SMA2 – Přednáška 08 Symetrické konstrukce Symetrické a anti(sy)metrické zatížení Silová metoda a symetrie Deformační metoda a symetrie Příklady
Copyright (c) 2012 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at http://www.gnu.org/licenses/
1
Symetrické konstrukce ●
●
●
Většina stavebních konstrukcí a průřezů je symetrických – Snadnější montáž, analýza, dokumentace – Eliminace kroucení na průřezech – Symetrická odezva při symetrickém zatížení (nesymetricky ztužené budovy během zemětřesení 2011 v Christchurch, NZ, dopadly výrazně hůře než symetricky ztužené) Zjednodušení výpočtu pro symetrickou konstrukci – Lze počítat pouze ½ konstrukce – Zatížení se musí rozložit na symetrickou a antimetrickou část, rozklad lze provést pro libovolné zatížení Používáme princip superpozice. Superpozici výsledků lze použít pouze pro lineárně elastický stav konstrukce 2
Symetrická konstrukce a zatížení
Symetrická konstrukce a symetrické zatížení
Symetrická konstrukce a antimetrické zatížení
1x SN nosník
Reakce antim.
S
V
A
+
+ –
+ –
MS u
A
A
w
S
V S =0
+ +
uS =0
– – + +
S=0
Kinematické okrajové podmínky na ose sym.
N
Statické okrajové podmínky na ose sym.
Reakce symetrické
N
A
V
S
MA u
S
S
w
A
+ – +
N S =0
+ – – +
M S =0
+
+ +
–
w S =0 3
Redukce konstrukce na polovinu ●
Na symetrické konstrukci můžeme vždy předepsat okrajové podmínky a řešit pouze polovinu konstrukce
Symetrická konstrukce a symetrické zatížení
Symetrická konstrukce a antimetrické zatížení
V S =0, uS =0, S =0
N S =0, M S =0, w S=0
1x SNK 0x KNK (typ prutu KK)
1x SNK 0x KNK
1x SNK 1x KNK (typ KV)
M S
0x SNK = SUK 0x KNK (typ prutu KK)
MA
+ Posuvné vetknutí na Radotínském mostě, Praha. Zde bráníme svislému posunu a rotaci, vodorovnému posunu není výrazně bráněno.
– +
M S =0
http://commons.wikimedia.org
4
Vazba na ose symetrie konstrukce Symetrická konstrukce a symetrické zatížení
Symetrická konstrukce a antimetrické zatížení
V S =0, uS =0, S =0
N S =0, M S =0, w S=0
2x SNK 1x KNK
2x SNK 1x KNK
SUK 0x KNK (pro typ prutu KK)
2x SNK 0x KNK (pro typ prutu KV) = tabulkové řešení
N
+
V
+
M
+ – + –
– –
N
+
V
+
M
– + – – +
5
Redukce symetrické konstrukce na polovinu Vazba/zatížení
Symetrické zatížení
V S =0, uS =0, S =0
Kyvný prut s V=M=0
Antimetrické zatížení
N S =0, M S =0, w S=0
Svislý posun je shodný s konci prutu
Prut nepůsobí
F/2
F
M/2
M I, A
A/2
I/2, A/2
6
Příklad – zjednodušte symetrické konstrukce Symetrické zatížení V S =0,u S =0, ϕ S =0
Silová metoda
= 4x SNK
ZDM
= 3x SNK
Antimetrické zatížení
3x KNK
Silová metoda
N S =0, M S =0, wS =0
ZDM
= 4x SNK
= 1x SNK
VV
VK
2x KNK
7
Příklad – zjednodušte symetricky zatížený skelet Pro nekonečně dlouhý spojitý nosník jsou osy symetrie nad podporami (i uprostřed polí)
8x SNK pro ohyb 8x KNK (ZDM)
2x SNK pro ohyb 0x KNK pro ohyb = tabulkové řešení
−
M
1 2 fL 12
−
1 2 fL 12
+ 1 2 fL 24
[Demontáž pláště budovy A, Dejvice, 4.3.2013, foto autor]
8
Příklad – symetricky zatížený hambalkový krov Za předpokladu EA
Tíha krytiny Sníh
1x SNK 4x KNK (ZDM)
1x SNK 1x KNK (ZDM)
1x SNK pro ohyb 1x KNK (ZDM)
M –
+ [http://bryza.rajce.idnes.cz/pelikan_krov]
Symetrický průběh 9
Příklad – antimetricky zatížený hambalkový krov
Tlak větru
Sání větru
1x SNK 4x KNK (ZDM)
SUK 0x KNK
M – +
[http://bryza.rajce.idnes.cz/pelikan_krov]
Antimetrický průběh 10
Příklad využití symetrie konstrukce ●
Určete M a natočení c pomocí ZDM 20 kN a
b 1
20 kN
20 kN EI=20 000 kNm c
3 m
EI=20 000 kNm2 c
2
3 m
a
d e 1
b
3 m
1 13,125
M
M ab =
+ 5,156 18,281
Řešení určíme přímo z tabulky pro ZDM
1,719
20⋅1⋅3 (3 +4 )=13,125 kNm 2 2⋅4
Průběh momentu antimetricky na pravé části
Natočení styčníku c lze určit pomocí vzorce pro oboustanně vetknutý prut (inverze statické kondenzace) 2
−20⋅1 ⋅3 2⋅20000 M ca =0= + ⋅2 ϕ c , ϕc =1,875e-4 rad 2 4 4 Také lze použít redukční větu a silovou metodu. Základní soustavu volím konzolu s vetknutím na levé straně. Virtuální moment zavedu stejně jako rotaci c. Průběh momentu je konstantní, proto stačí použít s výhodou Vereščaginovo pravidlo.
ϕ c=
[
]
(−13,125+5,156)⋅1 1 1 ⋅5,156⋅3⋅1+ ⋅1 = 1,875e-4 rad 20000 2 2
11
Příklady dalších symetrických konstrukcí 10 kN/m d
c
b
20 kN a
EI=20 000 kNm2 b c
20 kN d
e
3 m
EI=20 000 kNm2 2 m a
2 m
2 m
2 m
e 4 m EI=20 000 kNm2
8 kN/m 8 kN/m a 2 m
5 kN
c
b
5 kN
2 m
EI=20 000 kNm
2 m
2 m
2 m
e
d 2 m
2 m
5 kN a
2 m
EI=10 MNm2
b
d
2 m
2 m 2 m
c
b 2 m
5 kN
d EI=10 MNm2?
a
e
d
a b
8 kN/m
2
c
c 4 m
4 m
12
Otázky 1. Nakreslete vazbu na ose symetrie konstrukce pro průběžný prut a symetrické zatížení. 2. Jak podepřete prut příhradové konstrukce na ose symetrie pro symetrické zatížení? Proč lze tento prut vyřadit pro antimetrické zatížení? 3. Vysvětete, jak spolu souvisí statické a kinematické podmínky na ose symetrie. Lze vhodným uspořádáním podpory na ose symetrie splnit jak statické tak kinematické podmínky? 4. Lze každé zatížení rozložit na symetrickou a antimetrickou část? 5. Vysvětlete, jak dojde k redukci stupně statické neurčitost konstrukce, pokud existuje osa symetrie. Redukuje stupeň neurčitosti více zatížení symetrické či antimetrické? 6. Uvažujte oboustanně vetknutý prut, který je zatížen rovnoměrným ohřátím. Pomocí argumentace o symetrickém zatížení dokažte, že posouvající síla uprostřed rozpětí prutu je nulová a moment má nulový průběh. Platí stejná úvaha pro nerovnoměrné ohřátí oboustranně vetknutého prutu? 7. Uvažujte styčník příhradové konstrukce na ose symetrie. Z podmínek rovnováhy a symetrie zatížení dokažte, že symetrické pruty jdoucí z tohoto styčníku mají stejně veliké osové síly.
Vytvořeno 03/2012 v OpenOffice 3.2, Ubuntu 10.04, Vít Šmilauer
13
