Pavel Hájek. Dynamické symetrie ve fyzice

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

Pavel Hájek Dynamické symetrie ve fyzice Ústav částicové a jaderné fyziky Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Pavel Cejnar, Dr., DSc. Studijní program: Fyzika Studijní obor: Obecná fyzika Praha 2011

Děkuji doc. RNDr. Pavlu Cejnarovi, Dr., DSc. za cenné rady a podnětné diskuze, které mi byly velmi prospěšné pro pochopení studované problematiky a následně při psaní mé práce.

Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle §60 odst. 1 autorského zákona. V . . . . . . . . dne . . . . . . . . . . . .

Podpis autora

Název práce: Dynamické symetrie ve fyzice Autor: Pavel Hájek Katedra (ústav): Ústav částicové a jaderné fyziky Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Pavel Cejnar, Dr., DSc. e-mail vedoucího: [email protected]ff.cuni.cz Abstrakt: Cílem této práce je zavést pojmy dynamické grupy a dynamické symetrie a studovat jejich vlastnosti na jednoduchých kvantových systémech. Konkrétně se budeme zabývat Keplerovým problémem a izotropním harmonickým oscilátorem. Dynamická symetrie je typem vyšší symetrie, která je narušena specifickým způsobem. Definujeme pojmy dynamické grupy a kvantově mechanického systému, pro které zavedeme kvantové stupně volnosti a integrabilitu. Krátce též zmíníme možnost hledání generátorů dynamické grupy jako časově závislých integrálů pohybu. Klíčová slova: dynamická symetrie, dynamické grupy, kvantová integrabilita, Keplerův problém, časově závislé integrály pohybu

Title: Dynamical symmetries in physics Author: Pavel Hájek Department: Institute of Particle and Nuclear Physics Supervisor: doc. RNDr. Pavel Cejnar, Dr., DSc. Supervisor’s e-mail address: [email protected]ff.cuni.cz Abstract: The aim of this thesis is to provide a definition of dynamical symmetry and to study its properties within simple quantum systems. In particular, I investigate Kepler’s problem and the isotropic harmonic oscillator. Dynamical symmetry is a kind of higher symmetry which is broken in a specific way. Definition of dynamical group and quantum mechanical system is presented. Subsequently, a definition of quantum degrees of freedom and quantum integrability is proposed. I mention briefly a possibility of finding the generators of dynamical group by considering time dependent constants of motion. Keywords: dynamical symmetry, dynamical groups, quantum integrability, Kepler’s problem, time-dependent constants of motion

Obsah Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Standardní pojetí symetrie . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Symetrické transformace . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Invariantní symetrie v kvantové mechanice . . . . 1.3 Invariantní symetrie Keplerova problému a LHO 2 Dynamické grupy a dynamické symetrie . . . . . . 2.1 Algebraické řešení kvantového problému . . . . . 2.2 Dynamické grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Problém kvantových čísel a kvantová integrabilita 2.4 Dynamická symetrie . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Širší souvislosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Integrály pohybu závislé explicitně na čase . . . . 3.2 Analogie v klasické mechanice . . . . . . . . . . . 4 Závěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

1 4 5 8 13 19 20 23 31 39 43 44 50 51 52

Úvod Koncept symetrie je ve fyzice a matematice velmi rozšířený a oblíbený. O universalitě a užitečnosti symetrií svědčí i nepřeberné množství publikací na toto a s ním příbuzná témata. Symetrie lze matematicky velice dobře formalizovat a sjednotit je v jednu základní matematickou strukturu, totiž v grupu. Zkoumání působení grup a jejich reprezentací je tedy hlavním matematickým odvětvím, ze kterého teorie symetrií čerpá. Historicky první systematické použití symetrií spadá do 19. století, kdy se norský matematik Sophus Lie snažil nalézt cestu, jak sjednotit metody používané k řešení speciálních typů diferenciálních rovnic. Vzniknuvší Lieova teorie s sebou přináší pojmy jako transformace přenášející řešení diferenciální rovnice a Lieova grupa transformací. Velice brzy tato teorie přešla ve známost široké fyzikální veřejnosti, a to zejména díky teorému Emmy Noetherové z roku 1915, který existenci symetrie spojuje s fyzikálními zákony zachování. Původně matematické metody dostávají hlubší fyzikální význam a ve spojení s Lagrangeovským či s Hamiltonovským formalismem se středem zájmu stávají transformace zachovávající akci či energii. Speciálně v Hamiltonovské formalismu se jedná o veličiny komutující s Hamiltoniánem, takzvané integrály pohybu. Toerém Emmy Noetherové je ovšem pouze špičkou ledovce a za poctivé zavedení a zkoumání symetrických transformací vděčíme podle textu [1] zejména Hermannu Weylovi, Davidu Hilbertovi či Felixu Kleinovi. S nástupem kvantové mechaniky se symetrie stávají ještě více přístupné a ukazuje se, že na úrovni mikrosvěta mohou být symetrie, jako například výměnná symetrie nerozlišitelných částic, jedním z fundamentálních principů přírody. Kvantově mechanický popis symetrií jakožto lineárních zobrazení na vektorovém prostoru je obzvláště jednoduchý a účinný. Celý aparát pro studium symetrií lze shrnout pod křídla jedné matematické disciplíny, totiž teorie reprezentací. Tou se zabývalo mnoho slavných toeretiků jako Élie Cartan, Eugene Wigner, Henri Poincaré či opět Hermann Weyl. V celé fyzice je dobře znám pojem prostoročasové symetrie. Ty jsou popisované Galileovou nebo Lorentzovou grupou a jakákoli fyzikální teorie musí dát prostor k jejich zachycení. Prostoročasové symetrie obsahují speciálně i transformace zahrnující čas. Avšak v textu budeme pracovat s nerelativistiskými teoriemi, kde čas nemá rovnocenné postavení jako prostorové souřadnice, nýbrž zde hraje roli evolučního parametru. Z hlediska prostoročasových symetrií se proto omezíme pouze na symetrie prostorové. Ty jsou popisovány Eukleidovskou grupou, jejíž působení generuje operátory úhlového momentu a hybnosti. Klasická mechanika svým formalizmem podporuje rozdělení na konfigurační a fázový prostor. Běžně je užíváno pojmu geometrické symetrie pro 1

všechny symetrie, které pocházejí z transformací na prostoru konfiguračním. Speciálně do této kategorie patří působení Eukleidovské grupy výše. Existují ovšem i systémy jako Keplerův problém a izotropní harmonický oscilátor, které mají symetrie vyšší. Takové symetrie operují s dynamickými veličinami, tedy s veličinami z celého fázového prostoru, a proto se jim v rámci klasické mechaniky říká symetrie dynamické. Typickým příkladem je Runge-Lentzův vektor, jemuž odpovídající symetrická transformace nepůsobí jako transformace na konfiguračním prostoru, nýbrž mixuje dohromady souřadnice a hybnosti. Symetrie klasické mechaniky jsou dnes pravděpodobně nejvíce užitečné při zkoumání integrability, kterou implikuje existence komutujících integrálů pohybu v dostatečném počtu, rovném počtu stupňů volnosti. Symetrie, jež jsou spojeny s energii zachovávajícími integrály pohybu, se nazývají invariantní symetrie. S původní Lieovou teorií souvisí ovšem ještě pojem neinvariantních symetrií, které energii nezachovávají, ale stále například přenášejí jedno řešení Hamiltonových rovnic v druhé. Vyjma jistých pokročilých teorií se však v klasické mechanice příliš neuplatňují. Hilbertův prostor kvantové mechaniky je prostorem dynamických stavů a bez udání dalších struktur nelze rozdělení na souřadnice a hybnosti uvažovat. Geometrickými symetriemi se zde obvykle míní symetrie zadané předem, čili postulované pro nějakou třídu uvažovaných systémů. Význam integrálů pohybu a invariantních symetrií je stejný jako v klasické mechanice. Klasickou mechanikou inspirovaná interpretace integrálů pohybu jako veličin zachovávajících se při vývoji systému ovšem není v kvantové mechanice preferovaná. Invariantní symetrie mají totiž kvůli jednoduchosti časové Schrödingerovy rovnice nejzávažnější důsledky pro podobu spektra Hamiltoniánu, respektive pro degeneraci energetických hladin. Na rozdíl od klasické mechaniky zde mají ovšem důležité postavení neinvariantní symetrie, což jsou zde transformace, jejichž generátory s Hamiltoniánem nekomutují, ale které například mixují vlastní stavy v různých energetickými hladinách. Ukazuje se totiž, že kvantově mechanickým problémem je výhodné se zaobírat v čistě algebraické rovině, uvažujeme-li speciální grupu neinvariantních symetrií, takzvanou dynamickou grupu. Kvantová mechanika dává nový význam též pojmu dynamické symetrie. • Původně se jednalo o vyšší symetrie“ generující náhodné degenerace. ” To je případ Keplerova problému a izotropního LHO. • V souvislosti s tím se zkoumaly systémy, u kterých je tato vyšší degenerace sejmuta jistým kontrolovaným, takzvaným dynamickým narušením symetrie. Ač již takový systém nemá původní vysokou invariantní symetrii, říkáme o něm, že má symetrii dynamickou. • Oba dva předchozí případy zahrnuje definice dynamické symetrie pomocí 2

dynamické grupy, kterou se budeme zabývat především. Tento text má tři hlavní kapitoly lišící se úhlem pohledu. 1. V první kapitole chápeme symetrie standardně, tedy jako takové transformace objektů, které je nechávají nezměněné. Zabýváme se kvantovou mechanikou, kde se tyto symetrie projevují tak, že je vůči nim invariantní Hamiltonián. Vybudujeme obvyklý aparát pro práci s invariantními symetriemi, jehož implikace pak ilustrujeme na řešení problému degenerace hladin Keplerova problému a izotropního harmonického oscilátoru. 2. Ve druhé kapitole se od kvantově mechanických invariantních symetrií vzdálíme a budeme pracovat s pojmy jako dynamická grupa a dynamická symetrie. Tyto pojmy zavedeme a ilustrujeme na příkladech. Budeme přitom sledovat ve většině kvantově mechanických textů běžné chápání těchto pojmů jako něčeho, co je užitečné při řešení kvantového problému, ale nemá se symetriemi nic společného. Na základě dynamické grupy budeme definovat kvantově mechanický model nějakého systému jako sadu struktur, které zachycují veškerou dynamiku systému. Pro kvantově mechanický model definujeme počet stupňů volnosti, integrabilitu a dynamickou symetrii. 3. Konečně ve třetí kapitole budeme na symetrie nahlížet jako na transformace přenášející mezi sebou křivky řešení příslušných evolučních rovnic kvantové a klasické mechaniky. Zkoumání takových symetrií lze provádět ze stejného úhlu pohledu jak v klasické, tak v kvantové mechanice. Upozorníme zde ale na drobné odlišnosti. Širší třídou těchto symetrií jsou symetrie závislé explicitně na čase, které generují časově závislé integrály pohybu. Tyto symetrie jsou úzce spjaty s generátory vhodné“ dynamické grupy a ” lze je použít k jejich nalezení. Bohužel rozsah práce a časové podmínky mi neumožňují tento přístup rozvést.

3

1. Standardní pojetí symetrie V této kapitole se budeme zabývat standardním pojetím symetrie jako transformace, vůči které je nějaký systém invariantní. 1. V první podkapitole připomeneme, jak bychom měli symetrii interpretovat fyzikálně a jak ji v souladu s tímto pohledem můžeme vhodně matematicky popsat. 2. Ve druhé podkapitole shrneme základní využití invariantních symetrií v kvantové mechanice, a to zejména s důrazem na uplatnění poznatků z teorie grup a reprezentací. Uvedeme a dokážeme některé matematické věty, jež lze použít při zkoumání spektra symetrického Hamiltoniánu, zejména co se degenerace hladin týče. 3. Ve třetí podkapitole prozkoumáme Keplerův problém a lineární harmonický oscilátor. Speciálně popíšeme všechny jejich invariantní symetrie, spektrum příslušných Hamiltoniánů a jejich degenerační grupy. A thing is symmetrical if there is so” mething you can do to it so that after you have finished doing it it looks the same as before.“ (Hermann Weyl)

SYMETRICKE

ASYMETRICKE

4

1.1 Symetrické transformace Je-li objekt symetrický vůči nějaké transformaci znamená to, že pozorovatelé a ani celá fyzika nejsou schopni rozlišit, zda již byla uvažovaná transformace uskutečněna či ne. Průběh této transformace lze sice popsat, ale měřením nemůžeme získat žádnou evidenci o tom, ve které fázi se transformace nachází a ani o tom, zda se transformace náhodou neděje samovolně. Počáteční a koncový stav jsou z pohledu uvažované fyzikální teorie nerozlišitelné. K popisu symetrií je potřeba porozumět dvěma pojmům, totiž co je to aktivní a pasivní transformace. První případ spíše vyhovuje matematickému uvažování a jedná se o situaci, kdy symetrická transformace transformuje jeden objekt na jiný. Oproti tomu pasivní transformace se týká změny úhlu pohledu. Jde tedy o přechod od jednoho pozorovatele k druhému. Typickým příkladem, kdy je toto x rozlišování důležité, je časový vývoj v aktivním Schrödingerově obraze a v pasivním Hex′ isenbergově obraze. Z hlediska symetrií nějaké rovnice R(x) = 0 se aktivní působení symetrické transformace chápe tak, že R(F (x)) = 0 pro každé x splňující R(x) = 0, kde F působí přímo na oby jektech x. Pasivní přístup by byl takový, že F transformuje rovnici R(x) = 0 na rovnici ˜ R(y) = 0 takovou, že y = x je její řešení, právě y′ když F (x) je řešení rovnice původní. Symetrií se rozumí to, že řešení x původní rovnice je Obrázek 1: Při pasivní transřešením pro všechny transformované rovnice, formaci se IS = {x, y} otáčí 1 ˜ neboli R(x) = 0 pro všechna x, že R(x) = 0. po směru hodinových ručiček na Ve skutečnosi se ale jedná o různou interpre- IS = {x′ , y ′}. Poloha y ′ černé 2 taci téhož. tečky je ta samá jako poloha y šeTo můžeme ilustrovat na příkladě Gali- divé tečky. Šedivá tečka je ovšem leovské invariance Newtonovské mecha- černá tečka aktivně otočená proti niky, tj. na tvrzení, že Newtonovy zákony směru hodinových ručiček. jsou stejné pro všechny pozorovatele spojené Galileovskou transformací. Pasivně bychom mohli například říci, že volně se pohybující částice je řešením příslušných Newtonovských rovnic všech pozorovatelů, kteří spolu souvisejí Galileovou transformací. Aktivně pak řekneme, že po provedení Galileovy transformace na pohyb volné částice dostaneme opět pohyb volné částice, a to v rámci jednoho pozorovatele. V kvantové mechanice jsou pozorovatelné, tj. aparáty pozorovatelů operátory ˆ na Hilbertově prostoru dynamických stavů H. Rozdílným pozorovatelům odK 5

povídají rozdílné ortonormální báze |ψi i, vůči kterým umějí pozorovatelé své pozorovatelné vyjádřit. Každé dvě báze, neboli každí dva pozorovatelé jsou spojení nějakou unitární transformací Uˆ . Označíme-li čárkou veličiny po transformaci, ˆ použít pasivně nebo aktivně. můžeme U ˆ′ = K ˆ |ψ ′ i = Uˆ |ψi , K ˆ ′ = Uˆ K ˆ Uˆ † |ψ ′ i = |ψi , K

Aktivně : Pasivně :

Význam prvního případu je zřejmý. Systém se aktivně transformuje v rámci jedné soustavy pozorovatele. Druhý případ myšlenkově odpovídá pouhé změně báze prostoru stavů na |ψi′ i = Uˆ |ψi i. Složky |ψi se musejí transformovat skrze matici ˆ † a požadavkem na transformovaný operátor K ˆ ′ je, aby inverzního operátoru U ′ ˆ působil na vektor se složkami ci vzhledem k nové bázi |ψi i stejně, jako působí K na vektor se stejnými složkami ci ovšem vzhledem k bázi původní. Vyjadřujeme tedy skutečnost, že si pozorovatel veze své měřící aparáty s sebou“, a tím pádem ” se jedná vzhledem k matematickému popisu o aparáty jiné. Navíc se snadno přesvědčíme, že takto definovaná aktivní a pasivní transformace by byly ve složkovém zápise ekvivalentní, pokud bychom v aktivnim přístupu vzali místo U inverzi U † . ˆ †. To proto, že změna báze o Uˆ je otočení vektorů o U Unitární jsou transformace proto, že jedině takové transformace zachovávají normalizaci, a tudíž pravděpodobnostní interpretaci kvantové mechaniky. Zachovávají navíc spektrum, což je něco, co identifikuje operátory jako pozorovatelné. Časový vývoj v kvantové mechanice je popsán Schrödingerovou rovnicí i

d ˆ |ψi , |ψit = H t dt

ˆ je Hamiltonián a kde jsme položili ~ = 1. Při pasivním přístupu napíše kde H druhý pozorovatel rovnici d ˆ ′ |ψi i |ψit = H t dt Jestliže pasivně chceme, aby každá křivku stavů |ψit , jež je řešením v první soustavě, byla řešením i v soustavě druhé, pak musí platit ˆ = Uˆ H ˆ Uˆ † . H ˆ |ψi Pokud na druhou stranu aktivně požadujeme, aby pro řešení |ψit bylo i U t řešení pro stejného pozorovatele, dostaneme snadno z první rovnice ˆ = Uˆ † H ˆ U. ˆ H Přímo se můžeme přesvědčit, že obě kritéria invariance jsou ekvivalentní a jedno dostaneme z druhého, uvážíme-li místo Uˆ inverzi Uˆ † . 6

Symetrie Schrödingerovy rovnice tedy určuje Hamiltonián. Kupříkladu Galileova invariance se manifestuje speciálním tvarem Hamiltoniánu volné částice, ˆ = pˆ 2 , kde jsme položili hmotnost rovnou jedné.1 totiž H 2 Stejně jako zde, tak i v celém textu až do kapitoly (3) budeme uvaˆ a časově nezávislé operátory žovat časově nezávislé Hamiltoniány H ˆ Dále bude ~ = 1, m = 1, apod. . K.

V knize [19] je kupříkladu ukázáno, jak lze z pouhého požadavku Galileovské symetrie volné částice odvodit nutný tvar jejího Hamiltoniánu. 1

7

1.2 Invariantní symetrie v kvantové mechanice ˆ neNejznámější symetrie kvantové mechaniky jsou symetrie Hamiltoniánu H, boli invariantní symetrie. Definice 1.2.1. (Invariantní symetrie) Unitární operátor Vˆ je invariantní ˆ pokud splňuje symetrií Hamiltoniánu H ˆ Vˆ † = H. ˆ Vˆ H

(1.2.1)

• Ze vztahů (Vˆ1 Vˆ2 )† = Vˆ2† Vˆ1† , Vî−1 = Vî† platných pro všechny unitární operátory Vî se ihned nahlédne, že symetrie Hamiltoniánu mohou tvořit grupy, takzvané grupy symetrie GS . • Grupou symetrie budeme nazývat libovolnou množinu unitárních invariantních symetrií uzavírající se na grupu a nemyslíme jí tudíž nutně úplnou grupu symetrie obsahující všechny symetrie. V textu se budeme zabývat výhradně Lieovými grupami G. Hilbertův prostor H je pak unitární reprezentací G. To znamená, že je dáno spojité zobrazení z abstraktní grupy G do unitárních operátorů na H zachovávající grupovou operaci. Často uvažujeme její unitární jednoparametrické podgrupy ˆ i Vˆs , Vˆ0 = I ˆ i ) , d Vˆs = −iK Vˆs = exp(−isK ds ˆ i . Těmto operátorům říkáme generátory G generované Hermitovskými operátory K a jejich počet n je roven dimenzi G. Generátory se uzavírají na Lieovu algebru se závorkou ˆ 1, K ˆ 2 ] = iK ˆ 3. [K Kromě Lieovy algebry g budeme ještě pracovat s prostorem polynomů U(g) v generátorech g. Na něj je standardně rozšířena Lieova závorka a jedná se tedy též o Lieovu algebru. V širším smyslu ale budeme mít výrazem Tˆ ∈ U(g) zkráceně na mysli to, že operátor Tˆ je funkcí generátorů G.

8

ˆ nazveme inteDefinice 1.2.2. (Integrál pohybu) Hermitovský operátor K grálem pohybu pokud ˆ H] ˆ =0 [K, (1.2.2) • Operátory Vˆs tvoří unitární jednoparametrickou grupu invariantních symeˆ integrálem pohybu. Tento základní fakt je trií, právě když je generátor K dokázán v knize [2]. ˆ i inte• Speciálně je GS grupou symetrie, právě když jsou její generátory K grály pohybu. • Z Jakobiho identity ˆ 1 , [K ˆ 2, K ˆ 3 ]] + [K ˆ 3 , [K ˆ 1, K ˆ 2 ]] + [K ˆ 2 , [K ˆ 3, K ˆ 1 ]] = 0 [K se snadno ověří, že komutátor integrálů pohybu je opět integrálem pohybu. Integrály pohybu tudíž tvoří Lieovu algebru Po připomenutí základních pojmů z teorie reprezentací následuje souhrn nejdůležitějších matematických vět, které se při studiu symetrií využívají. • Invariantní podprostor grupy G je takový uzavřený podprostor W ≤ H, že Uˆg W ⊆ W pro každé g ∈ G. • Multiplet, neboli ireducibilní reprezentace grupy G, je takový podprostor H, že neobsahuje žádné netriviální invariantní podprostory. Multiplety grupy G umí teorie reprezentací klasifikovat až na unitární ekvivalenci. Třídy ekvivalence multipletů označujeme jako [α]. ˆ který je jednak • Casimirovým operátorem grupy G míníme operátor C, ˆ polynomem v generátorech G, tedy C ∈ U(g), a který jednak se všemi generátory komutuje. Casimirovy operátory grupy G působí na multipletech jako konstanty. • Důležité jsou takzvané polojednoduché grupy G dimenze n a ranku l. Existuje pro ně l Casimirových operátorů Cî takových, že přiřazení [α] → (C1 , . . . , Cl ), kde Ci jsou hodnoty Cî na multipletu typu [α], je prosté. Říkáme, že Casimirovy operátory jednoznačně označují (číslují) ireducibilní reprezentace.

9

ˆ Věta 1.2.3. (Invariance energetických hladin) Necht’ je Hamiltonián H ˆ invariantními podprosymetrický vůči GS . Potom jsou vlastní podprostory H story GS . To slovy znamená, že všechny transformace z GS a všechny generáˆ i zachovávají energii. tory K ˆ |ψi = E |ψi a libovolný prvek g ∈ GS platí Důkaz : Pro libovolný |ψi ∈ H, že H ˆ Uˆg |ψi) = U ˆg (Uˆg† H Û ˆg ) |ψi = Uˆg H ˆ |ψi = E(Uˆg |ψi). H( ˆg |ψi má opět energii E. Pro generátory je to zřejmé. Tedy U

Věta 1.2.4. (Komutující Hermitovské integrály pohybu) Casimirovovy ˆ a mezi sebou navzájem. Kaoperátory Cˆ grupy symetrie GS komutují s H ˆ ždý Casimirův operátor generuje Hermitovské integrály pohybu Cˆ + Cˆ † , Cˆ † C, apod. . Důkaz : Že spolu Casimirovy operátory komutují je patrné z toho, že jsou funkcemi generátorů GS a přitom každý z nich se všemi generátory komutuje. Ze ˆ Hermitovskost je ze Stoneova teorému stejného důvodu s nimi komutuje i H. zaručena jen pro generátory GS , ne pro Casimirovy operátory. K důkazu věty ˆg = Cˆ pro každé si zřejmě stačí uvědomit, že Cˆ † komutuje s GS . Jestliže Uˆg† Cˆ U g ∈ GS , pak i Uˆg† Cˆ † Uˆg = Cˆ † , nebot’ Uˆg je unitární. Věta 1.2.5. (Společná báze komutujících operátorů) Necht’ spolu Hermiˆ i , i = 1, . . . , n po dvou komutují. Potom existuje společná tovské operátory K ortonormální báze vlastních vektorů. ˆ 1 příslušné Důkaz : Rozložme prostor H na vlastní podprostory Hλ operátoru K ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ vlastním číslům λ. Protože K1 K2 |ψi = K2 K1 |ψi = λK2 |ψi pro |ψi ∈ Hλ , půˆ 2 jen v rámci Hλ . Prostory Hλ se tedy rozkládají na podprostory Hλ,µ , což sobí K ˆ 1 a zároveň vlastní podprostory K ˆ 2 příslušné jsou zároveň vlastní podprostory K vlastnímu číslu µ. Dále lze postupovat indukcí podle i.

10

Věta 1.2.6. (Rozklad H na multiplety) Unitární reprezentace H grupy G L se direktně rozpadá na multiplety. Můžeme psát H = H , kde H[α] je [α] [α] direktní sumou d([α]) multipletů Hα typu [α]. Číslo d([α]) nazýváme multiplicitou [α] v H. Důkaz : Každá unitární reprezentace G je úplně reducibilní, neboli se direktně rozkládá na multiplety. Pokud celé H není ireducibilní reprezentací, pak existuje netriviální invariantní podprostor H1 . Pro uzavřený podprostor H1 existuje v Hilbertově prostoru ortogonální doplněk H2 , že H = H1 ⊕⊥ H2 . Prostor H2 je kvůli unitaritě operátorů z G také invariantním podprostorem. Jsou-li totiž g ∈ GS , |ψi ∈ H1 a |ϕi ∈ H2 libovolné, pak D E D E D E ˆg ϕ = Uˆg Uˆ † ψ | Uˆg ϕ = U ˆ † ψ | ϕ = 0, ψ| U g g protože Uˆg† |ψi je z H1 . Takto lze postupovat indukcí až k nejmenším ireducibilním reprezentacím.

ˆ symetrický Věta 1.2.7. (Multiplety jsou vlastní podprostory) Necht’ je H vůči polojednoduché grupě GS ranku l. Potom v každém H[α] existuje vlastní ˆ Speciálně když je d([α]) ≤ 1 pro každé [α], pak lze psát vektor H. ˆ = H( ˆ Cˆ1 , . . . , Cˆl ). H

(1.2.3)

ˆ komutuje se všemi Cî , existuje báze jejich společných vekDůkaz : Jelikož H torů. Společné vlastní podprostory Cî jsou přitom prostory H[α] a v nich tedy ˆ Když je d([α]) ≤ 1, pak vlastní vektory H ˆ leží v leží i vlastní vektory H. ˆ každém konkrétním Hα . Protože jsou vlastní podprostory H invariantní, musí být rovny celému Hα . Všechny Hα jednoznačně označují (C1 , . . . , Cl ), lze psát ˆ = H( ˆ Cˆ1 , . . . , Cˆl ). E = E(C1 , . . . , Cl ) a potažmo H

Definice 1.2.8. (Degenerační grupa) Degenerační grupa je taková grupa ˆ jsou přesně její multiplety. invariantních symetrií, kdy energetické hladiny H ˆ a jeho degenerace, je záhodné najít tak velZajímá-li nás spektrum H kou grupu symetrie GS , že Hamiltonián bude možné vyjádřit v jejích Casimirových operátorech. Znalost reprezentace GS na H nám pak dává všechny hodnoty 11

(C1 , . . . , Cl ) a z E = E(C1 , . . . , Cl ) i celé spektrum. Známe-li též dimenze a multiplicity multipletů (C1 , . . . , Cl ), můžeme zespoda odhadnout degenerace jednotlivých energetických hladin. Vidíme, že problém nalezení spektra a degenerace hladin lze s vhodnou grupou symetrie řešit algebraicky. Hamiltonián ale může mít nějaký speciální tvar a funkce E = E(C1 , . . . , Cl ), může například na dvou různých (C1 , . . . , Cl ) nabývat stejné hodnoty. O této situaci mluvíme jako o náhodné degeneraci. Je-li tato degenerace systematická, může to být známkou existence nějaké vyšší grupy symetrie G∗S ⊃ GS . Multiplety grupy G∗S se totiž na multiplety podgrupy GS rozkládají a v obráceném pohledu můžeme říci, že se různé multiplety GS do multipletů G∗S spojují. Takové vyšší symetrii také někdy říkáme dynamická symetrie. Typicky se vyšší symetrie nachází, když zkoumáme konkrétní systém ze třídy systémů s nějakou očekávanou geometrickou symetrií. Vyřešíme ho analytickými prostředky typickými pro danou geometrickou symetrii a teprve pak, když máme k dispozici energie vidíme, že multiplety grupy geometrické symetrie jsou systematicky degenerované. To je přesně případ Keplerova problému a izotropního harmonického oscilátoru. U těchto systému tvoří dynamická symetrie dokonce degenerační grupu.

12

1.3 Invariantní symetrie Keplerova problému a LHO Z hlediska kvantové mechaniky mají Keplerův problém a izotropní harmonický oscilátor společné to, že se jedná o systémy se sféricky symetrickým potenciálem, které jsou nezvykle hodně degenerované. Kromě standardní rotační invariance shodné pro všechny sféricky symetrické systémy zde nalézáme symetrii vůči nečekaně velké degenerační grupě, která nemá geometrický původ. V obou případech pracujeme na H = L2 (R3 ) a uvažované Hamiltoniány jsou ˆ = 1p ˆ 2 − Kq H 2 P ˆ = 1 3 ωi (ˆ H q 2 + pˆ2 ).

Keplerův problém : Lineární harmonický oscilátor :

2

i=1

i

i

Izotropní LHO je charakterizován tím, že ωi = ω pro všechna i = 1, . . . , 3. U Hamiltoniánu izotropního LHO a Keplerova problému je sférická SO(3) symetâp ˆ . Přitom rie zřejmá, nebot’ zavisejí pouze na normách vektorových operátorů q ˆ ˆ ˆ se pozorovatelné q a p při působení operátoru rotace R transformují tak, jako bychom je násobili rotační maticí R. Keplerův problém a izotropní LHO jsou rotačně invariantní. Příslušný integrál pohybu je úhlový moment ˆ =q ˆ ×p ˆ. L ˆ 2 a platí komutační relace Casimirův operátor so(3) je L î, L ˆ j ] = iεijk L ˆ k , [L ˆ 2, L ˆ z ] = 0 , [H, ˆ L ˆ 2 ] = 0 , [H, ˆ L ˆ z ] = 0. [L Kvůli těmto komutačním relacím se můžeme omezit pouze na společné vlastní ˆ L ˆ2 a L ˆ z a separovat Schödingerovu rovnici vektory ψnlm = Rnl Ylm operátorů H, na úhlovou a radiální část. Řešením úhlové části jsou sférické harmonické funkce Ylm , pro něž platí ˆ 2 Ylm = l(l + 1)Ylm , L ˆ z Ylm = mYlm . L Pro pevné celé l > 0 jsou prostory Dl = span{Ylm : m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l} multiplety SO(3), které mají dimenzi 2l + 1. Funkce Rnl a energie Enl nalezneme vyřešením radiální Schrödingerovy rovnice. Spektrum LHO je kladné a diskrétní. Spektrum Keplerova problému se dělí na diskrétní vázané stavy E < 0 a spojité spektrum E ≥ 0. 13

Vázané energie Keplerova problému a energie izotropního LHO s příslušnými degeneracemi N(q) jsou (n, l = 0, 1, 2, . . .): 2

Keplerův problém :

K Enl = − 2(n+l+1) 2 , q = n + l + 1

N(q) = q 2 , l = 0, 1, 2, . . . , q − 1

Enl = ω(2n + l + 23 ) , q = 2n + l

Izotropní LHO :

N(q) = 21 (q + 1)(q + 2) , l = 0, 2, 4, . . . , q pro q sudé, l = 1, 3, 5, . . . , q pro q liché . Je zřejmé, že systematická degenerace hladin se zde projevuje různými hodnotami l pro pevné q. Pro Keplerův problém je l = 0, 1, 2, . . . , q − 1. To by odpovídalo ˆ ± nabýval hodnotám, které by pro nějaké (zatím abstraktní) úhlové vektory J ˆ =J ˆ+ + J ˆ − v rozkladu celkový úhlový moment L j + +j −

DJ + ⊗ DJ − =

M

Dl

l=|j + −j − |

(2j + + 1)(2j − + 1) rozměrného multipletu grupy SU(2) ⊗ SU(2) na multiplety SU(2) s podmínkami ˆ + )2 = (J ˆ − )2 , q = 2j + + 1. (J Píšeme-li

(1.3.1)

ˆ ± = 1 (L ˆ ± B), ˆ J 2

dostaneme z komutačních relací [Jî+ , Jˆj+ ] = iεijk Jˆk+ , [Jî− , Jˆj− ] = iεijk Jˆk− , [Jî+ , Jˆj− ] = 0 ˆ + )2 = (J ˆ − )2 podmínky na B ˆ ve tvaru a z (J ˆ i, B ˆj ] = iεijk B ˆ k , [B î , B ˆj ] = iεijk L ˆk , B ˆ ·L ˆ =L ˆ ·B ˆ = 0. [L Je q 2 = (2j + + 1)2 = 4(j + (j + + 1) + 41 ) a z výrazu pro energii vázaného stavu dostaneme další podmínku ˆ 2 = 2H( ˆ 2 + 1) + K 2 . ˆB ˆ L −2H

(1.3.2)

ˆ = √1 Uvedené rovnice mají pro vektor B řešení a je jím B

ˆ −2H

Runge-Lentzův vektor.

14

ˆ kde A ˆ je tzv A,

Runge-Lentzův vektor ˆ Kq 1 2 ˆ −L ˆ ×p ˆ ˆ = 1 (ˆ ˆ) − ˆp − p ˆ (ˆ ˆ) + q ˆH p×L = q q·p A 2 q 2 ˆ 2 = 2H( ˆ 2 + 1) + K 2 , A ˆ ·L ˆ =L ˆ ·A ˆ = 0 a komutační relace ˆ L splňuje vztahy A ˆ = 0. ˆL ˆ k , [L ˆ i , Aˆj ] = iεijk Aˆk , [H, ˆ A] [Aî , Aˆj ] = −2iεijk H ˆ integrálem pohybu Keplerova problému. Speciálně je A ˆ na vázaných stavech již podle konstrukce, nebot’ ˆ komutuje s B Všimněme si, že H ˆ konstantní na ireducibilních reprezentacích Dj + ⊗Dj − grupy SU(2)⊗SU(2), je H ˆ ± je B ˆ vyjádřen. v jejichž generátorech J Kvůli tomu, že generátory SU(2) ⊗ SU(2) a SO(4) generují stejnou Lieovu algebru, a kvůli omezujícím podmínkám (1.3.1) na vyskytující se reprezentace dostáváme, že vázané stavy Keplerova problému mají SO(4) symetrii. ˆ je integrálem pohybu pro všechny energetické hlaRunge-Lentzův vektor A ˆ aL ˆ neuzavírají v Lieovu algebru, jak je diny. Bohužel se ale integrály pohybu A ˆ Normovaný patrné z komutačních relací v rámečku, kde v [Aî , Aˆj ] vystupuje H. ˆ lze ovšem definovat i pro spojité spektrum E > 0 a pro E = 0. Pokaždé vektor B ˆ spolu s L ˆ bází jiné Lieovy algebry, která bude generovat jinou grupu bude B symetrie. Pro E < 0, E > 0 a E = 0 definujme vektory ˆ− = √ 1 A ˆ , B ˆ 0 = A. ˆ ˆ , B ˆ + = √1 A B −2E 2E

15

ˆ ±, B ˆ 0 splňují na příslušných oborech komutační relace Vektory B î, B ˆ − ] = iεijk L ˆk [L j î, B ˆ − ] = iεijk B ˆ− [L j

j

ˆ−, B ˆ − ] = iεijk L ˆk [B i j

î, B ˆ + ] = iεijk L ˆk [L j î, B ˆ + ] = iεijk B ˆ+ [L j

î, B ˆj0 ] = iεijk L ˆk [L î, B ˆj0 ] = iεijk B ˆj0 [L

j

ˆ+, B ˆ + ] = −iεijk L ˆk [B i j

î0 , B ˆj0 ] = 0 [B

ˆ tvoří Lieovy algebry a spolu s úhlovým momentem L ˆ − : so(4) , B ˆ + : so(3, 1) , B ˆ 0 : e(3). B Casimirovy operátory so(4) a so(3, 1) jsou prvky ˆ ± )2 ∓ L ˆ 2 , Cˆ ± = B ˆ± · L ˆ = 0. Cˆ1± = (B 2 Ty generují grupu čtyřřozměrných rotací SO(4), Minkovského grupu SO(3, 1) a Eukleidovskou grupu SE(3), které jsou pro E < 0, E > 0 a E = 0 degeneračními grupami Keplerova problém.a a

Přesněji jsou degeneračními grupami O(4), O(3, 1) a E(3) = O(3) ⋉ R3 .

ˆ ± dostáváme dosazením Casimirových operátorů do A ˆ2 = S ohledem na definici B ˆ 2 + 1) + K 2 a vyřešení vzhledem k H ˆ L ˆ následující. 2H( Hamiltonián Keplerova problému pro E > 0 a E < 0 lze zapsat jako ˆ = H .

K2 ˆ ± )2 ∓ L ˆ 2 ∓ 1) ±2((B

16

=

K2 . ±2(Cˆ1± ∓ 1)

Pro izotropní LHO se nejprve definují bosonové anihilační a kreační operátory. Anihilační a kreační operátory lineárního harmonického oscilátoru 1 1 a î = √ (ˆ qi + iˆ pi ) , a ˆ†i = √ (ˆ qi − iˆ pi ) 2 2 splňují komutační relace [âi , a ˆj ] = 0 , [â†i , a ˆ†j ] = 0 , [âi , a ˆ†j ] = δij .

(1.3.3)

Generují takzvanou Heisenberg-Weylovu algebru hw(3). Hamiltonián lze zapsat jako 3 X 1 ˆ ˆ , (1.3.4) H=ω Ni + 2 i=1 î = a kde N ˆ†i a î je hermitovský operátor počtu částic splňující komutační relace î , a î , N ˆj ] = 0. [N ˆ†j ] = δij a ˆ†j , [Nî , a ˆj ] = −δij a ˆ j , [N

Známým cvičením je algebraický důkaz faktu, že spektrum LHO je ireducibilní reprezentací algebry hw(3). Existuje totiž stav s nejnižší energií |0i a všechny ostatní stavy vygenerujeme působením slov z operátorů a ˆ†i jako |n1 , n2 , n3 i = Nn1 ,n2 ,n3 (â†1 )n1 (â†2 )n2 (â†3 )n3 |0i , kde Nn1 ,n2 ,n3 je normalizační konstanta. Takový stav má energii 3 E(n1 , n2 , n3 ) = ω(n1 + n2 + n3 + ). 2 Hamiltonián (1.3.4) lze chápat jako normu kzk = z¯1 z1 + z¯2 z2 + z¯3 z3 komplexního vektoru z, kde roli zi hrají anihilační operátory a î . Normu kzk zachovávají právě všechny unitární transformace z U(3). Grupa U(3) ovšem může působit i na vektoru operátorů a ˆ†i , a to podle předpisu U aˆ†i U †

=

3 X

Uji a ˆ†j .

(1.3.5)

i=1

Protože jiné než unitární transformace normu nezachovávají, máme následující.

17

Degenerační grupou izotropního LHO je grupa U(3). Algebra u(3) se realizuje v operátorech uîj = a ˆ†i a ˆj splňujících komutační relace [ˆ uij , uˆkl ] = δjk uîl − δil uˆkj ,

(1.3.6)

P3 P ˆ ˆ = 3 N îi je Casimirovým opeCelkový operátor počtu částic N i=1 u i=1 i = rátorem U(3) a Hamiltonián lze zapsat jako ˆ = ω(N ˆ + 3 ). H 2 Pro zajímavost uveďme, že všechny výpočty provedené výše lze jak pro LHO, tak pro Keplerův problém zopakovat i v obecných n rozměrech. Geometrickou symetrií pak bude grupa SO(n) a úhlový moment bude 21 n(n − 1) rozměrný ˆ ij . V definici Runge-Lentzova vektoru zaměníme × za antisymetrický tenzor L obecnější antisymetrický produkt ∧ a dostaneme Runge-Lentzův tenzor s analogickými vlastnostmi. Degenerační grupou vázaných stavů Keplerova problému bude SO(n + 1) a degenerační grupou izotropního LHO bude U(n).

18

2. Dynamické grupy a dynamické symetrie V této kapitole se budeme zabývat operátory, které s Hamiltoniánem obecně nekomutují, ˆ K] ˆ 6= 0, [H,

ale které lze též vhodně využít. Budeme chtít dospět k obecné definici dynamické symetrie v moderním pojetí. Také budeme chtít popsat některé nejdůležitější důsledky její existence. K tomu je ovšem nutné nejprve porozumět algebraické struktuře kvantové mechaniky a dynamickým grupám. Pomocí dynamických grup definujeme kvantovou integrabilitu, která bude hlavním důsledkem existence dynamické symetrie. Kvantová integrabilita je pak zase situací, kdy existuje dostatečné množství dobrých kvantových čísel k jednoznačnému označování stavů. Struktura této kapitoly je tudíž následovná. 1. V první podkapitole budeme řešit obecný kvantový problém algebraicky. Budeme studovat, jaké operátory je potřeba přidat k integrálům pohybu tak, aby výsledná algebra byla po praktické stránce přínosná. 2. Ve druhé podkapitole definujeme pojmy dynamické grupy, čímž začneme na kvantové problémy nahlížet v rámci reprezentační teorie. Uvedeme též dostatečné množství názorných příkladů, které ovšem z důvodu udržení rozumných rozměrů této práce zde nebylo možné řešit úplně důsledně. 3. Ve třetí podkapitole definujeme úplnou množinu komutujícíh operátorů a kanonický řetězec podgrup. Budeme se zabývat tím, jak lze díky těmto pojmům jednoznačně označovat bázi prostoru stavů. V našem algebraickém pohledu dále definujeme nestandardní pojmy kvantových stupňů volnosti a integrability. Příklady také nebudou chybět. 4. Čtvrtá podkapitola je věnována dynamické symetrii, jejím implikacím a popisu dynamického narušení symetrie.

19

2.1 Algebraické řešení kvantového problému Na konci podkapitoly (1.2) jsme obecně diskutovali, jak lze ze znalosti dostatečně velké grupy invariantních symetrií vydedukovat spektrum a degenerace energetických hladin. Za jistých předpokladů nám vše vyplývalo doslova z ta” bulek“ o ireducibilních reprezentacích a tento problém jsme mohli vyřešit algebraicky. Potřebovali jsme k tomu 1. najít grupu symetrie GS , ˆ = H( ˆ Cˆ1 , . . . , Cˆl ), kde Cî jsou Casimirovy operátory GS . 2. vyjádřit H Dalším krokem k úplném řešení kvantového problému je nalezení stacionárních stavů. Pokračujíce v algebraickém duchu se budeme zabývat tím, jestli lze všechny ˆ vygenerovat z nejlépe jednoho vlastního vektoru. Tím vlastní vektory H si při řešení v mnohém ulehčíme práci a navíc úvahami provedenými zde se nám stane dostupnější pojem dynamické grupy, který se chystáme zavést v následující kapitole. Příklad 2.1.1. (Generování vlastních vektorů LHO se stejnou energií) Uvažme izotropní případ n rozměrného LHO s degenerační grupou U(n). Pro i 6= j máme například î , uîj ] = uîj , [N î , uˆji ] = −ˆ î − N ˆj , uˆ† = uˆji [N uji , [ˆ uij , u ˆji] = N ij

(2.1.1)

a vidíme, že uîj , i 6= j zdvihá a snižuje vlastní číslo operátoru i-tého počtu částic î o 1 a zároveň o 1 snižuje vlastní číslo operátoru N ˆj . Protože ale [ˆ ˆ = 0, N uij , H] uîj nemění energii. Takto lze vygenerovat celé energetické hladiny. Příklad 2.1.2. (Generování vlastních vektorů LHO s různou energií) Uvažme n rozměrný LHO s n frekvencemi ωi . Hamiltonián je Pnobecněˆ anizotropní 1 ˆ H = i=1 ωi (Ni + 2 ) a jsou splňeny komutační relace ˆ a ˆ a [H, î ] = −ωi a î , [H, ˆ†i ] = ωi aˆ†i , [âi , a ˆ†j ] = δij

(2.1.2).

Pokud je |Ei vlastní vektor s energií E, pak platí ˆ ai |Ei = ([H, ˆ a ˆ |Ei = ωi a Hˆ î ] + a î H) î |Ei + Eâi |Ei = (ωi + E)âi |Ei . Přímo z komutačních relací (2.1.2) tedy plyne, že a î /â†i snižují/zvyšují energii o hodnotu ωi . 20

U oscilátoru jsou snižující a zvyšující operátory obzvláště důležité, nebot’ jeho spektrum je generováno maximálně n elementárními energetickými rozdíly ∆i = ωi . Postupnou aplikací aî /â†i pro různé ωi na vakuum |0i skutečně na” vštívíme“ všechny energetické hladiny. Dostupnost všech stavů v jedné energetické hladině opakovaným působením prvků z Lieovy algebry u(n) degenerační grupy U(n) je implikována ireducibilností této energetické hladiny. To je pravda i o multipletech libovolné algebry.a a Ekvivalentně lze říci, že je-li H ireducibilní reprezentací g, pak pro každé dva vektory existuje prvek z U(g), který jeden přenáši na druhý.

Jako na jisté zobecnění degenerační grupy na celé spektrum je tedy možné pohlížet na následující pojem. Definice 2.1.3. (Algebra generující spektrum - SGA) Algebra generující spektrum, zkráceně SGA, je taková algebra, že Hilbertův prostor je její ireducibilní reprezentací. Příklad 2.1.4. (SGA izotropního oscilátoru) SGA izotropního oscilátoru je například Heisenberg-Weylova algebra hw(n). Protože je [ˆ uij , a ˆk ] = −δik a ˆj , [ˆ uij , â†k ] = δjk a ˆ†i , (2.1.3) tak také u(n) ⋉ hw(n) je SGA.2

Po vzoru komutačních relací (2.1.2) můžeme zkusit zvyšující a snižující operátory nalézt pro obecný systém jako řešení rovnice ˆ i , K] ˆ = ∆i K ˆ [H

(2.1.4)

ˆ i jsou všechny prvky algebry komutujících intepro nějaká reálná čísla ∆i , kde H ˆ Algebru komutujících integrálů pohybu označíme grálů pohybu Hamiltoniánu H. jako h. Obecné vlastnosti řešení rovnice (2.1.4) jsou: Algebra u(n) ⋉ hw(n) je takzvaný polopřímý součin. Ten se vyznačuje tím, že jedna algebra působí na druhou skrze závorky, viz rovnice (2.1.3). 2

21

ˆ 1 splňuje (2.1.4) s ∆1 a K ˆ 2 s ∆2 , pak • Pokud K i i ˆ i , [K ˆ 1, K ˆ 2 ]] = − [K ˆ 2 , [H ˆ i, K ˆ 1 ]] − [K ˆ 1 , [K ˆ 2, H ˆ i ]] = −∆1 [K ˆ 2, K ˆ 1 ]+ [H i ˆ 1, K ˆ 2 ] = (∆1 + ∆2 )[K ˆ 1, K ˆ 2 ]. + ∆2 [K i

i

i

Řešení rovnice (2.1.4) se tedy uzavírají na Lieovu algebru, kterou pro nyní označme jako g. • Adjunkcí vztahu (2.1.4) máme ˆ K ˆ † ] = −∆K ˆ †, [H,

(2.1.5)

ˆ s ∆ řešením, pak je jím i K ˆ † s −∆. Operátor K ˆ pak značíme a tedy je-li K + † − ˆ a operátor K ˆ jako K ˆ . jako K ˆ +, K ˆ − ] komutuje se všemi intergrály pohybu. • Ze vztahu výše máme, že [K ˆ +, K ˆ − ] ∈ h. Jelikož sem počítáme i Hamiltonián3 , je [K V těchto vztazích poznáváme takzvaný Cartanův rozklad polojednoduché Lieovy algebry g. Polojednoduchá Lieova algebra je Lieovou algebrou polojednoduché grupy. Je charakterizována svou dimenzí n, rankem l a takzvaným kořenovým systémem. Rank l označuje dimenzi takzvané Cartanovy podalgebry h, což je maximální komutatitivní podalgebra složená z diagonalizovatelných prvků. Platí matematická věta, že pro obecnou polojednoduchou Lieovu algebru g lze ˆ i ∈ h, i = 1, . . . , l a K ˆ α , pro kterou najít Cartan-Weylovu bázi g složenou z H platí komutační relace ˆ i, H ˆj] = 0 [H ˆ i, K ˆ α , ] = αi K ˆα [H

ˆ α, K ˆ −α ] = αi H î [K ˆ α, K ˆ β ] = Nα,β K ˆ α+β , (α 6= −β), [K

kde číselný vektor α = (α1 , . . . , αl ) je takzvaný kořen a jejich sada tvoří zmíněný kořenový systém. Pro ten platí, že pokud je v něm α, pak je v něm i −α, a prvky ˆ α můžeme opět rozdělit na zvyšující a snižující operátory. K Fyzikálními úvahami výše jsme tedy odvodili to, že systém zvyšujících a snižujících operátorů a příslušných integrálů pohybu může tvořit nějakou polojednoduchou Lieovu algebru. Nalezená algebra pak velmi pravděpodobně může být SGA daného systému. Proto mají polojednoduché algebry ve fyzice přední postavení a někteří autoři s předpokladem polojednoduchosti uvažovaných grup implicité pracují. 3

ˆ 3 dále. Nebo nějaký ekvivalent Hamiltoniánu, viz Keplerův problém a operátor K

22

2.2 Dynamické grupy Začněme rovnou s definicí. Důsledky a fyzikální motivaci budeme diskutovat v bodech dále. Definice 2.2.1. (Dynamická grupa) Grupu GD , jejíž je H ireducibilní reprezentací, nazveme dynamickou grupou. Srovnáním dynamické grupy GD s SGA máme: • Reprezentace SGA se nemusí exponenciovat do reprezentace nějaké grupy. • SGA nemusí být ani Lieova algebru. V úvahu přicházejí obecné asociativní algebry, superalgebry, gradované algebry v případě fermionových a bosonových systémů, apod. . • Dynamická algebra gD je speciálním případem SGA. • Generátory dynamické grupy jsou na rozdíl od prvků SGA nutně Hermitovské a mohou s nimi být spojeny měřitelné veličiny. • Počet generátoru je roven dimenzi GD , a tedy je konečný. Početní vlastnosti SGA jako Lieovy algebry a dynamické algebry jsou stejné. Dynamické grupě je ovšem připisován mnohem fundamentálnější význam, protože skrze ní zavádíme následující pojem. Definice 2.2.2. (Kvantově mechanický systém/model) Kvantově mechanickým systémem či modelem nazveme trojici ˆ (GD , H, H), ˆ je kde GD je dynamická grupa, H je její unitární ireducibilní reprezentace a H Hamiltonián vyjádřený v generátorech GD . Algebře gD říkáme algebra pozorovatelných. Při práci s kvantově mechanickým modelem vyžadujeme dodržování následujících pravidel. 1. Hermitovské prvky z U(gD ) nazýváme pozorovatelnými. 2. Komutátor dvou operátorů z U(gD ) uvažujeme jako komutátor v algebře, ne jako komutátor operátorů. Ihned odtud plynou následující pozorování. 23

• Algebraické závorky [−, −] jsou definované globálně“. To znamená, že v ” každé konkrétně zvolené ireducibilní reprezentaci GD budou generátory GD a potažmo prvky z U(gD ) splňovat stejné komutační relace. • Celá informace o dynamické struktuře“ kvantově mechanického modelu ” je obsažena v dynamické grupě a H pouze vybírá konkrétní realizovanou reprezentaci. • Podle Schurova lemmatu tvoří prvky z g ireducibilní množinu operátorů, aneb definují na prostoru stavů H jakési souřadnice“. ” • Vezmeme-li libovolný pevný nenulový vektor vakua |0i ∈ H, pak lze ke každému jinému vektoru |ψi najít prvek Tˆ ∈ U(gD ), že Tˆ |0i = |ψi. Dynamická grupa a její zvolený multiplet má tedy za úkol zachytit všechny fyzikální atributy studovaného systému. Jak lze ale k dynamické grupě vůbec přijít ? 1. Pro existující Hamiltonián ji můžeme buďto najít či vhodně zvolit. To je případ Keplerova problému a harmonického oscilátoru. 2. Můžeme ji ale také postulovat předem za účelem vybudování nějaké teorie. To je případ IBM teorie nebo SU(3) modelu (viz dále). Zkoumané Hamiltoniány pak konstruujeme pouze v generátorech GD . Navzdory tomu všemu ale musíme zdůraznit jeden bod: Dynamická grupa není definicí (2.2.1) jednoznačně určena. Zmínili jsme se o hledání dynamické grupy. Pro klasické systémy ale zjišt’ujeme, že již jednu dynamickou grupu, ač nepolojednoduchou, máme implicité zadanou. O té mluví následující příklad. Příklad 2.2.3. (Heisenbergova grupa) Klasické systémy na L2 (Rn ) jsou vybaveny ireducibilní unitární reprezentací 2n+1 rozměrné Heisenbergovy grupy Hn . Grupa Hn není polojednoduchá, nýbrž nilpotentní. Její algebra h(n), takzvaná Heisenbergova algebra,4 je generovaná 4 Heisenbergova algebra je to samé jako Heisenberg-Weylova algebra hw(n) zmíněná u LHO. Matematicky korektně je ale hw(n) komplexifikací h(n). Každopádně je ale hw(n) ≤ U(h(n)).

24

operátory polohy q, hybnosti p a imaginární jednotkou i. Ty splňují komutační relace [ˆ qi , i] = 0 , [ˆ pi , i] = 0 , [ˆ qi , qˆj ] = 0 , [ˆ pi , pˆj ] = 0 , [ˆ qi , pˆj ] = iδij . Grupa Hn nám poskytuje stavební prvky pro všechny pozorovatelné. U klasických bezespinových systémů tedy vždy vycházíme z kvantově mechanického modelu ˆ (Hn , L2 (Rn ), H) (2.2.1) Dalším typickým kvantově mechanickým modelem je spin S, totiž trojice ˆ S ), (SU(2), DS , H ˆ S = H( ˆ Sˆx , Sˆy , Sˆz ). Pro klasický kde DS je 2S +1 rozměrná reprezentace SU(2) a H Hamiltonián se spinem je kvantově mechanickým modelem5 ˆ (Hn ⊗ SU(2), L2 (R3 ) ⊗ DS , H). Následují příklady LHO, Keplerova problému a IBM modelu. U prvních dvou z nich budeme výhodnou dynamickou algebru hledat vnořenou do U(hn ). To proto, že model (2.2.1) poskytuje přílišnou redundanci, nebot’ je koncipován pro popis všech klasických modelů, a pro konkrétní systémy není příliš užitečný. Bylo by výhodné nalézt polojednoduchou dynamickou grupu se snižujícími a zvyšujícími operátory. Příklad 2.2.4. (Izotropní LHO) V článku [3] je uvedeno, že standardní dynamickou grupou n rozměrného izotropního oscilátoru je GD = Sp(2n, R) ⋉ W (n), kde W (n) je takzvaná Weylova grupa a Sp(2n, R) je grupa kanonických transformací, takzvaná symplektická grupa. Matematicky je příslušná unitární reprezentace Sp(2n, R) ⋉ W (n) na L2 (Rn ) zkonstruována v článku [4], ovšem to přesahuje rámec tohoto textu. Pro naše účely stačí to, že příslušnou Lieovu algebru lze generovat tak, že přidáme ke generátorům algebry sp(2n, R) i prvky {â†i , a ˆj , 1}. Ukažme si, jak celá situace vypadá. Symbolem G1 ⊗ G2 myslíme to, že součin různých grup G1 ⊗ G2 působí na H1 ⊗ H2 reprezentací ρ1 ⊗ ρ2 , což je tenzorový součin reprezentace ρ1 grupy G1 na H1 a reprezentace ρ2 grupy G2 na H2 . Lieova algebra grupy G1 × G2 je pak součtem g1 ⊕ g2 a stejně tak je součtem µ1 ⊗ µ2 = µ1 ⊗ I + I ⊗ µ2 i jejich reprezentace na H1 ⊗ H2 . 5

25

Generátory dynamické grupy v U(h(n)) se realizují jako dvojkombinace anihilačních a kreačních operátorů, totiž prvky uîj = a ˆ†i a ˆj , sˆ+ ˆ†i a ˆ†j , sˆ− î aˆj . ij = a ij = a Alebra sp(2n, R) = span{ˆ uij , sˆ± ij } je polojednoduchá a má dimenzi n(2n + 1). Má následující strukturu podalgeber sp(2n, R) ≥ sˆ− ˆ+ îj ij , s ij , u

u(n) ≥ uîj

so(n) ˆ ij = i(ˆ L uij − uˆji ).

Grupa Sp(2n, R) tedy obsahuje geometrickou symetrii SO(n) i degenerační grupu U(n). Komutační relace generátorů sp(2n, R) s Hamiltoniánem jsou ˆ uîj ] = 0 , [H, ˆ sˆ+ ] = 2ωˆ ˆ ˆ− ] = −2ωˆ [H, s+ s− ij ij , [H, s ij ij . Operátor sˆ+ ij excituje i-tý a j-tý oscilátor najednou a zvyšuje energii o 2ω. V energetické hladině, ke které takto z vakua dospějeme, se lze mezi všemi vlastními vektory dostat působením generátorů degenerační grupy u(n). Problémem je, že operátory sˆ+ ij lze excitovat vždy jen páry jednorozměných oscilátorů a z vakua se tudíž působením pouze prvků sp(2n, R) nemusíme dostat do všech energetických hladin. Například u jednorozměrného oscilátoru se základnímem stavem |0i je sˆ+ = a ˆ† aˆ† , sˆ− = a âˆ a vidíme, že spektrum {|ni : n = 0, 1, 2, . . .} se rozpadá na dvě ireducibilní reprezentace sp(2, R) generované vektory |0i a |1i. Proto je také dynamická grupa zkonstruována ještě připojením W (n).

26

Příklad 2.2.5. (Keplerův problém) ˆ 2, L ˆ z a Hamiltoniánu H ˆ se sféricky symetricSpolečné vlastní vektory operátorů L kým potenciálem můžeme psát jako ψnlm (q) = Rnl (r)Ylm qr , kde Rnl (r) splňují radiální Schrödingerovu rovnici 1 d2 1 d l(l + 1) rad ˆ S Rnl (r) = − − + + V (r) Rnl (r) = Enl Rnl (r). 2 dr 2 r dr 2r 2 Naším prvním cílem je tedy vyjádřit Sˆrad v prvcích nějaké algebry a převést ˆ do algebraické roviny. problém určení spektra H Je jasné, že se musíme omezit na speciální tvary potenciálu Vˆ (r). Pro obvyklé potenciály je výhodné pracovat s algebrou so(2, 1), která se podle knihy [5] realizuje v diferenciálních operátorech jako 2 ˆ 1 = − 1 r 2−α d − 1 r 1−α d + β r −α − 1 r α K 2α2 dr 2 α2 dr 2 2 ˆ 2 = −i r ∂ − i K α ∂r 2 ˆ 3 = − 1 r 2−α d − 1 r 1−α d + β r −α + 1 r α K 2α2 dr 2 α2 dr 2 2 d d ˆ = ˆ·p ˆ , r, −i dr pro α ∈ R a β ∈ C. S využitím −i dr = 1r q + 1r = i a L ˆ 2 = r2p ˆ×p ˆ, L ˆ 2 − (ˆ ˆ )2 + iˆ ˆ lze toto přepsat do tvaru v q âp ˆ jako q q·p q·p

1 −α ˆ 2 2 ˆ 1 = 1 r 2−α p ˆ K r L + − 2 2α2 2α 1 i 1 ˆ ˆ·p ˆ− 1+ K2 = q α 2 α 1 ˆ 3 = 1 r 2−α p ˆ2 + ˆ 2 − 2 r −α L K 2 2α 2α

β −α 1 α r − r 2 2

β −α 1 α r + r . 2 2

ˆ i vyjádřené v generátorech grupy Hn . S tím se nám lépe pracuje, nebot’ jsou K Operátory splňují komutační relace ˆ 1, K ˆ 2 ] = −iK ˆ 3 , [K ˆ 3 , Kˆ1 ] = iK ˆ 2 , [K ˆ 2, K ˆ 3 ] = iK ˆ 1. [K Rank so(2, 1) je 1 a existuje jeden kvadratický Casimirův operátor ˆ 2 = −K ˆ2 − K ˆ2 + K ˆ 2. K 1 2 3 ˆ2 = β + Ve zdroji [5] je uvedeno, že v realizaci so(2, 1) výše je K 27

1−α2 . 4α2

Grupa SO(2, 1) je polojednoduchá, ale nekompaktní, a její unitární reprezentace tudíž budou nekonečně rozměrné. Při jejich hledání se postupuje stejně ˆ z vezmeme K ˆ 3 a místo L ˆ ± bude jako například pro algebru so(3), akorát místo L ˆ± = K ˆ 1 ± iK ˆ 2 . Takto lze odvodit, že ireducibilní reprezentace D + (k) grupy K ˆ 3 omezeným zespoda jsou určeny celočíselným k > 0, což SO(2, 1) se spektrem K ˆ 2 , respektive K ˆ 2 = k(k − 1). Dále z tohoto je hodnota Casimirova operátoru K ˆ 3 s vlastními čísly postupu plyne, že se multiplety skládají z vlastních vektorů K ± ˆ q + k pro q = 0, 1, 2, . . ., a že operátory K zvyšují/snižují q o 1 při pevném l. Konkrétní radiální Schrödingerova rovnice Keplerova problému je 1 d l(l + 1) K 1 d2 − + − − E R(r) = 0 (2.2.2) − 2 dr 2 r dr 2r 2 r Z předchozích obecných vztahů se pro Keplerův problém používá realizace so(2, 1) ˆ 2 = l(l + 1), k = l + 1 a vlastní číslo q operátoru s β = l(l + 1) a α = 1. Tedy K ˆ 3 je q = k, k + 1, . . .. Po dosazení dostáváme generátory K 1 d2 1 d l(l + 1) 2 ˆ ˆ − rˆ) = K1 = (ˆ −r 2 − rp + −r 2 2 dr dr r d ˆ ˆ − i = i −r − 1 K2 =ˆ q·p dr d2 1 d l(l + 1) 1 2 ˆ ˆ + rˆ) = −r 2 − rp + +r K3 = (ˆ 2 2 dr dr r Vynásobením rovnice (2.2.2) zleva poloměrem r můžeme ekvivalentně psát 1 ˆ ˆ ˆ ˆ (K3 + K1 ) + E(K3 − K1 ) − K R(r) = 0 (2.2.3) 2 ˆ 2 ), kde tanh(θ) = Tuto rovnici lze unitární transformací exp(−iθK na tvar √ ˆ 3 − K)R(r) ˜ = 0. ( −2E K

E+ 21 . E− 21

převést

Z toho plyne to, že radiální část vlnové funkce lze hledat jako vlastní vektory ˆ 3 , a že lze psát operátoru K 2 2 ˆ = − K , Enl = − K . H ˆ2 2q 2 2K 3

Srovnáním s dříve obdrženým vztahem pro energii musí být q = n + l + 1 , n = 0, 1, . . ., nebot’ spektrum se dosud provedenými operacemi muselo zachovat. Opeˆ 3 je někdy ekvivalentně brán jako náhrada H, ˆ protože se jejich záměnou rátor K 6 nic nezmění. 6

ˆ 3 vyskytuje také. Říká se mu regularizovaný Keplerův problém V klasické mechanice se K

28

Dynamická grupa Keplerova problému musí obsahovat degenerační grupu SO(4) a grupu SO(2, 1) generující řešení radiální Schrödingerovy rovnice. Podle článku [7] je vhodná dynamická grupa SO(4, 2), která má následující generátory ˆ =ˆ ˆ L q×p

ˆ =1q ˆ p2 − p ˆ (ˆ ˆ) − q·p N 2 ˆ =1q ˆ p2 − p ˆ (ˆ ˆ) + M q·p 2 ˆ =ˆ ˆ. Γ rp

1 ˆ q 2 1 ˆ q 2

ˆ 1 = 1 (ˆ r pˆ2 − rˆ) K 2 ˆ 2 =ˆ ˆ −i K q·p ˆ 3 = 1 (ˆ r pˆ2 + rˆ) K 2

ˆ nebot’ ten komutuje s K ˆ 3 . Grupa Runge-Lentzův vektor odpovídá prvku N, SO(4, 2) je 15-ti rozměrná, ranku 3 a nazývá se konformní grupa Minkovského prostoročasu. Její netriviální komutační relace jsou:

so(3, 1) so(3) ˆ i, L ˆ j ] = iεijk L ˆk [L

î , N ˆj ] = iεijk L ˆk [N î, N ˆj ] = iεijk N ˆk [L so(4) so(2, 1)

ˆ i, M ˆ j ] = −iεijk L ˆk [M î, M ˆ j ] = iεijk M ˆk [L î , M ˆ j ] = iδij K ˆ2 [N ˆ 2, N î ] = −iM î [K ˆ 2, M ˆ i ] = iN î [K ˆ 2, L ˆ i] = 0 [K so(4, 1)

ˆ 1, K ˆ 2 ] = −iK ˆ3 [K

ˆ 3, M ˆ i ] = −iΓ î [K ˆ 1, N î ] = iΓ î [K ˆ ˆ î [Γi , Γj ] = −iεijk L î, M ˆ j ] = −iK ˆ3 [Γ î, N ˆj ] = −iK ˆ1 [Γ ˆ i , Lj ] = iεijk Γ ˆk [Γ ˆ 1, Γ ˆ i ] = iN î [K ˆ 3, Γ ˆ i ] = iM î [K

ˆ 2, K ˆ 3 ] = iK ˆ1 [K

ˆ 3, K ˆ 1 ] = iK ˆ2 [K

Grupa SO(4, 2) má bohatou strukturu podgrup. Například degenerační grupu ˆ a N, ˆ SO(2, 1) generovaná K ˆ i a SO(4, 1) generovaná SO(4), která je generovaná L ˆ ˆ ˆ ˆ L, N, M a K2 . Vázané stavy |nlmi Keplerova problému jsou skutečně ireducibilní reprezenˆ ± měnící energii q při pevném l lze totiž vybrat vhodně tací SO(4, 2). Kromě K ˆ N ˆ měnící l při pevném q. prvky generované L,

29

Příklad 2.2.6. (Model interagujících bosonů) Podle článku [11] je jednou z nejhezčích aplikací algebraické teorie model interagujících bosonů (IBM), který se používá k popisu rotací a vibrací atomového jádra. Dynamická grupa je definována jako GD = U(6). Grupa U(6) se realizuje v bosonových anihilačních a kreačních operátorech {ˆbi , ˆb†i } stejně jako u LHO. Je tedy n o H = span Ni1 ,...,iN ˆb†i1 ˆb†i2 . . . ˆb†iN |0i : ij ∈ {1, . . . , N} ,

kde Ni1 ,...,iN je normalizační konstanta.7 Hamiltoniány se uvažují v obecném tvaru s jednočásticovou a dvoučásticovou interakcí ˆ = E0 + H

X

ǫα,β uˆα,β +

α,β

1 X uˆα,β,γ,δ uˆα,β uˆγ,δ . 2 α,β,γ,δ

(2.2.4)

Požadavkem aby byl (2.2.4) hermitovský, požadavkem rotační invariance a dalšími omezeními z IBM teorie se tvar Hamiltoniánu dále specifikuje. Celkem zbude 7 volných parametrů IBM Hamiltoniánu, které určují jeho vlastnosti.

7

Jedná se tedy o část HSN = Sym(H0⊗N ) symetrického Fokova prostoru s H0 = C6 .

30

2.3 Problém kvantových čísel a kvantová integrabilita Abychom mohli postoupit dále, je nutné pochopit následující pojem a jeho význam. Demonstruje také odlišnost v matematickém a fyzikálním chápání reprezentací. Definice 2.3.1. (Úplný systém komutujících operátorů) Systém koˆ i : i = 1, . . . , M} nazveme úplným mutujících Hermitovských operátorů {K systémem komutujících operátorů, ÚSKO, jestliže společné vlastní hodnoty (K1 , . . . , KM ) jednoznačně označují bázi H. • Při řešení problému kvantových čísel hledáme takové ÚSKO, které algebraicky komutuje s Hamiltoniánem (Hamiltonián může být prvkem tohoto ÚSKO) a je složeno z pozorovatelných z U(gD ). Vlastní čísla (K1 , . . . , KM ) operátorů z ÚSKO jsou pak dobrými kvantovými čísly, která jednoznačně označují bázi stacionárních stavů. • Kdybychom znali bázi stacionárních stavů |ψi i, pak bychom mohli vzít operátor X ˆ = K j |ψj i hψj | , j

který by byl sám o sobě ÚSKO komutujícím jako operátor na H s operátoˆ Pro rozumné využití je tedy nutné hledat prvky ÚSKO již v algebře rem H. pozorovatelných s globálně platnými komutačními relacemi.

• Předchozí bod je v souladu s chápáním kvantového systému. Prostor H je prostorem dynamických stavů, který nahlížíme skrze algebru pozorovatelných. Uvažujeme tedy kompatibilní“ v rámci algebry komutující pozorova” telné a potřebujeme jich takové množství, aby jejich souběžně naměřitelná vlastní čísla dávala o systému úplnou informaci. Vycházíme tedy z předpokladu, že dopředu neznáme konkrétní podobu reprezentace, a abychom mohli napsat matice příslušné operátorům z gD potřebujeme nejprve určit bázi H, a to jakoby zevnitř algebry pozorovatelných. Maximální počet algebraicky nezávislých a algebraicky komutujících integrálů ˆ je omezen vlastnostmi dynamické algebry gD . pohybu Hamiltoniánu H V teorii reprezentací se standardně volí báze multipletu H polojednoduché algebry gD dimenze n a ranku l jako báze složená ze společných vlastních vektorů komutujících hermitovský operátorů z l rozměrné Cartanovy podalgebry 31

h ≤ gD . Kvantovým číslům (K1 , . . . , Kl ) se pak říká váhy. Pokud platí, že hoˆ i } ⊂ h ÚSKO. Pokud ne, dota (K1 , . . . , Kl ) odpovídá jedinému vektoru, tvoří {K pak podle zdrojů [6], [7] a [8] lze tuto množinu vždy na ÚSKO doplnit 21 (n − 3l) takzvanými Racahovými operátory z U(gD ). Celkem má tato ÚSKO tudíž M0 =

n−l 2

(2.3.1)

prvků, což je zaručeno algebraicky. Tato ÚSKO tedy řeší vždy problém kvantoˆ funkcí pouze prvků z Cartanovy podalgebry a h je pak vých čísel, pokud je H jeho komutující množinou operátorů. To ale není obyklé, a proto tento postup zobecňujeme rozkladem reprezentace G na podreprezentace vhodného řetězce jejích podgrup. Definice 2.3.2. (Kanonický řetězec podgrup) Řetězec podgrup G0 = GD ⊃ G1 ⊃ . . . ⊃ Gn je kanonický, jestliže platí: 1. Ireducibilní reprezentace [λ] grupy Gi se vyskytuje v ireducibilní reprezentaci [µ] grupy Gi−1 maximálně jednou pro všechny vyskytující se reprezentace [µ] a [λ]. 2. Grupa Gn je Abelovská. • Je nám známo, že reprezentace grupy Gi se direktně rozkládá na multiplety její podgrupy Gi+1 . • První bod v definici pak zajišt’uje, že postupujeme-li při rozkladu zleva doprava tak, že si v dosaženém multipletu typu [λi ] grupy Gi vybereme multiplet typu [λi+1 ] grupy Gi+1 a na něj postoupíme, bude mít posloupnost ([λ0 ], [λ1 ], . . . , [λn ])

(2.3.2)

jednoznačné zakončení právě v jednom multipletu grupy Gn . • Druhý bod v definici říká, že nejmenší multiplety Gn budou jednorozměrné paprsky. • Necht’ jsou všechny Gi polojednoduché ranku li a tudíž různé typy multipletů [λi ] grupy Gi číslují hodnoty li Casimirových operátorů (Ci1 , . . . , Cili ). Značku (2.3.2) číslující bázi H lze pak nahradit vektorem vlastních hodnot (C11 , . . . , C1l1 , C21 , . . . , C2l2 , . . . , Cn1 , . . . , Cnln ), které na daném vektoru nabývají Casimirovy operátory Cˆjα . 32

(2.3.3)

Kanonický řetězec tedy dává přirozené ÚSKO {Cˆ1α } ∪ {Cˆ2α } ∪ . . . ∪ {Cˆnα }

(2.3.4)

vybírající některou bázi. ˆ se všemi Cˆ j komutuje, speciálně je funkcí některých z nich, pak ÚSKO Pokud H i (2.3.4) kanonického řetězce řeší problém kvantových čísel. Řetězec podgrup, který nesplňuje první podmínku definice (2.3.2) nazýváme nekanonickým řetězcem. Množina operátorů (2.3.4) pak sama o sobě ÚSKO tvořit nebude a bude tudíž existovat více vektorů označených jednou sadou čísel (2.3.3). Vzniká problém takzvaných missing labels“. ” Podle již citovaných zdrojů [6], [7] a [8] lze Casimirovy operátory (2.3.4) libovolného řetězce podgrup GD vždy doplnit na ÚSKO a co víc, operátorů v ÚSKO bude opět M0 . ÚSKO nějakého řetězce podgrup lze tedy vždy volit ve tvaru {Cˆ1α } ∪ {Cˆ2α } ∪ . . . ∪ {Cˆnα } ∪ {Jî },

(2.3.5)

kde {Jî } jsou nějaké operátory komutující s Cîj takové, že doznačují případná missing labels“. Aby tato ÚSKO řešila problém kvantových čísel, již nestačí, aby ” Hamiltonián komutoval se všemi Cˆjα . Nic by pak totiž nezaručovalo, že by měl komutovat i s Jî . Speciálně když je Hamiltonián funkcí jen Cˆjα , pak automaticky s Jî komutuje a ÚSKO nekanonického řetězce řeší problém kvantových čísel. Zatím jsme vše uvažovali v algebraickém smyslu a přitom se na konkrétní reprezentaci může stát, že některé operátory v tomto M0 prvkovém ÚSKO budou úplně degenerované. Když takové prvky z ÚSKO vypustíme, zbylé operátory ˆ lze číslem ÚSKO zůstávají nadále. Pro kvantově mechanický model (GD , H, H) M označit počet úplně nedegenerovaných operátorů ÚSKO, který je nejmenší, bráno přes všechny ÚSKO příslušné všem možným řetězcům podgrup. Zřejmě bude platit M ≤ M0 .

Nyní můžeme přistoupit k novým pojmům.

Definice 2.3.3. (Kvantové stupně volnosti) Pro kvantově mechanický ˆ označme symbolem M nejmenší počet úplně nedegenerovamodel (GD , H, H) ných operátorů v ÚSKO příslušných všem možným řetězcům podgrup. Pak M nazveme počtem kvantových stupňů volnosti.

33

Definice 2.3.4. (Kvantová integrabilita) Řekneme, že kvantově mechaˆ je kvantově integrabilní, pokud existuje M algenický systém (GD , H, H) ˆ braicky nezávislých algebraických integrálů pohybu H. Podle zdroje [7] lze M dobrých kvantových čísel integrálů pohybu integrabilního systému vždy doplnit na ÚSKO. Platí tedy: ˆ má ÚSKO jejímiž prvky je M inteKvantově integrabilní systém (GD , H, H) grálů pohybu s M dobrými kvantovými čísly. Následují příklady na řetězce podgrup a označování stacionárních stavů dobrými kvantovými čísly, respektive na kvantovou integrabilitu. Příklad 2.3.5. (Harmonický oscilátor) Pro izotropní harmonický oscilátor ve třech rozměrech máme řetězec Sp(6, R) ⋉ W (3) ⊃ U(3) ˆ} {N {q}

⊃

SO(3) ˆ 2} {L {l}

⊃

SO(2). ˆz } {L {m}

Casimirovy operátory dynamické grupy neuvažujeme, nebot’ jsou stejně na spektru konstantní. Tento řetězec obsahuje geometrickou SO(3) symetrii a degeneraˆ L ˆ 2, L ˆ z } vybírá bázi stacionárních stavů |nlmi, že ční grupu U(3). ÚSKO {N, ˆ |nlmi = q |nlmi , L ˆ 2 |nlmi = l(l + 1) |nlmi , L ˆ z |nlmi = m |nlmi , N

přičemž 3 ˆ H |nlmi = ω q + |nlmi . 2 Izotropní LHO má 3 kvantové stupně volnosti a je integrabilní. Lze volit ještě jiný řetězec takový, že část U(3) ⊃ SO(3) ⊃ SO(2) řetězce výše nahradíme za U(3) P ⊃ U(1) ⊗ U(1) ⊗ U(1). Jednotlivé U(1) jsou generovány 3 ˆ ˆ ˆ ˆ î , že N ˆ = operátory N i=1 Ni a {N1 , N2 , N3 } tvoří druhé ÚSKO. Spektrum ˆ včetně vlastních podprostorů zůstává stejné, jen jeho bázi nyní tvoří stavy H |n1 n2 n3 i, že 3 î |n1 n2 n3 i = ni |n1 n2 n3 i , H ˆ |n1 n2 n3 i = ω n1 + n2 + n3 + N |n1 n2 n3 i . 2 î s L ˆ2 a L ˆ z nekomutují, a že tudíž báze Lze ověřit, že tyto jednotlivé operátory N |n1 n2 n3 i nerespektuje SO(3) symetrii. 34

Příklad 2.3.6. (Keplerův problém) Pro číslování vázaných stacionárních stavů |nlmi Keplerova problému se používá řetězec SO(4, 2) ⊃ SO(4) ⊗ U(1) ⊃ SO(3) ⊃ SO(2) 2 ˆ3 ˆ4 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2} ˆz } {C , C , C } {L + N , N · L, K3 } {L {L 0

0

0

{−3, 0, 0}

{q 2 − 1, 0, q}

{l}

{m}

ˆ odpovídá Runge-Lentzovu vektoru A, ˆ je ze vztahů odvozených v podProtože N ˆ ·L ˆ nulový. Hodnota druhého Casimirova kapitole (1.3) Casimirův operátor N 2 2 2 ˆ +N ˆ =K ˆ 3 − 1 = q 2 − 1. Efektivně tedy stačí jako ÚSKO operátoru SO(4) je L ˆ 3, L ˆ 2, L ˆ z }, která na |nlmi působí jako použít sadu {K ˆ 3 |nlmi = (n + l + 1) |nlmi , L ˆ 2 |nlmi = l(l + 1) |nlmi , L ˆ z |nlmi = m |nlmi . K

Keplerův problém má 3 stupně volnosti a je kvantově integrabilní. Systematicky je algebraická struktura nejenom vázaného, ale i spojitého spektra Keplerova problému popsána v článku [16]. V knize [2] je pak ukázáno, jak lze Keplerův problém separovat ještě v parabolických souřadnicích a dospět k ˆ 3, L ˆ3, N ˆ3 }. To by v našem formalizmu odpovídalo změně řetězce od ÚSKO {K SO(4) ⊗ U(1) doprava na SO(4) ⊗ U(1) ⊃ SO(2) ⊗ SO(2), kde SO(2) ⊗ SO(2) ⊂ SO(4). Spektrum Hamiltoniánu včetně vlastních podprostorů by bylo samozřejmě stejné, jen nová báze by nerespektovala SO(3) symetrii.

Příklad 2.3.7. (Částice se spinem) V případě částice se spinem S čísluje kanonický řetězec SU(2) ⊃ U(1) bázi |SMS i prostoru DS . Řetězec můžeme popsat jako SU(2) ⊃ U(1) {S} {MS }. L a větvící pravidla8 jsou DS = SMS =−S span{|SMS i}. Pro dvě částice se spinem máme dva neekvivalentní kanonické řetězce I : SU(2) ⊗ SU(2) ⊃ SO(2) ⊗ SO(2) {S (1) , S (2) } {MS (1) , MS (2) } 8

To je termín používaný pro rozklad reprezentace grup na její podgrupy.

35

II : SU(2) ⊗ SU(2) {S (1) , S (2) }

⊃

SU(2) {S}

⊃

SO(2). {MS }

Řetězec I odpovídá standardnímu rozkladu DS (1) ⊗DS (2) na bázi vlastních vektorů (1) (2) Sˆz a Sˆz z Cartanovy podalgebry so(2) ⊕ so(2). V tomto případě je multiplicita každé váhy (MS (1) , MS (2) ) jedna a řetězec je skutečně kanonický s bází (1) (2) S S MS (1) MS (2) . (2.3.6) ˆ = Řetězec II odpovídá vnoření SU(2) do SU(2) ⊗ SU(2) skrze celkový spin S (1) (2) ˆ +S ˆ . Jedná se o kanonický řetězec. Větvící pravidla jsou známá S DS (1) ⊗ DS (2) =

S (1) +S (2) M

DS

S=|S (1) −S (2) |

a báze je očíslována jako (1) (2) S S SMS .

(2.3.7)

Obě neekvivalentní báze (2.3.6) a (2.3.7) spojují Clebsch-Gordanovy koeficienty, které lze též získat z algebraické teorie. ˆ S = λS(1) · S(2) a řetězec Řetězec II použijeme například pro Hamiltoniány H ˆS = H ˆ S (Sˆz(1) , Sˆz(2) ). I pak pro H

Příklad 2.3.8. (SU(3) model) V částicové fyzice je dobře známý SU(3) model pro klasifikaci baryonů a mezonů. Grupa SU(3) má dimenzi 8 a rank 2. Počet stupňů volnosti je tudíž 3. V analogií s Pauliho maticemi pro su(2) je su(3) generována prvky − 21 iλj , j = 1, . . . , 8, kde λi jsou hermitovské Gell-Mannovy matice       0 1 0 0 −i 0 1 0 0 λ1 =  1 0 0  , λ2 =  i 0 0  , λ3 =  0 −1 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0       0 0 1 0 0 −i 0 0 0 λ4 =  0 0 0  , λ5 =  0 0 0  , λ6 =  0 0 1  1 0 0 i 0 0 0 1 0     0 0 0 1 0 0 1    0 0 −i 0 1 0 . λ7 = , λ8 = √ 3 0 i 0 0 0 −2 36

Cartanova algebra je tvořena prvky λ3 a λ8 , ve fyzice ale spíše isospinem Tˆ3 = 1 λ a hypernábojem Yˆ = √13 λ8 . Casimirovy operátory su(3) nás příliš nezají2 3 mají, nebot’ většinou pracujeme jen s několika málo jejími ireducibilními reprezentacemi, které značíme nejvyšší vahou (λ, µ), blíže viz [9]. První nalezeným řetězcem podgrup grupy SU(3) je tedy I : SU(3) (λ, µ)

K0

⊃ U(1) ⊗ U(1) {Y, MT }

Y

K+

1

π0, η

π−

π+

M -1 1 T − poskytující vlastní vektory |αY MT i, kde α je nějaký missing label“. ” Konkrétní ireducibilní reprezentaci zná¯0 -1 K K− zorňujeme v (MT , Y ) grafu, ve kterém kolečky značíme multiplicitu stavu |αY MT i. Žádné Obrázek 2: Mezonový oktet. Čáskolečko znamená, že se |αY MT i v reprezen- tice π 0 má T = 1 a částice η má taci nevyskytuje. Obecně platí, že váhy na T = 0. kontuře vzniknuvšího obrazce mají multiplicitu 1 a s každou další obsazenou vrstvou blíže ke středu (MT , Y ) = (0, 0) se multiplicita stavů |αY MT i v této vrstvě zvyšuje o 1. Je je tedy jasné, že řetězec I není pro dimenzi reprezentace větší než tři kanonický a že je třeba dalšího identifikátoru. Proto se používá kanonický řetězec 1 2

II :

SU(3) (λ, µ)

⊃ U(1) ⊗ SU(2) {Y, T }

⊃

1 2

SO(2). {MT }

Novým kvantovým číslem je celkový spin T nahrazující α a stavy označujeme |T Y MT i. Jak zavedení T řeší situaci s vícenásobnou multiplicitou je patrné z obrázku mezonového oktetu, tj. osmirozměrné ireducibilní reprezentace. Jako třetí bázi můžeme zvolit III :

SU(3) (λ, µ)

⊃

SU(2) ⊃ SO(2) {T } {MT }.

¯ 0 mají Ta je ovšem také nekanonická, nebot’ například K 0 a K − , resp. K + a K 0 + 0 − ¯ a K . O vnoření stejné T a MT ale Y = 1 u K a K , zatímco Y = −1 u K SUn+m ⊃ SU(n) ⊗ SU(m) se lze blíže dozvědět v knize [10] a o SU(3) modelu konkrétně v knize [9].

37

Příklad 2.3.9. (Volná částice) Dynamická grupa volné částice v Rn je Hn a integrály pohybu hledáme v U(h(n)). Komutující množina z U(h(n)) by měla mít (vycházeje z analogie v klasické mechanice) velikost maximálně n. Počet stupňů volnosti je tedy M = n a volná částice je integrabilní, nebot’ s jejím Hamiltoniánem komutuje n složek hybnosti. Vlastní vektory jsou |pi a je 2 ˆ |pi = p |pi . pî |pi = pi |pi , H 2

38

2.4 Dynamická symetrie Dynamická symetrie ve slibovaném moderním pojetí je speciální situací, která na první pohled s klasickou představou symetrie jako transformace, při jejímž působení se něco nemění nesouvisí. Formalismus kvantově mechanického modelu však na dynamickou symetrii přímo navádí. Definice 2.4.1. (Dynamická symetrie) Řekneme, že kvantově mechanický ˆ má dynamickou symetrii, pokud existuje řetězec podgrup systém (GD , H, H) GD ⊃ G1 ⊃ . . . ⊃ Gn takový, že Hamiltonián lze zapsat jako ˆ = H( ˆ Cˆ1α , . . . , Cˆnα ), H kde Cîα jsou Casimirovy operátory grupy Gi . • Grupou invariantní symetrie (ne nutně degenerační grupou) je ta nejmenší podgrupa Gi , na jejichž Casimirových operátorech Hamiltonián netriviálně závisí. • ÚSKO řetězce podgrup určuje bázi stavů v H jako |Ci = |{C1α }, {C2α}, . . . , {Cnα }i .

ˆ1 a H ˆ 2 s dynamickou symetrií vzhledem k témuž řetězci pak Hamiltoniány H mají stejné vlastní vektory lišící se jen energií ˆ 1 |Ci = E1 (C) |Ci , H ˆ 2 |Ci = E2 (C) |Ci . H

ˆ1 a H ˆ 2 jsou stejně analyticky řešitelné. Téty vlastnosti říkáme, že H • Definice zobecňuje dynamickou symetrii“ ve smyslu vyšší symetrie Keple” rova problému a izotropního LHO, nebot’ jak Hamiltonián Keplerova problému, tak Hamiltonián LHO jsou vyjádřeny v Casimirových operátorech svých degeneračních grup. Je výhodné celou situaci uvažovat z pohledu takzvaného dynamického naruˆ 1 , který lze zapsat v Casimirošení symetrie. Vezměmě například Hamiltonián H vých operátorech G1 , speciálně je vůči G1 symetrický. Dále uvažme Hamiltonián ˆ2 = H ˆ 1 + αCˆ H 39

ˆ 2 již invariantní vůči G2 ⊂ G1 , kde Cˆ je Casimirův operátor G2 . Hamiltonián H není invariantní vůči G1 , ale má dynamickou symetrii řetězce G1 ⊃ G2 . Jaké výhodné skutečnosti tento fakt implikuje ? ˆ 1 jsou poskládány z ireducibilních reprezentací [α] • Energetické hladiny H grupy G1 . Díky tomu, že G2 je podgrupa G1 , tak se tyto reprezentace rozˆ 1 je vůči G2 též symetrický, padají na reprezentace [β] grupy G2 . Protože H ˆ tak lze vlastní vektory H1 volit vzhledem ke G2 jako |ν[α][β]i, kde ν jsou nějaká další kvantová čísla. Původní vlastní vektory |ν[α][β]i Hamiltoniˆ 1 s energií E (1) ([α]) zůstávají vlastními vektory H ˆ 2 , pouze s jinou ánu H energií E (2) ([α], [β]) . ˆ která závisí jen • Energie E (2) ([α], [β]) a E (1) ([α]) se liší jen o hodnotu C, ˆ 1, na [β]. Dynamické narušení symetrie tedy sejme G1 -degeneraci spektra H ovšem energetické hladiny se štěpí kontrolovaně. Důležitým důsledkem existence dynamické symetrie je následující věta. Věta 2.4.2. (Dynamická symetrie implikuje integrabilitu) Má-li sysˆ dynamickou symetrii, pak je kvantově integrabilní. Dynamické tém (GD , H, H) narušení symetrie zachovává kvantovou integrabilitu. Důkaz : Navažme na úvahy v předchozí kapitole ohledné ÚSKO z Casimirových operátorů řetězce podgrup. Je-li řetězec, vůči němuž má systém dynamickou symetrii, kanonický, pak ÚSKO tvoří přímo operátory (2.3.3). Je-li řetězec nekanonický, pak ÚSKO (2.3.5) obsahuje navíc {Jî }, které se všemi Cî komutuje, ale ˆ = H( ˆ Cˆ α , . . . , Cˆ α ) komutuje i s H. ˆ Podle definice kvantových stupňů kvůli H m 1 volnosti je počet nedegenerovaných prvků v těchto ÚSKO větší nebo roven M a speciálně z nich lze vybrat M komutujících integrálů pohybu.

Jsou známy příklady kvantově integrabilních systémů bez dynamické symetrie. ˆ s M stupni volnosti. Uvažme obecný kvantově mechanický systém (GD , H, H) Obvykle zkoumáme systémy s nějakou předepsanou grupou geometrické symetrie GS . Tedy • Všechny Hamiltoniány jsou vůči GS invariantní. • Všechny řetězce podgrup volíme tak, aby procházely GS . 40

GD

GS

Gn

r Obrázek 3: Předepsaná geometrická symetrie GS . Klasifikací řetězců mezi GD a GS pak můžeme nalézt systémy s dynamickou symetríí, které jsou invariantní vzhledem ke GS . Počet stupňů volnosti nám ale omezuje počet nedegenerovaných Casimirových operátorů vyšších grup symetrie. Pro sféricky symetrické potenciály máme neekvivalentní řetězce Keplerova problému a LHO Sp(6, R) ⋊ W (3) ⊃ U(3) ⊃ SO(3) ⊃ SO(2) SO(4, 2) ⊃ SO(4) Příklady na dynamickou symetrii lze z těchto řetězců konstruovat snadno a nemá smysl je rozebírat. Místo toho uveďme příklady jiné. Příklad 2.4.3. (Dynamické symetrie IBM modelu) V modelu IBM se používají následující tři neekvivalentní řetězce    U(5) ⊃ O(5)  O(6) ⊃ O(5) ⊃ SO(3) ⊃ SO(2) U(6) ⊃   SU(3)

Hamiltoniány s dynamickou symetrií se tedy dělí na tři typy. Díky tomu, že máme stejnou dynamickou grupu, můžeme tvořit Hamiltoniány závislé na prvcích z různých řetězců, takzvané přechodové systémy. Vše závisí na volbě zmíněných sedmi paramtetrů, viz příklad (2.2.6). Blíže o IBM modelu viz článek [11]. Příklad 2.4.4. (n rozměrný systém)

ˆ na H = Cn . Vzhledem k vlastní bázi |ψi i hψj | Mějme libovolný Hamiltonián H ˆ uvažme definující reprezentaci U(n). Potom je GD = U(n). Hamiltoniánu H ˆ které zřejmě Uvažme projekční operátory Pîj = |ψi i hψj | na vlastní stavy H, tvoří bázi u(n). Hermitovské operátory Cˆk = Pˆ11 + Pˆ22 + . . . + Pˆkk

41

reprezentují nějaké Casimirovy operátory podgrup U(k) grupy U(n). To proto, že 0 i>k 0 j>k ˆ ˆ ˆ ˆ Ck Pij = , Pij Ck = ˆ ˆ Pij i ≤ k Pij j ≤ k a tedy Cˆk komutuje se všemi Pîj , i, j ≤ k, což jsou generátory U(k). Dostáváme řetězec podgrup U(n) ⊃ U(n − 1) ⊃ {Cn } {Cn−1 }

... ⊃

U(1) {C1 }.

Ten je očividně kanonický, což můžeme přímo ověřit. Operátor Cˆk je nulový na |ψi i pro i = k + 1, . . . , n a roven jedné na |ψi i pro i = 1, . . . , k. Stav |ψi i je tedy jediný takový, že (Cn−1 , Cn−2 , . . . , C1 ) = (1, 1, 1, . . . , 1, 0, 0, 0, ), kde poslední jednička je na k-té pozici zleva. Hamiltonián lze zapsat jako ˆ = H

n X i=1

Ei Pîi = E1 C1 + E2 (C2 − C1 ) + E3 (C3 − C2 ) + . . . + En (Cn − Cn−1 ) =

=(E1 − E2 )C1 + (E2 − E3 )C2 + . . . + (En−1 − En )Cn−1 + En . Je tedy vyjádřen v prvcích Cî , i = 1, . . . , n − 1 a podle definice (2.4.1) má dynamickou symetrii vzhledem k řetězci výše. Při správné volbě vnoření podgrup U(k) do U(n) lze dosáhnout i toho, že tento řetězec obsahuje libovolnou grupu symetrie, nebot’ ta se projevuje rovností nějakých dvou energetických hladin, a tedy možností jejich U(2) promíchání. Pracovali jsme s libovolným Hamiltoniánen a ukázali jsme tedy, že s dynamickou grupou U(n) by byl každý takový Hamiltonián integrabilní. Z toho vidíme, jak hodně integrabilita závisí na zvolené dynamické grupě. Každý Hamiltonián, jakožto operátor na Cn , má podle výše uvedené dynamickou symetrie na řetězec U(k + 1) ⊃ U(k). Tento výsledek se ovšem týká umělého systému s dynamickou grupou U(n).

42

3. Širší souvislosti V kvantové mechanice je patrné odcizení pojmů dynamická grupa či dynamická symetrie od významu symetrie jako transformace, která zachovává nějaký objekt. Účelem této kapitoly je naznačit, že lze hledat jisté analogie v klasické mechanice, které by s těmito pojmy mohly souviset. • V první podkapitole zmíníme kvantově mechanické integrály pohybu závislé na čase, kteréžto jsou někdy spojovány s generátory dynamické grupy. S těmi jsou spojeny časově závislé symetrie časové Schrödingerovy rovnice, které by mohly dát dynamickým grupám standardní význam symetrií jako transformacím přenášejícím mezi sebou řešení evolučních rovnic. • Druhá podkapitola je úvahová a zamyslíme se nad tím, co by mohlo být analogií dynamického narušení symetrie v klasické mechanice.

43

3.1 Integrály pohybu závislé explicitně na čase ˆ = K( ˆ Tˆ1 , . . . , Tˆn ) zapsaný v generátorech Tî dynamické Vezměme operátor K grupy GD . Pro jeho časový vývoj v Heisenbergově obraze můžeme psát ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ itHˆ Tˆ1 e−itHˆ , . . . , eitHˆ Tˆn e−itHˆ ) = K(t) =eitH K( T1 , . . . , Tˆn )e−itH = K(e ˆ Tˆ1 (t), . . . , Tˆn (t)). =K(

ˆ Operátor K(t) vykazuje explicitní závislost na čase, pokud ˆ ˆ Tˆ1 (t), . . . , Tˆn (t), t) = K ˆ t ((Tˆ1 (t), . . . , Tˆn (t)), K(t) = K( ˆ ˆt† K ˆ t (Tˆ1 , . . . , Tˆn )U ˆt . Formální závislost K ˆ t na generátorech dynaneboli K(t) =U mické grupy se tudíž také mění s časem. • Všimněme si, že časový vývoj kvantově mechanického systému je pouze změnou reprezentace gD z Tî na unitárně ekvivalentní reprezentaci gD operátory Tî (t). • Explicitní závislost generátorů na čase naopak znamená, že se s časem vyvíjí i dynamická algebra, tedy gD → (gD )t . To můžeme chápat jako jistou deformaci této algebry. • S použitím řetízkového pravidla a Heisenbergovy evoluční rovnice dostaneme ˆ ˆ d ˆ ∂K ∂K d ˆ ˆ K(t)] ˆ K(t) = K = i[H, + (t). t+ dt dt ∂t ∂t Následující věta spojuje integrály pohybu definované výše s časem se zachovávajícími veličinami. Věta 3.1.1. (Teorém Emmy Noetherové v kvantově mech. verzi) ˆt , K ˆ0 = K ˆ platí Pro obecný časově závislý operátor K ˆ t |ψi = hψ| K ˆ |ψi ⇔ hψ|t K t

ˆ d ˆ ˆ K ˆ t ] + ∂ Kt = 0. (3.1.1) K(t) = 0 ⇔ i[H, dt ∂t

ˆ t se s časem nemění podél časového vývoje každého Slovy: střední hodnota K ˆ ˆ |ψi ∈ H, právě když K(t) = K(0), právě když je splněna poslední rovnice. ˆ Operátor Kt nazveme časově závislý integrál pohybu.

44

ˆ t, G ˆ t ] dvou časově závislých integrálů pohybu dostaneme • Pro závorku [K ˆ ˆ ˆ t] ˆ [K ˆ t, G ˆ t ]] = − i[G ˆ t , [H, ˆ K ˆ t ]] − i[K ˆ t , [G ˆ t , H]] ˆ = [G ˆ t , ∂ Kt ] + [ ∂ G t , K i[H, ∂t ∂t ∂ ˆ ˆ = − [K t , Gt ]. ∂t Časově závislé integrály pohybu se tedy uzavírají v Lieovu algebru. ˆ t je časově závislým integrálem pohybu, právě když přenáší • Operátor K každé řešení |ψit Schrödingerovy rovnice na jiné její řešení. Je totiž ! ˆt ∂ ˆ ∂K ˆ tH ˆ |ψi = [H, ˆ K ˆ t] + K ˆ tH ˆ |ψi = H ˆK ˆ t |ψi . i Kt |ψit = i +K t t t ∂t ∂t Uvážením časově závislých integrálů pohybu se tudíž navracíme zpět k původnímu smyslu symetrií v Lieově teorii. Otázka 1: Existují časově nezávislé generátory symetrií evoluční rovnice, které nejsou invariantními symetriemi ? • V kvantové mechanice ne. Z podkapitoly (1.1) víme, že býti časově ne” závislou invariantní symetrií“ je ekvivalentní býti časově nezávislou symet” rií Schrödingerovy rovnice“. Při použití operátoru časového vývoje můžeme toto zapsat jako ekvivalenci ˆ K] ˆ = 0 ⇔ Vˆs U ˆt Vˆ † = Uˆt [H, s

, pro vsechna t a s,

ˆ kde Vˆs = exp(−isK). • V klasické mechanice ano. Lze ukázat, že podmínka toho, aby transformace generovaná funkcí F na fázovém prostoru přenášela řešení Hamiltonových rovnic, je {F, H} = C, kde C je konstanta.9 Invariantní, energii zachovávající transformace přitom musejí splňovat {F, H} = 0. Příklad 3.1.2. (Jednorozměrný oscilátor klasicky) Pro jednorozměrný LHO je H = ω2 (q 2 + p2 ). Vyřešíme-li rovnici C = {F, H} =

∂F ∂H ∂F ∂H ∂F ∂F − = ωp − ωq , ∂q ∂p ∂p ∂q ∂q ∂p

Přenášení řešení Hamiltonových rovnic transformací generovanou F je ekvivalentní tomu, že [XF , XH ] = 0, kde XH a XF jsou takzvaná Hamiltonovská vektorová pole příslušná H a F . 9

45

dostaneme

C F (q, p) = atg ω

ω q , G(q, p) = (q 2 + p2 ). p 2

Funkce F generuje jednoparametrické grupy symetrií označené parametrem s.10 Pro pevné s je změna enegie dH = {F, H} = C , ∆E = ∆s. ds Graficky celá situace vypadá tak, že trajektorie ve fázovém prostoru R2 jsou kružnice s poloměrem určeným energií. Jediné integrály pohybu, tj. funkce konstantní podél kružnic, jsou již z geometrického pohledu funkce závisející na poloměru, tj. na energii. Pole XF je normálou ke kružnicím a příslušná transformace zvětšuje/zmenšuje poloměr. Víme, že kvantová mechanika uvažuje vektory z H až na fázi“. Zkusíme ” ˆ tedy prozkoumat jednoparametrické grupy unitárních operátorů Vˆs = exp(−isK), které splňují obecnější předpis Vˆs Uˆt Vˆs† = eistC Uˆt ,

(3.1.2)

kde C je konstanta. Derivací tohoto vztahu podle t máme Û ˆt Vˆ † = isCeistC U ˆt − ieistC H Û ˆt . −iVˆs H s

(3.1.3)

Odtud pro t → 0 dostáváme předně ˆ Vˆ † = −sC + H ˆ ⇔ [H, ˆ Vˆs ] = sC Vˆs . Vˆs H s

(3.1.4)

Derivací (3.1.3) podle s dostaneme ˆH ˆ Uˆt Vˆ † + Vˆs Uˆt H ˆK ˆ Vˆ † = iCeistC U ˆt − stCeistC U ˆt + tCeistC H ˆ Uˆt , −Vˆs K s s odkud máme limitou (s, t) → (0, 0) komutační relaci ˆ K] ˆ = iC. [H,

(3.1.5)

Infinitezimální generátory operátorů splňujících zobecněný transformační vztah (3.1.2) tedy splňují komutační relaci (3.1.5), která odpovídá případu {K, H} = C. ˆ |ϕi = E |ϕi dostáváme díky vztahu (3.1.4) Pro vlastní vektor |ϕi, že H ˆ Vˆs |ϕi = ([H, ˆ Vˆs ] + Vˆs H) ˆ |ϕi = CsVˆs |ϕi + E Vˆs |ϕi = (E + sC) |ϕi , H 10

Takzvaný tok ϕs pole XF .

46

tedy Vˆs přenáší stacionární stav s energií E a na stacionární stav s energií E +sC. Nejsou tedy tyto speciální operátory splňující (3.1.5) součástí dynamické grupy ve smyslu grupy obsahující transformace, které přenášejí vektory mezi různými energetickými hladinami ? Mohly by být, ale vzhledem k tomu, že pro ∆E 6= 0 může být energetický rozdíl ∆E = sC prakticky libovolný a unitární operátor nemůže nenulový vektor zobrazovat na nulu, musel by mít Hamiltonián spojité spektrum. V klasické mechanice jsou ovšem spojitá spektra samozřejmostí a není se čemu divit, že funkce F splňující {F, H} = C existují. Otázka 2: Nesouvisejí s generátory dynamické grupy časově závislé integrály pohybu ? ˆ t je • Snadno se ověří, že pro časově závislý integrál pohybu K ˆ t = e−it∆ K ˆ ⇔ [H, ˆ K] ˆ = ∆K. ˆ K

(3.1.6)

Podle konstrukce v podkapitole (2.1) bychom takto mohli dostat nějaké ˆ 0. generátory dynamické grupy jako K

• V článku [3] tento přístup rozvíjí a v knize [12] dokonce dynamickou grupu jako algebru časově závislých integrálů pohybu v t = 0 definují. V článku [3] rovněž navrhují postup, jak lze časově závislé integrály pohybu hledat, totiž skrze zobecněný teorém Emmy Noetherové v Lagrangeovské verzi pro časově závislé variace. Pro Keplerův problém skutečně naleznou SO(4, 2) a pro izotropní LHO Sp(2n, R) ⋉ W (n). Věta 3.1.3. (Zobecněný teorém Emmy Noetherové v Lagrangeovské verzi) Pro Lagrangián L(qi , q˙i , t) uvažme obecné variace souřadnic qi (t) → qi (t) + δqi (t) ,

δqi (t) = fi (qj (t), q˙j (t), t).

Jestliže lze výslednou variaci Lagrangiánu δL zapsat jako δL =

d Ω, dt

pro nějakou funkci Ω, pak je veličina Kt =

X ∂L i

∂ q˙i

časově závislým integrálem pohybu. 47

δqi − Ω

(3.1.7)

Následující příklad je úplně převzat z článku [3] a ilustruje postup autorů při hledání generátorů dynamické grupy. Příklad 3.1.4. (LHO v jedné dimenzi) Lagrangián je L = dostáváme

1 2 (q˙ 2

− q 2 ). Uvážením variace δq = f (t)q˙ + g(t)q + h(t),

∂L ∂L δq + (δq). = ∂q ∂ q˙ ˙ =(−q)(f q˙ + gq + h) + q( ˙ f˙q˙ + f q¨ + gq ˙ + g q˙ + h).

δL =

¨ + h = 0, lze psát Pokud jsou splněny podmínky f˙ = −2g, g¨ + 4g = 0 a h 1 1 ˙ Ω = f q˙2 + (g˙ − f )q 2 + hq. 2 2

(3.1.8)

Pro funkce f , g, h máme vyřešením těchto podmínek f =i(Ae2it − B −2it ) + C g =Ae2it + Be−2it

h =Deit + Ee−it , kde A, B, C, D, E jsou libovolné konstanty. Dosazením do vzorce (3.1.8), následně do (3.1.7) a uvážením libovolnosti integračních konstant dostáváme 1 2 i 2 2 ± 2 H = (p + q ) , Kt = ∓ (p − q ) + qp e∓2it , Ft± = (p ± iq)e∓it . 2 2 Tyto funkce splňují jak v t, tak v t = 0 komutační relace {K + , K − } = 4iH , {H, K ± } = ∓2iK ± , {H, F ± } = ∓iF ± {F + , F − } = −2i , {K ± , F ± } = 0 , {K ± , F ∓ } = 2F ± .

Skrze princip korespondence {−, −} → 1i [−, −] obdržíme příslušné kvantově mechanické generátory. Porovnáním s našimi předchozími výsledky pro oscilátor máme K ± ≃ sˆ± a F ± ≃ aˆ† /â. ˆ je operátor definovaný předpisem Zdá se ovšem, že pro libovolný operátor K ˆt = U ˆt K Û ˆt† K 48

časově závislým integrálem pohybu, nebot’ ˆt ∂K ˆ Uˆt K Û ˆt† + iUˆt K ˆH Û ˆt† = −i[H, ˆ K ˆ t ]. = −iH ∂t To by odpovídalo klasické mechanice, kde má systém na 2n rozměrném prostoru 2n časově závislých integrálů pohybu, které reflektují počáteční podmínky. V kvantově mechanickém modelu hrají roli dynamických souřadnic generátory Tî dynamické grupy. Každý systém má tudíž za algebraicky nezávislé časové integrály pohybu ˆt Tî Uˆt† = e−itHˆ Tî eitHˆ . (Tî )t = U Pokud bychom tedy definovali dynamickou algebru jako algebru časově závislých integrálů pohybu (Tî )t v t = 0, pak sice dostaneme generátory dynamické grupy, ale jedná se o definici cyklickou. ˆ, p ˆ a Autoři článku [3] ovšem vycházeli z klasických systémů s operátory q hledali tudíž vhodnější“ dynamickou grupu. Srovnáním s jejich výsledky zjišt’uji, ” ˆ t = e−it∆ K ˆ že veškeré jejich časově závislé integrály pohybu byly též ve tvaru K pro nějaké ∆. Domnívám se tudíž, že za vším stojí omezení tvaru variace, která je lineární v souřadnicích a v rychlostech.

49

3.2 Analogie v klasické mechanice Klasická mechanika pracuje s Hamiltonovskými systémy (M, {−, −}, H), kde M je varieta, {−, −} Poissonovy závorky a H Hamiltonián. To nás navádí na zkoumání korespondence (M, {−, −}, H)

≃

ˆ (GD , H, H).

Jen pro zajímavost uveďme, že v knize [13], která se zabývá speciálně Keplerovým problémem, dochází autor při jistém procesu zvaném redukce z klasického Keplerova problému také ke grupě SO(4, 2). A to tak, že jakoby faktoruje původní fázový prostor podle grupy symetrie SO(4). V článku [7] pracují naopak a s pomocí dynamické grupy kvantově mechanického systému se snaží konstruovat jeho klasický ekvivalent“. Na tom pak ” zkoumají neintegrabilní systémy. Je tedy možné, že symetrické vlastnosti obou systémů, jakožto transformace přenášející jednu trajektorii v prostoru dynamických stavů na druhou a jejich komutační relace by byly v ekvivalentních Hamiltonovských systémech a kvantově mechanických systémech podobné. Hledáme-li analogii dynamické symetrie v klasické symplektické mechanice, stačí se omezit na integrabilní systémy s n stupni volnosti. V tom případě existuje n komutujících integrálů pohybu Ii , že Hamiltonián lze zapsat jako H = H(I1 , . . . , In ), a že omezené trajektorie systému se linou pouze po torech označených jako I = (I1 , . . . , In ).11 . Platí, že n je maximální počet komutujících integrálů pohybu, ale že Hamiltonián může mít až 2n − 1 integrálů pohybu, z nichž ne všechny spolu komutují. Existence více nežli n integrálů pohybu má důsledky pro periodicitu drah. Systém s 2n − 1 integrály pohybu má například všechny omezené trajektorie uzavřené. Uzavřené trajektorie ale znamenají, že se jich na jednom toru se stejnou energií vyskytuje více, na rozdíl od případu, kdy existuje právě n komutujících integrálů pohybu a torus I je hustě vykryt právě jednou dráhou. To je analogie degenerace energetických hladin v kvantové mechanice, a proto bývají Keplerův problém a izotropní LHO každý s 5 ti nezávislými integrály pohybu i v klasické mechanice nazývány maximálně degenerované sféricky symetrické systémy.12 Analogií dynamického narušení vyšší symetrie by mohlo být například přičtení Ii k jejich Hamiltoniánům, které tory nezmění, ale jejich degenerace klesne. .

Tory jsou podvariety fázového prostoru, na nichž je I konstantní. Toto je obsahem známé Liouville-Arnoldovy věty. 12 Dokonce jiné maximálně degenerované sféricky symetrické systémy podle známé věty o uzavřených trajektoriích z klasické mechaniky neexistují. 11

50

4. Závěr V práci byly studovány invariantní a dynamické symetrie a dynamické grupy. Jako poměrně přirozený se jeví pojem kvantově mechanického systému. Jednak je pro něj možné definovat kvantové stupně volnosti a kvantovou integrabilitu a jednak odpovídá představě, že systém nahlížíme zvenčí algebrou pozorovatelných. Dynamická grupa generuje spektrum Hamiltoniánu a je tak přínosná po početní stránce. Dovoluje také zavést dynamickou symetrii. Dynamická symetrie zahrnuje jednak vyšší symetrii Keplerova problému a LHO a jednak případ dynamického narušení symetrie. Existence dynamická symetrie má příznivé důsledky. Především je systém s dynamickou symetrií kvantově integrabilní a jako takový je analyticky řešitelný. Jeho spektrum je dále odvoditelné ze znalosti hodnot, které nabývají Casimirovy operátory příslušného řetězce podgrup na jednotlivých multipletech. Krátce jsem se též zabýval souvislostí dynamických grup a časově závislých integrálů pohybu a analogií v klasické mechanice. Časově závislé integrály pohybu mezi sebou přenášejí řešení Schrödingerovy rovnice. Ty z nich, které se dají nalézt zobecněným teorémem Emmy Noetherové poskytují v případě LHO a Keplerova problému generátory dynamických grup. Závěrem lze říci, že problematika symetrií je velice široká a na některé otázky v tomto textu nejsou doposud podány jasné odpovědi. Dostupná literatura se dynamickými grupami a dynamickými symetriemi zabývá spíše jen z početního hlediska a jejich intuitivní význam a původ nevysvětluje.

51

Literatura [1] K. Brading, E. Castellani, Symmetry and Symmetry Breakings, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2008 http://plato.stanford.edu/archives/fall2008/entries/symmetry-breaking/ [2] J. Formánek, Úvod do Kvantové Teorie I, II, 2. vydání, Academia Praha, 2004 [3] O. Casta˜ nos, A. Frank, R. Lopez-Pe˜ na, Noether’s theorem and dynamical groups in quantum mechanics, J. Phys. A: Math. Gen. 23, 1990, 5141-5151 [4] G. Burdet, M. Perrin, M. Perroud, Generating Functions for the Affine Symplectic Group, Comm. Math. Phys., Vol. 58, Number 3, 1978, p. 241-254 [5] G. W. F. Drake (Ed.), Springer Handbook of Atomic, Molecular and Optical Physics, Springer Verlag, 2006, p. 87-100 [6] N. Burić, Quantum Degrees of Freedom, Quantum Integrability and Entanglment Generators, arXiv:1003.5184v1, 2010 [7] Wei-Min Zhang, Da Hsuan Feng, Quantum Nonintegrability in Finite Systems, Physics Reports 252, 1995, p. 1-100 [8] R. Campoamor-Stursberg, Embeddings of Lie algebras, contractions and the state labelling problem, arXiv:0805.2981v1, 2008 [9] W. Greiner, B. Müller, Quantum Mechanics: Symmetries, 2nd. Edition, Springer Verlag, 2001 [10] J.-Q. Chen, J. Ping, F. Wang, Group Representation Theory for Physicists, 2nd Edition, World Scientific Publishing, 2002 [11] F. Iachello, Algebraic methods in quantum mechanics with applications to nuclear and molecular structure, Nuclear Physics A, Vol. 560, Issue 1, 12 July 1993, p. 23-34

52

[12] A. Frank, P. Van Isacker, Algebraic Methods in Molecular and Nuclear Structure Physics, A Wiley-Interscience Publication, John Wiley, 1994, p. 445-481 [13] B. Cordani, The Kepler Problem, Progress in Mathematical Physics, Birkhäuser Verlag, 2010 [14] A.O. Barut, Dynamical Group Quantitization, Reports on Mathematical Physics, Vol. 11, 1977, p. 401-413 [15] D. J. Rowe, J. L. Wood, Fundamentals of Nuclear Nodels: Foundational Models, Vol. 1. World Scientific Publishing, 2010, p. 143-161 [16] H. Kleinert, Group Dynamics of the Hydrogen Atom, Lectures in Theoretical Physics, edited by W.E. Brittin and A.O. Barut, Gordon and Breach, N.Y. 1968, p. 427-482. [17] J.P. Elliott, P.G. Dawber, Symmetry in Physics, Vol. 1,2, The Macmillan Press, 1979 [18] K. W. McVoy, Symmetry Groups in Physics, Rev. Mod. Phys. Vol. 37, Issue 1, 1965, p. 84–104 [19] L. E. Ballentine, Quantum Mechanics: A Modern Development, World Scientific Publishing, 1998 [20] R. Goodman, N. R. Wallach, Symmetry, Representations, and Invariants, Springer Verlag, 2009 [21] Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://www.wikipedia.org

53

Pavel Hájek. Dynamické symetrie ve fyzice

Recommend Documents