíme, že platí
510
( )
† Pˆ 12 = Pˆ12 ,
Pˆ12
2
=1 ,
( 1826 )
a tedy také
Sˆ † = Sˆ 2 = Sˆ , ˆ† =A ˆ2 =A ˆ , A
( 1827 )
ˆ jsou projek ní. tj. operátory Sˆ , A Navíc z jejich definice a z druhé relace ( 1826 ) víme, že ˆ =1, Sˆ + A ˆ = 0. Sˆ ⋅ A
( 1828 )
ˆ symbolem Ozna íme-li podprostor, na který projektuje Sˆ , resp. A 2,0 0,1 0,1 , resp. , potom poslední dv relace íkají, že je 2,0 ortonormálním dopl kem podprostoru , Uvažovaný Hilbert v prostor tak m žeme vyjád it ve tvaru
(3 ,3 ) ≡ 2
0
( 2,0 )
⊕
( 0,1)
( 1829 )
a komuta ní relace ( 1824 ) vyjad ují, že podprostor 2,0 redukuje 2 0 ˆ ( 3 ,3 ) (α ) , a tedy reprezentace ( 1821 ) je úpln všechny operátory U reducibilní. Z formule ( 1828 ) víme, že
(
)
(
)
ˆ U ˆ , ˆ ( 3 ,3 ) (α ) = Sˆ + A ˆ ( 3 ,3 ) (α ) Sˆ + A U 2
0
2
0
( 1830 )
odkud díky relacím ( 1824 ), ( 1828 ) okamžit dostáváme odpovídající rozklad operátor ( 1820 ):
511
ˆ ( 3 ,3 ) (α ) ≡ U ˆ ( 2,0) (α ) ⊕ U ˆ ( 0,1) (α ) , U 2
0
( 1831 )
kde
ˆ ˆ (3 ,3 ) (α ) Sˆ , ˆ ( 2,0) (α ) ≡ SU U 2
ˆ U
( 0,1)
0
( 1832 )
ˆ ˆ (3 ,3 ) (α ) A ˆ. (α ) ≡ AU 2
0
P itom lze ukázat, že reprezentace grupy SU(3) realizovaná operátory ˆ ( 2,0) (α ) na prostoru 2,0 je již ireducibilní. U ˆ ( 0,1) (α ) na prostoru Totéž platí o reprezentaci realizované operátory U 0,1
.
Zave me vektory jj
;[ 2,0] ≡ Sˆ
jj
=
j1 j2
jj
j1 j2
;[ 2,0] ≡ 2 Sˆ
j1 j2
j1 j2
ˆ ;[ 0,1] ≡ 2 A
j1 j2
;[ 2,0] a
j1 j2
;[ 0,1] tak, že
, 1 2 1 = 2
=
j1 j2
+
j2 j1
,
j1 j2
−
j2 j1
.
P itom z jejich definice vidíme, že šestice vektor tvo í ortonormální bázi prostoru
2,0
j1 ≠ j2 ,
pro
( 1833 ) j1 j2 ;[ 2,0] , j1 ≤ j2
a trojice vektor
j1 j2
;[ 2,0] ,
0,1
j1 < j2 tvo í ortonormální bázi prostoru . První z výše uvedených ireducibilních reprezentací je tedy šestirozm rná a druhá je t írozm rná. Ve fyzikální literatu e se k jejich ozna ení užívá symbolu 6 , resp. 3 . Rozklad reprezentace ( 1821 ) na reprezentace ireducibilní zapisujeme ve tvaru
3
3
6
3 .
( 1834 )
512
Proužek u posledního symbolu zd raz uje, že t írozm rná reprezentace vystupující na pravé stran relace ( 1834 ) není ekvivalentní s t írozm rnými reprezentacemi, jejichž symboly figurují na stran levé. Nep ehlédn me, že zatímco každá kone n rozm rná ireducibilní reprezentace grupy SU(2) je svým rozm rem ur ena (až na ekvivalenci) jednozna n , v p ípad grupy SU(3) již tomu tak není.
(3 ,3 ) lze samoz ejm vyjád it ve tvaru 2
Každý vektor ψ ∈
ψ =
3
ψ
j1 j2
j1 j2
0
.
( 1835 )
j1 , j2 =1
V obecném p ípad m že mít takovýto vektor nenulovou projekci jak do 2,0 0,1 podprostoru , tak do podprostoru . Je z ejmé, že
ψ ∈
( 2,0 )
( 1836 )
práv tehdy, když pro všechny koeficienty v rozvoji ( 1835 ) platí
ψ
j1 j2
=ψ
j2 j1
.
( 1837 )
Obdobn
ψ ∈
( 0,1)
⇔ψ
j1 j2
= −ψ
j2 j1
.
( 1838 )
Postupem, který nás p ivedl k formuli ( 1818 ), pak m žeme bez potíží ˆ ( 2,0) (α ) a nalézt tvar matic odpovídajících vyjád ení operátor U ˆ ( 0,1) (α ) p i výše nazna ené volb bází p íslušných prostor . U Je instruktivní provést tuto konstrukci explicitn zejména v p ípad reprezentace 3 . K tomu nejprve p e íslujeme výše uvedené vektory báze tak, že
513 3
j
1 ≡ ε jkl 2 k , l =1
kl
;[ 0,1] ,
j = 1, 2,3 .
( 1839 )
Inverzí tohoto vztahu dostáváme j1 j2
;[ 0,1] =
3
ε jj j
1 2
j
,
( 1840 )
j =1 0,1
a tedy každý vektor z podprostoru 3
ψ =
ψ
j1 j2
j1 j2
3
;[ 0,1] =
j1 , j2 =1
ε j, j , j ψ 1
2
lze zapsat ve tvaru j1 j2
j
,
( 1841 )
j , j1 , j2 =1
tj.
ψ =
3
ψj
j
,
( 1842 )
j =1
kde
ψj =
3
ε jklψ kl
( 1843 )
k , l =1
Díky antisymetrii ( 1838 ) lze tento vztah invertovat, tj. lze ho ekvivalentn vyjád it ve tvaru 1 ψ kl = 2
3
ε jklψ j .
( 1844 )
j =1
Pro každý vektor ψ ∈
(3 ,3 ) m žeme transformaci 2
0
514
(3 ,3 ) α ψ ψ → ψ ′ ≡ Uˆ ( ) 2
0
( 1845 )
ekvivalentn vyjád it jako transformaci koeficient vystupujících v rozvoji ( 1835 )
ψ
j1 j2
→ψ ′
3 j1 j2
ψ
=
j1 j2
U ( j1 ,k1 ) (α ) U ( j2 ,k2 ) (α )ψ k1k2 .
( 1846 )
k1 ,k2 =1
Speciáln pro ψ ∈
( 0,1)
(3 ,3 ) pak transformaci 2
⊂
0
(3 ,3 ) α ψ = Uˆ ( 0,1) α ψ ψ → ψ ′ ≡ Uˆ ( ) ( ) 2
0
( 1847 )
odpovídá
ψ j → ψ ′j =
3
ε jj j ψ ′ 2 2
3 j1 j2
=
j1 , j2 =1 3
2
1 2
1 2
1
1
2
1
ε jj j U ( j ,k ) (α )U ( j ,k ) (α ) ε kk k ψ k , 1 2
1
1
2
2
1 2
2 ,k =1
( 1848 )
tj.
ψ ′j =
2
j1 , j2 ,k1 ,k2 =1
1 = 2 j , j ,k ,k 1
ε jj j U ( j ,k ) (α )U ( j ,k ) (α )ψ k k =
3
U ( j ,k ) (α )ψ k ,
( 1849 )
k =1
kde 3
1 U ( j ,k ) (α ) ≡ ε jj j ε kk k U (α )U ( j2 ,k2 ) (α ) . 2 j , j ,k ,k =1 1 2 1 2 ( j1 ,k1 ) 1
2
1
2
( 1850 )
515
Práv nalezený výsledek se stane transparentn jším, zapíšeme-li matici s t mito elementy ve tvaru
U (α ) = exp i
8
α a ta .
( 1851 )
a =1
Dosadíme-li do pravé strany formule ( 1851 ) vyjád ení ( 1793 ) zjistíme, že do len prvního ádu v αa musí platit
δ jk + i
8
α a ta
3
( j ,k )
a =1
1 = ε jj j ε kk k × 2 j , j ,k ,k =1 1 2 1 2 1
2
1
× δ j1k1 + i
2
8
α a [ t a ] ( j ,k ) δ j k + i 1
1
8
2 2
a =1
α b [ t b ] ( j ,k ) 2
odkud po jednoduchých úpravách zjistíme, že
ta
( j ,k ) =
2
b =1
− [t a ] (k , j ) .
( 1852 ) ( 1853 )
Tedy 3 × 3 matice ta , odpovídající generátor m grupy SU(3) v reprezentaci 3 souvisejí s maticemi ( 1794 ), odpovídajícími generátor m této grupy v reprezentaci 3 vztahem
ta = −t Ta .
( 1854 )
Odtud okamžit vidíme, že mezi maticemi ( 1793 ) a ( 1851 ) p i azenými témuž elementu grupy SU(3) v t chto dvou reprezentacích platí vztah
U (α ) = U T (α )
−1
,
tj. reprezentace 3 je kontragradientní k reprezentaci 3 .
( 1855 )
516
Snadno se p esv d íme, že tyto dv trojrozm rné ireducibilní reprezentace nejsou navzájem ekvivalentní. Sta í si uv domit, že pokud by existovala nesingulární matice B:
∀ U (α ) ⊂ SU ( 3 ) : BU (α ) B −1 = U (α ) ,
( 1856 )
potom by platilo
,8 : Bt a B −1 = ta .
∀ a = 1,
( 1857 )
Z vyjád ení ( 1854 ), ( 1794 ) vidíme, že poslední rovnost mj. vyžaduje, aby
det λa = det Bλa B −1 = det ( −λaT ) = det ( −λa ) .
( 1858 )
Z explicitního vyjád ení ( 1790 ) však vidíme, že
det λ 8 = −
2 3 3
= − det ( −λa ) ,
( 1859 )
a tedy podobnostní transformace ( 1856 ) jist neexistuje. Ponecháme tená i jako jednoduché cvi ení, aby se p esv d il, že platí
ˆ U
( 0,1)
(α )
3 j
=
U ( k , j ) (α )
k
k =1
tˆ
3 j
≡ k =1
, ( 1860 )
[t a ]( k , j )
k
,
kde tˆa jsou operátory odpovídající v uvažované reprezentaci generátor m SU(3). Uvažujme nyní devítirozm rný Hilbert v prostor (izomorfní s prostorem ( 1819 ))
517
(3 ,3 ) ≡ U 3 ⊗ U 3 , 1
1
( 1861 )
kde
U3 ≡
( 0,1)
.
( 1862 )
Je z ejmé, že operátory 31 ,31 ) ( ˆ U (α ) ≡ Uˆ (α ) ⊗ Uˆ (α ) ,
( 1863 )
kde
ˆ α ≡U U ( ) ˆ ( 0,1) (α ) ,
( 1864 )
na n m realizují reprezentaci
3
3
( 1865 )
grupy SU(3). Uvážíme-li, že vektory
≡
j k
j
( 1866 )
k
tvo í ortonormální bázi tohoto prostoru, a p itom ˆ ( 3 ,3 ) (α ) U 1
1
3 j k
U ( j1 , j ) (α ) U ( k1 ,k ) (α )
=
j1
k1
,
( 1867 )
k1 ,k2 =1
okamžit vidíme, že
ˆ ( 3 ,3 )
U
1
1
(α )
3
3 j j
j =1
= j1 ,k1 =1
U (α ) U T (α )
( j1 ,k1 )
j1
k1
.
( 1868 )
518
Z relace ( 1855 ) však víme, že
U (α ) U T (α ) = 1 ,
( 1869 )
a tedy
ˆ ( 3 ,3 )
U
1
1
(α )
3
3
=
j j j =1
j j
( 1870 )
j =1
tj. jednorozm rný prostor zvolit vektor
1 [0,0] ≡ 3
, 0,0
, za jehož ortonormální bázi m žeme
3 j j
,
( 1871 )
j =1
ˆ ( 3 ,3 ) (α ) . redukuje všechny operátory U 1
1
Ozna íme-li jeho osmirozm rný ortogonální dopln k symbolem m žeme prostor ( 1861 ) vyjád it jako
(3 ,3 ) ≡ 1 1
(1,1)
⊕
( 0,0 )
.
1,1
( 1872 )
Odpovídající rozklad operátor ( 1863 ) má tvar
ˆ ( 3 ,3 ) (α ) ≡ U ˆ (1,1) (α ) ⊗ U ˆ ( 0,0) (α ) . U 1
1
( 1873 )
ˆ ( 0,0) (α ) se všechny P itom z formule ( 1870 ) víme, že operátory U redukují na operátor identity, tj. tyto operátory realizují na prostoru 0,0 triviální jednorozm rnou reprezentaci, která je samoz ejm ireducibilní.
,
519
ˆ (1,1) (α ) Je možno dokázat, že také reprezentace realizovaná operátory U je ireducibilní. Ve fyzikální literatu e se pro n užívá symbolu 1 , resp. 8 , tj. rozklad reprezentace ( 1865 ) na ireducibilní komponenty se zapisuje ve tvaru 3
3
8
1 .
Každý vektor ψ ∈ 3
ψ =
ψ
j
j k
k
( 1874 )
(3 ,3 ) lze vyjád it ve tvaru 1
1
.
( 1875 )
j ,k =1
Z formule ( 1871 ) je evidentní, že (1,1)
ψ ∈
( 1876 )
práv tehdy, když jeho koeficienty mají nulovou stopu, tj. když platí 3
ψ
j
j j
j
=0 .
( 1877 )
j =1
Jeho koeficienty tedy m žeme zapsat jako
ψ
j k
= ψ ( j ,k ) ,
( 1878 )
kde na pravé stran stojí elementy tvercové matice ψ s nulovou stopou, tj.
Trψ = 0 .
( 1879 )
520
Každou takovouto matici lze vyjád it jako lineární kombinaci GellMannových matic, tzn. zapsat ji ve tvaru rozvoje 1 ψ= 2
8
ψ a λa .
( 1880 )
a =1
pro jehož koeficienty dostáváme díky relaci ( 1792 ) výraz
ψa =
1 Trψλa . 2
( 1881 )
Dosazením z formule ( 1875 ) do rozvoje ( 1877 ) vidíme, že libovolný 1,1 vektor ψ ∈ ( ) lze vyjád it ve tvaru
ψ =
8
ψa a ,
( 1882 )
a =1
kde
1 a ≡ 2
3
j ,k =1
( λa )( j ,k )
j k
,
a = 1,
,8 .
( 1883 )
Na základ relací ( 1791 ), ( 1792 ) se tená snadno p esv d í, že platí relace ortonormality
b a = δ ab ,
( 1884 )
a tedy vektory ( 1883 ) tvo í ortonormální bázi prostoru Transformaci
ψ → ψ ′ ≡ Uˆ
(3 ,3 ) α ψ ( ) 1
1
1,1
.
( 1885 )
521
lze pro každý vektor ψ ∈ rozvoj ( 1875 ) jako
ψ
j k
→ψ ′
3 j k
(1,1)
vyjád it v termínech p íslušných
U ( j , j1 ) (α ) U ( k ,k1 ) (α )ψ
=
j1
k1
,
( 1886 )
j1 ,k1 =1
což v p ípad vektor ψ ∈ transformaci 3
1 ψ a → ψ a′ = 2 1 = 2 1 = 2
(1,1)
lze ekvivalentn vyjád it jako
ψ ′ j k ( λa )( k , j ) =
j ,k =1 3
j ,k , j1 ,k1 =1 8
U ( j , j1 ) (α ) U ( k ,k1 ) (α )( λb )( k , j )
1 2
8
b =1
( λb )( j ,k ) ψ b = 1
1
ψ b Tr U (α ) λb U T (α ) λa .
b =1
P itom z formule ( 1855 ) víme, že
U T (α ) = U −1 (α ) ,
( 1887 ) ( 1888 )
a tedy 8
U (α ) λb U (α ) =
A U (( c ,)b ) (α ) λc ,
T
( 1889 )
c =1
kde na pravé stran vystupují elementy matic U
( A)
(α ) ≡ exp
8
i a =1
α a t (aA) ,
( 1890 )
522
které realizují regulární reprezentaci, tj. elementy matic t (aA) , odpovídajících v této reprezentaci generátor m SU(3), jsou determinovány strukturními konstantami jako
t (a
A)
≡ −i ⋅ f abc .
( b ,c )
( 1891 )
Tedy 8
8
1 ψ a′ = ψ b U (Ac ,b ) (α ) tr λc λa = U (Aa ,b ) (α )ψ b . 2 b ,c=1 b ,c =1
( 1892 )
Uvažujme nyní 3m + n – rozm rný Hilbert v prostor
(3
m
,3n
) ≡U3 ⊗
⊗U 3 ⊗U 3 ⊗
⊗U 3 ,
( 1893 )
kde na pravé stran vystupuje m faktor U 3 a n faktor U 3 . Je z ejmé, že operátory
ˆ (3 U
m
,3n
) α ≡ Uˆ α ⊗ ( ) ( )
ˆ α ⊗ ˆ (α ) ⊗ U ⊗U ( )
ˆ α ⊗U ( )
( 1894 )
realizují na tomto prostoru reprezentaci grupy SU(3). Každý vektor ψ ∈ ortonormálních vektor j1
jm
k1
kn
≡
jm
j1
(3
m
,3n
) lze vyjád it jako lineární kombinaci
k1
kn
,
j1
jm
( 1895 )
tj. ve tvaru rozvoje 3
ψ = j1 ,
, jm ,k1 ,
ψ , kn = 1
j1
jm
k1
kn
k1
kn
.
( 1896 )
523
Z p edchozího je z ejmé, že všechny vektory, pro jejichž koeficienty takovéhoto rozvoje jednak platí
ψ
j1
jm
k1
kn
=ψ
ji1
jim
kl1
kln
,
( 1897 )
kde {i1, … , im}, resp. {l1, … , ln} je libovolnou permutací ísel {1, … , m}, resp. {1, … , n}, a jednak 3
ψ
jj2
jm
jk2
kn
=0 ,
( 1898 )
j =1
tvo í podprostor ( ≡ ( ) ). Ozna íme-li jeho ortogonální dopln k symbolem prostor ( 1893 ) vyjád it ve tvaru m ,n
(3
m
,3n
)
=
( m ,n )
⊕
( m ,n )
⊥
.
( m ,n )
⊥
, m žeme
( 1899 )
V p ípadech, kdy m⋅n = 0, požadavek ( 1898 ) pochopiteln odpadá. Koeficienty rozvoje ( 1896 ) tvo í spinory grupy SU(3) s m horními a n dolními indexy. Vlastnosti ( 1897 ), resp. ( 1898 ) mohou být pak formulovány spinorovou terminologií jako výrok, že p íslušné spinory jsou úpln symetrické ve všech horních indexech a ve všech dolních indexech, resp. že kontrakce kteréhokoliv z jejich horních index s jakýmkoli indexem dolním dává nulu. Nech každá z veli in jl, l = 1, … ,m m že nabývat hodnot 1, 2, 3. Nech Nk(m) je po et t ch m-tic
{ j1 ,
, jm }
( 1900 )
vyhovující podmínce
j1 ≤ j2 ≤
≤ jm ,
( 1901 )
524
pro které je
jm = k ,
k = 1, 2, 3 .
( 1902 )
Snadno lze dokázat, že
N1 ( m ) = N1 ( m − 1) ,
N 2 ( m ) = N1 ( m − 1) + N 2 ( m − 1) ,
( 1903 )
N 3 ( m ) = N1 ( m − 1) + N 2 ( m − 1) + N 3 ( m − 1) . Z t chto rekurentních vztah plyne, že celkový po et m-tic vyhovujících podmínce ( 1901 ) je dán výrazem
N (m) =
( m + 1)( m + 2 ) 2
.
( 1904 )
Odtud již není složité odvodit, že prostor
N ( m, n ) =
( m + 1)( n + 1)( m + n + 2 ) 2
.
( m ,n )
má dimenzi ( 1905 )
Zopakováním p edchozích úvah také snadno zjistíme, že prostor redukuje všechny operátory ( 1894 ), tj. že platí
ˆ (3 U
m
,3n
) α = Uˆ ( m,n ) α ⊗ Uˆ ( m ,n ) α . ( ) ( ) ⊥ ( )
( m ,n )
( 1906 )
Podstatné je, že reprezentace (≡ D(m,n)) realizovaná operátory ˆ ( m ,n ) (α ) je již ireducibilní. U Takovéto reprezentace jsou výše nazna eným postupem dob e definovány pro jakékoliv celo íselná nezáporné hodnoty parametr m a n. P itom pod reprezentací D(0,0) definitoricky rozumíme triviální ˆ ( 0,0) (α ) jednorozm rnou reprezentaci realizovanou operátory U zavedenými ve formuli ( 1873 ).
525
Navíc je možno dokázat, že a) každou kone n rozm rnou ireducibilní reprezentaci grupy SU(3) lze ztotožnit s n kterou z reprezentací D(m,n), b) reprezentace D(m,n) a D(m′,n′) jsou ekvivalentní práv tehdy, když
m = m′,
n = n ′,
c) reprezentace D(n,m) je kontragradientní k reprezentaci D(m,n). Jak jsme již d íve uvedli, ve fyzikální literatu e se v tšinou místo symbolu D(m,n) užívá zjednodušeného zna enízd raz ujícího dimenzi této reprezentace. P itom je vžita konvence
{ N ( m, n )} ≡ D ( m, n ) { N ( m, n )} ≡ D ( m, n )
pro m ≥ n , pro m < n
( 1907 )
a v p ípad nutnosti se k rozlišení dalších nezávislých reprezentací téže dimenze p íslušné ástice dopl ují ješt árkami, nap .
D ( 2,1) = {15} ,
D ( 4,0 ) = {15′} .
( 1908 )
Ireducibilní reprezentaci D(m,n) lze p i adit kterékoliv Youngovo polyomino s maximáln t emi ádky, v n mž první ádek má o m bun k víc než ádek druhý, který zase p esahuje o n bun k ádek t etí, jak je nazna eno na obrázku 50. Obr. 50
526
Všechny ireducibilní reprezentace obsažené v reprezentaci
D ( m, n ) ⊗ D ( m′, n′ )
( 1909 )
pak obdržíme podle následujících pravidel: 1) Ozna me písmenem a, resp. b bu ku v 1. resp. v 2. ádku Youngova polyomina D(m′, n′). 2) K Youngovu polyominu D(m, n) p idáváme bu ky z polyomina D(m′, n′) ozna ené písmenem a tak, že i) v žádném sloupci se nevyskytuje symbol a více než jednou, ii) vzniklý obrazec je op t Youngovým polyominem 3) Obdobným zp sobem p emís ujeme bu ky z polyomina D(m′, n′) ozna ené písmenem b, p i emž musí být navíc spln na podmínka
NM ( a ) ≥ NM (b) ,
i)
kde NM(x) je po et symbol x ve výsledném Youngov polyominu v prvních M p idaných bu kách, po ítáno zprava doleva a shora dol (nejprve v prvním ádku, potom ve druhém, atd.) ii) Vynecháme Youngova polyomina o více jak 3 ádcích. Tak nap . v p ípad reprezentace
D (1,1) ⊗ D (1,1)
( 1910 )
tímto postupem dostáváme: ⊗
=
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
A tedy
D (1,1) ⊗ D (1,1) = D ( 2, 2 ) ⊕ D ( 3,0 ) ⊕ D ( 0,3) ⊕ D (1,1) ⊕ D (1,1) ⊕ D ( 0,0 ) ( 1911 )
527
tj.
{8} ⊗ {8} = {27} ⊕ {10} ⊕ {10} ⊕ {8} ⊕ {8} ⊕ {1} .
( 1912 )
Ponecháme tená i jako jednoduché cvi ení, aby ukázal, že z výše popsaných pravidel bezprost edn plynou nejen d íve uvedené výsledky ( 1834 ), ( 1874 ), ale nap . i rozklady
{6} ⊗ {3} = {10} ⊕ {8} , {8} ⊗ {3} = {15} ⊕ {6} ⊕ {3} .
( 1913 ) ( 1914 )
Znalost algoritmu rozkladu dvou ireducibilních reprezentací na reprezentace ireducibilní samoz ejm umož uje nalézt takovéto rozklady i pro sou iny více ireducibilních reprezentací. Tak nap . z p edposlední formule spolu s relacemi ( 1834 ), ( 1874 ) okamžit obdržíme rozklad
{3} ⊗ {3} ⊗ {3} = ({6} ⊕ {3}) ⊗ {3} = {10} ⊕ {8} ⊕ {8} ⊕ {1} . ( 1915 ) Podobn z formulí ( 1874 ), ( 1914 ) vidíme, že
{3} ⊗ {3} ⊗ {3} = ({8} ⊕ {1}) ⊗ {3} = {15} ⊕ {6} ⊕ {3} ⊕ {3} .( 1916 ) Nep ehlédn me, že v rozkladu sou inu dvou ireducibilních reprezentací grupy SU(3) se m že n která z jejích ireducibilních reprezentací vyskytovat i více, než jednou. P ipome me, že díky tomu m že v p ípad této grupy v odpovídajícím Wigner – Eckartov teorému vystupovat více redukovaných maticových element . Skute nost, že nic takového nem že nastat u grupy SU(2) je jist evidentní každému, kdo ješt nezapomn l pravidla skládání impulsmoment .
528
Grandunifika ní interakce
Máme-li k dispozici teorii silných interakcí (QCD) a teorii elektroslabých interakcí (Weinberg v-Salam v model), což jsou všechno kalibra ní teorie, vzniká p irozen snaha spojit tyto teorie do jedné ješt obecn jší teorie interakcí. Tato další etapa unitarizace se ozna uje jako velké sjednocení (GUT - Grand Unification Theory). Grupa kalibra ní symetrie G v tomto velkém sjednocení musí p itom obsahovat podgrupy SU(3)color × [SU(2) × U(1)]elektroslab ⊂ G ; nejjednodušší grupou tohoto druhu je SU(5), testují se však i modely s kalibra ními grupami SO(10), E6 a další. Grupa SU(5) unitárních unimodulárních matic (5 × 5) p sobících na vlnové funkce ástic izopentatu (ozna me si je pro názornost a, b, c, d, e):
γ 11 γ 21 γ 31 γ 41 γ 51
γ 12 γ 22 γ 32 γ 42 γ 52
γ 13 γ 23 γ 33 γ 43 γ 53
γ 14 γ 24 γ 34 γ 44 γ 54
γ 15 ψ a γ 25 ψ b γ 35 ψ c . γ 45 ψ d γ 55 ψ e
( 1917 )
ímž dostáváme v teorii celkem 50 volných parametr . Z požadavku unitarity †
=1
( 1918 )
dostáváme celkem 25 vazebních podmínek a z požadavku unimodularity
det = 1
( 1919 )
další jednu vazbu. V teorii tak zbývá 24 volných parametr , které odpovídají ty iadvaceti polím a jim p íslušejícím boson m. ty i z t chto polí pat í elektroslabé interakci, osm polí tvo í gluony kvantové chromodynamiky a zbývajících 12 polí tvo í vektorové bosony
529
X a Y zvané leptokvarky, nebo zp sobují vzájemné p episy lepton na kvarky a naopak. Bosony X a Y jsou p ed narušením symetrie - stejn jako všechny ostatní vektorové ástice - nehmotné; leptony se p itom mohou snadno m nit na kvarky a naopak.
Obr. 51 - Možný rozpad protonu. Kvarky se samovoln p em ují na bosony X a Y, které se následn rozpadají na leptony e+, π0.
První Higgsovské pole narušuje výchozí symetrii SU(5) na SU(3) × SU(2) × U(1) - silné interakce popsané grupou SU(3) se odd lují od elektroslabých popsaných grupou SU(2) × U(1). X a Y-mezony získávají velikou hmotnost ( ádov mX,Y ~ 1015 GeV), ímž je p em na kvark v leptony siln potla ena a proton se stává prakticky stabilní. Další higgsovské pole pak narušuje symetrii mezi slabými a elektromagnetickými interakcemi stejn jako ve Weinbergov -Salamov modelu. Jednou z hlavních p edpov dí grandunifika ních teorií je nestabilita protonu, který by se m l rozpadat na miony i pozitrony a na jeden neutrální i dva nabité piony [p → (µ+ nebo e+) + (πo nebo π++π-)] s dobou života ádov τp ≈ 1035 rok . Tento rozpad by byl zp soben p em nou kvarku na lepton prost ednictvím bosonu X a vzhledem k obrovské hmotnosti bosonu X je jeho pravd podobnost nesmírn malá. Pozorování rozpadu protonu by však bylo velice d ležité, protože by rozhodujícím zp sobem ukázalo, že grandunifika ní teorie jde správnou cestou. Experimenty zatím dávají odhady τp > 1033 let. Tyto pokusy o pozorování rozpadu protonu se provád jí hluboko pod zemí (z d vodu odstín ní kosmického zá ení), kde jsou umíst ny velké nádrže s vodou, opat ené mnoha fotonásobi i, které by mohly zaregistrovat slabé záblesky zp sobené pr chodem rychlých ástic
530
vzniklých jako produkty rozpadu protonu. Nejdokonalejším za ízením tohoto druhu je Superkamioka v Japonsku, které sice nezaznamenalo žádný rozpad protonu, ale bylo velice úsp šné p i detekci a spektrometrii neutrin.
Obr. 52 – Vyprázdn ná nádrž ob ího neutrinového detektoru Superkamioka, se st nami pokrytými výkonnými fotonásobi i.
Unitární teorie pole
A.Einstein pevn v il, že p íroda, i když doslova hý í rozmanitostí nejr zn jších struktur a jev , je velice úsporná na základní principy. V duchu této své vize pracoval po vytvo ení obecné teorie relativity až do posledních dní svého života na unitárních teoriích pole. Myšlenka unitární teorie pole je nesmírn hluboká a krásná: podle ní by m lo existovat jediné, zcela základní a vše zahrnující fyzikální pole, jehož
531
projevem by pak byla všechna pozorovaná pole v p írod (gravita ní, elektromagnetické, pole silných a slabých interakcí a p íp. další pole t ebas v subnukleární fyzice). Ve sv t pak neexistuje nic než toto pole, z n hož je všechno složeno - i hmotné útvary (nap . ástice) jsou jakési místní "zhušt niny" tohoto pole. Dosud jsme pevn stáli na pozici zdroj → pole: existuje zdroj (jenž je v jistém smyslu "prvotní"), který kolem sebe budí pole a úkolem fyziky je stanovit zákony, podle nichž zdroj toto pole vytvá í. Zdroj je p itom n co odlišného od pole, je to jakási "substance" - prvek cizorodý teorii samotného pole. Podíváme-li se na Maxwellovy rovnice Fik;k = 4π j i nebo na Einsteinovy rovnice Rik − 1/2 gik R = 8π Tik , vidíme že na levé stran stojí výraz popisující pole a na pravé stran veli ina popisující zdroj. Porovnáme-li vzájemn charakter obou veli in, m žeme konstatovat spolu s Einsteinem, že "fenomenologický" zdroj na pravé stran (tenzor energie-hybnosti Tik nebo ty proud j i) p sobí ve srovnání s pregnantním výrazem popisujícím pole na levé stran jako "d ev ná chatr vedle zlatého paláce". V dokonalé teorii pole by žádný takový dualismus nem l být, zdroj odlišný od pole by nem l existovat; zdroj by m l být rovn ž "složen" z pole. Unitární teorie pole tak klasický problém "Jakým zp sobem zdroj kolem sebe budí pole?" obrací úpln na hlavu a ptá se: "Jakým zp sobem je to, co považujeme za zdroj, ze svého pole složeno?". Problém buzení pole, stejn jako problém interakce dalších ástic s tímto polem, pak již automaticky odpadá - všechno je pole, které se jistým zp sobem (podle svých vnit ních zákon ) vyvíjí v prostoru a ase. Pouze p i našem pozorování se nám n které oblasti pole jeví jako "zdroje" a jiné oblasti jako vzbuzované nebo p sobící "pole". Po vytvo ení obecné teorie relativity - což je vlastné geometrizace gravitace - se A.Einstein tém po 40 let usilovn snažil vytvo it unitární teorii gravita ního a elektromagnetického pole a završit tak své impozantní životní dílo. Elektromagnetické pole má totiž mnoho podobných vlastností jako pole gravita ní, takže se p irozen nabízelo jako nejvhodn jší "kandidát" pro geometrizaci a tím pro sjednocení s již geometrizovaným gravita ním polem. A jako nejp irozen jší cesta k zahrnutí elektromagnetismu do gravitace se jevilo zobec ování geometrických vlastností Riemannova prostoro asu OTR tak, aby nov vzniklé geometrické struktury n jak popisovaly elektromagnetické pole.
532
Unitární teorie gravita ního-elektromagnetického pole, vytvá ené ve 20.letech Einsteinem a dalšími fyziky nevedly ke kýženému výsledku a proto o nich u iníme jen zcela stru nou zmínku. Tyto teorie lze rozd lit zhruba dvou skupin : a) Zobec ování geometrických vlastností ty rozm rného prostoro asu
První pokus v tomto sm ru p ísluší H. Weylovi, který v letech 1917-19 zobecnil Riemannovu geometrii v tom smyslu, že p i paralelním p enosu vektoru kolem uzav ené k ivky se m že zm nit nejen sm r, ale i velikost vektoru. V této Weylov (konformní) geometrii se grupa obecné kovariance (používaná v OTR) rozši uje o kalibra ní transformace metriky gik
gik′ = λ ( x ) ⋅ gik ,
( 1920 )
p i nichž se délky všech vektor v daném bod násobí stejným libovolným koeficientem λ, který se m že m nit od bodu k bodu. Délka vektoru l se pak p i nekone n malém paralelním p enosu m ní podle zákona
δ l = −l ⋅ ϕi dxi .
( 1921 )
Krom fundamentální kvadratické formy ds 2 = gik dx i dx k tedy ve Weylov geometrii vzniká další lineární diferenciální forma dϕ = ϕi dx i popisující neintegrabilitu délky vektor . Veli iny ϕ i jsou p itom komponentami ty vektoru a p i kalibra ních transformacích ( 1839 ) se transformují podle zákona
ϕi′ = ϕi −
∂ i ln λ x ( ). ∂x i
( 1922 )
Takto vzniklý ty vektor Weyl interpretoval jako elektromagnetický ty potenciál a ty rozm rnou rotaci Fik = ϕ k;i - ϕ i;k tohoto pole, která je
533
kalibra n invariantní, jako tenzor elektromagnetického pole. Rovnice elektromagnetického i gravita ního pole by pak m ly vzniknout z jediného varia ního principu, invariantního jak vzhledem k obecným transformacím sou adnic, tak v i kalibra ním transformacím ( 1839 ). To vedlo ke kvadratickému lagrangiánu a tím k diferenciálním rovnicím 4. ádu. Další zp sob zobecn ní axiomatiky Riemannovy geometrie pro ú ely unitarizace navrhl a v letech 1946-53 propracoval A. Einstein. Zobecn ní spo ívá v tom, že místo symetrického tenzoru gik se v základní form gikdxidxk p ipouští nesymetrický metrický tenzor gik a rovn ž nesymetrické koeficienty afinní konexe Γikl. Práv antisymetrickou ást metriky se Einstein pokoušel interpretovat jako elektromagnetické pole, zatímco symetrická ást popisovala gravitaci podobn jako v OTR. b) P tirozm rné unitární teorie
Theodor Franz Eduard Kaluza (1885 – 1954)
Oscar Benjamin Klein (1894 – 1977)
Zcela jiný p ístup k problému sjednocení gravita ního a elektromagnetického pole vypracovali v letech 1921 – 1925 T. Kaluza a O. Klein, kte í pro obecný popis fyzikální reality navrhli používat 5-rozm rnou varietu (v níž prostoro as OTR je ur itým 4-rozm rným podprostorem) v nad ji, že pátý rozm r by mohl vyjad ovat elektromagnetické pole. Kaluza a Klein se z ejm inspirovali zp sobem, jakým Minkowski sjednotil v trojrozm rnu odd lené elektrické a magnetické pole p echodem ke ty rozm rnému prostoro asu.
534
Fyzikální prostoro as pozorujeme jako ty rozm rný, takže "p ebyte ného" pátého rozm ru (který nemá p ímý geometrický význam) je t eba se zbavit položením vhodné podmínky na p tirozm rnou geometrii. Kaluza p vodn zavedl pom rn um lý požadavek "cylindri nosti", podle n hož v p tirozm rné variet m la existovat jednorozm rná grupa izometrických transformací; vzniká tak Killingovo vektorové pole což vede k tomu, že 5-rozm rná geometrická struktura m že být pln popsána geometrií ty rozm rné hyperplochy. Pozd ji Einstein, Bergmann a Bargmann navrhli jinou geometrickou podmínku: uzav enost (kompaktnost) p tirozm rné variety v pátém rozm ru. P tirozm rná varieta by pak m la topologickou strukturu M4 × S1, kde M4 je Minkowskiho prostoro as a S1 je kružnice, tj. varieta by m la tvar tenké trubice. Pokud je polom r této trubice (polom r kompaktifikace) dostate n malý (subatomových rozm r ), nem že se žádný makroskopický objekt v pátém rozm ru pohybovat a prostoro as se efektivn jeví jako ty rozm rný. Integrál akce obecné teorie relativity v p tirozm rném prostoru se uvažuje ve tvaru
S5 = −
1 16π G5
g ( ) R( ) d 5 x 5
5
( 1923 )
kde gAB je p tirozm rná metrika, g(5) = det(gAB) a R(5) = gAB⋅RAB je skalární k ivost p tirozm rného prostoru. Metrika p tirozm rného prostoru se volí ve tvaru
g AB = ϕ −1 3 ⋅
gik + Ai Akϕ Akϕ
Aiϕ
ϕ
,
A, B = 0,1, 2,3, 4,5 ,
i, k = 0,1, 2,3
( 1924 ) kde gik je obvyklý metrický tenzor 4-rozm rného prostoro asu, 5. složka g5k je ztotožn na (až na skalární faktor ϕ) se ty potenciálem elektromagnetického pole. Za p edpokladu, že metrika gAB nezávisí na sou adnici x5, dosazením metriky ( 1924 ) do akce ( 1923 ) po integraci podle x5 dostaneme
535
1 S =− 16π G
R
( 4)
1 1 ϕ, iϕ + ϕ Fik F ik + 4 6 2
,i
g( ) d 4x 4
( 1925 )
Pomineme-li skalární pole ϕ, je integrál akce v Kaluzov -Kleinov teorii roven sou tu Einsteinova gravita ního lenu a U(1)-kalibra ního lenu daného tenzorem
Fik = Ai ;k − Ak ;i ,
( 1926 )
který lze interpretovat jako Maxwellovo elektromagnetické pole. P itom kalibra ní transformace
Ai → Ai + ∂λ/∂xi Ai → Ai +
∂λ ∂x i
( 1927 )
je generována speciální transformací sou adnic v 5-rozm rném prostoru:
x′i = x i , x′5 = x 5 + λ ( x i ) .
( 1928 )
V teorii je bez újmy na obecnosti zvolena taková parametrizace metriky gAB a ozna ení veli in, aby se získaly Einsteinovy a Maxwellovy rovnice v obvyklém tvaru. Pátá prom nná pole – skalární veli ina ϕ – je v Kaluzov -Kleinov teorii p ebyte ná a Kaluza ji vylou il tím, že ji prost položil rovnou jedné. Pozd ji byly in ny pokusy pochopit význam tohoto skalárního pole a dát mu kosmologický význam; Brans a Dicke dali toto pole do souvislosti se skalárním polem dalekého dosahu ve své tzv. skalárn -tenzorové teorii gravitace. Einstein a Bergman chovali ur itou dobu nad ji, že periodi nost polí vzhledem k páté zkompaktifikované sou adnici (podél níž by se pole mohla m nit s periodou rovnou délce kružnice kompaktifikace) by mohla vysv tlit kvantové jevy a umožnila vytvo it klasické modely elementárních ástic. Tato podobnost s Bohrovým-Broglieovým kvantováním se však ukázala jen jako povrchní a p íslušné nad je se neuskute nily.
536
Jedna z námitek proti Kaluzov -Kleinov teorii spo ívá v tom, že tato teorie není vlastn v pravém slova smyslu jednotná: gravitace a elektromagnetismus jsou zde od sebe odd leny invariantním zp sobem jako "olej a voda". Kaluzova-Kleinova teorie nevedla ke kýženým výsledk m a na dlouhou dobu upadla prakticky v zapomn ní. V posledních letech však neo ekávan nastala ur itá "renesance" Kaluzovy-Kleinovy koncepce v souvislosti se snahami o geometrickou formulaci supergravita ních teorií. Jedná se o zobecn né Kaluzovy-Kleinovy teorie budované v superprostorech, kde se zavád jí navíc další rozm ry spinorového charakteru vyjad ující vnit ní vlastnosti interakcí; ukazuje se, že nap . 11-rozm rná Kaluzova-Kleinova teorie by mohla sjednocovat všechny známé interakce ástic. Kaluzovy-Kleinovy teorie dále poskytují zajímavé možnosti model vesmíru o vyšším po tu rozm r . c) Supersjednocení a supergravitace
Názory na úlohu gravitace ve struktu e elementárních ástic se velice r zní; rozprostírají se mezi dv ma krajními polohami: a) Gravitace nemá žádný vliv na strukturu a interakce elementárních ástic. Tento krajní názor vychází z faktu, že gravita ní interakce mezi elementárními ásticemi je za všech známých okolností daleko slabší než ostatní druhy interakcí: nap . pro dva protony nacházející se v jád e ve vzdálenosti ~10-13 cm jsou gravita ní síly zhruba ~1040krát slabší než elektrické síly a ~1042-krát slabší než silné interakce. b) Druhý krajní názor zastával A.Einstein a jeho následovníci (nap . J.A.Wheeler): gravitace jakožto fyzika prostoro asu hraje ur ující roli ve struktu e elementárních ástic, je jejich nejvlastn jší podstatou. Podle této koncepce je nutno hledat taková zobecn ní geometrických vlastností prostoro asu, jejichž p irozenými d sledky by byly vývody kvantové teorie pole o vlastnostech elementárních ástic.
Pokud lze univerzálnost gravitace extrapolovat až do mikrom ítek elementárních (subnukleárních) ástic, platila by zcela ur it aspo první ást druhého krajního názoru b). Lokální hustoty hmoty a energie
537
zde totiž dosahují takových hodnot, že gravita ní interakce by se stala silnou. Stále sílí názor, že v sou asné dob již nelze od sebe odtrhovat fyziku elementárních ástic a fyziku gravitace; zdá se dokonce, že bez zahrnutí gravitace nem že být vytvo ena konzistentní a jednotná teorie ástic tvo ících hmotu. Je proto p irozená snaha završit unitarizaci interakcí v kvantové teorii pole zahrnutím gravita ní interakce, jejím sjednocením s ostatními t emi druhy interakcí. Tento ambiciózní unitariza ní program se ozna uje jako supersjednocení nebo supergravitace. Sjednotit gravitaci s ostatními druhy interakcí v duchu výše zmín ného schématu unitarizace kalibra ních teorií znamená slou it vnit ní symetrie s geometrickými, tj. najít spole nou grupu zahrnující jak grupu transformací prostoro asu (nap . Poincaréovu grupu) charakterizující gravitaci v OTR, tak i grupy vnit ních (nikoliv prostoro asových) symetrií slabých, silných a elektromagnetických interakcí. Ukázalo se, že provést takové sjednocení (netriviálním zp sobem, tj. ne jako pouhý direktní sou in) nelze v rámci Lieových grup, ale bylo nutné použít nové algebraické struktury - zobecn né grupy nazývané asto Lieovy superalgebry nebo graduované Lieovy algebry. Ve zobecn ných grupách jsou p íslušné algebry ur eny jak komuta ními, tak i antikomuta ními relacemi mezi jednotlivými generátory. Ty Lieovy superalgebry, které obsahují jako svoji podalgebru grupu prostoro asových transformací (nap . Poincaréovu grupu), se ozna ují jako supersymetrické. Algebra supersymetrie se konstruuje tak, aby obsahovala vedle oby ejných generátor Poincaréovy grupy (prostoro asových posuv Pk a rotací Mkj) také spinorové generátory Qi s vhodnými komuta ními relacemi. Pokud se taková algebra realizuje v prostoru polí, transformují generátory Qi tenzorová pole na spinorová a naopak. Protože v kvantové teorii tenzorová pole popisují bosony s celo íselným spinem ( ídící se Bose-Einsteinovou statistikou) a spinorová pole popisují fermiony s polo íselným spinem (statistika Fermi-Diracova), operátory Qi vlastn generují transformace p evád jící fermiony na bosony a naopak. V supergravitaci je tak odstran na ostrá hranice kladená mezi fermiony a bosony v dosavadní fyzice. Další charakteristickou vlastností supergravitace je to, že vedle gravita ního pole, které je kalibra ním polem v i lokálním transformacím prostoro asu, obsahuje ješt spinorové pole - kalibra ní pole vzhledem k lokálním supersymetrickým
538
transformacím generovaným Qi; takové pole se ozna uje jako RaritovoSchwingerovo a jeho kvantum se nazývá gravitino (m že mít spin 3/2, pop . 5/2). V supersymetrických unitárních teoriích elementárních ástic je ke každé ástici p i azen její tzv. superpartner - každý boson má svého fermionového superpartnera a fermion má naopak sv j bosonový prot jšek. Nej ast ji diskutované supersymetrické ástice jsou zmín ná gravitina a dále též fotina - slab interagující hmotné ástice se spinem 1/2, zavád né jako supersymetrický partner fotonu. N kdy se diskutují i supersymetrické ástice k fermion m: sleptony jako superpatne i k lepton m, nap . selektron, smion, sneutrino (zvané též neutralino m lo by mít vysokou hmotnost desítky GeV), i kvark m – skvark. Nejjednodušší supergravita ní teorie - tzv. prostá supergravitace vytvo ená v r. 1976, byla spíše modelovým experimentem, protože obsahuje minimální množství polí; nezahrnuje ani kvarky a leptony. Fyzikáln realisti t jší varianty supergravita ních teorií se snaží rozší it po et spinorových generátor a zavést též generátory vnit ních symetrií. Vzniká tak rozší ená supergravitace, která obsahuje 4N spinorových generátor Qαi (α = 1,2,...,N) nesoucích index vnit ní symetrie α. Omezíme-li se p itom na ástice (pole) se spinem nep esahujícím hodnotu 2, v prostoro ase dimenze d = 4 jsou možné N-rozší ené supergravita ní teorie s N = 1,2,...,8. Nejjednodušší rozší enou supergravita ní teorií je N = 2-supergravitace sjednocující Maxwellovu a Einsteinovu teorii; k foton m a graviton m jsou zde p i azena dv gravitina. Maximáln rozší ená N = 8-supergravitace obsahuje: jedno gravita ní pole (graviton), 8 polí Raritových-Schwingerových (gravitin), 28 vektorových polí (boson ) se spinem 1, 56 spinorových polí (fermion ) se spinem 1/2 a 70 skalárních polí. Multiplety rozší ených supergravita ních teorií mají tedy mnohem bohatší strukturu než v prosté supergravitaci. Avšak p esto, že obsahují nadm rný po et polí, neobsahují pole n kterých známých ástic, nap . µ-mezonu. Z unitariza ního schématu 3 vidíme dv na první pohled diametráln odlišné cesty: Einsteinovu geometrickou cestu kon ící Wheelerovou geometrodynamikou a cestu kvantových kalibra ních teorií pole vedoucí k supergravitaci, která nemá s geometrickým charakterem nic spole ného.
539
Schéma 3 Pád t les Pohyb planet
Newton v gravita ní zákon Einsteinova OTR
Elekt ina Magnetismus
Maxwellova elektrodynamika
Sv tlo Zá ení erného t lesa fotoefekt
Unitární teorie pole Kvantová teorie pole
Kvantová mechanika
Kvantová geometrodynamika Unitární teorie pole
Kvantová elektrodynamika Kvantová flavourdynamika Kvantová chromodynamika
EW sjednocení
SUSY GUT sjednocení
Protože Einsteinovo pojetí gravitace jako geometrické struktury prostoro asu vychází z velmi hlubokých a názorných princip , naskytá se p irozen otázka, zda geometrickými prost edky nelze konstruovat i supergravita ní teorie. Fyzikáln by to znamenalo, že "náboje" v supergravita ních teoriích by m ly mít sv j p vod v geometrické struktu e zobecn ného prostoro asu, podobn jako gravita ní "náboj" v OTR má p vod v k ivosti prostoro asu. Zajímavou variantou vícedimenzionální unitární teorie, která se objevila v posledních desetiletích, je teorie tzv. superstrun. V této teorii se ástice a kvanta polí interpretují jako vzbuzené stavy kmit (jednorozm rné) relativistické struny ve vícerozm rném prostoru (nej ast ji d = 10). Tyto superstruny s charakteristickou délkou ádu Planckovy délky ≈10-33 cm mohou být jak otev ené (s volnými konci), tak uzav ené, p i emž interakce superstrun spo ívá bu ve spojení konc dvou strun (vznikne struna t etí), nebo v roztržení jedné struny na dv ásti. Za hlavní výhodu teorie superstrun se považují její lepší renormaliza ní vlastnosti - nevyskytují se zde "ultrafialové" divegence. O teorii superstrun je stru n pojednáno níže v samostatné pasáži.
540
Skute n se ukázalo, že supergravitace m že být formulována jako geometrická teorie v superprostoru (superprostor vzniklý rozší ením Minkowského prostoro asu je obecn zak ivený a má navíc další rozm ry spinorového charakteru) s použitím aparátu diferenciální geometrie zobecn ného na situaci, kdy n které ze sou adnic antikomutují. Jedná se tedy o prostor s torzí, p i emž se ukázalo, že všechny komponenty k ivosti mohou být vyjád eny pomocí torze a jejích kovariantních derivací. Torze se tak stává fundamentálním geometrickým objektem v supergravitaci. Nejnov jší pokusy o geometrickou formulaci supergravitace tak vedou k ur ité "renezanci" Kaluzovy-Kleinovy teorie: konstruují se teorie v mnoharozm rném (d > 4) "prostoro ase", které by za pomoci spontánní kompaktifikace mohly dát realistickou teorii v prostoro ase efektivní dimenze d = 4. Mechanismus spontánní kompaktifikace spo ívá v tom, že se hledá speciální vakuové ešení zobecn ných Einsteinových rovnic v d-rozm rném prostoro ase, odpovídající reprezentaci d-rozm rné variety ve tvaru d
=
4
× Bd-4 ,
( 1929 )
kde 4 je ty rozm rný prostoro as (v tšinou se uvažuje Minkowského) a Bd-4 je kompaktní "vnit ní" prostor. Byly studovány zobecn né Kaluzovy-Kleinovy unitární teorie pro r zné dimenze d > 4. Aby taková teorie byla úplná a realistická, tj. aby sjednocovala všechny známé interakce ástic, musí obsahovat fenomenologickou grupu vnit ní symetrie SU(3)×SU(2)×U(1). Jak nedávno ukázal Witten, aby "vnit ní" prostor Bn m l SU(3)×SU(2)×U(1) - grupu izometrií, musí být jeho minimální dimenze rovna n = 7 tj. dimenze výchozí variety Kaluzovy-Kleinovy teorie musí být d = 11, což se shoduje s výsledkem pro maximální (N = 8)-supergravitaci v (d = 4)prostoro ase. V nejran jších etapách vývoje vesmíru p i vysokých teplotách, kdy ješt nenastala spontánní kompaktifikace, prostoro as mohl mít všech svých 11 rozm r . Spontánní kompaktifikace, která potom nastala, mohla vést v principu ke všem možným vakuovým ešením, takže se mohly vytvo it "ostrovy", v nichž prostoro as m že mít r znou topologii, po et rozm r
541
i signaturu metriky. Nejran jší vesmír by tak mohl být jakýmsi "oknem" do vyšších dimenzí zobecn né Kaluzovy-Kleinovy unitární teorie. Pro ov ení správnosti cesty nastoupené supergravitací by bylo podstatné, kdyby se poda ilo experimentálné prokázat existenci gravitin, která jsou pro supergravita ní teorie charakteristická. Superalgebry a supersymetrie
Hermann Günther Grassmann (1809 – 1877)
Nejprve si ekn me ješt n co o oby ejných algebrách, nap íklad o algeb e Poincaré. Jde o Lieovu algebru, generující isometrie asoprostoru v etn posunutí. Za její basi lze tedy vybrat J µν , tedy generátory Lorentzovy grupy (resp. oto ení) a pν , generátory posun (zna ení se kryje s ozna ením momentu hybnosti a hybnosti, a snad již mnozí z vás poznali, že to není náhoda). Komuta ní relace budou
pµ , pµ = 0 , p µ , Jαβ = i ( g µβ pα − g µν p β ) ,
( 1930 )
J µν , Jαβ = −i ( gνα J µβ − g µα Jνβ + g µβ Jνα − gνβ J µα ) ,
kde g µν je metrický tenzor. Jacobiho identitu m žete zkontrolovat p ímým výpo tem. Krom oby ejných algeber se dnes hodn mluví i o graduovaných algebrách neboli superalgebrách. Ty lze psát jako lineární obal prvk ,
542
kterými již nebudou pouze operátory, které jsou zvyklé s v tšinou ostatních komutovat, nýbrž také grassmannské operátory, které spolu typicky navzájem antikomutují ab = -ba (ovšem s negrassmannskými typicky komutují) a u nichž je tedy lepší hovo it o antikomutátoru {a, b} = ab + ba . Jednotným jazykem, superkomutátor neboli graduovaný komutátor dvou operátor
[ a, b]grad
je antikomutátorem,
pokud jsou oba grassmannské, jinak je komutátorem. Chceme-li transformovat objekty prvkem grupy g blízkým jednotkovému, napíšeme tento jako g = 1 + d ζ i si , kde d ζ i jsou infinitesimální parametry a s báze generátoru. Pokud jsou si grassmannské, musí být grassmannské i d ζ i ; p edstavme si pod nimi grassmannské “ íselné” parametry, nap . grassmannské operátory, které komutují se všemi negrassmannskými a antikomutují se všemi grassmannskými. Jestliže fyzika pracovala do šedesátých nebo sedmdesátých let jen s algebrami, p sobením jejichž transformací mohly p echázet elektrony do neutrin, ervené kvarky do modrých anebo se systémy mohly otá et nebo posouvat, v posledních dvaceti letech promýšlejí teoretici i tzv. supersymetrie, pomocí nichž lze transformovat bosony na fermiony a naopak. Uvedeme jako p íklad supersymetrii na sv telném kuželi v desetirozm rném asoprostoru, která proti algeb e Poincaré obsahuje navíc i grassmannské operátory Q a a Q a . Pohle me tedy zb žn na n které superkomutátory algebry super-Poincaré:
{Q , Q } = 2p + δ a
b
ab
,
{Q , Q } = 2p − δ , {Q , Q } = 2 p , a
b
a
b
J i− , Q a =
ab
i ab
i 2
i aa
i
( 1931 )
Qa .
(Indexy a resp. a jsou osmizna né spinorové indexy grupy SO(8), γ jsou Diracovy matice, indexy ± odpovídají kalibraci na sv telném kuželi
543
1 0 v ± v g ) atd.) Všimn te si, že antikomutátor dvou ( 2 supersymetrií je úm rný posunu. To všechno má názorné vysv tlení, rozší íme-li pojem prostoru na superprostor , který krom komutujících sou adnic navíc obsahuje i antikomutující, protože v n m je supersymetrie geometrickou operací. Supersymetrie zajiš uje teoriím zajímavé vlastnosti: její za len ní do teorie strun odstraní z této teorie tachyony ( ástice pohybující se nadsv telnou rychlostí), jelikož nap . {Qi , Qi } = 2p − tj. p − = Qi Qi , v± =
operátor Qi je hermitovský a st ední hodnota p − ve stavu ψ je tedy nezáporná, pon vadž jde o tverec normy ψ Qi Qi ψ vektoru Qi ψ . Navíc implikuje stejný po et fermionových a bosonových stav na každé hladin ; každý fermion má svého bosonového partnera a naopak (fotino, gluino, gravitino, selektron, skvark, …). Supersymetrie zaru uje v mnoha p ípadech vymizení kosmologické konstanty (hustoty vakua) a záhadou naopak z stává, pro je kosmologická konstanta podle pozorování p inejmenším o 120 ád menší než o ekávané náhodné p ísp vky od r zných polí i v našem sv t , který supersymetrický není nebo kde je supersymetrie narušena. A za zmínku stojí i fakt, že supersymetrie klade omezující podmínky na dimenzi asoprostoru. Již jen poznamenejme, že podobn , jako obecná teorie relativity požaduje, aby se parametry Lorentzovy transformace mohly m nit od bodu k bodu, lze tuto lokálnost požadovat od supersymetrie a získáme tak r zné teorie supergravitace. Ob í vy atá grupa Cílem této sekce je ukázat explicitní konstrukci ob í grupy (resp. odpovídající algebry) E8 provedenou Michaelem B.Greenem, Johnem H.Schwarzem a Edwardem Wittenem. Pro jí íkáme ob í? Protože má ze všech prostých vy atých grup nejv tší dimenzi (248) a navíc (chápeme-li míru symetrie jako pom r dimenze a kvadrátu ranku, aby se klasické grupy SO(n) asymptoticky touto veli inou blížily konstant ), dosahuje rekordní hodnoty 31/8.
544
Obr. 53: Superalgebra E8
Konstrukci za neme podalgebrou SO(16), kterou generuje 16⋅15/2=120 operátor J ij = − J ji , spl ujících obvyklé komuta ní relace
J ij , J kl = J ilδ jk − J jlδ ik − J ik δ jl + J jk δ il
( 1932 )
a p idáme k nim 128 generátor Qα (celková dimenze tedy bude 120+128=248), které se transformují jako spinory SO(16) dané ( ekn me kladné) chirality, ímž míníme, že
J ij , Qα = Q β (σ ij )
βα
.
( 1933 )
K dokon ení specifikace algebry musíme dodefinovat zbývající komutátor Qα , Q β (je to komutátor a ne antikomutátor, protože usilujeme o definici algebry a nikoli superalgebry). Teorie grupy SO(16) však tento komutátor až na normalisaci ur uje jednozna n ;
545
Qα , Q β = (σ ij )
βα
J ij .
( 1934 )
Kladný faktor κ , kterým by nám teorie SO(16) dovolila násobit pravou stranu, lze absorbovat do κ -násobného p eškálování Qα , jejichž normalizaci totiž žádná z p edchozích formulí neomezovala. I záporné κ by vedlo k izomorfní algeb e; jeho efekt by byl podobný užití spinoru druhé (zrcadlové) chirality. Jestliže tedy Lieova algebra E8 s rozkladem p idružené reprezentace
{248} = {120} ⊕ {128}
( 1935 )
v i její maximální podgrup Spin(16) existuje, na jejích komuta ních relacích daných prvými t emi vysazenými rovnicemi není co štelovat. K utvrzení se, že formule opravdu definují Lieovu algebru, je t eba ov it Jacobiho identitu. (Už její spln ní nám garantuje existenci matic, které spl ují tytéž relace jako abstraktní operátory Jij a Qα , tj. existenci reprezentace.) Z cvi ných d vod doporu ujeme explicitní kontrolu JJJ identity, která pouze vyjad uje, že Jij formují Lieovu algebru, JJQ identity, která zase potvrzuje, že se Qα opravdu transformují jako reprezentace SO(16). Ani JQQ identita neklade zvláštní požadavky a její platnost je podložena zvlášt tím, že σij matice spl ují touž algebru jako Jij. Opravdu zásadním p ípadem volající po kontrole je identita
Qα , Qβ , Qγ +
Qβ , Qγ , Qα +
Qγ , Qα , Qβ = 0 .
( 1936 )
Rozepsání vede k požadavku
(σ ) (σ )
∀ α , β , γ ,δ : ij
ij αβ
ij γδ
+ (σ ij )
βγ
(σ )
ij αδ
+ (σ ij )
γα
(σ )
ij βδ
=0
( 1937 ) který máme dokázat pro p ípad, že α, β, γ jsou indexy jedné chirality. Všimneme si, že produkt dvou spinor m že být rozepsán na kombinaci úplného systému gamma-matic γ i1 in pro n = 0 … 16, ili nulovost
546
(
poslední formule je ekvivalentní nulovosti jejího zúžení s γ k1
kn
)
αβ
pro
všechna n a k1 … kn . Díky shodné chiralit index α, β se staráme jen o sudá n a antisymetrie dokazované formule v α, β nám dává možnost omezit se na p ípad antisymetrických γ k1 kn , což díky elementárním vlastnostem gamma-matic znamená n = 2, 6, 10, 14. Ve skute nosti nám vztah
γi
1
ik
=
εi
1
i16
γi
k +1
i16
γ
( 1938 )
(16 − k )!
a fakt, že operátor chirality γ lze vynechat, ú inkuje-li na spinory kladné chirality, zmenší práci na polovinu. Že nám sta í prohlédnout jen n = 2 a n = 6 lze spat it už na shodnosti po tu nezávislých len v antisymetrické kombinaci Qα a Qβ (nalevo)
128 ⋅ 127 16 ⋅ 15 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 = + 2 ⋅1 2 ⋅1 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 a sou tu po t nezávislých komponent γ i1 Zúžení se (σ kl )αβ = − (σ kl )αβ dá
− ( Tr+σ klσ ij ) ⋅ (σ ij ) + 2 (σ ijσ klσ ij ) , γδ
γδ
( 1939 ) in
pro n = 2 a n = 6.
( 1940 )
což se užitím Diracových identit anuluje; prvý resp. druhý len se rovnají ±64 (σ kl )γδ . Faktor 64 u druhého lenu vzejde z inventury kladných a záporných p ísp vk (znaménko podle parity po tu prvk 1 13 pr niku množin index {i, j} a {k , l} ) 2 ⋅ + 14 ⋅ − 14 ⋅ 2 . Kontrakcí 2 2 s γ i1 i6 dostaneme (první len te již nep isp je)
(
(
2 σ ij γ i1
)
αβ
i6
σ ij ) , γδ
( 1941 )
547
což op t vymizí: klí ovou je zde rovnost 45⋅1+1⋅15-10⋅6 = 0 p i bilanci p ísp vk ±γ i1 i6 . P idání spinoru k p idružené reprezentaci grupy SO(N) vede k nové Lieov algeb e jen ve t ech p ípadech: krom N = 16, což p ináší E8 , se dá v úplné analogii sestrojit 52-rozm rná vy atá grupa F4 p idáním 16-rozm rného spinoru k 36-rozm rné p idružené reprezentaci SO(9). Podobnost je opravdu velkolepá; v 16-rozm rné spinorové reprezentaci SO(9) lze vzít za úplný soubor matic matice γ i1 in pro n = 0,2,4,6,8 a antisymetrie nám dovolí omezit se op t na n = 2 a n = 6. Vzorce z stanou, jen ísla se obm ní; ±8 místo ±64 , osmi ku v druhém lenu 1 6 dostaneme jako 2 ⋅ + 7 ⋅ − 7 ⋅ 2 a místo 45 + 15 – 60 bude krácení u 2 2 2 2 n = 6 vypadat 3 ⋅ + 6 ⋅ − 3 ⋅ 6 . 2 2 T etí možností je p idání osmirozm rného spinoru k p idružené reprezentaci SO(8), ímž získáme grupu SO(9) zp sobem, který se liší SO(8) rotací triality od standardn jší a jednodušší konstrukce - totiž p idání 8-vektoru J i = J i 9 k p idružené reprezentaci SO(8). Nyní bychom rádi popsali n které podgrupy E8 . Jednu maximální podgrupu - SO(16) - jsme již uvedli. Ta obsahuje maximální podgrupu SO(10) × SO(6), v i níž se její p idružená reprezentace rozpadá na p idružené reprezentace složek a na produkt vektor
{120} = ({45} ⊗ {1}) ⊕ ({1} ⊗ {15}) ⊕ ({10} ⊗ {6}) .
( 1942 )
Jak se v i této podgrup transformuje spinor SO(16) ? Šestnáct γ-matic 1 16 , pomocí nichž definujeme tvar operátor ve spinorové reprezentaci, se rozpadne na prvních deset
1
10
, které m žeme
považovat za matice SO(10), a posledních šest 11 16 , které zam stnáme jako matice SO(6). Spinor SO(16) je tedy alespo v prvním p iblížení sou inem spinor SO(10) a SO(6). Operátor chirality SO(16)
548
=
1 2
( 1943 )
16
je zjevn sou inem operátoru chirality SO(10) (10 )
=
1 2
( 1944 )
10
a podobného u SO(6) ( 6)
=
11 12
16
,
( 1945 )
tedy
=
(10 ) ( 6 )
.
( 1946 )
Tedy spinor Qα pozitivní chirality grupy SO(16), který p i konstrukci E8 p idáváme k Jij , se rozpadá na dva kusy s vlastními ísly (10 )
=
( 6)
= +1
( 1947 )
=
( 6)
= −1 .
( 1948 )
resp. (10 )
Ozna íme-li spinory pozitivní i negativní chirality grupy SO(10) resp. SO(6) jako {16} i 16 resp. {4} i {4} (dimenze spinorových
{ }
reprezentací jsme již diskutovali), máme rozklad {128} grupy SO(16)
{128} = ({16} ⊗ {4}) ⊕ ({16} ⊗ {4})
( 1949 )
který ve spojení s rozkladem p idružené reprezentace výše, udává zp sob transformace fundamentální reprezentace E8 (u této grupy je to tatáž co p idružená) v i této podgrup .
549
Nyní máme tu milou povinnost p edstavit vám grupu E6 jako podgrupu E8 . Jako p edehru si uv domme, že ve {4} grupy SO(6) jsou generátory hermitovskými 4 × 4 maticemi, jejichž bezstopost zabezpe uje prostota grupy SO(6); jsou tedy SO(4) generátory - neboli SO(6) je podalgebrou SO(4). Post ehnutím shodné dimenze 15 u obou dojdeme k p esv d ení, že nem že jít o vlastní podalgebru: musí jít o izomorfní algebry. Tato cesta nás sou asn pou ila, že fundamentální {4} a {4} grupy SO(4) se chovají v SO(6) jako spinory kladné resp. záporné chirality. Naopak, fundamentální (vektorová) reprezentace {6} grupy SO(6) je antisymetrickým tenzorem druhého ranku grupy SO(4), který má 3 dimenzi 4 ⋅ ⋅ 1 = 6 , jak má být. Je jedno, zda bereme {4} ∧ {4} nebo 2 {4} ∧ {4} ; tyto reprezentace jsou ekvivalentní, jelikož je lze p epo ítávat δ
vγ pomocí antisymetrického tenzoru Levi-Civitty vαβ = ε αβγδ . 2 A tak mluvme místo o podalgeb e SO(10) × SO(6) o SO(10) × SU(4). Dále, SU(4) má o ividnou podgrupu SU(3) × U(1). Zna íme-li horními 3 −1 indexy U(1) náboje, rozkládá se nám {4} grupy SU(4) na {1} ⊕ {3} , {6} grupy SU(4) - práv ztotožn ný s antisymetrickým sou inem dvou
{4}, se transformuje jako {3} ⊕ { 3} a p idružená reprezentace SU(4), 2
−2
{4} ⊗ {4} − {1} (-{1} zna í odstran ný singlet - stopu) se 0 −4 −4 0 pod SU(3) × U(1) transformuje jako {8} ⊕ {3} ⊕ {3} ⊕ {1} , kde {8} což je vlastn
znamená p idruženou SU(3). Kombinací všech fakt docházíme k vytouženému rozkladu p idružené reprezentace E8 v i podgrup SO(10) × SU(4) × U(1):
550
{248} = ({45} ⊗ {1}) ⊕ ⊕
(({16} ⊗ {3})
⊕ ({1} ⊗ {1} ) ⊕ ({16} ⊗ {1} ) ⊕ 16 ⊗ {1}
−1
⊕ ({10} ⊗ {3} ) ⊕ ({1} ⊗ {3} )
0
3
2
({ } { } ) ( 1
16 ⊗ 3
({ }
0
⊕ {10} ⊗ { 3}
)
−2
(
⊕ {1} ⊗ { 3}
−4
)
4
)⊕
)
−3
⊕
⊕ ({1} ⊗ {8} ) . 0
( 1950 ) Zvláštní pozornosti zaslouží 78 generátor , které jsou SU(3) singlety. Neb komutátor dvou SU(3) singlet musí být op t SU(3) singlet, lze usoudit, že t chto 78 generátor tvo í uzav enou podalgebru (t ch generátor , které s onou SU(3) komutují, n kdy zvanou centralizátor grupy SU(3)); je známa jako vy atá Lieova algebra E6 . Evidentní je maximální subalgebra SO(10) × U(1), v i níž se p idružená reprezentace E6 rozkládá podle p edpisu
{ }
{78} = {45} ⊕ {16} ⊕ 16 0
3
−3
⊕ {1} . 0
( 1951 )
A co víc, rozklad {248} obsahuje 27 kopií {3} grupy SU(3). Tyto se musí zobrazovat na sebe p i E6 transformacích , a tak musí mít E6 n jakou 27-rozm rnou reprezentaci s SO(10) × U(1) rozkladem
{27} = {16}
−1
⊕ {10} ⊕ {1} . −4
2
( 1952 )
Jistotu zvýšíme ov ením, že 16⋅(-1)+10⋅2+1⋅(-4) = 0 – stopa U(1) generátoru v reprezentaci {27} grupy E6 je nula. To je v souhlase s faktem, že stopa každého generátoru n jaké prosté Lieovy algebry vymizí v každé reprezentaci (onen U(1) generátor je jedním ze 78 generátor E6 ). Tím také dokazujeme ireducibilitu, jelikož tato stopa by se neanulovala po vyškrtnutí n kterých len rozkladu {27}. Komplexn sdruženou reprezentací jsou { 3}
{ } { }
1
27 = 16 ⊕ {10} ⊕ {1} . 2
4
( 1953 )
551
Poslední vysazené formule nejsou zjevn vzájemn izomorfní, takže {27} a 27 jsou komplexní reprezentace, neekvivalentní k nim
{ }
komplexn sdruženým. E6 je opravdu jedinou vy atou Lieovou algebrou, která v bec komplexní reprezentace má. Posbíráním len lze dojít k rozkladu {248} grupy E8 v i maximální podgrup E6 × SU(3).
{248} = ({78} ⊗ {1}) ⊕ ({1} ⊗ {8}) ⊕ ({27} ⊗ {3}) ⊕ ({27} ⊗ {3}) . ( 1954 ) Užijeme-li maximální podgrupu SU(2) × U(1) grupy SU(3) a ozna ímeli horními indexy U(1) náboj, máme
{248} = ({78} ⊗ {1})
0
⊕ ({1} ⊗ {3} ) ⊕ ({1} ⊗ {2} ) ⊕ −3
0
⊕ ({1} ⊗ {2} ) ⊕ ({1} ⊗ {1} ) ⊕ ({27} ⊗ {1} ) ⊕ 3
0
2
({ }
⊕ ({27} ⊗ {2} ) ⊕ 27 ⊗ {1} −1
( 1955 )
) ({ } { } ) . −2
⊕ 27 ⊗ 2
1
Posbíráním SU(2) singlet dostaneme 133-rozm rnou p idruženou reprezentaci další vy até grupy E7 , která se rozkládá pod maximální podgrupou E6 × U(1) na
{133} = {78}
0
{ }
⊕ {1} ⊕ {27} ⊕ 27 0
2
−2
.
( 1956 )
Shromážd ním dublet (u grupy SU(2) je reprezentace {2} pseudoreálná a tedy izomorfní { 2} !) získáme fundamentální 56-rozm rnou reprezentaci E7 s E6 × U(1) rozkladem
{56} = {1}
−3
{ }
⊕ {1} ⊕ {27} ⊕ 27 3
−1
1
( 1957 )
552
a m žeme tedy zapsat rozklad {248} grupy E8 pro maximální podgrupu E7 × SU(2)
{248} = ({133} ⊗ {1}) ⊕ ({56} ⊗ {2}) ⊕ ({1} ⊗ {3}) .
( 1958 )
Krom E6 , E7 , E8 známe ješt vy até grupy F4 a G2. Zmín nou SO(9) konstrukci grupy F4 lze vno it do SO(16) výstavby E8 omezením se na Jij pro i, j = 1 … 9 a výb rem 16 složek spinoru ze {128}, která se v i SO(9) × SO(7) podgrup SO(16) rozkládá na {16}⊗{8}, stejn jako {128′′}. Zajímavý je centralizátor grupy F4 v E8 . Musí jím být kombinace Jij (spinory Qα sotva donutíme komutovat s ostatními), a to podgrupa SO(7) (aby komutovala s SO(9) podgrupou F4). Navíc musí zachovávat náš výb r {16}⊗{1} z {16}⊗{8}, tj. p jde o podgrupu SO(7) fixující jeden element osmirozm rné spinorové reprezentace. Této grup se íká G2 a je to sou asn grupa symetrií Cayleyovy malé násobilky, (algebry v t lese O všech oktonion ). Tedy E8 obsahuje podgrupu F4 × G2. Mimo jiné, trojindexový antisymetrický invariant lze te získat z invariantního spinoru sα jako
y mno = sα
m
n
αβ
βγ
o
s ,
γδ δ
( 1959 )
kde i = i 8 jsou gamma-matice SO(7) upravené tak, aby p sobily uvnit reprezentace, spl ující
{
i
,
j
} = −δ
ij
.
( 1960 )
A o ekávali byste jiný rozpad {248} grupy E8 v i podgrup F4 × G2 než direktní sumu p idružených reprezentací a produktu fundamentálních ?
{248} = ({52} ⊗ {1}) ⊕ ({26} ⊗ {7}) ⊕ ({1} ⊗ {14}) .
( 1961 )
553
1) Topologická kvantová teorie pole Geometrodynamika Elektrické náboje (a jejich proudy) jsou zdroji elektromagnetického pole, avšak zárove jsou ímsi cizorodým v teorii samotného elektromagnetického pole – jakási substance odlišná od pole. V místech kladných elektrických náboj elektrické silo áry za ínají a vycházejí na všechny strany, do míst záporných elektrických náboj silo áry ze všech stran vstupují a tam kon í. Maxwellovy rovnice pole zde neplatí. Celkový náboj v libovolné ásti prostoru lze podle Gaussovy v ty zjistit tak, že vyšet ovanou oblast obklopíme myšlenou uzav enou plochou S a zm íme intenzitu E elektrického pole ve všech místech této uzav ené plochy – ur íme po et silo ar které jdou dovnit nebo ven. Nemohou se však silo áry které jdou dovnit n jak nepozorovan dostat zase ven aniž bychom to zaznamenali na uzav ené ploše tento vnit ek ohrani ující (nebo podobn silo áry jdoucí ven se dostat zp t dovnit )? Nakresleme si tuto situaci v dvojrozm rném p ípad . Místo silo ar použijeme myšlené mravence, které zde budeme považovat za dvojrozm rné bytosti. Na obr. 54a má dvourozm rný sv t mravenc obvyklé vlastnosti a mravenec nacházející se uvnit uzav ené k ivky se skute n nijak nem že dostat ven aniž by prošel touto hranicí. Co však když dvourozm rný sv t mravenc vypadá tak, jak je to znázorn no na obr. 54b ? Mravenec uv zn ný v oblasti ze všech stran obklopené uzav enou k ivkou m že projít tunelem a podívat se zven í na svoje v zení. Z hlediska trojrozm rného okolí, do n hož je tato konstrukce vno ena, na tom není nic divného – mravenec, i když se pohybuje stále v rámci své dvourozm rné plochy (svého sv ta), podleze st nu svého v zení tak íkajíc p es další rozm r.
554
Obr.54. Vliv topologických vlastností prostoru na možnosti pohybu. a) V ze (mravenec) obklopený ze všech stran st nou v zení se v prostoru (zde dvojrozm rném) s obvyklými topologickými vlastnostmi nijak nem že dostat ven, aniž projde st nou v zení. b) V prostoru s vícenásobn souvislou topologií lze opustit uzav ené v zení bez nutnosti projití jeho st nou. Mravenec m že projít topologickým tunelem a podívat se zvenku na neporušenou st nu svého v zení.
Z hlediska samotných dvourozm rných mravenc , pro n ž žádný t etí rozm r neexistuje, se však stal jakýsi zázrak: v ze , ze všech stran obklopený zdí, se najednou n jakým zp sobem ocitl vn svého v zení. P í ina je v tom, že uvedený dvojrozm rný prostor má jiné topologické vlastnosti než na obr. 54a - je vícenásobn souvislý. Uzav ená k ivka zde již nemusí být hranicí oblasti uvnit . Lokální geometrické vlastnosti v každém míst p itom mohou být zcela obvyklé (jen mírné zak ivení). Když se te vrátíme zp t k elektrickým náboj m, na obr. 55a je obvyklým zp sobem v dvourozm rném nákresu znázorn n kladný elektrický náboj. Z kladného náboje dle dohody silo áry vycházejí a kon í na záporném náboji. Obklopíme-li náboj myšlenou uzav enou plochou S, m žeme „spo ítáním“ silo ar jež vcházejí nebo vycházejí stanovit hodnotu náboje Q uvnit . Tam však žádný skute ný elektrický náboj nemusí být. P i vhodné topologii prostoru, jak je znázorn no na obr. 55b, sice budou skrze uzav enou plochu S silo áry vstupovat dovnit , tam však nebudou kon it, alébrž projdou topologickým tunelem do jiného místa prostoru, kde op t vyv rají na povrch a vracejí se zp t.
555
Obr.55. Klasická a topologická interpretace elektrických náboj . a) Obvyklé chápání elektrického náboje Q jako "substance"; z níž vycházejí (nebo do níž vcházejí) silo áry buzeného elelktrického pole. b) Topologická interpretace elektrického náboje - neexistuje žádný "skute ný" náboj jako substance, silo áry nikde neza ínají ani nekon í, jsou jen zachyceny a procházejí topologickým tunelem, jehož hrdla se pak jeví jako "zdánlivé" náboje "Q".
Vn jšímu pozorovateli, m ícímu elektrické pole, se jedno ústí topologického tunelu jeví jako záporný náboj (-Q - silo áry jdou dovnit ), druhé hrdlo tunelu jako náboj kladný (+Q - silo áry jdou ven). Elektrické pole, jehož silo áry procházejí topologickým tunelem, všude vyhovuje Maxwellovým rovnicím. V d sledku toho se celkový tok intenzity elektrického pole p es ústí tunelu nem že m nit s asem, pokud se nem ní topologie. Nezáleží p itom na prom nnosti elektromagnetického pole, zak ivení prostoru, zm nách pr ezu topologického tunelu ani vzdálenosti obou jeho ústí. Tok elektrického pole
Q=
E dS
( 1962 )
S
tedy vyhovuje zákonu zachování elektrického náboje. Takováto topologická interpretace elektrického náboje je vlastn nábojem bez náboje. Žádné skute né elektrické náboje neexistují, elektrické silo áry nemají za átky ani konce. Jsou pouze zachyceny a procházejí topologickým tunelem prostoru, jehož jednotlivá ústí se pak jeví jako kladné a záporné náboje. Tedy volné elektromagnetické pole ve vakuu bez náboj m že vlivem vhodné topologické struktury prostoru vytvá et efektivní elektrické náboje. Elektrický náboj se
556
v tomto pohledu jeví jako nelokální vlastnost elektrodynamiky bez náboj ve vícenásobn souvislém prostoru. Na za átku tohoto odstavce jsme zd raznili neuspokojivost koncepce, podle níž je pole buzeno zdrojem odlišným od pole. Pro elektromagnetické pole jako zdroj gravitace byla situace v zásad úsp šn vy ešena, avšak v klasické fyzice je zdrojem gravitace též p edevším obecná, blíže nespecifikovaná a nestrukturovaná hmota objekty (t lesa, ástice) mající hmotnost. V p edchozích unitárních teoriích se ástice pokoušeli interpretovat jako n jaké zvláštnosti (singularity) v poli, což však vede k ad potíží, nebo jako n jaké spojité struktury mající své zákony vnit ního pohybu; tyto zákony vnit ního pohybu však byly zavedeny zven í a nebylo jasné, jak je odvozovat v rámci uzav ené teorie. Jinak je tomu v geometrodynamice. Zákony obecné teorie relativity p ipoušt jí existenci objekt s obvyklou eukleidovskou topologií a bez singularit, chovajících se jako skute ná hmota (budící gravita ní pole i na toto pole reagující), p i emž tyto objekty jsou složeny ist ze samotného pole. Ší í-li se prostorem elektromagnetické vlny, budí kolem sebe gravita ní pole - zak ivují prostoro as v n mž se ší í, a to nez stává bez vlivu na jejich pohyb. Podle obecné teorie relativity mohou velmi mohutné elektromagnetické vlny kolem sebe vytvo it tak silné gravita ní pole, že jím budou nuceny trvale se pohybovat po uzav ených dráhách. Elektromagnetické vlny si tak samy vytvá ejí kolem sebe jakýsi gravita ní "vlnovod" ze zak ivené geometrie prostoro asu (z gravita ního pole), v n mž trvale cirkulují obr.56a. Takový útvar z elektromagnetických vln, udržovaný pohromad vlastní gravitací, se nazývá elektromagnetický geon. Jestliže geon celkové hmotnosti M bude sféricky symetrický, bude vzbuzovat sféricky symetrické gravita ní pole a prostoro asová metrika bude analogická ( 489 ). Geon není stabilní, ale pouze metastabilní - ást energie vln proniká p es odst edivou a gravita ní bariéru, geon se pomalu rozplývá (tím pomaleji, ím v tší je po et vlnových délek po obvodu), nebo naopak m že zkolabovat a vytvo it ernou díru. Pro vzdáleného pozorovatele bude geon vykazovat gravita ní ú inky jako každá jiná hmota (t ebas planeta) - m žeme nap . na ob žnou dráhu kolem geonu uvést družici (obr.56b).
557
Obr.56. Mohutné elektromagnetické nebo gravita ní vlny mohou kolem sebe vytvo it tak silné gravita ní pole (zak ivit prostoro as), že jím budou trvale nuceny cirkulovat v uzav eném "gravita ním vlnovodu" - vzniká metastabilní hmotný útvar geon. a) Pr m rné rozložení pole v geonu. b) Svými gravita ními ú inky se geon chová jako každá jiná hmota (t ebas planeta) - m žeme nap . na ob žnou dráhu kolem geonu uvést družici.
Taková hmota složená z elektromagnetických vln se nám m že zdát sice zvláštní, avšak hmotná povaha elektromagnetických vln je dostate n vžitá. Ješt sugestivn jší obraz dostaneme, když nahradíme elektromagnetické vlny vlnami gravita ními. Gravita ní vlny rovn ž p enášejí energii, zak ivují prostoro as (univerzální buzení gravitace) a podle obecné teorie relativity mohou též vytvo it gravita ní geon, který se bude navenek svými gravita ními ú inky projevovat jako skute ná hmota. Gravita ní vlny jsou však pouhým vln ním gravita ního pole, tedy fluktuacemi geometrie prázdného prostoro asu. Vn jší pozorovatel se tak stává sv dkem toho, kterak se vlnící k ivost prázdného prostoro asu "bez hmoty" navenek projevuje jako hmotný útvar. Gravita ní geon je tedy názorným modelem jakési "hmoty bez hmoty", hmoty utvo ené doslova z "prázdnoty" prostoru s vlnící se k ivostí. Sledujeme-li hmotu bu ve stále menších m ítcích mikrosv ta, nebo naopak ve stále v tších m ítcích megasv ta, bude hmota postupn ztrácet n které atributy na n ž jsme zvyklí z b žné zkušenosti našeho makrosv ta a p ípadn se za nou objevovat atributy nové. Vždy však z stává základní znak hmoty - být objektivní realitou.
558
Hypotetický geon je jen ur itým extrémním p íkladem konstrukce hmotného objektu z geometrie prostoro asu; fakticky každá gravita ní vlna popsaná svým Isaacsonovým tenzorem nelokální energiehybnosti je takovou "hmotou bez hmoty", složenou z "vakua" chápaného v obvyklém smyslu. To, jak se i v "prázdném" prostoru bez obvyklých hmotných zdroj objeví jakási efektivní hmota mající globální gravita ní ú inky, je ostatn podobné situaci v elektrodynamice, kde se i ve vakuu bez náboj (a proud ) pro nestacionární elektromagnetické pole objevuje Maxwell v posuvný proud mající magnetické ú inky stejné jako "skute ný" proud elektrických náboj .
Kvantová geometrodynamika Formální základy kvantové geometrodynamiky položil již v roce 1900 Max Planck. Fyzikální disciplínou se však kvantová geometrodynamika stala až o mnoho desetiletí pozd ji, p edevším zásluhou J.A.Wheelera, DeWitta a pozd ji i mnohých dalších.
John Archibald Wheeler (1911 – 2008)
Bryce Seligman DeWitt (1924 – 2004)
Abychom si co nejsrozumiteln ji vysv tlili o se jedná, použijeme jednoduchý myšlenkový experiment. Již z Newtonova gravita ního zákona plyne, že dv hmotná t lesa o hmotnostech m1 , m2 , vzdálená od sebe r, se navzájem p itahují gravita ní silou o velikosti
559
Fg =
G ⋅ m1 ⋅ m2 r2
( 1963 )
kde G = 6,67259 ⋅ 10 -11 je gravita ní konstanta. Gravita ní potenciální energie dvou t les hmoty m1, m2 je mírou práce kterou je nutno vykonat p i p emíst ní t les ze vzdálenosti r1 do vzdálenosti r2 , tj. r2
r2
r1
r1
E p = Fg dr = G ⋅ m1 ⋅ m2 ⋅ r = G ⋅ m1 ⋅ m2 ⋅
1 1 − r1 r2
−2
1 dr = G ⋅ m1 ⋅ m2 ⋅ − r
r2
=
r1
( 1964 )
.
P i p emíst ní t les ze vzájemné vzdálenosti r2 zp t do vzdálenosti r1 vykonají gravita ní síly stejn velikou práci, takže t leso m2 získá kinetickou energii r2
r2
r
v
v
2 2 2 d 2r dv dr Ek = Fg dr = m ⋅ 2 dr = m ⋅ dr = m ⋅ dv = m ⋅ v dv = dt dt dt r1 r1 r1 v1 v1
v2 = m⋅ 2
= v1
m 2 (v2 − v12 ) , 2 ( 1965 )
kde
m=
v2
m1 ⋅ m2 m1 + m2
( 1966 )
je tzv. redukovaná hmotnost obou t les. Položíme-li po áte ní vzájemnou rychlost obou t les v1 = 0, a budeme-li dále p edpokládat, že po áte ní vzdálenost obou t les se blíží asymptotickému nekone nu, pak srovnáním ( 1964 ) a ( 1965 ),
560
dostáváme pro vzájemnou rychlost v2 obou t les po vzájemném p iblížení se na vzdálenost r1, vztah
v2 = lim 2 ⋅ G ⋅ (m1 + m2 ) ⋅ r2 →∞
2 ⋅ G ⋅ (m1 + m2 ) 1 1 . − = r1 r2 r1
Jestliže mezi hmotnostmi obou t les platí relace m1
( 1967 )
m2 , potom
(m1 + m2) m1 M, a rychlost v padajícího t lesa m2 ve vzdálenosti r od hmotného st edu gravitujícího t lesa M bude dána jednoduchým vztahem
v=
2⋅G ⋅ M . r
( 1968 )
Uvažujme nyní myšlenkový experiment, v n mž uvnit vlakového vagónu kmitá foton mezi dv ma planparalelními zrcadly, vzájemn vzdálenými l, z nichž jedno je umíst no nap . na strop vagónu a druhé na podlaze, viz obr. 57. Obr. 57 l = c⋅t = c⋅t′
l
Bude-li vagón v klidu, bude pozorovatel uvnit vagónu pozorovat totéž, co pozorovatel stojící venku na perón . Trajektorie paprsku je v tomto p ípad pro každého z pozorovatel svislou úse kou, která se tudíž jeví ob ma pozorovatel m stejn dlouhá a proto ji sv tlo p ekoná z hlediska každého z pozorovatel za stejný as
561
t=
l . c
( 1969 )
Jakmile se dá vagón do rovnom rného p ímo arého pohybu, celá situace se radikáln zm ní viz obr. 58. Obr. 58
v ⋅t c⋅t′
c ⋅t v ⋅t
Trajektorie paprsku bude i nyní vzhledem k pozorovateli uvnit vagónu svislou úse kou délky l, nebo pohyb vagónu nem že mít žádný vliv na fyzikální procesy v inerciální soustav s ním spojené. V i pozorovateli stojícímu na perón se však paprsek již nebude pohybovat svisle. Ozna íme-li jednotlivé trajektorie dle obr. 58, potom doba kterou fotonu potrvá pohyb po delší trajektorii bude dána dle Pythagorovy v ty vztahem
c 2 ⋅ t ′2 = c 2 ⋅ t 2 − v 2 ⋅ t 2 .
( 1970 )
Odtud plyne
c2 − v2 v2 t′ = t = t ⋅ 1− 2 . c2 c
( 1971 )
Dosadíme-li rychlost ze vztahu ( 1968 ) do ( 1971 ), dostaneme pro gravita ní dilataci asu
562
t′ = t 1 −
2⋅G ⋅ M . r ⋅ c2
( 1972 )
Vidíme, že as je funkcí hmotnosti a polom ru, která je singulární p i rg ≤
2⋅G ⋅ M , c2
( 1973 )
což je tzv. gravita ní polom r. Stla íme-li t leso hmoty M pod jeho gravita ní polom r, prostoro as se okolo n ho úpln uzav e a t leso vypadne ven z tohoto vesmíru. T leso poté pokra uje v nekontrolovaném samohroucení a neexistuje zp sob, kterak tento proces zvrátit a vtáhnouti jej zp t do našeho vesmíru. Z stane po n m pouze prostoro asová trhlina o polom ru rg, tzv. erná díra, neboli gravita ní kolapsar. Vztah ( 1973 ) si kupodivu zachovává svoji obecnou platnost i v Einsteinov obecné teorii relativity, takže k jeho použití zde jsme pln oprávn ni. P edpokládejme nyní, že se budeme snažit neustále zvyšovat rozlišovací schopnost optického mikroskopu, abychom mohli sledovat stále jemn jší prostorové detaily. Rozlišovací schopnost mikroskopu je rovna polovi ní délce vln použitého zá ení, která souvisí s energií foton vztahem
λ=
c⋅h . E
( 1974 )
Jelikož energie závisí na hmotnosti ástice Einsteinovým vztahem
E = M ⋅ c2 ,
( 1975 )
máme
λ=
h . M ⋅c
( 1976 )
563
Srovnáme-li vztah pro gravita ní pr m r odvozený z ( 1973 ) s ( 1976 ), dostáváme 4⋅G ⋅ M h . = c2 M ⋅c
( 1977 )
ili
c⋅h . 4⋅G
Mh =
( 1978 )
což je tzv. Planckova hmotnost, udávající maximální hodnotu hmotnosti jíž m že foton nabývat. Této hmotnosti odpovídá nejkratší vlnová délka kterou m že foton získat a která p edstavuje zárove nejkratší prostorový interval, který lze fyzikáln rozlišit. Tento interval, který nazýváme Planckovou-Wheelerovou délkou, fyzikáln reprezentuje elementární kvantum prostoru:
lh =
λmin 2
=
G⋅h . c3
( 1979 )
Doba, za kterou sv tlo p ekoná Planckovu-Wheelerovu délku p edstavuje nejkratší možný rozlišitelný asový interval, a nazývá se Planck v – Wheeler v as:
th =
lh G⋅h = . c c5
( 1980 )
Tato veli ina reprezentuje elementární kvantum asu. V m ítkách ∼10-10 m s nimiž pracuje atomová fyzika se pohybujeme v ádu ∼1025 Planckových délek. Dokonce i pro m ítka ∼10-15 m jaderné fyziky jsou kvantové fluktuace metriky stále ješt o 20 ád menší, a tedy zcela zanedbatelné.
564
Proto ve všech situacích, s nimiž se zatím setkáváme, m žeme prostoro as plným právem považovat za hladké kontinuum. Základní postulát obecné teorie relativity, že prostor je lokáln eukleidovský, je tedy velmi dob e spln n pokud slovem lokáln nebudeme myslet m ítka blízká Planckov délce. Jdeme-li však do stále menších m ítek, kvantové fluktuace stále rostou, až v oblastech velikosti Planckovy délky ∼10-35 m, jsou fluktuace metriky prostoro asu již natolik silné, že p er stají ve fluktuace topologie viz obr. 59.
Obr.59. Ve velmi malých m ítcích mohou kvantové fluktuace metriky prostoru (a,b,c) spontánn vzr st natolik, že prostor se stane vícenásobn souvislým (d) - p erostou ve fluktuace topologie.
565
Dynamická evoluce prostoro asu tak vede ke zcela specifickým zákonitostem na velmi malých vzdálenostech. V mikrom ítkách ádu Plackových rozm r velmi siln fluktuuje nejen geometrie, ale i topologie prostoro asu. P i b žném pohledu se nám prostor jeví jako spojité hladké kontinuum. Je to podobné, jako když se z vysoko letícího letadla díváme na povrch oceánu. Vidíme zcela hladkou hladinu, jen mírn globáln zak ivenou do tvaru Zem koule. Sesko í –li však pozorovatel padákem a postupn se blíží k hladin , vidí stále z eteln ji, že je rozvln ná. Když nakonec dosedne s gumovým lunem na vodu, uv domí si, jak daleko má hladina do ideáln rovné a hladké plochy – hladina se prudce vlní, p ní a st íká - viz obr. 60.
Obr.60. K analogii mezi geometricko-topologickou strukturou prostoro asu a strukturou hladiny oceánu. a) P i podledu z výšky n kolika kilometr se hladina oceánu jeví jako ideáln hladká plocha. b) Z výšky n kolika desítek metr se hladina jeví jako zvln ná, ale jinak hladká. c) Z bezprost ední blízkosti je vid t, že siln fluktuuje nejen zak ivení hladiny, ale i její topologická struktura (bubliny, kapky).
V metrových m ítkách siln fluktuuje místní zak ivení hladiny (vlny), v centimetrových a milimetrových m ítkách fluktuuje dokonce i topologická struktura hladiny (odd lují se kapky, vznikají bubliny p ny).
566
Podobn i v našem asoprostorovém kontinuu se budou projevovat kvantové fluktuace geometrie tím výrazn ji, ím menší mikrooblasti sledujeme. V m ítkách srovnatelných s Planckovou – Wheelerovou délkou, pak bude fluktuovat i samotná topologie prostoru. Budou se nap . vytvá et a op t zanikat topologické tunely, apod. (viz kapitola 4). Dle kvantové geometrodynamiky je tedy ono zdánliv prázdné vakuum d jišt m nejbou liv jších mikrojev . Prostoro as má v t chto m ítkách p novitou, neustále spontánn fluktuující mikrostrukturu, plnou prudkých perturbací prostoro asové geometrie. Kvantové fluktuace zp sobují, že prostor má krom makroskopické (gravita ní) k ivosti též mikrok ivost polom ru lh a všude vznikají a op t zanikají hrdla topologických tunel , jejichž rozm ry a vzájemné vzdálenosti jsou rovn ž ádov srovnatelné s lh. Máme-li topologický tunel o pr m ru l a tedy ploše ~ l2, budou zde kvantové fluktuace intenzity elektrického pole ádov E≈
⋅c l
2
,
( 1981 )
takže celkový tok intenzity pole udávající efektivní elektrický náboj bude ádov
q≈
⋅c ,
( 1982 )
nezávisle na rozm rech tunelu. Tento geometrodynamický náboj však nemá žádnou p ímou souvislost s elementárním nábojem ástic, nebo je mnohem v tší a není kvantován. Hustota energie ~ hmoty pole v typickém topologickém tunelu dosahuje fantastických hodnot E2 ρ= 2 = ≈ 5 ⋅ 1097 kg ⋅ m −3 . 4 c c ⋅ lh
( 1983 )
567
Tuto hustotu nazýváme Planckova-Wheelerova hustota hmoty, a je považována za mezní hodnotu koncentrace hmoty elektromagnetického i gravita ního zá ení v prostoro ase. Charakteristická energie ~ hmota p ipadající na jeden topologický tunel je dána vztahem ( 1978 ), což p edstavuje zhruba 2,2 ⋅ 10-5 g, tj. ádov 1028 eV. To je o 8 ád více, než nejv tší energie ástic zaznamenané doposud v kosmickém zá ení a o 17 ád více než klidové hmotnosti nejt žších známých elementárních ástic. Teoretický model p edpokládá, že po dosažení energie 1028 eV na jednu ástici, dojde ke sjednocení všech ty fundamentálních fyzikálních interakcí v jednu jedinou supersymetrickou interakci zvanou též supergravitace. Tyto obrovské hodnoty jsou však evidentn v rozporu s velmi nízkou st ední hustotou energie, kterou pozorujeme v sou asném vesmíru. Vezmeme-li však v úvahu p ísp vek gravitace k hustot energie a hmoty, pak dv typická ústí tunelu o hmotnostech m1 ≈ m2 = Mh , vzdálená od sebe lh , budou mít p i vzájemné gravita ní interakci vazbovou energii Egr = −
G ⋅ m1 ⋅ m2 ≈ −c 2 ⋅ r1,2
⋅c . G
( 1984 )
Hmotový defekt dvou sousedních ústí topologických tunel
∆mgr =
Egr c2
=−
⋅c = −M h . G
( 1985 )
který je záporný a stejného ádu jako kladná elektromagnetická hmotnost obou struktur, m že tedy lokáln kompenzovat energie p íslušných fluktuací. Takto lokáln vykompenzované fluktuace již nevykazují gravita ní p itažlivost s ostatními toky hmoty a energie ze vzdálen jších topologických tunel .
568
Po takovéto celkové kompenzaci obrovských pikofluktuací m že vakuum vypadat tak, jak jej pozorujeme. Pozorované elementární ástice, které však z ejm nejsou zdaleka elementární, jsou z ejm jakýmisi kolektivními excitacemi v mo i silných fluktuací mikrogeometrie, zahrnujícími obrovské množství elementárních fluktuací, které se však všude jinde v pr m ru ruší, tvo íc v makroskopických m ítkách obvyklé vakuum. Na rozdíl od vztahu ( 1983 ), udávajícího mezní hustotu zá ení, mezní hustota partonických ástic je rovna hustot partonu, tj. pom ru hmoty partonu a objemu tzv. elementární bu ky cytoprostoru, tj. krychli ky o stran jedné Planckovy délky:
ρ=
h 54 −3 ≈ 10 kg ⋅ m . c 2 ⋅ lh 3
( 1986 )
Termodynamika kolapsar - Hawking v efekt. Stla íme-li hmotu pod její gravita ní polom r rg, daný vztahem ( 1973 ), úniková rychlost ( 1967 ) na jejím povrchu bude rovna rychlosti sv tla ve vakuu. To znamená, že ani sv tlo nebude schopno pronikat ven ze sférické oblasti vymezené gravita ním polom rem, tj. z gravita ního kolapsaru. Protože žádný signál se nem že v prostoro ase ší it vyšší rychlostí než je rychlost sv tla ve vakuu, znamená to, že nitro gravita ního kolapsaru je mohutnou gravitací od íznuto od okolního regulárního prostoro asu. Zatímco do nitra kolapsaru mohou pronikat ástice velmi snadno, ven by se dle klasické fyziky, tj. obecné teorie relativity, nem lo dostat nic. Jedná se tedy o oblast, v níž je relativistický prostoro as úpln zak iven, tj. zcela uzav en sám do sebe. Kvantov mechanický rozbor celého problému provedený v roce 1974 Stephenem Hawkingem a Jacobem Bekensteinem však odhalil pozoruhodnou skute nost, že kolapsary ve skute nosti vyza ují energii, a koliv je to v rozporu s klasickou fyzikou.
569
Stephen William Hawking (1942)
Jakob David Bekenstein (1947)
Hranice kolapsaru zvaná Schwarzschildova sféra není totiž o nic tlustší než jedna Planckova délka. ástice která se vytvo í t sn pod touto hranicí ji m že p ekonat a proniknout tak do regulárního prostoro asu pouze za p edpokladu, že na krati ký okamžik bude schopna let t nadsv telnou rychlostí. Podle kvantové teorie, však tomu v bec nic nebrání. Heisenbergovy relace neur itosti ( 583 ), ( 584 ) totiž ukazují, že pr m rná rychlost ástice podléhá na krátkých prostorových a asových intervalech lokálním fluktuacím. ástice s tzv. nulovou klidovou hmotností, jež se dle klasické fyziky musí pohybovat p esn rychlostí sv tla, tedy ve skute nosti musí dodržovat tuto mezní rychlost pouze v pr m ru, tj. na prostorových a asových intervalech dostate n dlouhých ve srovnání s Planckovou délkou a Planckovým asem. Na vzdálenostech ádov srovnatelných s ší kou Schwarzschildovy sféry však dochází ke zna ným odchylkám od této st ední hodnoty rychlosti foton a dalších ástic. Pokud se zde n které fotony mohou pohybovat nap . podsv telnou rychlostí, pak jiné fotony tu musí dosahovat naopak lokáln nadsv telných rychlostí, aby bylo možno zpr m rováním rychlostí všech foton nakonec dosp t k hodnot velmi blízké rychlosti sv tla. ástice, které vznikly uvnit kolapsaru v dostate né blízkosti Schwarzschildovy sféry tedy mají možnost na krátkou dobu p ekonat rychlost sv tla a uniknout mimo kolapsar.
570
Poté však musí svoji rychlost rychle snížit na podsv telnou hodnotu, aby jejich pr m rná rychlost nep ekro ila maximální povolenou hodnotu c. V této fázi mohou být n které ástice, kterým se již poda ilo uniknout skrze Schwarzschildovu sféru ven z kolapsaru, op t vtaženy do jeho útrob p sobením mohutných gravita ních sil. Pravd podobnost že se tak stane je nep ímo úm rná tomu, jak rychle klesá intenzita gravita ního pole se vzdáleností od Schwarzschildovy sféry. Z formule ( 1963 ) vyplívá, že tento pokles intenzity gravita ního pole sm rem od Schwarzschildovy sféry je nep ímo úm rný tverci polom ru kolapsaru rg . Tedy ím je kolapsar menší, tím rychleji vyza uje energii do asymptotického nekone na. ím více energie ∼ hmoty vyzá í za jednotku asu, tím více se zmenší jeho polom r, a tím více energie vyzá í v následujícím okamžiku. Teoretický výpo et ukazuje, že kolapsar má entropii
S=
k 4π
A,
kde A je plocha horizontu, p i emž vyza uje jako absolutn zah áté na termodynamickou teplotu
c3 T= . 8π GMk
( 1987 ) erné t leso
( 1988 )
S postupným vypa ováním se kolapsaru (zmenšováním rg) se intenzita zá ení a energie emitovaných foton neustále zv tšuje, takže kvantová evaporace má lavinovitý charakter. Záv re né okamžiky existence kolapsaru tak završí mohutná kvantová exploze, p i níž se b hem poslední zhruba jedné desetiny sekundy uvolní energie ádov 1023 J. To p ibližn odpovídá sou asné explozi n kolika milion vodíkových pum. V samém záv ru svého života emituje kolapsar poslední foton o energii Eγ = Mh ⋅ c2, což p edstavuje veškerou zbylou energii kolapsaru, takže
571
tento foton bude identický s p vodním kolapsarem, který ve snaze zbavit se energie kvantovou evaporací, pokaždé znovu a znovu emituje sám sebe. Je tedy možné, aby ob í vesmírné kolapsary byly vlastn jakýmisi „p etloustlými“ fotony? Wheeler v teorém „ erná díra nemá vlasy“ tvrdí, že vlastnosti kolapsar skute n , až se zarážející nápadností p ipomínají vlastnosti elementárních ástic. Ukazuje se totiž, že všechny kolapsary, a již vznikly t mi nejrozli n jšími zp soby, z t ch nejrozmanit jších forem hmoty jaké si jen lze p edstavit (v etn isté gravitace v podob koncentrovaných gravita ních vln), se navenek makroskopicky projevují vn jším polem nesoucím pouze 3 elementární informace o vlastnostech hmoty z níž kolapsar vznikl. T mito informacemi jsou: celková hmotnost M kolapsaru, celkový elektrický náboj Q kolapsaru, vlastní moment hybnosti J kolapsaru, Všechny ostatní informace jsou horizontem od íznuty od okolního prostoro asu a jsou tudíž navždy ztraceny z vesmíru. Ani kvantová evaporace není schopna tato data vytáhnout z pod horizontu kolapsaru zp t do vesmíru. Všechny kolapsary, a již nejrozmanit jšího p vodu, jsou od sebe makroskopicky nerozlišitelné, mají-li stejnou hmotnost, náboj a rota ní moment hybnosti. T mito svými vlastnostmi kolapsary p ipomínají elementární ástice, které se taktéž projevují pouze n kolika základními pozorovatelnými, jimiž jsou klidová hmotnost, elektrický náboj, vlastní moment hybnosti (spin) a n kolik dalších kvantových ísel. Stejn jako kolapsary, i elementární ástice jsou vzájemn nerozlišitelné, pokud se od sebe neliší ve výše jmenovaných nezávislých pozorovatelných.
Poznámka: Výsldky teoretického výzkumu strun v posledních letech ukazují, že informace se v erné dí e ve skute nosti neztrácejí. Makroskopické informace jsou pouze rozloženy až na jejich vlastní
572
kvantovou podstatu a poté lokalizovány na horizontu, odkud mohou být op t emitovány zpátky do vesmíru kvantovou evaporací. Blíže o tom pohovo íme v odstavci o teorii strun (viz holografický princip). Kolapsar je tedy charakterizován nejen makroskopickými stavovými veli inami jako je hmotnost, moment hybnosti a elektrický náboj (kterak p vodn p edpokládali Wheeler a Hawking), ale též mikroskopickými stavovými veli inami (kvantovými ísly a charakteristikami) veškerých ástic, které jej vytvo ily.
Superprostor Feynmanova formulace kvantové teorie se vyzna uje velmi t sným vztahem ke klasické fyzice vyjád ené pomocí principu nejmenší akce. V klasické fyzice (mechanice, elektrodynamice, OTR) se mezi daným po áte ním x1 a koncovým x2 stavem vyšet ovaného systému vždy x2
uskute ní pouze takový pohyb, pro n jž je integrál akce S = L dt x1
extremální. Naproti tomu v kvantové fyzice se jak známo uskute nují i takové procesy, které nevyhovují tomuto principu a jsou podle klasické fyziky nemožné - nap . tunelovy jev. P echod od klasické fyziky ke kvantové je zde natolik elegantní a p ímo arý, že se J.A.Wheeler pomocí tohoto p ístupu snažil p esv d it A.Einsteina, le bezvýsledn , aby zrevidoval sv j odmítavý postoj ke stochastickým princip m kvantové mechaniky. Ve Feynmanov p ístupu se rovnoprávn uvažují všechny trajektorie vedoucí z po áte ního stavu x1 do kone ného stavu x2 bez ohledu na to, zda jsou podle klasické fyziky p ípustné nebo nikoliv. Vypo ítá-li se pro x2
L dt , bude pravd podobnost p echodu
každou trajektorii integrál x1
soustavy z po áte ního stavu x1 do koncového stavu x2 dána tvercem veli iny
F ( x1 , x2 ) =
exp
i
x2
L dt , x1
( 1989 )
573
získané jako suma vzatá p es všechny trajektorie. Je evidentní, že nejv tší p ísp vek k této sum dávají ty trajektorie, které mají fázový i koeficient L dt tém stejný (exponenty se s ítají), zatímco pro trajektorie s velkými rozdíly v
i
L dt se exponenty v sou tu vzájemn
ruší. Nejpravd podobn jší trajektorie (odpovídající blízkým hodnotám L dt ) bude proto klasická trajektorie s extrémním chováním integrálu akce. Pod trajektorií se zde rozumí "dráha" v prostoru konfigurací dané soustavy; pokud se jedná o složitou soustavu popsanou velkým po tem parametr , bude to trajektorie v mnoharozm rném prostoru. Feynman ukázal, že tato formulace je ekvivalentní obvyklému Schrödingerovu a Heisenbergovu pojetí kvantové mechaniky. Podobn jako u klasického principu nejmenší akce se v praxi nehledá bezprost edn extrém integrálu L dt , ale odvozují se Lagrangeovy pohybové rovnice, ani p i použití Feynmanovy metody se p ímo nepo ítá celková suma p es všechny trajektorie. Feynmanova procedura se spíše používá jako prost edek pro odvozování a rozpracování kvantových teorií, jakož i jejich fyzikální interpretace. Wheeler a DeWitt se pokusili použít Feynmanovy koncepce pro kvantování "nejklasi t jšího" objektu jaký si dovedeme p edstavit: vesmíru jako celku. Zavedli tzv. superprostor - nekone n rozm rný prostor, jehož "body" p edstavují všechny možné geometrie prostoru (stavy vesmíru). ára (trajektorie) v tomto superprostoru pak reprezentuje ur itou variantu evoluce vesmíru. Je jasné, že praktické použití superprostoru je možné pouze za velmi zjednodušujících p edpoklad . Misner proto navrhl studovat evoluci uzav eného homogenního vesmíru (zobecn ných Kasnerových model ), pro popis jehož stavu sta í t i parametry; nekone n rozm rný superprostor se zde redukuje na trojrozm rný "minisuperprostor". Superprostor Fridmanových homogenních izotropních vesmír je dokonce jednorozm rný - všechny prostorové ezy jsou charakterizovány hodnotou parametru a(x°). V rámci superprostoru lze matematicky formulovat i Wheelerovu kvantovou geometrodynamiku.
574
2) Teorie superstrun Jedním z výchozích pojm fyziky je pojem hmotného bodu idealizovaného objektu, jehož hmotnost (i ostatní parametry) jsou soust ed ny do jediného geometrického bodu prostoru. Trajektorie, kterou probíhá hmotný bod v prostoru je k ivka, jejíž každý bod lze charakterizovat prostorovými sou adnicemi a asem. Dynamika hmotného bodu v klasické mechanice je dána Newtonovými rovnicemi, v relativistické mechanice je popsána pohybem po sv to á e ve ty rozm rném rovinném prostoro ase STR, nebo v zak iveném prostoro ase OTR. V kvantové mechanice je dynamika ástice popsána Schrödingerovou rovnicí; trajektorie, spojující po áte ní a koncový stav ástice v prostoru, jsou východiskem i p i kvantování pomocí Feynmanových intergrál p es trajektorie. V klasické mechanice byl pojem hmotného bodu pouhou idealizací skute ných t les, výhodnou pro analýzu jejich pohybu. Speciální teorie relativity však posílila d ležitost pojmu hmotného bodu: žádný elementární (fundamentální) objekt nem že mít kone né prostorové rozm ry, nebo žádný signál i interakce se nem že ší it nadsv telnou rychlostí. P i srážce dvou t les nenulových rozm r nemohou všechny ásti reagovat ihned, z ehož plyne, že t leso je složeno z elementárn jších objekt : elementární objekt musí být bodový. Bodový charakter fundamentálních objekt - zdroj pole - však vede k závažným problém m v teorii pole: p i limitních p echodech k nulovým rozm r m vznikají matematicky divergující výrazy vedoucí k nekone ným hodnotám. T chto divergencí je t eba se zbavit (v podstat ad hoc) metodami renormalizace - provést t ebas vhodnou kalibra ní transformaci tak, aby se výsledky výpo tu shodovaly s experimentálními hodnotami. Poda ilo se však najít zp sob, jak se t mto nep íznivým matematickým divergencím vyhnout systematicky - jsou to teorie, v nichž namísto bod jsou elementárními objekty jednorozm rné áry i smy ky nenulové délky - tzv. struny. asoprostorová historie struny je popsána funkcemi x µ (σ ,τ ) , které zobrazují dvourozm rnou ''sv toplochu'' struny do asoprostoru. Krom x µ jsou na sv toploše i další pole, popisující další stupn volnosti, jako
575
nap íklad stupn spojené se supersymetrií nebo kalibra ními symetriemi. P ekvapiv , klasická dynamika teorie strun (odpovídající klasické teorii pole s nekone n mnoha poli) je popsána konformn invariantní 2D kvantovou teorií pole
1 S= Lstr
2
dσ dτ L ( x µ ,
).
( 1990 )
Co povyšuje struny nad vícerozm rné analogie je to, že tato 2D teorie je renormalizovatelná. (Objekty s p dimenzemi, p-brány, mají p+1rozm rný sv toobjem.) Poruchovou kvantovou teorii strun lze formulovat metodou Feynmanova integrálu p es historie. To obnáší zam stnat Riemannovu plochu s g otvory jako g-smy kový Feynman v diagram. P itažlivými rysy tohoto p ístupu je, že (pro orientované uzav ené struny) je práv jeden diagram v každém ádu poruchové teorie, reprezentující elegantní (a komplikovaný) matematický výraz, který je ultrafialov kone ný. Hlavním nedostatkem je, že nedává žádnou radu, jak jít za poruchovou teorii. Abychom m li nad ji být realisti tí, šest dimenzí se musí svinout do malé geometrické variety, jejíž rozm ry jsou pravd podobn srovnatelné s Lstr . Jelikož prostoro asová geometrie je ur ena dynamicky (tak jako v obecné relativit ), jsou povoleny pouze geometrie spl ující tyto dynamické rovnice ( Rµν = 0 ). HE teorie, svinutá na konkrétní druh variety, zvaný Calabiho-Yauova varieta, má mnoho kvalitativních vlastností p i nízkých energiích, které imitují standardní model: lehké fermiony se sdružují do rodin, jejichž po et je dán topologií CY variety. T chto úsp ch bylo dosaženo v poruchovém rámci a jsou nutn p inejlepším kvalitativní, protože neporuchové jevy jsou podstatné pro pochopení narušení supersymetrie a jiné d ležité detaily.
576
Popis pohybu volné struny Volná (relativistická) ástice o klidové hmotnosti mo v prostoro ase (d = 4) se popisuje integrálem akce
S0 = m0 ds = m0
dx i dxi dτ dτ dτ
( 1991 )
kde s je prostoro asový interval a τ vlastní as ástice. Tato akce S0 (index "0" zde vyjad uje, že se jedná o bodovou, tj. 0-rozm rnou ástici) je úm rná délce sv to áry ástice (relativistickému intervalu s) - obr. 61 vlevo. Varia ní princip nejmenší akce δS = 0 pak vede k Lagrangeovým rovnicím, z nichž plynou pohybové rovnice relativistické mechaniky ve STR ( 333 ), resp. ( 35 ) v OTR. Tento postup lze zobecnit i na jiný po et dimenzí než d=4.
Obr. 61: Vlevo: Trajektorie "0-rozm rné" volné ástice v prostoro ase je 1-rozm rná sv to ára, kterou lze parametrizovat délkou intervalu s nebo vlastním asem τ. Vpravo: Trajektorií, kterou 1-rozm rná struna prob hne v prostoro ase, je 2-rozm rná sv toplocha, kterou lze parametrizovat vlastním asem τ a dalším parametrem σ, charakterizujícím polohu bodu na k ivce znázor ující strunu.
577
P irozené zobecn ní integrálu akce z hmotného bodu na strunu vede k tomu, že akce struny bude úm rná velikosti sv toplochy, kterou struna projde p i svém pohybu (evoluci) v prostoro ase - obr. 61 vpravo:
S1 = T
det ( hαβ )dσ dτ ,
( 1992 )
kde hαβ (α,β = 1,2) je dvourozm rná metrika na sv toploše; T popisuje "nap tí" struny, dané hmotností struny na jednotku délky.
Teorie strun v silné interakci P edstava jednorozm rných objekt - strun - se zrodila na konci 60. let p i jednom z pokus o popis silných interakcí. Studium srážek hadron (p edevším π-mezon ) p i vysokých energiích vedlo k tzv. Venezianov modelu, který amplitudy ú inných pr ez kvantifikuje pomocí sou in a podíl Γ-funkcí, jejichž argumentem jsou druhé mocniny sou t ty hybností interagujících ástic a ástic výsledných. Ukázalo se, že spektrum Venezianova modelu je identické se spektrem normálních mod "vibrace" jednorozm rného kvantovaného objektu - relativistické struny. A Feynmanovy diagramy, popisující interakce dvou ástic, lze sjednotit do jednoho diagramu, v n mž 4 interagující ástice (2 vstupující a 2 vystupující) jsou znázorn ny jako otev ené struny (lineární útvary topologicky ekvivalentní úse ce); stejn tak lze znázornit i vým nné ástice zprost edkující interakci. Každá struna p itom m že "vibrovat" r zným zp sobem a podle toho se jevit jako ástice ur itého druhu (elektron, foton, ...) - ástice jsou vzbuzenými stavy "vibrace" struny. Poznámka: Velikost superstrun se zde uvažovala v ádu 10-13 cm, odpovídající charakteristickému dosahu silné interakce. Podrobná matematická analýza ukázala, že kvantová teorie bosonové struny je konzistentní (nap . ve smyslu konformní invariance) jen tehdy, je-li dimenze prostoro asu d = 26. To dramaticky p evyšuje pozorovaný po et dimenzí d = 4 našeho prostoro asu. Tento nesoulad je možné vy ešit hypotézou o "svinutí" neboli kompaktifikaci p ebyte ných dimenzí do malých uzav ených (kompaktních) variet, jak to bylo zmín no výše v souvislosti se zobecn nými Kaluzovými-Kleinovými
578
unitárními teoriemi. Dalším nedostatkem p vodní teorie strun je, že ve spektru volné bosonové struny (které obsahuje pouze transverzální mody) základní stav odpovídá ástici se záporným kvadrátem hmotnosti, tj. ástici s imaginární hmotností - tachyonu. Druhý excitovaný stav je již p ízniv jší - odpovídá kvantu s nulovou klidovou hmotností a se spinem 2, které lze ztotožnit s gravitonem, viz níže. V poloviv 70. let byla vytvo ena kvantová chromodynamika (byla stru n zmín ná výše), která silné interakce interpretuje pomocí kvark a gluon , jež na sebe p sobí prost ednictvím tzv. "barevného náboje". Velký úsp ch kvantové chromodynamiky odsunul dosavadní strunové modely na více než 10 let do pozadí. N kte í fyzikové si ale v té dob zjednodušen p edstavovali, že kvarky v hadronech jsou spojeny strunami (gluonovými trubicemi), které je drží pohromad jako "gumová vlákna".
Supersymetrická teorie strun Jak bylo výše v pasáži o supergravitaci nastín no, pokusy o sjednocení gravita ní interakce s ostatními typy interakcí v rámci kalibra ních kvantových teorií pole vedly k pojmu supersymetrie. Tato teorie spojuje bosony a fermiony: ke každému bosonu p edpovídá "superpartnera" kterým je fermion, a naopak. Aplikace t chto nových symetrií, vyjád ených geometricky (komuta ními i antikomuta ními relacemi v prostoro ase) na teorii strun vedla ke snížení pot ebného po tu rozm r prostoro asu z p vodních d = 26 na d = 10 (a neobsahovala již žádné tachyony). Vznikla tak supersymetrická teorie strun, neboli teorie superstrun. Vedle bosonové struny zde jako její partner vystupuje fermionová struna, neboli superstruna, která má další, spinorovou prom nnou. Ve spektru excitací relativistické kvantované struny se vyskytuje ástice s nulovou klidovou hmotností a spinem s = 2, kterou lze identifikovat s gravitonem - kvantem gravita ních vln. To p ivedlo J.Sherka a J.Schwarze v r.1974 k myšlence, že i když teorie strun není vhodná pro popis silných interakcí, mohla by se stát vhodným nástrojem k budování kvantové teorie gravitace. P itom však velikost t chto hypotetických strun je nutno z p vodn uvažovaných 10-13 cm radikáln zmenšit na
579
rozm ry 10-33 cm Planckovy-Wheelerovy délky, charakteristické pro kvantovou gravitaci. Excitace superstrun mohou být "vibra ní", "rota ní", i excitace "vnit ních stup volnosti" - vnit ní symetrie, supersymetrie. R zné kvantové excitace (normální mody superstruny) se interpretují jako spektrum elementárních ástic. Toto spektrum se ukazuje být natolik bohaté, že m že generovat nejen všechny stavební prvky standardního modelu elementárních ástic, ale zahrnovat i kvantovou gravitaci. Úsp šné dokon ení koncepce superstrun by tak p edstavovalo jednotný p ístup k r znorodému sv tu elementárních ástic a všech jejich interakcí.
Základní principy teorie strun Vlastnosti a základní principy strunové teorie si ukážeme nejprve na p íkladu teorie bosonových strun, která má mnoho spole ných vlastností s teorií superstrun. Uvažujme jednodimenzionální útvar - strunu, která p edstavuje ástici a ší í se na pozadí plochého Minkowskiho prostoro asu M obecné dimenze D. Z matematického hlediska se jedná o vložení Lorentzovské dvourozm rné variety N tvo ené sv toplochou pohybující se struny do M. Nech ξ a = (τ, σ) jsou sou adnice na N a nech vložení je dáno rovnicemi X α = X α (τ ,σ ) .
( 1993 )
Zde Xα jsou sou adnice zadané v Minkowskiho prostoro ase a ecké indexy nabývají hodnot α = 0, ... ,D, zatímco latinské indexy hodnot a = 0,1. O podvariet Σ získané tímto vložením p edpokládáme, že je orientovatelná, takže se jedná o tzv. Riemannovu plochu. Topologie Σ je z ejm ízena charakterem vložení ( 1993 ). Rozeznáváme dva typy bosonové strunové teorie. Jsou-li prostorové ezy E kompaktní, mluvíme o teorii uzav ených strun, v opa ném p ípad pak o strunách otev ených. Budeme se zabývat pouze uzav enými strunami. V analogii s ú inkem pro volnou ástici v relativistické mechanice, který je dán vlastní délkou oblouku sv to áry této ástice, je ú inek pro
580
strunu dán plochou její sv toplochy (Nambuova-Gotoova akce) S=
1 2πα ′
γ d 2ξ ,
( 1994 )
Σ
kde α′ je konstanta tzv. inverzní strunové tenze a γ je determinant indukovaného metrického tenzoru γab na Σ, daného jako
γ ab = ∂ a X α ∂ b X βηαβ .
( 1995 )
Konstanta α′ má roli Planckovy konstanty v kvantové mechanice a zejména je parametrem, v i n muž se provádí mocninný rozvoj. Je-li dán ú inek ( 1994 ), lze již konstruovat Feynmanovy diagramy podobn jako v kvantové elektrodynamice, s tím rozdílem, že diagramy jsou nyní nikoli jednorozm rné, ale dvourozm rné, a musíme v nich uvážit všechny možné topologie Riemannových ploch reprezentujících sv toplochu. Pomocí vzorce ( 1995 ) lze ú inek ( 1994 ) p epsat ve tvaru (Polyakovova akce) S=
1 2πα ′
γ d 2ξγ ab ∂ a X α ∂ b X βηαβ .
( 1996 )
Σ
Ve vztahu ( 1996 ) pro ú inek si lze povšimnout t í význa ných principiálních symetrií. První symetrií je invariantnost ( 1996 ) vzhledem k tzv. Poincarého transformaci v D-dimenzionálním Minkowskiho prostoro ase. Druhou symetrií je invariance vzhledem k sou adnicovým transformacím na sv toploše struny. Kone n za t etí je ( 1996 ) invariantní vzhledem ke konformní transformaci
γ ab → e 2φ (τ ,σ )γ ab ,
( 1997 )
což je tzv. Weylova symetrie. Dalším úkolem je odvodit ze zadané akce pohybové rovnice. Variací ( 1996 ) podle metriky na sv toploše obdržíme podmínku na
581
vymizení tenzoru energie a hybnosti (energie-impulzu) Tabsheet této sv toplochy 1 Tabsheet = ∂ a X α ∂ b X βηαβ − γ ab ∂ c X α ∂ d X β γ cdηαβ . 2
( 1998 )
Variace ( 1996 ) podle Xα pak dává vlnovou rovnici pro tyto veli iny
γ αβ ∇ a ∇b X α = 0 ,
( 1999 )
kde ∇a zna í kovariantní derivaci podle ξ a. Jestliže nyní p edpokládáme, že sv toplocha struny má tvar válce, lze na ní zvolit sou adnice σ ∈ 0;2π) a t ∈ (-∞;∞) spolu s plochou metrikou γab . N kdy se též ukazuje výhodným zavést izotropní sou adnice ξ + a ξ - vztahem ξ ± = σ ± τ . V nich se systém ( 1999 ) redukuje na soustavu jednoduchých dvoudimenzionálních vlnových rovnic, jež je možné separovat a získat ešení X α = f α (σ − τ ) + g α (σ + τ ) ,
( 2000 )
s obecnými funkcemi fα a gα ídícími doleva a doprava se pohybující strunové excitace. Skute nost, že hustota Lagrangeovy funkce nezávisí na derivacích γab , ur uje primární vazbu, kdy je moment konjugovaný k γab nulový. Aby tato vazba platila ve všech asech, požadujeme spln ní sekundární vazby, kterou lze vyjád it podmínkou, aby se tenzor energie-impulzu ( 1998 ) rovnal nule. A koli tenzor energie-impulzu strunové sv toplochy má jednoduché vyjád ení pomocí jednotlivých polí, p ímé kvantování iní technické obtíže. Tento tenzor má dv nezávislé složky a pro kvantování sekundární vazby se s výhodou užívá Fourierova rozvoje jeho složek T++sheet a T−−sheet v sou adné bázi (ξ+, ξ-). Koeficienty tohoto rozvoje se nazývají Virasorovy koeficienty. Následujícím cílem v budování teorie strun se p irozen stává kvantování. Obvyklý postup sestává ze sestavení rozvoje sou adnic Xα do Fourierovy ady a ur ení jejich netriviálních Poissonových závorek.
582
V tomto stadiu ale stále z stává jistá kalibra ní volnost, jak m žeme uvid t z následující úvahy. Uvažme sou adnicovou zm nu v sou adnicích Xα. Pokud tato zm na zobrazí body ze sv toplochy struny op t na tuto sv toplochu, lze ji chápat jako sou adnicovou transformaci na E, tedy jako nefyzikální stupe volnosti. Pokud ale zm na Xα posouvá body sv toplochy mimo ni samotnou, jedná se o fyzikální deformaci této sv toplochy. Jednou z výhodných metod fixování této volnosti je zavedení dvou izotropních sou adnic podél sv telného kužele. P esn ji, kalibrace sv telného kužele spo ívá ve zvolení dvou izotropních sm r v Minkowského prostoro ase za sou adnicové k ivky nových sou adnic, zpravidla nazývaných X+ a X-. Jako kalibraci klademe podmínku, aby v sou adnicích ( X+, X-, XI ), kde I = 1,... , D – 2, sou adnice X+ závisela pouze lineárn na τ (rovnom rný p ímo arý pohyb), a dále, aby byly spln ny vazebné rovnice vyplývající z anulace Virasorových koeficient . Nyní lze p ímo a e kvantovat, a to nahrazením Poissonových závorek komutátory a nahrazením Fourierových koeficient p íslušnými krea ními a anihila ními operátory. Další v cí je, že musíme zaru it platnost sekundárních vazeb. Klasicky jsou tyto vazby vyjád eny anulováním všech Virasorových koeficient . Aby sekundární vazba platila i po kvantování, tak dostáváme z analogického požadavku neoby ejn d ležitý výsledek, totiž fyzikální stavy (teorie). Jak si za chvíli ukážeme, teorie obsahuje tachyon, dále obsahuje (D - 2)2 nehmotných stav a nekone n mnoho hmotných stav . Zastavme se blíže u nehmotných stav . Každou obecnou matici (D – 2) × (D – 2) m žeme rozložit na její stopu, což je skalár, na její symetrickou ást, která má D(D – 3)/2 komponent, a na antisymetrickou ást s (D – 2)(D – 3)/2 složkami. Tomuto rozkladu odpovídá nehmotný skalár zvaný dilaton, nehmotná ástice se spinem 2, interpretovaná jako graviton, a nehmotná ástice s potenciálem tvo eným antisymetrickým tenzorem druhého ádu. Úvahy doposud provád né nejsou zajisté obecn kovariantní. Abychom jejich kovarianci zajistili, lze využít tzv. Fad jevovaPopovova p ístupu ke kvantování. Jestliže vyšet ujeme algebru tvo enou Virasorovými operátory, zjistíme, že obsahuje ur itou anomálii, respektive p ídavný len. Tato anomálie závisí na dimenzi D Minkowského prostoro asu a musí být nulová, protože o ekávaná
583
hodnota homogenní ásti Virasorovy algebry vymizí. Jak zanedlouho poznáme, je tento požadavek spln n pouze tehdy, je-li dimenze prostoro asu rovna 26. V teorii bosonové struny zjiš ujeme, že operátor tverce hmotnosti stringu má tvar
M
∞
n =1
α −i nα ni + ( D − 2 )
n , 2
( 2001 )
kde faktor M závisí na výb ru jednotkové hmotnosti (nap . M = 8), α − n resp. α n jsou krea ní resp. anihila ní operátory a podle zdvojeného indexu i se s ítá v souladu s Einsteinovou suma ní konvencí od jedné do (D – 2) (p es ryze prostorové sou adnice). Teorie je lorentzovsky invariantní (relativistická) jen když je dimenze asoprostoru 26. P sobením α ni na energeticky nejnižší hladinu dostaneme nulu, ale p esto nám ve výrazu pro m2 zbude sou et len nutných k hermicit ∞ n operátor M ( D − 2 ) , což je divergentní suma, která má zápornou n =1 2 zobecn nou hodnotu. tverec hmotnosti základního stavu je tedy záporný, hmotnost imaginární, což odpovídá ástici, která se pohybuje nadsv telnou rychlostí (proto zvaná tachyon) a nebyla nikdy pozorována. A pokud alespo trochu v íme v kauzalitu a v teorii relativity, nikdy pozorována nebude. M žeme dokonce jednoduše vysv tlit, pro bosonové stringy v jiné dimenzi než 26 nemohou fungovat. Uvažujeme-li energetickou hladinu hned nad tachyonem (nejmén vzbuzenou, v p ípad otev ených strun jednou, u uzav ených dvakrát), vidíme, že tato má pouze (D – 2)-násobnou degeneraci. Uvažujeme-li o takto vzbuzeném stringu s vektorem energie-hybnosti v ist asovém sm ru, zdá se nemožné z t chto stav vytvo it multiplet grupy SO(D – 1) rotací fixujících tento sm r (u ješt vyšších hladin, kde je degenerace vyšší, se to nemožné nezdá). Máme však jednu záchranu: vektor nep jde namí it do ist asového sm ru a tedy argument neobstojí, bude-li tato hladina nehmotná. Požadujeme tedy, aby
584
m =M 2
( D − 2)
∞
n +1 = 0. 2 n =1
( 2002 )
Naším úkolem bude nyní ur it dimenzi D, vyhovující této rovnosti.
Riemannova zeta funkce Definujme ji s parametrem s, oby ejn nulovým
ζ s ( x) =
∞
n =1
(n + s)
−x
.
( 2003 )
Pro nás zajímavý sou et je ζ 0 ( −1) . Poznamenejme, že pro n > 1 je funkce dob e definována, nap . ζ 0 ( 2 ) =
π2
(p esn ). Funkci, která je 6 v ur itém oboru komplexních ísel dob e definována a jde jednozna n analyticky rozší it, prodlužme, všimnuv si, že
ζ1 ( x) = ζ 0 ( x) −1 ,
( 2004 )
(p i p echodu od s = 0 k s = 1 pouze vynecháme první s ítanec). Rozepišme funkci do Taylorovy ady v okolí s = 0, zajímaje se o s = 1.
ζ 0 ( x) −1 = ζ1 ( x) = ∂ 1 ∂2 1 ∂3 = ζ 0 ( x) + ζ s ( x) + ζ s ( x) + ζ x 2 3 s( ) ∂s ∂ ∂ 2! s 3! s s =0 s =0 s =0 ( 2005 ) Derivace zeta funkce podle prom nné s však lze lehce vypo ítat: ∂ ζ s ( x) = ∂s
∞ n =1
( n + s )(
− x −1)
( − x ) = ( − x ) ζ s ( x + 1)
a obecn m-tá derivace je:
( 2006 )
585
∂m ζ s ( x ) = ( − x − 1)( − x − 2 ) m ∂s
( − x − m + 1) ζ s ( x + m ) .
( 2007 )
Ode teme-li ζ 0 ( x ) od obou stran rovnice ( 2005 ) a zohledníme-li poslední vztah pro derivaci, máme
−1 = ( − x ) ζ 0 ( x + 1) + +
( − x )( − x − 1) ζ
( − x )( − x − 1)( − x − 2 ) 3!
2!
0
( x + 2) +
( 2008 )
ζ 0 ( x + 3) +
Dosadíme do této rovnice x → 0 . Vzhledem k tomu, že pro x > 1 má zeta funkce kone nou hodnotu, kterou zde násobíme íslem jdoucím k nule, vliv má jen první len. To jest
lim xζ 0 ( x + 1) = 1 . x →0
( 2009 )
Dosadíme-li x → −1 , máme
−1 = ζ 0 ( 0 ) +
1 ( − x − 1) ζ 0 ( x + 2 ) . 2!
( 2010 )
Ale
lim ( − x − 1) ζ 0 ( x + 2 ) = −1,
x→−1
( 2011 )
a proto
1 2
ζ 0 ( 0) = − .
( 2012 )
A nakonec dosazením x → −2 zbudou v rovnici jen leny
−1 = 2ζ 0 ( −1) +
2 2 ζ 0 ( 0 ) + ( − x − 2 ) ζ 0 ( x + 3) , 2! 3!
což po úprav dává
( 2013 )
586
−1 = 2ζ 0 ( −1) −
1 1 − , 2 3
( 2014 )
a tedy
ζ 0 ( −1) = −
1 . 12
( 2015 )
Zajisté, existuje-li limita u bodu -1, chápeme ji p ímo jako funk ní hodnotu. Všimn me si, že všechny provedené operace byly platné (a sumy konvergentní) alespo v n jakém kruhu v komplexní rovin . Rovnice ( 2002 ) je tedy spln na pro dimenzi D = 26. (Argumentace byla trošku zjednodušená, protože první hladina nad základní by nešla namí it asovým sm rem, ani kdyby byla tachyonová. Ale intuice radí, že podmínky pro spln ní požadovaných komutátor grupy Poincaré vedou k rovnici (s jedním ešením D = 26) a nikoli k nerovnici.) Východisko z tachyonové zhouby spo ívá v tom, že krom oby ejných rozm r x1 až x24 a x- v daném ase x+ (po ítáme v kalibraci na x 0 + x 25 + sv telném kuželi – light-cone gauge – ili náš '' as'' x = ) 2 p idáme antikomutující prom nné, ímž se zbavíme fluktuací v základní hladin , která se stane nehmotnou (jako je t eba foton). Kritický rozm r se zm ní ze šestadvaceti na deset a struna se stane superstringem. Podobné triky jako ty, které jsme využili pro výpo et n , se však hojn využívají také v kvantové elektrodynamice, teorii silných nebo slabých interakcí a ve standardním modelu. P inášejí p edpov di, jež jsou v perfektním souladu s experimentem. Užívána je nap íklad rozm rová renormalizace, v níž p edpokládáme, že asoprostor má obecnou dimensi d, zjistíme, že pro ur itá d vycházejí kone né výsledky, a ty analyticky prodloužíme na nám zajímavé D = 4.
587
fyzikální oprávn ní t chto postup obecn není známo. Lze si nap íklad jen obtížn p edstavit, jak v rámci sou asných teorií ospravedlnit nap íklad dimenzionální regularizaci. Pro n které specielní p ípady regularizace to známo je, ale konkrétn v kvantové elektrodynamice nikoliv. Dokážeme matematicky napsat regulátory, podle kterých to vyjde v souladu s experimentem, ale nevíme pro . To vede adu fyzik k názoru, že QED, i obecn ji kvantová teorie pole, je ve skute nosti jen efektivní teorií, za kterou se skrývá n co hlubšího, co dost možná nov definuje spojitý prostoro as jako nízkoenergetickou limitu ehosi fundamentáln jšího.
Superstruny U i me ješt krátkou poznámku o superstrunách. V tomto p ípad existuje díky supersymetrii ke každému Xα jeho superpartner, spinor ψ a definovaný na sv toploše struny. Superstruny nemají ve svém spektru tachyon a obsahují bosony i fermiony. Dimenze prostoro asu je rovna 10. Výsledky studia superstrun vedou k p edstav jednotné teorie nazývané M-teorie. Podobn jako u d ív jších kvantových teorií pole a vícedimenzionálních unitárních teorií, i zde se nabízejí zajímavé hypotézy astrofyzikálních a kosmologických d sledk teorie superstrun. Jak uvidíme ihned v následujících kapitolách, zajímavé astrofyzikální aspekty teorie superstrun byly studovány v souvislosti s termodynamikou a kvantovou evaporací erných d r (Hawking v efekt). Pomocí metod teorie strun se poda ilo odvodit vzorec pro entropii erné díry, a to nezávisle na Hawkingov a Bekensteinov p ístupu. To umož uje lépe proniknout jak do podstaty kvantov -gravita ních proces , tak do úlohy horizont a erných d r v unitární teorii pole. Zajímavé mohou být i kosmologické d sledky zobecn né teorie superstrun. V pojetí duálních p-brán by vesmír mohl být 3-dimenzionální bránou (3-bránou), vyvíjející se na pozadí 11-rozm rné variety s vhodnými kompaktifikacemi. A vznik vesmíru velkým t eskem by mohl být zp soben srážkou dvou p-brán. R zná ešení teorie superstrun mohou p edpovídat r zné vesmíry s r znými vlastnostmi (dimenzemi, hodnotami fyzikálních konstant i spektry hmotností
588
elementárních ástic); k reflexi t chto možností a jejich selekci možná ekne své i antropický princip.
M-teorie, 11-rozm rná teorie strun Další vývoj teorie superstrun pokra oval výzkumy M.Grena, J.Schwarze a E.Wittena, kte í nalezli takové kalibra ní grupy, aby teorie superstrun byla pln kovariantní v prostoro ase (v duchu OTR). Bylo nalezeno p t takových model teorie superstrun, z nichž nejzajímav jší se jevily dv tzv. heterotické teorie s kalibra ními grupami SO(32) a E8 × E8. Zbývajícími 3 teoriemi jsou teorie typu I, typu IIA, typu IIB. Ob teorie typu II mají dv supersymetrie v desetirozm rné e i, ostatní jen jednu. Teorie prvního typu je založena na neorientovaných strunách otev ených i uzav ených, ostatní pouze na orientovaných uzav ených. Významnou úlohu v teorii superstrun v té dob sehrála analýza matematické (a z toho následn plynoucí i fyzikální) ekvivalence neboli duality mezi r znými modely superstrun. Tyto duality p edstavují nové typy symetrií, sjednocující r zné modely, které mohou mít na první pohled odlišnou formu, avšak vedou k rovnocenným fyzikálním výsledk m. Ve druhé polovin 90. let 20. století se lidé pou ili, že struny jsou jen první mezi rovnými (jelikož p ipoušt jí poruchový rozvoj), ovšem podobn d ležité pro tuto teorii jsou i objekty všech ostatních dimenzí, zvané p-brány, kde p ozna uje dimenzi. Konkrétn se ukázalo, že heterotická teorie SO(32) s vazebnou konstantou g je ekvivalentní teorii strun typu I (která má stejnou kalibra ní grupu SO(32)) s vazebnou konstantou 1/g. Tomuto vztahu dvou teorií se íká S-dualita a je jím vysv tleno chování t í teorií z p ti p i velkém g. Podobn strunová teorie typu IIB je Ssamoduální. P edpokládejme nyní, že teorie A,B jsou S-duální. Ozna uje-li g vazebnou konstantu a f n jakou veli inu, znamená to, že f A ( g ) = f B (1 g ) . Tato dualita, jejíž rozpoznání tvo ilo první krok druhé revoluce, zobec uje elektro-magnetickou dualitu Maxwellových rovnic. Vtip je v tom, že Diracova kvantovací podmínka nutí magnetické
589
náboje, aby byly celými násobky p evrácené hodnoty kvanta elektrického náboje (p i správné normalizaci), což je vazebná konstanta. Krom S-dualit byly objeveny tzv. T-duality, v nichž je svinutí jedné teorie na varietu o typickém rozm ru R ekvivalentní svinutí druhé teorie na varietu o typickém rozm ru 1/R (p esn ji Lstr2/R, kde Lstr je délka superstruny). Díky svinutí vzniknou dva nové typy excitací. Struna m že mít kvantovaný impuls n/R ve sm ru svinuté dimenze, což je excitace známá už z oby ejných bodových Kaluza-Kleinových teorií. 2 n Tento impuls p isp je ke kvadrátu energie struny výrazem . R Jedním d sledkem je, že na krátkých vzdálenostech b žná geometrie p estává fungovat a je nahrazena “kvantovou geometrií”, matematicky popsanou 2D konformní teorií pole. Také nás vede k zobecn ní Heisenbergovy relace neur itosti, podle které je neur itost ∆x >
∆p
, ale
také než strunové m ítko délky Lstr . T-dualita spojuje fyziku velkého prostoro asu s fyzikou malého. P edstavme si zak ivený prostoro as jako válec. Struna ovinutá kolem tohoto válce má dva druhy energetických stav . Jedny vznikají z vln této struny, t m budeme íkat vibra ní módy. Jestliže je válec tlustý, pak tyto vibrace mají dlouhou vlnovou délku a tudíž malou energii. Energie odpovídající r zným po t m vln po obvodu válce leží tedy blízko sebe. Je-li válec tenký, je vlnová délka vibra ních mód malá a tyto stavy mají tedy velikou energii a jednotlivé energetické hladiny budou ležet daleko od sebe. Struna však také m že být okolo válce ovinuta vícekrát. Jestliže je válec op t tlustý, pak je struna více napjatá a tudíž má i vyšší energii. R zné po ty ovinutí kolem válce nazýváme navíjecími módy. uzav ená struna m že m-krát ovinout kružnici, kteréžto obtá ení p idává ke tverci energie ( 2π RmT ) , kde T = ( 2π L2str ) je nap tí struny. Dva 2
−1
d ležité p íklady dvojic T-duálních teorií jsou IIA/IIB a HE/HO. (V posledním p ípad je ješt t eba p idat tzv. Wilsonovy áry, narušující symetrii.) Tyto dvojice jsou také ekvivalentní pro g = 0, což je
590
další d vod, pro jsme je spojili v obrázku 66. P vodní bosonová teorie strun v 26 rozm rech je T-samoduální, což se pro samoduální polom r projeví zv tšením kalibra ní grupy z U(1)2 na SU(2)2. Energie odpovídající r zným navíjecím mód m tedy v p ípad tlustého válce budou ležet daleko od sebe, zatímco u tenkého válce budou hladiny blízko. Pro makroskopického pozorovatele však r zný p vod vibra ních a navíjecích stav není z ejmý. Oba válce, jak tlustý, tak i tenký, poskytují nakonec stejné energetické hladiny, které strunoví fyzikové interpretují jako ástice. Totožnost mezi energiemi strun ve vesmírech s kruhovou dimenzí o polom rech R a 1/R pramení matematicky z faktu, že energie mají tvar
v + wR , R
( 2016 )
kde v je vibra ní íslo a w je navíjecí íslo.
Obr. 62: Pláš válce znázor uje dv dimenze prostoru zkompaktifikované na kružnici. Struna nalevo má navíjecí íslo nulové, kdežto struna napravo má bu w = 1, nebo w = -1, v závislosti na své orientaci
Tento výraz se nezm ní p i kombinované zám n
R↔
1 , v ↔ w. R
( 2017 )
V oby ejné kvantové mechanice bodových ástic jsou totiž vzdálenost a impuls svázány Fourierovou transformací.
591
Konkrétn vlastní stav x polohy na kružnici o polom ru R lze vyjád it jako
x =
eixp p ,
( 2018 )
ν
kde a p je vlastní stav impulsu s vlastní hodnotou
p=
ν R
.
( 2019 )
V teorii strun však m žeme zkonstruovat ješt další reprezentaci vlastního stavu operátoru polohy:
x =
eixp p ,
( 2020 )
w
kde p je vlastní stav operátoru navíjecího ísla s vlastní hodnotou
p = wR .
( 2021 )
Z toho je okamžit vid t, že x je periodická prom nná s periodou 2πR, zatímco x má periodu 2π /R, což znamená, že x je poloha na kružnici o polom ru R, zatímco x je poloha na kružnici o polom ru 1/R. Podobn to lze popsat rovn ž i z hlediska energie a asu. Budou li nyní vektory x a x reprezentovat dv vlnová klubka startující z po átku soustavy sou adné, pak jelikož se stav o energii E vyvíjí s fázovým faktorem Et, okamžit vidíme, že spot ebovaný as, a tedy i polom r, je úm rný
t
1 E
R
pro módy vibra ní, a
( 2022 )
592
t
1 E
R
( 2023 )
pro módy navíjecí. Takže subkvantová m ítka prostoro asu mohou nakonec poskytovat stejnou fyziku, jako kosmologická m ítka našeho vesmíru. Pozd ji byla diskutována i tzv. U-dualita, vzniklá kombinací S a T-duality. Tím bylo vysv tleno chování t í z p ti superstrunových teorií p i velikém g. Obr. 63
Pokusy o objasn ní chování zbývajících dvou p inesly další p ekvapení. Edward Witten nejprve ukázal, že teorie typu IIA pro veliké g vytvá í novou, jedenáctou dimenzi, svinutou na kružnici o obvodu úm rném g2/3. Limitou pro nekone né g je tedy teorie v jedenáctirozm rném prostoro ase. Studium strunových dualit ukázalo, že všechny stávající teorie superstrun lze slou it do jedné obecn jší teorie, zvané M-teorie (ozna ení "M" pochází z názvu membrane, n kte í auto i jej dávají do souvislosti s p ívlastky matrix, mystery, magic a pod.). Do roku 1984 byla velmi populární teorie jedenáctirozm rné supergravitace. Jedenáct je maximální dimenze, ve které lze lokáln supersymetrickou teorii vytvo it. Práv superstruny vzaly 11-rozm rné supergravitaci její prvenství, co se oblíbenosti tý e. Jejich nízkoenergetickou limitou jsou supergravitace v dimenzi 10 (a p ípadn nižší), eventuáln interagující se super-Yang-Millsovým polem. Superstruny tedy vysv tlují existenci t chto supergravita ních teorií. Jedenáctirozm rná supergravitace z stávala výjimkou, protože nešla
593
odvodit z žádné superstrunné teorie. Mnohým se zdála z estetického hlediska nep ijatelná p edstava, že by existence 11-rozm rné supergravitace byla náhodou. A m li pravdu. Nízkoenergetickou limitou této teorie se ukázala být práv jedenáctirozm rná supergravitace. Nejtvrdší o íšek, totiž chování heterotické teorie E8 × E8, se do kal vysv tlení až ve slavném lánku Edwarda Wittena a Petra Ho avy. Auto i ukázali, že také tato teorie vytvá í jedenáctou sou adnici, jejíž délka je úm rná g2/3, avšak sou adnice nemá tentokrát tvar kružnice, alebrž úse ky.
Obr. 64: Otev ená membrána napnutá mezi konci sv ta v heterotické M-teorii se v limit malých vzdáleností mezi sv tobránami stává heterotickou strunou E8 × E8 .
Kalibra ní grupa heterotické E8 × E8 se skládá z dvou stejných faktor a je tedy ekvivalentní M-teorii na pásu jedenáctirozm rného prostoro asu, p i emž každý ze dvou faktor E8 kalibra ní grupy žije na jedné ze dvou hranic tohoto pásovitého sv ta. Petr Ho ava pokra uje v pilné práci a p išel s návrhem na ešení záhady kosmologické konstanty. Náš sv t je podle n ho vhodné popisovat v e i M-teorie se šesti sou adnicemi svinutými na Calabi-Yauovu varietu a jednou sou adnicí svinutou na úse ku. Na jednom jejím okraji (tj. jednom okraji sv ta) žije grupa E8 , která zodpovídá za narušení supersymetrie. Na druhém okraji žije ''naše'' grupa E8 , narušená do grupy standardního modelu. Ho ava ukázal, že lokáln všude (v etn okraj sv ta) z stává teorie supersymetrická, což by m l být d vod pro vymizení kosmologické konstanty. Sv t se jeví supersymetrickým pozorovateli kratšímu, než je délka úse ky. Ovšem globáln teorie supersymetrická není, protože oba okraje sv ta požadují jiný skok parametru supersymetrické transformace.
594
Obr. 65: M-teorie a všechny superstrunové teorie jsou vzájemn propojeny dualitami.
Obr. 66: Šipky znázor ují poruchové rozvoje kolem g = 0. S1 zna í kompaktifikaci na dlouhou kružnici, I1 svinutí na dlouhou úse ku.
595
Dalším d sledkem dualit a sjednocení superstrunových model je rozší ení vlastní dimenze strun z p vodní D = 1 na objekty s jiným (vyšším) po tem p prostorových rozm r , nap . 2-rozm rné objekty membrány. Takovéto vícerozm rné objekty se již nenazývají superstruny, ale p-brány: pro p = 0 se jedná o bod, pro p = 1 je to struna, pro p = 2 membrána, atd.
Edward Witten (1951)
Další zajímavý princip pro M-teorii objevil E.Martinec a D.Kutasov. Zjistili, že všechny známé teorie strun je možné generovat pomocí tzv. (2,1) heterotických strun. Podobn , jako je obvyklá (1,0) heterotická teorie sm sí vpravojdoucí 10D superstruny (1) a vlevojdoucí 26D bosonové struny (0), je (2,1) teorie sm sí vpravojdoucí N = 2 superstruny a vlevoujdoucí N = 1 superstruny. Liší se v tom, že vede jen ke kone nému množství stav , protože kritická dimenze N = 2 strun je D = 2 (ob sou adnice jsou ovšem jistým zp sobem zdvojeny) a neobsahuje tedy žádné p í né polarizace. (Parametr N udává stupe supersymetrie na sv toploše. Krom hodnot 0,1,2 s kritickými dimenzemi 26,10,2 se promýšlela i hodnota 4, která ovšem vede ke zcela nepoužitelné kritické dimenzi D = -2.) N=2 superstruna obsahuje dv asové a dv prostorové sou adnice. Kv li skloubení s 9+1 sou adnicemi vlevojdoucími je t eba k nim p idat a poté zase odhodit 1+1 sou adnici. (2,1) teorie tedy generuje teorii pole ve 2+2 rozm rech. Takovou membránu s 2 asovými sou adnicemi nazvali auto i ''M-bránou''. Z 2+2 sou adnic se efektivn 0+1 nebo 1+1 odhodí, proto nám zbude teorie v 1+1 rozm rech (podle volby okrajových podmínek dostaneme r zné teorie strun - bosonovou, teorii
596
typu II, heterotickou apod.) nebo v 2+1 rozm rech, kandidát pro konzistentní teorii membrán. Výklad M-teorie by si zasloužil rozsáhlý text a proto zde odkážeme na vynikající práci v novanou tomuto tématu: http://www.sytoprostor.euweb.cz/docs/Text.pdf . P eci jen si však uve me n kolik základních údaj . Hamiltonián tohoto kvantového modelu je velmi jednoduchý (maximáln supersymetrická Yangova – Millsova teorie s grupou U(N) v 9 + 1 dimenzích, redukovaná do 0 + 1 dimenzí) a popisuje N základních ástic zvaných D0-brány. Každá D0-brána nese jednu jednotku hybnosti ve sm ru kolmém na plochu, do níž chceme informaci uložit. Fyzikální systém s 9 páry matic X, P rozm ru N × N (a jejich 16 antikomutujícícmi partnery, které však pro jednoduchost zanedbejme), jejichž maticovými elementy jsou operátory
(x ) , ( p ) ( x ) ,( p ) i
i
mn
i
i
kl
mn
mn
,
i = 1,
=i δ δ δ ij
kn
m, n = 1,
, 9, lm
, N,
( 2024 )
.
na Hilbertov prostoru tedy popisuje sektor stav M-teorie s hybností N/R ve sm ru zvolené dimenze x-. Tato dimenze je práv oním sm rem kolmým ke zvolené rovin hologramu. Její hamiltonián vypadá takto:
p 2 + m2 − ˆ H= p = = + 2p M 116 1 = R ⋅ Tr Π i Π i − Xi , X j 2 16π 2
2
M 113 − Γ 0 Γ i [ Xi , 4π
]
( 2025 )
.
kde Xi , i = 1, … , 9 jsou hermitovské matice N × N, Πi jsou jejich kanonické duály a λ jsou hermitovské fermionová matice jež mají 16 komponent formujících elementy grupy Spin(9).
597
D-brány (dirichletické brány, kde D ozna uje dimenzi) jsou zvláštní a velmi d ležitou t ídou brán. Nesou jméno podle Dirichletových okrajových podmínek pro sou adnice na koncích strun, které na D-bránách mohou kon it. Obvyklé otev ené struny mají Neumannovy okrajové podmínky na koncích (derivace je rovna nule), ovšem T-dualita má za následek existenci duálních otev ených strun, které mají Dirichletovy okrajové podmínky (ur ena hodnota sou adnice na konci struny) pro T-dualizované sou adnice. Obecn ji, v teoriích druhého typu m žeme uvažovat otev ené struny s
∂x µ ∂σ
=0,
( µ = 0,1,
, p ) ; xµ
σ =0
σ =0
= x0µ ,
( µ = p + 1,
,9 ) .
( 2026 ) Taková volba pro konstanty x0 naruší Lorentzovu invarianci, díky emuž lidi tak dlouho odpuzovala. ešení zdánlivého paradoxu spo ívá v tom, že konce strun leží na dynamickém p+1-rozm rném objektu - na D-brán . D-brány se studovaly už pár let, ovšem jejich význam vysv tlil až Joe Polchinski v roce 1996. Jsou d ležité proto, že umož ují studovat excitace brány pomocí renormalizovatelné dvojdimenzionální kvantové teorie pole, namísto sv toobjemové teorie D-brány samotné, která renormalizovatelná není. Tímto zp sobem se stalo možné po ítat neporuchové jevy užitím poruchových metod! Mnohé z d íve nalezených p-brán jsou D-bránami. Další jsou spojeny s D-bránami symetriemi duality, takže i tyto lze dostat pod matematickou kontrolu. Sou adnice t chto N D0-brán netvo í uspo ádanou N-tici, jak jsme zvyklí, ale celou matici N × N, která odpovídá vektorovému potenciálu v Yangov – Millsov teorii s grupou U(N). µ
598
Obr. 67: Calabi – Yauova (C – Y) varieta
Obr. 68: Otev ené struny ukotvené na membrán C – Y variety
599
Pokud jsou D-brány daleko od sebe, matici lze s velkou p esností diagonalizovat (vlnová funkce je zanedbatelná v bod odpovídajícím klasické konfiguraci siln nekomutujících matic díky potenciálnímu lenu v hamiltoniánu Tr Xi X j
2
a diagonální elementy nám íkají, jaké
jsou klasické polohy t chto ástic. ísla kolem diagonály ve skute nosti nejsou p esn nulová, ale mohou kolem nuly fluktuovat. Tyto fluktuace nediagonálních element matic p edstavují virtuální efekty, které jsou dimenzionální redukcí vektorových boson , ovšem v kontextu maticového modelu jsou nelokálními veli inami a odpovídají za veškeré interakce mezi D0-bránami. Matic sou adnic t chto D0-brán je však o jednu mén , než je prostorových sou adnic (konkrétn ji jich je 9). P esto tato teorie popisuje d ní v p vodním prostoru, který má 10 + 1 dimenzí. Jedna D0-brána má pozici v posledním desátém prostorovém sm ru zcela neur itou. Ovšem pokud máme D0-brán veliké množství, m žeme do jejich po tu s pomocí Fourierových ad zakódovat i poslední desátou sou adnici. To tedy znamená, že d vod, pro se cítíme býti trojrozm rnými bytostmi a nikoli dvourozm rným obrazem je ten, že se skládáme z velkého množství D-brán. M-teorie ukazuje holografický princip na mnoha místech. Nap . p í ná velikost objektu složeného z D-brán roste tak, že celková plocha (v p ípad M-teorie devítirozm rná) je úm rná po tu D-brán. Výpo ty vlastností erných d r v M-teorii tento záv r pln podporují. erná díra se p i malé hodnot vazebné konstanty jeví jako soustava vibrujících strun a brán, na kterých se mohou struny zachytit svými konci. Strominger a Vafa (a následn mnozí další) ukázali, že D-brán lze použít pro získání po tu kvantových mikrostav spojených s klasickými konfiguracemi erných d r. Nejjednodušší p ípad, který byl studován nejd íve, je statická extrémní nabitá erná díra v p ti dimenzích. Strominger a Vafa spo ítali, že pro velké hodnoty náboje souhlasí entropie (definovaná jako S = log N , kde N je po et kvantových stav ,
600
ve kterých systém m že být) s Bekenstein-Hawkingovou p edpov dí ( 1988 ). Výsledek byl zobecn n i pro erné díry ve 4D, stejn jako pro tém extrémní (a správn vyza ující) nebo rotující. Posléze bylo propo ítáno mnoho dalších erných d r, nejprve tém extrémních, posléze ale také nap . schwarzschildovských. Ukázalo se, že stupn volnosti reprezentované D0-bránami (jakési základní ástice tvo ící sv t a také v této souvislosti nazývané partony) jsou v erné dí e skute n rozptýleny po povrchu, jelikož její entropie (kterou lze interpretovat jako veli inu úm rnou po tu stup volnosti i logaritmu po tu možných konfigurací) je úm rná jejímu povrchu, a nikoli objemu, jak jsme zvyklí z klasické termodynamiky. Zárove erná díra reprezentuje t leso, v n mž je entropie soust ed na nejefektivn jším možným zp sobem – plocha jejího horizontu je nejmenším možným povrchem oblasti, ve které se hmota s danou entropií m že vyskytovat. To p ivedlo holandského fyzika Gerarda ´t Hoofta a amerického fyzika Lennyho Susskinda k hypotéze, že všechny stupn volnosti, v nichž je uložena informace o všem na sv t , se dají lokalizovat na povrch prostoru, v n mž žijí. Celá situace je velmi podobná hologramu v tom smyslu, že plocha udržuje informaci o celém prostoru, a proto se uvedenému principu íká holografický. Díky principu ekvivalence musí tento princip platin nejen pro ernou díru, ale úpln všechny fyzikální systémy, nebo dynamika jakéhokoli fyzikálního systému vypadá úpln stejn jako dynamika systému padajícího do ohromné erné díry, jejíž geometrie na horizontu je tém plochá. Jsme tudíž vedeni k záv ru, že všechny stupn volnosti celého vesmíru (partony) jsou projektovány na dvourozm rnou plochu obklopující vesmír. Hloub ji se tomuto problému budeme v novat v mé p íští knize, v nované m.j. fyzice Blandria.
601
Obr. 69
602
Z termodynamiky erných d r tak plyne, že by kolem každého objemu m la jít nakreslit myšlená uzav ená plocha taková, že všechny informace o objektech uvnit by m ly jít popsat pouze fyzikou na povrchu této plochy (z toho, že entropie erných d r je úm rná povrchu a ne objemu a že urychlení pozorovatelé vnímají horizonty událostí na prakticky libovolných místech - podle zvoleného zrychlení a polohy pozorovatele - a ty rovn ž vyza ují zá ení obdobné Hawkingovu - Unruhovo zá ení). Navíc to vypadá, že ne každý pozorovatel m že m it na systému totéž. Velice p kn to ilustruje nap íklad informa ní paradox erných d r: Z hlediska padajícího pozorovatele se na horizontu nestane nic zvláštního - jde jen o normální bod relativn plochého asoprostoru. Z hlediska vn jšího pozorovatele ale každého padajícího pozorovatele musí spálit Hawkingovo zá ení. Dá se ukázat, že paradox je neroz ešitelný naší sou asnou fyzikou - každý pozorovatel který by cht l narazit na rozpor, by musel nutn zažít Planckovu teplotu, která je mimo náš dosah. Z t chto indicií usuzujeme, že k dokon ení kvantové gravitace není pot eba nic menšího, než p edefinování kvantového stavu tak, aby zahrnoval existenci horizont událostí a toho, že n které informace jsou pro n které pozorovatele nedostupné a r zní pozorovatelé na stejnou otázku mohou dostat r znou odpov , pokud ji v principu nemají jak porovnat. I z toho, jak s gravitonem zacházejí superstruny je vid t, že jde o n co jiného, než zbylé 3 interakce - graviton je jediná ástice tvo ená uzav enou strunou. Dalším problémem by mohlo být, že gravitace obsahuje mnoho stup volnosti - stejn jako sou asné teorie pole, kde mohou být za našich nízkých teplot n které stupn volnosti zamrzlé a ástice vypadají jako body. Za vysokých teplot ale m že každý bod asoprostoru být nezávislý. V sou asné dob existuje dostatek indicií k tomu, že naše fyzika je pom rn nekompletní na základní úrovni, což nám chybí k popisu gravitace. Ten m že být nakonec o dost odlišný od toho, co dosud známe.
603
Strunové prostoro asy Zkoumejme strunu ší ící se na pozadí, v n mž n která ze strunových polí mají klasické o ekávané hodnoty. Rozší ení akce ( 1996 ), kdy bereme do úvahy t i základní pole - graviton, popsaný symetrickým tenzorem se složkami gαβ , antisymetrický tenzorový potenciál Bαβ a dilaton Φ, je dáno takto S=
1
γ d 2ξ gαβ ( X ) ∂ i X α ∂ j X β γ ij −
4πα ′ 1 − α ′RΦ ( X ) + Bαβ ( X ) ∂ i X α ∂ j X β ε ij , 2
( 2027 )
kde εij ozna uje Levi-Civit v tenzor na sv toploše a R je skalární k ivost po ítaná pro metriku γab . Protože dilatonový len je ádu O(a'2), je akce ( 2027 ) konformn invariantní pouze do ádu O(a'), což znamená, že v obecném ádu je ztracena jedna ze základních symetrií strunové teorie. Ve vztahu ( 2027 ) je explicitn vyzna ena závislost gab , Bab a Φ na prostoro asových sou adnicích, a tedy Xα již nejsou volná pole. Z konformní teorie pole vyplývá, že p i kvantování interagujících konformn invariantních polí je obecn ztracena konformní invariance. Proto, aby byla zachována konformní invariance, nezbývá než požadovat, aby byla zachována v každém ádu a'.Odtud vyplývají fundamentální pohybové rovnice, které musí gab, Bab a Φ spl ovat. 1 Rαβ − ∇α ∇ β Φ + H αγδ H βγδ = O (α ′ ) , 4 ∇α H αβγ + ∇α ΦH αβγ = O (α ′ ) , 2 D − 26 1 + − R + ∇α Φ∇α Φ + 2∇α ∇α Φ + H αβγ H αβγ = O (α ′ ) . 3 α′ 12 ( 2028 ) V rovnicích ( 2028 ) jsou komponenty Hαβγ antisymetrického tenzoru t etího ádu H, definované vn jší derivací z Bαβ , dále R a Rαβ jsou skalární k ivost a Ricciho tenzor po ítané z metriky gαβ . Tyto rovnice
604
jsou strunovou verzí Einsteinových rovnic, a tedy leny obsahující α' lze chápat jako strunové korekce. Zd razn me ješt jednou, že rovnice ( 2028 ) byly odvozeny ist z podmínky zachování konformní symetrie. Po konformní transformaci 9ab → exp {-2Φ/(D – 2)}gab je akce systému ( 2028 ) dána vztahem S = d D x −g
2 D − 26 2Φ exp − −R ′ 3 α D−2
1 1 4Φ + ∇α Φ∇α Φ + exp − H2 , D−2 12 D−2
( 2029 )
kde jsme ozna ili H2 = Hαβγ Hαβγ. P ed zakon ením tohoto oddílu se zmíníme o další p esné symetrii ve strunové teorii. Nazývá se T-dualitou a jejím základním d sledkem je to, že dva r zné prostoro asy jsou popsány jednou a toutéž strunovou teorií. P edpokládejme, že v daném strunovém prostoro ase je definováno Killingovo vektorové pole ζ = ∂/∂X0 vyjad ující symetrii prostoro asu v i posunutí ve sm ru sou adnice X0, a tedy lze zvolit adaptované sou adnice, v nichž gab, Bab a Φ nezávisí na sou adnici X0. Pak m že být dokázáno, že nová metrika, definovaná vzorci
gˆ 00 =
1 , g 00
gˆ 0α =
B0α , g 00
gˆ αβ = gαβ −
( 2030 )
g 0α g 0 β − B0α B0 β g 00
,
ˆ a tvo í spolu s p íslušn transformovanými veli inami, potenciálem B αβ ˆ , strunový (a T-duální) prostoro as ekvivalentní s dilatonem Φ p vodním. Výsledkem dvojnásobné T-dualizace je op t výchozí prostoro as.
605
Bránové sv ty V tomto odstavci budeme hovo it o bránových sv tech. Ve své nejjednodušší verzi tento termín v souvislosti s relativistickou kosmologií poukazuje na fyzikální obraz prostoro asu, v n mž je náš ty rozm rný prostoro as asupodobnou nadplochou v p tirozm rném prostoro asu 5 . Fyzikální hmota je omezená na náš vesmír 4 . Situaci znázor uje obr. 70.
Obr. 70 - Schematické znázorn ní 3-brány v p tidimenzionálním prostoro asu. S vývojem 3brány v ase vzniká ty rozm rná nadplocha, na obrázku znázorn ná šedou barvou.
Obecn ji p-bránou nazýváme p-dimenzionální prostorupodobnou podvarietu n jakého D-dimenzionálního (D > p + 1) prostoro asu D , který budeme dále nazývat prostor sv t (v angli tin bulk). Toto je dosti obecná definice; dále se omezíme na fyzikáln opodstatn ný p ípad, kdy dimenze prostoru sv t je rovna D = p + 2. Sou adnice xa (a = 1, ... , p + 2) na prostoru sv t sestávají z asové sou adnice t, prostorových sou adnic xµ (µ = 1, ... , p) na p-brán a z jedné transverzální (tzv. extra) sou adnice Z. podle teorie strun jsou konce otev ených strun fixovány na asupodobné p-dimenzionální plochy. Matematická formulace spo ívá v položení Dirichletových hrani ních podmínek na p íslušné sou adnice konc otev ené struny. Odtud též pochází název D-brány, kde D poukazuje na povahu t chto bran, tj. na souvislost s Dirichletovými podmínkami. Protože v dalším výkladu budeme uvažovat pouze D-
606
brány, bude písmeno D vynecháno a symbol p-brána znamená pdimenzionální D-bránu. Náš 4-rozm rný prostoro as je vložen jako asupodobná nadplocha do 5-rozm rného prostoro asu. Samotný 3-rozm rný prostor je pak 3-bránou. V obecném D-rozm rném prostoro ase m že být obecn libovolný po et p-brán, z nichž alespo jedna, náš vesmír, zahrnuje standardní model isti ové fyziky (jako dob e ov enou teorii elementárních ástic). Sektor otev ených strun generuje fyzikální pole vázaná na p-bránu, nebo struny jsou p iloženy svými konci na sv toplochu brány. Uzav ené struny se mohou ší it v prostoru sv t . Protože ve spektrech uzav ených strun se nachází graviton, není gravitace omezena na p-bránu, nýbrž naopak zprost edkovává interakce mezi nimi, viz obr. 71.
Obr. 71: Otev ené struny musí být vždy ob ma koci ukotveny na D-bránách, v hyperprostoru (prostoru sv t ) se mohou voln pohybovat pouze uzav ené struny, jako jsou nap . gravitony.
Historicky prvním modelem bránového sv ta byl model ArkaniHameda, Dimopoulose a Dvaliho, kte í studovali (4 + d)-dimenzionální plochý prostor sv t , v n mž d dimenzí má toroidální geometrii. Pozoruhodný pokrok p inesly práce Randallové a Sundruma. V nich byl nalezen zak ivený prostor sv t tvo ený ezem anti-de Sitterova (AdS) prostoro asu. 5-dimenzionální akce, s níž budeme dále pracovat, je dána analogicky
607
jako v 4-dimenzionální gravitaci výrazem
S = − d 5 x − g ( 5)
R + Λ 5 + Spole , 2κ 52
( 2031 )
v n mž κ5 je 5-dimenzionální gravita ní vazebná konstanta, Λ5 je kosmologická konstanta v prostoru sv t a Spole p edstavuje akci veškerých dalších polí. Gravita ní vazebnou konstantu lze v jednotkách = c = 1 vyjád it i pomocí fundamentální (tj. definované v prostoru sv t ) Planckovy škály M5 jako
κ 52 =
8π . M 53
( 2032 )
Einsteinovy rovnice v prostoru sv t , které získáme variováním akce ( 2031 ), jsou 1 Gab ≡ Rab − g ab R = −κ 52Tab + g ab Λ 5 , 2
( 2033 )
kde tenzor energie-impulzu je definován prost ednictvím variace akce polí vzhledem k metrice stejn jako v klasickém p ípad . P ijm me zjednodušující podmínku, že všechna hmota je soust ed na na brán . P edpokládejme dále, že 5-dimenzionální metrika v prostoru sv t má reflexní symetrii v extra dimenzi, Z → -Z, a metrika bránového sv ta disponuje asovou reflexí a prostorovou paritou, tj. t → -t a xI → -xI, (I = 1,2,3). Protože prostor sv t by nem l záviset na sou adnicích na brán , lze jeho metriku zapsat ve tvaru ds2 = e2A(t,z) [dt2 - D2(t, z)d(xI)2] - C2(t, z) dz2 .
( 2034 )
Pokud navíc požadujeme, aby 5-dimenzionální metrika byla statická a spl ovala Poincarého (SO(3, 1)) symetrii, m žeme ji psát ve tvaru
608
ds 2 = e2 A( Z )η µν dx µ dxν − dZ 2 .
( 2035 )
Studujeme-li expandující bránu, lze 5-dimenzionální metriku psát jako
dr 2 ds = a b ( dt − dZ ) − a + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 ϑ dϑ 2 , 2 1 − Kr ( 2036 ) s obvyklými hodnotami K = ±1 nebo K = 0 v závislosti na tom, zda je 3-brána (náš prostor) topologicky 3-sféra, hyperbolický prostor, nebo zda je plochý. Metrika ( 2036 ) je konzistentní s homogenitou a izotropií na brán lokalizované v Z = 0. Funkce a a b závisí pouze na sou adnicích t a Z. 2
2 2
2
2
2
Kovariantní popis gravitace bránových sv t Uvažujme (3+1)-dimenzionální nadplochu v 5-rozm rném prostoru sv t . Ozna me n její normálové vektorové pole. Snadno se ukáže, že projek ní tenzor, daný jako h=g–n⊗n,
( 2037 )
je metrikou na zadané nadploše. P ipome me si definici vn jší k ivosti
K ab = hac hbd ∇ c nd .
( 2038 )
V diferenciální geometrii se odvozuje vztah mezi k ivostí variety a k ivostí do ní vložené nadplochy. Tento vztah je znám jako Gaussova rovnice a je dán takto ( ) Rabcd = haj hbk hcl hdm R jklm − 2 K a[c K d ]b . 4
( 2039 )
V Gaussov rovnici ( 2039 ) je 4-dimenzionální Riemann v tenzor konstruován z metriky hub stejným zp sobem, jako je Riemann v tenzor prostoru sv t konstruován z metriky gab. Dalším d ležitým vztahem je Codazziho rovnice, která vztahuje
609
ty divergenci vn jší k ivosti s Ricciho tenzorem prostoru sv t 4 4 ∇ (b ) K b a − ∇ (a ) K = n c hb a Rbc .
( 2040 )
Lze ukázat, že pokud je na zadané nadploše lokalizován tenzor energieimpulzu Tab a prostor sv t má reflexní symetrii Z → -Z, pak je vn jší k ivost vyjád ena jako
K ab = κ 2 −Tab +
1 (T − σ ) hab . 3
( 2041 )
Definujme skok funkce [f] p edpisem
f (Z + ε ) − f (Z − ε ) [ f ] = εlim →+0
.
( 2042 )
Z rovnice ( 2041 ) vyplývá, že skok vn jší k ivosti je
1 K ab = −κ 52 Tab − habT . 3
( 2043 )
Rovnice ( 2043 ) tvo í navazovací podmínky na zadané nadploše. Tenzor energie-impulzu Tab = τab – σ – hab jsme rozložili na ást od povídající klasickému tenzoru energie-impulzu τab a ást, která odpovídá tenzi brány σ. Využitím (2039 ), ( 2040 ), ( 2043 ) a 5-dimenzionální prostorupodobné varianty tzv. elektrické ásti Weylova tenzoru Eab = Cacbd nc n d pak získáme 4-dimenzionální Einsteinovy gravita ní rovnice ( 4) Gab = 8π Gτ ab − Λ 4 hab + κ 54π ab − Eab ,
( 2044 )
kde πab je tenzor definovaný jako
π ab =
1 1 1 1 bττ ab − τ acτ bc + habτ cdτ cd − τ 2 hab . 12 4 8 24
( 2045 )
610
Mezi tenzí brány, Newtonovou gravita ní konstantou G, efektivní kosmologickou konstantou bránového sv ta Λ4 a fundamentální kosmologickou konstantou v prostoru sv t Λ4 platí vztahy 8π G = Λ4 =
κ 54
κ 52 2
6
σ, Λ5 +
κ 54 6
( 2046 )
σ2 .
V teorii bránových sv t se tedy Einsteinovy rovnice ( 2044 ) liší od své verze známé z klasické relativistické kosmologie, a to o dodate né zdrojové leny. Je to tenzor πab , kvadratický v tenzoru energie-impulzu a reprezentující korekce p i vysokých energiích. Gravita ní vliv prostoru sv t na bránu je popsán elektrickým Weylovovým tenzorem, který vystupuje v roli efektivního tenzoru energie-impulzu. Bianchiho identity a zákony zachování implikují diferenciální identitu
κ 54∇ aπ ab = ∇ a Eab ,
( 2047 )
která platí na brán . Odvozené Einsteinovy rovnice ( 2044 ) jsou obecné a platí pro libovolnou nadplochu bez p edpokladu speciálních symetrií.
Randallové-Sundrum v statický bránový sv t typu II
Lisa Randall (1962)
Raman Sundrum ( 1963 )
611
Nyní se budeme zabývat p ípadem bránového sv ta, který byl poprvé publikován v pracích Randallové a Sundruma. Jedná se o vložení Minkowského bránového sv ta, popsaného metrikou ( 2035 ), do 5-dimenzionálního AdS, viz obr. 72. Budeme p edpokládat, že prostor sv t je vypln ný pouze vakuovou negativní energií, tj. Λ5 < 0. Fyzikálním zdrojem metriky je bránový sv t umíst ný v Z = 0, popsaný bránovou tenzí σ. Tento model je obvykle nazýván Randallové-Sundrum v bránový sv t typu II. Einsteinovy 5-dimenzionální rovnice lze odvodit z akce, která je v tomto jednoduchém p ípad sou tem Einsteinovy-Hilbertovy akce a bránové akce
R ( 4) 4 d x g + Λ + − ( −σ ) . 5 2 2κ 5 ( 2048 ) Einsteinovy rovnice se redukují na soustavu dvou rovnic S = SEH + SBrána = − d 5 x − g ( 5)
3 A′′ = κ 52σδ ( Z ) ,
6 ( A′ ) = −κ 52 Λ 5 . 2
( 2049 )
Obr. 72 - Vno ení Minkowského bránového sv ta do 5-dimenzionálního AdS v Poincarého sou adnicích.
612
Vylou íme-li exponenciáln rostoucí ešení, je výsledná metrika dána formulí
ds 2 = e
−2 k Z
η µν dx µ dxν − dZ 2 ,
( 2050 )
kde konstanta
k= −
κ 52 6
Λ5 .
( 2051 )
Integrací druhé z rovnic ( 2049 ) podle Z od -ε do ε a využitím reflexní symetrie obdržíme vztah
Λ5 = −
κ 52 6
σ 2.
( 2052 )
Získané ešení ( 2050 ) je singulární pro Z = ±∞. Sou adnicová transformace exp {-kZ} = y a p eškálování x µ = kx µ p evádí ( 2050 ) do tvaru
ds = k 2
−2
dy 2 y η µν dx dx − 2 y 2
µ
ν
.
( 2053 )
Je zajímavé, že singularita v y = 0 m že být považována za horizont 3-brány, který má nulový polom r. Tenzor energie-impulzu má tvar
TIIab =
6k
κ
2 5
δ ( Z ) δνµ δ µaδ bν ,
( 2054 )
což p esn odpovídá skute nosti, že hmota je s kladnou konstantní hustotou lokalizovaná na brán . V tomto p ípad jsou metrické fluktuace v extra sm ru nulové, tj. δ g ZZ = 0 , a tenzor energie-impulzu lze odvodit z rovnice
613
ab TBrána =
(
δ σ − g ( 5)
2 −g
( 5)
δ g ab
)
δ (Z ) .
( 2055 )
δ g ZZ =0
5-dimenzionální akce p íslušející bránové tenzi je dána rovnicí
SII =
6k
κ 52
∞
d x dZ − g ( 5) δ ( Z ) . 4
( 2056 )
−∞
Všimn me si, že uvedené navazovací podmínky jsou podmínkami jemného lad ní, nebo celá hmotová akce ( 2056 ) je ur ena pouze charakteristikami prostoru sv t - fundamentální (definovanou v prostoru sv t ) Planckovou škálou M5 a kosmologickou konstantou v prostoru sv t A5. Jak vyplývá z ( 2056 ) a ( 2052 ), efektivní kosmologická konstanta 3-brány je nulová. Oproti sou adnicovým singularitám v Z = ±∞ existuje fyzikální singularita v Z = 0, což odpovídá hmot , kterou jsme p idali na bránu. To je patrné z Kretschmannova skaláru, daného výrazem
{
Rabcd R abcd = 8k 2 3k 2 + k − 2δ ( Z )
2
}.
( 2057 )
Randallové-Sundrum v bránový sv t typu I Na rozdíl od Randallové-Sundrumova modelu typu II, kde Z leželo v intervalu -∞ ≤ Z ≤ ∞, v Randallové-Sundrumov bránovém sv t I je extra sou adnice Z kompaktní. Tedy krom reflexní symetrie Z → -Z navíc p edpokládáme i její periodi nost, viz obr. 73. Nyní p idáme hmotu nejenom na bránu v po átku Z = 0, ale i na druhou bránu, která je umíst na v Z = π rc , kde rc je polom r kompaktifikace. Ke vzorci ( 2056 ) tak analogicky dostáváme
614
SI = SI
+ SI Z =0
Z =π rc
=
6k
κ
2 5
π rc
d 4x
dZ − g (
5)
δ ( Z ) − δ ( Z − π rc ) .
−π rc
( 2058 )
Odpovídající tenzor energie-hybnosti nabývá tvaru
TIab =
6k
κ
2 5
δ ( Z ) − δ ( Z − π rc ) δνµδ µaδ bν .
( 2059 )
Zatímco brána v Z = 0 má kladnou hustotu hmoty, brána v Z = π rc ji má zápornou.
Obr. 73: Metrická funkce exp {-2AI(Z)} pro Randallové-Sundrum v kompaktifikovaný model typu I.
Metrika Randallové-Sundrumova bránového sv ta je ds 2 = e −2 krcϕη µν dx µ dxν − rc2 dϕ 2 ,
0≤ϕ ≤π .
( 2060 )
Kretschmann v skalár je dán výrazem
Rabcd R
abcd
{
= 8k 3k + k − 2 (δ ( Z ) − δ ( Z − π rc ) ) 2
2
2
},
( 2061 )
Bránová akce ( 2058 ) je ur ena pouze fundamentálním m ítkem a kosmologickou konstantou v prostoru sv t . Dále je jemné nastavení
615
manifestováno skute ností, že hmotové akce obou brán mají stejné velikosti, ale opa né znaménko
SI
Z =0
V4
=−
SI
Z =π rc
V4
M 53 = , 8π
( 2062 )
kde V4 je (formální) objem každé brány, V4 = d 4 x , a gravita ní vazebná konstanta je vyjád ena pomocí fundamentální škály energie M5. To je také d vodem, pro má brána v po átku Z = 0 pozitivní tenzi, zatímco brána v Z = π rc má negativní tenzi. Efektivní kosmologická konstanta vymizí na obou bránách.
Newtonovská gravitace z Randallové-Sundrumova modelu typu II Standardním postupem p i odvození Newtonova gravita ního zákona je uvažovat linearizovanou teorii gravitace. V tomto odstavci budeme postupovat analogicky, tj. budeme se zabývat malými fluktuacemi na pozadí bránové metriky vzniklé p idáním bodové hmoty na bránu. P edpokládáme-li malé perturbace hµν , omezené na bránový sv t, m žeme psát ds 2 = e −2 krcϕη µν − hµν ( x, Z ) dx µ dxν − dZ 2 .
( 2063 )
Využijme asté kalibrace, kdy je stopa a divergence tenzoru hµν nulová, tj. hµµ = 0 a ∂ µ hµν = 0 . Variace Einsteinových rovnic
δ Gµν = δ ( −κ 52Tµν + Λg µν )
( 2064 )
v této kalibraci nabývá tvaru
(e
2k Z
)
∂ ρ ∂δ − ∂ 2Z hµν − 4kδ ( Z ) hµν + 4k 2 hµν = 0 .
( 2065 )
616
Po separaci prom nných hµν ( x ρ , Z ) = ψ ( Z ) Φ ( x ρ ) obdržíme rovnice ∂ µ ∂ µ Φ ( x ρ ) = −m2Φ ( x ρ ) ,
m2 ≥ 0 ,
m2 2k Z 1 2 − e − ∂ Z − 2 kδ ( Z ) + 2 k 2 ψ ( Z ) = 0 . 2 2
( 2066 ) ( 2067 )
Pokud se budeme zabývat statickým rota n symetrickým p ípadem nulového módu, tj. m = 0, vidíme, že ψ spl uje Laplaceovu rovnici a je dáno
ψ (r ) = −
B r
( 2068 )
kde integra ní konstanta B je rovna G ml m2, abychom obdrželi správný výraz pro newtonovskou gravita ní sílu mezi dv mi ásticemi. Pro funkci ψ(Z) získáme p i m = 0 ešení
ψ ( Z ) = ψ 0 e−2 k Z ,
( 2069 )
kde ψ je integra ní konstanta. Na záv r se stru n zmi me o nenulových módech, kdy m ≠ 0 (tzv. Kaluzovy-Kleinovy módy). Tehdy obdržíme korekci ádu r -3 k Newtonov gravita nímu zákonu.
Kalibra ní hierarchie z Randallové-Sundrumova modelu typu I Pojednání o Randallové-Sundrumov bránovém sv tu typu I by nebylo úplné, kdybychom se nezmínili o tzv. problému kalibra ní hierarchie, který je znám ze standardního modelu elementárních ástic vycházejícího z principu spontánního narušení symetrie. Nap íklad u elektroslabých interakcí prob hlo toto narušení p i energiích kolem energetické škály ME ∼ 103 GeV. Naproti tomu efekty strunové teorie jsou zcela signifikantní p i škálách energie okolo
617
Planckovy energie, což je p ibližn MP ∼ 1019 GeV. Dostáváme o 16 ád vyšší hodnotu, než je energie p i spontánním narušení symetrie. Standardní ásticový model doposud ztroskotával p i objasn ní takové energetické diskrepance. Na ilustrativním p íkladu se podívejme, jak lze problém hierarchie vysv tlit v rámci Randallové-Sundrumova modelu typu I. P edpokládejme že žijeme na brán lokalizované v Z = π rc a prove me dimenzionální redukci Einsteinovy gravitace na 3-brán z 5-rozm rné gravitace na 4-rozm rnou gravitaci v Z = π rc . Píšeme-li ( 5) a b ds 2 = g ab dx dx = e
−2 k Z
g µν dx µ dxν − dZ 2
( 2070 )
postupn dostáváme
M 53 5 S5 = − d 5x g( ) R = 16π M 53 =− d 4 x det g µν 16π 3 5
π rc
dZe
−2 k Z
−π rc
( R( ) + ) = 4
(
)
M 4 = 1 − e −2 kπ rc d 4 x det g µν R ( ) + 16π M P3 d 4 x det g µν R ( 4) + =− = S4 + . 16π =−
(
)
(
( 2071 )
)
P i odvození ( 2071 ) jsme použili g ( ) = exp ( −8k Z ) det g µν a 5
R=e
2k Z
g µν Rµν +
=e
2k Z
R( ) + 4
.
( 2072 )
Porovnáním získáváme vztah MP =
1 1 − e −2 kπ rc M 53 . k
(
)
( 2073 )
Rovnice ( 2073 ) nám dává velmi d ležitý výsledek, podle n hož MP
618
závisí pouze slab na rc v limit , když je sou in krc velký. Obdobn jako rovnici ( 2073 ) lze odvodit i další d ležitý vztah mezi hmotovým parametrem m0 , definovaným ve fundamentálním 5-dimenzionálním prostoru sv t , a odpovídající fyzikální hmotou m, m enou pozorovatelem na 3-brán ,
m = e − kπ rc m0 .
( 2074 )
Ze vztahu ( 2074 ) vidíme, že pokud je hodnota m0 blízko Planckovy škály, pot ebujeme krc ≈ 50, aby jí z hlediska pozorovatele na brán odpovídala fyzikální hmota m s korektní hodnotou elektroslabé škály ME. Odtud vyplývá, že nastavením rc na dostate nou hodnotu lze obdržet velmi vysokou hierarchii mezi elektroslabou a Planckovou škálou. A koli exponenciela ve vzorci ( 2073 ) má velmi malý vliv na ur ení Planckovy škály energie, hraje podstatnou roli v ur ení viditelných hmotných škál ( 2074 ). Je zapot ebí d razn upozornit, že p edložené vysv tlení není skute ným ešením, nebo vyžaduje spln ní podmínky jemného lad ní. Nicmén se problém hierarchie stává mnohem jasn jším.
Friedmann v bránový sv t Zabývejme se situací, kdy je bránový sv t p edstavován prostoro asem typu FRW a je vložen do AdS. Bránový sv t FRW je nejp irozen jší volbou, která odráží skute nost, že náš vesmír expanduje. Protože o kosmologii FRW bylo pojednáno v p edchozích kapitolách, zmíníme se p edevším o odlišnostech, kterými se vyzna uje bránový sv t FRW od standardní kosmologie FRW. P edpokládejme metriku prostoru sv t ve tvaru ( 1923 ). A koli pro jednoduchost uvažujeme ploché prostorové ezy (tj. parametr K v ( 1923 ) je 0), lze výsledky p ímo a e zobecnit i na p ípady K = ±1. Rozložíme-li celkovou hustotu energie ρ na ást pocházející z hmoty ρm a na bránovou tenzi a zavedeme-li kosmický as ab dt = dτ, po dosazení do ( 1931 ) a úprav obdržíme
619
H2 =
ρ Λ 8π G µ ρm 1 + m + 4 + 4 , 3 2σ 3 a
ρ dH = −4π G ( ρ m + pm ) 1 + m , dτ σ
( 2075 )
kde H je Hubbleova konstanta H = a -1(da/dτ). Vztahy ( 2075 ) jsou bránové verze Friedmannovy a Raychaudhuriho rovnice. Veli ina µ v ( 2075 ) je integra ní konstanta a len µ / a 4 popisuje temné zá ení. Vlastnosti tohoto lenu lze vyvodit z detailní analýzy rovnic v prostoru sv t . Nejd ležit jší zm na ve Friedmannov rovnici spo ívá v p ítomnosti lenu úm rného ρ m2 , pocházejícího z tenzoru πab. To znamená, že v režimu, kdy je hustota hmoty podstatn vyšší než bránová tenze, ρ m σ , je Hubbleova konstanta úm rná ρm , a nikoli ρm , jak je tomu v klasické kosmologii FRW. Míra expanze je ve scéná i bránových sv t vyšší. Pouze pokud je hustotaenergie hmoty zanedbatelná v i ρ m . Tato d ležitá bránové tenzi, dostáváme obvyklou úm ru H modifikace Friedmannovy rovnice není omezena jen na RandallovéSundrum v bránový sv t, ale platí v širší t íd ešení. Navazovací rovnice ( 1930 ) pak reprodukuje standardní zákon zachování
ρ +3
a ( ρ + p) = 0 . a
( 2076 )
Na záv r pojednání o kosmologii FRW shr me základní myšlenku bránového sv ta FRW. Podle klasické kosmologie FRW náš vesmír expanduje do "ni eho". Pokud je obraz bránových sv t správný, je z fundamentálního hlediska naprosto p ijatelné tvrzení, že náš vesmír expanduje do AdS prostoru sv t . Bránový sv t FRW je znázorn n na obr. 74.
620
Obr. 74 - Vložení bránového sv ta FRW do 5-dimenzionálního AdS v Poincarého sou adnicích.
Záv rem Teorie superstrun je v sou asné dob ve stádiu intenzívního rozvoje. Krom pr kopník J.Schwarze, M.Greena, E.Wittena, na ní pracuje n kolik stovek fyzik (p edevším mladší generace) a ada výzkumných skupin. Z našich fyzik se teorii superstrun velmi aktivn a úsp šn v nují zejména P.Ho ava a L.Motl, M. Schnabl, M. Fabinger, J. Kluso a další. Matematicky konzistentním formalismem strunové teorie je samoz ejm M-teorie, jejímž spoluzakladatelem je rovn ž náš krajan prof. Luboš Motl. Jedná se o grupový uzel U(N), což není nic jiného, než naše stará známá C-Y varieta. Každý prostorový rozm r je definován jedním z devíti pár matic N × N, kde N je po et nula-brán, což je rank kalibra ní grupy. D vod, že M-teorie, objev nejv tšího mozku teoretické fyziky, prof. Edwarda Wittena spolu s naším slavným krajanem, prof. Petrem Ho avou, má o jeden rozm r více než-li teorie superstrun, tkví práv v U-dualit , protože po et rozm r je spjat skrz rank grupy s mírou kvantového rozmazání prostoro asu.
621
Petr Ho ava
Luboš Motl
Michal Fabinger
Martin Schnabl
D sledkem U-duality je práv rovnoprávnost objekt libovolné prostorové dimenze a rovn ž objev dalšího strunového velmistra, prof. Cumruna Vafy, tzv. F-teorie – 12-rozm rné duální teorie, který umožnil konstruovat velké nové t ídy neporuchových vakuí superstrun typu IIB. Záv r je takový, že v teorii superstrun existují matematicky konzistentní prostoro asy s libovolnou mírou kvantového rozmazání (ozna ovanou tzv. vazebnou konstantou), p i emž topologický tvar m že nabývat jakéhokoli matematicky konzistentního tvaru. Hodnota vazebné konstanty je exponencielou skalárního pole, tzv. dilatonu. Toto pole tvo í samotnou strukturu našeho prostoro asu a samoz ejm zásadním zp sobem závisí na jeho topologii. Brány nejsou nic jiného než uzly uvázané na tomto skalárním poli. Za t mito pojmy se skrývá mohutný matematický aparát, klasifikující možné kondenzáty dilatonu, K-teoretické grupy p íbuzné grup homotopií C-Y variety (uzlu). Topologie C-Y variety (p esný tvar kompaktifikovaných rozm r spole n s našimi rozm ry) p esn determinuje po et rodin elementárních ástic.
622
Obr. 75 – 3-dimenzionální model 11-ti rozm rné C – Y variety
Dr. Martin Schnabl studuje mechanismus uvazování vakuových uzl . Nap . na uvázání skalárního pole inflatonu se m žeme dívat, jak ukázal p ed 20 lety prof. Andrei Linde, práv jako na velký t esk, fluktuaci jedné nestabilní U-duální brány (jednoho libovoln rozm rného a libovoln kvantov rozmazaného, jakkoli matematicky konzistentn uvázaného uzlu). Dr. Schnabl již analyticky dokázal dv ze t í d ležitých dom nek prof. Ashoke Sena. První dom nka vztahuje potenciál na tachyonovém poli a nap tí brány (vazebná konstanta determinující nap tí brány, (1042 kg) visících na jednorozm rné brán , je exponencielou skalárního pole). Tachyonové vakuum Dr. Schnabl definoval pomocí tzv. Bernoulliho ísel, jenž mají úzký vztah k Riemannov zeta funkci, která definuje strukturu prvo ísel. Platonisticky p emýšlejícího struna e pot ší podobný netriviální vztah mezi atomy ísel a atomy vakua. Bernoulliho ísla se samoz ejm hojn objevují v topologické teorii strun (teorii strun zam ující se pouze na topologické stupn volnosti). Rovn ž sílí poznání, že Riemannova zeta funkce definuje vlastní hodnoty v maticových formulacích topologické teorie strun. Dodejme, že tachyonovými uzly se ve svých pracích zabývá také náš další krajan Dr. Josef Kluso . Druhá dom nka íká, že existuje jedna nestabilní brána vypl ující prostoro as (p esn ji algebraickou grupovou vakuovou varietu) a mén rozm rné brány jsou pouhými jejími fluktuacemi, jakýmisi defekty v jejím kalibra ním poli. T etí Seanova dom nka, kterou Dr. Schnabl dokázal spolu s Dr. Ianem Ellwoodem íká, že na pravém tachyonovém vakuu nejsou uvázané
623
žádné uzly. V tachyonovém poli tedy neexistují žádné brány s žádnými kalibra ními symetriemi. Nejsou-li uvázané žádné uzly, nemáme žádné elementární ástice, protože elementární ástice jsou reprezentací kalibra ní grupy vakuového uzlu. Vakuový uzel je bodem v abstraktní krajin , kde je lokáln nejnižší energie. Uzel je v celku stabiln usazený, protože už existuje v konkrétním topologickém tvaru n jakých 14 miliard let. Pokud by se uzel nalézal v bod mimo minimum energie, z n hož by spadl ádov v Planckov ase na základní hladinu, tak by se p i pádu a jakémkoli následném pohybu v modulární krajin nep edstaviteln divoce p evazoval. D ležité je to, že potenciálnímu minimu na tachyonové krajin odpovídá naopak práv divoká kondenzace (uzlování) vakua, to se d je nap íklad p iblíží-li se brána k antibrán (opa n orientované brán ) blíže než na planckovskou délku, poté pár brána - antibrána anihiluje. Dochází k topologicky netriviální operaci: rozvázání uzlu. Spolu s tím se odpovídajícím zp sobem m ní kalibra ní symetrie. Pokud je na p vodním páru brána - antibrána uvázaný n jaký tachyonový uzel, tak se p i anihilaci nem že úpln rozvázat a výsledkem je brána nižší dimenze (podle K-teoretické grupy klasifikující všechny možné náboje brán). Tím se dostáváme ke druhé domn nce. Kvantov rozmazaný uzel generující prostoro as je holograficky duální k hrdlu erné brány (hrdlu erné díry libovolného rozm ru). Strukturu hrdla m žeme studovat prost ednictvím tzv. automorfních forem grupové variety definující celou krajinu. Zbývá už jen dokázat, že parti ní funkce erné díry (definovaná pomocí topologické parti ní funkce) p esn koresponduje se strukturou prvo ísel. Náš zatím nejmladší struna Michal Fabinger studuje vliv Casimirova jevu na dynamiku ervých d r a vývoj p-brán v etn kosmologických. V posledních letech se rovn ž v nuje výzkumu multidimenzionálního Hallova jevu. Superstrunová teorie je mnohými fyziky považována za nejnad jn jšího kandidáta na úplnou unitární teorii pole, sjednocující všechny 4 typy interakcí, na toužebn o ekávanou "teorii všeho". ada fyzik je však k teorii superstrun zdrženliv jší. Poukazují na nejednozna nost jejích záv r , nepr hlednost a p ílišnou matematickou komplikovanost, p edevším pak na obtížnost, ba nemožnost experimentálního ov ení v dohledné budoucnosti.
624
3) Smy ková kvantová gravitace Standardní model Fyzika elementárních ástic ud lala nepochybn v posledních desetiletích nesmírný experimentální a technický pokrok. Po et ástic pozorovaných v ohromných urychlova ích se stále rozmnožuje a zárove se na teoretické úrovni poda ilo uskute nit dalekosáhlé sjednocení fyzikálních p edstav o struktu e hmoty a o základních interakcích v p írod . Takzvaný standardní model obsahuje jen pom rn málo základních kamen : leptony a kvarky, z nichž se skládají t žší ástice. K tomu p istupují intermediální ástice zprost edkující ty i známé síly i interakce. Tak standardní model uspokojuje sou asné pot eby fyziky elementárních ástic a dává jí teoretickou výzbroj k vysv tlení sv ta od nejmenších dnes dostupných velikostí (~10-18 m) až do m ítka metr . Teoretickým základem standardního modelu je kvantová teorie pole (KTP), podle níž jsou základními veli inami spojité funkce v prostoru a v ase - "pole". Pole p íslušející elementárním ásticím se pohybují prostorem a asem, a ástice se objevují jako kvanta energie p íslušného pole - jsou tedy lokalizovány jen p ibližn , kdežto v klasické teorii byly ástice bodovými útvary. Obrazn lze íci, že v kvantové teorii pole jsou ástice rozpušt ny do vlnových balí k . Starý spor mezi "atomisty" a "energetisty" o diskrétní i spojitou povahu hmoty, který byl na za átku našeho století do asn rozhodnut ve prosp ch prvních, je tak v kvantové teorii pole vy ešen opa n .
Gravitace jako "zdánlivá síla" Co však do standardního modelu za lenit nelze, je tvrtá základní interakce - gravitace. Protože je ve srovnání s jinými silami p írody daleko nejslabší, hraje zdánliv roli jen ve velkých rozm rech, v planetárním systému i v celém vesmíru, a její teorie je od kvantové teorie pole naprosto odlišná. Obecná teorie relativity (OTR) vykládá gravita ní sílu pomocí k ivosti ty rozm rného prostoro asu. Zak ivené a zrychlené pohyby zp sobené gravitací vznikají podle ní podobn , jako když se koule valí po nerovné podložce a "sama od sebe" sleduje její
625
k ivost. Z tohoto hlediska je gravitace "zdánlivou silou". Podle Einsteinových rovnic platných v obecné teorii relativity, zak ivuje prostoro as každý druh energie, která je v n m rozložena. Obecná teorie relativity je klasická teorie, jež nezná pojem zprost edkujících ástic. ástice gravitace analogické foton m - gravitony - v ní proto nevystupují. Co se tý e experiment , není gravitace v bec patrná ani v t ch nejv tších urychlova ích. Sjednocená teorie proto není pot ebná pro výklad žádného dosud pozorovaného jevu a graviton také zatím nikdo nikde nepozoroval. Pro porozum ní experimentálním skute nostem jsou standardní model a obecná teorie relativity úpln dostate né. Zatím je to spíše estetická pot eba harmonie a úplnosti, která teoretické fyziky už po mnoho desetiletí podn cuje, aby hledali jednotnou teorii ty základních interakcí, pop ípad kvantovou teorii gravitace. Taková teorie m že nabýt fyzikálního významu tam, kde je gravitace velmi silná: v blízkosti erných d r, v centru galaxií, v raném vesmíru. P i snahách o kvantovou teorii gravitace se nejprve zdálo rozumné považovat k ivost prostoru - tj. jeho odchylku od plochého prostoru v každém míst - za dynamické pole na nezm nitelném, plochém pozadí. Kvantový formalizmus by nám m l ukázat, jaká je energie t chto odchylek "zabalená" v gravitonech. Avšak gravitony jako balí ky energie p sobí zp tn na prostor a dále jej zak ivují. Jak lze matematicky dokázat, na rozdíl od jiných p ípad "samointerakce" není b žný formalizmus kvantové teorie pole schopen tuto komplikaci vy ešit pro p ípad obecné teorie relativity. Výsledky b žné kvantové teorie pole jsou nepoužitelné, protože dávají fyzikálním veli inám nekone né hodnoty. Nástroje kvantové fyziky, které jsou jindy velmi úsp šné, vyvolávají závažné problémy, jako jsou absurdní nekone na, pravd podobnosti v tší než 1 ("jevy jist jší než jisté") a další.
Kvantování prostoro asu Kvantová teorie a Einsteinova obecná teorie relativity byly každá zvláš skv le experimentáln potvrzeny - ale žádný pokus nezkoumal situaci, kdy ob teorie p edpovídají významné efekty. Potíž tkví v tom, že ke kvantovým jev m dochází tém výhradn v malých rozm rech, zatímco ú inky obecné teorie relativity se projevují p i obrovských
626
hmotnostech, takže je t žké spojit ob tyto mimo ádné podmínky dohromady. S touto mezerou v experimentálních údajích je spojen obrovský problém: Einsteinova obecná teorie relativity je veskrze klasická, tedy nekvantová. Pro logickou souvislost fyziky jako celku je pot ebná teorie, která n jakým zp sobem spojí kvantovou mechaniku s obecnou teorií relativity. Touto dlouho hledanou teorií je kvantová teorie gravitace. Protože se obecná teorie relativity zabývá geometrií asoprostoru, bude kvantová teorie gravitace navíc i kvantovou teorií asoprostoru. Fyzici vyvinuli pozoruhodnou sbírku matematických postup k p echodu od klasické teorie na kvantovou. Mnoho teoretických fyzik a matematik pracovalo s využitím t chto technik v obecné teorii relativity. Rané výsledky p inášely zklamání. Podle výpo t z 60. a 70. let se zdálo nemožné ob teorie úsp šn spojit. Vypadalo to, že je nutné požadovat n co zcela nového, nap íklad nové postuláty i pravidla, která nejsou ani v kvantové teorii ani v obecné teorii relativity, nebo n jaké nové ástice i pole, p ípadn zcela nové entity. Správné dodatky nebo nová matematická struktura by snad umožnily vyvinout teorii kvantového charakteru, která by úsp šn aproximovala obecn relativistické chování v nekvantovém režimu. K zachování úsp šných p edpov dí kvantové teorie a obecné teorie relativity bylo zapot ebí, aby se nové prvky celkové teorie projevovaly jen p i experimentech v mimo ádných podmínkách, kdy jsou silné jak ú inky kvantové teorie tak obecné teorie relativity. V tomto sm ru byla vyzkoušena celá ada teorií, jako nap íklad tzv. teorie twistor , nekomutativní geometrie a supergravitace.
Planckova délka Mezi nejd ležit jší fyzikální konstanty pat í nepochybn : gravita ní konstanta G = 6×10-11 m3/kg.s2, rychlost sv tla ve vakuu c = 3×108 m/s, Planckova konstanta = 1×10-34 kg.m2/s. tená si m že snadno ov it, že sou inem mocnin t chto konstant lze sestavit jedinou veli inu o rozm ru délky
627
Lp =
Gh ≈ 10−35 m , 2 c
( 2077 )
což je Planckova délka, ke které jsme d sledn ji dosp li v p edchozím oddílu. M. Planck ji zavedl ve snaze dosp t k p irozené soustav jednotek. Pozd ji se však ukázalo, že tato veli ina má význam nejmenší délky, o níž má smysl ješt hovo it. Ukázali jsme, že p i Planckov délce naroste k ivost natolik, že se body ocitnou uvnit erné díry. Pokus o m ení tak malých vzdáleností proto principieln nedosp je k svému cíli. P edstava o zak iveném, ale spojitém prostoro ase tak ztrácí smysl. Planckova délka je považována za veli inu, u níž kon í platnost obecné teorie relativity a fyzikální procesy za nou být ovládány kvantovou teorií gravitace. Na úrovni reality v Planckov škále existuje p esná a bohatá diskrétní struktura. Tato vzdálenost je o 20 ád menší, než jsme schopni detekovat v dnes nejlepších urychlova ích ástic. V tomto m ítku Einsteinova obecná teorie relativity, která se zabývá vztahy prostoro asu, hmoty a energie, již neplatí, protože její veli iny nabývají nekone ných hodnot a její geometrie obsahuje singularity. Jak prohlásil americký fyzik John Archibald Wheeler, obecná teorie relativity sama v sob obsahuje semínko sebedestrukce - meze své platnosti. Toto omezení je na druhé stran výhodou, protože fyzikové se nemohou vyhnout hledání lepší a úpln jší teorie pro zákony p írody na fundamentální úrovni reality. Fyzika pot ebuje teorii kvantové gravitace, která by vysv tlila chování vesmíru na všech jeho úrovních, od kvark až po kvasary. Proto teoreti tí fyzikové hledají novou "teorii všeho", která by obsahovala všechny fundamentální zákony p írody. Mnoho pokus v této oblasti u inili ásticoví fyzikové, když p edpokládali plochý prostoro as na pozadí. Matematik a fyzik Oxfordské university Roger Penrose tento postup kritizoval. Pokud z Einsteinovy krásné teorie odstraníme život tím, že použijeme lineární rovnice a plochý prostoro as, nem žeme nic nového získat tím, že se teorii gravitace pokusíme spojit s kvantovou teorií. Rovnice popisující chování gravitace za kvantových podmínek nejsou ešitelné, p estože mají smysl a jsou konsistentní. Jsou jako palác, který nemá žádné dve e.
628
Relativisti tí fyzikové v tšinou p istupují k tomuto problému z geometrického hlediska. John Archibald Wheeler již v 50. letech 20. století vyslovil hypotézu, že v nejmenším m ítku prostoro as není spojitý, ale spíše "p novitý". Je jasné, že kvantová gravitace vyžaduje zásadní zm ny našeho pohledu na vesmír. Naše p edstavivost op t bude muset p ekro it hranice b žného vnímání sv ta kolem nás.
Diskrétní povaha prostoru Na po átku 80. let minulého století se Abhay Ashtekar z Pennsylvánské státní univerzity, Ted Jacobson z Marylandské univerzity a Carlo Rovelli, nyní p sobící na Marseilleské univerzit , rozhodli znovu prov it, zda je možné pomocí standardních metod souvisle spojit kvantovou mechaniku s obecnou teorií relativity. V d li, že negativní výsledky ze 70. let mají d ležitou mezeru. P i t chto výpo tech se p edpokládalo, že geometrie prostoru je spojitá a hladká, bez ohledu na to, v jak malém rozm ru ji zkoumáme - p esn tak se nahlíželo na hmotu, dokud nebyly objeveny atomy. Bylo z ejmé, že pokud je tento p edpoklad nesprávný, nelze se spolehnout ani na staré výpo ty. Výše jmenovaní teoretici za ali zkoumat, jak provád t výpo ty bez toho, aby p edpokládali, že je prostor hladký a spojitý. Zásadn nep edpokládali nic, co by se vymykalo experimentáln d kladn ov eným princip m obecné teorie relativity a kvantové teorie. V základech svých výpo t se drželi dvou základních princip obecné teorie relativity. První z nich je známý jako nezávislost na pozadí. Tento princip íká, že geometrie asoprostoru není dána jednou provždy. Naopak, podle tohoto pravidla se vyvíjí a je dynamickou veli inou. K nalezení této geometrie je t eba vy ešit rovnice, které zahrnují všechny ú inky hmoty a energie. Jak jsme se mohli p esv d it v p edchozím oddílu, teorie strun ve své dnešní podob není nezávislá na pozadí; rovnice popisující struny jsou p izp sobeny p edem ur enému klasickému (tedy nekvantovému) pozadí. Druhý princip, známý pod názvem invariance diffeomorfismu se vztahuje k sou adnicím. K výpo t m v zak iveném asoprostoru se používá systém sou adnic, zobecn ný na ty i rozm ry zak iveného asoprostoru. Tento princip íká, že rovnice teorie jsou stejné v
629
libovolném dob e se chovajícím systému sou adnic, který si vybereme. Jde o velice silný princip, který byl hlavním vodítkem Einsteinovi p i jeho p vodním vývoji obecné teorie relativity. Pe livým spojením t chto dvou princip za použití standardních metod kvantové mechaniky byl vyvinut matematický jazyk, který umožnil provést výpo ty pot ebné ke zjišt ní, zda je prostor spojitý i zda má diskrétní povahu. Tyto výpo ty prozradily, že prostor je kvantován. Byly položeny základy nové teorie smy kové kvantové gravitace, LQG (loop quantum gravity). výpo ty zopakovali mnozí fyzikové a matematici, kte í p i tom použili adu nejr zn jších metod. B hem let se studium LQG stalo živým polem v deckého výzkumu s p isp vateli z celého sv ta. Díky spole nému úsilí byla získána d v ra v takový obraz asoprostoru, jaký bude popsán v následujících ádcích. Teorie smy kové kvantové gravitace je kvantovou teorií struktury asoprostoru v nejmenším m ítku jeho velikosti; proto se k jejímu vysv tlení musíme zam it na to, co p edvídá pro malou oblast nebo objem. Když se zabýváme kvantovou fyzikou, je nezbytné p esn specifikovat, jaké fyzikální veli iny se mají m it. K tomuto ú elu bereme v úvahu oblast, která je vyzna ena svou hranicí B (viz obrázek 76). Tato hranice m že mít materiální povahu, nebo m že být ur ena samotnou geometrií asoprostoru, jako je tomu v p ípad horizontu erné díry. Obr. 76
Úst ední p edpov LOG teorie se vztahuje k objem m a plochám. Podle klasické nekvantové fyziky by mohl být objem vyjád en libovolným kladným reálným íslem. Teorie LOG však íká, že existuje nenulový absolutní minimální objem cca. Lp3 = 10-99 cm3, a tento objem
630
omezuje soubor v tších objem na diskrétní adu ísel. Podle této teorie je tedy v každém krychlovém centimetru prostoru 1099 atom objemu. Základní kvantum objemu je tak nepatrné, že v jednom krychlovém centimetru je t chto "atom " objemu více, než kolik je krychlových centimetr v celém viditelném vesmíru. Podobn musí být plocha povrchu alespo 10-66 cm2 ( tverec Planckovy délky), další plochy jsou pak jejím násobkem. Diskrétní spektrum povolených kvantových ploch a objem (obr. 77 uprost ed) je zna n podobné diskrétním kvantovým energetickým hladinám atomu vodíku (obr. 77 vpravo). Obr. 77
631
Kvantování prostoru Z p edchozí ásti víme, že n kte í teoreti tí fyzici pracujících v oblasti elementárních ástic zkouší vyvíjet a zobec ovat standardní model, aby tak dostali "teorii všeho" v etn gravitace - teorii strun. Stejn jako standardní kvantová teorie pole se teorie strun odehrává na daném prostorovém pozadí, v tšinou plochém, které má však ve všech variantách teorie více než ty i rozm ry. Relativisté se naopak snaží nejprve kvantovat samotnou obecnou teorii relativity. Zatímco teoretikové strun vyzbrojují prostor dodate nými rozm ry, aby získali kone né, dob e definované výsledky, tato skupina si z neúsp chu dosavadních snah o kvantování gravitace vyvodila jiné pou ení. Podle nich by bylo rozšt pení prostoru na ploché pozadí a "dynamické vln ní" vzhledem k obecné teorii relativity krokem zp t. Nem že proto jít o dobré východisko ke kvantové teorii gravitace. Namísto toho se hledá kvantová teorie prostoru jako celku. Otázkou je, na jakém pozadí má být matematické lešení teorie vystav no. Prvním návrhem byl již v šedesátých letech "prostor všech geometrií t írozm rného prostoru" (J. Wheeler, B. DeWitt). Kvantová teorie by m la p edpov d t rozložení pravd podobnosti, kde se práv nachází v tomto abstraktním prostoru reálný prostor, v n mž žijeme. To by vedlo k asovému vývoji vesmíru nebo n jakého jeho podsystému, nap . galaxie, který by byl postižen jistým stupn m kvantové neur itosti. Tak by se zárove vytvo il most ke kvantové kosmologii. Bohužel je "superprostor trojrozm rných geometrií" nekone n rozm rná obluda, a proto se na této cest daleko nedosp lo, dokud nep išel A. Ashtekar s nápadem použít pro popis geometrie prostoru nové prom nné. Fyzikáln znamená výb r ur itých prom nných pouze volbu jedné z mnoha možností (srovnatelnou s užitím r zných soustav jednotek nebo r zných sou adnic). Ale p i výpo tu to p sobilo takové zjednodušení, že se b hem minulých desetiletí poda ilo redukovat nekone né rozm ry a sestavit formáln konzistentní kvantovou teorii trojrozm rných geometrií. Je to kvantová teorie na variet místo na prostoro ase. Varieta je jak víme hladký souvislý útvar, p vodn bez metriky, takže pojem vzdálenosti dvou bod zde neexistuje p edem. Vzdálenost, obsah, objem, jsou ve zde spíše dynamické veli iny teorie, která p edpovídá, s jakou pravd podobností tyto veli iny nabývají jistých hodnot.
632
Kvantová p na Skute n se poda ilo zkonstruovat kvantový operátor objemu a obsahu. Na první pohled m že takové konstatování p sobit nep itažliv . Jaký má smysl formulovat nejvšedn jší a nejnázorn jší v ci tak složit ? D sledky jsou však nedozírné. Teorie íká, že možné hodnoty obsahu a objemu jsou v m ítku Planckovy délky diskrétní. Tak se dostáváme od obecné teorie relativity, jíž se ídí pohyb galaxií, k výpov di o nejmenších možných velikostech. Jako jiné kvantové teorie pole generují diskrétní kvanta (totiž elementární ástice) v prostoru, který je pokládán za spojitý, v kvantové teorii gravitace vzniknou "kvanta prostoru" na abstraktní, hladké variet bez metrické struktury. Podle této teorie neexistují menší vzdálenosti než Planckova délka, mluví se proto o "kvantové p n ". Tento výsledek, bude-li potvrzen, m že mít velký význam i pro jiné kvantové teorie pole, a koliv vychází z kvantování samotné obecné teorie relativity. Energie libovolných kvant je totiž nep ímo úm rná vlnové délce p íslušného vlnového balí ku. Nemohou-li být vlnové délky menší než ur itá dolní mez, protože kratší délka neexistuje, pak je energie omezena shora a kvanta s nekone nou energií jsou p edem vylou ena. P estože problém odstran ní t chto kvant byl v tšinou ešitelný i v jiných teoriích, vyžádal si matematicky ne zcela regulerní dodate nou úpravu teorie - tzv. renormalizaci.
Ashtekarovy prom nné Na rozvinutí shora zmín ných myšlenek o diskrétní povaze prostoro asu, založil profesor Abhay Ashtekar, editel St ediska pro gravita ní fyziku a geometrii na Pennsylvánské státní univerzit , své výpo ty kvantové gravitace. Teorie vznikla a rozvíjela se od po átku 80. a let 20. století a spolu s Ashtekarem na ní pracují L.Smolin, C.Rovelli, J.Baez, Ch.Isham, M.Bojowald a další pr kopníci. První pilí mostu mezi obecnou teorií relativity a kvantovou teorií položil Abhay Ashtekar v roce 1986. Byl inspirován lánkem o pohybu elektronu v gravita ním poli, který napsal Amitabha Sen, tehdy student na Univerzit v Chicagu. Ashtekar vyvinul nový geometrický jazyk, v n mž bylo možno Einsteinovy rovnice pole formulovat odlišným, avšak matematicky ekvivalentním zp sobem. Tento matematický aparát brzy
633
získal všeobecné uznání. S jeho pomocí zformulované rovnice elektroslabé interakce a Maxwellovy rovnice byly snadn ji použitelné a rovnice gravita ní interakce získaly p ízniv jší tvar. Ashtekar v matematický aparát umožnil elegantním zp sobem popsat body, oblasti, pohyb a síly bez d íve nezbytné metriky. Další veli iny již byly v u ebnicích ozna ovány jako "Ashtekarovy prom nné".
Prof. Abhay Ashtekar (1949)
Po náro né a podrobné práci byla Ashtekarova verze Einsteinových rovnic pole rozší ena takovým zp sobem, že tyto rovnice bylo možno kvantovat. Lee Smolin a italský fyzik Carlo Rovelli v letech 1988 až 1990 vykonali rozhodující pr kopnickou práci a od roku 1992 oba za ali spolupracovat s Ashtekarem. Na této úrovni popisu již prostor není homogenní, ale má jemnozrnnou strukturu. Skládá se z malých kroužk a je tvo en bezpo tem vzájemn propojených prstenc ("smy ek") o pr m ru Planckovy délky. Takto se zrodila "smy ková kvantová gravitace" (loop quantum gravity). Pokud bychom atom zv tšili na velikost naší Galaxie, pak kvantová smy ka by nebyla v tší než lidská bu ka. Proto není p ekvapením, že se nám prostoro as jeví zcela spojitý. Klí ovým zdrojem inspirace byla tzv. Willsonova smy ka ve svazové kalibra ní teorii (lattice gauge theory) kvantové chromodynamiky. Tuto teorii nezávisle na sob vypracovali americký fyzik Kenneth Wilson a ruský fyzik Alexander Polyakov. Kvantová chromodynamika nepoužívá spojitý prostor, ale algebraickou strukturu svazu, neb teoretický fyzik, který pracuje bez svaz , riskuje vždy nebezpe í
634
chybného kroku s nedozírnými d sledky. Ve fyzice jsou takovými katastrofami nekone né hodnoty veli in a absurdní matematické výrazy. K tomu však dochází pouze v kvantových teoriích, které jsou založeny na spojitém prostoro asu. Po m sících nadšení se ovšem objevilo postupné zklamání. Matematika za ala být nejasná a ve výpo tech se znovu objevily nekone né hodnoty n kterých veli in. Smy ky proto nelze považovat za fundamentální reprezentaci reality. Mohou být užite ným popisem, podobn jako Wheelerova kvantová p na, avšak nepoda ilo se dosáhnout správných matematických základ . V teoretické fyzice asto se m nící paradigma vyžaduje nové matematické nástroje. Newtonova mechanika a teorie gravitace pot ebovala diferenciální a integrální po et. Maxwellova elektrodynamika pot ebovala parciální diferenciální rovnice a analýzu. Einsteinova obecná teorie relativity pot ebovala diferenciální geometrii a kvantová mechanika pot ebovala Hilbertovy prostory a operátorovou algebru. Abhay Ashtekar se proto nevzdal. Nejd íve pomocí nových prom nných vyjád il metriku 3-rozm rného prostoru pomocí formalismu SU(2) (nebo SO(3)) symetrií kalibra ního pole. Jeho spolupracovníci pak ukázali, že Hilbert v prostor kvantovaného SU(2) kalibra ního pole lze generovat tzv. spinovými sít mi, vycházejícími z twistorové teorie kterou navrhl nezávisle na Ashtekarových prom nných již o desetiletí d íve R. Penrose.
635
Obr. 78: Grafy twistovaných pás vno ených do S3 topologie
V dalších p ti obtížných letech byli Ashtekarovými spolupracovníky Jerzy Lewandowski, John Baez, Chris Isham, Thomas Thiemann a další. Spole n vytvo ili nástroje pro kvantovou geometrii, v níž d ležitou roli sehrává teorie uzl (knot theory). Hlavními pojmy jsou spinové sít a grafy, jako spoje a pr se íky smy ek, a spiny, které p edstavují typ a po et t chto spoj . Ashtekarovi a jeho koleg m se poda ilo odstranit nep íjemná nekone na. Vzniklý matematický formalismus je natolik ú inný, že jej lze použít nejen v obecné teorii relativity, ale také v teorii supergravitace. Podle Rovelliho se tak poda ilo dosáhnout prvního úsp šného spojení obecné teorie relativity a kvantové teorie.
Spinová sí a smy ková kvantová gravitace Kanonické kvantování OTR za íná rozkladem prostoro asu na trojrozm rnou prostorovou varietu Σ a na as tak, že struktura je Σ × R. Pak se definují kanonické prom nné gravita ního pole na Σ. Na první pohled jsou indukované metriky na Σ a kanonicky sdružené veli iny p irozené prom nné.
636
Sdružené impulsy jsou pr m ty kovariantní derivace normálového vektoru k Σ (vn jší k ivost vložené podvariety Σ ). V t chto prom nných je však hamiltonovská vazba velmi složitá a nazývá se Wheelerovou – DeWittovou rovnicí. V Ashtekarov nových prom nných se vazba výrazn zjednoduší. V tomto formalismu fungují složky konexe A(x) jako konfigura ní prom nné a sdruženými impulsy jsou triády E(x), tj. ortonormální báze v te ných prostorech bod variety Σ. Konfigura ní prom nné jsou veli iny, které hrají roli gravita ní síly v geodetické rovnici. V dalším postupu jsou konfigura ní a impulsové prom nné prohlášeny za operátory kanonickými komuta ními relacemi. Kvantové stavy gravita ního pole v konexní reprezentaci jsou funkcionály konexe, formalismus ale vyžaduje regularizaci. Výsledkem je, že fyzikální stavy nezávisí na konexi v každém bod (tj. na poli A(x)), nýbrž na operátoru paralelního p enosu vektor po uzav ených k ivkách (smy kách) γ, tj. na holonomii h[A,γ]. Z toho se vyvodil název smy ková kvantová gravitace. Ortonormální báze v Hilbertov prostoru s vhodn definovaným skalárním sou inem se skládá z funkcí holonomií k ivek, které jsou spojené v uzav ené síti obsahující tzv. hrany a vrcholy. Obr. 79 znázor uje nejjednodušší p ípad tvorby spinové sít .
Obr. 79 Vytvo ení sít ze dvou smy ek a osmi ky. Výsledná sí má dva vrcholy vi a t i hrany ei .
D vodem je lineární závislost mezi dv mi smy kami a osmi kou. Tento konkrétní bázový vektor je funkcí t í holonomií
ψ ( h [ A, e1 ] , h [ A, e2 ] , h [ A, e3 ]) .
( 2078 )
637
Velkou výhodou této konstrukce je skute nost, že každý takový funkcionál, i když je sí rozsáhlá, má jen kone n mnoho argument (na rozdíl od nekone ného po tu stup volnosti pole A(x)). Operátory holonomie p sobí na triády tak, že zachovávají ortonormalitu. Z toho d vodu se sí , na které je definovaný stavový funkcionál, nazývá spinovou sítí.
Obr. 80: Konstrukce virtuálních uzl a virtuálních spojení mezi n-mocnými uzly, tvo ících „barevnou“ spinovou sí . Rozdílné uzlové rozklady dávají odlišné ortogonální báze.
Obr. 81: Spinová sí
638
V duchu OTR kvantuje tato procedura zárove s gravita ním polem i geometrii prostoru. K tomu se dosp je následujícím zp sobem: Z klasického výrazu pro objem trojrozm rné oblasti R
V = d 3 x det g (
3)
( 2079 )
R
kde g(3) je trojrozm rná indukovaná metrika, a z klasického výrazu pro obsah plochy G
S = d 2 x det g (
2)
( 2080 )
G
kde g(2) je dvojrozm rná indukovaná metrika, dostaneme pomocí triád ˆ a Sˆ . operátory V
Obr- 82: Obsah plochy je ve smy kové kvantové gravitaci ur en spojením topologické kvantové teorie pole s Crane-Yetterovým difeomorfn invariantním modelem kvantové teorie pole.
639
Základní veli iny jsou tedy reprezentovány kvantovými operátory. Konstrukce operátoru délky je v rámci teorie také možná. Takové kvantování geometrie vede k tomu, že varieta Σ má význam pouhé pomocné konstrukce, nikoliv fyzikálního prostoru. Teprve tehdy, když známe stav gravita ního pole ve tvaru superpozice funkcí spinových sítí, nabude oblast G vlastního obsahu plochy. Obr. 83 znázor uje mechanismus vzniku plošného obsahu pro p ípad jednoho bázového stavového vektoru.
Obr. 83: a) Plocha P s operátorem plošného obsahu. b) Operátor po ítá pr nik graf γ s plochou P.
Ploše P ve variet Σ je p i azen operátor, který „umí po ítat“. Když je stav gravita ního pole zadán funkcionálem na základ jednoho grafu, operátor s ítá p ísp vky jednotlivých k ivek, které protínají plochu P. Z teorie vyplívá, že p ísp vky jsou úm rné
lP2 ji ji +
1 2
,
( 2081 )
kde ji je 1/2 po tu jednotlivých smy ek podél i-té k ivky. V p ípad objemu oblasti R se skládá o ekávaná hodnota z p ísp vk uzl sít uvnit R. Nejd ležit jším výsledkem je, že geometrie je diskrétní v m ítku Planckovy délky – v teorii existují jakési atomy prostoro asu.
640
Diagramy zvané spinové sít , se využívají ke znázorn ní kvantových stav prostoru v nepatrném m ítku. N které z t chto diagram odpovídají objem m mnohost n . Nap íklad krychle (a) na obr. 84 sestává z objemu uzav eného šesti tvercovými st nami. P íslušná spinová sí (b) obsahuje te ku neboli uzel, který p edstavuje objem, a šest ar, které p edstavují p íslušných šest st n. Úplná spinová sí má u uzlu íslo, které udává objem krychle, a íslo u každé áry udává plochu odpovídající st ny (c). Na našem obrázku iní objem uzlu 8 krychlových Planckových délek a plocha každé z šesti st n iní ty i tvere ní Planckovy délky. (Pravidla LQG omezují povolené objemy a plochy na specifická množství; na arách a uzlech jsou povoleny jen ur ité kombinace ísel). Obr. 84
V p ípad jehlanu usazeného na horní st n krychle by ára p edstavující tuto plochu ve spinové síti spojovala uzel krychle s uzlem jehlanu (d). áry odpovídající ty em volným st nám jehlanu a p ti volným st nám krychle by vycházely z p íslušných uzl .
641
Obr. 85
e) Jedno kvantum plochy
f) V tší plocha
g) Jedno kvantum objemu
h) V tší objem
642
Obecn je ve spinové síti jedno kvantum plochy znázorn no jedinou arou (e), zatímco plochu složenou z mnoha kvant p edstavuje mnoho ar (j). Podobn je jediné kvantum objemu znázorn no jediným uzlem (g), zatímco v tšímu objemu odpovídá více uzl (h). Obr. 86
Spinová sí je tedy množina vrchol (bod ) spolu se spojnicemi (hranami), které jsou ozna eny n jakou ireducibilní reprezentací grupy v tomto p ípad SU(2) - a ve vrcholech jsou spojeny pomocí n jakých singlet SU(2). Tato "kostra", vno ená do asoprostoru (avšak potenciáln existující nezávisle na n m), slouží jako model asoprostoru, který se tímto stává diskrétním. Nap íklad dvourozm rný povrch n jaké plochy je koncentrován v pr se ících této plochy s hranami spinové sít , a každý pr se ík zhruba e eno p ispívá celo íselným násobkem (p esn ji j ( j + 1) ) renormalizované Planckovy plochy.
643
Spinové sít jsou fundamentáln jším pojmem než mnohost ny: každé uspo ádání mnohost n m že být znázorn no ve spinové síti, ale platné spinové sít p estavují kombinace objem a ploch, které nemohou být zakresleny jako mnohost ny. Takové spinové sít bychom mohli najít v prostoru zak iveném silným gravita ním polem, nebo v rámci kvantových fluktuací geometrie prostoru v Planckov m ítku.
Vznik obsahu a objemu v kvantové geometrii Obsah dvojrozm rné plochy S jakožto útvaru v t írozm rné variet není definován. Fyzikální stav gravita ního pole je charakterizován spinovou sítí. Obsah plochy je ur en stavem jako sou et ur itých výraz , které jsou v tomto stavu p i azeny hranám, p es všechny pr se íky hran sít s danou plochou (na obrázku 87 jsou to pr se íky p1, ., p6). V jiném stavu mohou být sí , jí p i azená ísla, po et pr se ík , a tedy i plošný obsah úpln jiné. Obr. 87
Co zjistíme p i m ení objemu oblasti? Jaké výsledky umož uje jak kvantová teorie tak invariance diffeomorfismu? Pokud je geometrie asoprostoru spojitá, m lo by být výsledkem m ení objemu jakkoli malé i velké oblasti kladné reálné íslo, které by se mohlo zcela libovoln p ibližovat nulovému objemu. Je-li však geometrie zrnitá (diskrétní), pak by se m l výsledek m ení skládat jen z diskrétní sady ísel a nem že nabýt menší hodnoty, než jakou má nejmenší možný
644
objem. Tato otázka je podobná otázce, jakou energii mají elektrony, které obíhají kolem atomového jádra. Klasická mechanika p edpokládá, že elektron m že nabývat libovolných hodnot energie. Naproti tomu kvantová mechanika p ipouští výskyt jen ur itých hodnot energie (energie mezi t mito hodnotami se nevyskytují) – viz obr. 77. Rozdíl je stejný jako mezi m ením n eho, co nep etržit plyne, jako voda v pojetí 19. století, a n ím, co se dá po ítat, jako jsou atomy v této vod . Protože podle teorie LQG je i prostor složen z podobných "atom ", existuje jen omezený soubor ísel, která m žeme p i m ení objemu získat. Objem tak p ichází v p esn vymezených kvantech. Prostor není spojitý, ale vyskytuje se jen ve specifických kvantovaných jednotkách plochy a objemu. Obr. 88
Jak tyto kvantové stavy plochy a objemu vypadají? Skládá se prostor z mnoha malých krychli ek nebo koulí? Není to tak jednoduché, m žeme však nakreslit grafy, které p edstavují kvantové stavy objemu a plochy. Abychom vid li, jak tyto diagramy fungují, p edstavme si, že máme kus prostoru ve tvaru krychle, jak je ukázáno na obrázku 84. V našem obrázku jsme znázornili takovou krychli jako te ku s šesti vy nívajícími arami, které p edstavují šest st n krychle. K te ce pot ebujeme p ipsat íslo, abychom up esnili množství objemu, a na každou áru napíšeme íslo, kterým specifikujeme velikost plochy, kterou daná ára p edstavuje. V dalším kroku p edpokládejme, že na vrchní st nu krychle postavíme ty boký jehlan, tedy útvar ve tvaru pyramidy. Tyto dva mnohost ny, sdílející spole nou st nu, budou vyzna eny jako dv te ky (dva objemy)
645
spojené jednou z ar (spole nou st nou obou útvar ). Krychle má p t dalších st n (dalších 5 vycházejících ar) a jehlanu zbývají ješt ty i další st ny (další 4 vycházející áry). Je z ejmé, o co složit jší diagram bychom dostali, kdybychom ve svém p íkladu pracovali i s jinými mnohost ny, než jen s krychlemi a jehlany, p i emž každý objem by se stal bodem neboli uzlem a každá st na povrchu mnohost nu by byla znázorn na árou, p i emž by tyto áry spojovaly body stejn , jako spole né st ny spojují mnohost ny v prostoru. Matematici nazývají takové diagramy grafy. Nyní p išel as, abychom ve své teorii opustili kresby mnohost n a zam ili se pouze na grafy. Matematici, kte í popisují kvantové stavy objemu a plochy, nám poskytují soubor pravidel, která nám íkají, jak mohou být uzly a áry spojené a jaká ísla jim lze v diagramu p ipisovat. Každý kvantový stav odpovídá jednomu diagramu a každý stav, který se ídí p íslušnými pravidly, odpovídá jednomu kvantovému stavu. Teorie graf je pohodlným zkráceným zápisem pro všechny možné kvantové stavy prostoru. Grafy jsou lepším znázorn ním kvantových stav než mnohost ny. Zvlášt proto, že n které grafy jsou pospojovány podivným zp sobem, který nem že být snadno p eveden do úhledného obrázku s mnohost ny. Kup íkladu v zak iveném prostoru nám v žádném obrázku nebudou mnohost ny na sebe p esn navazovat, ale graf m žeme po ád snadno nakreslit. M žeme vzít graf a z n ho spo ítat, nakolik je prostor zak iven. A protože práv zak ivení prostoru je tím, co vytvá í gravitaci, formují práv takto grafy samotnou teorii gravitace. Pro jednoduchost si asto kreslíme grafy ve dvou rozm rech, ale je lepší si je p edstavit v trojrozm rném prostoru, nebo práv ten znázor ují. Práv tady však na nás íhá koncep ní past: áry a uzly grafu nežijí v ur itých místech prostoru. Každý graf je definován jen zp sobem, jakým jsou jeho prvky pospojovány a jaký vztah mají k dob e definovaným hranicím, jako nap íklad k hranici B z obrázku 76. Spojitý trojrozm rný prostor, který v našich p edstavách grafy vypl ují, jako samostatná entita neexistuje. Vše, co existuje, jsou spojnice a uzly grafu, ty jsou prostorem a zp sob, jakým se spojují, definuje jeho geometrii. T mto graf m se íká spinové sít , protože velké množství z nich se vztahuje k veli in zvané spin. Roger Penrose z Oxfordské univerzity na
646
po átku 60. let jako první vyslovil domn nku, že by spinové sít mohly hrát roli v teoriích kvantové gravitace. V roce 1994 se ukázalo, že p esné výpo ty jeho intuici potvrzují. Jednotlivé uzly a hrany diagram p edstavují extrémn malé oblasti prostoru: uzel obvykle zaujímá objem jedné krychlové Planckovy délky, a hranou je obvykle ploška o obsahu jedné tvere ní Planckovy délky. V zásad však neexistuje žádné omezení pro velikost a složitost spinových sítí. Kdybychom mohli nakreslit podrobný obrázek kvantového stavu našeho vesmíru, tedy geometrii jeho prostoru, jak je zak ivená a deformovaná gravitací galaxií, erných d r a všeho ostatního - dostali bychom obrovskou spinovou sí nep edstavitelné složitosti, která by obsahovala asi 10184 uzl . Spinové sít popisují geometrii prostoru. Ale co se vší hmotou a energií, která se v tomto prostoru nachází? Jak znázorníme ástice a pole zaujímající polohy a oblasti v prostoru? ástice odpovídají ur itým typ m uzl , které si znázorníme tak, že k n kterým uzl m p idáme navíc zvláštní zna ky. Pole, nap íklad elektromagnetické, jsou znázorn na p ídavnými zna kami na hranách grafu. ástice a pole pohybující se prostorem znázor ujeme t mito zna kami, které se diskrétními kroky pohybují v grafech. Matematika vytvo ená speciáln pro tento ú el umož uje nahlédnout za scénu tém všech jev ve vesmíru a m že objasnit samotné základy naší reality. Pomocí smy kové kvantové gravitace se Ashtekar p iblížil k napln ní Einsteinova snu a snad také k zodpov zení základních otázek fyziky, které se týkají záhad velkého t esku a erných d r. Kvantová gravitace tedy p ináší další revolu ní pohled na vesmír: prostoro as je kvantován podobn jako hmota. Otázka, pro se žádný objekt nem že vt snat do polovi ního objemu, než jaký má nejmenší bu ka prostoru, z pohledu t chto "prostorových atom " ztrácí význam. Vychází totiž z nesprávného p edpokladu absolutního prostoru, v n mž jsou umíst ny všechny objekty od elementárních ástic až po kupy galaxií. Prostor a as však nejsou zcela fundamentálními entitami, ale jsou složeny ze základn jších struktur. Ashtekar p irovnává spinové sít , matematicky popsané jako grafy, ke stavebnici z jednorozm rných vláken podobných polymer m. Pokud bychom mohli p írodu pozorovat s nejv tším možným zv tšením, prostor a as by se rozpustil a vystoupila by spinová sí , p esn ji e eno
647
kvantov mechanické superpozice všech možných konfigurací t chto entit. Mezi t mito grafy je "prázdno". Spinové sít neexistují v n jakém prostoru, ale samy prostor vytvá ejí. Nejsou ni ím jiným, než abstraktn definovanými vztahy, které ur ují, jak se spojují hrany dohromady a jak se vzájemn protínají. Skute nost, kdy prostor není homogenní, si lze demonstrovat na p íkladu obrazu na plazmové obrazovce, který se rovn ž skládá z malých pixel , které z v tší vzdálenosti nelze rozpoznat. Na jediné stránce této knihy by se m lo protínat 1068 kvantových vláken. Koncové body t chto otev ených graf p edstavují fermiony (tedy kvarky a leptony), z nichž je složena veškerá hmota, a Higgsovy bosony, které hmot dávají její hmotnost. Bosony, které zprost edkovávají silové interakce mezi fermiony, jako fotony, vektorové bosony W z Z, gluony a gravitony, jsou projevem ur itých excitovaných stav spinové sít , jako jsou zm ny "barvy" nebo váhy hran graf . Podle Ashtekara n co p edstavuje geometrii a n co jiného p edstavuje pole. Hmota m že existovat pouze tam, kde je geometrie excitována. Fyzikáln nemá smysl se ptát, co leží mezi hranami t chto graf . Gravitony a další bosony nejsou fundamentálními entitami, ale pouze produktem spinových sítí. Naše obvyklá p edstava kauzality nemá ve spinových sítích žádný smysl. Dokonce as je d sledkem variací excitovaných stav a spojnic ve spinových sítících. V jistém smyslu tedy as je stejnou iluzí jako prostor. Celá íše reality pochází ze superpozic fluktuujícího pletiva spinových sítí na submikroskopické úrovni. My sami a všechno, co víme, jsou pouze obrazce ve spinových sítích.
Spinová p na ástice a pole nejsou jedinými v cmi, které se kolem nás pohybují. Podle obecné teorie relativity se geometrie prostoru m ní v ase. Záhyby a k ivky prostoru se m ní podle toho, jak se hmota a energie pohybuje, a samotným prostorem mohou procházet vlny stejn jako po hladin jezera. V LQG jsou tyto d je znázorn ny zm nami v grafech. Vyvíjejí se v ase adou ur itých "pohyb ", p i kterých se m ní propojenost samotných graf .
648
Když fyzici popisují jev v pojmech kvantové mechaniky, po ítají pravd podobnosti r zných d j . My budeme p i popisu jev s pomocí teorie LQG postupovat stejn , a už p jde o ástice a pole pohybující se ve spinových sítích nebo o samotnou geometrii prostoru, která se m ní v ase. Thomas Thiemann z Perimeter lnstitute for Theoretical Physics ve Waterloo v Ontariu odvodil p esné kvantové pravd podobnosti pro pohyby spinové sít . T mito pravd podobnostmi je teorie zcela specifikována: máme k dispozici dob e definovaný postup výpo tu pravd podobnosti jakéhokoli d je, ke kterému m že dojít ve sv t , ídícím se pravidly této teorie. Zbývá jen provést výpo ty a vypracovat p edpov di, co bychom mohli pozorovat p i r zných experimentech. Einsteinova speciální a obecná teorie relativity spojují prostor a as do jediného celku, zvaného asoprostor. Spinové sít , které v teorii LQG p edstavují prostor, se p edstav asoprostoru p izp sobují p em nou na tzv. "spinové p ny". P idáním dalšího rozm ru - asu - hrany spinových sítí narostou do podoby dvojrozm rných povrch , zatímco uzly se zm ní v hrany (viz obr. 90). P echody, kde se spinové sít m ní jsou nyní znázorn ny uzly, kde se áry stýkají v p n . P nový model asoprostoru navrhli krom jiných Carl Rovelle, Mike Reisenberger (Univerzita v Montevideu), John Barrett z Univerzity v Nottinghamu, Louis Crane z Kansaské státní univerzity, John Baez z Kalifornské univerzity a Fotini Makropoulou z Perimeter Theoretical Physics Institute. V asoprostorovém vnímání sv ta se momentka ur itého asu podobá ezu asoprostorem. Takovým ezem spinovou p nou získáme spinovou sí . Bylo by však chybou si tento ez p edstavovat ve spojitém pohybu, podobném hladkému toku asu. Místo toho - protože je prostor definován jako diskrétní geometrie spinové sít - je as ur en sledem vymezených pohyb , které p estavují sí , jak je ukázáno na obrázku 91. Tímto zp sobem se as také stává diskrétní veli inou.
649
Obr. 89
Zm ny v podob prostoru, které nastávají nap íklad p i pr chodu hmoty nebo energie a s tím spojeném vysílání gravita ních vln, jsou znázorn ny diskrétními zm nami uspo ádání nebo pohyby spinové sít . V p ípad (a) na obr. 89 se propojená skupina t í objemových kvant slévá v jediné kvantum objemu; m že nastat i opa ný d j. V p ípad (b) se dva objemy v prostoru odd lí a nadále jsou spojeny jiným p sobem. V p ípad mnohost n by se dva mnohost ny nejprve spojily splynutím jedné st ny, aby se vzniklý útvar pozd ji znovu rozd lil, p i emž rovina št pení by se nacházela jinde než rovina, ve které splynuly st ny p vodních dvou mnohost n . K takovým pohyb m ve spinové síti dochází nejen p i velkorozm rových zm nách v geometrii prostoru, ale také p i kvantových fluktuacích v Planckov m ítku. P idáním asového rozm ru ke spinové síti, dostaneme spinovou p nu (obr. 90). Provedeme-li v n jakém asovém okamžiku ez spinovou p nou, získáme op t spinovou sí ; ada ez v r zných okamžicích nám poskytne rámec filmu zachycujícího evoluci spinové sít v ase (obr. 91). Všimn te si ale, že evoluce, která se na první pohled zdá být hladkou a spojitou, je ve skute nosti opravdu nespojitá. Všechny spinové sít , které zahrnují ervenou áru p edstavují navlas stejné uspo ádání prostoru. Délka ervené áry nehraje roli - vše, co má pro geometrii význam, je zp sob spojení ar a jaké íslo popisuje každou áru. Práv to ur uje, jak jsou kvanta objemu a plochy uspo ádána a jak jsou velká.
650
Obr- 90: Každá spojnice ve spinové síti je asociována s kvantovým íslem plochy, zvaným „spin“, udávaným v jednotkách souvisejících s Planckovou délkou. Spinová sí typu (dole) se t emi spojnicemi nesoucími spiny j, k, l se vyvíjí ve dvou krocích do spinové sít nesoucí spiny o, p, q, j, k, l, m, n, s (naho e). Inicia ní spinová sí má dva uzly, v nichž se potkávají 3 spojnice. Dále pak vertikální linie jejichž uzly definují hrany spinové p ny. První vrchol – podobný vrcholu Feynmanova diagramu – leží v míst , kde se levá hrana rozv tvuje, v kterémžto bod je formována intermediální spinová sí se spiny o, p, q, j, k, l . Hranu na pravém v tvení v druhém interak ním uzlu jsme zv tšili. Povrchy spinové p ny tvo í plochy opsané spojnicemi pohyblivými v ase. Toto rozší ení ukazuje, že k vrcholu jsou p ipojeny 4 hrany a 6 ploch s asociovanými spiny j, k, l, m, n, s . Spinová p na jako taková, pak m že být chápána coby nespojitý kvantový prostoro as.
651
Tak v diagramu na obr. 91 z stává geometrie na prvních t ech obrázcích konstantní, s t emi kvanty objemu a šesti kvanty povrchové plochy. Potom se geometrie nespojit m ní v jedno kvantum objemu a t i kvanta povrchové plochy, jak ukazují poslední dva snímky. V tomto pojetí se as - definovaný spinovou p nou - vyvíjí adou náhlých diskrétních pohyb , a nikoli spojitým tokem. A koli nám p ipodobn ní k filmovým polí k m významn pom že p i vizualizaci celého jevu, mnohem p esn jší cestou k chápání evoluce geometrie je p edstava diskrétních tik hodin. P i jednom tiku je ervené kvantum plochy p ítomno, a v dalším tiku vlastn samo zmizení erveného kvanta tento "tik" definuje. Doba, která uplyne mezi ob ma "tiky" je p ibližn rovna jednomu Planckovu asu, tedy 10-43 sekundy. Ale mezi ob ma tiky žádný as neexistuje: není tam žádné "mezi", stejn jako není žádná další vodní molekula mezi dv ma sousedícími molekulami vody. Obr. 91
as
652
Ani as tedy neubíhá jako voda v ece, nýbrž jako tikot hodin, p i emž každý "tik" trvá jednu Planckovu periodu: 10-43 sekundy. Nebo p esn ji, as v našem vesmíru odm uje tikot nes etných hodin - v tom smyslu, že v každém míst spinové p ny, kde dochází ke kvantovému "pohybu", místní hodiny jednou "tiknou".
Astrofyzikální d sledky smy kové kvantové gravitace K Ashtekarov práci významn p isp l Ashtekar v bývalý doktorand Martin Bojowald, který dnes p sobí v Ústavu Maxe Plancka pro gravita ní fyziku v Postupimi. Ukázal totiž, jak spinová sí mohla zažehnout velký t esk. Martin Bojowald se zabývá aplikacemi Ashtekarova formalismu na kvantovou kosmologii a na singularity v asoprostoru. Spojení mezi velkým t eskem a vnit kem erné díry však existuje celá ada a v tšinou nejsou spojeny se jménem Bojowalda. Lee Smolin vyslovil hypotézu, že singularita v erné dí e je "velký t esk", z n hož se narodí nový vesmír, potomek toho p vodního, a díky p edpokládané "mutaci" lze pak aplikovat zákony evolu ní teorie.
Lee Smolin (1955)
Martin Bojowald (1975)
Když se nám poda í zkoncentrovat hmotu zcela ur itým zp sobem, m že vzniknout kolapsar jehož prostoro asová geometrie odpovídá nap . Reissnerovu – Nordströmovu, i Kerrovu ešení, nebo jejich vzájemné kombinaci (tzv. Kerrova - Newmanova geometrie). Všechna tato ešení Einsteinových rovnic gravita ního pole obsahují erví díry, jakožto tunely spojující jednak r zné oblasti našeho vesmíru (tzv. vícenásobná souvislost prostoro asu) a jednak ústící i do vesmír jiných.
653
Obr. 92: erví díry vážící r zné vesmíry samy se sebou tzv. uchy a k jiným vesmír m tzv. hrdly.
Práv možnost vyfouknutí nového vesmíru skrze um le nebo p irozen vytvo enou erví díru vede k velmi lákavé myšlence, že dce inné vesmíry mohou po vesmírech mate ských zd dit jejich fyziku. To vedlo v minulosti k formulaci velice zajímavé hypotézy evoluce vesmír vyslovené v 80. letech minulého stol. rovn ž nap . Andrejem Lindem autorem teorie chaotické inflace - dosud nejp ijíman jšího infla ního scéná e vzniku vesmíru, ale i dalšími autory, nezávisle na sob .
Andrej Linde (1948)
Tato hypotéza v podstat íká, že vesmíry, jejichž fyzika dovoluje vznik velkého množství erných a potažmo i ervích d r, jsou zárove mimo ádn p íznivé pro vznik života. Mají dostate nou hustou hmoty,
654
ale nesmí být zas moc veliká, nebo by pak m ly p íliš malou životnost a tedy nedostatek asu pro tvorbu velkého množství ervích d r. Musejí mít také p esn 3 velké prostorové dimenze a jednu asovou, atd. Zkrátka, pouze vesmír, který má velké p edpoklady stvo it inteligentní život, má shodou okolností zárove nejvyšší „fitness“ v Darwinovském smyslu tohoto slova, tj. nejvyšší schopnost plodit potomky a p edávat svoje „geny“ – svoji fyziku – dce iným vesmír m. To vede k domn nce, že a je fyzika práv našeho vesmíru (v té zm ti nep eberných možností které si vesmír p i svém zrodu mohl zvolit) velice málo pravd podobná, m že být tento model p esto v superprostoru tím v bec nejrozší en jším, nebo vede k nejvyššímu po tu identických, nebo velmi podobných kopií. A práv jen tento model ( i ješt n kolik málo jeho subspécií) je zárove jediný slu itelný se vznikem biologického života (srov. antropický princip). Co se tý e energie-hmoty vesmíru, ta s hmotností oné po áte ní erné díry nikterak nesouvisí. Celková energie jakéhokoliv vesmíru (i toho našeho) je nula, takže i kvantová erví díra m že na druhém konci expandovat do ob ího vesmíru jako je ten náš, aniž by byl p i tom porušen n jaký zákon zachování. To, co se z oné erví díry primárn vyfoukne je de facto pouze samotný prostoro as. Hmota se v n m objeví až coby d sledek zákon zachování celkové energie (tj. klidové a vazebné) v kvantových polích. erné díry jsou úst edním tématem pro testování kvantové geometrie. Zvlášt jejich termodynamika je nepochybn klí ovým p edm tem studia kvantové gravitace. Ashtekar již v minulosti úsp šn p isp l k jejich lepšímu pochopení v kontextu obecné teorie relativity. Nyní objevil, jak erné díry rostou. Avšak kvantová geometrie je schopna vysv tlit více, nap íklad jak se znovu smrš ují. V roce 1974 zjistil Stephen Hawking, že erné díry kvantov vyza ují, ímž ztrácejí energii/hmotu. Již Albert Einstein poukázal, že existuje taková možnost. Po átkem 20. století objevil, že hmota a zá ení nejsou dv odlišné entity, ale že se mohou navzájem p em ovat. Kvanta zá ení a hmoty jsou v podstat totéž. Albert Einstein také ukázal, že geometrie je fyzikální entita podobn jako hmota. Proto se zá ení a hmota mohou p em ovat v geometrii a naopak.
655
K matematickému úsp chu teorie se p idává i úsp ch "fyzikální" p edpov entropie ili informace spolykané ernými dírami. Entropie by byla spojena s teplotou r znou od nuly a to by skute n znamenalo zá ení erné díry - v rozporu s naprostou erností vyplývající z klasické teorie. Toto zá ení, musí být tedy ist kvantový jev. J. Bekenstein a S. Hawking toto zá ení p edvídali již v 70. letech minulého století na základ jiných úvah. Spojovali je s vytvá ením dvojic ástic ( ástice + anti ástice) silnou gravitací v bezprost ední blízkosti erné díry. Známý Hawking v jev byl tehdy odvozen semiklasickým postupem: Silná k ivost prostoro asu (klasická p ísada) povzbuzuje zá ení n jakého p ítomného kvantového pole. Takovéto p edb žné, v jistém smyslu ned sledné úvahy nejsou ve fyzice ni ím neobvyklým. Pomáhají p edvídat výsledky, které jednou p inese dosud neexistující d sledn jší teorie. Je proto velmi významné, že nová teorie potvrzuje Hawking v jev na fundamentáln jší úrovni. Základním principem kvantové geometrie je tvrzení, že existují kvanta geometrie. To je p esn ten kousek skláda ky, která Stephenu Hawkingovi chyb la, protože uvažoval klasický prostoro as obecné teorie relativity. Ashtekar íká, že Hawking zcela nenaplnil Einsteinovu vizi, protože se kvantov zabýval pouze hmotou a energií. V kvantové geometrii je však také horizont událostí erné díry kvantován. M žeme si jej p edstavit jako povrch složený z elementárních bun k nul a jedni ek. Každá tato nepatrná bu ka odpovídá "vláknu" spinové sít , která protíná horizont událostí. V p ípad erné díry o hmotnosti Slunce 77 existuje 1077 takových vláken a proto 1010 r zných kvantových stav , které p edstavují ohromnou entropii erné díry. Zvláštní lokální charakteristiky této spinové sít tento horizont událostí definují. Když se erná díra kvantov vypa uje, tato vlákna se postupn ztrácejí. P i Hawkingov radiaci se kvanta horizontu erné díry p em ují na kvanta hmoty a energie.
656
Obr. 93
Podle Ashtekara jde p esn o napln ní Einsteinovy p edstavy, podle níž geometrie má fyzikální význam. Dokonce se p em uje v hmotu. Tento proces neprobíhá spojit , ale v celistvých krocích, protože je kvantován. erná díra se proto nesmrš uje spojit , ale chová se spíše jako excitovaný atom, který ztrácí energii po kvantech. Kvantová geometrie má ješt jeden d sledek, který Ashtekar a jeho kolegové teprve zkoumají. Umož uje se vyhnout singularitám uvnit erných d r a velkého t esku. Snad také vy eší známý paradox informace. Martin Bojowald tvrdí, že informace, která dopadá na ernou díru, se neztrácí, ale znovu se objevuje v dce inném vesmíru. Spole ným jmenovatelem ady problém se singularitami a nekone ny v nekvantové i kvantové teorii pole, jsou limitní p echody typu r→0, x→0, t→0 a pod., p i nichž hodnoty polí (nebo i metriky prostoro asu) asto divergují. Tyto limitní p echody jsou umožn ny spojitou povahou prostoro asu, v n mž m žeme chování fyzikálních polí vyšet ovat v principu až do nekone n malých m ítek geometrického bodu. V kvantové geometrii s diskrétní strukturou prostoro asu neexistují
657
limitní p echody k nulovým prostorovým vzdálenostem a asovým interval m, takže by nem ly vznikat nekone né divergující hodnoty polí a singularity prostoro asu. Poznámka: S kvantovou strukturou prostoro asu jsme se setkali již v knize Inverze lineárního asu, v rámci kvantové geometrodynamiky. Tam se ale jednalo o "indukovanou" kvantovou strukturu vzniklou použitím zákonitostí kvantové fyziky na gravitaci jakožto zak ivený prostoro as. Zde však jde o primární, axiomaticky postulovanou diskrétní strukturu prostoro asu (tak íkajíc "od Boha").
Smy ková kvantová kosmologie Aplikace na Friedmann v model vesmíru vede k tomu, že škálový faktor a je škálovým faktorem triády, a tak záporné hodnoty a neznamenají zásadní problém – záporné a ozna uje pouze jinou orientaci triády. I problém singularity má v kvantové geometrii p irozen jší ešení. Ve standardní kosmologii nebylo možné najít Hilbert v prostor vlnových funkcí, které by byly nulové v singulárním bod a = 0. V kvantové geometrii zd dí i škálový faktor a diskrétnost metrických veli in. Hamiltonovská vazba se dá vyjád it operátorem objemu, operátory aˆ a ˆ mají stejné vlastní funkce n V
aˆ n
ˆ n V
n n ,
( 2082 )
n −1 n n +1
lP3
2
2
2
.
( 2083 )
Vlnovou funkcí vesmíru je pak superpozice stav n , kde koeficienty závisí na hmotném zdroji gravitace, nap . na kvantovém skalárním poli Φ. Stavovou funkcí vyhovující hamiltonovské vazb , je tedy
sn ( Φ ) n ,
s, Φ = n
( 2084 )
658
kde s ozna uje stav geometrie, Φ stav skalárního pole. Hamiltonovská rovnice vazby nabývá tvaru rovnice diferen ní namísto rovnice diferenciální. Problém singularity je ešen tím, že koeficient singulárního stavu 0 v p íslušné rovnici je roven nule, takže singulární stav v ešení v bec nevystupuje. Volbou uspo ádání operátoru v hamiltonovské vazb se dá modelovat inflace vesmíru. Vyhnutí se singularit je podstatným rozdílem ve srovnání se semiklasickým modelem standardní kvantové kosmologie. Pro velká n se oba modely klasickému chování blíží. Dalším výsledkem smy kové kvantové kosmologie je existence minimální energie, ádov rovné Planckov energii Ep v po áte ním stavu, když je pr m r vesmíru v okolí hodnoty Planckovy délky.
Perspektiva smy kové kvantové gravitace V KQG dosud z stává neobjasn na úloha graviton v teorii a asový vývoj. Zatímco v teorii strun se gravitony objevily již v jejích po átcích (70. léta), LQG se až dosud zabývala jen t írozm rným prostorem, který se stal "p novitým". Dokud tento problém nebude vy ešen, nelze tvrdit, že byla vytvo ena kvantová verze obecné teorie relativity, pop ípad úplná kvantová teorie gravitace. as není - v duchu obecné teorie relativity - vn jší pojem nezávislý na prostoru. Z mnoha možných geometrických veli in je nutno vybrat jednu, která by sloužila jako míra asu. U jednoduchých kosmologických model se pro tuto roli nabízí nap íklad polom r vesmíru. Uspo ádaná posloupnost kvantových prostor odpovídajících rostoucím nebo klesajícím polom r m ( i jiným vhodným asovým parametr m) pak m že vést k ty rozm rnému prostoro asovému modelu. Zda z toho skute n vyjde náš p ibližn plochý prostoro as není dosud jasné, a stejn tak je problémem jeho stabilita. I kdyby se poda ilo zjistit, že náš prostoro as má mezi jinými nefyzikálními možnostmi velkou pravd podobnost, bylo by ješt t eba dokázat, že je stabilní v i malým poruchám (doufejme všichni, že tomu tak je). P i vyšet ování malých odchylek pozoroval L. Smolin (1997), že
659
poruchy mají podobu uzav ených smy ek v prostoru a že jejich asový vývoj se shoduje s tím, který nastává u jednoduchých strunových model . Budoucnost ukáže, zda n který z uvedených postup anebo n jaké sjednocení obou povede k úsp chu. Poslední slovo bude pat it p írod . Jisté nápov di mohou p inést kosmické experimenty s gravita ními vlnami, které se již dnes p ipravují. Následující velký cíl spo ívá ve spojení známé fyziky nízkých energií s fundamentální fyzikou spinových sítí. Technickým mostem mohou být stínové stavy. Tím je mín n ur itý druh projekce fyzikálních stav do graf . Bylo by ohromným úsp chem, pokud by se poda ilo známou fyziku podrobn odvodit z kvantové geometrie. Avšak ani to není všechno. Ashtekar nyní pracuje na nové formulaci kvantové teorie s cílem ješt více ji zobecnit tak, aby byla slu itelná s obecnou teorií relativity a aby ešila n které problémy své interpretace. Avšak zásadní test kvantové geometrie by m l spo ívat v jiném extrému, v popisu velkého t esku a erných d r. Kvantová fyzika nemizí velkým t eskem. Klasický prostoro as sice blízko velkého t esku zaniká, avšak spinová sí existuje dále. P edstavuje v ur itém smyslu v nost. Vesmír tedy nevzniká z "ni eho", protože "nic" jednoduše neexistuje. V tomto smyslu kvantová geometrie poskytuje filozofickou výhodu p i ešení zdánliv ne ešitelných problém . Její síla spo ívá v nezávislosti na metrice prostoro asu na pozadí. Hmota a geometrie prostoro asu totiž vznikají spole n kvantov mechanicky. erné díry a velký t esk jsou velmi exotické stavy. Snad však existuje možnost, jak testovat kvantovou geometrii pozorováním za mén extrémních podmínek. Giovanni Amelino-Camelia z Univerzity La Sapienza v ím navrhl studovat fotony s velmi vysokou energií, které se pohybují vesmírem na velké vzdálenosti, jako jsou výtrysky zá ení gama nebo zá ení z roentgenových galaxií. V zá ení se mohou vyskytovat malé odchylky dráhy, které by mohly mít p í inu v rozptylu sv telných vln na diskrétních uzlech kvantové geometrie. Podobn jako spektrum atomu, také spektrum prostoro asu není spojité, ale diskrétní. Dokud nejsou k dispozici žádná m ení, z stává kvantová geometrie arénou teoretických fyzik . V sou asnosti se základy kvantové geometrie zabývají asi dv desítky výzkumných skupin na celém sv t a bylo publikováno asi 2000 odborných lánk . Úsp ch kvantové gravitace je zna ný, avšak p esto malý ve srovnání s úsp chem teorie
660
superstrun a M-teorie. Pro srovnání, jen na serveru "e-Print archive" Národní laborato e v Los Alamos se objevují stovky odborných lánk o teorii superstrun a M-teorii m sí n . Zájem o kvantovou geometrii však postupn roste. LQG získává stále v tší popularitu a je pouze otázkou asu, zda bude plodná nebo nikoliv. Teorie superstrun interpretuje ástice jako oscilující struny a na rozdíl od kvantové geometrie popisuje všechny ty i silové interakce. Její nevýhodou však je, že ji lze formulovat pouze v 10-rozm rném nebo 11-rozm rném prostoru. P itom p edpokládá metriku klasického prostoro asu obecné teorie relativity. Dodate ný vícerozm rný prostoro as však není kvantován, což je vlastnost, která je o ekávána od úplné kvantové gravitace. Zde kvantová geometrie m že zvít zit. Roger Penrose je p esv d en, že ze všech formulací kvantové gravitace, je Ashtekarova verze nejslibn jší. Teorie superstrun p es všechny své teoretické úsp chy vyžaduje p íliš mnoho složitých p edpoklad , jako jsou dodate né rozm ry a supersymetrie, pro které nejsou žádné teoretické d vody. Navíc tato teorie neposkytuje p íliš mnoho ur itých a jednozna ných p edpov dí pro budoucí experimenty. Podle Rovelliho nastal as zkusit alternativní cestu. Francouzský spisovatel Marcel Proust kdysi napsal: "Nejlepší objevy nevznikají v neprobádaných územích, ale tehdy, když se na sv t díváme jinýma o ima."
P edpov di a testy Na rtl jsem, co má teorie LQG vypovídat o prostoru a asu v Planckov m ítku, ale v n m nem žeme asoprostor zkoumat p ímo, abychom tuto teorii ov ili. Takové rozm ry jsou pro nás p íliš malé. Jak tedy m žeme tuto teorii prov it? D ležitým testem je to, zda je možné odvodit klasickou obecnou teorii relativity jako aproximaci teorie LQG: jinými slovy, pokud jsou spinové sít podobné vlákn m v kusu látky, je tento test analogický zkoumání, zda m žeme ur it elastické vlastnosti tkaniny tak, že zpr m rujeme vlastnosti tisíc vláken, z nichž je složena. Popisují však spinové sít po zpr m rování p es mnoho Planckových délek skute n geometrii prostoru a jeho vývoj zp sobem, který se zhruba shoduje, s "hladkou tkaninou" Einsteinovy klasické teorie? Jde o složitý problém, ale nedávno výzkumníci ud lali významný
661
pokrok v n kterých specifických p ípadech, ekn me "v ur itých uspo ádáních materiálu". Nap íklad gravita ní vlny s velkou vlnovou délkou, které se ší í v jinak plochém prostoru, mohou být popsány jako vzruchy specifických kvantových stav , které popisuje teorie LQG. Dalším plodným testem je zjišt ní, co m že teorie LQG íci k dlouholetým tajemstvím gravita ní fyziky a kvantové teorie: termodynamice erných d r, a zvlášt jejich entropii, která je vztažena k neuspo ádanosti. Fyzikové spo ítali p edpov di, týkající se termodynamiky erných d r, s použitím hybridní p ibližné teorie, která nahlíží kvantov -mechanicky na hmotu, ale nikoli na asoprostor. Pln kvantová teorie gravitace, jakou je t eba LQG, by m la být schopna tyto p edpov di reprodukovat. V 70. letech usoudil Jacob D. Bekenstein, nyní inný na Hebrejské univerzit v Jeruzalém , že erným dírám musí být p ipsána entropie p ímo úm rná ploše jejich povrchu. Krátce poté Stephen Hawking odvodil, že erné díry musí vyza ovat na teplot ( 1989 ). Analýza entropie p íslušných kvantových stav na horizontu erné díry, provedená za pomoci LQG potvrdila p esn Bekensteinovu a Hawkingovu p edpov . Významnou p edpov dí LQG, je nepatrn rozdílná rychlost ší ení elektromagnetického zá ení r zné frekvence ve vakuu, v d sledku diskrétnosti prostoru, který je protkán periodickou strukturou spinových sítí. Radiace z dalekých kosmických explozí, p i nichž se v d sledku vzájemné srážky neutronových hv zd, kvarkových hv zd, i erných d r uvolní v krátkém okamžiku až 1050 J energie zá ení gama na r zných frekvencích, by nám mohla poskytnout zp sob, kterak otestovat správnost LQG. Erupce zá ení gama se odehrávají ve vzdálenostech mnoha miliard sv telných let a každý emitovaný foton se musí prodrat hustým tkanivem gravita ních smy ek spinové sít vesmíru. Diskrétní povaha prostoru p sobí, že vysokoenergetické paprsky gama se pohybují nepatrn pomaleji, než paprsky s nízkou energií. Tento efekt je zanedbatelný, ale b hem dlouhé cesty sv tla prostorem se neustále zv tšuje. Ješt donedávna chyb la k potvrzení takto slabého efektu dostate n citlivá technika. V srpnu roku 2007 však výzkumníci pracující na projektu gama teleskopu MAGIC pod vedením J. Alberta, ohlásili první
662
experimentální potvrzení tohoto jevu p edpov zeného dosud pouze teoriemi s diskrétní strukturou prostoro asu, jako je LQG, i teorie cytoprostoru, o které pojednáme dále. Teleskop studoval metodou Monte Carlo zá ení gama v rozmezí energií ádov 1010 eV až 1017 eV vyza ované vzdálenou galaxií Markarian 501 a zaznamenal index lomu prázdného prostoru indukovaný kvantovou gravitací. Tento výsledek samoz ejm vyžaduje korekci Einsteinovy teorie relativity, která p edpovídá univerzální rychlost ší ení sv tla nezávisle na frekvenci. N kolik teoretik , mezi n ž pat í Giovanni Amelino Camelia z ímské univerzity, Joao Magueijo z Královské koleje v Londýn a Lee Smolin z Perimeter lnstitute for Theoretical Physics ve Waterloo v Ontariu, vyvinulo upravené verze Einsteinovy teorie, která bere v úvahu vysokoenergetické fotony cestující r znými rychlostmi. V t chto teoriích se p edpokládá, že univerzální rychlostí ve vesmíru je rychlost nízkoenergetických foton .
Obr. 94: Radiace z dalekých kosmických explozí, zvaných erupce zá ení gama, nám nabízí zp sob, kterak otestovat správnost teorie smy kové kvantové gravitace. Erupce zá ení gama, odehrávající se ve vzdálenosti mnoha miliard sv telných let, emitují b hem velice krátké doby ohromné množství foton tvrdého zá ení gama. Podle p edpov di teorie kvantové smy kové gravitace zaujímá každý foton v každém okamžiku malou oblast spojnic ve spinové síti, jenž tvo í prostor, kterým se foton pohybuje (ve skute nosti se jedná o ohromný po et ar, ale pro jednoduchost jsme jich zde znázornili jen 5). Diskrétní povaha prostoru p sobí, že vysokoenergetické fotony se pohybují nepatrn pomaleji, než fotony s ádov nižší energií. Tento efekt, a zcela nepatrný, se b hem nep edstaviteln dlouhé cesty foton od svého zdroje až k Zemi, neustále znásobuje. Pokud fotony dorazí k Zemi s malým le m itelným asovým rozdílem odpovídajícím rozdílu v jejich energii, bude to znamenat klí ovou podporu teorii smy kové kvantové gravitace. P ístroje, uvedené do provozu po roce 2006, mají již pro takový experiment dosta ující citlivost a první výsledky vycházejí velice slibn na podporu teorie.
663
Obr. 95: Gama teleskop MAGIC (Major Atmospheric Gamma-ray Imaging Cherenkov)
664
Další možný efekt diskrétního asoprostoru zahrnuje kosmické ástice o velmi vysoké energii. P ed více než 30 lety výzkumníci p edpov d li, že protony kosmického zá ení s energií v tší než 3⋅1019 elektronvolt budou významn interagovat s reliktním pozadím, v d sledku ehož budou pom rn rychle ztrácet energii. O to v tší záhadou bylo, když japonský experiment AGASA zachytil více než 10 kosmických ástic s energií n kolik ád nad tímto limitem. To by ukazovalo na blízký intragalaktický p vod t chto ástic, který by byl ovšem na základ našich soudobých znalostí astrofyziky velmi obtížn vysv tlitelný. Diskrétní struktura prostoru však m že zvyšovat energii pot ebnou k interakci, a tak umožnit i intergalaktickým proton m z kosmických paprsk o vyšší energii dolet t až na Zemi. Pokud se pro výsledky pozorování AGASA nenajde jiné vysv tlení, m že to znamenat, že jsme již detekovali diskrétní povahu prostoru. Krom toho, že teorie LQG dokáže init p edpov di týkající se specifických jev , nap íklad vysokoenergetických kosmických paprsk , nám také otev ela okno, skrze které m žeme studovat základní otázky kosmologie, nap íklad p vod našeho vesmíru. M žeme teorii použít ke studiu samých prvopo átk asu, hned po velkém t esku. Obecná relativita p edpovídá, že existoval první asový moment, ale tento záv r nebere v úvahu kvantovou fyziku (protože obecná relativita je nekvantovou teorií). Nedávné výpo ty LQG, které provedl Martin Bojowald z Max-Planckova ústavu pro gravita ní fyziku v Golmu v N mecku ukazují, že velký t esk by mohl být vlastn velkým odrazem po p edchozím velkém smršt ní vesmíru. Teoretici nyní usilovn vyvíjejí p edpov di pro raný vesmír, které by mohly být ov eny p i budoucích kosmologických pozorováních. Není vylou eno, že se ješt osobn dožijeme d kazu existence asu p ed velkým t eskem. Podobn závažná otázka se týká kosmologické konstanty - kladné nebo záporné hustoty energie, která by mohla prostupovat "prázdný" prostor. Nedávná pozorování vzdálených supernov a mikrovlnného kosmického pozadí siln nazna ují, že tato energie existuje a že je pozitivní, což urychluje rozpínání vesmíru. Již v roce 1989, p itom Hideo Kodama z Tokijské univerzity odvodil z LQG rovnice popisující p esný kvantový stav vesmíru, který má kladnou kosmologickou konstantu.
665
V LQG z stává ješt nevy ešeno mnoho otázek. Je t eba objasnit n které technické problémy a také bychom rádi porozum li tomu, jak - pokud v bec - musí být speciální relativita v oblastech extrémn vysokých energií upravena. A kone n , rádi bychom pochopili, zda má LQG co íci ke sjednocení teorií: jsou r zné síly, v etn gravitace, jen r znými projevy jediné základní síly? Teorie strun je založena na ideji sjednocení, odborníci pracující na LQG se rovn ž pokouší dosáhnout tohoto sjednocení. LQG zaujímá velmi d ležité místo ve vývoji fyziky. Je to, velmi nad jná cesta ke kvantové teorii obecné relativity, protože ne iní žádné zvláštní p edpoklady krom základních princip kvantové teorie a teorie relativity. Pozoruhodný sm r, kterým se tato teorie vyvíjí, s p edpokladem nespojitého asoprostoru popisovaného spinovými sít mi a spinovými p nami, spíše vyplývá z matematiky samotné teorie, než aby byl do ní v le ován zvláštním postulátem.
