Analitikus m´ ertan
3. FELADATLAP S´ıkbeli egyenesek
1. ´Irjuk fel annak az egyenesnek a param´eteres egyenleteit, amely (i) ´athalad az M0 (1, 2) ponton ´es p´arhuzamos a ~a(3, −1) vektorral; (ii) ´athalad az orig´on ´es p´arhuzamos a ~b(3, 3) vektorral; (iii) ´athalad az A(1, 7) ponton ´es p´arhuzamos az Oy tengellyel; (iv) ´athalad az M1 (2, 4) ´es M2 (2, −5) pontokon. 2. Egy egyenes az x = 1 − 4t, y = 2 + t parm´eteres egyenletekkel adott. Hat´arozzuk meg az egyenes ir´anyvektor´at ´es ir´enyt´enyez˝ oj´et. 3. ´Irjuk fel annak az egyenesnek az egyenlet´et, amelynek (i) ir´anyt´enyez˝oje m = −5 ´es ´atmegy az A(1, −2) ponton; (ii) ir´anyt´enyez˝oje m = 8 ´es az Oy tengelyen egy 2 hossz´ us´ ag´ u szakaszt hat´aroz meg; ◦ (iii) ´athalad az A(−2, 3) ponton ´es az Ox tengellyel 60 -os sz¨oget z´ar be. (iv) ´atmegy a B(1,7) ponton ´es mer˝oleges az n(4, 3) vektorra. 4. Adott az ABC h´aromsz¨og: A(1, 1), B(−2, 3), C(4, 7). ´Irjuk fel az oldalak valamint az A cs´ ucshoz tartoz´o oldalfelez˝o ´es magass´ag egyenleteit! E: x = 1, x + y − 3 = 0. 5. ´Irjuk fel annak az egyenesnek az egyenlet´et, amely ´athalad az A(−2, 5) ponton ´es a koordin´atatengelyeken egyenl˝o hossz´ us´ ag´ u szakaszokat hat´aroz meg. E: x + y − 3 = 0. 6. ´Irjuk fel annak az egyenesnek az egyenlet´et, amely ´athalad az A(12, 6) ponton ´es az egyenes valammint a koordin´atatengelyek ´altal meghat´arozott h´aromsz¨ og ter¨ ulete 150. E: 3x + 4y − 60 = 0, x + 3y − 30 = 0. 7. Adottak az ax + by + c = 0 ´es x = x0 + lt, y = y0 + mt egyenesek. Adjunk meg sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etelt ahhoz, hogy az egyenesek legyenek (1) metsz˝oek; (2) p´arhuzamosak. 8. Adottak egy h´aromsz¨og oldalainak az M1 (1, 2), M2 (3, 4), M3 (5, −1) felez˝opontjai. Hat´arozzuk meg az oldalak egyenleteit! 9. Egy paralelogramma k´et oldal´anak egyenletei: x + y − 2 = 0 ´es 2x − y + 5 = 0. ´Irjuk fel a paralelogramma m´asik k´et oldal´anak az egyenlet´et, ha tudjuk, hogy az ´atl´ ok az M (3, 1) pontban metszik egym´ast. E: x + y − 6 = 0, 2x − y − 3 = 0. 10. Igazoljuk, hogy az a h´aromsz¨og , amelynek cs´ ucsai az A(3, 3), B(6, 3) ´es C(3, 6) pontok ´ der´eksz¨og˝ u ´es egyenl˝osz´ar´ u! Irjuk fel a h´aromsz¨ og oldalfelez˝o mer˝olegeseinek az egyenleteit! 11. Az orig´ob´ol egy d egyenesre h´ uzott mer˝oleges talppontja az A(1, 2) pont. ´Irjuk fel a d egyenes egyenlet´et! E: x + 2y − 5 = 0. 12. Hat´arozzuk meg a B(−2, 1) pontnak a d : 2x + y + 1 = 0 egyenesre es˝o vet¨ ulet´ µ et! ¶ 6 7 E: B 0 − , . 5 5
13. ´Irjuk fel annak az egyenesnek az egyenlet´et, amely ´atmegy a C(1, 3) ponton ´es egyenl˝ o t´avols´agra van az M1 (−1, 0) ´es M2 (1, −1) pontokt´ ol! E: x + 2y − 7 = 0, −7x + 2y + 1 = 0. 14. Hat´arozzuk meg a D(−1, 2) pont szimmetrikusainak a koordin´at´ ait a d : x + y + 1 = 0 egyenesre, majd az E(−1, −4) pontra vonatkoz´ oan! E: D1 (−3, 0), D2 (−1, −10). 15. Hat´arozzuk meg a d1 : −x + 2y − 1 = 0 egyenes szimmetrikus´at a d2 : x − y = 0 egyenesre majd az A(−2, 5) pontra vonatkoz´ oan! E: 2x + y − 1 = 0, x − 2y + 23 = 0. 16. Adott h´arom, A(8, 0), B(3, 6), C(0, 3) pont. A BC egyenes az Ox tengelyt D-ben, az AB egyenes az Oy tengelyt E-ben metszi. Igazoljuk, hogy az [OB], [AC], [DE] szakaszok felez˝opontjai kolline´arisak! 17. Adott egy h´aromsz¨og k´et cs´ ucsa: A(−6, 2) ´es B(2, −2), valamint a H(1, 2) ortocentrum. Hat´arozzuk meg a harmadik C cs´ ucs koordin´at´ ait! E: C(2, −34). 18. Hat´arozzuk meg az ABC h´aromsz¨ og k¨or´e ´ırt k¨or k¨oz´eppontj´ anak koordin´ ait, ha ¶ µat´ 16 5 , . A(1, 2), B(3, −2) ´es C(5, 6). E: 3 3 19. Hat´arozzuk meg az al´abbi egyenesek ´altal bez´art sz¨ogeket 1) y = 2x + 1 ´es y = −x + 2; 2) y = 3x − 4 ´es x = 3 + t, y = −1 − 2t; 3) y = 2x/5 + 1 ´es 4x + 3y − 12 = 0; 4) 2x + 3y = 0 ´es x − y + 5 = 0; 5) x − 3y + 2 = 0 ´es x = 2 − t, y = 3 + 2t. √ 14 26 7 E: 1)45◦ ; 2) 45◦ ; 3) arctg ; 4) arccos ; 5) arctg . 23 26 5 20. Hat´arozzuk meg azt az A(3, 1) ponton ´athalad´ o egyenest, amely 45◦ -os sz¨oget z´ar be a 2x + 3y − 1 = 0 egyenlettel megadott egyenessel. E: x − 5y + 2 = 0, 5x + y − 16 = 0. 21. Hat´arozzuk meg az x + 3y = 0, x = 3, x − 2y + 3 = 0 egyenesek ´altal meghat´arozott h´aromsz¨og cs´ ucsait ´es sz¨ogeit. 22. Adott az A(1, −2), B(5, 4) ´es C(−2, 0) cs´ ucs´ u h´aromsz¨ og . Hat´arozzuk meg az A sz¨ og k¨ uls˝o ´es bels˝o sz¨ogfelez˝oj´enek az egyenlet´et! E: −x + 5y + 11 = 0, 5x + y − 3 = 0. 23. Hat´arozzuk meg az O(0, 0), A(1, 2) ´es B(−5, 7) pontok t´avols´ ag´ at a 6x + 8y − 15 = 0 egyenest˝ol. 24. ´Irjuk fel annak az egyenesnek az egyenlet´et, amely ´athalad az A(8, 9) ponton ´es amelynek az x − 2y + 5 = 0 valamint az x − 2y = 0 egyenesek k¨oz´e es˝o szakasz´ anak hossza 5. 25. Hat´arozzuk meg az al´abbi p´arhuzamos egyenesek k¨ozti t´avols´ agot 1) x − 2y + 3 = 0 ´es 2x − 4y + 7 = 0; 2) 3x − 4y + 1 = 0 ´es x = 1 + 4t, y = 3t ; 3) x = 2 − t, y = −3 + 2t ´es x = 2s, y = 5 − 4s. 2
1 E: 1) √ . 2 5 26. Hat´arozzuk meg az x + 2y − 10 = 0 ´es x − 2y + 2 = 0 egyenesek ´altal meghat´arozott sz¨og azon sz¨ogfelez˝oj´et, amely ´athalad az A(1, 3) ponton. 27. Egy ABC h´aromsz¨og eset´en A(2, 5), B(1, 3), C(7, 0). Hat´arozzuk meg a magass´ √ agok √ 3 2 √ hossz´at! E: 5, , 3 5. 2 28. Adottak az A(−2, 1), B(3, 1), C(1, 5) pontok. Hat´arozzuk meg a B pont t´avols´ ag´ at√az A cs´ ucshoz tartoz´o oldalfelez˝ot˝ol! E: 5. 29. Igazoljuk, hogy az x − 3y + 1 = 0, x − 3y + 12 = 0, 3x + y − 1 = 0 ´es 3x + y + 10 = 0 egyenesek ´altal meghat´arozott n´egysz¨ og egy n´egyzet. Hat´arozzuk meg a ter¨ ulet´et! E: 12.1. 30. Egy n´egyzet egyik oldal´anak egyenlete x + 3y − 5 = 0. Hat´arozzuk meg a n´egyzet t¨obbi oldal´anak az egyenleteit, ha tudjuk, hogy a n´egyzet szimmetriak¨oz´eppontja a P (−1, 0) pontban tal´alhat´o. 35 E: −15x + 5y + 15 = 0, −15x + 5y + 9 = 0, x + 3y + = 0. 3 31. Adottak egy h´aromsz¨og k´et oldal´anak egyenletei: 3x − 2y + 1 = 0 ´es x − y + 1 = 0 valamint az egyik oldalfelez˝oj´enek az egyenlete 2x − y − 1 = 0. Hat´arozzuk meg a harmadik oldal egyenlet´et! E: 5x − 3y − 1 = 0 vagy x = 3. 32. Hat´arozzuk meg egy h´aromsz¨og oldalainak egyenlet´et, ha ismerj¨ uk az egyik cs´ ucsot: B(2, −1) valamint a k¨ ul¨onb¨oz˝o cs´ ucsokhoz tartoz´o magass´ag 3x − 4y + 27 = 0 ´es sz¨ogfelez˝ o x − 2y − 5 = 0 egyenleteit! ´ 33. Allap´ ıtsuk meg, hogy az M (−3, 2) pont az x+y −4 = 0, 3x−7y +8 = 0, 4x−y +31 = 0 egyenesek ´altal meghat´arozott h´aromsz¨ og belsej´eben van-e. 34. Adottak az x + 2y − 1 = 0, 5x + 4y − 17 = 0, x − 4y + 11 = 0 egyenesek. Hat´arozzuk meg a magass´agok egyenleteit an´elk¨ ul, hogy kisz´am´ıtan´ ank a cs´ ucsok koordin´at´ ait. 35. Adott egy M (3, 3) pont ´es egy ABC h´ aromsz¨ og az oldalak egyenleteivel: AB : x + 2y − 4 = 0, BC : 3x + y − 2 = 0, AC : x − 3y − 4 = 0. 1) Sz´am´ıtsuk ki az ABC h´aromsz¨og ter¨ ulet´et! 2) Az M pontnak az AO, OB ´es AB egyeneskre es˝o vet¨ ulet´et rendre P, Q, R-rel jel¨olve, bizony´ıtsuk be, hogy a P, Q, R pontok egy egyenesen vannak. 3) ´Irjuk fel az AB ´es P Q egyenesek ´altal meghat´arozott sug´arsor egyenlet´et. Hat´arozzuk meg a sug´arsor N (0, 5) ponton ´atmen˝ o egyenes´enek az egyenlet´et. 36. Igazoljuk, hogy b´armely ABC h´aromsz¨ ogben a H magass´ agpont, a G s´ ulypont ´es az O oldalfelez˝o mer˝olegesek metsz´espontja egy egyenesen vannak (Euler egyenes). 37. Egy ABCD n´egysz¨og cs´ ucsai az A(4, 3), B(5, −4), C(−1, −3), D(−3, −1) pontok. 1) Sz´am´ıtsuk ki az E ´es F pontok koordin´at´ ait, ha {E} = AB ∩ CD ´es {F } = BC ∩ AD. 2) Igazoljuk, hogy az [AC], [BD] ´es [EF ] ´atl´ ok felez˝opontjai kolline´ arisak. (Az ABCDEF alakzatot teljes n´egysz¨ognek nevezz¨ uk.) 3
38. Egy ABC h´aromsz¨og ter¨ ulete 3, k´et cs´ ucsa pedig az A(3,1) ´es B(1, −3) pontok. Hat´arozzuk meg a C cs´ ucs koordin´at´ait az al´abbi esetekben: 1) a C cs´ ucs az Oy tengelyen van; 2) az ABC h´aromsz¨og s´ ulypontja az Ox tengelyen fekszik. 39. Egy paralelogramma ter¨ ulete 18, k´et cs´ ucsa az A(2, 1) ´es B(5,-3) pont. A k´et ´atl´ o az Oy tengelyen metszi egym´ast. Hat´arozzuk meg a m´asik k´et cs´ ucs koordin´at´ ait! 40. ´Irjuk fel az A(1, 1) ponton ´athalad´ o ´es a B(−1, 0) ´es C(−1, −1) pontokt´ ol egyenl˝ o t´avols´agra lev˝o egyenesek egyenlet´et! 41. Az xOy s´ıkban adottak az A(6, 0), B(1, 5) ´es C(0, 4) pontok. a) Sz´am´ıtsuk ki az ABC h´aromsz¨og oldalainak hossz´at! b) Igazoljuk, hogy az OABC n´egysz¨ og k¨orbe´ırhat´ o! c) Igazoljuk, hogy az O-b´ol a h´aromsz¨ og oldalaira bocs´ajtott mer˝olegesek talppontjai kolline´arisak. 42. Egy der´eksz¨og˝ u xOy koordin´ata-rendszerben adottak az A(a, 0), B(b, 0) r¨ogz´ıtett pontok ´es az M (0, λ), λ ∈ R pontok. Hat´arozzuk meg: a) az AM egyenes egyenlet´et; b) a B ponton ´athalad´o ´es AM -re mer˝oleges egyenes egyenlet´et; c) az el˝oz˝o k´et pontban meghat´arozott egyenesek metsz´espontj´ anak m´ertani hely´et!
4
