Statistika I Pertemuan 9 & 10 Statistika Inferensia: Inferensia: Pengujian Hipotesis
Ari Wibowo, MPd Prodi PAI Jurusan Tarbiyah STAIN Surakarta
Pengujian Hipotesis • HIPOTESIS è Suatu pernyataan / anggapan yang mempunyai nilai mungkin benar / salah atau suatu pernyataan /anggapan yang mengandung nilai ketidakpastian • CONTOH – Besok akan turun hujan è mungkin benar/salah – Penambahan pupuk meningkatkan produksi è mungkin benar/salah – Varietas A lebih baik dibandingkan dengan varietas B è mungkin benar/salah – dll
1
• HIPOTESIS statistik dinyatakan dalam dua bentuk yaitu: – H0 (hipotesis nol): suatu pernyataan / anggapan yang ingin kita tolak – H1 (hipotesis tandingan): pernyataan lain yang akan diterima jika H0 ditolak • Dua jenis kesalaham dalam pengambilan keputusan , yaitu: – Salah jenis I (Error type I) : kesalahan akibat menolak H0 padahal H0 benar – Salah jenis II (Error type II) : kesalahan akibat menerima H0 padahal H1 benar • Besarnya peluang kesalahan ini dapat dihitung sebagai berikut: – P(salah jenis I) = P(tolak H0/H0 benar) = α – P(salah jenis II) = P(terima H0/H1 benar) = β
Pengujian Hipotesis
(lanjutan)
Hasil Pengujian
Keadaan Sebenarnya
H0 benar
H1 benar
H0 benar
Benar
Salah Jenis 1 ( α)
H1 benar
Salah Jenis 2 ( β)
Benar
α = Peluang menolak H0 padahal H0 benar β = Peluang menerima H0 padahal H1 yang benar
2
Pengujian Hipotesis Hipotesis Statistik: Pernyataan/dugaan mengenai parameter populasi yang ingin dibuktikan kebenarannya H0 à hipotesis nol H1 atau Ha à hipotesis satu atau hipotesis alternatif Misalnya: H0: µ=60 vs H1: µ≠60 à uji dwi arah H0: µ=160 vs H1: µ>160 à uji eka arah H0: µ=500 vs H1: µ<500 à uji eka arah Berdasarkan data yang dikumpulkan, H1 atau H0 yang benar ?
Pengujian Hipotesis
(lanjutan)
• Pengambilan keputusan akan memunculkan dua jenis kesalahan yaitu: – Salah jenis I (Error type I) : kesalahan akibat menolak H0 padahal H0 benar – Salah jenis II (Error type II) : kesalahan akibat menerima H0 padahal H1 benar • Besarnya peluang kesalahan dapat ini dapat dihitung sebagai berikut: – P(salah jenis I) = P(tolak H0/H0 benar) = α – P(salah jenis II) = P(terima H0/H1 benar) = β • Peluang mengambil keputusan yang benar dalam menolak Ho = 1 - β à disebut sebagai Kuasa Pengujian • Peluang benar dalam menerima Ho = 1 - α à disebut sebagai Selang Kepercayaan
3
Pengujian Hipotesis (lanjutan) Kaidah Keputusan: Jika p-value < α à H1 benar Jika p-value ≥ α à H0 dianggap benar α à taraf nyata pengujian (kesalahan maksimum yang diperbolehkan jika memutuskan H1 benar)
P-value à peluang salah jenis 1 berdasarkan data Teladan 1: Pada saat ini diduga terjadi kenaikan rata-rata tinggi badan orang Indonesia dibandingkan tahun 70-an. Untuk membuktikan dugaan ini diambil contoh acak berukuran 25 dan diperoleh rataan sebesar 164 cm. Ujilah apakah dugaan tersebut benar. Gunakan α=5%. (Catatan: Tinggi rata-rata tahun 70an=161 cm, dan σ2=81 cm2).
Pengujian Hipotesis Diketahui: n=25,
(lanjutan)
x=164 cm ; σ2=81 cm2 ; α =5%=0.05.
H0: µ=161 cm vs H1: µ>161cm Z =
x - µ 164 - 161 = σ / n 81 / 25
= 1 . 67 Z > Ztab à Tolak H0
Z tabel = Z0.05 = 1.65 P-value = P(x>x0 / µ =161) = P(Z>1.67) = 0.0475 P-value < α à Tolah H0 (Memang benar sekarang ada kenaikan rata-rata tinggi orang Indonesia dibandingkan dengan tahun 70-an)
4
Pengujian Hipotesis (lanjutan) Secara Umum: Satu Nilai Tengah Populasi:
H0: µ = µ0 vs H1: µ ≠ µ0 H0: µ ≤ µ0 vs H1: µ > µ0 H0: µ ≥ µ0 vs H1: µ < µ0
Dua Nilai Tengah Populasi: Saling Bebas
Berpasangan
H0: µ1= µ2 vs H1: µ1 ≠ µ2
H0: µD = 0 vs H1: µD ≠ 0
H0: µ1 ≤ µ2 vs H1: µ1> µ2
H0: µD ≤ 0 vs H1: µD > 0
H0: µ1 ≥ µ2 vs H1: µ1< µ2
H0: µD ≥ 0 vs H1: µD < 0
Pengujian Hipotesis
(lanjutan)
Teladan-2: Ada dugaan kuat bahwa latar belakang petambak berpengaruh terhadap keberhasilan sebagai petambak di CP Bahari. Untuk membuktikan pendapat ini, dipilih 22 petambak contoh secara acak, dimana 11 orang berlatar belakang petambak dan 11 orang sisanya berlatar belakang bukan petambak. Jika produksi merupakan ukuran tingkat keberhasilan petambak, dan produksi terakhir dari ke-22 petambak tersebut seperti tabel di bawah ini, ujilah apakah dugaan tersebut di atas benar? (Gunakan α=5% dan asumsikan ragam produksi kedua populasi sama).
Produksi dari 11 Petambak yang Berlatar Belakang Petambak
11.7
9.6 12.2
8.6
9.3 10.1
8.9
9.5 10.4
8.3
9.4
Produksi dari 11 Petambak yang Berlatar Belakang Bukan Petambak
7.4
8.5
9.2
Bentuk Hipotesis ?
8.7
7.8
6.9 10.2
Statistik Uji ?
H0: µ1 ≤ µ2 vs H1: µ1> µ2
9.4
t hit =
8.1
8.3
( x1 − x 2 ) = s x1 − x 2
9.0 ( x1 − x 2 ) 1 1 2 s gab + n2 n1
5
Pengujian Hipotesis (lanjutan) Beberapa langkah yang perlu diperhatikan dalam pengujian hipotesis: (1) Tuliskan hipotesis yang akan diuji Ada dua jenis hipotesis: – Hipotesis sederhana Hipotesis nol dan hipotesis alternatif sudah ditentukan pada nilai tertentu • H0 : µ = µ0 vs H1 : µ = µ1 • H0 : σ2 = σ02 vs H1 : σ2 = σ12 • H0 : P = P0 vs H1 : P = P1 – Hipotesis majemuk Hipotesis nol dan hipotesis alternatif dinyatakan dalam interval nilai tertentu b.1. Hipotesis satu arah • H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0 • H0 : µ ≤ µ0 vs H1 : µ > µ0 b.2. Hipotesis dua arah • H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0
(2). Deskripsikan data sampel yang diperoleh (hitung rataan, ragam, standard error dll) (3). Hitung statistik ujinya Statistik uji yang digunakan sangat tergantung pada sebaran statistik dari penduga parameter yang diuji CONTOH H0: µ = µ0 maka maka statistik ujinya bisa t-student atau normal baku (z) atau x − µ0 x − µ0 th = zh = s/ n σ/ n (4). Tentukan batas kritis atau daerah penolakan H0 Daerah penolakan H0 sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif (H1) CONTOH H1: µ < µ0 è Tolak H0 jika th < -t(α; db)(tabel) H1: µ > µ0 è Tolak H0 jika th > t(α; db)(tabel) H1: µ ≠ µ0 è Tolak H0 jika |th | > t(α/2; db)(tabel)
(5). Tarik kesimpulan
6
Pengujian Nilai Tengah Populasi Kasus Satu Sample – Suatu sampel acak diambil dari satu populasi Normal berukuran n – Tujuannya adalah menguji apakah parameter µ sebesar nilai tertentu, katakanlah µ0
Populasi X~N(µ,σ2)
Uji µ
Acak
Sampel
• Hipotesis yang dapat diuji: Hipotesis satu arah • H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0 • H0 : µ ≤ µ0 vs H1 : µ > µ0 Hipotesis dua arah • H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0 • Statistik uji:
– Jika ragam populasi (σ2) diketahui
:
– Jika ragam populasi (σ2) tidak diketahui:
zh =
th =
x − µ0 σ /
n
x − µ0 s/
n
7
• Daerah kritis pada taraf nyata (α) – Besarnya taraf nyata sangat tergantung dari bidang yang sedang dikaji – Daerah penolakan H0 sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif (H1) H1: µ < µ0 è Tolak H0 jika th < -t(α; db=n-1)(tabel) H1: µ > µ0 è Tolak H0 jika th > t(α; db=n-1)(tabel) H1: µ ≠ µ0 è Tolak H0 jika |th | > t(α/2; db=n-1)(tabel) Atau, jika nilai peluang nyata (p) dihitung, H1: µ < µ0 è p=p(t
µ0 è p=p(t>th) atau p=p(z>zh), Tolak H0 jika p< α H1: µ ≠ µ0 è p=p(|t|>|th|) atau p=p(|z|<|zh|), Tolak H0 jika p< α/2 • Tarik Kesimpulan
•
Ilustrasi Batasan yang ditentukan oleh pemerintah terhadap emisi gas CO kendaraan bermotor adalah 50 ppm. Sebuah perusahaan baru yang sedang mengajukan ijin pemasaran mobil, diperiksa oleh petugas pemerintah untuk menentukan apakah perusahan tersebut layak diberikan ijin. Sebanyak 20 mobil diambil secara acak dan diuji emisi CO-nya. Dari data yang didapatkan, rata-ratanya adalah 55 dan ragamnya 4.2. dengan menggunakan taraf nyata 5%, layakkan perusahaan tersebut mendapat ijin ?
8
• Hipotesis yang diuji: H0 : µ <= 50 vs H1 : µ > 50 • Statistik uji: th= (55-50)/√(4.2/20)=10.91 • Daerah kritis pada taraf nyata 0.05 Tolak Ho jika th > t(0,05;db=19) = 1,729 • Kesimpulan: Tolak H0, artinya emisi gas CO kendaraan bermotor yang akan dipasarkan oleh perusahaan tersebut melebihi batasan yang ditentukan oleh pemerintah sehingga perusahaan tersebut tidak layak memperoleh ijin untuk memasarkan mobilnya.
Perbandingan Nilai Tengah Dua Populasi µ1 ??? µ2
Kasus Dua Sample Saling Bebas
– Setiap populasi diambil sampel acak berukuran tertentu (bisa sama, bisa juga tidak sama) – Pengambilan kedua sampel saling bebas – Tujuannya adalah menguji apakah parameter µ1 sama dengan parameter µ2
Populasi I X~N(µ1,σ12)
Populasi II X~N(µ2,σ22)
Acak dan saling bebas
Sampel I (n1)
Sampel II (n2)
9
• Hipotesis
– Hipotesis satu arah:
H0: µ1- µ2 ≥δ0 vs H1: µ1- µ2 <δ0 H0: µ1- µ2 ≤ δ0 vs H1: µ1- µ2 >δ0
– Hipotesis dua arah:
H0: µ1- µ2 =δ0 vs H1: µ1- µ2 ≠δ0
• Statistik uji:
– Jika ragam kedua populasi diketahui (x − x2 ) − δ 0 zh = 1 katakan σ12 dan σ22 : σ (x −x ) – Jika ragam kedua populasi tidak diketahui: 1
(x − x2 ) − δ 0 th = 1 s ( x1 − x 2 )
s ( x1 − x2 )
1 1 + ; σ 12 = σ 22 s g n1 n 2 = 2 2 s1 s 2 2 2 n + n ;σ 1 ≠ σ 2 2 1
2
n1 + n 2 − 2; σ 12 = σ 22 db = 2 2 dbefektif ; σ 1 ≠ σ 2
• Daerah kritis pada taraf nyata (α) – Pada prinsipnya sama dengan kasus satu sampel, dimana daerah penolakan H0 sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif (H1) H1: H1: µ1- µ2 <δ0 è Tolak H0 jika th < -t(α; db)(tabel) H1: µ1- µ2 >δ0 è Tolak H0 jika th > t(α; db)(tabel) H1: µ1- µ2 ≠δ0 è Tolak H0 jika |th | > t(α/2; db)(tabel)
• Tarik Kesimpulan
10
•
Ilustrasi Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri kertas karton saling mengklaim bahwa produknya yang lebih baik, dalam artian lebih kuat menahan beban. Untuk mengetahui produk mana yang sebenarnya lebih baik, dilakukan pengambilan data masing-masing sebanyak 10 lembar, dan diukur berapa beban yang mampu ditanggung tanpa merusak karton. Datanya adalah : Persh. A
30
35
50
45
60
25
45
45
50
40
Persh. B
50
60
55
40
65
60
65
65
50
55
–
Hitunglah rataan dan ragam dari kedua data perusahaan tersebut. Ujilah karton produksi mana yang lebih kuat dengan asumsi ragam kedua populasi berbeda, gunakan taraf nyata 10%
–
Jawab: – Rata-rata dan ragam kedua sampel: n∑ x − (∑ x ) 30 + 35 + L + 40 10(19025) - (425) x = s = = 42,5 = 1
10
x2 =
50 + 60 + L + 55 = 56,5 10
2 1
2 1
2
i
n(n − 1)
n∑ x22 − (∑ xi )
10(9)
2
s 22 =
n(n − 1)
=
2
= 106.94
10(32525) - (565) 2 = 66.94 10(9)
– Perbandingan kekuatan karton • Hipotesis: – H0: µ1= µ2 vs H1: µ1≠µ2
11
• Statistik uji: (ragam populasi tidak diketahui dan diasumsikan σ12 ≠ σ12 ) th =
db =
( x 2 − x1 ) − ( µ 2 − µ1 ) ( s 22 / n2 ) + ( s12 / n1 )
=
56 ,5 − 42 ,5 − 0 = 3,36 66 ,94 / 10 + 106 ,94 / 10
( s12 / n1 + s 22 / n 2 ) 2 (10.34 2 / 10 + 8.18 2 / 10 ) 2 = = 17 ,10 ≈ 17 ( s12 / n1 ) 2 /( n1 − 1) + ( s 22 / n 2 ) 2 /( n 2 − 1) (10.34 2 / 10 ) 2 / 9 + (8.18 2 / 10 ) 2 / 9
• Daerah kritis pada taraf nyata 10%: Tolak H0 jika |th| > t(0,05;17) = 1,740 • Kesimpulan: Tolak H0, artinya kekuatan karton kedua perusahaan berbeda nyata pada taraf nyata 10%. Diduga karton yang diproduksi oleh perusahaan B lebih kuat daripada karton A
Perbandingan Nilai Tengah Dua Populasi Kasus Dua Sample Saling Berpasangan – Setiap populasi diambil sampel acak berukuran n (wajib sama) – Pengambilan kedua sampel berpasangan, ada pengkait antar kedua sampel (bisa waktu, objek, tempat, dll) – Tujuannya adalah menguji apakah parameter µ1 sama dengan parameter µ2
µ1 ??? µ2
Populasi I X~N(µ1,σ12)
Populasi II X~N(µ2,σ22)
Acak dan berpasangan
Sampel I (n)
Sampel II (n) Pasangan 1
Pasangan … Pasangan n
12
•
•
Hipotesis –Hipotesis satu arah: H0: µ1- µ2 ≥δ0 vs H1: µ1- µ2 <δ0 atau H0: µD ≥δ0 vs H1: µD<δ0 H0: µ1- µ2 ≤ δ0 vs H1: µ1- µ2 >δ0 atau H0: µD ≤ δ0 vs H1: µD>δ0 –Hipotesis dua arah: H0: µ1- µ2 =δ0 vs H1: µ1- µ2 ≠δ0 atau H0: µD = δ0 vs H1: µD≠δ0 Statistik uji: Gunakan t atau z jika ukuran contoh n besar th =
d −δ0
s/ n Dimana d adalah simpangan antar pengamatan pada sampel satu dengan sampel 2 Pasangan 1 2 3 … n Sampel 1 (X1) x11 x12 x13 x1n Sampel 2 (X2) x21 x22 x23 x2n D = (X1-X2) d1 d2 d3 dn
•
. .
•
Daerah Kritis: (lihat kasus satu sampel) Tarik Kesimpulan
• Ilustrasi Suatu klub kesegaran jasmani ingin mengevaluasi program diet, kemudian dipilih secara acak 10 orang anggotanya untuk mengikuti program diet tersebut selama 3 bulan. Data yang diambil adalah berat badan sebelum dan sesudah program diet dilaksanakan, yaitu:
Berat Badan
Peserta 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sebelum (X1)
90
89
92
90
91
92
91
93
92
91
Sesudah (X2)
85
86
87
86
87
85
85
87
86
86
D=X1-X2
5
3
5
4
4
7
6
6
6
5
Apakah program diet tersebut dapat mengurangi berat badan minimal 5 kg? Lakukan pengujian pada taraf nyata 5%!
13
Jawab: • Karena kasus ini merupakan contoh berpasangan, maka: • Hipotesis: H0 : µD ≥ 5 vs H1 : µD < 5 • Deskripsi:
∑d d = n
i
n ∑ d i2 − (∑ d i )
2
51 = = 5,1 10
s = 2 d
n ( n − 1)
=
10 ( 273 ) − (51) 2 = 1, 43 10 (9 )
s d = 1,43 = 1,20 • Statistik uji: t=
d − µd d − µd 5,1 − 5 = = = 0,26 sd sd 1,20 / 10 n
• Daerah kritis pada α=5% Tolak H0, jika th < -t(α=5%,db=9) = -1.833 • Kesimpulan: Terima H0, artinya program diet tersebut dapat mengurangi berat badan minimal 5 kg
14
