SOLUSI PREDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IPA 2015

SOLUSI PREDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IPA 2015 Paket 2 Pilihlah jawaban yang paling tepat! 1. Diberikan premis-premis berikut! 1. Jika pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak maka kemacetan di ruas jalan semakin padat. 2. Kemacetan di ruas jalan tidak semakin padat atau kegiatan ekonomi masyarakat terhambat. Negasi dari penarikan kesimpulan yang sah pada premis-premis tersebut adalah …. A. Jika pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak maka kegiatan ekonomi masyarakat terhambat. B. Jika pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak maka kegiatan ekonomi masyarakat tidak terhambat. C. Pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak dan kegiatan ekonomi masyarakat terhambat D. Pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak dan kegiatan ekonomi masyarakat tidak terhambat E. Pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak atau kegiatan ekonomi masyarakat tidak terhambat Solusi: q  r  q  r p q q  r ….

p q 

q r pr

(p  q)  p q Jika pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak maka kemacetan di ruas jalan semakin padat Jika kemacetan di ruas jalan semakin padat maka kegiatan ekonomi masyarakat terhambat

 Jika pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak maka kemacetan di ruas jalan semakin padat maka kegiatan ekonomi masyarakat terhambat Negasi dari pernyataan “Jika pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak maka kegiatan ekonomi masyarakat terhambat” adalah “Pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak dan kegiatan ekonomi masyarakat tidak terhambat”.  D 1

xy



1 2

2. Jika x  26 3 , y  0,16  0,16666... , dan z  2011, maka nilai 3

1 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015

 6 5 2  2 x y3z       .... 3 5 3 x y z

4 3 3 B. 2 3 C. 4 Solusi:

2 3 1 E. 3

A.

D.

y  0,16  0,16666... 100 y  16,666...

10 y  1,6666...



90y =15 15 1 y  90 6 1

xy



1 2

3

 6 5 2  2 x y3z  5 1  1 5 5 3 5 10 2   2 x 3 y 6 z 1    3 1  xy    3 3 2 3 2 6 3  x3 y 6  x y  2 6  x y   5  6 x 3 y 5 z 3 xy 3 z 1

 

 1  4  48    [A]  36  3

3. Hasil dari penjabaran dari Nilai a  b  .... A. 40 B. 32 C. 24 Solusi: 8

5 1

3 5

5 1

8

5 1

3 5

5 1

dapat dinyatakan sebagai

a  b , dengan a  b .

D. 20 E. 16





8

5 1

3 5

5 1



 3 

4 5 1 3 5



5

3 5

5 1 5 1 







8 3 5





5 1 4

2



8 3 5



5 1 2

452 5 3  2  2 5  20  4  a  b 95

a  20 dan b  4 Jadi, nilai a  b  20  4  16 .  [E]

4. Persamaan 2 log 2 x  k  1 log x  2  0 dan 2 log 2 x  a  3 log x  6  0 mempunyai sebuah 2

2

akar persekutuan (akar berserikat) . Banyaknya semua akar persaman tersebut adalah …. A. 10 D. 5 B. 8 E. 4 C. 6


Solusi: 2

log 2 x  k  1 log x  2  0

2

log 2 x  k  3 log x  6  0

2

2



 2k  42 log x  8  0 2

log x 

8 4   2k  4 k  2

2

2

log x 

4  4   4     k  1 20 k2 k  2 k  2

4 2  4k  1k  2  2k  2  0 2

8  2k 2  6k  4  k 2  4k  4  0 k 2  2k  8  0 k  2k  4  0 k  2 atau k  4 k  2  log x  k  1 log x  2  0 2

2

2

2

log 2 x  3 2 log x  2  0 (karena D  (3) 2  4  1  2  0 , berarti ada 2 akar)



2



2

log x  1 atau 2 log x  2

log x  1

2



log x  2  0

x  2 atau x  4 k  2  2 log 2 x  k  3 log x  6  0 2

2

log 2 x  5 2 log x  6  0 (karena D  5 2  4  1   6  0 , berarti ada 2 akar)



2



2

log x  1 atau 2 log x  6

log x  1

2



log x  6  0

x  2 atau x 

1 64

k  4  2 log 2 x  k  1 log x  2  0 2

2

log 2 x  3 2 log x  2  0 (karena D  32  4  1  2  0 , berarti ada 2 akar)



2



2

log x  1 atau 2 log x  2

log x  1

x

2



log x  2  0

1 1 atau x  2 4

k  4  2 log 2 x  k  3 log x  6  0 2

2

log 2 x  2 log x  6  0 (karena D   1  4  1   6  0 , berarti ada 2 akar) 2



2



2

log x  3 atau 2 log x  2

log x  3

2



log x  2  0


1 4 Jadi, banyak semua akarnya adalah 8.  [B] x  8 atau x 

5. Jika kurva fungsi y  2k  5x 2  k  1x  k 2 tidak memotong sumbu X dan kurva melalui titik (4,9), maka salah satu persamaan garis singgung yang dapat ditarik dari titik (0,7) adalah …. A. 5 x  3 y  21  0 D. 8 x  y  7  0 B. 3x  2 y  14  0

E. 12 x  y  7  0

C. 12 x  y  7  0 Solusi: ( 4,9)  y  2k  5x 2  k  1x  k 2

9  2k  54 2  k  14  k 2

9  32k  80  4k  4  k 2 k 2  28k  93  0 k  3k  31  0 k  3 atau k  31 k  3  y  2k  5x 2  k  1x  k 2  x 2  4 x  9

Karena D   4  4  1  9  0 , maka kurva tidak memotong sumbu X. 2

k  31  y  2k  5x 2  k  1x  k 2  67 x 2  30x  961

Karena D  30 2  4   67  961  0 , maka kurva memotong sumbu X di dua titik yang berbeda. Ambillah persamaan garis singgung: y  mx  n . (0,7)  y  mx  n 7  m0 n n  7 Sekarang persamaan garis singgung itu menjadi y  mx  7 .

y  mx  7  y  x 2  4 x  9

mx  7  x 2  4 x  9 x 2   4  mx  16  0

Syarat garis menyinggung kurva parabola adalah D = 0, sehingga:

 4  m2  4  1  16  0 m 2  8m  16  64  0 m 2  8m  48  0 m  12m  4  0 m  12 atau m  4 Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y  12x  7 dan y  4 x  7 .

Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya adalah 12 x  y  7  0 .  [E]


6. Persamaan kuadrat x 2  nx  n  1  0 , dengan n  0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x13  x 23  26 , maka nilai n adalah ….

A. 4 B. 3 C. 2 Solusi:

D. 1 E. 3

x 2  nx  n  1  0 , dengan n  0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. x1  x 2  n x1 x 2  n  1 x13  x 23  26

x1  x2 3  3x1 x2 x1  x2   26 n3  3 n  1n  26

2

1

3 2

3 10

26 26

1

5

13

0

n 3  3n 2  3n  26  0

n  2n 2  5n  13  0

n  2 atau n 2  5n  13  0 (akar-akarnya tidak real karena D  0)

Jadi, nilai n adalah 2. 7. Jika persamaan kuadrat 2 x 2  6 x  1  0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang 1 1 akar-akarnya 3  x1 dan 3  x 2 adalah dapat dinyatakan dalam bentuk umum ax 2  bx  c  0 . 2 2 Nilai dari a  b  c  .... A. 19 D. 8 B. 12 E. 7 C. 9 Solusi: Alternatif 1: 2 x 2  6 x  1  0 akar-akarnya adalah x1 dan x2. 1 x1  x2  3 dan x1 x 2  2 1 1 Akar-akar persamaan kuadrat baru adalah 3  x1 dan 3  x 2 . 2 2 Jumlah akar-akarnya: 1 1 1 1 9 3  x1  3  x 2  6  x1  x 2   6  3  2 2 2 2 2 Hasil kali akar-akarnya: 1  1  1 3 11 3 1  36  72 37    3  x1  3  x 2   x1 x 2   x1  x 2   9     3  9  2  2  4 2 4 2 2 8 8  Persamaan kuadrat yang diminta adalah x 2  x1  x 2 x  x1 x 2  0


 9   37  x 2   x     0 2  8  8x 2  36x  37  0 Jadi, a  b  c  8  36  37  9  [C] Alternatif 2: 1 3  x1  x  x1  6  2 x 2 x1  6  2 x  2 x 2  6 x  1  0 26  2 x   66  2 x   1  0 2

8x 2  48x  72  36  12x  1  0 8x 2  36x  37  0 Jadi, a  b  c  8  36  37  9  [C]

8. Salah satu garis singgung lingkaran x 2  y 2  6 x  8 y  20  0 yang tegak lurus pada garis x  2 y  8  0 adalah ….

A. 2 x  y  3  0

D. 2 x  y  3  0

B. 2 x  y  5  0

E. x  2 y  7  0

C. 2 x  y  7  0 Solusi: 1 . 2 Syarat dua garis tegak lurus adalah m1  m2  1 , sehingga

Gradien garis x  2 y  8  0 adalah m1  

1  m2  1 2 m2  2



x 2  y 2  6 x  8 y  20  0

x  32   y  42  5 Jari-jari lingkaran: r  5 dan pusat lingkaran: (a,b) = (3,4) Persamaan garis singgung adalah y  b  mx  a   r m 2  1 y  4  2x  3  5  2 2  1 y  4  2x  6  5 y  4  2 x  6  5 dan y  4  2 x  6  5

2 x  y  3  0 dan 2 x  y  7  0

Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya adalah 2 x  y  3  0 .  [A] 9. Dua buah fungsi f dan g didefinisikan sebagai f x  

2 , x  3 dan g x   ax 2  b , dengan a x3 dan b adalah konstanta. Jika g  2  5 dan gof 1  1 , maka  fog x   ....


1 x 3 1 B. , x 3 2 2x  6 1 C. 2 , x 6 x 6 Solusi: g  2  5 A.

1 x 3 1 E. 2 , x 3 x 3

D.

2

2

4a  b  5 …………… (1) gof 1  1

g  f 1  1

 2  g   1 1  3  g  1  1 a 1  b  1 2

a  b  1 ……….….. (2) Selisih persamaan (1) dan (2) menghasilkan: 3a  6 a2 a  2  a  b  1 2  b  1 b  3

g x   2 x 2  3

 fog x   f g x   f 2 x 2  3 

2 2 1 , x 3  2  2 2x  3  3 2x  6 x  3 x2 10. Diberikan fungsi f x   ax  3 , a  0 dan g x   , x  2 , Jika f 3  g 1 2  0 , maka nilai x2 2

gof 3  .... 1

A. 2 B. 3 C. 5 Solusi: f x   ax  3  f

D. 6 E. 7

1

x   x  3 a

 dx  b ax  b  f 1 x   cx  a cx  d x2 2x  2 g x    g 1  x   x2 x 1

Rumus: f x  

f 3  g 1 2  0


22 2 0 2 1 3a  3  6 x3 a  3  f 1 x   3

3a  3 

gof 6  g  f 1

1

6  g  6  3   g 3  3 



3 2 5 32

11. Diberikan persamaan x 3  a  1x 2  bx  2a  0 habis dibagi oleh x  2 ; dibagi oleh x  2 sisanya 4. Himpunan pemyelesaiannya adalah …. A.  2,1,3 D.  1,2,3

B. 1,2,3

C.  1,2,3

E.  3,1,2

Solusi: x  2  x 3  a  1x 2  bx  2a  0

 23  a  1 22  b 2  2a  0  8  4a  4  2b  2a  0 2a  2b  4 a  b  2 …………. (1) x  2  x 3  a  1x 2  bx  2a  0

23  a  122  b2  2a  4 8  4a  4  2b  2a  4 2a  2b  16 a  b  8 …………. (2) Jumlah persamaan (1) dan (2) menghasilkan: 2a  6 a3 a  3  a  b  2 3  b  2 b  5 Dengan mensubstitusikan nilai a  3 dan b  5 ke persamaan semula diperoleh

x 3  3  1x 2   5x  23  0

1

1

2 1

5 1

1

1

6

x  2 x  5x  6  0 3

2

x  1x 2  x  6  0 x  1x  3x  2  0

x  1 atau x  3 atau x  2 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah  2,1,3.  [A]


6 6 0

12. Jumlah uang Laras dan Dinda adalah Rp 5.000.000,00. Laras membelanjakan

3 dari uangnya 4

2 dari uangnya tambah Rp 300.000,00. 3 Jumlah uang sisa mereka adalah 2 kali sebanyak uang yang dibelanjakan Laras. Selisih uang Dinda dan Laras adalah …. A. Rp 3.000.000,00 D. Rp 1.500.000,00 B. Rp 2.400.000,00 E. Rp 1.000.000,00 C. Rp 2.000.000,00 Solusi: Ambillah uang Laras x rupiah dan uang Dinda y rupiah. x  y  5.000.000 …………….. (1)

kurang

Rp 600.000,00 dan Dinda membelanjakan

3 3 dari uangnya kurang Rp 600.000,00  x  600.000 4 4 3 1 Sisa uang Laras  x  x  600.000  x  600.000 4 4 2 2 Dinda membelanjakan dari uangnya tambah Rp 300.000,00  y  300.000 3 3 2 1 Sisa uang Laras  y  y  300.000  y  300.000 3 3 Jumlah uang sisa mereka adalah 2 kali sebanyak uang yang dibelanjakan Laras

Laras membelanjakan

1 1 3  x  600.000  y  300.000  2 x  600.000 4 3 4  1 1 3 x  y  300.000  x  1.200.000 4 3 2 5 1 x  y  1.500.000 …………. (2) 4 3 1 Persamaan (2) +  Persamaan (1) menghasilkan: 3 5 1 5.000.000 x x  1.500.000 4 3 3 19x  38.000.000 x  2.000.000 x  2.000.000  x  y  5.000.000 2.000.000  y  5.000.000 y  3.000.000

Jadi, selisih uang Laras dan Dinda = Rp 3.000.000,00 – Rp 2.000.000,00 = Rp 1.000.000,00.  [E] 13. Laras dan Yuda membuat mainan A dan B di toko kerajinannya. Setiap mainan A membutuhkan 3 jam kerja Laras dan 1 jam kerja Yuda. Setiap mainan B membutuhkan 4 jam kerja Laras dan 2 jam kerja Yuda. Laras tidak dapat bekerja lebih dari 48 jam per minggu dan Yuda tidak dapat bekerja lebih dari 20 jam per minggu. Jika setiap mainan A dihargai $12 dan mainan B dihargai $20, maka banyak item yang dapat mereka buat untuk memaksimumkan penghasilannya adalah ….


A. 6 mainan A dan 8 mainan B D. 8 mainan A dan 6 mainan B B. 16 mainan A saja E. 10 mainan A dan 16 mainan B C. 10 mainan B saja Solusi: Ambillah banyak mainan A = x buah dan mainan B = y buah. 3 x  4 y  48 Y  x  2 y  20   x0 12   3 x  4 y  48 y0 10 Fungsi objektif f x, y   12x  20 y (8,6) 3 x  4 y  48 ………….. (1) x  2 y  20 x  2 y  20 X O 16 20 2 x  4 y  40 ………….. (2) Selisih persamaan (1) dan (2) menghasilkan: x 8 x  8  x  2 y  20 8  2 y  20 y6

Koordinat titik potongnya adalah (8,6). Titik

f x, y   12x  20 y

(0,0) (16,0) (8,6) (0,10)

12  0  20  0  0 12  16  20  0  192 12  8  20  6  216 (maksimum) 12  0  20  10  200

Jadi, banyak item yang dapat mereka buat untuk memaksimumkan penghasilannya adalah 8 buah mainan A dan 6 buah mainan B.  [D]   3 1    7 5  2 5  1 2      dengan A 1 adalah  dan A 1 B   14. Diberikan matriks A   2  1 3  2 3 7 3 5       

invers matriks A maka jumlah elemen-elemen matriks B 1 adalah …. 3 A. 0 D. 2 1 B. E. 2 2 C. 1 Solusi:   3 1    7 5  2 5       A 1 B    2  1  3  2  3 7 


  3 1  1 0     A 1 B    2  1  0 1    2 1  A 1 B    2 0   2 1  B  A  2 0  1 2   2 1    B    3 5  2 0   2 1  B    4 3 B 1 

3  3  1  1     2 2  3  1 4   4 2   2

1  2  1 

Jadi, jumlah elemen-elemen matriks B 1 adalah

3 1   2  1  0  [A] 2 2

 p    π 15. Sudut antara vektor a   2 p  1 , dengan p  0 dan vektor b adalah . Jika panjang proyeksi 3  p 3   

vektor a pada vektor b adalah A. 

5 2

5 , maka nilai p adalah …. 2

D.  1 E. 

B.  2

1 2

3 2 Solusi:

C. 

cos 

ab ab

a  b  a b cos ab 

 

p 2  2 p  1  p 3 2

2

b cos

 3



p2  4p2  4p 1 3p2 b

Rumus: Panjang proyeksi vektor a pada b adalah c 

ab b

1 8p2  4p 1 b 5 2  2 b


1 1  8p2  4p 1 b 2 2

5  8p2  4 p 1 5  8p2  4p 1 8p2  4p  4  0

2p2  p 1 0

2 p  1 p  1  0 1 atau p  1 2 Jadi, nilai p yang diminta adalah  1 .  [D] p

16. Diberikan vektor-vektor a  2,1,2 , b  4,10,8 , dan c  a  c pada vektor a adalah ….  2 1  A.   1 5   2

 2    D.   1  2   

 2 3  B.   1 5   2

 2 6  E.   1 5   2

1 b . Proyeksi vektor dari vektor 10

 2 4  C.   1 5   2 Solusi:

 8   2  4      1    5  1 c  a  b    1   10     2  10  2  10   8   14         5 

Rumus: z 

ab b

2

b

 8     2  5      2     1  14   2   5    ca z  2 a  2  2 2   1  2 2 a

 2  2  16  2  28  2    6    5 5   1    1   1  9  2  5 2   2      

 2 6  Jadi, proyeksi vektor dari vektor c pada vektor a adalah   1 .  [E] 5   2


17. Bayangan kurva 5 x  2 y  10  0 jika dicerminkan terhadap garis y  x dilanjutkan dengan rotasi terhadap pusat O sebesar A. 5 x  2 y  10  0 B. 5 x  2 y  10  0

 adalah …. 2 D. 2 x  5 y  10  0 E. 2 x  5 y  10  0

C. 5 x  2 y  10  0 Solusi: Alternatif 1:  x'   0  1 0 1  x    1 0  x              y '   1 0  1 0  y   0 1  y   x  1 0  x'   x'    x'  1              y   1  1  0  0  0  1 y '    y'  y'  x   x' dan y  y '

Alternatif 2:  x'   0  1 0 1  x    1 0  x    x                 y '   1 0  1 0  y   0 1  y   y  x'   x  x   x' dan y '  y 5 x'  2 y'  10  0  5 x  2 y  10  0

5 x  2 y  10  0

Jadi, bayangannya adalah 5 x  2 y  10  0 .  [C] 18. Diberikan fungsi eksponen f x   a  2  x  b yang ditunjukkan pada gambar berikut ini. Jika f

x  adalah invers dari fungsi eksponen f , maka f 1 x   .... 2 log3x  8  3

1

A.

9 B. log 3x  8 2

C. 9 2 log3x  8

Y (2,8)  y  f x 

D. 3 2 log3x  8 E. 3 2 log3x  8

O

X

Solusi:

(2,8)  f x   a  2  x  b

8  a  22  b 4a  b  8 …….. (1) (0,0)  f x   a  2 x  b

0  a  20  b a  b  0 …….... (2) Selisih persamaan (1) dan (2) menghasilkan:


3a  8 8 a 3 8 a  ab0 3 8 b8 3 8 b 3

8 8 2 3x 8 Persamaan fungsi eksponen adalah f x   a  2  x  b  2  x    3 3 3 3 1 8 f  x   2 3 x  3 3 x

2 3 y 8  3 3

3x  2 3 y  8

2 3 y  3x  8 log 2 3 y  log3x  8

3  y log 2  log3x  8 3  y  2 log3x  8 y  3 2 log3x  8 y  2 log

9 3x  8

Jadi, fungsi inversnya adalah f

1

x  2 log

9  [B] 3x  8

19. Persamaan kuadrat x 2  kx  28 , dengan k > 0 mempunyai akar-akar  dan . Jika , , dan ( +   1) adalah tiga suku pertama deret aritmetika, maka jumlah 25 suku pertamanya adalah …. A. 2.000 D. 1.200 B. 1.800 E. 1.000 C. 1.600 Solusi: x 2  kx  28

x 2  kx  28  0 akar-akarnya  dan .     k ……… (1)

  28 …..….… (2) Deret aritmetika:         1

        1   2    1 ……….. (3)

Jumlah persamaan (1) dan (3) menghasilkan:


3  k  1 k 1  3 k 1     k 3 k 1  k 3 k  1 2k  1  k   3 3   28

k  1 2k  1   28 3 3

2k 2  k  1  252 2k 2  k  253  0 2k  23k  11  0 23 (ditolak) atau k  11 (diterima) 2 k  1 11  1 k  11     4 3 3 2k  1 2  11  1 k  11     7 3 3 Deret aritmetika yang dimaksud adalah 4  7  10  ... , dengan a  4 , b  7  4  3 , dan n  25 n S n  2a  n  1b 2 25 S 25  2  4  25  13  1.000 2 Jadi, jumlah 25 suku pertamanya adalah 1.000.  [E] 20. Tiga buah bilangan yang bulat merupakan deret geometri. Jika bilangan yang kedua ditambah 8, maka ketiga bilangan itu menjadi deret aritmetika. Tetapi jika bilangan ketiga dari deret yang terakhir ini ditambah 64, maka bilangan-bilangan itu merupakan deret geometri kembali. Jumlah ketiga bilangan semula adalah …. A. 52 D. 40 B. 48 E. 36 C. 42 Solusi: a Deret geometri:  a  ar r a Deret aritmetika:  a  8  ar r a a  8   ar  a  8 r k 


2a  16 

a  ar  0 r

2ar  16r  a  ar 2  0 a Deret geometri:  a  8  ar  64 r a  8 ar  64  a a8 r 64a a 2  16a  64  a 2  r 64a 16a  64  r 4a a4 r 4a r a4 4a r  2ar  16r  a  ar 2  0 a4

 4a   4a   4a  2 2a    16   a  a  0 a  4 a  4 a  4 8a 2 a  4  64aa  4  aa  4  16a 3  0 3

8a 3  32a 2  64a 2  256a  a 3  8a 2  16a  16a 3  0 9a 3  88a 2  240a  0





a 9a 2  88a  240  0

9a 2  88a  240  0 atau a  0 (ditolak)   88 

 882  4  9   240

88  8 121  135 88  8 256 88  8  16   29 18 18 18 88  128 216 88  128  40  20 2 a   12 (diterima) a     2 (ditolak) 18 18 18 18 9 9 88  128 216 4a 4  12 a   12  r   3 18 18 a  4 12  4 12 Jadi, jumlah deret geometri semula adalah  12  12  3  4  12  36  52 .  [A] 3 21. Diberikan balok EFGH.ABCD, DHG  45 , FHB  65 , dan panjang GH = 6 cm. Jarak garis titk H ke garis BD adalah …. a

A. 3 2 cm

D. 3 6 cm

B. 3 3 cm

E. 4 5 cm



C. 3 5 cm Solusi:


GH  DG  CD  CH  BF  6 cm

A

D

DH  GH 2 DG 2 DH  6 2 6 2  6 2 cm Perhatikan FHB siku-siku di F, sehingga FHB  60 dan FBH  30 . FB  6 FB 6 HF    2 3 cm 3 3

P B

C

E

45o

G

o

60

BC  HF  2 3 cm

F

H

HB  2 HF  2  2 3  4 3 cm

BD  HB  4 3 cm Perhatikan BHD :

      2

2

DH 2  HB 2  BD 2 6 2  4 3  4 3 cos BHD   2  DH  HB 26 2 4 3

2



72



48 6

10 4 1 1 Luas BHD  HB  HD sin BHD  HP  BD 2 2

6 4

sin BHD 

4 36 2 

HB  HD sin BHD HP   BD

4

10 4  3 5 cm

42 

 6

2

 10

6

4 3

Jadi, jarak garis titk H ke garis BD adalah 3 5 cm.  [C] 22. Diberikan limas T.ABC beraturan dengan AB = 8 cm dan TA = 12 cm. Sudut antara bidang TAC dan bidang ABC adalah  . Nilai sin 2  adalah …. 1 1 46 6 D. 4 12 1 1 138 46 B. E. 12 2 1 23 C. 4 Solusi: Lihat APB siku-siku di P:

A.

T

AP  AB sin B  8 sin 60  4 3 cm

Lihat TPC siku-siku di P:

12

TP 2  TC 2  PC 2  12 2  4 2  144  16  128 Lihat TAP:

h

 

2

cos  

AP 2  TP 2  TA 2 4 3  128  12 2  2  AP  TP 2  4 3  128

A


P

T1 8

C



8

4 B

4



48  128  144 8 3 8 2

32



64 6



6 12

138 12 sin 2  2 sin  cos 

sin  

12

12 2 

 6

2

 138



138 6 1  2   46  [A] 12 12 4

6

23. Diameter (garis tengah) lingkaran luar dari segi-8 beraturan yang mempunyai 648 2 cm2 adalah …. A. 12 cm D. 36 cm B. 18 cm E. 48 cm C. 24 cm Solusi: 1 360 Luas segi-n berturan  n  R 2 sin 2 n 1 360 Luas segi-8 berturan  8  R 2 sin 2 8 1 648 2  8  R 2 sin 45 2 1 2 1 648 2  8  R  2 2 2 R 2  324 R  324  18 cm D  2  R  2  18  36 cm Jadi, diameter lingkaran luar segi-8 bertaturan itu 36 cm.  [D]

24. Diberikan prisma segitiga tegak ABC.DEF, dengan AB = 5 cm, BC = 6 cm, AC  61 30 3 cm, dan luas BCD adalah 18 cm2. Volume prisma tersebut adalah …. 1 119 cm3 A. D. 5 119 cm3 4 15 119 cm3 B. E. 15 119 cm3 4 F C. 4 119 cm3

D

Solusi: cos B 

AB  BC  AC 2  AB  BC 2

2

2

5 2  6 2   61  30 3     256

25  36  61  30 3 30 3 1   3 60 60 2 1 sin B  2

2

E h



61 30 3 C

A

 5

6 P B


1 1 1 15  BC  AB  sin B   6  5   cm2 2 2 2 2 1 15 Luas ABC   AP  BC  2 2 1 15  AP  6  2 2 5 AP  cm 2 1 Luas BCD   DP  BC  18 2 1  DP  6  18 2 DP  6 cm

Luas ABC 

2

25 119 1 5  119 cm AD  DP 2  AP 2  6 2     36   2 4 4 2 Alternatif lain untuk menentukan panjang AD adalah Luas ABC  Luas BCD  cos 1 1 1  BC  AB  sin B  65 Luas ABC 2  5  2  2 cos  Luas ABC 18 Luas BCD 12 12 AD sin   DP 119 1 AD  DP  sin   6   119 cm 12 2

122  5 2  119



5

1  BC  AB  sin B  AD 2 1 1 1 15   65  119  119 cm3  [B] 2 2 2 4 1 25. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2 x  tan 2 x  sin 2 x  2 , dengan 0  x  360 adalah …. 2

Jadi, volume prisma tersebut  Luas ABC  AD 

 π 2π  A.  ,  3 3 

 π 2π 4π 5π  D.  , , ,  6 3 3 6 

 4π 5π  B.  ,  3 3

 π 2π 4π 5π  E.  , , ,  3 3 3 3 

 π π 2π  C.  , ,  6 3 3  Solusi: cos 2 x  tan 2 x  sin 2 x  2

1 2

cos 2 x  1  tan 2 x  sin 2 x  3

1 2


cos 2 x  sec 2 x  sin 2 x  3

1 2

cos 2 x  sec 2 x  1  cos 2 x  3 2 cos 2 x  sec 2 x  4

1 2

1 0 2

4 cos4 x  9 cos2 x  2  0

4 cos

2





x  1 cos 2 x  2  0

1 (diterima) atau cos 2 x  2 (ditolak) 4 1 1 cos x  atau cos x   2 2  2 4 5 x  atau x  atau x  atau x  3 3 3 3

cos 2 x 

 π 2π 4π 5π  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah  , , ,  .  [E] 3 3 3 3  cos 72  sin 72 26. Jika tan x  , maka nilai x adalah …. cos 72  sin 72 A. 27 D. 72 B. 53 E. 153 C. 54 Solusi: cos 72  sin 72 sin 18  sin 72 2 cos 45 sin 27  sin 27  tan x    cos 72  sin 72 sin 18  sin 72 2 sin 45 cos 27 cos 27   tan 27  tan 180  27  tan 153

Jadi, nilai x = 153.  [E] 27. Dalam ABC, ABC  90 , AB = 8 cm, dan BC = 6 cm. Jika garis bagi ACB memotong AB di R dan CR  3 a , maka nilai a adalah …. A. 5 D. 2 B. 4 E. 1 C. 3 Solusi: Ambillah ACB  2 x 8 tan ACB  tan 2 x  6 2 tan x 4  2 1  tan x 3

A

R x x

6 tan x  4  4 tan x 2

2 tan 2 x  3 tan x  2  0 2 tan x  1tan x  2  0

B


C

1 (diterima) atau tan x  2 (ditolak) 2 BR tan BCR  tan x  BC 1 BR  2 6 BR  3 cm Menurut Pythagoras dalam CBR:

tan x 

CR 2  BC 2  BR 2

3 a 

2

 6 2  32

9a  36  9 a5  Nilai a  5  A

ax 3  27b  9 , maka nilai a  b  .... x 3 x2  9 A. 8 D. 4 B. 6 E. 3 C. 5 Solusi:

28. Jika lim





lim ax 3  27b  0 x 3

a3  27b  0 3

27a  27b  0 ab

ax 3  27a 9 x 3 x2  9

lim





a x 3  27 9 x 3 x2  9

lim





a  x  3 x 2  3 x  9 9 x 3 x  3x  3

lim





a x 2  3x  9 9 x 3 x  3

lim





a 32  3  3  9 9 3  3 27a  54 a2 ba2 Jadi, nilai a  b  2  2  4 .  [D]

1  cos6 x  .... x 0 x sin x

29. Nilai lim


A. 8 B. 6 C. 5 Solusi: Alternatif 1:

D. 4 E. 3











1  cos x  1  cos x  cos 2 x 1  cos3 x 1  cos 6 x 1  cos3 x 1  cos3 x  lim  lim x 0 x 0 x 0 x sin x x sin x x sin x 1 2 sin 2 x 1  cos x  cos 2 x 1  cos3 x 2  lim x 0 x sin x 1  1    sin x  sin x  2 3 2 2  x  1  cos x  cos x 1  cos x   lim 2 x 0  1  1  sin x  4 x  x    2  2 

lim









 2111

Alternatif 2:

1  1  11  1 4









 3  [E]







1  cos x  1  cos x  cos 2 x 1  cos3 x 1  cos 6 x 1  cos3 x 1  cos3 x  lim  lim x 0 x 0 x 0 x sin x x sin x x sin x 1 2 x 1  cos x  cos 2 x 1  cos3 x 1 2  lim  1  1  11  1  3  [E] x 0 xx 2

lim











30. Garis singgung pada kurva y  ax 3  bx pada titik dengan absis x  2 adalah 16 x  y  32  0 . Nilai a  b  .... A.  8 D. 6 B.  6 E. 8 C. 4 Solusi: x  2  16 x  y  32  0 16 2  y  32  0 y0

Koordinat titik singgungnya adalah  2,0 .

 2,0 

y  ax 3  bx 0  a 2  b 2 3

4a  b  0 ……….. (1) Gradien garis singgung 16 x  y  32  0 adalah m  16 .

y  ax 3  bx dy  3ax 2  b dx


m

dy dx

x  2

16  3a 2  b 2

16  12a  b …………. (2) Selisih persamaan (2) dan (1) adalah 8a  16 a2 a  2  4a  b  0 42  b  0 b  8 Jadi, nilai a  b  2  8  6 .  [B]

4500   31. Suatu proyek dapat dikerjakan selama x hari, dengan biaya setiap harinya  6 x   180 juta x   rupiah> Jika biaya minimum proyek tersebut C juta rupiah, maka C = …. A. 4.500 D. 2.150 B. 3.150 E. 2.250 C. 3.100 Solusi: 4500   Biaya C  x 6 x   180  6 x 2  180x  4500 x   C '  12x  180 C "  12 Nilai stasioner (titik kritis) dicapai jika C '  0 , sehingga 12 x  180  0 x  15 Karena C"  12  0 , maka fungsi biaya C minimum untuk x  15 . C min  615  18015  4500  3150 2

Jadi, biaya minimum C adalah 3.150.  [B] 3

32. Jika hasil dari

 x  2 0

x  1dx 

a , maka nilai a  b  .... b

A. 142 D. 256 B. 241 E. 421 C. 244 Solusi: Metode Substitusi: Ambilah x  1  u  dx  du x 1 u  x  u 1 x  0  u  x 1 0 11 x  3 u  x 1 3 1 4


4

5 3 1    3  x  2 x  1dx  u  1 u du   u 2  u 2 du   2 u 2  2 u 2  3   5 0 1 1  1 64 16 2 2 62 14 256 a         5 3 5 3 5 3 15 b a  256 dan b  15 Jadi, nilai a  b  256  15  241

3

4



4





 3



33. Jika hasil dari sin 3 x cos xdx  0

A. 13 B. 10 C. 6 Solusi:

m , maka nilai m  n  .... n

D. 5 E. 4





3

3



3 1 sin 4 x  sin 2 x dx   1 cos 4 x  1 cos 2 x  sin 3 x cos xdx  2 4  8 0 0 0





1 4 1 2 1 1 1 1 1 1 9 m   cos  cos  cos 0  cos 0       8 3 4 3 8 4 16 8 8 4 16 n m  9 dan n  16

Jadi, nilai

m  n  9  16  5  [D]

π

34. Jika



a

x cos xdx 

0

 0

A. 4 B. 8 C. 9 Solusi: Alternatif 1:

x x 1 D. 36 E. 64

Menentukan hasil dari

2

dx  0 , maka nilai a 2 adalah ….

 x cos xdx

Ambillah u  x  du  dx dv  cos xdx  v  sin x

 x cos xdx  x sin x   sin xdx  x sin x  cos x  C Alternatif 2: Diferensial

Integral

x

cos x

1

sin x

0

 cos x

 x cos xdx  x sin x  cos x  C + 


π

a

x

 x cos xdx   0

x 1 2

0

a

x sin x  cos x0



1 20



dx  0 1 x 1 2





d x2 1  0

a

 2   x 2  1  0   0

 2  a 2  1  02  1  0  2  a2 1 1 0 a2 1  3 a2 1 9 a2  8

Jadi, nilai a 2  8 .  [B] 35. Perhatikan gambar berikut ini! Rasio luas daerah A dan B adalah …. A. 5 : 11 D. 1 : 2 B. 7 : 11 E. 5 : 7 C. 3 : 11 Solusi: Persamaan garis yang melalui titik (4,0) dan (1,2) adalah 02 x  4 y0 4 1 2 8 y x 3 3 2 8  8 Garis y   x  memotong sumbu Y di titik  0,  . 3 3  3 Luas daerah A dan B  1

Y y  2x 2

(1,2) A B O

4

X

1 8 16 4  2 3 3 4

1

4

8  2 16 32 1 8 8 2   1  2    Luas daerah B  2 x dx    x  dx   x 3    x 2  x    3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 0  3 0 1





2



11 3

Luas daerah A = Luas daerah A dan B – Luas daerah B  Jadi, rasio luas daerah A dan B adalah

16 11 5   3 3 3

5 11 :  5 : 11  [A] 3 3

36. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2 , garis y  2  x , dan sumbu Y yang diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o adalah ….


32 π 15 31 B. π 15 22 C. π 15 Solusi: Alternatif 1: Batas-batas integral:

21 π 15 12 E. π 15

A.

D.

Y y  x2

Kurva y  x dan garis y  2  x 2

x2  2  x x2  x  2  0 x  1x  2  0

y2x

O

x  1 atau x  2

2

1

 f x  g xdx , f x  g x b

V π

2

2

a

 2  x  x  dx  π   1

V π

1

2 2

2

0

0

1

 x3 x5    4  4 x  x  x dx  π  4 x  2 x 2  3 5 0  2

4



1 1  32  π  π 4  2     3 5  15  Alternatif 2: Batas-batas integral:

Kurva y  x 2 dan garis y  2  x x2  2  x

x2  x  2  0 x  1x  2  0 x  1 atau x  2

 f x  g xdx , f x  g x b

V π

2

2

a 2 2  2  x dx  π  x  2

V π

1

0

 4  4x  x dx  π  x 0

4

dx  π

0

2

2 2

1 2

1

2

 2  x  dx 2

dx  π

0

2

π

2

 4  4x  x dx 2

1

1

2

  x5   x3  x3   π 4 x  2 x 2    π    π 4 x  2 x 2   3 0 3 1   5 0  1 1 32 8 8 1 8  1  π  π 8  8    π   π 8  8   4  2    π  π  π  5 3 15 3 3 3 3  5 


X

37. Data yang disajikan pada berikut adalah nilai ulangan matematika dari 80 siswa siswa . Nilai 71  75 76  80 81  85 86  90 91  95 96  100

Frekuensi 5 10 17 a 16 b

1 Jika median pada tabel tersebut adalah 87 , maka nilai b adalah …. 6 A. 6 D. 9 B. 7 E. 10 C. 8 Solusi: 1   n  fk 2  p Me  L2   2   f2     dengan: Me = median L2 = tepi bawah kelas yang memuat median (kuartil tengah Q2) p = panjang kelas atau interval kelas fk 2 = jumlah frekuensi sebelum kelas yang memuat median (kuartil tengah Q2)

f 2 = frekuensi kelas yang memuat median (kuartil tengah Q2) 5  10  17  a  16  b  80 a  b  32

Nilai median pada tabel tersebut adalah 87

1 menunjukkan bahwa kelas modus terletak pada 6

interval kelas 86  90 dengan frekuensi a. 1 Me = 87 , L2 = 85,5; p = 5; fk 2  32 ; f 2  a , dan n = 80 6 1  40  32  87  85,5   5 6  a  10  8    5 6 a a  24 a  24  a  b  32 24  b  32 b8 Jadi, nilai b adalah 8.  [C] 38. Cara menyusun huruf-huruf “STATIS” dengan kedua S tidak berdekatan ada sebanyak ….


A. 180 B. 120 C. 80 Solusi:

D. 60 E. 20

6! 6  5  4  3  2!   180 . 2!2! 2  1  2! Banyak cara menyusun huruf-huruf “STATIS” dengan syarat kedua huruf S berdekatan sama artinya dengan menyusun huruf-huruf “TATIS” atau “STATI” (huruf S dihitung sekali) ada 5! 5  4  3  2! sebanyak   60 . 2! 2! Jadi, banyak cara menyusun huruf-huruf “STATIS” dengan kedua S tidak berdekatan ada sebanyak 180 – 60 = 120. 39. Banyaknya cara dapat memilih sekurang-kurangnya 1 buku dari 5 buku yang tersedia adalah …. A. 31 D. 20 B. 30 E. 15 C. 24 Solusi: Buku dapat dipilih satu persatu, dua-dua, dan seterusnya. Jadi, banyak cara dapat memilih sekurang-kurangnya 1 buku dari 5 buku yang tersedia adalah 5 C1  5 C 2  5 C3  5 C 4  5 C5  5  10  10  5  1  31  [A]

Banyak cara menyusun huruf “STATIS” ada sebanyak

40. Dari suatu kotak terdapat 8 bola putih dan 4 bola biru. Jika dua bola diambil satu persatu tanpa pengembalian, maka peluang bola yang terambil berwarna sama adalah …. 11 14 A. D. 17 33 7 11 B. E. 11 33 17 C. 33 Solusi: Kemungkinannya bola yang terambil adalah (1Putih, 1Putih atau 1Biru, 1Biru) 8 7 4 3 14 1 17       Peluang bola yang terambil berwarna sama adalah  [C] 12 11 12 11 33 11 33


SOLUSI PREDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IPA 2015

Recommend Documents