Érdekességek az elemi matematika köréből Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem
Kutatók éjszakája Szeged, SZTE
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
1 / 17
Társasház Egy társasházban 123 ember lakik. Életkoruk összege években mérve 3813.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
2 / 17
Társasház Egy társasházban 123 ember lakik. Életkoruk összege években mérve 3813.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
2 / 17
Társasház Egy társasházban 123 ember lakik. Életkoruk összege években mérve 3813.
Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható a házból 100 lakos úgy, hogy életkoraik összege nem kevesebb, mint 3100.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
2 / 17
Megoldás Életkor szerint sorbarendezzük a lakosokat (pl.: Bőhm bácsi, Taki bácsi, Lenke néni, Magenheim doktor,...).
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
3 / 17
Megoldás Életkor szerint sorbarendezzük a lakosokat (pl.: Bőhm bácsi, Taki bácsi, Lenke néni, Magenheim doktor,...). Válasszuk ki a 100 legidősebbet. Közülük a legfiatalabb sem fiatalabb, mint a fönnmaradó 23 lakos bármelyike.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
3 / 17
Megoldás Életkor szerint sorbarendezzük a lakosokat (pl.: Bőhm bácsi, Taki bácsi, Lenke néni, Magenheim doktor,...). Válasszuk ki a 100 legidősebbet. Közülük a legfiatalabb sem fiatalabb, mint a fönnmaradó 23 lakos bármelyike.
Állítás A 100 legidősebb lakos életkorának összege nem lehet kevesebb 3100-nál.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
3 / 17
Megoldás Életkor szerint sorbarendezzük a lakosokat (pl.: Bőhm bácsi, Taki bácsi, Lenke néni, Magenheim doktor,...). Válasszuk ki a 100 legidősebbet. Közülük a legfiatalabb sem fiatalabb, mint a fönnmaradó 23 lakos bármelyike.
Állítás A 100 legidősebb lakos életkorának összege nem lehet kevesebb 3100-nál.
Bizonyítás Indirekt tegyük fel, hogy az életkoruk összege kevesebb, mint 3100. Ez azt jelenti, hogy közülük a legfiatalabb életkora kevesebb, mint 31. Ekkor a kimaradó 23 lakos életkora is kevesebb 31-nél (külön-külön), vagyis az életkoraik összege kevesebb, mint 23 · 31 = 713. Ezekből kapjuk, hogy a 123 lakos életkorának összege kevesebb, mint 713 + 3100 = 3813, ami ellentmondásban van a feladat föltételével. L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
3 / 17
Haj-jaj
Anatómia: az embereknek kevesebb, mint 200000 hajszála van.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
4 / 17
Haj-jaj
Anatómia: az embereknek kevesebb, mint 200000 hajszála van.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
4 / 17
Haj-jaj
Anatómia: az embereknek kevesebb, mint 200000 hajszála van.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
4 / 17
Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
5 / 17
Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. Csongrádban kb. 423751 (2007.01.01.) ember él.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
5 / 17
Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. Csongrádban kb. 423751 (2007.01.01.) ember él. Rendezzük hajszálaik száma szerint csoportokba őket:
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
5 / 17
Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. Csongrádban kb. 423751 (2007.01.01.) ember él. Rendezzük hajszálaik száma szerint csoportokba őket: 200000 csoport.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
5 / 17
Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. Csongrádban kb. 423751 (2007.01.01.) ember él. Rendezzük hajszálaik száma szerint csoportokba őket: 200000 csoport. Biztosan van legalább egy olyan csoport, ahová legalább két ember kerül.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
5 / 17
Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. Csongrádban kb. 423751 (2007.01.01.) ember él. Rendezzük hajszálaik száma szerint csoportokba őket: 200000 csoport. Biztosan van legalább egy olyan csoport, ahová legalább két ember kerül.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
5 / 17
Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. Csongrádban kb. 423751 (2007.01.01.) ember él. Rendezzük hajszálaik száma szerint csoportokba őket: 200000 csoport. Biztosan van legalább egy olyan csoport, ahová legalább két ember kerül.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
5 / 17
Tanuló Egy diáknak 9 feladatot kell megoldania egyetlen hét alatt.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
6 / 17
Tanuló Egy diáknak 9 feladatot kell megoldania egyetlen hét alatt. Mutassuk meg, hogy legalább a hét egyik napján, legalább 2 feladatot meg kell oldania, ha a határidőt tartani akarja.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
6 / 17
Tanuló Egy diáknak 9 feladatot kell megoldania egyetlen hét alatt. Mutassuk meg, hogy legalább a hét egyik napján, legalább 2 feladatot meg kell oldania, ha a határidőt tartani akarja.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
6 / 17
Skatulya elv (Pigeonhole-, Dirichlet-principle)
Ha m testet osztunk szét n csoportba, és m > n · k, k ∈ N, akkor legalább (k + 1) test kerül az egyik csoportba.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
7 / 17
Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d ∈ Z. Mutassuk meg, hogy 12|(b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c).
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
8 / 17
Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d ∈ Z. Mutassuk meg, hogy 12|(b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c). 4 szám van,
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
8 / 17
Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d ∈ Z. Mutassuk meg, hogy 12|(b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
8 / 17
Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d ∈ Z. Mutassuk meg, hogy 12|(b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
8 / 17
Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d ∈ Z. Mutassuk meg, hogy 12|(b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
8 / 17
Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d ∈ Z. Mutassuk meg, hogy 12|(b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l ∈ Z.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
8 / 17
Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d ∈ Z. Mutassuk meg, hogy 12|(b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l ∈ Z. 3|b − a
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
8 / 17
Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d ∈ Z. Mutassuk meg, hogy 12|(b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l ∈ Z. 3|b − a A 4 szám paritását vizsgálva
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
8 / 17
Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d ∈ Z. Mutassuk meg, hogy 12|(b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l ∈ Z. 3|b − a A 4 szám paritását vizsgálva legalább 3 szám azonos paritású
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
8 / 17
Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d ∈ Z. Mutassuk meg, hogy 12|(b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l ∈ Z. 3|b − a A 4 szám paritását vizsgálva legalább 3 szám azonos paritású ⇒ legalább 3 különbság páros
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
8 / 17
Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d ∈ Z. Mutassuk meg, hogy 12|(b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l ∈ Z. 3|b − a A 4 szám paritását vizsgálva legalább 3 szám azonos paritású ⇒ legalább 3 különbság páros 2 szám páros, 2 szám páratlan
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
8 / 17
Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d ∈ Z. Mutassuk meg, hogy 12|(b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l ∈ Z. 3|b − a A 4 szám paritását vizsgálva legalább 3 szám azonos paritású ⇒ legalább 3 különbság páros 2 szám páros, 2 szám páratlan ⇒ legalább 2 különbség páros
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
8 / 17
Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d ∈ Z. Mutassuk meg, hogy 12|(b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l ∈ Z. 3|b − a A 4 szám paritását vizsgálva legalább 3 szám azonos paritású ⇒ legalább 3 különbság páros 2 szám páros, 2 szám páratlan ⇒ legalább 2 különbség páros A szorzat osztható 3-mal és 4-gyal, azaz 12-vel. L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
8 / 17
Geometria Egy szabályos húszszög csúcsai mind kékre vagy pirosra vannak festve. A piros csúcsok száma 9, a kékeké 11.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
9 / 17
Geometria Egy szabályos húszszög csúcsai mind kékre vagy pirosra vannak festve. A piros csúcsok száma 9, a kékeké 11.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
9 / 17
Geometria Egy szabályos húszszög csúcsai mind kékre vagy pirosra vannak festve. A piros csúcsok száma 9, a kékeké 11.
Bizonyítsuk be, hogy legalább 2 kék csúcs egy átló mentén, ellentétesen helyezkedik el. L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
9 / 17
Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
10 / 17
Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok , vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
10 / 17
Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok , vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek.
Világos:
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
10 / 17
Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok , vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek.
Világos: egy átmérőn átellenes csúcsok vannak;
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
10 / 17
Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok , vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek.
Világos: egy átmérőn átellenes csúcsok vannak; legföljebb 2 csúcs van egy átmérőn;
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
10 / 17
Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok , vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek.
Világos: egy átmérőn átellenes csúcsok vannak; legföljebb 2 csúcs van egy átmérőn; összesen 10 átmérő van.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
10 / 17
Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok , vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek.
Világos: egy átmérőn átellenes csúcsok vannak; legföljebb 2 csúcs van egy átmérőn; összesen 10 átmérő van. Véve azon átmérőket, melyek legalább egyik vége piros, legföljebb 9 ilyet találunk. L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
10 / 17
Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok , vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek.
Világos: egy átmérőn átellenes csúcsok vannak; legföljebb 2 csúcs van egy átmérőn; összesen 10 átmérő van. Véve azon átmérőket, melyek legalább egyik vége piros, legföljebb 9 ilyet találunk. Van legalább 1 átmérő, amin nincs piros csúcs. L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
10 / 17
Számrejtvény
Keressük meg a kifejezés értékét, ha különböző betű különböző számjegyet jelöl, azonos betűk ugyanazt a számjegyet rejtik:
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
11 / 17
Számrejtvény
Keressük meg a kifejezés értékét, ha különböző betű különböző számjegyet jelöl, azonos betűk ugyanazt a számjegyet rejtik: D ·I ·R ·I ·C ·H ·L·E ·T P ·R ·I ·N ·C ·I ·P ·L·E
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
11 / 17
Az „elkent" irracionálisok
α ∈ Q? , m, n ∈ Z
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
12 / 17
Az „elkent" irracionálisok
α ∈ Q? , m, n ∈ Z Bizonyítsuk be, hogy ∀ε > 0 esetén |n · α − m| < ε .
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
12 / 17
Az „elkent" irracionálisok
α ∈ Q? , m, n ∈ Z Bizonyítsuk be, hogy ∀ε > 0 esetén |n · α − m| < ε .
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
12 / 17
Az „elkent" irracionálisok
α ∈ Q? , m, n ∈ Z Bizonyítsuk be, hogy ∀ε > 0 esetén |n · α − m| < ε .
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
12 / 17
Megoldás - naná, hogy skatulya elvvel Legyen M > 1/ε, és osszuk föl a (0; 1) intervallumot M egyenlő részre.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
13 / 17
Megoldás - naná, hogy skatulya elvvel Legyen M > 1/ε, és osszuk föl a (0; 1) intervallumot M egyenlő részre.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
13 / 17
{1 · α}, {2 · α}, . . . , {M · α}, {(M + 1) · α}
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
14 / 17
{1 · α}, {2 · α}, . . . , {M · α}, {(M + 1) · α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. ⇒
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
14 / 17
{1 · α}, {2 · α}, . . . , {M · α}, {(M + 1) · α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. ⇒ skatulya elvből következik, hogy ∃n1 , n2 (n1 6= n2 ) :
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
14 / 17
{1 · α}, {2 · α}, . . . , {M · α}, {(M + 1) · α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. ⇒ skatulya elvből következik, hogy ∃n1 , n2 (n1 6= n2 ) : ugyanabba a részbe kerülnek
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
14 / 17
{1 · α}, {2 · α}, . . . , {M · α}, {(M + 1) · α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. ⇒ skatulya elvből következik, hogy ∃n1 , n2 (n1 6= n2 ) : ugyanabba a részbe kerülnek |{n1 α} − {n2 α}| < ε .
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
14 / 17
{1 · α}, {2 · α}, . . . , {M · α}, {(M + 1) · α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. ⇒ skatulya elvből következik, hogy ∃n1 , n2 (n1 6= n2 ) : ugyanabba a részbe kerülnek |{n1 α} − {n2 α}| < ε . {n1 α} = n1 α − [n1 α]
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
14 / 17
{1 · α}, {2 · α}, . . . , {M · α}, {(M + 1) · α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. ⇒ skatulya elvből következik, hogy ∃n1 , n2 (n1 6= n2 ) : ugyanabba a részbe kerülnek |{n1 α} − {n2 α}| < ε . {n1 α} = n1 α − [n1 α] ⇒ |(n1 − n2 )α − ([n1 α] + [n2 α])| = |n · α − m| < ε .
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
14 / 17
Hát ez fura!
A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból,
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
15 / 17
Hát ez fura!
A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen,
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
15 / 17
Hát ez fura!
A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen, valós számokból még több,
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
15 / 17
Hát ez fura!
A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen, valós számokból még több, azaz irracionális számból több van, mint racionális számból.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
15 / 17
Hát ez fura!
A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen, valós számokból még több, azaz irracionális számból több van, mint racionális számból. Megmutatjuk, hogy a (0; 1) intervallum racionális számai sorozatba rendezhetőek, azaz van első, második, ...
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
15 / 17
Hát ez fura!
A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen, valós számokból még több, azaz irracionális számból több van, mint racionális számból. Megmutatjuk, hogy a (0; 1) intervallum racionális számai sorozatba rendezhetőek, azaz van első, második, ... Megmutatjuk, hogy a (0; 1)-be eső valós számokat nem tudjuk sorozatba szedni.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
15 / 17
Hát ez fura!
A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen, valós számokból még több, azaz irracionális számból több van, mint racionális számból. Megmutatjuk, hogy a (0; 1) intervallum racionális számai sorozatba rendezhetőek, azaz van első, második, ... Megmutatjuk, hogy a (0; 1)-be eső valós számokat nem tudjuk sorozatba szedni. Indirekt módon tegyük föl, hogy sorozatba rendezhetőek. Írjuk mindegyik számot tizedestört alakba úgy, hogy mindig a végtelen sok tizedesjegyű kifejtést választjuk, például (0, 5 = 0, 4999...).
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
15 / 17
x1 = 0, a11 a12 a13 . . . , x2 = 0, a21 a22 a23 . . . , . . . aij ∈ {0, 1, . . . , 9}
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
16 / 17
x1 = 0, a11 a12 a13 . . . , x2 = 0, a21 a22 a23 . . . , . . . aij ∈ {0, 1, . . . , 9} y = 0, b1 b2 b3 . . . bn =
L. Csizmadia (Szeged)
1, ha ann = 6 1; 2, ha ann = 1 .
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
16 / 17
x1 = 0, a11 a12 a13 . . . , x2 = 0, a21 a22 a23 . . . , . . . aij ∈ {0, 1, . . . , 9} y = 0, b1 b2 b3 . . . bn =
1, ha ann = 6 1; 2, ha ann = 1 .
Föltételezésünkkel ellentétben y ∈ (0; 1), azaz mégsem mindegyik számot soroltuk föl.
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
16 / 17
Búcsú Tanulság: skatulyázni jó
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
17 / 17
Búcsú Tanulság: skatulyázni jó de azért óvatosan
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
17 / 17
Búcsú Tanulság: skatulyázni jó de azért óvatosan
Köszönöm a figyelmet!
L. Csizmadia (Szeged)
Kutatók éjszakája 2011.
2011.09.23.
17 / 17
