Stavební mechanika 3 132SM3 Přednášky
Deformační metoda: ZDM pro rámy s posuvnými styčníky, využití symetrie, výpočetní programy a kontrola výsledků.
Porovnání ODM a ZDM = 30 kN/m
Příklad 1: (viz předchozí přednáška) Řešení ODM 2
= 3 MNm
=
= 200 MN
3 m
=
2
1
0,3 m =
. /
2
= 6 MNm
+- =0 +. =0 +/ =0
=
= 400 MN
0,2 m
... základní neznámé " , $ , % ⇒ základní rovnice: momentová a silové podmínky rovnováhy styčníku.
18 " + 6 $ + 1,5 % = 90 · 10 6 " + 204 $ + 0 % = 0 1,5 " + 0 $ + 400,5 % = 90 · 10 " ≅ 0,00503 rad $ ≅ −1, 48 · 10 m % ≅ 2, 06 · 10 m
3
6 m
= 20 · 10 MPa = 0,45 · 10 m = 0,06 m ℎ = 0,3 m
[rad, m, MN]
Posuny $ , % velmi malé ve srovnání s průhyby prutů.
[m] 2
Porovnání ODM a ZDM = 30 kN/m
Řešení ZDM Předpoklad ZDM: pruty jsou osově nestlačitelné. 2 L 2 = L
= 3 MNm
=
2
1
= ∞ 3
= 6 MNm
= ∞
Pak $ = $ a % = % . Posunům styčníků 1 a 3 brání vazby: $ = 0 a % = 0, takže: $ = 0 a % = 0. -
3 =-
4
-
3 =-
4
+ +
" + 2" + 3 " + 2" + 3
% −% $ −$
= −90 · 10
+ 6 "
= 12 "
3
Porovnání ODM a ZDM ZDM
Porovnání s ODM
Základní neznámá " ⇒ základní rovnice: momentová podmínka rovnováhy styčníku -
+-
=0
18 " = 90 · 10
- +- =0 . +. =0 / +/ =0 [rad, m, MN]
90 · 10 = 0,005 rad 18 ($ = 0 m, % = 0 m)
" =
Základní neznámé " , $ , % ⇒ základní rovnice: momentová a silové podmínky rovnováhy styčníku
18 " + 6 $ + 1,5 % = 90 · 10 6 " + 204 $ + 0 % = 0 1,5 " + 0 $ + 400,5 % = 90 · 10 " ≅ 0,00503 rad $ ≅ −1, 48 · 10 m % ≅ 2, 06 · 10 m 4
Porovnání ODM a ZDM Koncové síly: ODM:
- = −90 · 10 + 6 " + 1,5 % ≅ −0,0594 MNm / = −90 · 10 + 1,5 " + 0,5 % ≅ −0,0823 MN ……
" ≅ 0,00503 rad $ ≅ −1, 48 · 10 m % ≅ 2, 06 · 10 m
ZDM:
/
= −90 · 10 + 6 " = −0,06 MNm = 90 · 10 + 3 " = 0,105 MNm = -
+-
− 30 · 10
" = 0,005 rad
6 /6 = −0.0825 MN 2
…… Styčníková přemístění i koncové síly prutů vypočtené ODM a ZDM jsou pro tento příklad téměř stejné. Závěr: Jestliže je osové protažení/zkrácení prutů v konstrukci velmi malé ve srovnání s jejich průhyby, je vhodné použít zjednodušenou deformační metodu (uvažovat 9: → ∞).
5
ZDM s posuvnými styčníky Lze použít zjednodušenou deformační metodu (t.j. uvažovat 9: → ∞) i v případě, kdy posunutí styčníků není bráněno vazbami? Ano, ale posunutí styčníků v důsledku ohybu prutů je třeba zohlednit.
2
3
2 1
3 5
1
4
$ = $ ...posunutí patra
4
6
% = %< ...posunutí sloupu
Styčníkové posuny ve směru osy prutu nejsou nezávislé, ale jsou vázány podmínkou nestlačitelnosti prutu (patra nebo sloupu). 6
ZDM s posuvnými styčníky Ve vzorcích pro koncové momenty a síly je třeba vzít v úvahu, že posuny % = mohou být nenulové, např.:
-
.
−/
3 =-
=/
=
4
+
2
3
1
4
" + 2" + 3
̅= 4
=/
= = . = = .?
+
4
3
+
%= − %=
" +" +2
$= − $=
%= − %=
... nepoužijeme 7
ZDM s posuvnými styčníky Základní neznámé a rovnice ZDM:
Styčníkové pootočení
↔ Momentová podmínka styčníku
Styčníkové posunutí
↔ Silová podmínka rovnováhy styčníku
Posunutí patra nebo sloupu
↔ Silová podmínka rovnováhy patra nebo sloupu (tzv. patrová nebo sloupová rovnice) 8
ZDM s posuvnými styčníky Patrová rovnice: 2
2
3
3
. 1
+.
= @A
4
Sloupová rovnice:
1
2
3
2
/
+/
+ /< + /
5 4
5
6 9
DM – základní neznámé a rovnice, příklady ODM:
2
3
1
4
ZDM:
10
DM – základní neznámé a rovnice, příklady ODM:
ZDM: 1
4
2
5
3
6
11
DM – základní neznámé a rovnice, příklady ODM:
ZDM:
4 1 2
3
5
12
Deformační metoda – využití symetrie Osově symetrické rovinné konstrukce
L
P
H
= D
=
13
Deformační metoda – využití symetrie Symetrické zatížení na ⇒ deformovaný tvar konstrukce je symetrický symetrické konstrukci
Při svislé ose symetrie:
" D = −" E
"F = 0
$D = −$E
⇒ na ose symetrie: $ F = 0
%D = %E
% F ≠ 0 (obecně)
Symetrii můžeme využít pro redukci počtu neznámých a rovnic v ODM i ZDM. 14
Deformační metoda – využití symetrie Příklad 1: 1
2
3
4
5
6
ODM bez zohlednění symetrie:
ODM při zohlednění symetrie:
15
Deformační metoda – využití symetrie 1
2
3
4
5
6
ZDM bez zohlednění symetrie:
ZDM při zohlednění symetrie:
16
Deformační metoda – využití symetrie Příklad 2: 1
2
3
4
5
6
7
8
ODM bez zohlednění symetrie:
ODM při zohlednění symetrie:
17
Deformační metoda – využití symetrie 1
2
3
4
5
6
7
8
ZDM bez zohlednění symetrie:
ZDM při zohlednění symetrie:
18
Použití výpočetních programů Řešení prutových konstrukcí pomocí výpočetních programů Mnohé výpočetní programy používané v praxi jsou založeny na obecné deformační metodě (např. EDUBEAM) nebo metodě konečných prvků. Typická struktura vstupních dat: styčníky – poloha (popsána pomocí globálních souřadnic) – podepření – zatížení – osamělé síly a momenty, předepsaná přemístění pruty – umístění v konstrukci (popsáno pomocí koncových styčníků) – způsob připojení ke styčníkům (VV, VK, KV, KK) – průřez – tvar a rozměry nebo průřezové charakteristiky – materiál – , H, I J – zatížení – vlastní tíha, další síly a momenty, teplotní změny 19
Použití výpočetních programů Příklad
Zatížení v [kN/m]
Sloupy: HEA240 Průvlaky: IPE300
3m
Ocel: S235
3m
3m 5m
5m
4m
Výpočet v programu EDUBEAM 20
Použití výpočetních programů Průřezové a materiálové charakteristiky mnohé výpočetní programy obsahují katalog, Statické tabulky, http://www.steelcalc.com, ...
21
Použití výpočetních programů Zobrazení, interpretace a KONTROLA výsledků Deformovaný tvar konstrukce Je v souladu s uvažovaným podepřením konstrukce? Je v souladu s uvažovaným zatížením? Jsou hodnoty posunů reálné?
Posuny v [m] 22
Použití výpočetních programů Reakce Jsou v souladu s uvažovaným podepřením konstrukce? Jsou v rovnováze s uvažovaným zatížením? 40 kN/m
50 kN/m
50 kN/m
Reakce v [kN, kNm] 23
Použití výpočetních programů Průběhy vnitřních sil – kvalitativní kontrola Jsou v souladu s uvažovaným podepřením konstrukce? Jsou v souladu s uvažovaným zatížením (Schwedlerova věta)?
V [kN]
M [kNm]
24
Použití výpočetních programů Průběhy vnitřních sil - kvantitativní kontrola Je splněna rovnováha vybraných styčníků, pater, sloupů? Např. M [kNm]
25
Použití výpočetních programů Průběhy vnitřních sil - kvantitativní kontrola Je splněna rovnováha vybraných styčníků, pater, sloupů? Např. V [kN]
26
Použití výpočetních programů Průběhy vnitřních sil - kvantitativní kontrola Je splněna rovnováha vybraných styčníků, pater, sloupů? Např. V [kN]
50 kN/m
27
Použití výpočetních programů V [kN]
50 kN/m
M [kNm]
28
Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám z předmětu Stavební mechanika 3 pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby. Autor srdečně děkuje kolegům prof. Milanovi Jiráskovi a doc. Jitce Bittnarové za to, že mu laskavě poskytli své přednáškové materiály jako zdroj nejen inspirace, ale i některých formulací, obrázků a příkladů.
Datum poslední revize: 17.4.2016 29
