1. Op een grote scholengemeenschap volgen 500 leerlingen ´e´en of meer van de vakken biologie, scheikunde en natuurkunde gedurende het eerste semester. Het afdelingshoofd heeft de de gegevens in een diagram gezet. Je ziet het diagram hieronder.
(a) (b) (c) (d)
Hoeveel leerlingen volgen alle drie de vakken ? Hoeveel leerlingen volgen zowel biologie als scheikunde ? Welke betekenis heeft het getal 93 in het diagram ? Er wordt ´e´en leerling aselect uit de 500 leerlingen getrokken. Hoe groot is de kans dat deze leerling geen natuurkunde heeft ?
2. Een leerling gooit met twee dobbelstenen. Een manier om de som van het aantal ogen systematisch weer te geven staat in de tabel hiernaast. (a) Bereken de kans dat het aantal ogen gelijk is aan 7. (b) Waarom is de kans op een som van 11 kleiner dan een som van 7 ? (c) Bereken de kans dat de som van de ogen 7 of 11 is ?
som
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 11
7 8 9 10 11 12
3. In een damesfinale tennis wordt gespeeld om ‘the best of three sets’. Dat wil zeggen dat degene die het eerst twee sets gewonnen heeft de kampioen is. Tijdens de kampioenschappen van Wimbledon in 1993 stonden Steffi Graf en Jana Novotna in de finale. De mogelijkheden voor het wedstrijdverloop staan hieronder in een boomdiagram. Daarin is eerst aangegeven welke mogelijkheden er zijn voor de eerste set, daarna voor de tweede set, en tenslotte voor de derde set. (a) Waarom bestaat het bovenste wedstrijdverloop maar uit twee sets ? (b) Hoeveel wedstrijdverlopen zijn er mogelijk ? (c) In hoeveel daarvan wint Graf ? (d) Betekent dit dat ze 50 % kans had de finale te winnen ? 4. Het uiteindelijke wedstrijdverloop bij de damesfinale uit de vorige opgave was als volgt: • Novotna won de eerste set. 1
• Graf won de tweede en de derde set. (a) Neem uit het boomdiagram van de vorige opgave de route over die bij dit wedstrijdverloop hoort. (b) Schrijf ook op welk ander wedstrijdverloop had kunnem leiden tot een 2 - 1 overwinning voor Graf. 5. Bij een groot opgezet medisch onderzoek naar de gevolgen voor luchtverontreiniging voor de volksgezondheid werden verschillende vragen gesteld. Enkele van die vragen staan hieronder.
(a) Bedenk een manier om te onderzoeken hoeveel verschillende groepen je op basis van deze vragen kunt onderscheiden. Hoeveel verschillende groepen kun je onderscheiden ? (b) Stel dat je op een school wilt onderzoeken hoe vaak leerlingen per jaar naar de tandarts gaan. Je wilt daarbij 24 groepen onderscheiden naar geslacht, leeftijd en aantal bezoeken aan de tandarts. Welke vragen zou je dan kunnen stellen ? 6. Ruud, Harry en Frank hebben samen gegeten en ze hebben geen van drie¨en zin om af te wassen. Ruud stelt voor om te loten. Ze gooien twee keer met een munt en spreken daarbij het volgende af. Als er twee keer kruis gegooid wordt, wast Ruud af. Bij twee keer munt moet Harry afwassen. En als het ´e´en keer kruis en ´e´en keer munt wordt, wast Frank af. Frank zegt dat hij in het nadeel is. Toon met het boomdiagram hieronder aan dat hij gelijk heeft. Een boomdiagram is een manier om alle mogelijkheden bij een telprobleem overzichtelijk weer te geven. Bij elke keuze hoort een aantal takken. Bij elke tak wordt de betreffende keuze genoteerd. Elke route van het beginpunt naar een eindpunt beschrijft een mogelijke volgorde, ook wel rangschikking genoemd, bij een telprobleem. Bij een telprobleem hoeven de routes niet altijd even lang te zijn. 2
7. Op de menukaart van bistro ‘de Holterberg’ staat een aantal gerechten. De eigenaar wil weten op hoeveel verschillende manieren hij een menu van drie gangen kan samenstellen. Hij tekent eerst een boomdiagram Hieronder staat het begin.
(a) Neem het boomdiagram over. wat moet er boven het boomdiagram komen te staan ? (b) Hoeveel takken heb je bij de eerste keuze ? Wat moer er bij de takken komen te staan ? Schrijf het erbij. (c) Doe dit ook voor de volgende twee gangen. (d) Op hoeveel verschillende manieren kun je in dit restaurant een maaltijd van drie gangen samenstellen ? 8. Ter afsluiting van het schooljaar organiseert de gymnastiek-sectie een sportdag. Op deze sportdag moet iedereen aan twee sportwedstrijden deelnemen. Je hebt de keuze uit basketbal, volleybal, tafeltennis en handbal. Je mag niet twee keer dezelfde sport kiezen. (a) Geef alle verschillende volgorden aan in een boomdiagram. (b) Hoeveel verschillende volgorden zijn er ? (c) Hoeveel verschillende volgorden zijn er als je wel twee keer aan dezelfde sport mag meedoen ? 9. Door het uit-of aanzetten van een vijftal lampjes kan men verschillende signalen (de aan-uitvolgorden) geven. E´en van de signalen,aan -uit-uit-aan-uit, staat hieronder.
3
(a) Teken een boomdiagram bij dit telprobleem. (b) Hoeveel verschillende signalen zijn er mogelijk ? (c) Bereken de kans dat er bij een willekeurig signaal meer dan twee lampjes aan zijn. 10. Leo gaat verschillende vlaggen maken die uit twee horizontale banen bestaan. Leo heeft de keuze uit drie kleuren, namelijk : rood, wit en blauw. De twee banen mogen dezelfsde kleur hebben. Volgens Leo kan hij acht verschillende vlaggen maken. Jochem, zijn broer, denkt dat hij negen verschillende vlaggen kan maken. Op de volgende pagina zie je hoe ze aan hun aantal zijn gekomen. Leg uit wie goed heeft geredeneerd.
11. Bij een gokspelletje wordt twee keer een munt opgegooid. De inleg bedraagt 1 euro. De uitkering is het aantal keren kop in euro’s. (a) Teken het boomdiagram dat hier bij hoort. (b) Welke volgorde geeft winst voor de speler ? (c) Nu wordt er drie keer met een munt gegooid. Hoeveel routes kun je in het boomdiagram vinden ? (d) Vind je dat de inleg van 1 euro nog steeds verstandig is ? Geef een toelichting. (e) Neem de tabel over en vul hem in.
aantal keren gooien
2
3
4
5
aantal routes in het boomdiagram
...
...
...
...
12. Bij het invullen van een totoformulier moeten de uitslagen van tien voetbalwedstrijden, in ´e´en kolom, worden voorspeld. 1 = de thuisclub wint 2 = de uitspelende club wint 3 = de wedstrijd eindigt in een gelijk spel (a) Teken het boomdiagram dat alle volgorden weergeeft. (b) Hoeveel verschillende mogelijkheden van invullen zijn er voor de eerste twee wedstrijden ? (c) En hoeveel voor de eerste drie ? (d) En hoeveel voor de eerste zes ?
4
(e) Hoeveel kolommen moet je invullen om er zeker van te zijn dat je ook een keer alle tien de uitslagen goed hebt ? (f) Het invullen van twee kolommen kost e 2,50. Hoeveel kost het om er zeker van te zijn alle tien de uitslagen goed te hebben ? Een machtsboom is een boomdiagram waarbij uit elk punt evenveel takken vertrekken. Elke keer moet je een keuze maken uit dezelfde mogelijkheden. Het totale aantal mogelijkheden kun je berekenen met een macht. 13. In computerapparatuur zitten vaak kleine schakelaartjes, dipswitches, waarmee het apparaat op de gewenste manier ingesteld kan worden.Elk schakelaartje kan in twee standen gezet worden. (a) Hoeveel verschillende instellingen zijn er mogelijk met drie dipswitches ? (b) En hoeveel met zes dipswitches ? (c) Hoeveel verschillende dipswitches heb je nodig om meer dan duizend verschillende instellingen te maken ? 14. Sylvia en Peter spelen een spel.
(a) (b) (c) (d) (e)
Maak een boomdiagram bij dit spel. Hoeveel mogelijke spelverlopen zijn er bij dit spel ? Hoeveel spelverlopen eindigen in gelijk spel ? Hoeveel mogelijke spelverlopen zijn er als ieder zes keer mag gooien ? Beredeneer dat bij zes keer gooien 141 keer van een gelijk spel sprake is.
15. In een tv-spel moet Hennie vier bordjes met songtitels naast het juiste jaartal ophangen. Hennie weet niets af van populaire muziek en hangt de bordjes lukraak op.
(a) Maak een boomdiagram waarin je het totale aantal manieren waarop Hennie de bordjes kan ophangen kunt aflezen. 5
(b) Hoeveel verschilende volgorden zijn er ? (c) Hoe groot is de kans dat Hennie de juiste volgorde kiest ? 16. Sander moet vijf songtitels naast het juiste jaartal zetten. Ook hij weet niets af van populaire muziek. (a) Een boomdiagram tekenen met alle volgordes erin neemt erg veel tijd in beslag. Toch kun je uitrekenen hoeveel verschillende volgordes er zijn door met een stukje van de boom te redeneren. Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er ? (b) Hoe groot is de kans dat Sander vier van de vijf songtitels op de goede plek zet ? (c) Hoe groot is de kans dat Sander minstens ´e´en songtitel op de verkeerde plek zet ? 17. Sander moet vijf songtitels naast het juiste jaartal zetten. Ook hij weet niets af van populaire muziek. (a) Een boomdiagram tekenen met alle volgordes erin neemt erg veel tijd in beslag. Toch kun je uitrekenen hoeveel verschillende volgordes er zijn door met een stukje van de boom te redeneren. Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er ? (b) Hoe groot is de kans dat Sander vier van de vijf songtitels op de goede plek zet ? (c) Hoe groot is de kans dat Sander minstens ´e´en songtitel op de verkeerde plek zet ? Als je 7 cd’s op volgorde wil zetten dan zijn er 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 3 × 2 × 1 = 5040 verschillende manieren om dit te doen. Het product 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 3 × 2 × 1 heet 7-faculteit en wordt genoteerd als 7!. We zeggen dat er 7! permutaties zijn van 7 cd’s. 18. Een tv-kijker maakt er een sport van elke avond in een andere volgorde ´e´en keer te zappen langs de zenders Ned1, Ned2, Ned3, RTL4, RTL5, BRT!, BRT2, BBC1, BBC2. Na hoeveel jaren heeft hij alle mogelijke volgorden gehad ? Een faculteitsboom is een boomdiagram waarbij na elke keuze het aantal mogelijkheden, dus ook het aantal takken, ´e´en minder is. Het totale aantal volgorden is een faculteit. In een volgorde kan elke mogelijkheid maar ´e´en keer voorkomen. 19. Bij een vereniging worden drie mensen A, B en C in het bestuur gekozen. Ze moeten de functie vervullen van voorzitter, penningmeester en secretaris en mogen deze functies onderling verdelen. (a) Vul onderstaand boomdiagram verder in om alle mogelijkheden te krijgen waarop deze personen de functies kunnen krijgen. (b) Hoeveel volgorden zijn er mogelijk ? (c) En hoeveel volgorden zijn er mogelijk als er zes mensen zijn waaruit het drietallig bestuur gekozen moet worden ? 20. Ramira wil alle permutaties van de letters waaruit haar naam bestaat opschrijven. Het opschrijven van ´e´en permutatie kost haar 1,5 seconde. (a) Hoeveel minuten doet ze er over om alle permutaties op te schrijven ? (b) Hoeveel permutaties beginnen met RAM ?
6
21. Het woord ‘wiskunde’ telt acht verschillende letters. (a) laat zien dat je met drie van deze acht letters 336 verschillende ‘woorden’ kunt maken. (b) Hoeveel verschillende drietallen zijn er mogelijk ? 22. Je hebt tien verschillende letters, je kiest er vier uit. (a) Hoeveel verschillende viertallen zijn er mogelijk ? (b) Hoeveel verschillende zestallen uit die tien zijn er mogelijk ? Een selectie van drie dingen die je uit tien verschillende dingen kunt kiezen heet een combinatie van 3 uit 10. In een combinatie is de volgorde niet van belang. µ ¶ 10 Het aantal combinaties wordt genoteerd als 3 10 · 9 · 8 . 3·2·1 Boven en onder de breukstreep staan drie getallen. Op veel rekenmachines wordt een combinatie van r dingen uit n dingen met nCr aangegeven. en kun je als volgt berekenen:
23. Het brailleschrift gebruikt tastbare lettertekens. Voor elk teken een groep van 6 puntjes in reli¨ef. In het voorbeeld hiernaast betekent een dicht rondje een verhoging in het papier. (a) Hoeveel tekens zijn er mogelijk als ´e´en puntje hoger is ? (b) En als er twee hoger zijn ? (c) Hoeveel tekens zijn er in totaal mogelijk ? µ
¶ µ ¶ µ ¶ 20 60 , , . 6 59 µ ¶ µ ¶ 20 20 = . (b) Verklaar waarom 14 6
24. (a) Bereken
19 3
25. De berekening van het aantal combinaties van drie uit tien kun je herleiden tot : µ ¶ 10! 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 10 = . = 3 (3 · 2 · 1)(7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1) 3! 7! 7
(a) Verklaar deze herleiding.
¶ µ ¶ 8 8 en . 8 5 (c) Er is afgesproken dat 0! = 1. Leg uit waarom dat voor de hand ligt. µ
(b) Herleid op dezelfde manier
Voorbeeld µ ¶ 10! 10 = 1. = 0 0! 10!
Voor het aantal combinaties van k uit n geldt µ ¶ n! n de formule = . k k! (n − k)! Er is afgesproken dat 0! = 1.
µ µ
20 12 20 20
¶ =
20! . 12! 8!
=
10! = 1. 20! 0!
¶
26. Een klas van vijfentwintig leerlingen moet verdeeld worden over twee busjes. In het ene busje kunnen tien leerlingen in het andere vijftien. (a) Op hoeveel manieren kan dit ? (b) Jan en Frans zitten bij elkaar in de klas. Hoeveel verdelingen zijn er waarbij Jan en Frans bij elkaar in de bus van vijftien leerlingen zitten ? (c) De leerlingen worden willekeurig verdeeld. Bereken de kans dat Jan en Frans in dezelfde bus komen. µ ¶ 100 21 ¶ ? 27. Hoe groot is µ 100 79 Geef een redenering, geen berekening. 28. Een Een (a) (b) (c) (d)
byte is een getal dat bestaat uit acht bits. bit is een 0 of een 1. Hoeveel bytes met twee nullen en zes enen zijn er mogelijk ? Hoeveel van die bytes beginnen met een nul en eindigen met een ´e´en ? Hoeveel bytes met tenminste ´e´en nul zijn er mogelijk ? Hoe kun je een byte met behulp van randomgetallen maken ? Hoe groot is de kans dat de rij uit vier nullen en vier enen bestaat ?
8
29. Een voetbalwedstrijd eindigde in een verlies van 2-3 voor de thuis spelende club. Elk scoreverloop dat tot deze uitslag leidt kun je als een route van S naar P in het rooster hiernaast weergeven. Je start bij de stand 0-0 dus in het punt S(0,0). Bij elk doelpunt van de thuis spelende club (T) ga je een stap naar rechts. Scoort de uitspelende club (U) dan ga je een stap omhoog. De routes eindigen in het punt P(2,3). (a) Is UUTTU een route van punt S naar punt P ? (b) Waarom bestaat elke route uit drie U’s en twee T’s ? (c) Hoeveel scoreverlopen zijn er mogelijk met 2-3 als eindstand ? µ ¶ 5 (d) Waarom is het antwoord gelijk aan ? 2
Een roosterdiagram is een handig model voor telproblemen waarbij je steeds uit twee mogelijkheden (uit-thuis, wel-niet) moet kiezen. Een kortste route bestaatuit een aantal stappen : n. Daarvan worden k stappen horizontaal gezet en de rest, n-k stappen, verticaal. De routes naar een bepaald eindpunt verschillen alleen in de volgorde waarin de stappen worden gezet. Het aantal kortste routes vind je door het aantal µ ¶ n combinaties te berekenen. k 30. Geef van de volgende telproblemen aan wat de keuzemogelijkheden zijn. (a) In een doos zitten twee rode en vier witte ballen. Hoeveel verschillende kleurpatronen kun je met die ballen, op een rij achter elkaar, leggen ? (b) Van een test met twaalf vragen maak je er acht goed.
31. Op hoeveel verschillende manieren kun je in het schema hiernaast het woord PIANOSPEL lezen ?
9
32. Ab en Bert moeten het aantal kortste routes van punt P naar punt R in het rooster hiernaast vinden. Ab zegt : ‘Een route bestaat uit tien stappen waarvan vijf stappen naar rechts. µ ¶ Het aantal routes van punt P naar 10 punt R is dus = 252. 5 Bert zegt : ‘Ik knip het rooster bij punt Q in stukken en tel in ieder stuk het aantal routes. Ik kom dan op 120 routes uit.’Hoe doet Bert dat ? Wie heeft gelijk ? Welke fout maakt de ander ? 33. De uitslag van de hockeywedstrijd tussen Kampong en Klein-Zwitserland is 6-4. (a) Hoeveel scoreverlopen kunnen leiden tot deze uitslag ? (b) De ruststand was 2-2. Hoeveel verschillende scoreverlopen zijn er mogelijk via deze ruststand ? 34. Bepaal bij de getekende roosters het aantal kortste routes van punt P naar punt Q.
10
