Solow modell – levezetések Szabó-Bakos Eszter 2015. 7. hét, Makroökonómia
1.
Aranyszabály
A gazdaság m˝uködését az alábbi egyenletek határozzák meg: Yt = aKtα L1−α t Ct = M P C · Yt St = Yt − Ct = (1 − M P C) Yt = M P S · Yt It = Kt+1 − (1 − δ) Kt Yt = Ct + It Az állandósult állapotban egyetlen változó sem növekszik (az id˝oindex már nem lényeges) Y = aK α L1−α C = MPC · Y S = MPS · Y I = δK Y =C +I Mekkora az MPS optimális szintje? 1. Túl magas MPS, jelenlegi fogyasztást áldozunk fel a jöv˝obeli fogyasztás érdekében. 2. Túl alacsony MPS, jöv˝obeli fogyasztást áldozunk fel a jelenlegi fogyasztás érdekében. 3. Optimális MPS: amely a fogyasztás állandósult állapotbeli értékét maximalizálja. Aranyszabály szerinti növekedést biztosító MPS. DE a fogyasztás C = Y − I = aK α L1−α − δK nem az MPS, hanem a K függvénye, így a probléma matematikailag két lépésben oldható meg: 1. Keressük azt az állandósult állapotbeli t˝okeállományt, amely maximalizálja az állandósult állapotbeli fogyasztást. 2. Keressük az az MPS-t, amely mellett az el˝oz˝o pontban kiszámolt K megvalósulhat. Keressük azt az állandósult állapotbeli t˝ okeállományt, amely maximalizálja az állandósult állapotbeli fogyasztást. C = aK α L1−α − δK −→ max K
αaK α−1 L1−α − δ = 0 αaK α−1 L1−α = δ MPK = δ
1
Keressük az az MPS-t, amely mellett az el˝ oz˝ o pontban kiszámolt K megvalósulhat. Állandósult állapotban a beruházás csak pótlás, és a beruházásokat megtakarításokból finanszírozzuk: S=I M P S · Y = δK M P S · aK α L1−α = δK DE az el˝obb kiszámoltuk, hogy az állandósult állapotbeli fogyasztás maximumát az a t˝okeállomány biztosítja, amely mellett M P K = δ. Ezt az összefüggést a δ kihelyettesítésére felhasználva M P S · aK α L1−α = M P KK M P S · aK α L1−α = αaK α−1 L1−α K MPS = α Ábra Az, hogy M P K = δ azt jelenti, hogy az aranyszabály szerinti növekedés feltételeinek egy olyan t˝okeállomány felel meg, amely mellett a pótlást jelképez˝o görbe meredeksége (δ) éppen megegyezik a termelési függvény meredekségével: Y,C,S,I
főbb aggregátumok
Y
δK
Karanyszabály
K
tőkeállomány
A megoldás második lépésében éppen azt a megtakarítási rátát kerestük, amely állandósult állapotban a fenti ábrán bejelölt t˝okeállományt eredményezi: Y,C,S,I
főbb aggregátumok
Y
δK
S =I
Karanyszabály
2
K
tőkeállomány
2.
Egyensúlyi növekedési pálya
A gazdaság az alábbi egyenletek által meghatározott szabályok szerint m˝uködik: Yt = aKtα (Et Lt )
1−α
Ct = M P C · Yt St = Yt − Ct = (1 − M P C) Yt = M P S · Yt It = Kt+1 − (1 − δ) Kt Yt = Ct + It A munkaer˝o képességét kifejez˝o változó periódusról periódusra g mértékben növekszik, a munkaer˝o felhasználható mennyisége pedig n mértékben, azaz Et+1 =1+g Et Lt+1 =1+n Lt minden t-re. Ennek a gazdaságnak NINCS állandósult állapota, egyensúlyi növekedési pályája viszont van (új egyensúlyfogalom!). Egyensúlyi növekedési pálya mentén az összes változó konstans ütemben növekszik. Állitás Egyensúlyi növekedési pálya mentén a kibocsátás, a fogyasztás, a megtakarítás, a beruházás és a t˝okeállomány is (megközelít˝oleg) n + g ütemben növekszik. Bizonyítás Tételezzük fel, hogy a gazdaságunk a t-edik és a t+1-edik periódusban az egyensúlyi növekedési pályán van. Az egyensúlyi növekedési pálya definíciójából következik, hogy egyensúlyi növekedési pálya mentén a t˝okeállomány konstans ütemben növekszik. Legyen ez a konstans x, azaz KKt+1 = 1 + x. Ekkor a beruhzási függvényb˝ol a Kt+1 -et kihelyettesítve az alábbi t összefüggéshez jutunk. It = Kt+1 − (1 − δ) Kt It = (1 + x) Kt − (1 − δ) Kt It = (x + δ) Kt Tudjuk, hogy a beruházásokat a gazdaság a megtakarításokból finanszírozza, így: St = It M P S · Yt = (x + δ) Kt MPS ·
aKtα
1−α
(Et Lt )
= (x + δ) Kt
(1)
Miután a gazdaság a t + 1-edik periódusban is az egyensúlyi növekedési pályán lesz, a fenti összefüggés egy id˝oszakkal el˝orébb léptetett változata a t + 1-edik periódusban érvényesülni fog: 1−α
α M P S · aKt+1 (Et+1 Lt+1 )
= (x + δ) Kt+1
(2)
(2) és (1) összefüggésekben a bal oldal megegyezik a jobb oldallal, így a bal oldalak egymáshoz viszonyított arányának meg kell egyeznie a jobb oldalak egymáshoz viszonyított arányával: α M P S · aKt+1 (Et+1 Lt+1 )
1−α
1−α M P S · aKtα (Et Lt ) 1−α α Kt+1 (Et+1 Lt+1 ) 1−α Ktα (Et Lt )
3
=
(x + δ) Kt+1 (x + δ) Kt
=
Kt+1 Kt
Kt+1 Kt
α
Et+1 Et
α
1−α 1−α
(1 + x) (1 + g)
1−α
(1 + g)
Lt+1 Lt
1−α =
Kt+1 Kt
1−α
=1+x
1−α
= (1 + x)
(1 + n) (1 + n)
1−α
(1 + g) (1 + n) = 1 + x g + n + ng = x Ha g és n nagyon kicsi, akkor a g + n + ng = xegyenlet bal oldalán szerepl˝o ng elhanyagolhatóan kicsi. A tankönyv el is hanyagolja, így x = n + g, azaz egyensúlyi növekedési pálya mentén a K n + g ütemben növekszik. A kibocsátás t-ben és t + 1-ben a következ˝o képletekkel adható meg 1−α
Yt = aKtα (Et Lt )
1−α
α Yt+1 = aKt+1 (Et+1 Lt+1 )
A kibocsátás növekedési üteme így 1−α
α (Et+1 Lt+1 ) aKt+1 Yt+1 = 1−α α Yt aKt (Et Lt ) α 1−α 1−α Kt+1 Et+1 Lt+1 = Kt Et Lt
= ((1 + g) (1 + n))
1−α
(1 + g)
1−α
(1 + n)
1−α
= (1 + g) (1 + n) = 1 + g + n + ng ≈ 1 + g + n A kibocsátás is (megközelít˝oleg) n + g ütemben növekszik egyensúlyi növekedési pálya mentén. A fogyasztás és a megtakarítás a kibocsátás konstans-szorosai, így ezek a változók is (megközelít˝oleg) n + g ütemben növekednek egyensúlyi növekedési pálya mentén. A beruházás pedig megegyezik a megtakarítással, így a beruházás is (megközelít˝oleg) n + g ütemben növekszik egyensúlyi növekedési pálya mentén. Állítás Egyensúlyi növekedési pálya mentén az egy f˝ore jutó kibocsátás, az egy f˝ore jutó fogyasztás, az egy f˝ore jutó megtakarítás, az egy f˝ore jutó beruházás és az egy f˝ore jutó t˝okeállomány is g százalékkal növekszik. Bizonyítás A kibocsátás (pontosan) (1 + g) (1 + n) ütemben növekszik, a foglalkoztatás pedig (1 + n) ütemben. Az egy f˝ore jutó kibocsátás növekedési üteme tehát: Yt+1 Lt+1 Yt Lt
=
Yt+1 Lt Yt Lt+1
= (1 + g) (1 + n)
1 =1+g 1+n
Az egy f˝ore jutó t˝okeállományra vonatkozóan hasonló az eljárás: Kt+1 Lt+1 Kt Lt
=
Kt+1 Lt Kt Lt+1
= (1 + g) (1 + n)
1 =1+g 1+n
Az egy f˝ore jutó fogyasztás és az egy f˝ore jutó megtakarítás az egy f˝ore jutó kibocsátás és egy konstans szorzataként kaphatók meg (konstans: M P C és M P S), így ezek a változók is 1 + g ütemben növekednek egyensúlyi növekedési pálya mentén. Az egy f˝ore jutó beruházás megegyezik az egy f˝ore jutó megtakarítással, így az egy f˝ore jutó beruházás is 1 + g ütemben növekszik egyensúlyi növekedési pálya mentén. 4
Állítás Egyensúlyi növekedési pálya mentén a hatékonysági egységre jutó kibocsátás, a hatékonysági egységre jutó fogyasztás, a hatékonysági egységre jutó megtakarítás, a hatékonysági egységre jutó beruházás és a hatékonysági egységre jutó t˝okeállomány nem változik. Bizonyítás A hatékonysági egységre jutó kibocsátás definíció szerint a kibocsátás és a foglalkoztatás valamint a munkaer˝o képességeit jellemz˝o változó szorzatának egymáshoz viszonyított aránya. Az alábbi jelöléseket alkalmazva yt = ct = it = st = kt =
Yt Et Lt Ct Et Lt It Et Lt St Et Lt Kt Et Lt
a hatékonysági egységre jutó kibocsátás növekedési üteme megkapható a következ˝o összefüggésb˝ol: yt+1 = yt
Yt+1 Et+1 Lt+1 Yt Et L t
1 Yt+1 Et Lt 1 = (1 + g) (1 + n) Yt Et+1 Lt+1 1+g1+n =1 =
A hatékonysági egységre jutó kibocsátás tehát nem növekszik egyensúlyi növekedési pálya mentén. A hatékonysági egységre jutó t˝okeállományra alkalmazva a fenti levezetést: kt+1 = kt
Kt+1 Et+1 Lt+1 Kt Et L t
Kt+1 Et Lt 1 1 = (1 + g) (1 + n) Kt Et+1 Lt+1 1+g1+n =1 =
A hatékonysági egységre jutó fogyasztás és a hatékonysági egységre jutó megtakarítás a hatékonysági egységre jutó kibocsátás és egy konstans szorzataként adódik, így ezek a változók sem módosulnak az egyensúlyi növekedési pálya mentén. A hatékonysági egységre jutó beruházás pedig megegyezik a hatékonysági egységre jutó megtakarítással, így a hatékonysági egységre jutó beruházás is konstans az egyensúlyi növekedési pálya mentén.
5
Összefoglaló táblázat
Változó
Hány szálékkal növekszik egyensúlyi növekedési pálya mentén?
Kibocsátás
Változó
Hány szálékkal növekszik egyensúlyi növekedési pálya mentén?
Változó
Hány szálékkal növekszik egyensúlyi növekedési pálya mentén?
n+g
Egy f˝ore jutó kibocsátás
g
Hatékonysági egységre jutó kibocsátás
0
Fogyasztás
n+g
Egy f˝ore jutó fogyasztás
g
Hatékonysági egységre jutó fogyasztás
0
Megtakarítás
n+g
Egy f˝ore jutó megtakarítás
g
Hatékonysági egységre jutó megtakarítás
0
Beruházás
n+g
Egy f˝ore jutó beruházás
g
Hatékonysági egységre jutó beruházás
0
T˝okeállomány
n+g
Egy f˝ore jutó t˝okeállomány
g
Hatékonysági egységre jutó t˝okeállomány
0
Megjegyzés, n+g és g természetesen csak az ütemet adja meg, ahhoz, hogy ebb˝ol százalék legyen be kell szorozni 100-al. (g = 0, 02 jelenti a 2 százalékot).
3.
Stacionárius transzformáció
Egy olyan mesterséges gazdaságot, amelynek nincs állandósult állapota, átalakítunk olyan gazdasággá, aminek már van állandósult állapota. Az 1−α
Yt = aKtα (Et Lt ) Ct = M P C · Yt
St = Yt − Ct = (1 − M P C) Yt = M P S · Yt It = Kt+1 − (1 − δ) Kt Yt = Ct + It formában felírt gazdaságnak nincs állandósult állapota (a kibocsátás, fogyasztás... változók egyensúlyi növekedési pálya mentén n + g ütemben növekednek). DE a hatékonysági egységre jutó változók egyensúlyi növekedési pálya mentén id˝oben már nem változnak, így a fenti egyenletrendszert olyanná kell alakítanunk, amelyben már nem az Yt , Ct , It , St és Kt a változó, hanem ezek hatékonysági egységre jutó értékei: yt , ct , it , st és kt . Ehhez minden egyenletet végig kell osztani a hatékonysági egységgel, azaz Et Lt -vel. Termelési függvény Mindkét oldalt eloszava Et Lt -vel a következ˝o alakhoz jutunk: 1−α
Yt = aKtα (Et Lt )
aKtα (Et Lt ) Yt = Et Lt Et Lt 6
1−α
Ktα α (Et Lt ) α yt = akt yt = a
Fogyasztási függvény Mindkét oldalt eloszava Et Lt -vel a következ˝o alakhoz jutunk: Ct = M P C · Yt Ct M P C · Yt = E t Lt Et Lt ct = M P C · yt Megtakarítási függvény Mindkét oldalt eloszava Et Lt -vel a következ˝o alakhoz jutunk: St = M P S · Yt St M P S · Yt = Et Lt Et Lt st = M P S · yt Beruházási függvény Mindkét oldalt eloszava Et Lt -vel a következ˝o alakhoz jutunk: It = Kt+1 − (1 − δ) Kt It Kt+1 − (1 − δ) Kt = Et Lt Et Lt Kt+1 it = − (1 − δ) kt Et Lt A
Kt+1 Et L t
Kt+1 Et+1 Lt+1
nem egyenl˝o a hatékonysági egységre jutó t˝okeállomány t + 1-edik periódusbeli szintjével, mert az a kt+1 =
formban adható meg. B˝ovítsük a
Kt+1 Et Lt -t
Et+1 Lt+1 -el:
Kt+1 Kt+1 Et+1 Lt+1 = Et Lt Et Lt Et+1 Lt+1 Et+1 Lt+1 = kt+1 Et Lt = (1 + g) (1 + n) kt+1 amit a beruházási függvénybe behelyettesítve: Kt+1 − (1 − δ) kt Et Lt it = (1 + g) (1 + n) kt+1 − (1 − δ) kt it =
adódik. Árupiaci egyensúlyi feltétel Mindkét oldalt eloszava Et Lt -vel a következ˝o alakhoz jutunk: Yt = Ct + It Yt Ct + It = Et Lt Et Lt yt = ct + it 7
Átalakított gazdaság A stacionárius transzformációval átalakított modell tehát a következ˝oképpen néz ki: yt = aktα ct = M P C · yt st = M P S · yt it = (1 + g) (1 + n) kt+1 − (1 − δ) kt yt = ct + it NEM új modellt hoztunk létre, hanem átrendeztük egy kicsit a régit. Amikor a gazdaság eléri az egyensúlyi növekedési pályát, az átalakított egyenletrendszer állandósult állapotba kerül. Állandósult állapotban az id˝oindex már nem számít, mert mindegyik változó konstanssá válik. A fenti gazdaság állandósult állapotban: y = ak α c = MPC · y s = MPS · y i = (g + n + ng + δ) k ≈ (g + n + δ) k y =c+i 3.0.1.
Ábra
Minden hatékonysági egységre jutó tényez˝o a hatékonysági egységre jutó t˝okeállomány függvénye: y, c, s, i
főbb aggregátumok
y
(n + g + δ)k s= i
kállandósult
k
hatékonysági egységre jutó tőkeállomány
A kállandósult azt a hatékonysági egységre jutó t˝okeállományt mutatja, amely mellett az átalakított rendszer állandósult állapotba kerül, az eredeti gazdaságot jellemz˝o változók pedig egyensúlyi növekedési pályán vannak.
8
