Statistik Non Parametrik

Statistik Non Parametrik

STATISTIK PARAMETRIK DAN NON PARAMETRIK • Statistik parametrik, didasarkan asumsi : - sampel random diambil dari populasi normal atau - ukuran sampel besar atau - sampel berasal dari populasi dengan variansi yang sama 

Statistik non parametrik, didasarkan asumsi : - hampir tidak mengasumsikan persyaratan apapun kecuali distribusinya kontinyu.

Statistik non parametrik Statistik Non parametrik • Cabang ilmu statistik yang mempelajari prosedur-prosedur inferensial dengan kesahihan yang tidak bergantung kepada asumsi-asumsi yang kaku tapi cukup pada asumsi yang umum. • Asumsi-asumsi yang kaku, misal: syarat kenormalan suatu data, ragam yang sama, dll tetapi cukup pada asumsi yang umum、Statistik bebas sebaran

Uji Statistik Parametrik • Suatu uji yang modelnya menetapkan adanya syarat-syarat tertentu (asumsi-asumsi) dari sebaran (distribusi) data populasinya. • Banyak digunakan untuk menganalisis data interval dan rasio • Biasanya datanya besar : > 30 SI 2 - Statistik Non Parametrik

3

Parametrik Vs Non Parametrik Parametrik • menuntut ukuran – ukuran tingkat taraf tinggi • Ukuran taraf / tingkat tinggi adalah sesuatu yang menghasilkan ukuran-ukuran yang digunakan untuk menunjukkan arti penting dari perbedaan yang terjadi. • Misal: Ukuran berat (kg) Perbedaan (0 - 485 kg) sama dengan perbedaan (485 - 980 kg)

Non Parametrik  Terjadi ukuran ordinal (bukan taraf tinggi)  Misal: Preferensi konsumen atas 5 jenis barang (1,2,3,4,5) 3 memiliki preferensi > dari 2 tapi perbedaannya belum tentu 1 Tingkatan eksekutif 4 manager (1,2,3,4) Pengujian dalam ukuran ordinal dengan cara memberi rank. Contoh : Ukuran berat : 3,4 1,8 5,8 SI 2 - Statistik Non Parametrik : 2 4 Rank 1 3

Skala Pengukuran...(review) Nominal • Juga disebut sebagai skala kategorik • Merupakan skala pengukuran yang bersifat membedakan saja • Angka atau simbol yang diberikan tidak memiliki maksud kuantitatif hanya menunjukkan ada aau tidak adanya atribut atau kharakteristik yang diteliti • Contoh : Jenis kelamin seseorang, status perkawinan, kepesertaan keluarga berencana, lulus atau tidak dll. • Bekerja dengan data ini, peneliti harus menentukan angka untuk tiap kategori, sebagai contoh : 1 untk wanita dan 2 untuk laki-laki (angka ini hanya representasi dari kategori atau kelas-2 dan tidak meunjukkan bilangan dari suatu atribut atau karakteristik. SI 2 - Statistik Non Parametrik

5

Skala Pengukuran Ordinal • Skala pengukuran yang sifatnya membedakan dan mengurutkan • Setiap sub kelas dapat dibandingkan dengan yang lain dalam hubungan “ lebih besar” atau “ lebih sedikit”. • Contoh: misalkan seseorang diminta untuk mengurutkan tiga buah produk berdasarkan tingkat kepuasan terhadap produk. Product A

Very satisfied

Product B

Product C

Not at all satisfied

Brand

Rank

A

1

B

2

C

3 6

Skala Pengukuran Interval • Skala pengukuran yang bersifat membedakan, mengurutkan dan memiliki jarak yang sama • Tidak memiliki nilai nol mutlak. • Contoh : • Suatu suhu 80 F tidak dapat dikatakan dua kali lebih panas dari suhu 40 F, karena kita tahu bahwa 80 F, pada skala suhu yang lain, seperti celcius adalah 26,7 C sedangkan 40 F = 4,4 C. meskipun 80 F kelihatannya dua kali 40F , seseorang tidak dapat mengatakan bahwa 80F dua kali lebih panas dari 40F, karena pada skala yang lain panasnya tidak dua kalinya. 4/25/2014

Multivariate Analysis

7

Skala Pengukuran Ratio • Skala pengukuran yang sifatnya membedakan, mengurutkan dan mempunyai nilai nol mutlak. • Nilai nol mutlak adalah nilai dasar yang tidak bisa diubah meskipun menggunakan skala yang lain. • Karenanya nilai-nilai dalam skala ini dapat dibandingkan dan dapat dilakukan operasi matematis seperti penjumlahan pengurangan, bagi ataupun perkalian. • Contoh : • 100 Kg memiliki berat dua kali 50 kg • 1000 meter memiliki panjang 20 kali 50 meter • dll 4/25/2014

Multivariate Analysis

8

Statistik non parametrik Kelebihan statistik non parametrik 1. Asumsi yang digunakan minimum sehingga mengurangi kesalahan penggunaan 2. Perhitungan dapat dilakukan dengan cepat dan mudah 3. Konsep dan metode nonparametrik mudah dipahami bahkan oleh seseorang dengan kemampuan matematik yang minim 4. Dapat diterapkan pada skala peubah kualitatif (nominal dan ordinal) 5. Distribusi data tidak harus normal 6. Bisa digunakan untuk sampel kecil (misal n=7) walaupun distribusi populasinya tidak diketahui Kekurangan statistik non parametrik 1. Bila digunakan pada data yang dapat diuji menggunakan statistika parametrik maka hasil pengujian menggunakan statistik nonparametrik menyebabkan pemborosan informasi 2. Pekerjaan hitung-menghitung (aritmetik) karena memerlukan ketelitian terkadang menjemukan SI 2 - Statistik Non Parametrik 9

Kekurangan Kekurangan Statistik Non parametrik • Bila persyaratan untuk uji parametrik dapat dipenuhi maka efisiensi pengujian non parametrik lebih rendah dibanding uji parametrik. • Uji non parametrik tidak dapat digunakan untuk menguji interaksi seperti dalam model analisis variansi • Uji non parametrik tidak bisa digunakan untuk membuat prediksi seperti dlm analisis regresi krn asumsi distribusi normal tidak dipenuhi.

Statistik non parametrik Kapan digunakan?? • Sampel ukuran kecil / tidak melibatkan parameter populasi • Data yang digunakan : data ordinal atau nominal • Bentuk distribusi populasi dan tempat pengambilan sampel tidak diketahui menyebar secara normal • Ingin menyelesaikan masalah statistik dengan cepat • Bila asumsi-asumsi yang diperlukan pada suatu prosedur pengujian parametrik tidak terpenuhi • Bila penghitungan harus dilakukan secara manual SI 2 - Statistik Non Parametrik

11

Langkah – Langkah Pemilihan Metode Statistik 1. Apakah distribusi data diketahui? LIHAT JENIS DISTRIBUSINYA

ya

tidak

NON PARAMETRIK

tidak

NON PARAMETRIK

2. Apakah data berdistribusi normal? PARAMETRIK

ya

3. Apakah sampel ditarik secara random? PARAMETRIK

ya

tidak 12

NON PARAMETRIK

Langkah – Langkah Pemilihan Metode Statistik - 2 4. Apakah varians kelompok sama? LIHAT JENIS DISTRIBUSINYA

ya

tidak

NON PARAMETRIK

5. Bagaimana jenis skala pengukuran data?

PARAMETRIK

SI 2 - Statistik Non Parametrik

INTERVAL RASIO

NOMINAL ORDINAL

13

NON PARAMETRIK

Langkah2 pemilihan metode statistik


14

Parametrik Vs Non Parametrik


15

Pengujian Hipotesis Statistik Non Parametrik Langkah – langkah pengujian hipotesis: 1. Menentukan formulasi hipotesis 2. Menentukan taraf nyata dan nilai tabel 3. Menentukan kriteria pengujian 4. Menentukan nilai uji statistik 5. Membuat kesimpulan


16

Pengujian Hipotesis Statistik Non Parametrik

Uji Non Parametrik yang akan dipelajari: • Uji Tanda (Sign Test) • Uji Urutan Bertanda Wilcoxon • Uji Mann-Whitney • Uji Kruskal – Wallis (H Test) • Uji Friedman • Uji Cochran (Uji Q) • Uji kerandoman (Randomness test/run test) • Uji kolmogorov – smirnov sampel tunggal SI 2 - Statistik Non Parametrik

17

SIGN TEST (UJI TANDA)

Uji Tanda (Sign Test) Fungsi pengujian: • Untuk menguji perbedaan/perubahan ranking (median selisih skor/ranking) dua buah populasi berdasarkan ranking (median selisih skor/ranking) dua sampel berpasangan

Didasarkan atas tanda-tanda positif atau negatif dari perbedaan antara pasangan pengamatan. SI 2 - Statistik Non Parametrik

19

SIGN TEST UNTUK SATU SAMPEL • Merupakan alternatif uji t dengan 1 sampel dalam uji parametrik • Prosedur pengujian H0 : μ = μ0 H1 : μ ≠ μ0

(p=0,5) (p ≠ 0,5) atau

μ > μ0

(p > 0,5) atau

μ < μ0 (p < 0,5)

• Tingkat signifikansi  • Perhitungan data sampel untuk statistik uji

 Setiap nilai pengamatan yang > μ0 diganti dengan/diberi tanda +  Setiap nilai pengamatan yang < μ0 diganti dengan/diberi tanda –  Setiap nilai pengamatan yang = μ0 diganti dengan 0 dan dihapus dari data  n = banyak pengamatan setelah tanda 0 di hapus dari data  k = Banyaknya pengamatan bertanda +  P = 0,5 ( probabilitas terjadinya tanda + dan – adalah sama)

SIGN TEST UNTUK SATU SAMPEL • Statistik Uji untuk n ≤ 20 X ~ berdistribusi binomial dengan parameter k, n, p Phitung = P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1) untuk n > 20 X ~ berdistribusi Normal (μ, ) dengan μ = np dan k  np Berdistribusi sehingga Z  hitung   np(1  p) np(1  p) normal

standard (0,1)

SIGN TEST UNTUK SATU SAMPEL • Daerah kritis untuk n ≤ 20 H1 : μ ≠ μ0  daerah penolakan Ho : Phitung < /2 atau Phitung > (1- /2 ) H1 : μ > μ0  daerah penolakan Ho : Phitung <  H1 : μ < μ0  daerah penolakan Ho : Phitung > (1-)

untuk n > 20 H1 : μ ≠ μ0  daerah penolakan Ho : Zhitung < -Z/2 atau Zhitung > Z/2 H1 : μ > μ0  daerah penolakan Ho : Zhitung < -Z H1 : μ < μ0  daerah penolakan Ho : Zhitung > Z

Uji Tanda (Sign Test) • Menentukan formulasi hipotesis H0 : Probabilitas terjadinya tanda + dan - adalah sama H1 : Probabilitas terjadinya tanda + dan - adalah berbeda • Menentukan taraf nyata dan nilai tabel Pengujian bisa satu sisi atau dua sisi

• Menentukan kriteria pengujian Pengujian satu sisi H0 : diterima bila   probabilitas hasil sampel H1 : diterima bila  > probabilitas hasil sampel Pengujian dua sisi H0 : diterima bila   2 KALI probabilitas hasil sampel H1 : diterima bila  > 2 KALI probabilitas hasil sampel


23

Uji Tanda (Sign Test)

Menentukan nilai uji statistik • Lihat tabel probabilitas binomial dengan n,r tertentu dan p = 0,5 • r = jumlah tanda yang terkecil

Membuat kesimpulan • Menyimpulkan H0 diterima ataukah tidak SI 2 - Statistik Non Parametrik

24

Contoh 1. Uji Tanda (Sign Test) Pasangan

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Istri Suami

3 2

2 3

1 2

0 2

0 0

1 2

2 1

2 3

2 1

0 2

Sejumlah 10 pasangan suami istri yang baru menikah dipilih secara acak dan ditanyakan secara terpisah pada masing-masing istri dan suami, berapa jumlah anak yang mereka inginkan. Informasi yang didapat adalah sebagai berikut:

Ujilah apakah kita dapat mengatakan bahwa wanita (istri) menginginkan anak lebih sedikit dibandingkan pria (suami)? Taraf nyata uji 0,01 SI 2 - Statistik Non Parametrik

25

Penyelesaian • Diketahui : data di atas,  = 0,01 • Ditanya : apakah ada perbedaan jumlah anak yang diinginkan antara istri dengan suami? • Jawab : – H0 : Tidak ada perbedaan jumlah anak yang diinginkan antara suami dan istri H1 : wanita (istri) menginginkan anak lebih sedikit dibandingkan pria (suami) – Taraf nyata uji : 0,01 – Kriteria pengujian : H0 diterima Jika 0,01 probabilitas hasil sampel H1 diterima Jika 0,01 > probabilitas hasil sampel SI 2 - Statistik Non Parametrik

26

Perhitungan Pasangan

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Istri Suami Selisih

3 2 +

2 3 -

1 2 -

0 2 -

0 0 0

1 2 -

2 1 +

2 3 -

2 1 +

0 2 -

r = 3, distribusi Binom dengan n = 9 dan p = 0,5 Menggunakan tabel Binom, maka akan diperoleh: P(r  3) = 0,254 Keputusan, karena 0,01  0,254, maka terima H0. Tidak ada perbedaan jumlah anak yang diinginkan antara suami dan istri SI 2 - Statistik Non Parametrik

27

Contoh 2. Uji Tanda (Sign Test) Berikut data mutu kerja karyawan sebelum dan sesudah kenaikan gaji. Uji dengan taraf nyata α = 5%, apakah ada peningkatan mutu karyawan setelah gaji naik!

Pegawai

Sebelum kenaikan gaji (X1)

1

71

72

+

2

91

88

-

3

86

82

-

4

60

67

+

5

83

88

+

6

70

67

-

7

72

75

+

8

65

75

+

9

80

90

+

10

72

76

+


Sesudah Selisih kenaikan (X2 – X1) gaji (X2)

28

Penyelesaian Dari tabel diketahui bahwa tanda (+) ada 7, dan tanda (-) ada 3 • Jawab : – H0 : Tidak ada peningkatan mutu kerja – H1 : Ada peningkatan mutu kerja – Taraf nyata uji : 0,05 – Kriteria pengujian : – H0 diterima Jika 0,05  probabilitas hasil sampel – H1 diterima Jika 0,05 > probabilitas hasil sampel –

N = 10, r = 3 dan p = 0,5 Probabilitas hasil sampel: Menggunakan tabel Binom, maka akan diperoleh: P(r  3) = 0,1719 2 - Statistik Non Parametrik 0,05 < 0.1719  H0SIditerima

29

Contoh 3. Uji Tanda (Sign Test) Dilakukan sebuah penelitian untuk mengetahui tingkat pengetahuan budidaya kopi sebelum dan sesudah diberi penyuluhan. Data hasil penelitian ditunjukkan pada tabel berikut. Dengan α = 0,01, lakukan pengujian untuk mengetahui ada tidaknya pengaruh penyuluhan terhadap tingkat pengetahuan budidaya kopi. SI 2 - Statistik Non Parametrik

30

Contoh Berikut adalah data sampel random dari 15 pengukuran rating octane dalam sejenis bensin yang diamati disuatu daerah tertentu 99,0 102,3 99,8 100,5 99,7 96,2 99,1 102,5 103,3 97,4 100,4 98,9 98,3 98,0 101,6 Ujilah dengan  = 0,01 apakah rating octane dari bensin yang diamati tersebut lebih dari 98,0 ?

Contoh Data berikut menunjukkan berapa lama (jam) sebuah alat listrik bisa digunakan sebelum diisi tenaga listrik 1,5 2,2 0,9 1,3 2,0 1,6 1,8 1,5 2,0 1,2 1,7 Ujilah dengan  = 0,05 bahwa alat tersebut rata-rata dapat bekerja 1,8 jam sebelum harus diisi tenaga listrik lagi

Contoh Seorang pimpinan universitas mengklaim bahwa lulusannya mempunyai ratarata IP lebih dari 3. Untuk membuktikan kebenaran dari pernyataannya tersebut diambil sampel berukuran 31 mahasiswa yang sudah lulus dan dicatat IP nya. Data yang diperoleh : 3,41

3,02

2,57

2,86

2,78

3,00

2,55

2,13

2,14

2,81

2,85

2,74

2,73

2,94

3,22

3,15

3,00

2,82

3,81

2,77

3,00

3,62

3,16

3,39

3,14

3,21

2,97

3,33

3,03

3,41

3,00 Ujilah dengan  = 1 % apakah klaim tersebut bisa diterima

SIGN TEST UNTUK DUA SAMPEL BERPASANGAN • Merupakan alternatif uji t dengan 2 sampel berpasangan (paired t test) dengan n1 = n2 • Prosedur pengujian H0 : μ1 = μ2 H1 : μ1 ≠ μ2

atau μ1 > μ2 atau μ1 < μ2

• Tingkat signifikansi  • Perhitungan data sampel untuk statistik uji  Hitung di = selisih (X1 – X2)  Jika di = 0 maka data dibuang  n = banyak data di setelah data dengan di = 0 dihapus dari data  Beri tanda (+) bila di > 0 dan (-) bila di < 0  R+ = banyaknya data yang bertanda +  R- = banyaknya data yang bertanda –  R = min (R+ ; R- )

SIGN TEST UNTUK DUA SAMPEL BERPASANGAN Untuk n ≤ 40 ; R~ berdistribusi R , n* (R , n* dari tabel nilai kritis untuk uji tanda) Untuk n > 40; R~ berdistribusi Normal dengan rata-rata dan standard deviasi

n Sehingga  R  2 Z hitung 

R  R

R

n R  4 2R  n  n

~ berdistribusi Normal standart N (0;1)

35

SIGN TEST UNTUK DUA SAMPEL BERPASANGAN • Daerah kritis untuk n ≤ 40 H1 : μ1 ≠ μ2  daerah penolakan Ho jika R ≤ R , n* H1 : μ1 > μ2  daerah penolakan Ho jika R- ≤ R , n* H1 : μ1 < μ2  daerah penolakan Ho jika R+ ≤ R , n*

untuk n > 40 H1 : μ1 ≠ μ2  daerah penolakan Ho jika Zhitung < -Z/2 atau Zhitung > Z/2 H1 : μ1 > μ2  daerah penolakan Ho jika Zhitung > Z H1 : μ1 < μ2  daerah penolakan Ho jika Zhitung < - Z 36

Contoh Sebuah perusahaan otomotif akan menentukan apakah ban radial bisa meningkatkan penghematan bahan bakar dibanding ban biasa. Untuk itu 24 mobil dipasangi ban radial kemudian dicoba pada lintasan tertentu. Tanpa mengganti sopir, mobil yang sama dipasangi ban biasa dan dicoba sekali lagi pada lintasan yang sama. Konsumsi bahan bakar (dalam kilometer perliter)

Gunakan  = 0,05 untuk menguji apakah ban radial lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa. 37

Penyelesaian 1. H0 : μ1 = μ2 (ban radial tidak lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa) H1 : μ1 < μ2 (ban radial lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa) 2. Tingkat signifikansi =0,05 3. Perhitungan :

38

Penyelesaian 4. Statistik Uji R+ = 13 n = 20 5. Daerah kritis : Ho ditolak bila R+ ≤ R 0,05, 20* = 5 Karena R+ =13 > R , n* = 5 maka Ho diterima. Jadi ban radial tidak lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa.

39

Note : Atau ada yang menggunakan perbandingannya adalah probabilitas hasil sampel dengan taraf uji nyata – – – –

Taraf nyata uji :  Kriteria pengujian : H0 diterima Jika   probabilitas hasil sampel H0 ditolak Jika  > probabilitas hasil sampel

* Untuk tabel menggunakan binomial (komulatif) dari data n, k dan p

UJI RANGKING BERTANDA WILCOXON

UJI RANKING BERTANDA Wilcoxon’s signed-rank test WILCOXON  Alternatif dari uji t dengan 2 sampel berpasangan (paired t test) dengan n1 = n2  Penyempurnaan dari uji tanda untuk menguji 2 sampel berpasangan Prosedur Uji 1. H0 : μ1 = μ2

H1 : μ1 ≠ μ2 H1 : μ1 > μ2 H1 : μ1 < μ2

2. Tingkat signifikansi  3. Perhitungan statistik uji  di = selisih (x1 – x2)  di = 0 data dibuang

UJI RANGKING BERTANDA WILCOXON  Beri peringkat atau rangking pada I diI dari terkecil hingga terbesar Bila ada peringkat / rangking yang sama diambil peringkatnya diambil rata-rata  Hitung w+ = total jumlah peringkat dari di yang positif w- = total jumlah peringkat dari di yang negatif w = min (w+; w- )  Untuk n ≤ 50 : w ̴ w (nilai w dari tabel rangking bertanda wilcoxon) Untuk n > 50 : w ̴ berdistribusi normal dengan rata-rata : n(n  1)

w 

dengan standard deviasi sehingga :

Z hitung  4. Daerah kritis

w  w

w

w 

n(n  1)(2n  1) 24

4

~ berdistribusi normal standard N (0; 1)

untuk n ≤ 50 H1 : μ1 ≠ μ2  H0 ditolak jika w ≤ w H1 : μ1 > μ2  H0 ditolak jika w - ≤ w H1 : μ1 < μ2  H0 ditolak jika w + ≤ w

untuk n > 50 H1 : μ1 ≠ μ2  H0 ditolak jika Zhitung < -Z /2 atau Zhitung >Z/2 H1 : μ1 > μ2  H0 ditolak jika Zhitung > Z  H1 : μ1 < μ2  H0 ditolak jika Zhitung > - Z 

Contoh 1 Berikut adalah data rata-rata jam kerja yang terbuang perminggu karena kecelakaan yang terjadi dalam 10 pabrik sebelum dan sesudah diterapkannya program keselamatan kerja dengan menggunakan  = 0,05 untuk menguji apakah program tersebut efektif Pabrik Sebelum Sesudah

1 45 36

2 73 60

3 46 44

4 124 119

5 33 35

6 57 51

7 83 77

8 34 29

9 26 24

10 17 11

Penyelesaian

1. H0 : μ1 = μ2 ( program keselamatan kerja tidak efektif) H1 : μ1 > μ2 ( program keselamatan kerja efektif) 2. Tingkat signifikansi  = 0,05 3. Perhitungan statistik uji Pabrik

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

di

9

13

2

5

-2

6

6

5

2

6

I di I Urutan Ranking

9 9 9

13 10 10

2 1 2

5 4 4,5

2 2 2

6 6 7

6 7 7

5 5 4,5

2 3 2

6 8 7

Contoh 4. Statistik Uji w+ = 53 w -= 2 5. Daerah kritis jika w - ≤ w0,05 = 10 karena w - = 2 < w0,05 = 10 maka H0 ditolak  Jadi program keselamatan kerja tersebut efektif

Contoh 2 Sebuah perusahaan taxi akan menentukan apakah ban radial bisa meningkatkan penghematan bahan bakar dibanding ban biasa. Untuk itu 24 mobil dipasangi bann radial kemudian dicoba pada lintasan tertentu. Tanpa mengganti sopirnya , mobil yang sama dipasangi ban biasa dan dicoba sekali lagi pada lintasan yang sama. Konsumsi bahan bakar (dalam kilometer perliter). Digunakan  = 0,05 untuk menguji apakah ban radial lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa Mobil 1 Ban radial 10,2 Ban biasa 10,1

2 10,7 10,9

3 12,6 12,2

4 13 12,9

5 12,7 12,8

6 10,5 10,4

7 11,7 11,7

8 12 11,8

9 13,4 12,9

10 10,9 10,9

11 12,1 12

12 11,2 10,9

Mobil 13 Ban radial 11,1 Ban biasa 10,9

14 12,3 12,4

15 13,1 13,1

16 10,8 10,5

17 10,2 10,7

18 11,2 11,2

19 13,3 13,4

20 12,7 12,2

21 11,4 11,7

22 12 11,8

23 13,4 13,1

24 10,7 10,8

Penyelesaian

1. H0 : μ1 = μ2 ( ban radial tidak lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa) H1 : μ1 < μ2 (ban radial lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa) 2. Tingkat signifikansi  = 0,05

Contoh 2

4. Perhitungan statistik uji

4. Statistik uji w+ = 148 w - = 62 5. Daerah kritis jika w + ≤ w0,05; 20 = 60 karena w + = 148 > w0,05;20 = 60 maka H0 diterima Jadi ban radial tidak lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa

Uji Urutan Bertanda Wilcoxon (Signed Rank Test) • Sebagai penyempurnaan uji tanda • Diperkenalkan pertama kali oleh (Frank Wilcoxon) • Selain memperhatikan + dan -, uji ini juga memperhatikan besarnya beda/selisih


48

Uji Urutan Bertanda Wilcoxon (Signed Rank Test) Memperhitungkan tanda dan besarnya selisih.

 H0 : Tidak terdapat perbedaan dari perlakuan 1 dan 2. H1 : Terdapat perbedaan antara perlakuan 1 dan 2

 Menentukan taraf nyata () Dapat berbentuk satu sisi atau dua sisi

 Menentukan Kriteria pengujian H0 : Diterima jika T < T0 H1 : Diterima jika T > T0 Nilai T diperoleh dari Tabel nilai kritis untuk uji urutan/rank tanda => Tα SI 2 - Statistik Non Parametrik

49

Uji Urutan Bertanda Wilcoxon (Signed Rank Test)

 Menentukan nilai uji statistik (Nilai T ) 0

1. Tentukan tanda beda/selisih dan besarnya 2. Urutkan bedanya (tanpa memperhatikan tanda) Ranking 1 diberikan pd selisih terkecil, urutan 2 pd selisih terkecil berikutnya. Bila dua atau lebih selisih nilai mutlaknya sama, maka masing2 diberi rangking sama dengan rata2 urutan. Contoh selisih ke 5 dan ke 6 terkecil mempunyai nilai selisih yang sama, maka masing - masing mendapat rangking 5,5 yang diperoleh dari (5 + 6)/2 3. Pisahkan tanda selisih positif dan negatif 4. Jumlahkan semua angka positif dan negatif 5. Nilai terkecil dari nilai absolut hasil penjumlahan selisih adalah nilai T0

• • •

 Membuat kesimpulan


50

Contoh 1. Uji Urutan Bertanda Wilcoxon (dr Soal Uji Tanda) Berikut data mutu kerja karyawan sebelum dan sesudah kenaikan gaji. Uji dengan taraf nyata α = 5%, apakah ada peningkatan mutu karyawan setelah gaji naik!

Pegawai

Sebelum kenaikan gaji (X1)

Sesudah kenaikan gaji (X2)

1

71

72

2

91

88

3

86

82

4

60

67

5

83

88

6

70

67

7

72

75

8

65

75

9

80

90

10

72

76


51

Penyelesaian Jawab :

– H0 : Tidak ada peningkatan mutu kerja H1 : Ada peningkatan mutu kerja – Taraf nyata uji : 0,05 – Kriteria pengujian : H0 : Diterima jika T < T0 H1 : Diterima jika T > T0 Dengan n=10 dan α = 0,05 berdasarkan Tabel nilai kritis uji urutan tanda (uji satu arah) => T0.05 = 11 SI 2 - Statistik Non Parametrik

52

Penyelesaian Pegawai Sebelum Sesudah Selisih Urutan Ranking Tanda Tanda ke kenaikan gaji kenaikan gaji Ranking Ranking

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Jumlah

(X) 71 91 86 60 83 70 72 65 80 72

(Y) 72 88 82 67 88 67 75 75 90 76

(Y-X) 1 -3 -4 7 5 -3 3 10 10 4

1 2 5 8 7 3 4 9 10 6

1 3 5.5 8 7 3 3 9.5 9.5 5.5

Kesimpulan Karena T0.05 = 11 < T0 = 11,5 , maka: H0 diterima yang artinya bahwa tidak ada perbedaan nyata pada mutu kerja pegawai setelah kenaikan gajiSI 2 - Statistik Non Parametrik

(+) +1

(-) -3 - 5.5

+8 +7 -3 +3 + 9.5 + 9.5 + 5.5 + 43.5

- 11.5

T 0 = 11,5 53

Contoh 2. Uji Urutan Bertanda Wilcoxon Sebuah alat pencukur rambut dapat digunakan sebelum dicharge lamanya (jam) adalah : 1,5; 2,2; 0,9; 1,3; 2,0; 1,6; 1,8; 1,5; 2,0; 1,2; dan 1,7. Ujilah hipotesis dengan α = 5% bahwa alat tersebut rata - rata dapat digunakan 1,8 jam sebelum dicharge


54

Penyelesaian 1. H0 : m = 1,8 H1 : m ≠ 1,8 2. α = 0,05 3. Kriteria pengujian •H0 : Diterima jika T < T0 •H0 : Ditolak jika T > T0 Untuk n = 10 (dengan menghilangkan satu data yg selisihnya nol) dan α = 0,05 maka dari Tabel nilai kritis uji urutan tanda (uji dua arah) =>T0.05 = 8


55

Penyelesaian Perhitungan : setiap pengamatan dikurangkan dengan 1,8, dan ditentukan peringkatnya, tanpa memperhatikan tanda minus atau plus n ke

Selisih

Urutan

Ranking

Tanda Rangking (+)

Tanda Rangking (-)

1

-0,3

5

5,5

2

0,4

7

7

3

-0,9

10

10

-10

4

-0,5

8

8

-8

5

0,2

4

3

6

-0,2

3

3

-3

7

0

8

-0,3

6

5,5

-5,5

9

0,2

2

3

10

-0,6

9

9

-9

11

-0,1

1

1

-1

Jumlah

-5,5 7

3

3

13

Kesimpulan: Karena T0.05 = 8 < T0 = 13 , maka terima H0 artinya bahwa alat pencukur rambut tersebut rata rata dapat digunakan 1,8 jam sebelum dicharge

-42

T 0 = 13

56

Uji Urutan Bertanda Wilcoxon untuk 2 sampel Untuk 2 sampel yang berbeda


57

Uji Urutan Bertanda Wilcoxon Contoh untuk 2 sampel


58



59



60

Uji Urutan Bertanda Wilcoxon Untuk data besar Menurut Walpole & Meyer Bila n > 15, distribusi sampel T mendekati distribusi normal


61

Contoh Uji Urutan Bertanda Wilcoxon sampel besar


62


63

Keputusan Pengujian: 1. Dari tabel terlihat, N = 26, T = 53 2. Untuk mencari harga z dari N = 26, T = 53, gunakan perhitungan memakai rumus


64

Untuk z = 3,11, harga p = 0,0009

Karena nilai tersebut diperoleh dari tabel distribusi normal untuk pengujian satu sisi, sementara belum dapat diduga kelompok sampel mana yang memberikan skor yang lebih besar, maka


65

Uji Korelasi Urutan Spearman

Pertama kali dikemukakan oleh Carl Spearman


66

Uji Korelasi Urutan Spearman


67

Contoh 1. Uji Korelasi Urutan Spearman


68

Penyelesaian Dengan taraf nyata 5% ujilah apakah ada korelasi antara peringkat yang diberikan oleh kedua pakar?


69

Penyelesaian


70

Contoh 2. Uji Korelasi Urutan Spearman M dan R, dua orang analis, merangking kualitas stok dengan n = 12 seperti pada tabel berikut. Dengan tingkat signifikansi 5%, susunlah pengujian untuk menentukan apakah ada kecenderungan kecocokan Kode Stok Rank M Rank R M - R = d d2 A 5 4 1 1 pada rank – rank mereka. B 8 6 2 4 C D E F G H I J K L

3 10 7 1 9 2 11 4 6 12

1 8 9 2 5 7 10 3 11,5 11,5

2 2 -2 -1 4 -5 1 1 -5,5 0,5

∑d2

4 4 4 1 16 25 1 1 30,25 0,25 71 91,5

Penyelesaian Ada kecenderungan cocok berarti kita artikan bahwa rank – rank berkorelasi positif 1. H0 : ρs = 0 H 1 : ρs > 0 2. α = 0,05 Berarti Z0,05 = 1,64 3. Nilai hitung


72

Penyelesaian Dengan demikian nilai statistik Z sampel

4. Daerah Kritis Terima H0 jika Zsampel < Z0,05=1,64 Tolak H0 jika Zsampel > Z0,05=1,64 5. Kesimpulan Karena Zsampel =2,26 > Z0,05=1,64, maka tolak H0 dan terima H1 yang artinya bahwa ada kecocokan dalam rank – rank M dan R SI 2 - Statistik Non Parametrik

73

UJI MANN – WHITNEY / UJI U

UJI MANN – WHITNEY  UJI U Mann whitney test

 Alternatif dari uji t maupun uji Z untuk dua sampel yang diambil dari dua populasi yang bebas (independen) dan tidak berdistribusi normal

Prosedur Uji 1. H0 : μ1 = μ2 (kedua sampel berasal dari populasi yang identik)

H1 : μ1 ≠ μ2 H1 : μ1 > μ2 H1 : μ1 < μ2

2. Tingkat signifikansi  3. Perhitungan statistik uji  ukuran sampel 1 : n1  ukuran sampel 2 : n2

UJI MANN – WHITNEY  UJI U • Gabungkan kedua sampel dan beri peringkat atau ranking dari data terkecil sampai terbesar. Bila ada peringkat / rangking yang sama, peringkatnya diambil rata-ratanya Hitung jumlah peringkat sampel 1 dan sampel 2 dan dinotasikan dengan R1 dan R2 Statistik Uji n (n  1) U1  n1n2  1 1  R1 2

n2 (n2  1) U 2  n1n2   R2 2

U  min(U1;U 2 )

UJI MANN – WHITNEY  UJI U Untuk n1 : n2 ≤ 20 Untuk n1 : n2 > 20

U ~ berdistribusi Un1:n2:  (nilai U  tabel mann whitney) U ~ berdistribusi normal n1n2   u dengan rata-rata

2

u 

dengan standard deviasi

sehingga :

Z hitung 

w  u

u

n1n2 (n1  n2  1) 12

~ berdistribusi normal standard N (0; 1)

4. Daerah kritis n1 : n2 ≤ 20 H1 : μ1 ≠ μ2  H0 ditolak jika U < U H1 : μ1 > μ2  H0 ditolak jika U1 < U H1 : μ1 < μ2  H0 ditolak jika U2 < U

n1 : n2 > 20 H1 : μ1 ≠ μ2  H0 ditolak jika Zhitung < -Z /2 atau Zhitung >Z/2 H1 : μ1 > μ2  H0 ditolak jika Zhitung > Z  H1 : μ1 < μ2  H0 ditolak jika Zhitung > - Z 

Contoh 1 Manajer produksi sebuah perusahaan ingin menguji apakah iringan musik lembut berpengaruh terhadap produktivitas kerja. Untuk itu dilakukan pengamatan terhadap data output perjam dari sampel random 10 pekerja yang bekerja tanpa iringan musik dan 18 pekerja yang bekerja dengan iringan musik. Hasilnya adalah sebagai berikut :

Tanpa iringan musik lembut

Pekerja Output

1 13

2 12

3 12

4 10

5 10

6 10

7 10

8 9

9 8

9 13

10 8

Dengan iringan musik lembut

Pekerja Output

1 17

2 16

3 15

4 15

5 15

6 14

7 14

8 14

Pekerja Output

11 13

12 12

13 12

14 12

15 12

16 11

17 10

18 8

10 13

Ujilah dengan  = 0,05 apakah iringan musik lembut akan meningkatkan produktivitas kerja

Penyelesaian

Contoh

1. H0 : μ1 = μ2 ( iringan musik lembut tidak meningkatkan produktivitas) H1 : μ1 < μ2 ( iringan musik lembut akan meningkatkan produktivitas) 2. Tingkat signifikansi =0,05 3. Perhitungan : 4. statistik uji

U 2  n1n2 

n2 (n2  1)  R2 2

18(18  1)  324,5  26,5 2 5. Daerah kritis jika U2 < U0,05; 10; 18 =55 karena U2 = 26,5 < U0,05; 10; 18 =55 maka H0 ditolak  Jadi iringan musik lembut akan meningkatkan produktivitas. U 2  10(18) 

Uji Mann-Whitney (U Test) • Disebut juga pengujian U. • Dikembangkan oleh H.B. Mann dan D.R. Whitney • Digunakan untuk menguji rata-rata dari 2 sampel berukuran tidak sama • Data ordinal

• Uji Mann-Whitney merupakan alternatif bagi uji-t. • Uji Mann-Whitney digunakan untuk membandingkan dua mean populasi yang berasal dari populasi yang sama. • Uji Mann-Whitney juga digunakan untuk menguji apakah dua mean populasi sama atau tidak. SI 2 - Statistik Non Parametrik

80

Uji Mann-Whitney (U Test) • Untuk sampel kecil • Tahapan:  Menentukan n1 dan n2.  Menggabungkan kedua sampel dan memberi urutan (ranking) tiap-tiap anggota  Menjumlahkan urutan masing-masing sampel  Menghitung statistik U


81

Uji Mann-Whitney (U Test)


82


Jika sample size kecil

n1 (n1  1) U 1  n1 .n2   R1 2

n2 (n2  1) U 2  n1 .n2   R2 2 SI 2 - Statistik Non Parametrik

83

Contoh 1. Uji Mann-Whitney (U Test)


84


Dipakai adalah U terkecil


85

Uji Mann-Whitney (U Test) Latihan!! Tabel di bawah menunjukkan gaji yang diterima oleh 5 orang sarjana ekonomi dan 4 orang insinyur setelah 3 tahun bekerja yang diperoleh dari sampel secara random SE

Gaji

Urutan

ST

Gaji

Urutan

A

710

1

O

850

5

B

820

3,5

P

820

3,5

C

770

2

Q

940

8

D

920

7

R

970

9

E

880

6 R2 = 25,5

R1=19,5

Ujilah bahwa setelah tiga tahun bekerja, gaji sarjana ekonomi tidak lebih rendah dibanding insinyur . SI 2 - Statistik Non Parametrik

86

Uji Mann-Whitney (U Test) Jika sample size besar


87



88

Contoh 2. Uji Mann-Whitney (U Test) Berikut adalah nilai UAS Statistika 2 mahasiswa fakultas Ekonomi dan ilmu komputer

Catatan: jumlah sampel mahasiswa 20 SI 2 - Statistik Non Parametrik

Urutan

Nilai

Rank

1

25

1

2

30

2

3

50

3

4

55

4

5

65

5

6

70

7

7

70

7

8

70

7

9

75

9.5

10

75

9.5

11

78

11

12

80

12

13

85

13.5

14

85

13.5

15

88

15.5

16

88

15.5

17

90

17

18

95

18

19

98

19

20

100

8920

Uji Mann-Whitney (U Test) • Berdasarkan tabel tersebut, ujilah dengan taraf nyata 5%, apakah (peringkat) nilai mahasiswa fakultas ekonomi lebih besar dibanding mahasiswa ilmu komputer?


90


91

Contoh 3. Uji Mann-Whitney (U Test) Taraf – taraf operasi (prosentase kapasitaa) telah didapat dari sampel – sampel random n1 = 10 hari pada perusahaan 1 dan n2 = 12 hari pada perusahaan 2. n1 + n2 = 22 taraf – taraf operasi diranking dalam besaran order. Jumlah rank pada perusahaan 1 dan 2 berturut – turut adalah 145,5 dan 107,5. Pada α = 0,05 susunlah suatu pengujian untuk menentukan apakah taraf operasi rata – rata perusahaan 1 lebih besar dari taraf operasi rata – rata perusahaan 2! Jawab Misalkan μ1 dan μ2 merupakan taraf operasi rata – rata perusahaan 1 dan 2 1. Hipotesis H0 : μ1 = μ2 H1 : μ1 > μ2 2. Nilai kritis Dengan α = 0,05, diperoleh: Z0,05 = 1,64 SI 2 - Statistik Non Parametrik

92

Penyelesaian 3. Nilai hitung

4. Kesimpulan Karena nilai statistik Zsampel = 2,01 > Z0,05 = 1,64 maka tolak H0. Ini berarti taraf operasi rata – rata perusahaan 1 lebih besar dari pada taraf operasi rata – rata perusahaan 2

Standar deviasi populasi

Nilai statistik Z sampel


93

Contoh 4. Uji Mann-Whitney (U Test)


94

Penyelesaian 1. Hipotesis H 0 : μ 1 = μ2 H 1 : μ 1 ≠ μ2 2. Nilai kritis Karena uji dua sisi, α = 0,10, maka harus dibagi dua menjadi (0,10/2 ) = 0,05. Sehingga Z0,05 = 1,64 3. Nilai hitung 𝜇𝑅1 =

𝑛1 (𝑛1 + 𝑛2 + 1) 14(14 + 11 + 1) = = 182 2 2

Standar deviasi populasi 𝛿𝑅 =

𝑛1 𝑛2 (𝑛1 + 𝑛1 + 1) (14)(11)(14 + 11 = 1) = = 18,267 12 12 SI 2 - Statistik Non Parametrik

95

Penyelesaian Nilai statistik Zsampel 𝑍𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙

𝑅1 − 𝜇𝑅1 205 − 182 = = = 1,26 𝜎𝑅 18,267

4, Kesimpulan Karena nilai statistik Zsampel = 1,26 < Z0,05 = 1,64 maka terima H0. Ini berarti taraf rata – rata kedua paket adalah sama

Daerah penolakan H0

Daerah penolakan H0


96

UJI KRUSKAL – WALLIS (UJI H) Kruskal –Wallis test  Uji Mann-Whitney dengan k>2 sampel atau merupakan alternatif dari uji F untuk pengujian kesamaan beberapa rata-rata dalam analisis variansi satu arah

Prosedur Uji 1. H0 : μ1 = μ2 = μ3 =...=μk (kedua sampel berasal dari populasi yang identik) H1 : tidak semua sama 2. Tingkat signifikansi :  3. Perhitungan statistik uji  ukuran sampel ke i : ni i= 1,2,3,...,k n = n1+n2+n3+...+nk  gabungkan data dari k sampel (semua sampel) dan beri peringkat atau ranking dari data terkecil sampai terbesar. Bila ada peringkat / ranking yang sama maka peringkatnya diambil rata-rata

UJI KRUSKAL – WALLIS (UJI H)  Hitung jumlah peringkat sampel ke 1 sampai dengan sampel ke k, notasikan dengan R1, R2, ..., Rk  Statistik uji •

k Ri2 12 H  3(n  1)  n(n  1) i 1 ni

X 2;v k 1

~ berdistribusi

X 2;v k 1

• 4. Daerah kritis • bila H >  H0 ditolak

Contoh 1 Akan diuji apakah upah tukang kayu, tukang batu dan tukang talang perjam mempunyai perbedaan yang signifikan. Untuk itu diambil sampel 7 tukang kayu, 7 tukang batu dan 6 tukang talang. Data sampel berupa upah harian dari pekerja-pekerja tersebut disajikan dalam tabel berikut :

Ujilah dengan  = 0,01 !

Contoh 1 Penyelesaian

1. H0 : μ1 = μ2 = μ3 =...=μk (upah harian ketiga jenis tukang tidak berbeda) H1 : tidak semua sama ( upah harian ketiga jenis tukang berbeda 2. Tingkat signifikansi  = 0,01 3. Perhitungan :

n = 7+7+6 = 20 k  74 2 362 1002  Ri2 12 12 H  3(n  1)        3(20  1)  12,26 n(n  1) i 1 ni 20(20  1)  7 7 6 

Contoh 1 4. Daerah kritis : Jika H > X 02,01;v31 = 9,210  Ho ditolak karena H = 12,26 > X 02,01;v31 = 9,210  maka Ho ditolak Upah harian ketiga jenis tukang berbeda secara signifikan

Statistik Non Parametrik

Recommend Documents