Analitikus m´ ertan
5. FELADATLAP S´ıkbeli egyenesek
5.1. ´Irjuk fel annak az egyenesnek a param´eteres egyenleteit, amely (i) ´athalad az M0 (1, 2) ponton ´es p´arhuzamos a ~a(3, −1) vektorral; (ii) ´athalad az orig´ on ´es p´ arhuzamos a ~b(3, 3) vektorral; (iii) ´athalad az A(1, 7) ponton ´es p´ arhuzamos az Oy tengellyel; (iv) ´athalad az M1 (2, 4) ´es M2 (2, −5) pontokon. 5.2. Egy egyenes az x = 1 − 4t, y = 2 + t parm´eteres egyenletekkel adott. Hat´arozzuk meg az egyenes ir´ anyvektor´ at ´es ir´enyt´enyez˝oj´et. 5.3. ´Irjuk fel annak az egyenesnek az egyenlet´et, amelynek (i) ir´anyt´enyez˝ oje m = −5 ´es ´ atmegy az A(1, −2) ponton; (ii) ir´anyt´enyez˝ oje m = 8 ´es az Oy tengelyen egy 2 hossz´ us´ag´ u szakaszt hat´aroz meg; ◦ (iii) ´athalad az A(−2, 3) ponton ´es az Ox tengellyel 60 -os sz¨oget z´ar be. (iv) ´atmegy a B(1,7) ponton ´es mer˝oleges az n(4, 3) vektorra. 5.4. Adott az ABC h´ aromsz¨ og: A(1, 1), B(−2, 3), C(4, 7). ´Irjuk fel az oldalak valamint az A cs´ ucshoz tartoz´ o oldalfelez˝ o ´es magass´ag egyenleteit! E: x = 1, x + y − 3 = 0. 5.5. ´Irjuk fel annak az egyenesnek az egyenlet´et, amely ´athalad az A(−2, 5) ponton ´es a koordin´atatengelyeken egyenl˝ o hossz´ us´ag´ u szakaszokat hat´aroz meg. E: x + y − 3 = 0. 5.6. ´Irjuk fel annak az egyenesnek az egyenlet´et, amely ´athalad az A(12, 6) ponton ´es az egyenes valammint a koordin´ atatengelyek ´altal meghat´arozott h´aromsz¨og ter¨ ulete 150. E: 3x + 4y − 60 = 0, x + 3y − 30 = 0. 5.7. Adottak az ax + by + c = 0 ´es x = x0 + lt, y = y0 + mt egyenesek. Adjunk meg sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etelt ahhoz, hogy az egyenesek legyenek (1) metsz˝ oek; (2) p´arhuzamosak. 5.8. Adottak egy h´ aromsz¨ og oldalainak az M1 (1, 2), M2 (3, 4), M3 (5, −1) felez˝opontjai. Hat´arozzuk meg az oldalak egyenleteit! 5.9. Egy paralelogramma k´et oldal´ anak egyenletei: x + y − 2 = 0 ´es 2x − y + 5 = 0. ´Irjuk fel a paralelogramma m´ asik k´et oldal´ anak az egyenlet´et, ha tudjuk, hogy az ´atl´ok az M (3, 1) pontban metszik egym´ ast. E: x + y − 6 = 0, 2x − y − 3 = 0. 5.10. Igazoljuk, hogy az a h´ aromsz¨ og , amelynek cs´ ucsai az A(3, 3), B(6, 3) ´es C(3, 6) ´ pontok der´eksz¨ og˝ u ´es egyenl˝ osz´ ar´ u! Irjuk fel a h´aromsz¨og oldalfelez˝o mer˝olegeseinek az egyenleteit! 5.11. Az orig´ ob´ ol egy d egyenesre h´ uzott mer˝oleges talppontja az A(1, 2) pont. ´Irjuk fel a d egyenes egyenlet´et! E: x + 2y − 5 = 0. 5.12. Hat´arozzuk meg a B(−2, 1) pontnak a d : 2x + y + 1 = 0 egyenesre es˝o vet¨ ulet´et!
E:
B0
6 7 . − , 5 5
5.13. ´Irjuk fel annak az egyenesnek az egyenlet´et, amely ´atmegy a C(1, 3) ponton ´es egyenl˝o t´avols´agra van az M1 (−1, 0) ´es M2 (1, −1) pontokt´ol! E: x + 2y − 7 = 0, −7x + 2y + 1 = 0. 5.14. Hat´arozzuk meg a D(−1, 2) pont szimmetrikusainak a koordin´at´ait a d : x+y + 1 = 0 egyenesre, majd az E(−1, −4) pontra vonatkoz´oan! E: D1 (−3, 0), D2 (−1, −10). 5.15. Hat´arozzuk meg a d1 : −x + 2y − 1 = 0 egyenes szimmetrikus´at a d2 : x − y = 0 egyenesre majd az A(−2, 5) pontra vonatkoz´oan! E: 2x + y − 1 = 0, x − 2y + 23 = 0. 5.16. Adott h´ arom, A(8, 0), B(3, 6), C(0, 3) pont. A BC egyenes az Ox tengelyt D-ben, az AB egyenes az Oy tengelyt E-ben metszi. Igazoljuk, hogy az [OB], [AC], [DE] szakaszok felez˝opontjai kolline´ arisak! 5.17. Adott egy h´ aromsz¨ og k´et cs´ ucsa: A(−6, 2) ´es B(2, −2), valamint a H(1, 2) ortocentrum. Hat´arozzuk meg a harmadik C cs´ ucs koordin´at´ait! E:C(2, −34). 5.18. Hat´arozzuk meg az ABC h´ aromsz¨og k¨or´e ´ırt k¨or k¨oz´eppontj´anak koordin´ at´ait, ha 16 5 A(1, 2), B(3, −2) ´es C(5, 6). E: , . 3 3 5.19. 1) 2) 3) 4) 5)
Hat´arozzuk meg az al´ abbi egyenesek ´altal bez´art sz¨ogeket y = 2x + 1 ´es y = −x + 2; y = 3x − 4 ´es x = 3 + t, y = −1 − 2t; y = 2x/5 + 1 ´es 4x + 3y − 12 = 0; 2x + 3y = 0 ´es x − y + 5 = 0; x − 3y + 2 = 0 ´es x = 2 − t, y = 3 + 2t. E: 1) arctg(−3); 2)
135◦ ;
3) arctg2; 4) arccos
√
26 ; 5) arctg7. 26
5.20. Hat´arozzuk meg azt az A(3, 1) ponton ´athalad´o egyenest, amely 45◦ -os sz¨oget z´ar be a 2x + 3y − 1 = 0 egyenlettel megadott egyenessel. E: x − 5y + 2 = 0, 5x + y − 16 = 0. 5.21. Hat´arozzuk meg az x + 3y = 0, x = 3, x − 2y + 3 = 0 egyenesek ´altal meghat´arozott h´aromsz¨og cs´ ucsait ´es sz¨ ogeit. 5.22. Adott az A(1, −2), B(5, 4) ´es C(−2, 0) cs´ ucs´ u h´aromsz¨og . Hat´arozzuk meg az A sz¨og k¨ uls˝o ´es bels˝ o sz¨ ogfelez˝ oj´enek az egyenlet´et! E: −x + 5y + 11 = 0, 5x + y − 3 = 0. 5.23. Hat´arozzuk meg az O(0, 0), A(1, 2) ´es B(−5, 7) pontok t´avols´ag´at a 6x + 8y − 15 = 0 egyenest˝ol. 5.24. ´Irjuk fel annak az egyenesnek az egyenlet´et, amely ´athalad az A(8, 9) ponton ´es amelynek az x − 2y + 5 = 0 valamint az x − 2y = 0 egyenesek k¨oz´e es˝o szakasz´anak hossza 5. 5.25. Hat´arozzuk meg az al´ abbi p´ arhuzamos egyenesek k¨ozti t´avols´agot 2
1) x − 2y + 3 = 0 ´es 2x − 4y + 7 = 0; 2) 3x − 4y + 1 = 0 ´es x = 1 + 4t, y = 3t ; 3) x = 2 − t, y = −3 + 2t ´es x = 2s, y = 5 − 4s. 1 E: 1) √ . 2 5 5.26. Hat´arozzuk meg az x + 2y − 10 = 0 ´es x − 2y + 2 = 0 egyenesek ´altal meghat´arozott sz¨og azon sz¨ ogfelez˝ oj´et, amely ´ athalad az A(1, 3) ponton. 5.27. Egy ABC h´ aromsz¨ og eset´en A(2, 5), B(1, 3), C(7, 0). Hat´arozzuk meg a magass´ √ agok √ 3 2 √ hossz´at! E: 5, , 3 5. 2 5.28. Adottak az A(−2, 1), B(3, 1), C(1, 5) pontok. Hat´arozzuk meg a B pont t´avols´a√ g´at az A cs´ ucshoz tartoz´ o oldalfelez˝ ot˝ ol! E: 5. 5.29. Igazoljuk, hogy az x − 3y + 1 = 0, x − 3y + 12 = 0, 3x + y − 1 = 0 ´es 3x + y + 10 = 0 egyenesek ´altal meghat´ arozott n´egysz¨ og egy n´egyzet. Hat´arozzuk meg a ter¨ ulet´et! E: 12.1. 5.30. Egy n´egyzet egyik oldal´ anak egyenlete x + 3y − 5 = 0. Hat´arozzuk meg a n´egyzet t¨obbi oldal´anak az egyenleteit, ha tudjuk, hogy a n´egyzet szimmetriak¨oz´eppontja a P (−1, 0) pontban tal´alhat´ o. 35 E: −15x + 5y + 15 = 0, −15x + 5y + 9 = 0, x + 3y + = 0. 3 5.31. Adottak egy h´ aromsz¨ og k´et oldal´anak egyenletei: 3x − 2y + 1 = 0 ´es x − y + 1 = 0 valamint az egyik oldalfelez˝ oj´enek az egyenlete 2x − y − 1 = 0. Hat´arozzuk meg a harmadik oldal egyenlet´et! E: 5x − 3y − 1 = 0 vagy x = 3. 5.32. Hat´arozzuk meg egy h´ aromsz¨ og oldalainak egyenlet´et, ha ismerj¨ uk az egyik cs´ ucsot: B(2, −1) valamint a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o cs´ ucsokhoz tartoz´o magass´ag 3x − 4y + 27 = 0 ´es sz¨ogfelez˝o x − 2y − 5 = 0 egyenleteit! ´ 5.33. Allap´ ıtsuk meg, hogy az M (−3, 2) pont az x+y−4 = 0, 3x−7y+8 = 0, 4x−y+31 = 0 egyenesek ´altal meghat´ arozott h´ aromsz¨og belsej´eben van-e. 5.34. Adottak az x + 2y − 1 = 0, 5x + 4y − 17 = 0, x − 4y + 11 = 0 egyenesek. Hat´arozzuk meg a magass´ agok egyenleteit an´elk¨ ul, hogy kisz´am´ıtan´ank a cs´ ucsok koordin´at´ait. 5.35. Adott egy M (3, 3) pont ´es egy ABC h´aromsz¨og az oldalak egyenleteivel: AB : x + 2y − 4 = 0, BC : 3x + y − 2 = 0, AC : x − 3y − 4 = 0. 1) Sz´am´ıtsuk ki az ABC h´ aromsz¨ og ter¨ ulet´et! 2) Az M pontnak az AO, OB ´es AB egyeneskre es˝o vet¨ ulet´et rendre P, Q, R-rel jel¨olve, bizony´ıtsuk be, hogy a P, Q, R pontok egy egyenesen vannak. 3) ´Irjuk fel az AB ´es P Q egyenesek ´ altal meghat´arozott sug´arsor egyenlet´et. Hat´arozzuk meg a sug´arsor N (0, 5) ponton ´ atmen˝ o egyenes´enek az egyenlet´et. 5.36. Igazoljuk, hogy b´ armely ABC h´ aromsz¨ogben a H magass´agpont, a G s´ ulypont ´es az O oldalfelez˝ o mer˝ olegesek metsz´espontja egy egyenesen vannak (Euler egyenes). 5.37. Egy ABCD n´egysz¨ og cs´ ucsai az A(4, 3), B(5, −4), C(−1, −3), D(−3, −1) pontok. 3
1) Sz´am´ıtsuk ki az E ´es F pontok koordin´at´ait, ha {E} = AB ∩ CD ´es {F } = BC ∩ AD. 2) Igazoljuk, hogy az [AC], [BD] ´es [EF ] ´atl´ok felez˝opontjai kolline´arisak. (Az ABCDEF alakzatot teljes n´egysz¨ ognek nevezz¨ uk.) 5.38. Egy ABC h´ aromsz¨ og ter¨ ulete 3, k´et cs´ ucsa pedig az A(3,1) ´es B(1, −3) pontok. Hat´arozzuk meg a C cs´ ucs koordin´ at´ ait az al´abbi esetekben: 1) a C cs´ ucs az Oy tengelyen van; 2) az ABC h´ aromsz¨ og s´ ulypontja az Ox tengelyen fekszik. 5.39. Egy paralelogramma ter¨ ulete 18, k´et cs´ ucsa az A(2, 1) ´es B(5,-3) pont. A k´et ´atl´o az Oy tengelyen metszi egym´ ast. Hat´ arozzuk meg a m´asik k´et cs´ ucs koordin´at´ait! 5.40. ´Irjuk fel az A(1, 1) ponton ´ athalad´o ´es a B(−1, 0) ´es C(−1, −1) pontokt´ol egyenl˝o t´avols´agra lev˝ o egyenesek egyenlet´et! 5.41. Az xOy s´ıkban adottak az A(6, 0), B(1, 5) ´es C(0, 4) pontok. a) Sz´am´ıtsuk ki az ABC h´ aromsz¨ og oldalainak hossz´at! b) Igazoljuk, hogy az OABC n´egysz¨og k¨orbe´ırhat´o! c) Igazoljuk, hogy az O-b´ ol a h´ aromsz¨og oldalaira bocs´ajtott mer˝olegesek talppontjai kolline´arisak. 5.42. Egy der´eksz¨ og˝ u xOy koordin´ ata-rendszerben adottak az A(a, 0), B(b, 0) r¨ogz´ıtett pontok ´es az M (0, λ), λ ∈ R pontok. Hat´arozzuk meg: a) az AM egyenes egyenlet´et; b) a B ponton ´ athalad´ o ´es AM -re mer˝oleges egyenes egyenlet´et; c) az el˝oz˝ o k´et pontban meghat´ arozott egyenesek metsz´espontj´anak m´ertani hely´et! 5.43. Legyen ABC egy tetsz˝ oleges h´ aromsz¨og ´es M a [BC] szakasz felez˝opontja. Jel¨olj¨ unk N -nel egy olyan pontot az AB egyenesr˝ol, amelyre A ∈ (BN ). Az ABC h´aromsz¨og H \ illetve a CAN \ sz¨ogek sz¨ogfelez˝oire legyenek P illetve ortocentrum´ anak a vet¨ uletei a BAC Q. Igazoljuk, hogy az M, P ´es Q pontok kolline´arisak. 5.44. Adottak a C1 ´es C2 k¨ or¨ ok, amelyek kiv¨ ulr˝ol ´erintik egym´ast a T pontban. Tekintj¨ uk az M illetve az N v´ altoz´ o pontokat a C1 illetve a C2 k¨or¨okr˝ol u ´gy, hogy az M T ´es N T egyenesek legyenek mer˝ olegesek egym´ asra a T pontban. Hat´arozzuk meg az [M N ] szakasz felez˝opontj´anak m´ertani hely´et! Affin koordin´ ata-rendszer haszn´ alata 5.45. (Menel´ aosz t´etele) Legyen ABC egy tetsz˝oleges h´aromsz¨og ´es A0 , B 0 C 0 h´arom kolline´aris pont u ´gy, hogy A0 ∈ BC, B 0 ∈ AC, C 0 ∈ AB. Ekkor igazoljuk, hogy A0 B B 0 C C 0 A · · = 1. A0 C B 0 A C 0 B
(1)
Ford´ıtva, ha az A0 , B 0 ´es C 0 pontok u ´gy helyezkednek el a BC, CA, AB egyeneseken, hogy kett˝o k¨oz¨ ul¨ uk a h´ aromsz¨ og oldalain ´es a harmadik pedig az egyik oldal meghosszab´ıt´as´an van, vagy mindh´ arom az oldalak meghosszab´ıt´as´an tal´alhat´o ´es fenn´all az (1) ¨osszef¨ ugg´es, akkor a h´arom pont kolline´ aris.
4
5.46. (Ceva t´etele) Legyen ABC egy tetsz˝oleges h´aromsz¨og ´es AA0 , BB 0 CC 0 h´atom ¨osszefut´o egyenes, ahol A0 ∈ BC, B 0 ∈ AC ´es C 0 ∈ AB. Ekkor fenn´all a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´es: A0 B B 0 C C 0 A · · = 1. (2) A0 C B 0 A C 0 B Ford´ıtva, 1. ha az A0 ∈ BC, B 0 ∈ AC, C 0 ∈ AB pontok a h´aromsz¨og oldalain vannak ´es fenn´all a (2) ¨osszef¨ ugg´es, akkor az AA0 , BB 0 ´es CC 0 egyenesek ¨osszefut´oak; 2. ha az A0 , B 0 ´es a C 0 pontok k¨ oz¨ ul az egyik pont a h´aromsz¨og egyik oldal´an ´es a m´asik kett˝o a m´asik k´et oldal meghosszabb´ıt´ as´an tal´alhat´o ´es fenn´all a (2) ¨osszef¨ ugg´es, akkor az 0 0 0 AA , BB ´es CC egyenesek ¨ osszefut´ oak vagy p´arhuzamosak. 5.47. Legyen ABCDEF egy teljes n´egysz¨og (ABCD n´egysz¨og ´es AB ∩ CD = {E}, AD ∩ BC = {F }). Igazoljuk, hogy az AC, BD ´es EF ´atl´ok felez˝opontjai kolline´arisak (GaussNewton egyenes)! 5.48. (Pappusz t´etele) Legyen a, b k´et metsz˝o egyenes ´es A1 , A2 , A3 ∈ a, B1 , B2 , B3 ∈ b. Igazoljuk, hogy a {C1 } = A2 B3 ∩ A3 B2 , {C2 } = A1 B3 ∩ A3 B1 ´es {C3 } = A1 B2 ∩ A2 B1 pontok kolline´ arisak! 5.49. Legyen ABCD egy paralelogramma ´es legyen P ∈ (AB), Q ∈ (BC), R ∈ (CD) ´es S ∈ (DA) u ´gy, hogy P R||AD, QS||AB. Igazoljuk, hogy a P Q ´es RS egyenesek vagy p´arhuzmosak az AC ´ atl´ oval vagy a metsz´espontjuk az AC ´atl´on tal´alhat´o!
5
