Statistik Non Parametrik
2 X UJI FRIEDMAN (UJI r )
2 X UJI Friedman (uji r )
Untuk k sampel berpasangan (k>2) dengan data setidaknya data skala ordinal Sebagai alternatif dari analisis variansi dua arah bila asumsi normalitas dari populasinya dan homoscedastisitasnya tidak terpenuhi Prosedur Uji 1. H0 : μ1 = μ2 = μ3 =...=μk (k sampel berasal dari populasi yang identik atau tidak ada pengaruh dari perlakuan yang diberikan) H1 : tidak semua sama 2. Tingkat signifikansi : 3. Perhitungan statistik uji Data disusun dalam tabel dua arah dengan n baris dan k kolom dengan baris i menunjukkan subyek / blok i i= 1,2,3,...,n kolom j menunjukkan kondisi/treatment/ perlakuan j j= 1,2,3,...,k Data untuk setiap baris diberi peringkat atau ranking dari data terkecil sampai terbesar. Bila ada peringkat / ranking sama diambil rata-ratanya
2 X UJI Friedman (uji r )
Ranking dalam masing-masing kolom dijumlah, dinotasikan dengan R1, R2,....., Rk 4. Statistik Uji k 12 X R 2j 3n(k 1) ~ berdistribusi nk (k 1) j 1 2 r
5. Daerah kritis ditolak
X r2
>
X 2;v k 1
X 2;v k 1
Ho
Dari 5 desain mobil sport, 10 pengemudi profesional diminta mencoba dan memberikan respon dalam bentuk rating dengan skala antara 0 (sangat tidak nyaman) sampai 100 ( amat sangat nyaman). Hasilnya disajikan dalam tabel berikut :
Ujilah dengan = 0,05 bahwa tidak ada perbedaan yang berarti dari overall rating yang diberikan untuk kelima desain mobil sport tersebut
Penyelesaian
1. H0 : μA = μB = μC =μD =μE (kelima desain mobil mempunyai rating yang sama) H1 : tidak semua sama 2. Tingkat signifikansi : = 0,05
4. Perhitungan statistik uji
Statistik Uji 12 X r2 322 322 282 27 2 312 3(10)(5 1) 0,88 10(5)(5 1) 5. Daerah kr itis jik X r2 > X 0, 05;v 51 9,488 Ho ditolak 2 karena X r2 = 0,88 < X 0, 05;v 51 9,488 maka Ho diterima bahwa tidak ada perbedaan respon pengemudi terhadap kelima desain mobil sport tersebut. 2
UJI COCHRAN (UJI Q)
UJI Cochran (uji Q ) Untuk data skala nominal atau ordinal dengan dua kemungkinan nilai (dikotomi) sukses dan gagal, setuju dan tidak setuju, besar dan kecil dll Untuk menguji apakah frekuensi / proporsi dari k sampel berpasangan berbeda secara signifikan Data pengamatan disusun dalam tabel dua arah dengan n baris (blok) dan k kolom (perlakuan / treatment) Prosedur Uji 1. H0 : p1 = p2 = p3 =...=pk (k sampel berasal dari populasi yang identik atau tidak ada pengaruh dari perlakuan yang diberikan) H1 : tidak semua sama 2. Tingkat signifikansi : 3. Perhitungan statistik uji Data disusun dalam tabel dua arah dengan n baris dan k kolom dengan baris i menunjukkan subyek / blok i i= 1,2,3,...,n kolom j menunjukkan kondisi/treatment/ perlakuan j j= 1,2,3,...,k
UJI COCHRAN Untuk setiap baris dihitung jumlah sukses dengan notasi Ri Untuk setiap kolom dihitung jumlah sukses dengan notasi Cj 4. Statistik Uji 2
k 2 (k 1)[k C j C j ] j 1 j 1 Q n n k Ri Ri2 k
•
i 1
~ berdistribusi
i 1
4. Daerah kritis Q > X 2 Ho ditolak ;v k 1
X 2;v k 1
Sebuah perusahaan yang memproduksi mie instan akan meluncurkan 3 rasa baru mie yaitu A, B dan C. Untuk memperoleh respon pendahuluan diambil sampel random dari 10 pembeli, masing-masing sampel pembeli diminta untuk mencoba rasa mie tersebut dan memberikan penilaian dengan mengatakan “enak” atau “tidak enak” pada jenis mie yang dirasakan seperti pada tabel :
Contoh 1
Ujilah dengan = 0,05 bahwa tidak ada perbedaan respon pembeli terhadap rasa baru mie instan tersebut
Penyelesaian
1. H0 : pA = pB = pC (ketiga rasa baru mie instan mempunya rasa yang sama) H1 : tidak semua sama 2. Tingkat signifikansi : = 0,05
4. Perhitungan statistik uji Pembeli
Respon pembeli terhadap mie dengan rasa :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cj
A 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 2
Cj2
4
Contoh B 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 8
C 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 5
64
25
Rj 1 2 1 1 1 3 3 0 1 2 15
Rj2 1 4 1 1 1 9 9 0 1 4 31
2
(k 1)[k C 2j C j ] (3 1)[3(4 64 25) 152 ] j 1 j 1 Q 7,71 n n 3(15) 31 k Ri Ri2
Statistik Uji
k
k
i 1
i 1
5. Daerah kritis jikaQ > X 0, 05;v 31 5,991 Ho ditolak karena Q = 7,71 > X 2 maka Ho ditolak ada 0, 05;v 31 5,991 perbedaan respon pembeli terhadap rasa baru mie instan tersebut (ketiga mie rasanya tidak semua sama) 2
UJI KERANDOMAN (RANDOMNESS TEST / RUN TEST)
Uji KERANDOMAN Untuk menguji apakah data sampel yang diambil merupakan data yang acak / random Prosedur Uji 1. H0 : urutan data merupakan urutan yang random / acak H1 : urutan data bukan merupakan urutan yang random / acak 2. Tingkat signifikansi : 3. Perhitungan statistik uji Tentukan nilai median data Untuk data yang > median, beri tanda + Untuk data yang < median, beri tanda – Untuk data yang = median, beri tanda 0 Setelah data dinyatakan dalam tanda + dan -, tentukan banyaknya run dalam urutan data tersebut (urutan data tidak boleh diubah) Run = banyaknya urutan data dengan tanda yang identik yang diikuti dan didahului oleh tanda yang berbeda atau tanpa tanda
Uji KERANDOMAN Misal : - + + = 2 run - + - - = 3 run - - + - + - = 5 run n1 = banyaknya data yang bertanda tertentu misalnya + n2 = banyaknya data yang bertanda lainnya, misalnya – r = banyaknya run dalam urutan 4.
Daerah kritis a. Untuk n1 dan n2 ≤ 20 bila ra ≤ r ≤ rb Ho diterima bila r < ra atau r > rb Ho ditolak b. Untuk n1 atau n2 > 20 r ~ berdistribusi normal dengan rata-rata μr dan standard deviasi
2n1n2 r 1 n1 n2
r
2n1n2 2n1n2 n1 n2 (n1 n2 ) 2 (n1 n2 1)
r dengan
Uji KERANDOMAN Z hitung Bila
r r
r
Z Z hitung Z 2
Bila
Z hitung Z
atau 2
maka Ho diterima 2
Z hitung Z
maka Ho ditolak 2
Diberikan hasil pengumpulan data sebagai berikut : 31, 36, 43, 51, 44, 12, 26, 43, 75, 2, 3, 15, 18, 78, 24, 13, 27, 86, 61, 13, 7, 6, 8, 15 Ujilah dengan = 0,05 apakah data tersebut mempunyai urutan yang random
Contoh 1
Penyelesaian
1. H0 : urutan data merupakan urutan yang random / acak H1 : urutan data bukan merupakan urutan yang random / acak 2. Tingkat signifikansi : = 0,05 3. Perhitungan statistik uji Menentukan nilai median data Data diurutkan dari kecil ke besar 2
3
6
7
8
12
13
13
15
`15
31
36
43
43
44
51
61
75
78
86
median = (24+26)/2 = 25 Untuk data yang > median, beri tanda + Untuk data yang < median, beri tanda – Untuk data yang = median, beri tanda 0
18
24
26
27
31 + 24 -
36 + 13 -
43 + 27 +
Contoh 51 44 12 + 86 +
+ 61 +
13 -
26 + 7 -
43 + 6 -
75 + 8 -
2 15 -
3 -
15 -
18 -
n1 = 12 n2 = 12 r =8 4. Daerah kritis karena ra = 7 ≤ r = 8 ≤ rb = 19 Ho diterima Berarti data di atas mempunyai urutan yang acak / random
78 +
Data berikut merupakan urutan hasil proses produksi dari mesin tertentu disebuah pabrik. Dimana notasi D menunjukkan produk cacat (defect) dan N menunjukkan hasil baik (non defect) NNNNNNDDDDNNDDNNNNNNNNNNDDNNNNDDDNNNNNND Ujilah dengan = 0,05 apakah urutan data tersebut mempunyai urutan yang random
Contoh 2
Penyelesaian
1. H0 : urutan data merupakan urutan yang random / acak H1 : urutan data bukan merupakan urutan yang random / acak 2. Tingkat signifikansi : = 0,05 3. Perhitungan statistik uji Untuk data D + Untuk data N ------++++--++----------++----+++------+
Contoh
n1 = 12 n2 = 28 > 20 r = 10 r
2n1n2 2(12)(28) 1 1 17,8 n1 n2 12 28
r
2n1n2 2n1n2 n1 n2 2 (n1 n2 ) (n1 n2 1)
r
2(12)(28)2(12)(28) 40 6,81 2,6 (40) 2 (39)
Z hitung
r r
r
2(12)(28)2(12)(28) 12 28 (12 28) 2 (12 28 1)
10 17,8 3 2,6
4. Daerah kritis Z hitung 3 Z 0,025 1,96 Ho ditolak Karena Berarti data diatas mempunyai urutan yang tidak acak / random
UJI KOLMOGOROV - SMIRNOV 1 SAMPEL (SAMPEL TUNGGAL)
Uji Kolmogorov Merupakan uji goodness of fit antara frekuensi pengamatan dan frekuensi harapan Dibanding dengan uji goodness of fit dengan menggunakan X2 test - Uji kolmogorov – smirnov lebih efisien untuk sampel berukuran kecil - Uji kolmogorov – smirnov hanya bisa digunakan untuk variabel random kontinu sedang X2 test bisa untuk kontinu maupun diskrit Prosedur Uji 1. H0 : variabel random x berdistribusi teoritis tertentu H1 : tidak 2. Tingkat signifikansi : 3. Perhitungan statistik uji Data pengamatan disusun dan diurutkan dari nilai data terkecil sampai terbesar Menentukan distribusi frekuensi masing-masing nilai data Hitung distribusi frekuensi relatif kumulatif, notasikan dengan Fa (x) Hitung distribusi frekuensi teoritis (ekspektasi), notasikan dengan Fe (x)
Uji Kolmogorov 3. Statistik Uji D = Maksimum I Fa (x) – Fe (x) I ~ berdistribusi D ; n nilai D ; n dilihat pada tabel nilai uji kolmogorov – smirnov untuk sampel tunggal 4. Daerah kritis D > D ; n Ho ditolak
Ujilah dengan = 0,05 apakah data berikut berdistribusi normal dengan rata-rata µ =3 dan standard deviasi σ = 1 2,1 1,9 3,2 2,8 1,0 5,1 0,9 4,2 3,9 3,6 2,7 Penyelesaian
1. H0 : variabel random x berdistribusi normal N(3; 1) H1 : tidak 2. Tingkat signifikansi : = 0,05 3. Perhitungan statistik uji Fungsi densitas kumulatif dari variabel random yang berdistribusi normal N(3; 1) x 3 Fe( x) P( Z Z 0 ) P Z PZ ( x 3) 1
Data pengamatan disusun dan diurutkan dari nilai data terkecil sampai terbesar Menentukan distribusi frekuensi masing-masing nilai data
Contoh
Statistik Uji D = Maksimum I Fa (x) – Fe (x) I = 0,1795 Daerah kritis bila D > D 0,05; 11 = 0,391 Ho ditolak karena D = 0,1795 < D 0,05; 11 = 0,391 maka Ho diterima berarti data diatas berdistribusi normal N(3; 1)
Ujilah dengan = 0,05 apakah data berikut berdistribusi uniform dengan a=0 dan b=30 atau U (0; 30) 4,8 10,3 28,2 23,1 4,4 28,7 19,5 2,4 24,0 10,3 Penyelesaian
1. H0 : variabel random x berdistribusi uniform U(0; 30) H1 : tidak 2. Tingkat signifikansi : = 0,05 3. Perhitungan statistik uji Fungsi densitas kumulatif dari variabel random yang berdistribusi U (0;30) 0 ;x≤0 Fe(x) x/(30-0) ; 0 < x < 30 1 ; x ≥ 30 Data pengamatan disusun dan diurutkan dari nilai data terkecil sampai terbesar Tentukan distribusi frekuensi masing-masing nilai data
Contoh
Statistik Uji D = Maksimum I Fa (x) – Fe (x) I = 0,16 nilai D ; n dilihat pada tabel nilai uji kolmogorov – smirnov untuk sampel tunggal Daerah kritis D > D 0,05; 10 = 0,410 Ho ditolak karena D = 0,16 < D 0,05; 10 = 0,410 maka Ho diterima berarti data diatas berdistribusi uniform U(0;30)
