A Leontief-modell
Az input-output modell • a walrasi egyensúlyra és a lineáris algebrára alapoz • egyszerű statisztikai adatokból egy több szektoros gazdaság szektorok közti termék és jövedelem-áramlási adatainak elemzése és tervezése végezhető el segítségével • alkalmas gazdasági egységek termelési folyamatainak elemzésére - ország (szoc. tervezés 24, EU tervezés 60 szektorral) - régió - több termékes vállalat esetében
A modell feltételei
q = min{α L L; α K K}
Fajtái: • exogén változókat tekintve Zárt modell: minden egyes input termelése a modellben leírt folyamatok által meghatározott, és így nincs olyan felhasználás, amelynek szintje vagy arányai külső adottságot jelentenének. Ekkor a kormányzat, a háztartás is termelő szektornak minősül. Nincs exogén változó. Nyílt modell: az elsődleges erőforrások vagy a végső felhasználásra kerülő termékek mennyisége adott, és ezek alapján határozzuk meg az egyes szektorok kibocsátását. • Külkereskedelmi szempontból nyílt modell: az egyes jószágok nettó exportja (export, import különbsége) exogén • Időbeli folyamatok szempontjából: statikus: egy időszakos modell, adott kibocsátáshoz határozza meg a szükséges inputráfordításokat dinamikus: a készletek, végső felhasználási szintek időbeli alakulását vizsgálja a megadott technológia alapján. Lehet diszkrét és folytonos.
1 αL α L αK
1 αK
• a termelési függvényben lévő paraméterek a parciális termelési függvény meghatározásához is szükségesek. A kibocsátás az egyes erőforrások függvényében a következők szerint alakul: ........................... (2) q = αL L = αjelenti, KK • Ezqazt hogy a termelési tényezők és a kibocsátás között lineáris összefüggés van, ezért nevezik a Leontief-modellt lineáris modellnek is. • Több terméknél az egyes termékek kibocsátása a (3) módon határozható meg: qj = min{α1j.q1j; α2j.q2j; ... αjj.qjj; ... αnj.qnj} ......... (3)
• Tehát egy-egy termék kibocsátását az erőforrások (a többi termék, azaz a szektorok) közül a szűk keresztmetszet határozza meg. • A lineáris parciális termelési függvényeknek köszönhetően a termelés átlagterméke és ennek reciproka a ráfordítási együttható is állandó.
• Tehát a ráfordítási együttható (i,j = 1, 2, ..., n): q 1 ..................................... rij =(4)ij = q α j
ij
• A (4) összefüggés a j. jószág kibocsátásához szükséges i. inputmennyiséget mutatja meg, így az α paraméter a j. outputhoz felhasznált i. input együtthatója a termelési függvényben. • A ráfordítási együttható tehát azt mutatja meg, hogy egységnyi kibocsátás megtermeléséhez az adott inputtényezőből mennyi szükséges. • A ráfordítási együtthatókat a folyó ráfordítási mátrix (R) tartalmazza. Az R mátrix négyzetes mátrix, mert az ágazatok és termékek száma egyaránt n. • A folyó ráfordítási mátrix nem szinguláris, mert szingularitása azonos arányú inputfelhasználást jelentene bizonyos ágazatokban, és ez ellentmondana az ikertermékek és ikertermelési eljárások kizárásának.
A statikus Leontief modell
n
n
j=1
j=1
v i = q i − ∑ q ij = q i − ∑ rij .q j
v = q − Rq = ( E − R ) q
q = ( E − R ) −1 v
A duális feladat •
A Leontief-modell segítségével a hozzáadott értékek is meghatározhatók szektoronként. A hozzáadott érték (profit) azt jelenti, hogy adott termék egységára és átlagköltsége között mekkora a különbség. Egy szektor hozzáadott értéke megegyezik az egységár és az egyes inputok fajlagos költségeinek a különbségével, vagyis a j termék profitja: n
n
h j = p j − ∑ p ij = p j − ∑ r ji p i
......................... (8) Vagyis a j. ágazat hozzáadott értéke megegyezik a j. ágazatban érvényes egységár és a termeléshez felhasznált inputok egységköltségének különbségével. Az összes ágazat hozzáadott értékeit a következő egyenletrendszer mutatja meg: h = p –RTp = (E – RT)p .......................... (9) i =1
•
•
i =1
• A duálisan megfogalmazott egyenletrendszerben Leontiefmátrix transzponáltja jelenik meg, ami azt mutatja meg, hogy egy adott jószág egységára mekkora hozzáadott érték megtermelését teszi lehetővé adott technológia mellett. A Leontief-inverz transzponáltjának segítségével pedig kiszámítható, hogy adott hozzáadott érték eléréséhez mekkora ár kialakulása szükséges. • Ahhoz, hogy a hozzáadott értékhez ki lehessen számítani a szükséges árrendszert vagy a nettó kibocsátáshoz az összes termelést, fontos, hogy a Leontief-mátrix invertálható legyen. Ezen kívül, ha a Leontief-inverz nem negatív, akkor létezhet csak pozitív árakhoz pozitív hozzáadott érték, és pozitív termeléshez pozitív nettó kibocsátás.
A Leontief-inverz •
• •
•
•
•
•
Az R mátrix Leontief-inverze létezik és nem negatív, ha – létezik olyan nem negatív kibocsátási vektor, hogy q > Rq ezzel egyenértékű állítás, hogy létezik olyan nem negatív árrendszer, amely mellett p > pR – R mátrix végtelen hatványsora konvergens – R domináns sajátértéke (legnagyobb abszolút értékű sajátértéke) kisebb, mint egy. A fenti három feltétel egyenértékű, ezek egyszerre teljesülnek. Az első feltétel a gazdasági rendszer produktivitását jelenti. Egy rendszer akkor produktív, ha minden szektorban keletkezik hozzáadott érték, és minden szektor realizál profitot. Amennyiben bármely két ágazat közötti bármely függőség létét szeretnénk elemezni, akkor az R mátrixból képzett végtelen sorozat összegének elemeit kell vizsgálni, ez azonban megegyezik a Leontief-inverzzel: E + R + R2 + …+ Rn +…= (E - R) -1 ............... (10)
A másodfokú függőség elemzése szempontjából az R2 mátrix elemeinek vizsgálata szükséges, mert ennek elemei mutatják meg, hogy a vizsgált szektorok inputjaihoz milyen erőforrások szükségesek. Ha ennek a mátrixnak egy eleme pozitív, akkor a vizsgált két ágazat között másodfokú függőség figyelhető meg. A folyó ráfordítási mátrix végtelen hatványsora segítségével a szektorok közti kapcsolatokat vizsgálhatjuk meg. Ha R mátrix rij eleme pozitív, akkor a j ágazat termelési közvetlenül függ az i ágazat kibocsátásától. (10) szerint a Leontief-inverz bármely elemének pozitivitása azt jelenti, hogy a vizsgált két ágazat között valamilyen fokú függőség biztosan fennáll. Ha egy adott elem nulla, akkor viszont a vizsgált j ágazat teljesen független az i termelésétől.
A dinamikus Leontief-modell •
• •
•
A dinamikus Leontief-model vizsgálatához szükséges a készletek alakulásának elemzése is. A termeléshez szükséges inputokból a szektorok készleteket képeznek, ez a termelési folyamat időszükséglete miatt elengedhetetlen. Az adott időszak termeléséből eredő nettó kibocsátás készletváltozást jelent az időszakok között. Mivel az összes inputból képződhetnek készletek, ezért a következőkben bemutatott modell készletlekötési mátrixot használ. Ennek egy eleme azt mutatja meg, hogy egységnyi termelés eléréséhez a vizsgált inputból mekkora készletmennyiséget kell felhalmoznunk. A fajlagos készletigények a készletlekötési mátrixban (B) állnak. Ennek szerkezete tükrözi a folyó ráfordítási mátrix szerkezetét, hiszen csak olyan erőforrásokból szükséges készleteket képeznünk, amelyeket a termelésben felhasználunk. A folyó ráfordítási együtthatókon kívül azonban a készletek várható élettartama szintén meghatározza B szerkezetét. Ezért B mátrix szinguláris is lehet.
• A dinamikus Leontief-modell tehát primális formájában azt fejezi ki, hogy a készletek változása megegyezik a vizsgált időszak nettó kibocsátásával. Duális formájában pedig a készletek értékváltozása a hozzáadott értékkel egyenlő. Ezeket az egyenletrendszereket így írhatjuk fel: B(t)q(t+1) – B(t)q(t) + v(t) = q(t) – R(t)q(t) p(t+1)B(t) = p(t) – p(t)R(t) ............. (11) • A (11) egyenletrendszer nem feltételezi a technológia állandóságát az egyes időszakok között, hiszen a folyó ráfordítási mátrix és a készletlekötési mátrix is változhat. Ráadásul az egyenletrendszerek megoldhatóságához fel kell tételeznünk azt, hogy a készletlekötési mátrix nem szinguláris.
•
•
•
•
A problémát úgy lehet kiküszöbölni, hogy a (11) rendszer egyensúlyi megoldását vizsgáljuk. Az egyensúly akkor alakul ki, ha az árakat és kibocsátási szinteket meghatározó vektor időben nem változik, ez viszont akkor lehet, ha a folyó ráfordítási és készletlekötési mátrix is konstans. Az egyensúly a következő formában írható fel: q = (E – λB)q p = (E – λB)p ........................ (12) A (12) egyenletrendszerben λ a termelés egyensúlyi növekedési üteme, a duális egyenletrendszerben pedig az egyensúlyi profitrátát fejezi ki. Vagyis ha egyensúly van a gazdaságban, akkor ez szükségessé teszi a termelés valamilyen változását és valamekkora realizálható profitrátát is. Másként kifejezve nem lehet bármely növekedési és profitráta egyensúlyi. Az egyensúlyi növekedési és profitráta pedig a technológia és a termeléshez szükséges készlet által meghatározható.
A (12) egyenletrendszer alapján az egyensúlyi növekedési ráta úgy határozható meg, hogy az egyenletrendszer jobb oldalán álló mátrix domináns sajátértékének egységnyinek kell lennie. Vagyis azt a növekedési rátát keressük, amely mellett a jobb oldalon álló mátrix teljesíti a fenti feltételt. A domináns sajátértékhez tartozhat csak pozitív sajátvektor [a Perron-Frobenius tételek miatt] a negatív és komplex sajátvektorok viszont a rendszer oszcillációját eredményezik az egyensúly körül. Mivel azonban ez az egyensúlyi növekedési ráta az egységnyi domináns sajátérték mellett alakul ki, ezért a szektorok kibocsátásának és a termékek árainak oszcillációja nem csillapul idővel, hanem állandó.
• A szektorok ciklikus ingadozása amiatt alakul ki, hogy a túlkeresletre és túlkínálatra nem tudnak azonnal reagálni a vállalatok. A túlkeresletet csak a készletszintek csökkenéséből, a túlkínálatot a készletek növekedéséből észlelik. Így a reakciójuk nem lehet azonnali, vagyis a piaci mozgás következtében alakul ki a kibocsátások ciklikus ingadozása. • Az árak és mennyiségek oszcillációja nem azonos hosszúságú, a ciklusok hossza a negatív és komplex sajátértékektől függ. • A megoldás menete: (E − R + B).xt − B.xt+1 = vt a (11) általános felírásából: G.x1 − B.x2 = v1 G.x2 − B.x3 = v2 G.x3 − B.x4 = v3 s ezekből az x-ek rendre kiszámíthatók.
ÁKM – Ágazati Kapcsolatok Mérlege • A fentiek alapján elkészíthető egy vállalat, egy iparág, egy régió vagy egy teljes gazdaság ÁKM-je • Az ÁKM ismerete sokban segítheti a tervezési munkát, mivel pl. a technológiai együtthatók megmutatják egy soktermékes vállalatnál, hogy az egyik termék előállításához mennyi más termékre, illetve kívülről beszerzett termékre (importra) van szükség. • De meghatározható vele a termékárak ismeretében az egyes termékek tényleges hozzáadott értéke (profitabilitása), vagy a munkaráfordítás ismeretében a belső , vállalati termékárak. • és még nagyon sok minden ...
1
...
Ágazati Kapcsolatok Mérlege n
1
...
∑
v
1
. .
T
.
n 1
. .
Y
X
Elszámolási azonosságok: T×E + Y×E = X (értékesítési szemlélet) E×T + E×H = X* (ráfordítási szemlélet) ahol T az ágazatközi áramlások n×n-es mátrixa (belső négyzet) X a teljes termelés n-elemű vektora Y a külső felhasználások v×n-es mátrixa (oldalsó szárny) H a hozzáadott értékek összetevőinek n×m-es mátrixa (alsó szárny)
H
.
m
X* ∑
•
A valóságban a táblát értékben (pénzben) készítik, ezért reálértékkel kell számolni (két év táblája kell)!
Vízszintesen a felhasználások, függőlegesen a ráfordítások olvashatók le a táblákból.
• T elemei az ágazatok, vagy szektorok kibocsátását vagy felhasználását mutatják • Y elemei a háztartási, közösségi fogyasztás, a bruttó állóeszköz és a készletváltozás (ezek együtt adják a felhalmozást), az export-import • H elemei a munkavállalói jövedelmek, nettó működési eredmények (profit), értékcsökkenés és termelési adók, támogatások • X az összes felhasználás • X* az összes kibocsátás
Eredeti, Leontief-féle mintapélda •
zárt gazdaság Fogyasztó
1. ágazat
2. ágazat
3. ágazat
Teljes
Termelő
mezőgazdaság
ipar
háztartás
kibocsátás
vállalati
1. ágazat
25
20
55
100 zsák gabona
szektor
2. ágazat
14
6
30
50 m vászon
házt-i szektor 3. ágazat
80
180
40
300 ó munka
aij =
xij xj
– a gazdaság szerkezeti mátrixa: Fogyasztó:
•
1. ágazat
2. ágazat
3. ágazat
Termelő:
mezőgazdaság
ipar
háztartás
1. ágazat
0,25
0,40
0,183
2. ágazat
0,14
0,12
0,100
3. ágazat
0,80
3,60
0,133
a valóságban értékben (pénzben) készítik, ezért reálértékkel kell számolni!
a számítás • a Leontief mátrix: E−R=
(1 − 0,25) −0,14
−0,4 (1− 0,12)
1,4570 0,2318
0,6623 1,2417
• és inverze: (E − R)−1 =
• megadja, hogy az x1 (mezőgazdaság) és x2 (ipar) milyen összetételű kibocsátása felelne meg a „külső” háztartás, mint végső fogyasztó részére: x1 = 1,4570.v1 + 0,6623.v2 = 1,4570×55 + 0,6623×30= 100 x2 = 0,2318.v1 + 1,2417.v2 = 0,2318×55 + 1,2417×30= 50
• A v1 és v2 végső fogyasztás létezésének feltétele, hogy a Leontief-inverz szemipozitív legyen, azaz bij ≥ 0, ∀i,j-re. A szemipozitívitás elégséges feltétele, hogy a gazdaság szerkezeti mátrixának egyetlen oszlopösszege se legyen nagyobb 1-nél és legalább egy oszlop összege kisebb legyen 1-nél. • A fenti feltételt kielégíteni nem tudó nemzetgazdaság képtelen önmaga fenntartására, mivel az összes ágazat összevont szükségletei meghaladják a teljes termelés lehetőségét. Amikor a szerkezeti mátrixot az értékekből vezetik le, a legtöbb esetben a feltételek teljesülnek.
Árak az input-output rendszerben • (E − RT).p = h p = (E − RT)−1.h • p1 = 1,4570.h1 + 0, 2318.h2 p2 = 0,6623.h1 + 1,2417.h2 • Mivel a mezőgazdaság egységtermékére eső munkafelhaszná-lás (tényezőköltség) h1=0,8 mó, az iparéra h2=3,6 mó volt, ezt behelyettesítve kapjuk, hogy p1 = 2 $, p2 = 5 $. • Ez az eredmény csak akkor kapható meg, ha az ÁKMben fizi-kai egységekben szerepelnek a ráfordítások és a kibocsátások (a fizikai mértékegységekben történő számoláshoz legalább két, eltérő időpontban készített ÁKM szükséges).
Nyitott gazdaság • Az export-import bevezetése: A teljes végső kereslet új oszlopa a következő lesz: vi = xi,n+1 + ei végső kereslet Fogyasztó
1. ágazat
2. ágazat
3. ágazat
export (+) v.
teljes vég-
teljes
Termelő
mezőgazd.
ipar
háztartás
import (− −)
ső kereslet
kibocsátás
1. ágazat
19,04
22,12
(55)
(−20)
35
76,16 zsák
2. ágazat
10,66
6,64
(30)
(+8)
38
55,30 m
3. ágazat
60,93
199,07
(40)
−
40
300 ó
• a gazdaság teljes munkaszükséglete változatlan maradt, mivel a 20 zsák importált gabona munkatartalma megegyezett a 8 m exportált szövetével. • egy xi jószág importjának növekedése csökkenti az ágazat kibocsátását, ami kihat a többi jószág kibocsátására is, csökkentve azokat. • Valamilyen ponton az xi kibocsátás zérussá válik, azaz ezen jószág teljes közvetlen és közvetett keresletét importból fedezik. Az ilyen jószágot „versenyen kivüli”nek nevezzük, különösen akkor, ha a keresletük nagymértékű növekedése sem váltja ki hazai előállításukat (kávé, különféle ásványok, stb.). Ezen jószágok teljes hazai keresletének kiszámítási módja megegyezik a munka iránti kereslet számításával.
VÉGE
