Z´ avislost odporu vodiˇ c˚ u na teplotˇ e
Frantiˇ sek Skuhrav´ y
Z´ apadoˇ cesk´ a univerzita v Plzni Fakulta aplikovan´ ych vˇ ed
datum mˇeˇren´ı: 4.4.2003
´ Uvod do problematiky
1
D˚ uleˇzitou charakteristikou pevn´ych l´atek je konduktivita γ (dˇr´ıve naz´yvan´a mˇern´a elektrick´a vodivost), kter´a je definov´ana Ohmov´ym z´akonem v diferenci´aln´ım tvaru: j = γ E. Podle jej´ı velikosti lze l´atky zhruba dˇelit do tˇr´ı skupi: nevodiˇce < 10−8 (Ω m)−1 < polovodiˇce < 106 (Ω m)−1 < vodiˇce. Pˇr´ım´a u ´ mˇernost mezi proudovou hustotou j a intenzitou elektrick´eho pole E je d˚ usledkem sr´aˇzek elektron˚ u s kmitaj´ıc´ımi atomy krystalov´e mˇr´ıˇze (fonony) nebo s poruchami (pˇr´ımˇssi, dislokace, ploˇsn´e poruchy). Tyto sr´aˇzky lze popsat relaxaˇcn´ı dobou τ , kter´a ud´av´a, jak rychle se syt´em naruˇsen´y vnˇejˇs´ım polem vrac´ı do rovnov´ahy. V pˇr´ıpadˇe sr´aˇzek elektron˚ u s fonony je relaxaˇcn´ı doba totoˇzn´a se stˇredn´ı dobou mezi dvˇema sr´aˇzkami. Pro konduktivitu lze odvodit vztah: e2 n τ = e n µn , (1) m∗ kde e je element´arn´ı n´aboj, n je koncentrace elektron˚ u, m∗ je efektivn´ı hmotnost elektron˚ u a µn je jejich pohyblivost. Obrovsk´e rozd´ıly v hodnot´ach konduktivity kov˚ u (vodiˇce) a polovofiˇc˚ u a rovnˇeˇz jej´ı rozd´ılnou teplotn´ı z´avislost vysvˇetluje kvantov´a teorie pevn´ych l´atek existenc´ı p´asov´e struktury. Elektrony obsazuj´ı p´asy dovolen´ych energi´ı, kter´e jsou od sebe oddˇeleny p´asy zak´azan´ych energi´ı (tzv. zak´azan´e p´asy). γ=
1.1
Vodiˇ ce (kovy)
V kovech je vodivostn´ı p´as zaplnˇen pr´avˇe do poloviny (alkalick´e kovy, jednomocn´e kovy Cu, Ag, Au, . . . ) nebo se dovolen´e p´asy pˇrekr´yvaj´ı (dvojmocn´e kovy). Teplotn´ı z´avislost odporu (vodivosti) je d´ana teplotn´ı z´avislost´ı relaxaˇcn´ı doby resp. pohyblivosti. Se zvyˇsuj´ıc´ı se teplotou roste amplituda kmit˚ u iont˚ u a zvzˇsuje se tak pravdˇepodobnost sr´aˇzek elektron˚ u s iontz. Stˇredn´ı doba mezi dvˇema sr´aˇzkami (relaxaˇcn´ı doba) kles´a, a tedy kles´a konduktivita kovu (roste rezistivita ρ). Z´avislost odporu kov˚ u na teplotˇe lye v ˇsirok´em teplotn´ım oboru (s ˇ v´yjimkou n´ızk´ych teplot) dosti pˇresnˇe popsat polznomem druh´eho stupnˇe. Casto dokonce postaˇc´ı (pro nepˇr´ıliˇs ˇsirok´y intervaly teplot) uvaˇzovat pouze line´arn´ı z´avislost a odpor mˇeˇren´eho vzorku vyj´adˇrit pomoc´ı vytahu: R = R0 [1 + α (t − t0 )]
,
(2)
kde R0 je odpor pˇri teplotˇe t0 = 0 ◦ C a α je teplotn´ı souˇcinitel odporu.
2
Pracovn´ı u ´ kol 1. Promˇeˇrte z´avislost odporu vodiˇce na teplotˇe tak, ˇze zmˇeˇr´ıte 10 hodnot odporu s teplotn´ım krokem 3 ◦ C. 2. Spoˇctˇete pr˚ umˇernou hodnotu teplotn´ıho souˇcinitele odporu a jeho smˇerodatnou chybu. V´ysledek zapiˇste ve tvaru α ± δα a spr´avnˇe zaokrouhlete. 2
3. Namˇeˇrenou z´avislost R(t) zn´azornˇete graficky a spoˇctˇete rovnici t´eto pˇr´ımkov´e z´avislosti line´arn´ı regres´ı. Z koeficient˚ u rovnice (R = k t + q) urˇcete srovn´an´ım s rovnic´ı (2) souˇcinitel α a odpor R0 . Obˇe hodnoty teplotn´ıho souˇcinitele odporu porovnjete s tabulkovou hodnotou.
3
Postup mˇ eˇ ren´ı
Z lednice vynd´ame k´adinku s vodiˇcem v olejov´e l´azni a d´ame ji na elektromagnetickou m´ıchaˇcku (viz Obr. 1). Olejovou l´azeˇ n a RLC mˇeˇriˇc n´aslednˇe propoj´ıme pomoc´ı svorek a na mˇeˇriˇci nastav´ıme optim´aln´ı rozsah. Do olejov´e l´aznˇe zasuneme digit´aln´ı teplomˇer. Olejovou l´azeˇ n zahˇr´ıv´ame a s teplotn´ım krokem 3 ◦C postupnˇe zaznamen´av´ame deset hodnot odpor˚ u. Digit´aln´ı teplomˇer
K´adinka Olejov´a l´azeˇn
Vodiˇc
Elektromag. m´ıchaˇcka Topn´e tˇeleso
RLC mˇeˇriˇc E317
Obr. 1: Schematick´e zn´azornˇen´ı uspoˇr´ad´an´ı experimentu.
4
Namˇ eˇ ren´ e a vypoˇ c´ıtan´ e hodnoty
5
Zpracov´ an´ı v´ ysledk˚ u
Nejdˇr´ıve postupnou metodou vypoˇc´ıt´ame hodnoty teplotn´ıho souˇcinitele odporu αi Ri+5 − Ri 8, 59 − 8, 10 αi = = 4,050×10−3 K−1 . pˇr.: αi = Ri ti+5 − Ri+5 ti 8, 10 · 16 − 8.59 · 1 a n´aslednˇe i pr˚ umˇernou hodnotu α: α=
αi 0, 0212 = = 4,24×10−3 K−1 n 5
P
3
.
Tab. 1: Namˇeˇren´e hodnoty odpor˚ u R, vypoˇc´ıtan´e hodnoty teplotn´ıho souˇcinitele odporu αi , smˇerodatn´e chyby ∆αi a druh´e mocniny smˇerodatn´e chyby ∆2 αi pro r˚ uzn´e hodnoty teploty vodiˇce ti . ti [◦ C]
Ri [Ω]
ti+5 [◦ C]
Ri+5 [Ω]
αi [K−1 ]
∆αi
∆2 αi
1
8,10
16
8,59
4,050×10−3
1,900×10−4
3,667×10−8
4
8,18
19
8,70
4,310×10−3
7,000×10−5
4,909×10−9
7
8,29
22
8,80
4,220×10−3
2,000×10−5
3,402×10−10
10
8,39
25
8,91
4,310×10−3
7,000×10−5
4,760×10−9
13
8,49
28
9,01
4,310×10−3
7,000×10−5
5,060×10−9
Vypoˇc´ıt´an´ım odchylky ∆α od pr˚ umˇern´e hodnoty teplotn´ıho souˇcinitele odporu α ∆αi = |αi − α|
, pˇr.: ∆α1 = |0, 00405 − 0, 00424| = 1, 9 × 10−4
a n´aslednˇe jej´ı druh´e mocniny
∆2 αi = αi − α
2
, pˇr.: (α1 − α)2 = 0, 000192 = 3, 667 × 10−8
lze urˇcit chybu mˇeˇren´ı jako v u P 2 u ∆α t
δα =
v u u 5, 183 × 10−8 t
=
n (n − 1)
5 (5 − 1)
= 0.051 × 10−3 K−1
a v´yslednou hondotu teplotn´ıho souˇcinitele odporu α = (4, 240 ± 0, 051)×10−3 K−1 . Pro ovˇeˇren´ı naˇseho v´ypoˇctu vykresl´ıme namˇeˇren´e hodnoty odporu pˇri r˚ uzn´ych teplot´ach do grafu (Obr´azek 2), provedeme line´arn´ı aproximaci dat
a0 =
n P 1
x2i n
n P
1 n P 1
n a1 =
yi −
n
1
xi
2
xi yi −
n P
xi
xi −
1
1
n P
xi yi
n P
2
n P
n P
n P 1
1
x2i −
1
n P 1
xi
n P
xi
1
=
yi
2
2845 · 85, 46 − 1264, 49 · 145 = 8, 052 28450 − 21025
=
12644, 9 − 145 · 85, 46 = 0, 034 28450 − 21025 4
,
9.2 y = 0, 0341 x + 8, 0515
9.0
Odpor R [Ω]
8.8 8.6 8.4 8.2 8.0 7.8 0
5
10
15
20
25
30
Teplota t [◦ C]
Obr. 2: Namˇeˇren´a z´avislost odporu vodiˇce na teplotˇe (pln´e body) a lin´arn´ı aproximace namˇeˇren´ych hodnot (pˇreruˇsovan´a ˇc´ara).
a z´ıskanou rovnici aproximaˇcn´ı pˇr´ımky y = a0 + a1 · x = 8, 052 + 0, 034 x porovn´ame s teoretick´ym vztahem (2) pro teplotn´ı souˇcinitel odporu: Pro t0 = 0 dost´av´ame, ˇze R = R0 + R0 α t ⇒ R0 = 8, 052 Ω a α = aa10 = 4, 2 × 10−3 K−1 .
6
Z´ avˇ er
Z namˇeˇren´ych dat odporu vodiˇce pˇri r˚ uzn´ych teplot´ach jsme vypoˇc´ıtali pr˚ umˇern´y teplotn´ı souˇcinitel odporu. Jeho hodnota je α = (4, 240 ± 0, 051)×10−3 K−1 . Namˇeˇren´a data jsme n´aslednˇe zn´azornili graficky a provedli jejich lin´arn´ı aproximaci. Porovn´an´ım rovnice pˇr´ımky lin´arn´ı aproximace a teoretick´e teplotn´ı z´avislosti jsme urˇcili teplotn´ı souˇcinitel odporu α = 4, 2 × 10−3 K−1 a odpor R0 = 7, 668 Ω. Porovn´an´ım experiment´aln´ı a tabulkov´e hodnoty (α = 4, 33 × 10−3 K−1 pro mˇed’) m˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze provedn´y experiment byl vhodnˇe navrˇzen a proveden.
5
