Az egyenes rudak elemi szilárdságtanának egy problémaköréről 1. rész

Az egyenes rudak elemi szilárdságtanának egy problémaköréről – 1. rész Előszó Ezt a dolgozatot sok évvel ezelőtt írtam. Benne egy olyan problémakör kritikai vizsgá latára vállalkoztam, melynek itthon nem, vagy csak alig volt szakirodalma. Ez nyilván azzal is összefügg, hogy hazánkban nem volt repülőgépgyártás. Úgy láttam, hogy a re pülőgépek tervezésével kapcsolatos szilárdságtani munkákban fordulnak elő leginkább az ittenihez hasonló feladatok, probléma - felvetések. Érthető, hogy először az orosz nyelvű szakirodalomhoz jutottam hozzá – [ 1 ] , [ 2 ] ; köszönet ezért a budapesti Gorkij Könyvesbolt, majd később a Műszaki Könyváruház dolgozóinak is. Aztán főleg munka helyi ( ÉTI ) könyvtárban német – [ 3 ] – , majd jóval a rendszerváltás után angol, illetve amerikai – [ 4 ] , [ 5 ] , [ 6 ] – munkákhoz is hozzájutottam. Ezekben láttam, hogy bizony nem véletlenül gondoltam elmaradottnak a magyar szakkönyv - helyzetet, akkoriban. De miért is olyan fontos a repülőgép - szilárdságtan? Könnyű a válasz: a repülőgép ter vezése, kivitelezése, üzemeltetése, javítása egy nagyon összetett feladatkör, ráadásul kis hiba is nagyon nagy gondot okozhat, ellentétben sok más szerkezettel; ezért aztán szinte minden részproblémát korán és alaposan kidolgoztak a repülőgépesek. ( Tudjuk: ami felmegy, az le is jön; csak nem mindegy, hogyan…)

Bevezetés A szilárdságtan - tanár rendszerint igyekszik „gyengéden” bánni a tanulóval: lehetőleg nem sokkolni őt, hanem fokozatosan egyre nehezebb anyagrészekkel terhelni. Mondjuk: először az egyenes rúd húzása, majd tiszta hajlítása, stb. jön, mielőtt összetettebb esetek vizsgálatához fognának. Ennek során a tanár bevezeti azt a derékszögű koordináta rendszert ( a továbbiakban: k. r. ), amelyet a rúd „hossztengelye” és a „keresztmetszet súlyponti főtengelyei” alkotnak. Nos, mondókám lényege éppen a nevezett k. r. alkal mazásával kapcsolatos. Tanultuk, hogy a k. r.: segédeszköz a cél eléréséhez. Mégis, sok év tanulás / tanítás után az emberben felvetődhet a gondolat, hogy mintha bizonyos eszközök túlhangsúlyozottak lennének. Egyszerűbben: mintha az eszköz céllá vált volna. Konkrétan: a rúdkeresztmet szeti síkidom súlypontjának, valamint a főtengelyek irányának meghatározása elkerülhe tetlennek látszó feladat. A tan - és szakkönyvek között döntő többségben vannak az ilyen felfogásban íródott művek. A jelen dolgozat e felfogás megalapozottságát szeretné nagyító alá venni – és vetetni. Ugyanis nem kizárt, hogy létezik olyan alternatíva, amely – főként az egyetemi oktatás ban – legalább olyan hasznos lehet, mint a hagyományos, sőt…! Egy ilyen alternatíva még alkalmazástechnikai előnyöket is tartalmazhat, különösen a számítógép használata során.

2 Tárgyalás A jelzett probléma( kör ) úgy is felvethető, hogy megkérdezzük: vajon tényleg elkerül hetetlen részfeladat - e a rúdkeresztmetszet súlypontjához illesztett főtengelyrendszer előállítása? A választ úgy igyekszünk megadni, hogy az egyenes rudak szilárdságtanának részét képező bizonyos alapfeladatok megoldását tetszőlegesen – de célszerűen – felvett k. r. alkalmazásával végezzük el. A mondott alapfeladatok: ~ a normálfeszültségek vizsgálata; ~ a mozgások vizsgálata. A ) A σ - feszültségek képletének előállítása Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!

1. ábra Itt egy – nem ábrázolt terhelésű – gerendadarab esetében mutatjuk be az alkalmazott kiindulási k. r. - eket, a σ - csoporti ( N , Mx , My ) igénybevételi, valamint az ( u, v, w ) elmozdulás - komponensek, továbbá a ( φx , φy ) forgásvektor - komponensek pozitív értékeit. Fontos, hogy az ( N , Mx , My ) igénybevétel - komponenseket is a tetszőlegesen felvett ( K xK yK ) k. r.- re redukáltuk, és ezeket itt már ismertnek tekintjük – előállításuk statikai feladat. Nagyon lényeges, hogy a prizmatikus rúd keresztmetszete tetszőleges alakú; az 1. ábrán csak technikai okok miatt rajzoltunk téglalap keresztmetszet - alakot. A rúdnak nem kell tömör keresztmetszetűnek lennie; az itteniek egyik gyakori alkalmazási területe a

3 repülőgépekben szokásos, hosszirányú bordákkal és keresztirányú gyűrűkkel merevített vékony héjak hajlítása. Keressük a σ - feszültségek eloszlását leíró képleteket. Induljunk ki a sík keresztmetszetek hipotéziséből! A tetszőleges P( xP , yP ) keresztmetszeti pont z - tengely irányú elmozdulása – [ 7 ] – :

w P  x, y, z  w 0 z  x z yP  y z  x P .

(1)

Itt w0 : a K kezdőpont z - irányú elmozdulása. Most foglalkozzunk a fajlagos nyúlás képletének felírásával – 2. ábra!

2. ábra A szokásos szilárdságtani eljárás szerint a z - irányú fajlagos megnyúlás – [ 7 ] – :

z 

P *Q*  PQ P *Q*  1 ; PQ PQ

(2)

most térbeli Pitagorász - tétellel: 2 2  u   v   w   P *Q *  du   dv  dz  dw     dz    dz  1   dz     z   z    z 2

2

2

2

 u   v   w         1    dz ,  z   z   z  2

2

2

(3) továbbá

PQ  dz , így ( 2 ), ( 3 ) és ( 4 ) szerint:

(4)

4

 u 2  v 2  w 2  z        1   1 .  z   z   z 

(5)

Elvégezve a gyökjel alatt a négyzetre emelést:

 u   v  w  w   z        1  2    1   z   z  z  z  2

2

2

w  u   v   w   1 2       1 . z  z   z   z  2

2

2

(6)

Most a kis deformációk esetével foglalkozunk, amikor fennáll, hogy

 u 2  v 2  w 2    ,   ,    z   z   z    1 .  

(7)

Emlékezve az α << 1 esetén fennálló

1     1  n  n

(8)

összefüggésre, ( 6 ), ( 7 ) és ( 8 ) szerint:

2 2 2 1  w  u   v   w   z  1  2       1  2  z  z   z   z   2 2 2 w 1  u   v   w            . z 2  z   z   z  

(9)

Kis deformációk esetén – ( 7 ) – miatt ( 9 ) - ből:

z 

w . z

( 10 )

Megjegyezzük, hogy nem árt néha egy kicsit felfrissíteni az ismereteket; mint látható, a ( 10 ) képlet egyáltalán nem magától értetődő, az általános hajlítás 2. ábrán is feltüntetett elmozdulási viszonyai mellett. Most ( 1 ) és ( 10 ) szerint, a P indexet elhagyva:

 z  x, y, z  

  w 0 z    x  z  y   y z  x   w 0 ' z    x ' z  y   y ' z  x .   z ( 11 )

Rugalmas esetben, Hooke törvénye szerint:

5

  E  z .

( 12 )

Megjegyzendő, hogy itt E = állandó, az egész rúdra nézve. Majd ( 11 ) és ( 12 ) - vel:

  E   w 0 ' z   x 'z  y  y 'z  x  

( 13 )

 E  w 0 ' z   E  x 'z y  E  y 'z x ; ( 13 ) más alakban:

  A  B x  C y .

( 14 )

Összehasonlítva ( 13 ) és ( 14 ) - et:

A  E  w 0 ' z ,   B  E  y 'z ,  C  E  x 'z . 

( 15 )

Most határozzuk meg a σ - feszültségi sík A , B , C paramétereit! N, Mx , My ismeretében:

 N    dF ,   F  M x   y dF ,  F  M y   x dF .   F

( 16 )

Most ( 15 ) és ( 16 / 1 ) - gyel:

N    dF   A  B  x  C  y dF   A dF   B  x dF   C  y dF  F

F

F

F

F

 A   dF  B   x dF  C   y dF  A  F  B  Sy  C  Sx , F

F

F

tehát:

N  A  F  B  S y  C  Sx , mert A, B, C ( 15 ) szerint csak z - től függnek, x és y - tól azonban nem. ( 17 ) - ben bevezettük az alábbi jelöléseket:

( 17 )

6

 F   dF ,   F  Sy   x dF ,  F  Sx   y dF .  F

( 18 )

Ezek: a keresztmetszeti terület, valamint a keresztmetszeti síkidomnak az y és az x tengelyre vett statikai vagy elsőrendű nyomatékai. Majd ( 15 ) és ( 16 / 2 ) - vel:

M x   y dF   A  B  x  C  yy dF  F

F

 A   y dF  B   x  y dF  C   y 2 dF  A  Sx  B  I xy  C  I x , F

F

F

tehát:

M x  A  Sx  B  I xy  C  I x ,

( 19 )

ahol bevezettük az

I xy   x  y dF ,  F  I x   y 2 dF   F

( 20 )

jelöléseket; név szerint: a keresztmetszeti síkidom xy tengelypárra számított centrifugális vagy deviációs másodrendű nyomatéka, illetve az x tengelyre számított ekvatoriális vagy axiális másodrendű nyomatéka. Ezután ( 15 ) és ( 16 / 3 ) - mal:

M y   x dF   A  B  x  C  yx dF  F

F

 A   x dF  B   x 2 dF  C   x  y dF  A  Sy  B  I y  C  I xy , F

F

F

tehát:

M y  A  Sy  B  I y  C  I xy , ahol bevezettük még az

( 21 )

7

I y   x 2 dF

( 22 )

F

jelölést is; neve: a keresztmetszeti síkidom y tengelyre számított ekvatoriális vagy axiális másodrendű nyomatéka. Összefoglalva a ( 17 ), ( 19 ), ( 21 ) képleteket:

N  F  A  Sy  B  Sx  C ,   M x  Sx  A  I xy  B  I x  C ,   M y  Sy  A  I y  B  I xy  C .

(E)

Ez egy lineáris egyenletrendszer az ( A , B , C ) ismeretlenekre. A megoldás első lépéseként ( E / 1 ) - ből kifejezzük A - t:

A

N Sy S  B x C . F F F

( 23 )

Bevezetjük az

Sy F

Sx F

   F  x 0 ,   dF  F   y dF   F   y0    dF  F 

 x dF

( 24 )

jelöléseket; ezzel ( 23 ) így írható:

A

N  B  x 0  C  y0 . F

Most ( 25 ) - öt behelyettesítjük ( E / 2 ) - be:

N  M x  Sx    B  x 0  C  y 0   I xy  B  I x  C   F   N

Sx  B  Sx  x 0  C  Sx  y 0  I xy  B  I x  C ; F

( 25 )

8 tovább alakítva, ( 24 ) - gyel is:

Sx  B  I xy  Sx  x 0   C  I x  Sx  y 0   F  N  y 0  B  I xy  F  x 0  y 0   C  I x  F  y02  ;

Mx  N

tehát:

M x  N  y 0  B  I xy  x 0  y 0  F  C  I x  y 02  F .

( 26 )

Bevezetve az

I0xy  I xy  x 0  y 0  F ,   I0x  I x  y 02  F 

( 27 )

jelöléseket, ( 26 ) és ( 27 ) - tel:

M x  N  y0  I 0 xy  B  I 0 x  C .

( 28 )

Átrendezve:

M x  N  y0  I 0xy  B  I 0x  C .

( 29 )

Bevezetve az

M0x  M x  N  y0

( 30 )

jelölést, ( 29 ) és ( 30 ) - cal kapjuk, hogy

I0xy  B  I 0x  C  M 0x . Most ( E / 3 ) és ( 25 ) - tel:

 N Sy  S M y  Sy     B  x  C  I y  B  I xy  C   F F F  2 S S N Sy  Sy    B  x y  C  I y  B  I xy  C  F F F   Sy S2y  Sx  Sy     ;  N   B  I y    C  I xy   F F  F  

tovább alakítva, ( 24 ) - gyel is:

( 31 )

9

M y  N  x 0  B  I y  x 02  F  C  I xy  x 0  y 0  F ;

( 32 )

Bevezetve az

I0y  I y  x 02  F

( 33 )

jelölést, ( 27 / 1 ), ( 32 ) és ( 33 ) - mal:

M y  N  x 0  B  I 0y  C  I0 xy .

( 34 )

( 34 ) - et átrendezve:

M y  N  x 0   B  I0 y  C  I 0xy .

( 35 )

Bevezetve az

M0y  My  N  x0

( 36 )

jelölést, ( 35 ) és ( 36 ) - tal:

I 0y  B  I0xy  C  M 0y .

( 37 )

Összefoglalva ( 31 ) és ( 36 ) szerint:

I0xy  B  I0x  C  M 0x ,    I0 y  B  I0xy  C  M 0 y . 

( E1 )

A B és C paraméterek kiszámítása az ( E 1 ) egyenletrendszer megoldásával történik. Ehhez ( már ) a Cramer - szabályt alkalmazzuk:

B

M0x

I0 x

M 0 y

I 0xy

I 0 xy

I0 x

I0 y

I0 xy



M 0x  I 0 xy  M 0 y I 0 x I 0 xy 2  I 0x  I 0 y



M 0 y I 0x  M 0 x  I0xy I 0x  I 0 y  I 0xy 2

,

tehát:

B

M 0y  I 0x  M 0x  I0xy I 0x  I0 y  I0 xy 2

Hasonlóan:

.

( 38 )

10

C

I 0 xy

M0x

I0 y

M 0 y

I0 xy

I 0x

I0 y

I 0 xy



M 0 y  I 0xy  M 0 x  I 0 y I 0xy 2  I 0x  I 0 y



M 0x  I 0 y  M 0 y  I 0xy I 0x  I 0 y  I 0xy 2

,

tehát:

C

M 0x  I0y  M 0y  I 0xy I0x  I0y  I0xy 2

.

( 39 )

Most ( 14 ) és ( 23 ) szerint:

N Sy S   B  x  C  B x  C  y  F F F  S   N S    B   x  y   C   y  x  ;   F F  F



( 40 )

majd ( 24 ) és ( 40 ) - nel:



N  B x  x 0   C   y  y0  . F

( 41 )

Ezután ( 38 ), ( 39 ) és ( 41 ) - gyel:



M 0x  I 0 y  M 0y  I 0xy N M 0y  I 0x  M 0 x  I0 xy   x  x    y  y 0  . ( 42 )   0 F I 0x  I 0 y  I0 xy 2 I 0x  I 0 y  I0 xy 2

Kissé átalakítva:

M0y 

I0 y N  F

 M0x  1

I 0 xy I 0x  I 0 y

I 0xy 2 I0 x  I0 y

Még tovább alakítva:

x  x 0  

I M0 x  M 0 y  0xy I 0x I0 x  I0 y 1

I 0 xy 2 I0x  I0 y

 y  y0  .

11



N  F

1

1 I0xy 2 I0x  I 0y

    M   0 x  M  I0xy   y  y   M 0 y  M  I 0xy    x  x  . 0y 0 0x 0   I   I0x  I  I I  I 0x 0y 0 y 0x 0 y         ( 43 )

Újabb alakítással:

N   F

 M 0y   M   I0xy I0xy 1  0x    .   y  y0     x  x 0    x  x 0    y  y0  .   I0xy 2  I0x  I 0y I I 0y 0x       1 I 0x  I0y ( 44 )

Bevezetve – ld.: [ 1 ], [ 2 ]! – a

k 1

1 I0xy 2

( 45 )

I0x  I0y

képlettel a keresztmetszet aszimmetria - tényezőjét, továbbá az

 x  x  x 0    y  y0  ,  I0x   I0xy y  y  y0    x  x 0   I0y  I0xy

( 46 )

képletekkel a keresztmetszet P ( x , y ) pontjához tartozó általánosított koordinátákat, ( 44 ), ( 45 ) és ( 46 ) - tal:

M M 0 y  N 0x     k   y   x  . F I I 0y  0x  x 0  0 ,  akkor súlyponti koordináta - rendszerben, Specializáció: ha y 0  0 , x 0  0 ,   y  0 ,  , akkor súlyponti főtengelyrendszerben dolgozunk. ha 0  I 0xy  0 ,

( 47 )

12 Az utóbbi esetben a fenti képletekkel:

,     M 0x  M x , M 0 y  M y , k  1 , x  x , y  y I0x  I x , I0 y  I y ,

( spf )

így ( 47 ) és ( spf ) - fel a



My N Mx  y x F Ix Iy

( 48 )

„szokásos” képlet - alak áll elő. Most ( 25 ), ( 37 ) és ( 38 ) - cal az A paraméter:

A

M 0x  I0 y  M 0y  I0xy N M 0 y  I 0x  M 0x  I0xy   x   y0 . 0 F I 0x  I0y  I 0xy 2 I0x  I 0y  I 0xy 2

( 49 )

B ) A „mozgások” képleteinek előállítása ( 15 ) - ből:

dw 0 z  A w 0 'z    dz E d  y z  B  y ' z     dz E d x z  C  x 'z    dz E

 ,    ,    .  

( 50 )

Az elmozdulások és szögelfordulások vizsgálatához tekintsük a 3. ábrát is! Ez alapján:

 y  tg y 

du  z ; dz

( 51 )

innen:

d y  z  dz



d 2 u z  dz 2

 u'' z  ;

( 52 )

13

3. ábra most ( 50 / 2 ) és ( 52 ) szerint:

u'' z   

B ; E

( 53 )

majd ( 37 ), ( 45 ) és ( 53 ) - mal:

M 0y u''z  

1 M 0y  I 0x  M 0x  I 0xy 1 I0y    E I0x  I 0y  I 0xy 2 E M 0y



E  I 0y



1

I 0xy M 0x  I0y E  I 0x I0xy 2

 M 0x  1

I 0xy I0x  I0y

I0xy 2



I0x  I 0y

 M 0y I 0xy M 0x    ,  k      E  I I E  I  0y 0y 0x 

I0x  I0y

tehát:

 M 0y I0xy M 0x    .  u'' z  k      E  I0y I0y E  I0x 

( 54 )

Teljesen hasonlóan:

 x  tg x  innen:

dv  z dz

;

( 55 )

14

d x  z  dz



d 2 v z  dz

2

 v ''z ;

( 56 )

most ( 50 / 3 ) és ( 56 ) szerint:

v ''z 

C ; E

( 57 )

majd ( 38 ), ( 45 ) és ( 57 ) - tel:

v '' z  



1 M 0x  I 0y  M 0y  I0xy  E I 0x  I 0y  I 0xy 2 I M M 0x  0xy  0y E  I 0x I 0x E  I 0y 1

I 0xy 2

I M 0x  M 0y  0xy I0x  I0y 1 I0x    I0xy 2 E 1 I 0x  I0y

M I 0xy M 0 y   0x  ,   k     E  I 0x I 0x E  I 0y 

I 0x  I0y

tehát:

M I0xy M 0y   0x  . v ''z   k      E  I0x I0x E  I0y 

( 58 )

Ezután ( 45 ), ( 49 ), ( 50 / 1 ) - gyel:

w 0 ' z  

 M 0x  I0y  M 0y  I 0xy 1  N M 0y  I0x  M 0x  I0xy      x   y 0 0 E  F I0x  I0y  I0xy 2 I 0x  I0y  I0xy 2 

N   EF

 M M I0xy M 0x  I0xy M 0y  1 0y   0x        x0        y0  I0xy 2   E  I0y I0 y E  I0x   E  I 0x I 0x E  I0 y    1 I0x  I0 y

 M M I0xy M 0x  I0xy M 0y  N 0y   0x    ,   k   x 0         y 0   EF  E  I0x I0x E  I0y    E  I0y I 0y E  I0x   tehát:

15

 M M I0xy M 0x  I0xy M 0y  N 0y   0x    . w 0 'z    k   x 0         y0    ( 59 ) EF  E  I0x I0x E  I0y    E  I0y I0y E  I0x 

Specializáció: ( spf ), ( 54 ), ( 58 ), ( 59 ) - cel:

 u''z   ,   E  Iy  M x z   v '' z   , E  I x   N z   w 0 ' z   .   EF  M y z 

( 60 )

A szilárdságtani tanulmányok során leginkább a ( 48 ) és a ( 60 ) képlet - alakokkal találkoztunk. A többi hosszú és nehézkes képlet - alak szinte rejtve maradt előttünk. Az alábbiakban a bevezetőben vázolt helyzetet taglaljuk, az eddigiek fényében. A σ - feszültség ( 47 ) képletével kapcsolatban az alábbi érdekességek figyelhetők meg. ~ Levezetése során egyszer sem mondtuk, hogy „ …most végezzünk egy eltolási / for gatási transzformációt!” A ( 27 ) és ( 33 ) képletekkel a keresztmetszeti jellemzők, a ( 30 ) és ( 36 ) képletekkel pedig a hajlítónyomaték - komponensek súlyponti k. r. - re való transzformálása során találkozhatunk, a σ - képlet „szokásos” levezetése során. Azonban a ( 27 ) és ( 33 ), illetve a ( 30 ) és ( 36 ) képleteket nem kell feltétlenül transz formációs formuláknak tekintenünk: azok írás - könnyítő, egyszerűsítő jelölésekként is felfoghatók. Ha nem alkalmazzuk az egyszerűsítő / tömörítő jelöléseket, akkor ( 47 ) - re N   F

1 1





I xy x 0 y0 F

2

Ix y02F Iy x02F

  M  Ny  I  x  y F 0  y y  xy 0 0  x x   x 0 0  I  y 2 F  I y x 02 F  x 0 



 I xy x 0 y 0 F  M y  Nx 0     x  x   y y 0  0  I y x 02 F  I x y02 F  





      



( 61 ) alakú képletet kapunk, melynek bonyolultsága csak látszólagos, illetve viszonylagos. Ugyanis a ( 48 ) alakú, a súlyponti főtengelyrendszerben érvényes képlethez legalább ugyanilyen fáradságos út vezet. Köztudott, hogy ehhez párhuzamos eltolási és forgatási transzformációk szükségesek – 4. ábra. A 4. ábra szerint a tetszőleges alakú keresztmetszeti síkidom egy P pontjára:

16

x1P  x 2P  p ,  y1P  y 2P  q . 

( 62 )

4. ábra A rúdkeresztmetszet O súlypontja ( p , q ) koordinátáit az ( O2 , x2 , y2 ) k. r. - ben abból a feltételből határozzuk meg, hogy a súlyponti k. r. - ben a súlypont koordinátái: ( 0, 0 ). Mechanikai tanulmányainkból tudjuk, hogy a ( 24 ) képletek a síkidom súlypont - koor dinátáit adják meg. Így felírhatjuk – v. ö.: [ 7 ]! – , hogy  x1P dF  x1O  F  0 ,   dF  F   ( 63 ) y dF  1P  y1O  F  0 .    dF  F  Most ( 62 ) és ( 63 ) - mal:

 x

2P

 p dF 

F



dF

x

2P

dF  p  F

F

F

0 ,

innen – a P indexet elhagyva – :

F

p

x

2

F

F

dF .

( 64 )

17 Hasonlóképpen:

y

1P

dF 

F

 dF

y

2P

dF  q  F

F

F

0 ,

innen – a P indexet elhagyva – :

F

q

y

2

F

F

dF .

( 65 )

Most már ismerjük a síkidom súlypontjának helyét, így már tudunk súlyponti k. r. - ben dolgozni. Itt az első feladat: előállítani az ( O x y ) főtengely – k. r. - t. Tudjuk, hogy ennek meghatározási feltétele:

I xy   x  y dF  0 .

( 66 )

F

A ( 66 ) képlet használatához azonban egy forgatási transzformációt kell végezni – 5. ábra.

Eszerint:

x P  rP  cos  0  ,

( 67 )

yP  rP  sin  0  .

( 68 )

5. ábra

( 67 ) - et kifejtve:

x P  rP  cos  0   rP  cos  cos  0  sin  sin  0    rP  cos  cos  0  rP  sin  sin  0  x1P  cos  0  y1P  sin  0 ,

tehát – a P indexet elhagyva – :

x  x1  cos  0  y1  sin  0 .

( 69 )

18 Hasonlóan ( 68 ) - cal:

y P  rP  sin   0   rP  sin  cos  0  cos  sin  0  

 rP  sin  cos  0  rP  cos  sin  0  y1P  cos  0  x1P  sin  0 , tehát – a P indexet elhagyva – :

y  x1  sin  0  y1  cos  0 .

( 70 )

Most ( 66 ) - hoz:

x  y  x12  sin  0  cos  0  x1  y1  sin 2  0  x1  y1  cos 2  0  y12  sin  0  cos  0   sin  0  cos  0   y12  x12   x1  y1  cos 2  0  sin 2  0   1   sin 2  0   y12  x12   cos 2  0  x1  y1 . 2 ( 71 ) Integrálva:

1  I xy   x  y dF     sin 2  0  y12  x12   cos 2  0  x1  y1  dF  2  F F  1   sin 2  0    y12  x12  dF  cos 2  0   x1  y1 dF  2 F F   1  2 2    sin 2  0    y1 dF   x1 dF  cos 2  0   x1  y1 dF  2  F  F F 1   sin 2  0  I x1  I y1   cos 2  0  I x1y1 , 2 tehát:

1 I xy   sin 2  0  I x1  I y1   cos 2  0  I x1y1 . 2

( 72 )

Most ( 66 ) és ( 72 ) - vel:

1  sin 2  0  I x1  I y1   cos 2  0  I x1y1  0 , 2 innen a jól ismert

tg2  0 

2  I x1y1 I y1  I x1

képlet adódik.

( 73 )

19 Miután már rendelkezünk a súlyponti főtengely - rendszerrel, el tudjuk végezni az igénybevételi komponensek ide való redukálását is – 6. ábra.

6. ábra Az eltolási transzformációs összefüggések:

M x1  M x 2  N  q ,  M y1  M y2  N  p .

( 74 )

Az elforgatási transzformációs összefüggések – v. ö.: ( 69 ), ( 70 ) ! – :

M x  M x1  cos  0  M y1  sin  0 ;   M y  M x1  sin  0  M y1  cos  0 . 

( 75 )

~ Érdekes, hogy a szakirodalomban viszonylag ritkán lehet találkozni a ( 42 ) – ( 47 ) alakú képletekkel. Ezek közül is a gyakoribb az, amikor súlyponti, de nem főtengely rendszerbeli alakot használnak. További érdekesség, hogy a szilárdságtan tankönyvek nem foglalkoznak a „szokásos” – azaz forgatási transzformációt is alkalmazó, pl. ( 48 ) képlet – valamint a „kevésbé szokásos” − pl. ( 42 ) alakú − összefüggések azonosságának igazolásával. Ez, persze, okoskodással elkerülhető; mégis: van annak valami beláttató, tudást megszilárdító ereje, ha összefüggéseink különböző utakon ugyanazon eredményre vezetnek. Végezzük el ezt a „hiánypótlást”! Induljunk ki a súlyponti főtengelyrendszerben felírható



My N Mx  y x F Ix Iy

( 48 )

20 egyszerű szerkezetű, „szokásos” alakú képletből! Azt várjuk, hogy a ( 48 ), ( 69 ), ( 70 ), ( 75 ) képletekkel, azonos átalakítások alkalmazásával előáll egy ( 42 ) - höz hasonló képlet - alak. Azonnal látható, hogy ( 48 ) első tagjával nem kell foglalkozni. Vizsgáljuk tehát meg a

  N Mx My

( 76 )

összeg utolsó két tagját, vagyis a

hajl  M x M y

( 77 )

összeget! Az első tag:

Mx y . Ix

M x 

( 78 )

A nevező:

I x   y 2 dF

( 79 )

F

( 79 ) - et ( 72 ) - höz hasonló módon számítjuk ki. Ehhez ( 70 ) - nel:

y 2  x1  sin  0  y1  cos  0   2

( 80 )

 x12  sin 2  0  2  x1  y1  sin  0  cos  0  y12  cos 2  0 ; most ( 79 ) és ( 80 ) - nal:

I x   y 2 dF   x12  sin 2  0  2  x1  y1  sin  0  cos  0  y12  cos 2  0  dF  F

F

 sin 2  0   x12 dF  2  sin  0  cos  0   x1  y1 dF  cos 2  0   y12 dF  F

F

F

 sin 2  0  I y1  2  sin  0  cos  0  I x1y1  cos 2  0  I x1 , tehát:

I x  sin 2  0  I y1  2  sin  0  cos  0  I x1y1  cos 2  0  I x1 .

( 81 )

Most ( 75 / 1 ), ( 78 ) és ( 81 ) - gyel:

M x 

M x1  cos  0  M y1  sin  0 sin 2  0  I y1  2  sin  0  cos  0  I x1y1  cos 2  0  I x1

 x1  sin  0  y1  cos  0  . ( 82 / 1 )

21 A részletszámításokhoz:

M x 

S1 . N1

( 82 / 1 )

(77 ) második tagja:

M y  

My Iy

x .

( 83 )

A nevező:

I y   x 2 dF ;

( 84 )

F

ehhez ( 69 ) - cel:

x 2  x1  cos  0  y1  sin  0   2

( 85 )

 x12  cos2  0  2  x1  y1  sin  0  cos  0  y12  sin 2  0 ; most ( 84 ) és ( 85 ) - tel:

I y   x 2 dF    x12  cos 2  0  2  x1  y1  sin  0  cos  0  y12  sin 2  0  dF  F

F

 cos 2  0   x12 dF  2  sin  0  cos  0   x1  y1 dF  sin 2  0   y12 dF  F

F

F

 cos 2  0  I y1  2  sin  0  cos  0  I x1y1  sin 2  0  I x1 , tehát:

I y  cos2 0  Iy1  2 sin 0  cos 0  Ix1y1  sin2 0  Ix1 .

( 86 )

Ezután ( 69 ), ( 75 / 2 ), ( 83 ) és ( 86 ) - tal:

M y  

M x1  sin  0  M y1  cos  0 cos 2  0  I y1  2  sin  0  cos  0  I x1y1  sin 2  0  I x1

 x1  cos  0  y1  sin  0  . ( 87 )

A részletszámításokhoz:

M y 

S2 . N2

Most ( 82 ) és ( 82 / 1 ) - gyel:

( 87 / 1 )

22

S1  M x1  cos  0  M y1  sin  0  x1  sin  0  y1  cos  0    M x1  x1  sin  0  cos  0  M y1  x1  sin 2  0  M x1  y1  cos 2  0  M y1  y1  sin  0  cos  0    sin 2  0 M y1  x1  sin  0  cos  0  M x1  x1  M y1  y1   cos 2  0  M x1  y1  , tehát:

S1   sin 2  0  M y1  x1   sin  0  cos  0  M x1  x1  M y1  y1   cos 2  0  M x1  y1  . ( 88 )

Majd ( 82 ), ( 82 / 1 ) és ( 88 ) - cal: 2 2 S1  sin  0  M y1  x1  sin  0  cos  0  M x1  x1  M y1  y1   cos  0  M x1  y1  M x   . N1 sin 2  0  I y1  2  sin  0  cos  0  Ix1y1  cos 2  0  I x1 ( 89 ) Hasonlóan eljárva ( 87 ) és ( 87 / 1 ) - gyel: S2   M x1  sin  0  M y1  cos  0  x1  cos  0  y1  sin  0  

 M x1  x1  sin  0  cos  0  M y1  x1  cos 2  0  M x1  y1  sin 2  0  M y1  y1  sin  0  cos  0   sin 2  0  M x1  y1   sin  0  cos  0  M x1  x1  M y1  y1  cos 2  0  M y1  x1  , tehát:

S2  sin 2  0  M x1  y1   sin  0  cos  0  M x1  x1  M y1  y1   cos 2  0  M y1  x1  . ( 90 )

Majd ( 87 ), ( 87 / 1 ) és ( 90 ) - nel: sin 2  0  M x1  y1   sin  0  cos  0  M x1  x1  M y1  y1   cos 2  0  M y1  x1  S2 My   . N2 cos 2  0  I y1  2  sin  0  cos  0  I x1y1  sin 2  0  I x1 ( 91 ) Ezután ( 77 ), ( 82 / 1 ) és ( 87 / 1 ) - gyel:

hajl  M x  M y 

S1 S S  N  S2  N1  2  1 2 . N1 N 2 N1  N 2

( 92 )

A ( 92 ) képlet kiértékeléséhez trigonometriai azonosságokat alkalmazunk. Az ismert

   2 2 cos  0  sin  0  cos 2  0  cos 2  0  sin 2  0  1 ,

azonosságokból összeadással és kivonással:

( 93 )

23

1  cos 2  0 2 1 cos 2  0 sin 2  0  2 cos 2  0 

 ,    .  

( 94 )

Azután a

sin 2  0  2  sin  0  cos  0

( 95 )

azonosságból:

sin  0  cos  0 

sin 2  0 . 2

( 96 )

Most kifejezzük az S1 , S2 , N1 , N2 mennyiségeket a kétszeres szög szögfüggvényeivel. Először ( 88 ), ( 94 ) és ( 96 ) - tal: S1   sin 2  0  M y1  x1   sin  0  cos  0   M x1  x1  M y1  y1   cos 2  0  M x1  y1  

1 cos 2  0 sin 2  0 1  cos 2  0  M y1  x1    M x1  x1  M y1  y1     M x1  y1   2 2 2 M x1  y1  M y1  x1 cos 2  0 sin 2  0    M y1  x1  M x1  y1    M x1  x1  M y1  y1  , 2 2 2 tehát: 

M x1  y1  M y1  x1

cos 2  0 sin 2  0  M y1  x1  M x1  y1   M x1  x1  M y1  y1  . 2 2 2 ( 97 ) Másodszor ( 90 ), ( 94 ) és ( 96 ) - tal: S2  sin 2  0  M x1  y1   sin  0  cos  0  M x1  x1  M y1  y1  cos 2  0  M y1  x1   S1 



1 cos 2  0 sin 2  0 1  cos 2  0  M x1  y1    M x1  x1  M y1  y1    M y1  x1   2 2 2 M x1  y1  M y1  x1 cos 2  0 sin 2  0    M x1  y1  M y1  x1    M x1  x1  M y1  y1  , 2 2 2 tehát: 

S2 

M x1  y1  M y1  x1 2



cos 2  0 sin 2  0  M x1  y1  M y1  x1    M x1  x1  M y1  y1  . 2 2 ( 98 )

Harmadszor ( 78 ), ( 81 ), ( 94 ) és ( 9 6 ) - tal:

24

N1  I x  sin 2  0  I y1  2  sin  0  cos  0  I x1y1  cos 2  0  I x1  1 cos 2  0 1  cos 2  0  I y1  sin 2  0  I x1y1   I x1  2 2 I x  I y1 cos 2  0  1   I x1  I y1   sin 2  0  I x1y1  2 2 I x  I y1   cos 2  0  1  sin 2  0  I x1y1   I x1  I y1  ,   2 2 

tehát:

N1 

I x1  I y1 2

  cos 2  0  sin 2  0  I x1y1   I x1  I y1  .   2

( 99 )

Negyedszer ( 83 ), ( 87 / 1 ), ( 94 ) és ( 96 ) - tal:

N 2  I y  cos 2  0  I y1  2  sin  0  cos  0  I x1y1  sin 2  0  I x1  1  cos 2  0 1 cos 2  0  I y1  sin 2  0  I x1y1   I x1  2 2 I x  I y1 cos 2  0  1   I x1  I y1   sin 2  0  I x1y1 , 2 2 

tehát:

N2 

Ix1  I y1 2

  cos 2  0  sin 2  0  I x1y1  I x1  I y1  .   2

( 100 )

Most írjuk egymás mellé N1 és N2 képleteit:

   cos 2  0 N1  I x   sin 2  0  I x1y1   I x1  I y1   A * B* ,     2 2   ( 101 ) I x1  I y1   cos 2  0 N2  Iy   sin 2  0  I x1y1   I x1  I y1   A * B* .    2 2  I x1  I y1

( 101 ) - ről leolvasható, hogy

A* 

I x1  I y1 2

,

B*  sin 2  0  I x1y1 

cos 2  0 I x1  I y1  2

B* - ot átalakítjuk; ( 73 ) - ból:

     . 

( 102 )

25

tg2  0 

2  I x1y1 I y1  I x1

 I x1y1 

I y1  I x1 2

 tg2  0 ;

( 103 )

most ( 102 / 2 ) és ( 103 ) - mal: I y  I x1 cos 2  0 B*  sin 2  0  1  tg2  0   I x1  I y1   2 2  1  sin 2 2  0    I y1  I x1   cos 2  0 I x1  I y1    2  cos 2  0  1   sin 2 2  0  I y1  I x1   cos 2 2  0  I y1  I x1    2  cos 2  0 

I 

y1

 I x1  sin 2 2  0  cos 2 2  0  2  cos 2  0



I y1  I x1 2  cos 2  0

,

tehát:

B* 

I y1  I x1 2  cos 2  0

.

( 104 )

Képezzük a ( 92 ) - höz szükséges N1  N 2 szorzatot! ( 101 ) szerint:

N1  N 2   A * B* A * B*  A *  B* ; 2

2

( 105 )

majd ( 102 / 1 ), ( 104 ) és ( 105 ) - tel:

 I x  I y   I y  I x   I x  I y   I y  I x  1 1 1 1 1   1    1    1   N1  N 2   1  2        2 2  cos 2  2 2 cos 2         0 0 2

2

2

2

 I x  I y   I y  I x  sin 2 2  0  cos 2 2  0 1 1    1     1   2   2  cos 2 2  0 2

2

 I x  I y   I y  I x  1 1    1   1  tg 2 2  0  ,   1   2   2  2

2

tehát:

 I x  I y 2  I y  I x 2 1 1    1  1  tg 2 2  0  . N1  N 2   1   2   2  Most ( 73 ) és ( 106 ) - tal:

( 106 )

26

 I x  I y   I y  I x  1 1    1  N1  N 2   1   2   2  2

2

2    2  I  x1 y1       1     I y1  I x1    

 I x1  I y1   I y1  I x1   I y1  I x1          2   2   2  2

2

2

 2  I x y  1 1       I y1  I x1  2

 I x1  I y1 I y1  I x1   I x1  I y1 I y1  I x1  2      I x1y1        2 2   2 2   I x1  I y1   I x1y1  , 2

tehát:

N1  N 2  I x  I y  I x1  I y1   I x1y1  . 2

( 107 )

A ( 107 ) összefüggést ( 66 ) miatt még így is felírhatjuk:

I x  I y  I xy  I x1  I y1  I x1y1  . 2

( 108 )

A ( 108 ) képlet a másodrendű nyomatékok egyik invariáns mennyisége. A másik invariáns ( 101 ) - ből adódóan:

I x  I y  I x1  I y1 .

( 109 )

A ( 107 ) és ( 109 ) egyenletek egy az ( Ix , Iy ) fő - másodrendű nyomatékok meghatáro zására szolgáló egyenletrendszernek is tekinthető – [ 8 ] – :

I x  I y  I x1  I y1  I x1y1 

2

I x  I y  I x1  I y1 .

 ,   

( 110 )

( 110 / 2 ) - ből:

I y  I x1  I y1   I x ;

( 111 )

ezt betéve ( 110 / 1 ) - be: 2 I x  I x1  I y1  I x   I x1  I y1  I x1y1  ;  

rendezve:

I x   I x1  I y1   I 2x  I x1  I y1   I x1y1  ; 2

innen:

27 2  I  I x1  I y1  I x   I x1  I y1  I x1y1    0   2 x

( 112 )

másodfokú egyenlet adódik. A gyökképlettel:

I x 1,2 

I x1  I y1 

I

2 2   I  4  I  I  I      x1 y1 x y x1 y1  1 1  . 2

( 113 )

A gyök alatti kifejezést tovább alakítva:

I

2 2 2 2 2   I  4  I  I  I  I  2  I  I  I  4  I  I  4  I            x1 y1  x1 y1 x1y1 x1 x1 y1 y1 x1 y1 x1y1  

 I x1   2  I x1  I y1  I y1   4 I x1y1   I x1  I y1   4  I x1y1  , 2

2

2

2

2

tehát:

I

2 2 2 2   I  4  I  I  I  I  I  4  I ;         x1 y1  x1 y1 x1y1 x1 y1 x1y1  

( 114 )

most ( 113 ) és ( 114 ) - gyel:

I x 1,2 

I x1  I y1 

I

x1  I y1   4   I x1y1  2

2

2



I x1  I y1 2

 I x  I y 2 2 1    I x1y1  ,   1  2 

tehát:

I x 1,2 

I x1  I y1 2

 I x1  I y1  2   I x1y1  .    2  2

( 115 )

Most ( 111 ) és ( 115 ) - tel:

2    I x  I y  2  I x1  I y1 Iy 1,2  I x1  I y1 I x 1,2  Ix1  I y1   2   1 2 1   Ix1y1       



I x1  I y1 2

 I x  I y1  2   I x1y1  ,   1  2  2

tehát:

I y 1,2 

I x1  I y1 2

 I x  I y  2 1 1       I x1y1  .  2  2

( 116 )

Látjuk, hogy ( 115 ) és ( 116 ) ugyanazon szélső értékeket adják a fő - másodrendű

28 nyomatékokra, amit így jelölhetünk:

I max  I1  I min  I 2 

I x1  I y1 2 I x1  I y1 2

 I x  I y1  2   I x1y1    1  2  2

 I x1  I y1  2   I x1y1     2  2

  ,     .   

( 117 )

Itt még eldöntendő, hogy a ( 73 ) - ból adódó általános

2  0  arctg

2  I x1y1 I y1  I x1

 n  ,

majd az ebből kapott

2  I x1y1 1   0   arctg  n 2 I y1  I x1 2

( 118 )

összefüggésből az n = 0, 1 választással adódó

    2  I x1y1 1   0,2   arctg   2 I y1  I x1 2  2  I x1y1 1  0,1   arctg , 2 I y1  I x1

( 119 )

szögek melyike tartozik I1, illetve I2 - höz. Ezt pl. úgy is intézhetjük, hogy a ( 101 ), ( 102 / 1 ) és ( 104 ) képletek szerint felírjuk az

I y1  I x1   2 2  cos 2  0   I x1  I y1 I y1  I x1   Iy   2 2  cos 2  0  Ix 

I x1  I y1



( 120 )

képleteket, majd a ( 119 ) szerinti szögekhez megkeressük a nekik megfelelő ( 120 ) szerinti értéket. A nagyobbik lesz I1 , a kisebbik I2 , ( 117 ) - nek megfelelően. Egy másik lehetőség az alábbiak szerint áll elő – [ 9 ]. Felhasználjuk, hogy

29

sin  0 sin 2  0 2  sin  0  cos  0 cos  0 2  tg 0 tg2  0     , 2 2 2 sin  0 1 tg 2 0 cos 2  0 cos  0  sin  0 1 cos 2  0 tehát: 2

tg2  0 

2  tg 0 . 1 tg 2 0

( 121 )

Most ( 73 ) és ( 121 ) szerint:

tg2  0 

2  I x1y1 2  tg 0   2 a , 1 tg 2 0 I y1  I x1

( 122 )

ahol átmenetileg bevezettük az

a

I x1y1 ( 122 / 1 )

I y1  I x1

rövidítő jelölést. Most ( 122 ) - ből:

2  tg 0  2 a , 1 tg 2 0 tg 0  a  1 tg 2 0   a  a  tg 2 0 , a  tg 2 0  tg 0  a  0 . Az utolsó egyenletet a gyökképlettel megoldva:

tg 0 1,2 

1  1 4  a  a  2a

1  1  4  a 2 1  1  2  a    , 2 a 2 a 2

tehát:

1  1  2  a 

2

tg 0 1,2 

2 a

.

( 123 )

Most ( 122 ) és ( 123 ) - mal:

1  1  tg 2 2  0 . tg 0 1,2  tg2  0 De ( 124 ) szerint írhatjuk, hogy

( 124 )

30

  ,  tg 0 1   tg2  0  2 1  1  tg 2  0  . tg 0 2   tg2  0  1 1  tg 2 2  0

( 125 )

Most szorozzuk össze ezeket, majd a ( 105 ) - nél is alkalmazott azonossággal:

1 1  tg 2 2  0 1  1  tg 2 2  0    tg 0 1  tg 0 2  tg2  0 tg2  0 

11  tg 2 2  0  tg 2 2  0

 1 ,

tehát:

 tg 0 1  tg 0 2  1 .

( 126 )

A ( 126 ) képlet a két főtengely egyenesének merőlegességét fejezi ki. Majd ( 125 ) és ( 126 ) - tal:

tg 0 1  

tg2  0 1 1   ,  tg 0 2 1  1  tg 2 2  0 1 1  tg 2 2  0 tg2  0

tg 0 2  

tg2  0 1 1   , 2 2 tg 0 1 1 1  tg 2  0 1  1  tg 2  0 tg2  0

tehát:

 ,  1 1  tg 2 2  0    tg2  0 . tg 0 2  1  1  tg 2 2  0 

tg 0 1 

tg2  0

( 127 )

( 127 ) tömörebben – v.ö. ( 124 )! – :

tg 0 1,2 

tg2  0 1  1  tg 2  0 2

Majd ( 73 ) és ( 128 ) szerint:

.

( 128 )

31

tg 0 1,2 





1  1  tg 2  0 2



1 1 1  1 2 2  I x1y1  2  I x y   1 1  I y1  I x1  I  I   y1 x1 

1 1 1  1 2 tg2  0 tg 2  0

I y1  I x1



1

 I y1  I x1 2  I x1y1

I x1y1 2



tg2  0

 I y1  I x1  2   I x1y1     2  2

I x1y1

 I  I x  1    y1  1  2  I x1y1  2



I x1y1

 I y1 

   I x1  I y1 2 2  I x1  I y1   I x1y1   I y1      2   2   

I x1  I y1



2

 I x1  I y1  2    I x1y1     2 

I x1y1 I y1  I max

2



,

min

tehát – ld.:[ 10 ]! – :

 tg 0 1,2 

I x1y1 I y1  I max

.

( 129 )

min

Szétválasztva:

 tg 0 1   tg 0 2 

I x1y1 I y1  I max I x1y1 I y1  I min

 ,     . 

( 130 )

Természetesen ( 129 ) csak akkor adja az I1 = Imax - nak megfelelő α0,1 , valamint az I2 = Imin - nek megfelelő α0,2 értékeket, ha jól választottunk ( 125 ) - nél, a sorrendet illetően. Ezt azzal indokolhatjuk, hogy ( 119 ) szerint is

 0,1   0,2   tg 0 1   tg 0 2 , egyezésben ( 125 ) - tel. Most térjünk vissza a ( 92 ) képlethez szükséges további számításokhoz.!

( 131 )

32 Az N1  N 2 szorzatot ( 107 ) szerint már ismerjük, hátra van még az S1  N 2  S2  N1 mennyiség meghatározása. Képezzük először az S1  N 2 szorzatot! ( 101 ), ( 102 ) ,( 104 ), illetve ( 120 ) szerint:

I x1  I y1

N 2  A * B* 



2

I y1  I x1

;

2  cos 2  0

( 132 )

most ( 97 ) és ( 132 ) - vel:  M x  y1  M y1  x1 cos 2  0   I x  I y1 I y1  I x1  sin 2  0 S1  N 2   1    M y1  x1  M x1  y1    M x1  x1  M y1  y1    1  ;    2 2 2 2 2  cos 2  0    

( 133 ) Ezután képezzük az S2  N1 szorzatot! Ehhez:

N1  A * B* 

I x1  I y1 2



I y1  I x1 2  cos 2  0

;

( 134 )

majd ( 98 ) és ( 134 ) - gyel:  M x  y1  M y1  x1 cos 2  0   Ix  I y1 I y1  I x1  sin 2  0  . S2  N1   1    M x1  y1  M y1  x1     M x1  x1  M y1  y1    1      2 2 2 2 2  cos 2  0   

( 135 ) Most ( 133 ) és ( 135 ) szerint: S1  N 2  S2  N1  I y  Ix1   1    M x1  y1  M y1  x1  cos 2  0  M y1  x1  M x1  y1   sin 2  0   M x1  x1  M y1  y1   Ix1  I y1  1    4  cos 2  0    I y  I x1  1  ;    M x1  y1  M y1  x1  cos 2  0   M x1  y1  M y1  x1   sin 2  0  M x1  x1  M y1  y1   I x1  I y1  1   4  cos 2  0  

( 136 ) részletezve:

S1  N 2  S2  N1  

I x1  I y1    2   M x1  y1  M y1  x1     4

I y1  I x1

  2  cos 2  0   M x1  y1  M y1  x1   2  sin 2  0  M x1  x1  M y1  y1  ;  4  cos 2  0 

tovább alakítva: S1  N 2  S2  N1  

I x1  I y1 2

 M x1  y1  M y1  x1  

most ( 73 ) és ( 137 ) - tel:

I y1  I x1    M x1  y1  M y1  x1  tg2  0  M x1  x1  M y1  y1  ;   2 ( 137 )

33 S1  N 2  S2  N1   I y1  I x1  2  I x1y1   M x1  y1  M y1  x1   M x1  x1  M y1  y1   2 2 I y1  I x1    Ix  I y  I  Iy Iy  Ix  I y  I x1  1 1 1   M y  x1   x1   I x y  M x  x1  M y  y1    M x1  y1   1  1  1 1 1 1 1 1  2    2 2 2     

I x1  I y1

 M x1  y1  M y1  x1  

 M x1  y1  I y1  M y1  x1  I x1  I x1y1 M x1  x1  M y1  y1    y1 M x1  I y1  M y1  I x1y1  x1  M y1  I x1  M x1  I x1y1  ,

tehát:

S1  N 2  S2  N1  M x1  I y1  M y1  I x1y1  y1  M y1  I x1  M x1  I x1y1  x1 .

( 138 )

Ezután ( 92 ), ( 107 ) és ( 138 ) szerint:

hajl 

M

x1

 I y1  M y1  I x1y1  y1  M y1  I x1  M x1  I x1y1  x1

I x1  I y1  I x1y1 

2

.

( 139 )

Majd ( 76 ), ( 77 ) és ( 139 ) szerint:



N  M x1  I y1  M y1  I x1y1  y1   M y1  I x1  M x1  I x1y1  x1  . 2 F I  I I  x1

y1

( 140 )

x1y1

( 140 ) - t átalakítva és ( 62 ) - vel is:



M x1  I y1  M y1  I x1y1 N M y1  I x1  M x1  I x1y1   x  p    y 2  q .   2 2 2 F I  I  I  I  I  I  x1

y1

x1 y1

x1

y1

( 141 )

x1y1

A ( 141 ) képletet hasonlítsuk össze ( 42 ) - vel!



M 0x  I 0 y  M 0y  I 0xy N M 0y  I 0x  M 0 x  I0 xy   x  x    y  y 0  . ( 42 )   0 F I 0x  I 0 y  I0 xy 2 I 0x  I 0 y  I0 xy 2

Megállapítható, hogy a különböző jelölésektől eltekintve megegyeznek. Ezzel a „hiánypótlást” elvégeztük. ☺

34 Megjegyzések: M1. A ( 61 ) képlet utáni levezetések során már más jelöléseket alkalmaztunk, mint előtte. A cél az volt, hogy a ( 48 ) végképletből kiindulva, annak jelöléseit használva elérjük a ( 42 ) - höz hasonló ( 141 ) képletalakot. M2. A ( 42 ) képlet levezetését egy teljesen tetszőleges ( K xK yK ) keresztmetszeti k. r. ből indítottuk és jutottunk el a ( 42 ) képletig, amely a keresztmetszet súlyponti, de nem főtengelyrendszerbeli k. r. - ében érvényes. Utóbbi tényt nem nagyon hangsúlyoztuk, ezzel is jelezve, hogy talán ez nem is annyira lényeges információ. A ( 141 ) képlet levezetését egy a súlyponti főtengelyek ( O x y ) k. r. - ében értelmezett ( 48 ) képletből indítottuk, majd transzformációk és azonos átalakítások után jutottunk ( 141 ) - re. M3. Szóvá tettük, hogy a tan - és szakkönyvekben nem találkoztunk még az ittenihez hasonló számítással. Ez részben érthető is, már ha csak az irdatlan nagy terjedelmet is tekintjük. Továbbá vannak, akik úgy gondolják, hogy a levezetéseknek rövidnek és tö mörnek kell lenniök; ez jelentheti a szépség egyes alkotóelemeit, feltételeit számukra. Szerintünk azonban a helyzet sokkal prózaibb: amíg a tanuló nem látja át az elméletet, addig alig van rá esély, hogy azt alkotó módon tudja – majd valamikor – alkalmazni. Nyilván a bonyolultabb elméletek sem lesznek számára vonzóak, hiszen még az egysze rűbb sem megy igazán. Az elméletek átlátása az összefüggésrendszerek oda - vissza való megértését is jelenti. A jelen „borzadály” éppen ebben segíthet az érdeklődőnek. M4. A bonyolultabb elméletek is készen vannak már, és alkalmazzák is azokat. Az érdeklődő olvasó megtalálhatja pl. [ 2 ] - ben is. M5. Az egész eddigi munka arról szólt, hogy megvizsgáljuk: feltétlen ragaszkodnunk kell - e a súlyponti főtengelyrendszer alkalmazásához, szilárdságtani számításainkban. Ezt, persze, mindenki ízlése, igényei szerint dönti el. Némiképpen más a helyzet, ha a döntést egy tanár vagy egy szakkönyv szerzője hozza. Megeshet, hogy soha eszébe sem fog jutni a tanulónak vagy a szakkönyv olvasójának, hogy esetleg más út is járható. M6. A ( 47 ), ( 54 ), ( 58 ) képletek levezetése során a bennük szereplő ( N , Mx , My ) igénybevételi komponenseket ismertnek tételeztük fel. Ez a feltétel egyáltalán nem magától értetődő. Ez különösen akkor okozhat gondot, ha a belső erők alakulása a szerkezet alakváltozásához kötött. Ilyen lehet a helyzet statikailag határozatlan megtá masztás és / vagy kis merevségek esetén is. Ez a problémakör még vizsgálandó. M7. A ( 107 ) képlet bal oldala feltétlenül pozitív, így jobb oldala is az. Eszerint σh nevezője sosem válhat nullává.

35 Befejezés Ez most elmarad. Úgy tervezzük, hogy az ittenieknek lesz még folytatása.

Irodalom: [ 1 ] – A. Sz. Avdonyin ~ V. I. Figurovszkij: Raszcsot na procsnoszty letatyelnüh apparatov Moszkva, Masinosztrojenyije, 1985. [ 2 ] – Red. I. F. Obrazcov: Sztroityelnaja mehanyika letatyelnüh apparatov Moszkva, Masinosztrojenyije, 1986. [ 3 ] – Eberhard Schapitz: Festigkeitslehre für den Leichtbau 2. Auflage, Düsseldorf, VDI - Verlag, 1963. [ 4 ] – David J. Peery: Aircraft Structures New York ~ Toronto ~ London, McGraw - Hill Book Company, 1950. [ 5 ] – Robert M. Rivello: Theory and Analysis of Flight Structures New York ~ St. Louis ~ San Francisco ~ Toronto ~ London ~ Sydney, McGraw - Hill Book Company, 1969. [ 6 ] – Red. E. F. Bruhn: Analysis and Design of Flight Vehicle Structures Carmel, Jacobs Publishing Inc., 1973. [ 7 ] – I. A Birger ~ R. R. Mavljutov: Szoprotyivlenyije matyerialov Moszkva, Nauka, 1986. [ 8 ] – István Szabó: Einführung in die Technische Mechanik 4. Auflage, Berlin ~ Göttingen ~ Heidelberg, Springer - Verlag, 1959. [ 9 ] – Sigurd Falk: Műszaki mechanika, III. kötet: A rugalmas test mechanikája Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1972. [ 10 ] – Red. M. M. Filonenko - Boroditsch: Festigkeitslehre, Band I. Berlin, Verlag Technik, 1952.

Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2011. július 8.