Slezská univerzita v Opavě Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné

Slezská univerzita v Opavě Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné

A Přijímací zkouška do 1. ročníku OPF z matematiky (2003) Příklad 1. Určete definiční obor rovnice a rovnici řešte.  n + 3  n   = 12 .   −   n + 1   n − 1 Záznam výsledků D:n∈ N

Počet bodů 5b

n=3

5b + 5b + 5b

Příklad 2. Řešte v R 3 soustavu lineárních rovnic a proveďte zkoušku. 3 x1 + 2 x 2 − 5 x3 = 5 − 2 x1 − 4 x 2 + 3 x3 = −6

x1 − x 2 − x3 = 0 Záznam výsledků x1 = 1 x2 = 1 x3 = 0 Zkouška provedená dosazením výsledků do všech rovnic.

Počet bodů 5b + 5b + 5b 5b

Příklad 3. V rovině jsou dány různoběžné přímky p a q. Určete souřadnice jejich průsečíku P. Výpočtem zjistěte, zda jsou přímky kolmé. p : 3x − 2 y − 2 = 0 , q : x = 3t

y = 1 − 2t. Záznam výsledků

Počet bodů 12 , 13 5 y= . 13

Souřadnice průsečíku P[x, y ] , kde x =

Přímky jsou kolmé, protože: 3 2 k p k q =  −  = −1, nebo 2 3 r r s p ⋅ s q = (2;3) ⋅ (−3;2) = 0, nebo r r n p ⋅ n q = (3;2) ⋅ (2;3) = 0.

7b 7b 6b

Příklad 4. Určete definiční obor rovnice a rovnici řešte. Proveďte zkoušku. log(2 x + 4 ) − log(2 x + 2 ) = 1 − log 4 .

Záznam výsledků D : x ∈ (− 1; ∞ ) 1 x=− 3 L = log 2,5 = 0,39794

Počet bodů

2b + 2b + 2b

10b 4b

P = log 2,5 = 0,39794

Příklad 5. Zadání příkladů:

Záznam výsledků

Počet bodů

Za podmínky, že dané zlomky mají smysl, určete, co je třeba vepsat na místo označené ***: (x − 2) : x 3 − 8 = 1 . *** 100 . Vypočítejte 6,6 % z čísla 66 2 −2 ⋅ 2 2 Vypočítejte . 2 −3 Vynásobte x − 5 x + 5 .

x 2 + 2x + 4

0b nebo 2b

0,1

0b nebo 2b

23 = 8

0b nebo 2b

x2 − 5

0b nebo 2b

Určete směrnici přímky dané rovnicí 2 x + 4 y − 5 = 0 .

-1/2

0b nebo 2b

V aritmetické posloupnosti je a5 = 7, a 6 = 15. Určete diferenci d této posloupnosti. V geometrické posloupnosti je a5 = 7, a 6 = 15. Určete kvocient q této posloupnosti. 5 4 Řešte v R rovnici x + = 0 . 7 15 Firma vykázala roční zisk 2,7 mil. Kč, což odpovídá 15 % z tržeb. Jak velké byly tržby? 2 Vypočítejte aritmetický průměr čísel (− 2) ;−2 3 ;5 2.

d =8

0b nebo 2b

15 7 28 x=− 75 18 mil. Kč

0b nebo 2b 0b nebo 2b

7

0b nebo 2b

(

(

)(

)

)

q=

0b nebo 2b


B Přijímací zkouška do 1. ročníku OPF z matematiky (2003) Příklad 1. Určete definiční obor rovnice a rovnici řešte.  n + 4   n + 1   −   = 30 .  n + 2  n 

Zápis výsledků

D : n ∈ N0

Počet bodů 5b

n=5

5b + 5b + 5b

Příklad 2. Řešte v R 3 soustavu lineárních rovnic a proveďte zkoušku. 4 x1 + 7 x 2 − 2 x3 = 6

− 2 x1 + 3x 2 + 4 x3 = 0

x1 − 3x 2 + x3 = 3 Záznam výsledků x1 = 2 x2 = 0 x3 = 1 Zkouška provedená dosazením do všech rovnic.


Příklad 3. V rovině jsou dány různoběžné přímky p a q. Určete souřadnice jejich průsečíku P. Výpočtem zjistěte, zda jsou přímky kolmé. p : 3x − 2 y − 2 = 0 , q : x = 3t y = 2 − 2t.

Záznam výsledků 18 , 13 14 y= . 13



Počet bodů 7b 7b

6b

Příklad 4. Určete definiční obor rovnice a rovnici řešte. Proveďte zkoušku. log(20 x + 40) − log(20 x + 20 ) = 1 − log 4 .

Záznam výsledků D : x ∈ (− 1; ∞ ) x=−

1 3

Počet bodů

2b + 2b + 2b

10b

L = log 2,5 = 0,39794

4b

P = log 2,5 = 0,39794


Záznam výsledků

Počet bodů

Za podmínky, že dané zlomky mají smysl, určete, co je třeba vepsat na místo označené ***: (* * *) : x 3 − 8 = 2 1 . x + 2x + 4 100 . Vypočítejte 7,7 % z čísla 77 3 −2 ⋅ 3 2 . Vypočítejte 3 −3 Vynásobte x − 2 x + 2 .

x−2

0b nebo 2b

0,1

0b nebo 2b

33 = 27

0b nebo 2b

x2 − 2

0b nebo 2b

1 2

0b nebo 2b

22 3 15 q = −3 7

0b nebo 2b

(

(

)(

)

)

Určete směrnici přímky dané rovnicí

2x − 4 y − 5 = 0 .

V aritmetické posloupnosti je a5 = 7, a8 = −15. Určete diferenci d této posloupnosti. V geometrické posloupnosti je a5 = 7, a8 = −15. Určete kvocient q této posloupnosti. 10 8 x+ =0. 7 15 Firma vykázala roční zisk 1,8 mil. Kč, což odpovídá 15 % z tržeb. Jak velké byly tržby? 2 Vypočítejte aritmetický průměr čísel (− 7 ) ;−2 3 ;5 2. Řešte v R rovnici

k=

d =−

0b nebo 2b 0b nebo 2b

28 75 12 mil. Kč

0b nebo 2b

22

0b nebo 2b

x=−


C Přijímací zkouška do 1. ročníku OPF z matematiky (2003) Příklad 1. Určete definiční obor rovnice a rovnici řešte.  n + 5  n + 2  = 17 .   −   n + 3  n +1 

Záznam výsledků D:n∈ N

Počet bodů 5b

n=2

5b + 5b + 5b

Příklad 2. Řešte v R 3 soustavu lineárních rovnic a proveďte zkoušku. 2 x1 − 4 x 2 + 2 x3 = 0

5 x1 − 6 x 2 + 2 x3 = −2 − 3x1 + x 2 + x 3 = 3

Záznam výsledků Počet bodů x1 = 0 x2 = 1 x3 = 2 5b + 5b + 5b Zkouška provedená dosazením výsledků do 5b všech rovnic. Příklad 3. V rovině jsou dány různoběžné přímky p a q. Určete souřadnice jejich průsečíku P. Výpočtem zjistěte, zda jsou přímky kolmé. p : 3x − 2 y − 2 = 0 , q : x = 3t y = 3 − 2t.

Záznam výsledků 24 , 13 23 . y= 13



Počet bodů 7b 7b

6b

Příklad 4. Určete definiční obor rovnice a rovnici řešte. Proveďte zkoušku. log(3x + 6 ) − log(3 x + 3) = 1 − log 4 .


1 3

Počet bodů

2b + 2b + 2b

10b

L = log 2,5 = 0,39794

4b

P = log 2,5 = 0,39794


Záznam výsledků

Počet bodů

Za podmínky, že dané zlomky mají smysl, určete, co je třeba vepsat na místo označené ***: (x − 2) : (* * *) = 2 1 . x + 2x + 4 100 . Vypočítejte 5,5 % z čísla 55 4 −2 ⋅ 4 2 Vypočítejte . 4 −3 Vynásobte x − 7 x + 7 .

x3 − 8

0b nebo 2b

0,1

0b nebo 2b

4 3 = 64

0b nebo 2b

x2 − 7

0b nebo 2b

(

)(

)


2x + 4 y − 5 = 0 .

k=−

1 2

V aritmetické posloupnosti je a5 = 7, a8 = 28. Určete d =7 diferenci d této posloupnosti. V geometrické posloupnosti je a5 = 7, a8 = 28. Určete q = 3 4 kvocient q této posloupnosti. 15 12 28 Řešte v R rovnici x+ =0. x=− 7 15 75 Firma vykázala roční zisk 5,4 mil. Kč, což odpovídá 36 mil. Kč 15 % z tržeb. Jak velké byly tržby? 0 9 Vypočítejte aritmetický průměr čísel (− 2) ;−2 0 ;33.

0b nebo 2b 0b nebo 2b 0b nebo 2b 0b nebo 2b 0b nebo 2b 0b nebo 2b


D Přijímací zkouška do 1. ročníku OPF z matematiky (2003) Příklad 1. Určete definiční obor rovnice a rovnici řešte.  n + 5  n + 2   = 23 .   −   n + 3  n + 1 

Záznam výsledků D:n∈ N

Počet bodů 5b

n=3

5b + 5b + 5b

Příklad 2. Řešte v R 3 soustavu lineárních rovnic a proveďte zkoušku. 3x1 − 2 x 2 + 4 x 3 = 5

2 x1 + 4 x 2 − 2 x 3 = −6 − 2 x1 + 5 x 2 − x 3 = 0

Záznam výsledků x1 = −1 x2 = 0 x3 = 2 Zkouška provedená dosazením výsledků do všech rovnic.


Příklad 3. V rovině jsou dány různoběžné přímky p a q. Určete souřadnice jejich průsečíku P. Výpočtem zjistěte, zda jsou přímky kolmé. p : 3x − 2 y − 2 = 0 , q : x = −3t y = −3 + 2t.

Záznam výsledků 12 , 13 31 y=− . 13

Souřadnice průsečíku P[x, y ] , kde x = −


Počet bodů 7b 7b

6b

Příklad 4. Určete definiční obor rovnice a rovnici řešte. Proveďte zkoušku. log(4 x + 8) − log(4 x + 4 ) = 1 − log 4 .


1 3

L = log 2,5 = 0,39794

Počet bodů

2b + 2b + 2b

10b 4b

P = log 2,5 = 0,39794


Záznam výsledků

Počet bodů

Za podmínky, že dané zlomky mají smysl, určete, co je třeba vepsat na místo označené ***: (x − 3) : x 3 − 27 = 1 . *** 100 . Vypočítejte 2,2 % z čísla 22 5 −2 ⋅ 5 2 Vypočítejte . 5 −3 Vynásobte x − 8 x + 8 .

x 2 + 3x + 9

0b nebo 2b

0,1

0b nebo 2b

5 3 = 125

0b nebo 2b

x2 − 8

0b nebo 2b

k = −2

0b nebo 2b

(

(

)(

)

)


4x + 2 y − 5 = 0 .

V aritmetické posloupnosti je a5 = −7, a 6 = 11. Určete d = 18 diferenci d této posloupnosti. 11 V geometrické posloupnosti je a5 = −7, a 6 = 11. Určete q=− 7 kvocient q této posloupnosti. 20 16 28 Řešte v R rovnici x+ = 0. x=− 7 15 75 Firma vykázala roční zisk 6,3 mil. Kč, což odpovídá 42 mil. Kč 15 % z tržeb. Jak velké byly tržby? 3 -14 Vypočítejte aritmetický průměr čísel (− 2) ;−3 2 ;−5 2.

0b nebo 2b 0b nebo 2b 0b nebo 2b 0b nebo 2b 0b nebo 2b


E Přijímací zkouška do 1. ročníku OPF z matematiky (2003) - 2. kolo Příklad 1. Řešte v R 3 soustavu lineárních rovnic: 2 x1 − 4 x 2 − 6 x 3 = 0

6 x1 − 4 x 2 + 10 x 3 = 8 x1 + x 2 + 4 x 3 = 3

Záznam výsledku x1 = 2

x2 = 1

x3 = 0

ZKOUŠKA: provedená dosazením do všech rovnic

Body 5+5+5=15b 5b

Příklad 2. Určete definiční obor rovnice a rovnici řešte. Proveďte zkoušku.

 n + 5  n   = 40   −   n + 3   n − 1

Zápis výsledků D : n∈ N

Počet bodů 5b

Řešení n = 5

10b

Zk.: L=P

5b

Příklad 3. Řešte v R rovnici a proveďte zkoušku.

3   5

2 x −1

 25  ⋅   9 

3 x +1

5 =   3

−3

Zápis výsledků 3 x=− 2 Zk.: L=P *)

Nehodící se škrtněte

Počet bodů 14b 6b

Příklad 4. V rovině jsou dány různoběžné přímky p a q. Určete souřadnice jejich průsečíku P. Výpočtem potvrďte kolmost daných přímek. p : 2x + 3 y + 9 = 0 , q : x = 2t

y = −1 + 3t.

Záznam výsledků 24 Souřadnice průsečíku P[x, y ] , kde x = , 13 23 y= . 13 Přímky jsou kolmé, protože: 3 2 k p k q =  −  = −1, nebo 2 3 r r s p ⋅ s q = (2;3) ⋅ (−3;2) = 0, nebo r r n p ⋅ n q = (3;−2) ⋅ (2;3) = 0.

Počet bodů 7b 7b

6b


Záznam výsledků

Za podmínky, že dané zlomky mají smysl, určete, co je třeba vepsat na místo označené ***: (x + 5) : x 3 + 125 = 1 . *** Vypočítejte 0,1 % z čísla 0,0783. 9 −2 ⋅ 9 2 Vypočítejte . 9 −3 Pro funkci f : y = 2 x určete f (0 ) .

(

)


x 2 − 5 x + 25

2

0,0000783

2

729

2

1

2

2

2

33

2

8x − 4 y − 5 = 0 .

V aritmetické posloupnosti je a5 = 1, a8 = 100. Určete diferenci d této posloupnosti. V geometrické posloupnosti je a5 = 1, a8 = 100. Určete kvocient q této posloupnosti.. 5 4 Řešte v R nerovnici − x − < 0 7 15 x− y vyjádřete y. Z rovnice 2 x = 5 + 3x V množině reálných čísel určete definiční obor funkce x f:y= . x −8

Body

3

100

2

28 75 2 y = −6 x − 9 x

2

x≠8

2

x>−

2


F Přijímací zkouška do 1. ročníku OPF z matematiky (2003) Obor Hotelnictví 1. Porovnejte čísla

-5 12345

Krácením dostaneme -1 2469

-1

< 2470 ,

2. Zjednodušte:

-1 2469

-2 4940

a a

.

-1 2470

4body

. Číslo -2469 je větší než –2470, proto:

-5 12345

a tedy

-2

< 4940 .

1

[(2-2)3 · ( 4 )-2 ]-1

6 bodů

= [ 2 -6 · (2 –2) –2]-1 = [ 2 -6 · 2 4]-1 = (2 –2) –1 = 2 2 = 4

3. Vyjádřete ze vzorce neznámou a: S =

ac + c 2

·v

4 body

2S = (ac + c)· v

2S v = c · (a + 1) 2S cv = a + 1 2S cv – 1 = a

(popř. jiný, ekvivalentní zápis, např.

2S - cv = a) cv

9

81

2

( 8 x3 y - 3 x y2) 2

4. Umocněte 3

9 bodů

4

= 64 x6 y2 - 2 x4 y3 + 9 x2 y4 5. Kolik mililitrů je 2,5 ‰ z 6 litrů?

6 bodů

6 litrů = 6 000 ml 2,5 1000

· 6000 = 2,5 · 6 = 15 ml

6. Jaký největší počet různých trikolór je možné sestavit z pěti vzájemně odlišných barev?

6 bodů

Vybíráme vždy tři barvy z pěti možných, záleží na pořadí barev v trikolóře – 5!

V(3,5) = 2! =

120 2

= 60

Je možné sestavit 60 různých trikolór.

7. V množině R řešte rovnici: tg 3x = -1

2 body

3x = 135° + k · 180° x = 45° + k · 60°

8. Určete definiční obor funkce y =

Dvě podmínky:

2x + 3 > 0

a tedy

x>

-3 2

Celkově pak vyhovují čísla (

3

2x + 3

-

5 x

k∈Z

.

a zároveň x ≠ 0. -3 2

; 0) ∪ (0 ; ∞).

4 body

9. Řešte v R rovnici:

1

( 8 ) 2x = 4 x+1

4 body

(2 –3) 2x = (2 2 ) x+1 2 –6x = 2 2x+2 -6x = 2x +2 x=

-1 4

10. Určete souřadnice bodu, ve kterém přímka p: 3x – 4y + 12 = 0 protíná osu x.

6 bodů

Souřadnice y = 0:

3x + 12 = 0 x = -4 Hledaný bod má souřadnice [-4;0].

11. Řešte v R2 soustavu rovnic: x2 + y2 = 2 (xy +2) → 4x + 4y – 24 = 0

20 bodů

x=6–y

x2 + y2 = 2xy +4 (6 – y)2 + y2 = 2 (6 – y)y + 4 36 – 12y + y2 + y2 = 12y - 2y2 + 4 y2 – 6y + 8= 0 (y – 2) (y – 4) = 0

→

y1 = 2,

Po dosazení dostáváme x1 = 4,

y2 = 4

x2 = 2.

Řešením jsou uspořádané dvojice [4;2] a [2;4].

12. Řešte v R nerovnici: |7 – 4x| ≥ |7x – 4| 7

14 bodů

4

Nulové body jsou x = 4 a x = 7 . 4

4 7

(-∞ ; 7 ] [ 7 ; 4 ]

7

[4;∞)

7 – 4x

+

+

-

7x - 4

-

+

+

a) 7 – 4x ≥ -7x + 4 x ≥ -1 [-1 ;

4 7

b) 7 – 4x ≥ 7x – 4 x≤1 4

]

Celkové řešení:

c) -7 + 4x ≥7x – 4 x ≤ -1

[ 7 ; 1] [-1 ;

4 7

Nemá řešení.

4

]∪[ 7 ; 1], tedy [ -1 ; 1].

13. Určete součet prvních deseti členů geometrické posloupnosti, ve které platí: a1 – a2 = 6 a1 – a4 = 6 Ze vztahu

an = a1 · q

15 bodů

plyne

a1 – a1q = 6 a1 - a1q³ = 6 a1 (1 – q) = 6 a1 (1 - q³) = 6

Řešíme např. podílovou metodou: Po úpravě

q² + q = 0

→

q = 0,

1–q 1 - q³ =

6 6

a tedy

q* = -1.

Po dosazení do jedné z výše uvedených rovnic:

Součet prvních deseti členů pak

1 1 + q + q² = 1.

0-1

S=6·0-1=6

a1 = 6,

a

a1* = 3. 1-1

S* = 3 · - 1 - 1 = 0.

Slezská univerzita v Opavě Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné

Recommend Documents