UJI STATISTIK NON PARAMETRIK Widha Kusumaningdyah,, ST., MT
UJI KERANDOMAN (RANDOMNESS TEST / RUN TEST)
Uji KERANDOMAN Untuk menguji apakah data sampel yang diambil merupakan data yang acak / random Prosedur Uji 1. H0 : urutan data merupakan urutan yang random / acak H1 : urutan data bukan merupakan urutan yang random / acak 2. Tingkat signifikansi : 3. Perhitungan statistik uji Tentukan nilai median data Untuk data yang > median, beri tanda + Untuk data yang < median, beri tanda – Untuk data yang = median, beri tanda 0 Setelah data dinyatakan dalam tanda + dan -, tentukan banyaknya run dalam urutan data tersebut (urutan data tidak boleh diubah) Run = banyaknya urutan data dengan tanda yang identik yang diikuti dan didahului oleh tanda yang berbeda atau tanpa tanda
Uji KERANDOMAN Misal : - + + = 2 run - + - - = 3 run - - + - + - = 5 run n1 = banyaknya data yang bertanda tertentu misalnya + n2 = banyaknya data yang bertanda lainnya, misalnya – r = banyaknya run dalam urutan 4.
Daerah kritis a. Untuk n1 dan n2 ≤ 20 bila ra ≤ r ≤ rb Ho diterima bila r < ra atau r > rb Ho ditolak b. Untuk n1 atau n2 > 20 r ~ berdistribusi normal dengan rata-rata μr dan standard deviasi
2n1n2 r 1 n1 n2
2n1n2 2n1n2 n1 n2 r (n1 n2 ) 2 (n1 n2 1)
r dengan
Uji KERANDOMAN Z hitung Bila
r r
r
Ho diterima Z Z hitung Zmaka 2
Bila
2
Z hitung Zatau 2
Z hitung maka Z Ho ditolak 2
UJI KOLMOGOROV - SMIRNOV 1 SAMPEL (SAMPEL TUNGGAL)
UJI KOLMOGOROV Merupakan uji goodness of fit antara frekuensi pengamatan dan frekuensi harapan Dibanding dengan uji goodness of fit dengan menggunakan X2 test - Uji kolmogorov – smirnov lebih efisien untuk sampel berukuran kecil - Uji kolmogorov – smirnov hanya bisa digunakan untuk variabel random kontinu sedang X2 test bisa untuk kontinu masupun diskrit Prosedur Uji 1. H0 : variabel random x berdistribusi teoritis tertentu H1 : tidak 2. Tingkat signifikansi : 3. Perhitungan statistik uji Data pengamatan disusun dan diurutkan dari nilai data terkecil sampai terbesar Menentukan distribusi frekuensi masing-masing nilai data Hitung distribusi frekuensi relatif kumulatif, notasikan dengan Fa (x) Hitung distribusi frekuensi teoritis (ekspektasi), notasikan dengan Fe (x)
Uji Kolmogorov 3. Statistik Uji D = Maksimum I Fa (x) – Fe (x) I ~ berdistribusi D ; n nilai D ; n dilihat pada tabel nilai uji kolmogorov – smirnov untuk sampel tunggal 4. Daerah kritis D > D ; n Ho ditolak
Latihan 1 Diberikan hasil pengumpulan data sebagai berikut : 31, 36, 43, 51, 44, 12, 26, 43, 75, 2, 3, 15, 18, 78, 24, 13, 27, 86, 61, 13, 7, 6, 8, 15 Ujilah dengan = 0,05 apakah data tersebut mempunyai urutan yang random
SOLUSI Latihan 1 Penyelesaian
1. H0 : urutan data merupakan urutan yang random / acak H1 : urutan data bukan merupakan urutan yang random / acak 2. Tingkat signifikansi : = 0,05 3. Perhitungan statistik uji Menentukan nilai median data Data diurutkan dari kecil ke besar 2
3
6
7
8
12
13
13
15
`15
31
36
43
43
44
51
61
75
78
86
median = (24+26)/2 = 25 Untuk data yang > median, beri tanda + Untuk data yang < median, beri tanda – Untuk data yang = median, beri tanda 0
18
24
26
27
Contoh Lanjutan.. 31 + 24 -
36 + 13 -
43 + 27 +
51 + 86 +
44 + 61 +
12 13 -
26 + 7 -
43 + 6 -
75 + 8 -
2 15 -
3 -
15 -
n1 = 12 n2 = 12 r =8 4. Daerah kritis karena ra = 7 ≤ r = 8 ≤ rb = 19 Ho diterima Berarti data di atas mempunyai urutan yang acak / random
18 -
78 +
Contoh 2 Latihan Data berikut merupakan urutan hasil proses produksi dari mesin tertentu disebuah pabrik. Dimana notasi D menunjukkan produk cacat (defect) dan N menunjukkan hasil baik (non defect) NNNNNNDDDDNNDDNNNNNNNNNNDDNNNNDDDNNNNNND Ujilah dengan = 0,05 apakah urutan data tersebut mempunyai urutan yang random
SOLUSI Latihan 2 Penyelesaian 1. H0 : urutan data merupakan urutan yang random / acak H1 : urutan data bukan merupakan urutan yang random / acak 2. Tingkat signifikansi : = 0,05 3. Perhitungan statistik uji Untuk data D + Untuk data N ------++++--++----------++----+++------+ n1 = 12 n2 = 28 > 20 r = 10
r
r
2n1n2 2(12)(28) 1 1 17,8 n1 n2 12 28
2n1n2 2n1n2 n1 n2 2 (n1 n2 ) (n1 n2 1)
2(12)(28)2(12)(28) 12 28 (12 28) 2 (12 28 1)
Contoh r
2(12)(28)2(12)(28) 40 6,81 2,6 2 (40) (39)
Z hitung
r r
r
10 17,8 3 2,6
4. Daerah kritis Karena Z hitung 3 Z 0, 025 1,96 Ho ditolak Berarti data diatas mempunyai urutan yang tidak acak / random
Latihan 3 Ujilah dengan = 0,05 apakah data berikut berdistribusi normal dengan rata-rata µ =3 dan standard deviasi σ = 1 2,1 1,9 3,2 2,8 1,0 5,1 0,9 4,2 3,9 3,6 2,7
x 3 Fe( x) P( Z Z 0 ) P Z PZ ( x 3) 1
SOLUSI Latihan 3 Penyelesaian
1. H0 : variabel random x berdistribusi normal N(3; 1) H1 : tidak 2. Tingkat signifikansi : = 0,05 3. Perhitungan statistik uji Fungsi densitas kumulatif dari variabel random yang berdistribusi normal N(3; 1) Data pengamatan disusun dan diurutkan dari nilai data terkecil sampai terbesar Menentukan distribusi frekuensi masing-masing nilai data
Contoh
Statistik Uji D = Maksimum I Fa (x) – Fe (x) I = 0,1795 Daerah kritis bila D > D 0,05; 11 = 0,392 Ho ditolak karena D = 0,1795 < D 0,05; 10 = 0,391 maka Ho diterima berarti data diatas berdistribusi normal N(3; 1)
Latihan 4h 2 Ujilah dengan = 0,05 apakah data berikut berdistribusi uniform dengan a=0 dan b=30 atau U (0; 30) 4,8 10,3 28,2 23,1 4,4 28,7 19,5 2,4 24,0 10,3
SOLUSI Latihan 4 Penyelesaian
1. H0 : variabel random x berdistribusi uniform U(0; 30) H1 : tidak 2. Tingkat signifikansi : = 0,05 3. Perhitungan statistik uji Fungsi densitas kumulatif dari variabel random yang berdistribusi U (0;30) 0 ;x≤0 Fe(x) x/(30-0) ; 0 < x < 30 1 ; x ≥ 30 Data pengamatan disusun dan diurutkan dari nilai data terkecil sampai terbesar Tentukan distribusi frekuensi masing-masing nilai data
Contoh
Statistik Uji D = Maksimum I Fa (x) – Fe (x) I = 0,16 nilai D ; n dilihat pada tabel nilai uji kolmogorov – smirnov untuk sampel tunggal Daerah kritis D > D 0,05; 10 = 0,410 Ho ditolak karena D = 0,16 < D 0,05; 10 = 0,410 maka Ho diterima berarti data diatas berdistribusi uniform U(0;30)