1. M ení ve fyzice, soustava jednotek SI Fyzika a její rozd lení: a) podle metod práce - experimentální - teoretická - po íta ové modelování b) podle zkoumaných proces i forem pohybu
- mechanika - molekulová fyzika - termodynamika - elekt ina a magnetismus - optika - kvantová fyzika - atomová a jaderná fyzika - astrofyzika c) podle velikosti zkoumaných objekt - fyzika makrosv ta - fyzika mikrosv ta - fyzika megasv ta (zkoumá vesmír) d) podle cíl zkoumání - aplikované fyzikální obory
M ení fyzikálních veli in: Rozd lení m icích metod: 1) - p ímé (délka, teplota, …) - nep ímé (hustota, m rná tepelná kapacita, …) – užitím fyzikálních vztah z hodnot jiných nam ených veli in 2) - statické (hodnota veli iny – z klidového stavu systému) - dynamické (hodnota veli iny – z pohybu systému) 3) … Chyby m ení: - systematické (soustavné) … nedokonalost smysl , m idel, m icích metod - hrubé … omyl, únava, … - náhodné …p sobení náhodných vliv (nedá se vylou it) Každá m ená veli ina je zatížena nep esností m ení.
Ur ení hodnoty fyzikální veli iny p ímým m ením (jedna z možností užívaná p i dostate ném po tu m ení): 1 n 1. Ur ení aritmetického pr m ru x z nam ených hodnot x1 , x 2 , , x n x = . xi a n i =1 sm rodatné odchylky s jednoho m ení s =
1 n 2 . ( xi − x ) n − 1 i =1
2. Ur ení mezní chyby (užitím 3s-kritéria) a vylou ení hrubých chyb – tozn., že ze souboru nam ených hodnot vylou íme ty, které se od pr m ru x liší o více než 3.s (ze zbylých hodnot se musí x a s vypo ítat znovu)
3. Ur ení sm rodatné odchylky aritmetického pr m ru s( x ) =
n 1 2 . ( xi − x ) n.(n − 1) i =1
4. Zaokrouhlení sm rodatné odchylky aritmetického pr m ru (zpravidla na jednu až dv platné cifry) a aritmetického pr m ru (podle sm rodatné odchylky) 5. Zápis výsledku m ení x = x ± s( x ) s(x ) a ur ení relativní chyby ρ ( x ) = .100% x 6. Pokud výsledek zapíšeme v podob x = x ± 3.s (x ) , kde 3.s( x ) je mezní chyba, pak je skute ná hodnota veli iny x v intervalu ( x − 3.s( x ) ; x + 3.s( x ) ) s pravd podobností 3.s( x ) .100% . 99,7%. V tom p ípad je relativní mezní chyba ε ( x ) = x
--------------------------------------------------------------P íklad ur ení tlouš ky x sklen né desky: íslo Nam ené hodnoty Odchylka xi od x 2 i m ení xi x = x i i mm mm mm2 1. 2,32 -0,018 0,000324 2. 2,35 +0,012 0,000144 3. 2,37 +0,032 0,001024 4. 2,31 -0,028 0,000784 5. 2,33 -0,008 0,000064 6. 2,36 +0,022 0,000484 7. 2,35 +0,012 0,000144 8. 2,34 +0,002 0,000004 9. 2,33 -0,008 0,000064 10. 2,32 -0,018 0,000324 10 ∆ + = +0,080 2 ∆ i = 0,003360 x = 2,338 mm i =1 ∆ − = -0,080 1 10 2 1 . ∆i = .0,003360mm ≈ 0,019mm 10 − 1 i =1 9 • Žádná z nam ených hodnot se od x neliší více než o 3.s ≈ 0,060 mm. • Sm rodatná odchylka s( x ) aritmetického pr m ru a její zaokrouhlení na jednu platnou
• Sm rodatná odchylka jednoho m ení: s =
10 1 1 2 . ∆i = .0,003360mm ≈ 0,00611mm ≈ 0,006mm 10.(10 − 1) i =1 90 • Zápis výsledku m ení: x = (2,338 ± 0,006) mm s(x ) 0,006 • Relativní chyba: ρ (x ) = .100% = .100% ≈ 0,25% ≈ 0,3% x 2,338 --------------------------------------------------------------_________________________________________________________________________
cifru: s( x ) =
Pozn. 1.: Do chyby výsledku je t eba zapo ítávat i chybu m idla (její význam je analogický jako sm rodatná odchylka aritmetického pr m ru). Ta se ur uje nap .
jako polovina nejmenšího dílku na stupnici (milimetrové délkové m idlo, teplom r,…), hodnota udávaná výrobcem (digitální váhy, …), hodnota vypo ítaná podle pokyn výrobce na základ jím udané t ídy p esnosti (elektrické m icí p ístroje), … Pozn. 2.: Termínu „sm rodatná odchylka“ je ekvivalentní termín „absolutní 5. ∆ + chyba“. Lze ji vypo ítat dostate n p esn také podle vzorce s( x ) = . 3n. n − 1 Pozn. 3.: N kdy m že posta it jen nejjednodušší zp sob zpracování výsledk m ení (viz následující postup): x + x 2 + ... + x n 1 n 1. Aritmetický pr m r: x = 1 = . xi n n i =1 n
2. Pr m rná odchylka: ∆x = 3. Zápis výsledku:
i =1
x = x ± ∆x
xi − x n
4. Pr m rná relativní odchylka: δ ( x ) =
∆x .100% x
Ur ení hodnoty fyzikální veli iny nep ímo – výpo tem: Jsou-li x, y, z, … nam ené hodnoty fyzikálních veli in a je-li w hledaná veli ina, pro niž platí w = f(x, y, z, …), pak nejprve ur íme aritmetický pr m r analogicky, tj. w = f( x , y , z , …) a pak podle speciálních pravidel platných pro jednotlivé matematické operace s používanými veli inami ur íme sm rodatnou odchylku tohoto pr m ru a relativní chybu. Operace s veli inami, jejichž hodnoty byly získány m ením ( pravidla pro po ítání s neúplnými ísly): a = a ±α b= b ±β
1. S ÍTÁNÍ obecn : a = a ±α
a+b=?
konkrétní p íklad: a = (26,37 ± 0,13) cm 0,13 ρ (a ) = .100% ≈ 0,5% 26,37 b= b ±β b = (14,58 ± 0,09) cm 0,09 ρ (b ) = .100% ≈ 0,6% 14,58 Platí: Relativní chyba v ur ení sou tu a + b je rovna nejvýše relativní chyb té z veli in, která byla ur ena s menší p esností. a+b = a +b a + b = (26,37 + 14,58) cm = 40,95 cm ρ a + b = max (ρ (a ), ρ (b )) ρ a + b = max (0,5%,0,6%) = 0,6%
( ) ρ (a + b ) s (a + b ) = .(a + b ) 100 a + b = a + b ± s (a + b )
( ) 0,6 s (a + b ) = .40,95cm ≈ 0,2457cm ≈ 0,25cm 100
a + b = (40,95 ± 0,25) cm
___________________________________________________________________________
2. OD ÍTÁNÍ obecn : a = a ±α
a–b=?
konkrétní p íklad: a = (2,041 ± 0,002) g 0,002 ρ (a ) = .100% ≈ 0,1% 2,041 b= b ±β b = (1,315 ± 0,001) g 0,001 ρ (b ) = .100% ≈ 0,1% 1,315 Platí: Sm rodatná odchylka rozdílu a - b je rovna sou tu sm rodatných odchylek menšence a menšitele. a −b = a −b a − b = (2,041 - 1,315) g = 0,726 g s a − b = s(a ) + s (b ) s a − b = (0,002 + 0,001)g = 0,003 g
(
)
(
a - b = a −b± s a−b
(
)
) s(aa−−bb).100%
(
)
(
)
a - b = (0,726 ± 0,003) g
0,003 .100% ≈ 0,4% 0,726 Pozn. Z uvedeného pravidla pro od ítání neúplných ísel plyne logicky skute nost, že je t eba vyhýbat se takovým m icím metodám, kde by výsledek vycházel jako rozdíl dvou m ených hodnot málo se od sebe velikostí lišících. ___________________________________________________________________________
ρ a −b =
ρ a−b =
3. NÁSOBENÍ a . b = ? obecn : a = a ±α
konkrétní p íklad: a = (1,315 ± 0,002) cm 0,002 ρ (a ) = .100% ≈ 0,15% 1,315 b= b ±β b = (8,56 ± 0,03) cm 0,03 ρ (b ) = .100% ≈ 0,35% 8,56 Platí: Relativní chyba v ur ení sou inu a.b je rovna sou tu relativních chyb initel . a.b = a .b a.b = (1,315 . 8,56) cm2 ≈ 11,2564cm 2
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
ρ a.b = ρ (a ) + ρ (b ) ρ a.b ≈ 0,15% + 0,35 % = 0,5 % ρ a.b 0,5 s a.b = . a.b s a.b ≈ .11,2564cm 2 ≈ 0,056cm 2 100 100 a . b = a.b ± s a.b a . b = (11,256 ± 0,056) cm2 ___________________________________________________________________________
a:b=?
4. D LENÍ
obecn : a = a ±α
konkrétní p íklad: a = (26,3 ± 0,1) g 0,1 ρ (a ) = .100% ≈ 0,4% 26,3 b= b ±β b = (8,22 ± 0,05) cm3 0,05 ρ (b ) = .100% ≈ 0,6% 8,22 Platí: Relativní chyba v ur ení podílu a:b je rovna sou tu relativních chyb d lence a d litele. a:b = a :b a : b = (26,3 : 8,22) g.cm-3 ≈ 3,1995 g .cm −3
( ) ( ).(a : b ) s (a : b ) = 100 a : b = a : b ± s (a : b )
( ) 1 s (a.b ) ≈ .3,19951g .cm 100
ρ a : b = ρ (a ) + ρ (b ) ρ a:b
ρ a : b ≈ 0,4% + 0,6 % = 1 % −3
≈ 0,03 g.cm −3
a : b = (3,20 ± 0,03) g.cm-3
___________________________________________________________________________
5. UMOC OVÁNÍ A ODMOC OVÁNÍ
an = ? obecn : konkrétní p íklad: a = a ±α a = (2,46 ± 0,02) g m = 2, n = 3 0,02 ρ (a ) = .100% ≈ 0,8% 2,46 n Platí: Relativní chyba v ur ení ísla m a n je rovna .ρ (a ) . m m
ρ
s m
3
m
an
a
=
=
n
an =
m
m .ρ (a ) n
ρ
m
an
100
an ± s
m
3
a 3 = 2,46 3 g 2 ≈ 3,8583 g 2 3 ρ a 3 ≈ . 0,8% = 1,2 % 2
an = m a n m
m
3
. an
m
a
n
s
a
3
3
1,2 ≈ .3,8583 g 2 ≈ 0,5 g 2 100 3
a 3 = (3,9 ± 0,5) g 2
___________________________________________________________________________
Mezinárodní soustava jednotek SI (Systeme International d'Unités): - obsahuje zákonné m icí jednotky používané nejen v naší republice, ale tém v celé Evrop . Jsou rozd leny na a) základní jednotky – metr, kilogram, sekunda, ampér, kelvin, mol, kandela (stanoveny definicí) b) odvozené jednotky (odvozují se ze základních pomocí defini ních rovnic) c) násobky a díly jednotek (tvo í se ze základních nebo odvozených jednotek pomocí násobení vhodnou mocninou deseti s možným užitím normalizovaných p edpon) d) vedlejší jednotky (používané z praktických d vod i tradice – minuta, hodina, litr, tuna, elektronvolt, …)
N které základní fyzikální konstanty: rychlost sv tla ve vakuu elementární elektrický náboj permeabilita vakua permitivita vakua gravita ní konstanta Avogadrova konstanta Boltzmannova konstanta molární plynová konstanta atomová hmotnostní konstanta Planckova konstanta redukovaná Planckova konstanta
c = 299792458 m.s-1 e = 1,602.10-19 C -7 N.A-2 0 = 4 . 10 -12 N-1.m-2.C2 0 = 8,854.10 -11 = 6,67.10 N.m-2 .kg-2 Na = 6,022 .1023 mol-1 k = 1,38.10-23 J.K-1 Rm = 8,314 J.K-1.mol-1 mu = 1,66.10-27 kg h = 6,626.10-34 J.s h = =1,054.10-34 J.s 2π
