De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af

Opgave 1 Van twee korte en twee lange lucifers is een rechthoek gelegd. Omdat je geen afmetingen weet hangt de omtrek van deze rechthoek af van twee variabelen, namelijk lengtekortelucif er en lengtelangelucif er. a Welke formule krijg je voor de omtrek van deze rechthoek? b Hoe zou je die formule korter kunnen schrijven?

Opgave 2 De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af. a Welke formule kun je voor de oppervlakte van die rechthoek opstellen? b Hoe zou je die formule korter kunnen schrijven?

Formules houd je graag zo overzichtelijk mogelijk. Daarom worden variabelen als lengte en breedte en aantalkm, enzovoorts, wel aangegeven met maar één letter. De formule wordt dan erg overzichtelijk, maar je moet wel goed van tevoren afspreken wat elke letter precies betekent en je daar dan ook heel nauwkeurig aan houden. De omtrek van een rechthoek vind je door de lengte plus de breedte plus de volgende lengte plus de breedte uit te rekenen. In formule: omtrek = lengte + breedte + lengte + breedte. Dat wordt dan: P = l + b + l + b. Je moet dan wel onthouden dat . . .

l de lengte, b de breedte en P de omtrek (periferie)

van de rechthoek is. Ook moet je bijpassende eenheden afspreken. De formule P = l + b + l + b kan nog overzichtelijker... Dan moet je gebruik maken van eigenschappen van rekenbewerkingen:

Stichting Math4All 14 januari 2012

1

. . .

Bij optellen mag je de volgorde veranderen: 3 + 2 = 2 + 3. Bij vermenigvuldigen mag je de volgorde veranderen: 3 × 2 = 2 × 3. Herhaald optellen kun je omzetten naar vermenigvuldigen: 3 + 3 + 3 + 3 = 4 × 3.

En zo zijn er nog meer eigenschappen; je zult ze nog wel tegenkomen... De formule kan dus worden geschreven als: P = l + l + b + b = 2 × l + 2 × b. Misschien zie je meteen al het nadeel van het teken × voor vermenivuldigen: het lijkt op de letter x. Daarom gebruik je in formules meestal de vermenigvuldigingspunt · in plaats van het kruisje. De formule wordt: P = 2 · l + 2 · b. Heel overzichtelijk, maar weet je nog precies wat er staat...? Opgave 3 Hier zie je een rechthoek gelegd van twee soorten lucifers. Noem de lengte van de kortste lucifer k en die van de langste lucifer l. a Welke formule geldt voor de omtrek P van de rechthoek? Schrijf je formule zo kort mogelijk.

Opgave 4 Voor het omrekenen van graden Celsius naar graden Fahrenheit bestaat de formule gradenF ahrenheit =

9 5

× gradenCelsius + 32

a Schrijf deze formule zo kort mogelijk, gebruik de letters F en C voor het aantal graden Fahrenheit en Celsius. b Bereken F als C = 20. c Hoe zou je de voorgaande opdracht in gewoon Nederlands zeggen? d Wat is het grote voordeel van het gebruik van formules?

Voorbeeld 1


2

De omtrek van deze figuur wordt voorgesteld door de letter P . De verschillende zijden van de figuur hebben ofwel de lengte a, of de lengte b, behalve de zijde die drie keer de lengte a heeft. Er geldt: P = a + b + a + b + 3 · a + b + a + b. Met behulp van de eigenschappen van optellen kun je dit schrijven als: P = a + a + a + 3 · a + b + b + b + b. En dus als: P = 6 · a + 4 · b. De oppervlakte van deze figuur wordt voorgesteld door de letter A. De figuur bestaat uit vier rechthoeken elk met breedte a en lengte b. De oppervlakte van één zo’n rechthoek is lengte × breedte, dus a · b. Daarom geldt: A = a · b + a · b + a · b + a · b. Met behulp van de eigenschappen van optellen kun je dit schrijven als: A = 4 · a · b. Opgave 5 Bekijk de luciferfiguur hiernaast. Neem aan dat alle hoeken recht zijn. Noem de lengte van de korte lucifer k en die van de langere lucifer l. a Schrijf een zo kort mogelijke formule op voor de omtrek P van de figuur. b Bereken P als k = 3 cm en l = 4 cm met behulp van je formule. Controleer je antwoord met behulp van de figuur. c Schrijf een zo kort mogelijke formule op voor de oppervlakte A van de figuur. d Bereken A als k = 3 cm en l = 4 cm met behulp van je formule. Controleer je antwoord met behulp van de figuur.

Voorbeeld 2


3

Deze figuur bestaat uit 5 rechthoeken en een vierkant. Voor de omtrek P van deze figuur geldt: P = 8 · p + 6 · q. Voor de oppervlakte A van deze figuur geldt: A = p · p + 5 · p · q. Ga dit zelf na. Opgave 6 Bekijk de formules in Voorbeeldhv-gr24-v2 ??. a Leg uit hoe je aan de formule voor de omtrek kunt komen. b Neem p = 5 en q = 3 en bereken de omtrek P . Controleer je antwoord met behulp van de figuur. c Leg uit hoe je aan de formule voor de oppervlakte kunt komen. d Neem p = 5 en q = 3 en bereken de oppervlakte A. Controleer je antwoord met behulp van de figuur.

Opgave 7 Bij de volgende uitdrukkingen kun je je voorstellen dat ze de omtrek of de oppervlakte van een rechthoekige luciferfiguur zijn. Schrijf ze zo eenvoudig mogelijk. a a+4·b+a+3·a+2·b b a·b+2·a·a+3·a·b+a·a c 5·p+3·p+2·q+p+6·q d p·p+5·p·q+p·p+p·q

Voorbeeld 3 Je kunt ook formules korter schrijven zonder er figuren bij te gebruiken. Je werkt dan alleen met de rekenregels voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.


4

.

.

a+2·b+3·a+b−2·a= a+3·a−2·a+2·b+b= 2·a+3·b 3·b−4·a−5·b+a·5= −4 · a + 5 · a + 3 · b − 5 · b = a−2·b=

Je kunt dit zichtbaar maken met de applet „Slangen”. Wanneer je zo’n uitdrukking moet uitrekenen voor bijvoorbeeld a = 2 en b = 3 dan merk je hoe nuttig het korter schrijven van een formule is... Opgave 8 Bekijk Voorbeeldhv-gr24-v3 ??. Met de applet „Slangen” in het Practicumhv-gr24-xa1 ?? kun je het eenvoudiger maken van deze uitdrukkingen zichtbaar maken. Klik daartoe op het juiste schuifbalkje en beweeg de punt erop met de pijltjestoetsen van je toetsenbord. a Hieronder zie je de „slang”: a + 2 · b + 3 · a + b − 2 · a. Laat in de tekening zien dat dit inderdaad gelijk is aan 2 · a + 3 · b.

b Controleer a + 2 · b + 3 · a + b − 2 · a = 2 · a + 3 · b door de getallen a = 2 en b = 3 te substitueren. c Maak nu zelf de „slang”: 3 · b − 4 · a − 5 · b + a · 5. Hoe kun je deze tweede slang korter schrijven?


5

d Controleer het korter schrijven met a = 2 en b = 3. Waarom betekent dit nog niet dat korter schrijven nu ook zonder meer goed is gedaan? e Maak de „slang”: −3·a+b+5·a−4·b+a. Schrijf deze uitdrukking zo eenvoudig mogelijk. f Oefen met een medeleerling (met de applet).

Opgave 9 Schrijf de volgende uitdrukkingen zo eenvoudig mogelijk. a 2·a+4·b−a+3·a−2·b b 4·a−2·a+3·b+a c 5·p−3·p+2·q+p−6·p d p−5·q+p+q

Opgave 10 Schrijf bij deze twee rechthoekige luciferfiguren zo eenvoudig mogelijke formules voor de omtrek en de oppervlakte. De lengte van de korte lucifer is p en die van de lange is q.

Opgave 11 Schrijf de volgende uitdrukkingen zo eenvoudig mogelijk. a 4 · p + 6 · q − 3 · p + 12 · q b −3 · p − 4 · p + 12 · q + 11 · p c 15 · a + 3 · b − 12 · a + b − a


6

d x·5+4·y−4·x e x·x+4·x+2·x·x−2·x f 3·u·v−2·v·u+u

Opgave 12 Schrijf de volgende formules zo eenvoudig mogelijk. a ritprijs = 4,50 + 1,25 · aantalklantkilometers b omtrek = 2 · b + l + b + 4 · l + 3 · b c oppervlakte = 2 · l · b + b · b + l · b + b · b + 3 · l · b d lengtejongen = (lengtemoeder + lengtevader + 13) / 2

Opgave 13 Een leraar berekent het cijfer c voor een toets vanuit de punten p die een leerling heeft gescoord. De leraar gebruikt deze formule c=

p 60

·9+1

a Hoeveel bedraagt je cijfer als je 40 punten hebt gehaald? b Waarom kun je voor deze toets maximaal 60 punten halen? c Maak een grafiek bij deze formule. d Vanaf hoeveel punten krijg je een 5,5 of hoger?

Opgave 14 Voor het maken van een fotoboek met eigen digitale foto’s betaal je €9,95 als je niet meer dan 20 foto’s hebt. Voor elke extra foto moet je €0,15 bijbetalen. Als x het aantal extra foto’s is, hoeveel bedragen dan de totale kosten k per extra foto? a Schrijf een bijpassende formule op. b Neem x = 15 en bereken k.


7

c Zal k ooit minder worden dan 20 cent? Licht je antwoord toe.

Formules in woorden kun je veel korter en daardoor overzichtelijker maken: .

.

.

„Bij het rondbrengen van folders is je weekloon €6,00 plus 5 cent voor elke folder.” kan worden: w = 6 + a · 0,05 „De lengte van een kaars van 30 cm waarvan elk uur 2 cm opbrandt kun je berekenen door het aantal uren met 2 te vermenigvuldigen en dat van 30 af te trekken.” kun je schrijven als: L = 30 − 2 · u „Het aantal km dat je aflegt bij het hardlopen kun je berekenen door je snelheid in km/h (km per uur) te vermenigvuldigen met de tijd die je onderweg bent (in uren).” schrijf je wel als: s=v·t Hierin is v de snelheid in km/h (v komt van het Latijnse woord „velocitas” dat „snelheid” betekent) en t de tijd in uren.

Wel moet je telkens goed afspreken wat de variabelen betekenen en welke eenheden je gebruikt. Opgave 15: Formules in de praktijk Shown for proofing: In de praktijk kom je regelmatig formules tegen, vaak in woorden. Ze worden overzichtelijker als je ze korter opschrijft, bijvoorbeeld door letters als variabelen te gebruiken. Zie Toepassenhv-gr24-a1 ??. In de praktijk kom je regelmatig formules tegen, vaak in woorden. Ze worden overzichtelijker als je ze korter opschrijft, bijvoorbeeld door letters als variabelen te gebruiken. Zie:

a Wat stellen de letters w en a in de formule w = 6 + a · 0,05 precies voor? Denk ook om de eenheden. b Waarom kun je deze formule ook schrijven als w = 0,05 · a + 6? c Wat stellen de letters L en u in de formule L = 30 − 2 · u precies voor? d Hoe kun je deze formule ook schrijven?


8

e Bekijk de formule s = v · t. Leg uit waarom deze formule alleen geldt als v de gemiddelde snelheid voorstelt of als de snelheid niet verandert. f Je gebruikt zo’n formule meestal om juist die gemiddelde snelheid uit te rekenen. Hoeveel bedraagt v bij een atleet die de marathon (42 km) aflegt in 2 uur en 20 minuten?

Opgave 16: Tsjirpende krekels Midas Dekkers is bioloog en schrijver van verschillende boeken. Onder andere schrijft hij over het getsjirp van de krekel. Hoe hoger de temperatuur, hoe sneller de krekel tsjirpt. Daarom kun je door het aantal tsjirpen van een krekel te tellen de temperatuur in graden Celsius bepalen. Midas Dekkers gebruikt voor de sneeuwboomkrekel een formule waarbij je moet uitgaan van het gemiddeld aantal tsjirpen per minuut. Je trekt er veertig van af, deelt de uitkomst door zeven en telt er tien bij op. a Noem het gemiddelde aantal tsjirpen per minuut n. Welke formule geldt dan voor de temperatuur T in °C? b Een sneeuwboomkrekel tsjirpt 96 keer per minuut. Bereken de temperatuur. c En hoeveel bedraagt de temperatuur als deze krekel 110 keer per minuut tsirpt? d Teken een bijpassende grafiek. e Geef in je grafiek het gedeelte aan dat hoort bij temperaturen van 20°C tot 25°C? Welke waarden voor n horen daar ongeveer bij?


9

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af

Recommend Documents