2016. Statistik Non Parametrik

27/05/2016

Pertemuan 11 s.d. 13 • Outline:

STATISTIKA INDUSTRI 2

– Nonparametric Statistics

• Referensi: TIN 4004

Nonparametric • • • •

Distribution-free methods Analysis of ranks Small sample size Disadvantages: – Do not utilize all information provided by the sample – Less efficient than parametric procedure

– Walpole, R.E., Myers, R.H., Myers, S.L., Ye, K., Probability & Statistics for Engineers & Scientists , 9th Ed. Prentice Hall, 2012.

Statistik Non Parametrik Statistik Non parametrik • Cabang ilmu statistik yang mempelajari prosedur-prosedur inferensial dengan kesahihan yang tidak bergantung kepada asumsi-asumsi yang kaku tapi cukup pada asumsi yang umum. • Asumsi-asumsi yang kaku, misal: syarat kenormalan suatu data, ragam yang sama, dll Uji Statistik Parametrik • Suatu uji yang modelnya menetapkan adanya syarat-syarat tertentu (asumsi-asumsi) dari sebaran (distribusi) data populasinya. • Banyak digunakan untuk menganalisis data interval dan rasio • Biasanya datanya besar : > 30

SI 2 - Statistik Non Parametrik

Parametrik Vs Non Parametrik Parametrik • menuntut ukuran – ukuran tingkat taraf tinggi • Ukuran taraf / tingkat tinggi adalah sesuatu yang menghasilkan ukuran-ukuran yang digunakan untuk menunjukkan arti penting dari perbedaan yang terjadi. • Misal: Ukuran berat (kg) Perbedaan (0 - 485 kg) sama dengan perbedaan (485 - 980 kg) Non Parametrik  Terjadi ukuran ordinal (bukan taraf tinggi)  Misal: Preferensi konsumen atas 5 jenis barang (1,2,3,4,5) 3 memiliki preferensi > dari 2 tapi perbedaannya belum tentu 1 Tingkatan eksekutif 4 manager (1,2,3,4) Pengujian dalam ukuran ordinal dengan cara memberi rank. Contoh : Ukuran berat : 3,4 1,8 5,8 Rank : 2 1 3 SI 2 - Statistik Non Parametrik

5

4

Skala Pengukuran...(review) Semua skala pengukuran dapat diklasifikasikan kedalam empat jenis skala berikut ini :

1.Nominal • Juga disebut sebagai skala kategorik • Merupakan skala pengukuran yang bersifat membedakan saja • Angka atau simbol yang diberikan tidak memiliki maksud kuantitatif hanya menunjukkan ada atau tidak adanya atribut atau kharakteristik yang diteliti • Contoh : Jenis kelamin seseorang, status perkawinan, kepesertaan keluarga berencana, lulus atau tidak dll. • Bekerja dengan data ini, peneliti harus menentukan angka untuk tiap kategori, sebagai contoh : 1 untk wanita dan 2 untuk laki-laki (angka ini hanya representasi dari kategori atau kelas-2 dan tidak meunjukkan bilangan dari suatu atribut atau karakteristik.


6

1

27/05/2016

Skala Pengukuran

Skala Pengukuran

3. Interval

2.Ordinal • • •

Skala pengukuran yang sifatnya membedakan dan mengurutkan Setiap sub kelas dapat dibandingkan dengan yang lain dalam hubungan “ lebih besar” atau “ lebih sedikit”. Contoh: misalkan seseorang diminta untuk mengurutkan tiga buah produk berdasarkan tingkat kepuasan terhadap produk.

Product A

Product B

Product C Brand

Not at all satisfied

Very satisfied


Rank

A

1

B

2

C

3

7


Skala Pengukuran

8

Statistik Non Parametrik

4. Ratio • Skala pengukuran yang sifatnya membedakan, mengurutkan dan mempunyai nilai nol mutlak. • Nilai nol mutlak adalah nilai dasar yang tidak bisa diubah meskipun menggunakan skala yang lain. • Karenanya nilai-nilai dalam skala ini dapat dibandingkan dan dapat dilakukan operasi matematis seperti penjumlahan pengurangan, bagi ataupun perkalian. • Contoh : 100 Kg memiliki berat dua kali 50 kg 1000 meter memiliki panjang 20 kali 50 meter dll


• Skala pengukuran yang bersifat membedakan, mengurutkan dan memiliki jarak yang sama • Tidak memiliki nilai nol mutlak. • Contoh : Suatu suhu 80 F tidak dapat dikatakan dua kali lebih panas dari suhu 40 F, karena kita tahu bahwa 80 F, pada skala suhu yang lain, seperti celcius adalah 26,7 C sedangkan 40 F = 4,4 C. meskipun 80 F kelihatannya dua kali 40F , seseorang tidak dapat mengatakan bahwa 80F dua kali lebih panas dari 40F, karena pada skala yang lain panasnya tidak dua kalinya.

9

Statistik non parametrik Kapan digunakan?? • Sampel ukuran kecil / tidak melibatkan parameter populasi • Data yang digunakan : data ordinal atau nominal • Bentuk distribusi populasi dan tempat pengambilan sampel tidak diketahui menyebar secara normal • Ingin menyelesaikan masalah statistik dengan cepat • Bila asumsi-asumsi yang diperlukan pada suatu prosedur pengujian parametrik tidak terpenuhi • Bila penghitungan harus dilakukan secara manual

Kelebihan statistik non parametrik 1. Asumsi yang digunakan minimum sehingga mengurangi kesalahan penggunaan 2. Perhitungan dapat dilakukan dengan cepat dan mudah 3. Konsep dan metode nonparametrik mudah dipahami bahkan oleh seseorang dengan kemampuan matematik yang minim 4. Dapat diterapkan pada skala peubah kualitatif (nominal dan ordinal) 5. Distribusi data tidak harus normal Kekurangan statistik non parametrik 1. Bila digunakan pada data yang dapat diuji menggunakan statistika parametrik maka hasil pengujian menggunakan statistik nonparametrik menyebabkan pemborosan informasi 2. Pekerjaan hitung-menghitung (aritmetik) karena memerlukan ketelitian terkadang menjemukan SI 2 - Statistik Non Parametrik

10

Langkah – langkah pemilihan metode statistik 1. Apakah distribusi data diketahui? ya

LIHAT JENIS DISTRIBUSINYA

tidak

NON PARAMETRIK

tidak

NON PARAMETRIK

2. Apakah data berdistribusi normal? ya

PARAMETRIK

3. Apakah sampel ditarik secara random? PARAMETRIK SI 2 - Statistik Non Parametrik

11


ya

tidak

NON PARAMETRIK

12

2

27/05/2016

Langkah – langkah pemilihan metode statistik - 2 4. Apakah varians kelompok sama? LIHAT JENIS DISTRIBUSINYA

ya

tidak

Langkah2 pemilihan metode statistik

NON PARAMETRIK

5. Bagaimana jenis skala pengukuran data?

PARAMETRIK


INTERVAL RASIO

NOMINAL ORDINAL

NON PARAMETRIK

13

Parametrik Vs Non Parametrik


14

Pengujian Hipotesis Statistik Non Parametrik Langkah – langkah pengujian hipotesis: 1. Menentukan formulasi hipotesis 2. Menentukan taraf nyata dan nilai tabel 3. Menentukan kriteria pengujian 4. Menentukan nilai uji statistik 5. Membuat kesimpulan


15

Pengujian Hipotesis Statistik Non Parametrik Uji Non Parametrik yang akan dipelajari: • Uji Tanda (Sign Test) • Uji Urutan Bertanda Wilcoxon • Uji Korelasi urutan Spearman • Uji Mann-Whitney • Uji Kruskal – Wallis (H Test) • Uji Run • Uji Median • Uji kolmogorov



16

Sign Test • Used to test hypotheses on a population median • Population mean = population median when distribution is symmetric • In testing the 𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0 against an appropriate alternative, with random sample size = n, replace each sample value exceeding 𝜇0 with “+”, and each sample value exceeding 𝜇0 with “-” • The sign test is applicable only in situations where 𝜇0 cannot equal the value of any of the observations • Binomial random variable 𝑋, representing the number of plus signs in our random sample

17

3

27/05/2016

Sign Test

Sign Test

• Test 𝐻0 that the number of “+” is a value of a random variable having the binomial distribution with 𝑝 = 1/2. • P-values are calculated using binomial distribution • Reject 𝐻0 if proportion of “+” is sufficiently less than ½, when the value 𝑥 of our random variable is small. 𝑃 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 ≤ 𝛼

Reject 𝐻0 , jika P-value ≤ α

Sign Test • Contoh:

• Contoh

Sign Test • Contoh:

Sign Test

• Contoh

Sign Test

4

27/05/2016

Wilcoxon Signed-Rank Test • Symmetric continuous distribution • Subtract sample value with 𝜇0 , rank it from absolute smallest to the largest one • When there are more than one differences are the same, rank it with the average number of the differences

Wilcoxon Signed-Rank Test • n < 5, and level of significance ≤ 0,05 (onetailed test), level of significance ≤ 0,01 (twotailed test) >>> 𝑤+ , 𝑤− , 𝑤 will lead to acceptance 𝐻0 • 5 ≤ n ≤ 30, check table to set critical region

Wilcoxon Signed-Rank Test • Contoh:

Wilcoxon Signed-Rank Test • Test Procedures



5

27/05/2016

Wilcoxon Signed-Rank Test

Wilcoxon Rank-Sum Test • Testing equality of means of two continous distributions that nonnormal and samples are independent • Take random sample, assign 𝑛1 for smaller number sample and 𝑛2 for larger one. Assigned randomly if two population have the same number of sample • Arrange 𝑛1 + 𝑛2 observations in ascending order. If there are the identical observations value, mean the ranks • 𝑤1 = sum of ranks of 𝑛1 observations • 𝑤2 = sum of ranks of 𝑛2 observations

Wilcoxon Rank-Sum Test

Wilcoxon Rank-Sum Test • Procedures:

• Reject 𝐻0 : 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢 less than or equal to the table value



• Contoh:

6

27/05/2016


Kruskal-Wallis Test • Nonparametric alternative to analysis of variance – ANOVA: testing equality of 𝑘 ≥ 2 population means, must be normal distribution when using F-statistic – Kruskal-Wallis Test is a nonparametric procedure for testing the equality of means in the one-factor analysis of variance without normal populations assumption

• Generalization of Runk-Sum test for case 𝑘 > 2 samples

Kruskal-Wallis Test • Procedure: – Test 𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2 = ⋯ = 𝜇𝑘 ; 𝐻1 : Not all means are equal Condition: samples are independent

– Steps: 1. Arrange the 𝑘 samples in ascending order, and assigne the smallest number observations as 𝑛1 and so on. Compute 𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑘 2. Rank all the observations inascending order. For identical observations, assign it with the mean of the ranks 3. Sum the rank of each sample, denote it by random variable 𝑅. 𝑅𝑖 is sum of ranks corresponding to the 𝑛𝑖 observation in the 𝑖-th sample

Kruskal-Wallis Test • Contoh soal:

Kruskal-Wallis Test • Procedure: – Steps: 4. Compute the 𝐻-statistic: 𝑯=

𝟏𝟐 𝒏(𝒏 + 𝟏)

𝒌

𝒊=𝟏

𝑹𝟐𝒊 − 𝟑(𝒏 + 𝟏) 𝒏𝒊

>>> approximated very well by chi-squared distribution with 𝑑𝑓 = 𝑘 − 1

5. Critical Region:

𝑯 > 𝝌𝟐𝜶,𝒗=𝒌−𝟏

Kruskal-Wallis Test • Contoh soal:

7

27/05/2016

Runs Test • Randomness Test • Run: subsequence of one or more identical symbols representing a common property of the data • Runs test divides the data into two mutually exclusive categories, so a sequence will always be limited to two distinct symbols • 𝑛1 : the number of symbols category that the least occurs; 𝑛2 : the number of symbols belong to other category • 𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2 • Based on the random variable 𝑉 • 𝑉: total number of runs that occur in the complete sequence of experiment

• Contoh Soal:

Runs Test

Runs Test • When 𝑛1 and 𝑛2 (≥ 10 𝑓𝑜𝑟 𝑒𝑎𝑐ℎ) is large, the sampling distribution of 𝑉 approaches the normal distribution with mean and variance as follow:

Runs Test • Hipotesis:

– 𝐻0 : the sequence is random – 𝐻1 : the sequence is not random

• Tabel Runs Test to determine the P-value: – One tailed test:

𝑃 = 𝑃(𝑉 ≤ 𝑣 ∗ , 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝐻0 𝑖𝑠 𝑡𝑟𝑢𝑒)

– Two tailed test:

𝑃 = 2𝑃(𝑉 ≤ 𝑣 ∗ , 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝐻0 𝑖𝑠 𝑡𝑟𝑢𝑒)

– When 𝑣 ∗ is large (> 𝑛/2), use: 𝑃 = 𝑃 𝑉 ≥ 𝑣 ∗ , 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝐻0 𝑖𝑠 𝑡𝑟𝑢𝑒 = 1 − 𝑃(𝑉 ≤ 𝑣 ∗ − 1, 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝐻0 𝑖𝑠 𝑡𝑟𝑢𝑒)

• Critical Region: 𝑃 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 ≤ 𝛼

• Contoh Soal:

Runs Test

Runs Test • Lakukan uji apakah data berikut random atau tidak:

• 𝑍 − 𝑇𝑒𝑠𝑡:

8

27/05/2016

Kolmogorov-Smirnov Test


• Test for normality • An alternative to the chi-squared test for distribution hypothesis test


Spearman Coefficient of Rank Correlation


9

27/05/2016


Uji Mann-Whitney (U Test) • Disebut juga pengujian U. • Dikembangkan oleh H.B. Mann dan D.R. Whitney • Digunakan untuk menguji rata-rata dari 2 sampel berukuran tidak sama • Data ordinal • Uji Mann-Whitney merupakan alternatif bagi uji-t. • Uji Mann-Whitney digunakan untuk membandingkan dua mean populasi yang berasal dari populasi yang sama. • Uji Mann-Whitney juga digunakan untuk menguji apakah dua mean populasi sama atau tidak. SI 2 - Statistik Non Parametrik

57

Uji Mann-Whitney (U Test)

Uji Mann-Whitney (U Test) • Untuk sampel kecil • Tahapan:  Menentukan n1 dan n2.  Menggabungkan kedua sampel dan memberi urutan (ranking) tiap-tiap anggota  Menjumlahkan urutan masing-masing sampel  Menghitung statistik U


58

Uji Mann-Whitney (U Test) Jika sample size kecil ≤ 30


59


U 1  n1 .n2 

n1 (n1  1)  R1 2

U 2  n1 .n2 

n2 (n2  1)  R2 2

60

10

27/05/2016


Contoh 1. Uji Mann-Whitney (U Test)

Misalkan μ1 dan μ2 merupakan produktivitas padi dengan pupuk anorganik dan organik • 1. Hipotesis H0 : μ1 = μ2 (produktivitas padi dengan pupuk anorganik dan organik adalah sama) H1 : μ1 ≠ μ2 (produktivitas padi dengan pupuk anorganik dan organik tidak sama atau berbeda) • 2. Tingkat signifikansi 5% SI 2 - Statistik Non Parametrik

61


62

Tabel U /Mann-Whitney


Dipakai adalah U terkecil


63




Latihan!! Tabel di bawah menunjukkan gaji yang diterima oleh 5 orang sarjana ekonomi dan 4 orang insinyur setelah 3 tahun bekerja yang diperoleh dari sampel secara random

Jika sample size besar

Urutan

SE

Gaji

Urutan

ST

Gaji

A

710

1

O

850

5

B

820

3,5

P

820

3,5

C

770

2

Q

940

8

D

920

7

R

970

E

880

6 R1=19,5

64

9

R2 = 25,5

Ujilah bahwa setelah tiga tahun bekerja, gaji sarjana ekonomi tidak lebih rendah dibanding insinyur . SI 2 - Statistik Non Parametrik

65


66

11

27/05/2016



Berikut adalah nilai UAS Statistika 2 mahasiswa fakultas Ekonomi dan ilmu komputer

Catatan: jumlah sampel mahasiswa 20 SI 2 - Statistik Non Parametrik

67



Urutan

Nilai

Rank

1

25

1

2

30

2

3

50

3

4

55

4

5

65

5

6

70

7

7

70

8

70

7

9

75

9.5

10

75

9.5

7

11

78

12

80

12

13

85

13.5

11

14

85

13.5

15

88

15.5

16

88

15.5

17

90

17

18

95

18

19

98

19

20

100

20 68


Berdasarkan tabel tersebut, ujilah dengan taraf nyata 5%, apakah (peringkat) nilai mahasiswa fakultas ekonomi lebih besar dibanding mahasiswa ilmu komputer?


69

Contoh 3. Uji Mann-Whitney (U Test) Untuk menguji tingkat rata- rata operasi antara perusahaan 1 dan 2. Diambil sampel random n1 = 10 hari pada perusahaan 1 dan n2 = 12 hari pada perusahaan 2. Jumlah n1 + n2 = 22, kemudian tingkat rata-rata operasi diranking. Jumlah rank pada perusahaan 1 dan 2 berturut – turut adalah 145,5 dan 107,5. Pada α = 0,05 susunlah suatu pengujian untuk menentukan apakah tingkat rata-rata operasi perusahaan 1 lebih besar dari perusahaan 2? Jawab Misalkan μ1 dan μ2 merupakan tingkat rata – rata operasi perusahaan 1 dan 2 1. Hipotesis H0 : μ1 = μ2 (tingkat rata – rata operasi perusahaan 1 dan 2 adalah sama) H1 : μ1 > μ2 (tingkat rata – rata operasi perusahaan 1 lebih besar dari pershn 2) 2. Nilai kritis Dengan α = 0,05, diperoleh: Z0,05 = 1,64 SI 2 - Statistik Non Parametrik

71


70

Penyelesaian 4. Kesimpulan Karena nilai statistik Zsampel = 2,01 > Z0,05 = 1,64 maka tolak H0. Ini berarti tingkat rata – rata operasi perusahaan 1 lebih besar dari pada tingkat rata – rata operasi perusahaan 2

3. Nilai hitung

Standar deviasi populasi

Nilai statistik Z sampel


72

12

27/05/2016


Penyelesaian 1. Hipotesis H0 : μ1 = μ2 H1 : μ1 ≠ μ2 2. Nilai kritis Karena uji dua sisi, α = 0,10, maka harus dibagi dua menjadi (0,10/2 ) = 0,05. Sehingga Z0,05 = 1,64 3. Nilai hitung 𝜇𝑅1 =

𝑛1 (𝑛1 + 𝑛2 + 1) 14(14 + 11 + 1) = = 182 2 2

Standar deviasi populasi 𝛿𝑅 = SI 2 - Statistik Non Parametrik

73


Penyelesaian

74

Uji Median

Nilai statistik Zsampel 𝑍𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙 =

𝑛1 𝑛2 (𝑛1 + 𝑛1 + 1) (14)(11)(14 + 11 = 1) = = 18,267 12 12

• Untuk menguji apakah dua sampel independen berbeda mediannya. • Kedua sampel acak yang diambil dapat memiliki besar sampel yang berbeda

𝑅1 − 𝜇𝑅1 205 − 182 = = 1,26 𝜎𝑅 18,267

4, Kesimpulan Karena nilai statistik Zsampel = 1,26 < Z0,05 = 1,64 maka terima H0. Ini berarti taraf rata – rata kedua paket adalah sama Daerah penolakan H0

Daerah penolakan H0


75

Uji Median



76

Uji Median

77


78

13

27/05/2016

Uji Median

Uji Median


79

Contoh. Uji Median


81

Penyelesaian


80

Penyelesaian


82

Pertemuan 14 - Persiapan • Materi – Validitas dan Realibilitas


83

14

27/05/2016

15

2016. Statistik Non Parametrik

Recommend Documents