SIFAT NILAI EIGEN KOMPLEKS MATRIKS SCCM (Strongly Coizizected Closed Models) DARI MODEL KOMPARTEMENTAL
KUSNANDAR
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2000
KUSNANDAR. Sifat Nilai Eigen Kompleks Matriks SCCM (Strongly Connected Closed hforlels) dari Model Kompartemental (Characteristics of Complex Eigenvohres of SCCM (Strongly Connected Closed Models) Matrix of Comnparh~entalModel). Dibimbing ole11 BEERLIAN SETIAWATY dan PAIAN SIANTURI. Model koinparteniental adalall suatu turnusan matematika dari suatu sistem, dengm memisalkan sistem menjadi sejumlall kompa~teinen,yang dapat dianggap sebagai wadah penyimpanan material. Kolnpartelnen tersebut dihubungkan dengan aliran yang inenunjukkan dinaiNka inaterial dalam sistem. Pemballan material pada kompartemen diinodelkan dalaiu bentuk persaliiaan diferensial yang &pat ditulis sebagai :
dengan x dan b adalah vektor kolom nxl clan A adalah nzcrtriks konzp~~rtenzerttcrl n m . Matriks kolnparte~nentalA ini memiliki elemen diagonal utama nonpositif, elemen lainnya nomegatif dan jumlah eleinen tiap kolomnya nonpositif. Semua nilai eigen A lneiiipunyai bagian real nonpositif dan A tidak me~lipunyainilai eigen inlajiner mnmni. Tujuan dari penulisan ini adalall : 1. mempelajari sifat dari nilai eigen inatriks kompartemental yang inempunyai bagian ilnajiner tak nol. 2. memperoleh selang yang membatasi nilai dari jumlah kuadrat nilai eigenA yang imajiner, dan 3. mempelajari sifat nilai eigen A yang imajiner. dengan A merepresentasikankombimasi .cycle. Diastunsikan bahwa matriks A bersifat SCCM (Strongly Connected Closed A4odels). Jika A merepresentasikan digraf dengan cycle terpanjang kurang dari atau sama dengan dua, maka seinua nilai eigen A bernilai real. Jika cycle terpanjang lebii~dari dua, maka ada nilai eigen A=-p+iv dari A yang K (tril)' ~ne~nennhi lvl tan- 2 p . dimana nz adalah panjang cycle tetpanjang dari digmf Jika h,? - -< O . nt
17-1
inaka ada bagian imajiner Nlai eigen A yang tak nol. Pada matriks A yang bersesuaian dengan koinbinasi cycle. jika tiap cycle nlemnpunyai koefisien aliran yang sailla, nlaka jumlah kuadrat nilai eigen yang imajiner dari matriks kombinasi cycle &an kurang dari atau sama dengan jumlall kuadrat nilai eigen yang in~ajinerdari lnatriks tiap cycle.
SIFAT NILAI EIGEN KOMPLEKS MATRIICS SCCM (Strongly Connected Closed Models) DARI MODEL KOMPARTEMENTAL
KUSNANDAR
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memnperoleh gela Sajana Sains pada Jurusan Matematika
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2000
Judul
: Sifat Nilai Eigen Kompleks Matriks SCCM (Sfi'ongly Conszected Closed Models) dari Model Kompartemental
Nama : Kusnandar N I M : GO5496001
Dr. Berlian Setiawaty. M. S. Pe~nbimbingI
Dr. Paian Sianturi Pernbimbing I1
RIWAYAT HJDUP Penulis dildurkan di Cirebon pada tanggal 29 September 1978 sebagai anak kedua dari empat bersaudara, anak dari pasangan Tjarba dan Rumsiti. Ta11un 1996 penulis lulus dari SMU Negeri Sindanglaut dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IF'B melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IF'B (USMI) di J w s a n Matematika, Fakultas Matelnatika dan nmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan penulis pemah aktii di Senat Mahasiswa FMIPA IF'B di bidang minat dan bakat pada periode 199711998. Penulis juga pemah menjadi asisten Praktikum Fisika Dasar I pada tahun ajaran 199711998. asisten mata kuliah Kalkulus I1 pada tahun ajaran 199811999, mata kulid~ Kalkulus I pada tal~unajaran 199811999 dan 199912000, lnata kuliah Pengantar Matelnatika pada tallun a j m 199912000. serta lnata kuliah Matematika untuk Diploma 3 Analisis Lingkungan pada tahun ajaran 199912000.
KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala ralunat clan karnnia-Nya seliingga karya ilmiah ini berliasil diselesaikan. Judul yang dipilili dala~npenelitian studi pustaka yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2000 ini adalali Sifat Nilai Eigen Ko~npleksMatriks SCCM (Strong!v Connecled Closedh1odels) dari Model Komparte~llental.
Teri~nakasih penulis s m p h kepada berbagai p i l d yang telah ~nembantupenyelesaian karya ilmiah ini, antara lain Ibu Dr. Berlian Setiawaty, M.S. yang telah ~nembimbingdengan penul~ketekunan dan kesabam hingga selesainya penulisan kaya ilmiali ini, Bapak Dr. Paian Siantnri selaku pe~nbilnbing 11, Ibu Dra. Nur Aliatiningtyas, M.S. selaku penguji. Bapak Ir. Toni Baklrtiar.M.Sc. dan Bapak Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. yang telah nle~nbantu dalam ha1 pengadaan referensi. serta staf pegawai jurusan Matematika IPB atas segala bantuannya. PenghargaaA yang tinggi penulis berikan kepada ayah, ibu, kak& adik-adikku dan saudarasaudaraku tercinta atas segala do'a &an dorongannya. serta tak lupa ucapai terilna kasih kepada teuiante~itankuEngkus, Budi. Jaka, Ismail. Kiki. Didi. Minar, Joko, Dalfi. Frengky. Reza. Wicak. Beni. Yuce. Heny, Cycil, tell Ati, tell Ade, warga kost Bafak 20. warga kost DC7 , rvarga Mat'33, warga Mat'i4 d a i lainnya yang tak tersebutkan, atas segala bantuan dan dorongan semangatnya. Semoga karya ilmial~ini dapat bennanfaat. Bogor* September 2000 Kusnandffr
DAFTAR IS1 Halaman DAETAR GAMBAR I.
vi
PENDAHClLUAN 1.1 Latar Belakang ...................................
.............................................................................. . .
...............................................
1 I I 1
I1. LANDASAN TEORI 2.1 Definisi dan Lema Dasar dalam Aljabar Linear ................................................................... 1 2.2 Ruang VeMor Kompleks ..................................................................................................... 3 6 2.3 Teori Directed Graph ........................................................................................................... 111. DESKRIPSI MODEL KOMPARTEMENTAL ..........................................................................
7
IV. NILAI EIGEN KOMPLEKS MATRIKS KOMPARTEMENTAL 4.1 Nilai Eigen Matriks Kompartemental..................................................................................... 4.2 Sifat Nilai Eigen Kompleks Matriks SCCM ............................ :..............................................
10
V . CYCLE ...............................
13
.
................................................................................................. . .
9
KOMBINASI CYCLE . . 6.1 Ilustrasi Koinbinasi Cycle ....................................................................................................
15
6.2 Nilai Eigen dari Clustered Rosette .........................................................................................
16
VII. KESIMPULAN .......................................................................................................................... DAFTAR PUSTAKA ...............................
. . .................................................................................
I9
20
DAFTAR GAMBAR Halaman 1.
Sistem kompartemental ..............................................................................................................
7
2.
Diagram model aliran timbal dalam tubuh manusia .....................................................................
S
3.
Diagram daur hidrologi ..............................................................................................................
S
I.
.................................................................................... Lingkaran Gerschgorin .................... . .
9
5.
Digrafyang bersesnaian dengan matriks SCCM .....................................................................
10
6.
Cycle dengan panjang n ...............................................................................................................
13
7.
DigrafD dan dua subdigdD, dan D2 dari matriksA
16
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pemodelan kompartemental mempunyai aplikasi pada berbagai bidang, seperti pergerakan obat pada fannakologi, analisis ekosistem, studi sistem ~iletabolisrnedan gerak pada reaksi kimia. Sistenl pada model ini dianalisis ~nelalui pelisahan sistem menjadi sejumlali komponen, yang disebut kompartemen, yang berhubungan langsung dengan pembalm material. Twri ~nate~ilatikauntuk perilaku sistem ini disebut antrlisis konipartenientnl. Sistem koinpartemental terdiri dari dua atau lebih ko~i~partemen. Sistem tersebut dilnodelkan dalain bentuk persanaan diferensial, d i i a setiap persamaan menggarnbarkan laju pembahan jumlah material terladap waktu pada konipartemen tertentu. Salall satu model kompartemental addah persamaan diferensial berbentuk
memiliki bagian imajiner tak no1 dan memperoleh pertidaksamaan dari jumlah kuadrat bagian imajiner nilai eigen A. Masalah lain adalab lnempelajari sifat-sifat bagian imajiner nilai eigen A, dengan A lnerepresentasikan kornbinasi dua atau lebih cycle. 1.2 Tujuan Tujuan dari pennlisan ini adalah : 1. melnpelajd sifat dari nilai eigen matriks komparten~ental yang mempunyai bagian irnajiner tak nol. 2. memnperolel~selang yang lnembatasi nilai dari jumlali kuadrat nilai eigen A yang imajiner, dan 3. me~npelajarisifat nilai eigen A yang imajiner, dengan A rnerepresentasikan ko~nbinasicycle.
1.3 Metode Metode yang digunakan dalam tulisan dengan topik sifat nilai eigen kolnpleks lnatriks SCCM (Stongly Connected Closed Models) dari model kompartemental ini adalah metode studi pustaka. dengan x dan b adalah vektor kolom n s l dan A yang lneliputi penelusuran dan pennlisan kembali adalah rnatriks konipartenientrrl nsn. Matriks suatu jumal dalam bentuk yang lebih utuh. ko~upartementalA ini memiliki elemen dia~onal utana nonpositif, elemen Iaiunya nomegatif dan jumlal~elemen tiap kolomnya nonpositif. Menurut 1.4 Sistematika Sistenlatika penulisan pada tulisan ini adalah Anderson (1983) semua nilai eigen dari A sebagai berikut. Pada bab dua diberikan landasan mempunyai bagian real nonpositif dan A tidak memnpunyai nilai eigen ilnajiner murni. Jadi, nilai teori sebagai dasar analisis masalall. Pada bab tiga diberikan deskripsi mengenai eigen '4 dapat mneiniliki bagian imajiner tak no1 model kompartemental. Bab empat akan pada saat bagian realnya negatif, selkgga dari membahas sifat-sifat dari nilai eigen ko~npleks aspek dinanik: osilasi teredam mungkin tejadi matriks SCCM. pada solusi persamaan (1). Tetapi tulisan ini tidak Bab lima nienlbahas nilai eigen suatu matriks ~uembahas aspek kedinamikan dari model SCCM yang rnerepresentasikan cycle dan bab ko~l~partemental,melainkan mempelajari aspek enan lnernbahas nilai eigen suatu litatriks SCCM aljabarnya. cycle. Masdall yang dibahas pada tulisan ini adalah yang lnerepresentasikan kombinasi Kesimpulan dari tulisan ini ada pada bab teraklur. rnerupelajari kondisi pada saat nilai eigen A
II. LANDASAN.TEORI 2.1 Definisi dan L e n ~ aDasar dalam AIjabar
Linear Definisi 1 [Noble. 19691 Misalkan matriks A =(ai,),. Minor dari n, adalah deter~~inan dari matriks ~.. .,..,.. ., vane dioeroleh , dengan mengl~ilangkanbasis ke-i dan kolom ke-j dari ~llatriksA,,, dan dinotasikan dengan n/fv Bilangan B,=(-l)'iJhJ/, disebut kofaktor dari a,
- .
Definisi 2 fNoble. 19691 Deterniinan dari ru~atriksA=(o,),,, oleh ekspresi \A\ = d
didefinisikan
e t =~ i a , , ~ , , i=l
Definisi 3 [Noble. 19691 Misalkan A adalal~ ~natriks 17m. Polinori~ flL)=det(.4 - A) disebut yolirionz krrrulderistik dan
pers;unaanl(A)=O disebut persumuun kurakterisfik dari A. Nilai eigen dari A adalah skalar A> dimana A x = k atau (A - W ) x=O mnenipunyai solusi tak nol. Solusi tak no1 x disebut vektor eigerz dari A. Definisi 4 [Anton, 19951 Jika matriks A={aij},, maka trunspose dari A adalah ~ ' = { b ~ } "dengan ~, bo= a,;. Lema 1 Nilai eigen lnatriksA d a n ~ 'adalah sama. Bulti : Misalkan A adalah ~ l a eigen i dari matriks A, maka polinom karakteristik dari A adalah fA(A)=IA - 21. Karena (A - ailT = ( A -~a ) , maka dari sifat detemkan J;,(A)=H - 2 1 = IAT-AII= f,, (A) Karena polinom karakteristik dari A dan A* sama. maka A dan A' mnempunyai nilai eigen yang sama. 0 Definisi 5 [Anton, 19951 Terus dari matriks A={aii},, ditulis trA, adalall jnmlah dari elemen-elemen diagonal utamanya.
Lema 3 pIoble, 19691 Polinom karakteristik dari matriks A={av)na adalah polinom berderajat-11,XA) dengan XA)=ao An+al A"-'+. . . + a,.~ A+ a, dengan a; adalah jumlah prinsif minor orde-i berganti tanda (~YSJ?)dan untuk 00, al dan a, memenulli 0 0 = (-1):11 al = (-1) t r A 3 an= IAl. Jika lulai eigen -4adalah Al,. . . ,IlnInaka
Bukti: Jika W-AII diperluas &lam bentnk elemen pada baris pertama, maka diperoleh
Bv adalah kofaktor dari elemen (iJ) pada A-A1 dengan , Ell polinom A berderajat n-1 Bljpolinom Aberderajat 17-2 untuk j=2,3,. ..,n , sellingga , X.2) =(all-A) Bll -1-{Polinomberderajat (17-2)). Argumen yang sana diterapkan pa& Bll dan dengan pengulangan diperoleh. j(A) = (all- A)(ar A). . . (a,, - A) +{Polinom berderajat (17-2) atau knrang)
-
Definisi 6 [Anton, 19951 Matriks A, disebut segitiga atus jika semua elenlen di bawah diagonal utama adalah nol. Lema 2 [Marcus & Minc, 19691 1. Jika matriks A={av)m,dan B={bv}-,
I/
I,
I?
maka
(-l)"An + (-I)"-' x u i i An-'
j=li=I
2. Jika Tmnadaldl m a a s segitiga atas, maka
+ {Polinom
;=I
berderajat (n-2) atau kurang) (2) sellingga polinom karakteristik dari matriks A., adalah polimom berderajat-n dengan koefisien An adalah (-1)" dan koefisien ,T1adalah
"
(ii) trAAT = C C a , a v = ~ C a . i ;=I j = l
n
=
i=l
Misalkan &>, 2,=1,2,..., n adalah nilai eigen A. , m&i XA) ==lil.aI=(A121I,)(h. A) , , A) t)
2
t r n T = C t i j + C XI,; ;=I
I'
"
;=I j = ~ ic i
Definisi 7 [Noble, 19691 Matriks A,,, disebut nonsingulur atau mempunyai invers, jika ada matriks B sehungga AB=BA=I, dengan I matriks identitas. Matriks B disebut irzvers dari A dan dinotasikm dengan A-I.
=(-1)"X +(-I)"-'C Ai 2.' + . . .
(3)
i=l
Untuk lnenentukan konstanta a, , pilih A=O padaj(A) sellingga dari persamaan (3) diperoleh !Al=AlA2.. A Jadi, dari persamaan (2) dan (3) terbukti v
CA; =Ca,, =trA ;=I
i=1
0
Aliibat 1 [Noble, 19691 arg(p+iv) adalall suatu sudut sedemikian Npa Jika nilai eigen matriks A,, adalah At ,...,A,,, sehingga tan 0 = v / p . maka Lema 5 [Hall & Knight, 19641 f r ~ '=:A; . Pada polinom dengan koefisien real. jika i=l mempmyai akar kompleks, maka selalu dengan sekawannya. Bukti : Misalkan A i=1.2,...,n adalall nilai eigen yang Bukti : bersesuaian dengan matriks A artinya Ax=+, Misalkan JA) =O adalah polinom dengan Inaka dari Lema 3 koefisien real dan ~nelnpunyai akar konipleks dan ~AX=A@X)=A(G)=.~(AX)=A{.ZSC)=&~X.
Berarti nilai eigen yang bersesuaian dengan matriksA.4 adalall
Definisi 8. [Marcus & Minc, 19691 Matriks nomegatif K,, disebut tak terurai jika matriks tersebut tidak dapat diuraikan (melalui pertukaran baris, kemudian pertukaran yang sama terhadap kolomnya) ke dalam bentuk
p+i v. akan dibuktikan bal~wap -i v juga akar dari XA). Faktor dari XA) yyag bersesuaian untuk dua akar adalal1 (A-p- iv)(A-p+iv) atau (A-p)2+?. MisalkanXA) dibagi ole11 (A-p)'+ 2, maka ~d)=fi(A){(A-p)2+$)+ aA+b, dengan a,b~'iRdanfi(A) adalah polinom berde~ajal '17-2. Karena A=p+iv, maka dari hipotesis .flA)=O dan (A-p)'+?=0, sellingga a(p+iv)+b=O. Bagian real dan imajiner di atas sama dengan nol, sehingga ap+b=O clan U F O . Karena MfO. maka a=O; mengakibatkan b=0. Sehingga XA) lhabis dibagi ole11 ( ~ - p )?, ~ jadi + p -iv juga akar dari polinom tersebut. 0
1
~
2~ 3 1 '
dengan K2 matriks sembamng, Kl dan K3 adalah sub mahiks segi, sedangkan 0 adalah ma* nol. Lema 4 warcus & Minc, 19691 Misalkan K,, adalah matriks tak terurai yang nomegatif dan A+=maks{A I Kx >Ax. x 2 01, maka ada suatu nilai eigen real nomegatif A ' dan vektor eigen x+ nomegatif yang bersesuaian dengan A' , sehingga fi'=A+xi dan jika A adalah nilai eigen lain dari K ,maka 14 21 A'. Selanjutnya A ' disebut nilai eigezz Perron.
Akibat 2 Misalkan 4 , j=l, ...,n adalali nilai eigen dari matriks A, maka rata-ntanya, A , bemilai real. Buliti : Misalkan nilai eigen dari mahiks A real atau kompleks, untuk nilai eigen real , maki 2 real dan untuk nilai eigen kompleks, berdasarkan Lema 5 maka penjumlahan bagian imajiner dari nilai eigen akan saling menglulangkan, yang berakibat 2 real. 0
Buliti: Liliat Oksaviri (1997) 2.2 Ruaug Vektor Kompleks
Definisi 9 [Paliouras, 19871 Bilazrgan konrpleks adalah suatu pasangan t e m t bilangan real yang dinyatakan oleh (p, v) atau p+iv, dengan i2= -1. Untuk sen~barangbilangan kompleks z =p+iv, nrgrinren z , ditulis arg z, didefinisikan sebagai salal~satu sudut yang dibentuk ole11 vektor z dengan surnbu real positif. Dengan kata lain
Lema 6 [Paliouras. 19871 Misalkan z = p+iv= r(cos0 + i si170)= rd8, dengan $ = @+3)dan 0 = arctan@ /v). Jika 17 bilangan bulat positif, maka I"= ~ " ( C O Sn0+isi1?n 0 ) = me"'. Buliti : Proses pembuktian dilakukan dengan induksi malemalika. Untuk 17=2,
r'=zz = rfcos B+isin 0 ) r(cos B+isin 8 )
Lema 9 IPaliouras, 19871
.-
?I=
Asumsikan benar untuk n=k, sehingga 9 = ~ ( C Ok8+isin S k 8 ) = peika. Untuk 17=k+l 22 = ~ ( C Ok@+isin S k 8 ) r(cos0+isin 8 ) = T1(cos(kB+B)+isin( k@+@)) = ?'(cos( k+1)8+isi17(k+1)8) = ++lei(il+l)8
13
Lema 7 [Paliouras. 19871 Misalkan z" = ~"(COS n 8 + isin 170)= i-"e'"'. dan z, = r, (cos@,+ i sin@,). Jika z" = z., ~nakaakar ke-n dari z diberikan oleh 17 bilangan kolnpleks zk= r,'"(cos (B,ln+2d/n)+ i sin (8&+2d/n)), k=O. 1,... ,n-1.
Buliti : Dati persalnaan trigonometri . sin (x+n) =sin x cos a + sin n cos x. sin (x - n) =sin x cos n - sin n cos x, sehingga sin (x+n) - sin (x - a) = 2sin a cos x. Misalkan ~ 2 n W ndan n=dn. rnaka sin(k+1/2)2rdn -sin(k-1/2)2dn =2sind17 cos2nk/r?. Julnlalkan untuk k0.1. ... , n-1. maka sinfn-l+112~2rd1~sin(-112)2dn . . =
-
sinfn-ll2)2dn + sin rdn =
Buliti : Misalkan
sin(2n-dn )+ sin d n =2sind7
z" = z , r"(cosn8+ i sin 178) = r,(cosO,+ i sin8,), sehingga r"= r, , n0=BO+2& untuk beberapa bilangan bulat k. Karena r dan r, bilangan real positif, berarti r adalal~akar pangkat ke-n dari r, yaitu r = (rJ1'" dan 8= ($+2nk)h7 , selingga akar pangkat n dari z adalah zk= r,""(cos (Bo/,7+2nk/n)+ i sin (8Jn+2xk A?)), k=0,1.... ,n-1. 0
sin 2n cos d n -sin d n cos 271 + sin d n
Lema S
Buliti : Bukti dari lelna tersebut menggunakan deret geornetri. e2dlt,[(e2dl,?r I,-I -Ce'"'" e3ni~,r -1
k=1
-
e2mi!!ead(+~-~)~,? -e2miri e?mlrr
e?" 2m 1,r
I
k=I
I =
Definisi 10 [Anton, 19951 Suatu vektor p disebut konrbinrrsi lilterlr dari vektor-vektor kompleks xl,...,xnjika vektor tersebut dapat dinyatakan dala~nbentuk
dengan c,, lr i S n adalali skalar kolupleks. Definisi 11 [Anton, 19951 Misalkan xi,...,x, adalah vektor-vektor pada ruang vektor kompleks I/. Jika masing-masing vektor pada I/ dapat dinyatakan sebagai ko~ilbinasilinear dari xl....,x,, inaka vektor-vektor ini dikat<&an nrererttfntg I/.
-1
-
1-e2m~n e'm'#t
=-I. -1
0
Definisi 12 [Anton 19953 Jika S={x l,...,xn) adalah himpunari kompleks. maka persamam vektor
vektor
n
Ccixi= 0 , i=l
melnpunyai paling sedikit satu solusi, yakni c,=O, untuk setiap i. Jika ini adalah satu-satunya solusi, hinlprrnan bebas linear. Jika ads Inaka S solusi lain, maka S disebut Irinpunarr tcrk bebas lirtear. Definisi 13 [Anton, 19951 Jika V se~nbarang ruang vektor kolnpleks dan S={xl,.. ..xm)merupakan lumpunan berlungga dari vektor-vektor pada V, maka S disebut basis untuk J'jika 1. S bebas limear 2. S merentang V.
vektor yang berbeda dalau lumpunan tersebut ortogonnl. Suatu himpunan ortogonal yang setiap vektomya lnempunyai nonna satu disebut ortonor,llaL
L~~~ 10 (proses ~ r a l , l . ~ c ~ 7[nh lt oi ~n ~, 19951 ) basis untuk ruang Misalkan {xl,,,,,xn) I/, lnisalkan
..
..
dan definisikan tr2, ..., rr, secara rekursif ole11
untuk h=1,2, . . ., 17-1, dengan PL= ( ~ k + l , t III+ ~ l ) . . . + (xl+l,l~k) Ilk Definisi 14 [Anton, 19951 adalah proyeksi ortogonal xk+~ pada ruang yang Jika u=(ul, ...: zt?) dan v=(vl, ..., v,) adalah vektord i b a n p ole11 vl, ..., uk, ~uaka lumpunan ( 1 1 ~,.... zr,) vektor di C", maka basil kali dalam (u,v) adalali basis ortononnal untuk I,! didefinisikan ole11 (u,v)=
" crc;v, ,
Bulti: Lihat Anton (1995)
i=l
dengan ii, adalah sekawan dari v; ,i=l, ..., n Definisi 15 [Anton 19951 Suatu hasil knli dalanr pada ruang vektor kompleks V adalah fungsi yang menghubungkan bilangan kompleks (u,v) dengan masing-masing pasangan vektor u dan I ) pada V sedemikian sel~inggaaksioma-aksioma berikut terpenuhi untuk semua vektor u, v dan w di V dan semua skalar k. 1. (u,1+=(v,u) 2. (11+v,w)=(tl,>v)+(v. w) 3 . (ku,v)= k(u,v) 4 . (v,v)2 0 dan ( I ~ v=)0 o v = 0 Suatu ruang vektor kompleks dengan suatu lusil kali dalaln disebut run~rg hasil kali dalam konrpleks/ruairg uniter.
Definisi 19 [Anderson, 19831 Matriks4,disebut definit positif, jika A bersifat ( x . 4 ~>) 0. untuk setiap vektor tak no1 x. Definisi 20 [Marcus & Minc, 19691 Misalkan U,, adalali matriks dengan unsur kompleks: maka trunspos sekmvan U, dinyatakan oleh U' dan didefinisikan ole11 U * = , dengan adalah matriks yang unsur-unsurnya sekawan dengan unsur-unsur yang bersesuaian dalam U.
uT
Definisi 21 [Marcus & M i x C19691 M a a s U,, disebut nratriks u~riter,jika u'=u'.
Lema 11 [Marcus Mint, 19691 Misalkan U={hu),,, adalah lnatriks dengan unsur .kompleks, m&i ,.
Definisi 16 [Anton, 19951 Ruang uniter dua vektor u dan 11 disebut ortogo~tal jika ( L I ,=O. ~) Definisi 17 [Anton, 19951 Jika If. adalall sebuall mang miter. lnaka nornzu vektor 11 dinyatakan ole11 llull dan didefinisikan oleh 1 1 ~ 1 1i =(u,zt)In. Definisi 18 [Anton, 19951 Suatu liili~punanvektor pada ruang uniter disebut hirirprinan ortogoncrl jika selnua pasangan vektor-
Lema 12 [Marcus & Minc, 19691 Untuk setiap matriks real A , . ada lnatriks uniter U,, . sehingga UmAU=T . dengan T,, adalali matriks segitiga atas . Bulcti : Proses pe~nbuktian lema ini n~enggunakan induksi matematika. Untuk selnbarang nilai n, misalkan A, adalah nilai eigen dari lnatriks An,, dan
adalab vektor eigen yang bersesuaian dengan Menggunakan proses Gram-Sclunidt, A. konstruksi vektor ~2 ... .\ir,, sehingga {w,,... .w.} adalal~basis ortonormal unruk C'. Misalkan Q adalah lnatriks yang vektor kolom ke-i adalal~IV; untuki=l ,...: n. Q=[ > V I , ~ V ~.... , lvn]=[7l',, prq, dengan ~V=[IV~, ... w"]. Dari konstdsi, Q adalab matriks uniter, lne~nberikan IV,
.
.
selun~~ W-wl a =O. Karena Aivl =Alwl, maka
Lema 13 (Pertidaksaniaan Schrrr) Narcus& Minc, 19691 Jika.4={ov), mempunyai nilai eigen 4, i=l, ...,n , maka
BuMi : Berdasarkan Lema 12, untuk setiap ~natriks .4., ada matriks uniter U,,: seldngga U> U =T. dengan T lnatriks segitiga atas, maka (u-AAU)'=T' U'A'U=T. TU*A'U=TT. (u.AU)U>.U=TT' U.M'U=TT'. Dari Lema 2, diperoleh tr U'AA'U= PM' , sehingga trAAm= t r l T
Lemna ini benar untuk n=2 karena C inatriks 1x1 dan B ~natriks1x1, sehingga Q-AQ adalah matriks segitiga atas. Asumsikan benar untuk n=k, maka ada matriks ortogonal kxkk lfl: seldngga 1,jil Pj =TI: dengan TI 2 . 3 Teori Directed Graph ~natrikssegitiga atas. Definisi 22 [Thulasiraman & Swamy, 19921 Untuk n=k+l, maka C inatriks kxk dan B Directed graph (Digran, D=(V,E) adalah pasangan mnatriks lxk, dengan hipotesis induksi, Inaka ada lnatriks ortogonal kxk, Ifl, selkgga l/,*Cl/,=~~, t e m t V dan E, dengan V adalah himpunan tak kosong dan terbatas dari verteks (simpul) dan E dengan TI mahiks segitiga atas. adalah himpunan pasangan tenuut elemen-elemen Misalkan tak identik lf , yang disebut arc (busur/sisi berarah).
Misalkan U=Qli, U nlatriks muter, karena U-U=(Ql.)'Ql/.= r; Q'Ql/=I. seldngga C'A U=T, dengan T ~natrikssegitiga atas. 0
Definisi 23 [Thulasiramnan & Swamy, 19921 Suatu walk pa& digraf D=(V,E) adalal~ suatu barisan verteks dan arc pada digraf D dengan bentuk 1~l,(l~l,f~2). V2,(1;2,1/3) ,..., Vn.l,(l/;.l,Vn)J*',v Walk yang semua verteksnya berbeda disebut path. Pat17 dengan verteks awal dan akhirnya sana (i,;=I/,) disebut cycle. Definisi 24 [Thulasimman & Swamy. 19921 Digraf D=(l<E) disebut strong!y connected jika pada digraf tersebut ada patl? dari setiap verteks ke setiap verteks lainnya.
IIt. DESKRIPSI MODEL KOMPARTEMENTAL Misalkan suatu sistem terdiri dari nkompartemen. Gambaran mum untuk kedinainikan pembahan lnaterial berkenaan dengan komparteinen ke-i adalah persamaan, xi = laju aliran masuk - laju aliran keluar , i=l, ...,17 (4) dengan xi@) r 0 adalah jumlah material pada koiparteinen-i pada waktu I. Laju aliran material dari koinpartemen-j ke kompartemen-i (i*) diinodelkan ole11 aGj, dengan ay adalah koefisien aliran, bernilai nomegatif dan konstan, sellingga dari persanaan (4) model komparteinental linear adalah n
x i ( t ) = b , ( t ) + C a i j x j - C a j j x j , V i = L..., n j=l
(5)
j=O iii
iti
dimana fungsi hi(/) adalah laju input material ke koinpartemen-i dari luar sistem. Material yang dialirkan keluar sistem disebut ekskresi. Laju ekskresi material keluar sistein dari komparteine11-i adalal~aojxj.dengan aoi adalal~koefisien ekskresi. bi I input
bll input
Gainbar 1. Siste~nkoinpartemental Gainbar 1 mejelaskan bahwa pembahan material pada kompartemen ke-i, yaitu 11; adalah laju aliran nlasuk = bj+ ai,., xi.] laju aliran keluar = noixi+ ai+l,;x; sehingga x, = ( b;+ a,,, Definisikan
X,I
)- ( noixj+ ai+,,;x;)
maka dari (5) dan (6) , jumlah aliran keluar dari kompartemen-i ke kompartemen lain dan keluar sistem adalah ai&. Persanwan (6) mempakan eleinen dari matriks konstanA={a,],,, . yang lne~nilikisifat . a. Setiap elemen di luar diagonal nomegatif b. Setiap elemen diagonal nonpositif c. Jumlah setiap kolom ke-i adalal~ bilangan nonpositif -00;. i=1,2 ,...,n. Matriks dengan elemen memenuhi sifat a,b.c disebut ntatriks kontparte~tte~ttal. Eleinen ay ( i d ) adalal~ nomegatif karena berhubungan dengan aliran masuk. sedangkan a:; adalah nonpositif karena IIIe~pZkanukuran dari aliran keluar. Bentuk matriks-vektor dari model kompartemental (5) dapat ditulis kembali sebagai sistem persamaan diferensial biasa x = Ax+b (7) dengan A={a,}, adatah matriks dari koefisien aliran dan b=[bl, ... .bJ'. Sifat dari persamaan (7) ini bergmtung pada penyusunan eleinen no1 dan tak no1 dari matriks kompartemental A. Jika ay=O (id): maka tidak ada aliran material dari komnparte~nen-j ke kompartetnen-i. Jika a@ (i;g'): maka material langsung nlengalir dari komparteinen-j ke komparteinen-i. Sistem kon~partemental ini direpresentasikan oleh diagram keterl~ubungan yang il~enunjukkan alimn material tak no1 pada suatu digraf. Misalkan A={ay).,. adalall inahiks kompartemental, digmf yang bersesuaian dengan matriks tersebut adalah D=(l<E) dengan V={VI,... ,i~,] adalah kompartet~~endan E={(i$i~j)} adalah aliran tak no1 dari nwterial untuk a i i t 0, iq., i=l, ..., n d m j=l, ...,17. Di bawah ini diberikan contoh inodel komnpartemental untuk pergerakan zat tii~lbalpada tubuh inanusia. Contoll 1 Lingkungan dengan tiinbal berkonsentrasi tinggi akan berakibat b u d pada kesehatan inanusia. Beberapa studi lnenyatakan bal~wa tinlbal dapat inenyebabkan kanker. Sunlber utruna tiinbal adalal~ sisa buangan kendaxaan benuotor. dan telab ditunjukkan ballwa orang yang telah terkena cukup banyak buangan gas beracun ini sangat rentan terkena kanker, [Anderson. 19831.
,L Input bl Makanqair,udara
ini dari air liur, sekresi lambung, empedu, tetapi tidak ditentukan). Dari input P i @ hanya sebagian (rp ) yang diserap melalui saluran pencemaan ke danh, dengan 0-1. Akllimya laju input bl(t) adalah konstanta bl =pa+$, dan persarnaan (8) dapat dibentuk menjadi : r - i
- Gambar 2. Diagram model a l i i timbal &lam tubub manusia (digambar kembali dari Anderson, 1983). Aliran timnbal pada tubuh mnanusia ini di~nodelkandengan, sistein koinparte~llentaldengan 3-konlpartemnen, yang ditunjukkan pada gambar 2. Sejumlah timbal mas& ke tnbuh melal~ii makanan, minuman dan udara, dari saluran pencemaan dan saluran pemapasan. Sebagian besar timbal diterima oleh sel darah merah dan sebagian kecil ole11 plasma darah. Dari daral~ timbal disebarkan dengan cepat ke jaringan lain (pertama ke hati dan ginjal, selanjutnya dengan waktu berbeda ke bagian lain dari tnbuh). Secara perlalm tirnbal diteri~naole11 tulang. Pertukaran timbal pada jaringan dan tulang dengan daral~melalui proses difnsi. Misalkan t2O adalah waktu, xj(t), i=1,2,3 adalah jumlall timbal pada kompartemen-i dan hi([) adalah laju input ke kompartemnen-i, maka persamaan kesetirnbangan nntuk aliran timbal antar konlpartenlen seperti pada garnbar 2 adalall: XI
dengan a l l = -(aol +a2, +a,, ) , =-(a, + a l 2 ) , a3j = -arj . Selanjutnya di bawah ini diberikan contoh untuk inodel konlpattemental yang tertutup dan strongly connected dari daur hidrologi. Contoh 2 Daur hidrologi dapat ditunjukkan secara ske~natispada gambar 3. Skema dan laju yang ditampilkan dalam gambar 3 dimcang secara subyektif.
=(bl +ar2x2+aljx3)-(aOlxl +a21xl+ a j l x I )
xz =a2,xI-(amx2 +a12x2)
(8)
x j = a j l x l -a13xj dengan a, adalah konstanta positif. Laju input bl memerlukan penjelasan lebih lanjut. Laju input ini terdiri dari dua komnponen, satu d a i uiluran pemapasan dan satu dari saluran pencemaan. Misalkan a adalah laju konstan dari seju~nlalltimnbal yang mas& ke salwm pemapasan dari lingkungan. Sebagian dari input a ini yakni p (O
Dalam daur hidrologi, air hujan akan turun ke tanall. tana~nandan sungai. Dari tanall sebagian air akan diserap ole11 tanaman dan sebagian mengalir ke sungai. Energi panas matahari mnenyebabkan terjadinya proses evaporasi di sungai, tanah dan tanaman. Uap air tersebut akan dibawa angin melintas daratan yang bergunnng maupun datar dan apabila keadaan atrnosfer menlungkinkan, sebagian dari uap air tersebut akan mnenjadi 11ujan. Kejadian tersebut terns berlangsung, selungga terjadi siklus. Pembali,ul kandungan air pada tiap kompmenlen pada gambar 3 dapat dimodelkan dalarn persamliaan diferensial berikut.
Dengan cam yang sama dapat diperoleh koefisien lainnya. sebingga
r.
x4 = (n41x1+n42x2)-n14x4, dengan a;< adalah koefisien aliran dari kompartem&-j ke kompartemen-i. Sebagai ilushasi nil. o12diperoleh dengan cara berikut. ~erdasarkangambar 3 diperoleh a,g2=l0 liter/hari, dengan x ~ 5 0liter, maka a,,=O.Z/hari.
i
- -
I /' 1
O7
1x41
N.NILAI EIGEN KOMPLEKS MATRTKS KOMPARTEMENTAL 4.1 Nilai Eigen Matrilis Kompartemental Menurut Anderson (1983) selnua nilai eigen dari niatriks komparteinental A mempunyai bagian real nonpositif dan A tidak meinpunyai nilai eigen imajiner inumi. Namun sebelwnnya akan diberikan Teoreina Lingkaran Gerscl~gorin.
seldngga nilai eigen h terletak pada lingkar~mRi. O Teoremn 2 [Anderson, 19831 Bagian real dari nilai eigen mahiks konlpartemental A adalah nonpositif dan A tidak ~nempunyainilai eigen iinajiner inwni.
Teorema 1 (Teorerna Lingknrnn Gerscl~gnrin). Bukti : plarcus & Minc. 19691 Dari Teorema Lingkaran Gerschgorin, Misalkan A={av}, , dan I 1
dengan Ri adalah lingkaran pada bidang kornpleks dengan pusat nii dan jari-jari i l a j i l , maka setiap i=l
Khususnya jika A adalal~ matriks kompartemental, maka nji 2 0, V iz j dan karena jumlah seluruh kolom ke-i adalal~-aoi, maka $lajii=-aoi -a, <-a, =laijl,t/ i=1,2 ,...,n ,
i=j
Nlai eigen A terletak pada sedikitnya satu dari n lingkaran Rj. Buliti : Berdasarkan Lelna 1, jika A adalah ~ l a eigen i matriks A dan x v e k eigennya, nl*a 1 jugs lne~pakan nilai eigen nlatriks A'. sehingga .ATx=k,yang berimplikasi dengan
"
]=I is j
sehingga Ri terletak pada -- nntvk setiap i. linnkamn daemh lingkaran z a 5 a , sebagaimana terlihat pada gambar 4. Karena setiap nilai eigen A terletak pads sedikitnya satu daerah inaka bagian real dari nilai eigen A terletak bidang sebelall kiri (nonpositif), Selanjutnya karena daerahnva berbentuk lingkam maka tid
C a .J.Z x J. + a .rx. x2 .= hc . . j=1 i ij
I:/
II
Misakai Ix,l = maks xJ ,niaka 2 _< 1 dan lijr9r
IA-niillxii= i a j i x j _< ilnsx,l j=l j=l i'-j ii,
1
- njj 5
]=I ir,
ln jj
ll:l<
]=I
1
inij .
'iJ
< ]=I i;,
Galnbar 4. Lingkaran Gerschgorin, dengan
I
a = ?In, dan b = ln,,~ ,=I
1x1
4.2 Sifat Nilai Eigen Kompleks Matriks SCCM
Misalkan model kompartemental berdasarkan persanaan diierensial x=Ax+b, (9) dengan A ={aw), adalah matriks kompartemental. Asumsi yang digunakan adalah : 1. Digraf yang bersesuaian dengan mahiks. A adalall slrorlgly connected, dengan kata lain A adalah matriks tak tenuai 2. Modelnya adalah tertutup, yaitu tidak ada aliran material yang masuk dan keluar sistem, dengan kata lain b=O pada persamaan (9) dan ciri pada matriksA adalah C a , =O.
dengan polinom karakteristik f(A) = (-2-A)(-1-A)(-2-A)+2- (-2-2) = -( A ~ + ~ A ~ + ~ A ) = -4A+SA+7), sehingga nilai eigen dari A adalah Al=O ,,Izt,,=-2.5 i (3)In12.
*
Definisi 25 [Walter, 19841 Misalkan A adaiah mahiks SCCM &, As,. . . A adalah nilai eigen tak no1 dari A dan i adalah rataratanya, maka JIlrnlah Kuadraf Deviasi (JKD) dari nilai eigen tersebut didefinisikan oleh
i=1,2,... n .
j=l
Model yang berdasarkan dua asumsi diatas dimotasikan oleh SCCM (Strongly Connected, matriks kompartemental dari Closed Models) niodel SCCM disebut nzafriks SCCM.
dan
Teorema 3 [Hearon, 19631 Misalkan A ~natriksSCCM. nlaka A menlpnnyai tepat satu nilai eigen no1 dan bagian real negatif untuk nilai eigen lainnya. Bukti: L i a t Hearon (1963) Di bawall ini diberikan contoh suatu digraf yang bersesuaian dengan mahiks SCCM
Teorema 4 [Walter, 19841 MisalkanA adalal~matriks SCCM ~naka (tr~)' trA2 --(trAl2 r JKD < t r m T -n-1 n-l
Bukti : Misalkan A={av), adalah ~iiatriks SCCM. Dari Lema 3 clan Akibat 1 telall dibuktikan bahwa =trA dan
=:aii i=l
=A;=irA2,
i=l
i=l
sehingga
Contoh 3 Misalkan suatu inodel komparte~nental berdasarkan persaniaan diferensial r=Ax
denel = ;A;
-67-l)i2
i=2
niaka digraf yang bersesuaian dengan inatriks A adalal~,
=
:a;
- z(i7-i),? +G7-1)2
i=2
=
:A; i=?
=
-2;2?ni
+(1~-1),?
i=2
=(A; -2;iai +;i2) i=2
= =(A; - i ) 2 i=2
Ga~nbar5. Digraf yang bersesuaian dengan inatriks SCCM
5
i / a j-i12 i=2
.
Dari pertidaksaniaan Scllur diperoleh
dan il~~/~<$5la~l~=tritil~. Jika 1;adalah sekawan d a i A, dan karena real, lnaka
i
=lai -i12 = =(ai -ix& -i) i=2
i=2
i=2
=ta12-i(ts+& I
+(~~-l).i'
i=2
,=2
1
=A
- ( -1
-1 )
= i1,ail2 - 6 7 - l ) i 2 i=2
(hi)' =5/,$12Misalkan nilai eigen dari matriks A real dan kompleks, yaitu 2?= -,q ,j=2, ...,nz 4=-pj +Iv,j=111+l, ...p A,= - ' L - I v , j=p+l, ...,17 dengan p,+1=pp+l ,... ,pp=/I" d m V,+I = V ~ + I < . . . , vP =vn 1 C-p. " =-i J
maka,
i(~,~-,i)'= g(-pj+bp+ 2(-pj++it;+;)2 i-2
,=2
j=,"+~
ibi -by-15 i=z
17-1 i=2
P
=
(h.A)Z
2
17-1
.
(10)
Pada Teorema 5 di bawall ini diberikan pertidaksarnaan dari j u i l a l ~ kuadrat bagian imajiner nilai eigen A.
( i i I 'I
i=2 17-1
U
17-1 j = 2
,
Teorerna 5 [Walter. 19851 Misalkan.4 adalah matriks SCCM dan v; ,i=2,. .., 17 adalah bagian imajiner dari nilai eigen A, maka (tr~)~ n (i) -- tc4 < El>,-< tid"i T --
i=2
i=2
PA)'
i - ) 2 + 1 i i=2
-
-azai + ~ 7 - 1 1 2
i=2
L n1
i n i & -&i-aji+i2
=51ai12-i?ai
2
+v,
j=2
sehingga Teorema 4 dapat ditulis kembali dalain bentuk
i=2 A n
5bJ.-fi)
=
i=2
te2
i=2
=
iIa, -21'
,=I,.=I
i=l
2
i=2
.
17-1
Bulti : (i) Dari persanaan (10) diperoleh
-n-1
t r ~ '=
tll; -hi-by i=2
" 2 < Elli
i=2
(tr~)" 0 n-1 (ii) Kurangkan tiap sisi pada persalnaan (10) dengan S t r AT
--,
tc4-
--(trAI2
V. CYCLE Misalkan .4={aij), adalal~ matriks SCCM yang merepresentasikan suatu cycle dengan panjang n, Inaka secara umum lnatriks tersebut berbentuk. 0 0 ... a,, -a, 0 ... 0 a, -a2 -a, ... 0 A= 0 a2 . . . . 0 0 ... - a , - o dengan ai > 0, i=l, ..., n dan a, adalah koefisien aliran atau dalaln bentuk digraf sesuai dengan galnbar 6 di bawah ini
vn
Ekspresi
i(a, - h)2
julnlali kuadrat deviasi dari koefisien aliran, yang bernilai lninilnnm jika semua a, bemilai sama (misalkan a). Pada kasns semua ai bemilai salna yaitu a, nilai eigen A dapat dillitung secara eksplisit karena polinom karakteristihya adalah f(d)=(d+a)"-an, sellingga berdasarkan Lema 7, nilai eigennya adalal~ Zldk1,r . k=0:1:2 ,... n - 1 , A, =-a+ae dan karena
1'5
Gambar 6. Cycle dengan panjang n. sehingga batas atas dan batas bawah dari adalah
JKD
Misalkan didefinisikan rata-nta koefisien aliian 1" ole11 h = - C a , ,maka n ;=I
dapat dikatakan sebagai
i=l
maka 1-1,
.,z
Selanjufnya akan dibahas hubungan antan bagian real dan imajiner nilai eigen matriks SCCM. Definisi 26 pisenfeld, Beltz & Gmdy, 19841 Suatu matriks A, yang dikategorikan ma&iks SCCM dikatakan mempunyai nilai eigen utarna p, jika (i) p adalah nilai eigen real dari A (ii)p adalah nilai terbesar dari bagian real Nlai eigen A yang laimya. Lema 15 [Kellog & Stephens, 19781 Misalkm KnXFadalab matriks nonnegatif dengh nilai eigen Perron i' dan D adalali digraf yang bersesuaian dengan K. Misalkan nr adalah panjang dari cycle terpanjang D. Jika mS2 , maka seluua nilai eigen K adalall real. Jika 17722, maka nilai eigen A=p+i vdari A memenuhi
ICr= A*x (A + q I ) ~ = a + ~ AX=@+- q)x Ax= px, Inaka p =A+-q adatall nilai eigen utzna dari A. Misalkan n~ adalali panjang dari cycle terpanjang pada digraf matriks K. Karena A dan K mempunyai elemen selain diagonal yang identik, maka keduanya ~ne~npunyai digraf yang sana. Menurut Lema 15 ,jika 17152.maka selnua nilai eigen A adalah real. Jika rn >2, maka nilai eigen A= (-p+q)+ i v dari K, memenuhi
KarenaA adalah SCCM, Inaka PO, sehingga 7c
72
p+/vItan-
Ivl tan-
111
sp
Ill
U
Bukti: L i a t Kellog & Stephens (1978). Berdasarkan lasil Kellog dan Stephens &pat diperoleh Iiubungan antam bagian real dan imajiner nilai eigen mah'iks SCCM, sebagaimana Yang terdapat pada teorema berikut ini. Teorema 7 [Eisenfeld, Beltz & G m d y , 19841 Misalkan A adalah matriks SCCM dan D adalah digraf yang bersesuaian dengan A. Misalkan m adalal~panjang dari cycle terpanjang D. Jika m<2, maka serum nilai eigen A adalah real. Jiia m>2, xnaka ~ l aeigen i A=-p+ivdariA memenuhi IT
Ivl tannr
rp
Buliti : Misalkan A={aij},,, adalah matriks SCCM, untuk setiap konstanta q yang memenuhi q 2 maslail , 15iin
I
maka K=A +qI adalah matriks nomegatif. Misalkan x adalah vektor eigen bersesuaian dengan A, nnlaka A F ~
Teorema 8 [Walter, 19851 ~ i ~ ~ lA=-p+ivadal& k a n bilangan kompleks yang memenuhi persamaan (13), maka ada suatu matriks yang merepresentasikan cycle dengan panjang m, dimana Aadalah salah satu Nlai eigennya. Bukti : Misalkan A adalah matriks SCCM dengan panjang cycle m dan koefisien d i m ,
dengan O < a 51 dan P O , karakteristik dari A adalah .
maka polin0111
.
p"' . 111! Untuk PO, ~nakakoefisien aliran lnenjadi - a(a+lXa+2)...(a+nr-l)
yang
sehingga A adalah nilai eigen A jika dan hanya jika A+q adalah nilai eigen dari K. Misalkan A+ adalah nilai eigeii Perron dari K maka A' juga liilai eigen utallla dari K dan karena
yang berakibat digraf yang bersesuai dengan A bukan cycle dan
yang berakibat matriks .4 lllempunyai nilai eigen real berbeda. Untuk a=l, selnua koefisien alinn sanla dengm 0. dn
f,.p(n) = -P", yang nlenurut Lenla 7 nilai eigennya adalah ,2d/m A=-P+Pe, , : k=0,1. ... , m-1. Untuk O
~ ~ .p + t p e""~ ' "~ = -,u+iv i inemnenuhi persamaan (13). yaitu dari penurunan di bawah ini. -p +pe'2"'rn= -,u+iv -p +pcos2n /ni+ipsin 2n: /ni = -,u+iv, yang berarti -p+pco~Zn:/m=-p dan psinZn/rn=v. - p +pcos2n /m = -,u Untuk
.
maka
P
P = ~ - c o s ~ n / r: n substitusikan ke persatnaan psin 2n/n1 diperoleli
=
v,
iT
vtan-=,u. m selingga s e m b m g nilai eigen dengan bagian iinajiner positif memenulu persamaan (13) terletak pada daerah ini dan merupakan nilai eigen dari 0 suatu cycle dengan panjang In.
VI. KO&@~INASI CYCLE 6.1 IIustrasi Kombinasi Cycle Bab ini akan membahas tentang nilai eigen koinpleks dari inatriks SCCM A yang ~nerepreseritasikangabungan dari dua atau lebili qxle.
f , ( ~ ) = - & I+(CI 2 + c>+c3) A+ CI c2+ cz c3+ c3 C I ) Perbatikan beberapa kasus di bawah ini. (i) Jika ai= ci =l , i=1,2,3, maka A(,?) =&A) = +3 n+3), sehingga
Contoh 5 Misalkan A adalah mahiks SCCM yang terdiri dari dua cycle, yang ~nasing-masingpanjangnya tiga, yaitu
yang berarti junlah kuadrat bagian imajiner dari tiap cycle adalali sama, yaitu
-
-xn2
.
0 03 0 0 0 0 0 a, -a2 A= 0 n2 - a j - c 3 0 cI 0 -c2 0 0 c3 0 0 0 c2 - C 1 dengan ai > 0, i=1,2,3 adalal~koefisien aliran pada cycle pertamna dan ci > 0, i=1,2,3 adalal~koefisien aliran pada cycle kedua . Polinom karakteristik dari mnatriks A adalah . ~ n ) = ( n + a , ) ( n + a , m+~(n+c1)(n+c2mn) ) + x a + a l ) (n+a2)(n+cl)(n+cz), dengan,fi(L)d m &(,I)adalali polinoin karakleristik dari tiap cvcle, dimana .I;(A)=-A(.1' +(al+ n2+a,) A+ a1 a2+a2a,-!-a? n l ) -al
Polinoin karakteristik untuk mahiks.4 adalah (-aa2+3a+3))+ ( a + i ) (131) ~ ( 2=) (&I) (-a(n2+3n+3))+ a(n+i) ( h i )( n + i )('+I) = n (n+i)' {(n+i)2- 2(a2+3A+3)) = n (A+i)2(-n2 - 4 n - 51, sellingga Al=O, A=&= -1, A , , = - 2 i i , yang berarti jumlah kuadrat bagian imajiner dari gabungan dua cycle adalah
(ii) Jika a, = cl =l, a2 = c2=2, a; = c; =8,maka J(A) = -4A2 +11d+26). sehingga
yang berarti jumlah kuadrat bagian ilnajiner d a i tiap cycle adalall nol. Polinom kamkteristik untuk mattiks A adalah f(A) = (R+1) (A+2) (-A(A2 + llL+26)) + @+I) (A+2) (-&,I2 +11A+26))+ ?dA+l) (A+2) (a+ 1) (A+2) = L(A+l)(A+g{(A+l) (d+2)- 2(?,'+11d+26)} = 1(L+l) (A+2) (-a219'- 50), sehingga -19 al=o, &=-I, A=-2 a,,, =-+--
Ji-81 ._I
L
3
10
0
0 0 0 1
dan y o 0 0
0
0 1
Digraf D juga terurai ~nenjadi D=DluD2 seperti garnbar dibawah ini.
L
yang berarti jumlah kuadrat bagian irnajiner dari gabungan tiap cycle adalah nol.
0 Pada pembahasan ini dias~unsikanbahwa digraf yang bersesuaian dengan matriks .4 adalah clustered rosette. Suatu digraf disebut rosette jika ada suatu verteks yang terletak pada semua cycle, dimana cycle satu dengan lainnya terpisal~. Suatu digraf D dari sekumpulan rosette yang strongly connected dan tiap arc terletak pada tepat satu cycle disebut clustered rosette. Misalkan A adalah matriks SCCM dengan digrafkya adalah clustered rosette. Digraf D dari matriks A akan terurai menjadi digraf-digraf yang memuat tepat satu cycle tetapi dengan llimpunan verteks yang sama dengan digaf D. Notasikan digraf ke-i dengan D; dan panjang cycle dari tiap D, oleh Ini ,maka D=DluD2u... u D, sela~naD dan D; keduanya nlen~pnnj~ai himpunan verteks yang sarna dan tiap arc dari D terlnuat pada satu Di. Matriks A; i=l, ..., n bersesuaian dengan koefisien alimn tak no1 pada posisi yang bersesuaian dengan sisi bermdl pada Dj . sehingga A juga terurai menjadi A=Al+A2+... +.4,.
.
Contoh 6 Misalkan diberikan nlattiks SCCM A , seperti pada contoh 5, maka A t e m i n~enjadiA=AI+A2 , dengan
Gambar 7. Digraf D dan dua subdigraf Dl dan D2 dari matriksA pada contoh 5.
6.2 Nilai Eigen dari Clustered Rosette Sekarang akan ditwunkan l~ubungan antara nilai eigen matriks A dan matriks Ai , i=1,2,.... p. yang terdapat pada teorema berikut ini. Teorema 9 [Walter, 19841 Misalkan A adalah lnatriks SCCM dari suatu P
clustered rosette D, dengan uraian A = C A, , ,=I
P
D = U D, . Misalkan R, ,,,.. An., adalah nilai eigen ;=I
tak no1 dari A. q),...;~f;-, adalah nilai eigen tak
i:i(') adalah rata-ratanya, maka
no1 dari Ai dan ,,-I
(i)
C a, k=l
dengan
p
=C
"I,
-1
c
,=I j=,
I :[! : : ( [ I:!? irj
JKDt = C trAiA,?
--
;=I
JKDs = C frAz
--
i=l
Bukti : (i) Dari k e l i n e m teras, diperoleh n-l
XI,
P
p ">,-I
;=I
;=I j=l
i
=frA=CfrAj = C C
k=1
Perhatikan bal~wa
A?).
114)
(ii) Dapat diamati ballwa jumlah nilai eigen tak no1 adalah sama pada kedua sisi persamaan di atas, dengan menghitung jumlah verteks yang terpisah
i=1
(16)
lnenyatakanjudahkuadrat deviasi dari nilai eigen tiap cycle,
pada D = ~ J D ,; yaitu
P P
JKDh =
?=I
P
(17)
c!~A~A;
;=I j=1
itj
n-l=~(t?li-l),
;=I
maka pers-an meniadi
(14) &pat diMis kembali
menyatakan hnbungan beberapa cycle. yaitu jumlah perkalian semua pasangan dari koefisien aliran yang meninggalkan verteks yang sama.
P "$,-I
,z-I
~ 2 =,C
I.=]
c
i=l j = l
Bentuk berikut
A?)
P - 1 (s (mi - 1) (n - 1) n-1 -Cn, = C 4( 7 - 1) k 1 ;=I j=l (,?I; - 1)
.
n = P~nit- -1 i(j)
.
n-1
Selanjutnya dapat diperoleh bal~wa P
P
P
P P
i=1
,=I
i=l
;=I j = l
3
(n -1)
;=I
dapat disederlmakan dengan lnelnisalkan mi -1 P a . =, sehingga Ca, = 1 dan persalnaan n-1 i=l (18) menjadi
I',
.uT =CA,CA;=CA,A:+CCA,A;, isj
sehingga
clnl. -i12= ? l ~ , 1 ~ - ~ ; - i ) i ~
,,-I
k=l
(18)
=
(n-a[-&i[i(;)]' i=l -[baj~c)']
k=I 2
Yll ]
l)[rq[,q -
= (.
~ . ~ i ( f +) [ ) g i ~ ) r ]
sehingga dalam bentuk kompleks diperoleh
Misalkan bagian imajiner nilai eigen tiap cycle dinotasikan oleh v , j = ~ , , . . . I, .i=1.2 ,..., p , maka persamaan pada Teorema 5 berlaku juga untuk bagian imajiner nilai eigen tiap cycle, yaitu
Jadi d a i p e r s m a n (15)-(19) diperoleh JKD r JKDt +JKDa+JKDh. Selanjutnya karena
Misalkan suatu cycle dengan panjang 11 ~ne~npunyai koefisien aliran yang salna yaitu a. ~naka i2 -2n l r & ~ t r ~ y= 2na 2 --n2a2 = a2 - JKD . 11-1 11-1 11-1 Dengan cam p e n m a n yang sruna seperti pada Teorema 5(ii), maka diperoleh
-L
dan berdasarkan Teorema 4,
n-1
2 x 4=I~AA -PA', ~ k=I
selungga berlaku juga untuk bagian ilnajiner nilai eigen tiap cycle dengan panjang tiap cycle adalah mi , i=1,2, ...,p , yaitu
=JKDs + M a +JKDh . selungga K D s 5 JKD - JKDa - K D h < JKDt.
dimana trili.4T -IYA: (20) 0
Dengan cam yang sama, ~nakadapat diperoleh
(21) Kelnudian dengan ~nengurangikedua sisi pada persa~naan(20) dengall persanlaan (2 1)diperoleh
= 2 ~ 12 ~-nt,n,? n ~ = m,o'
Teorema 10 [Walter. 19851 Misalkan A adalah ~nat~iksSCCM yang bersesuaian dengan clustered rosette dan Ai adalah lnatriks yang bersesuaian dengan cycle ke-i, i=1,2, ...,p, rnaka bagian ilnajiner vi dari nilai eigen A memenuhi
Jika tiap cycle lnempunyai koefisien aliran yang sanla yaitu a,~naka
1P 1 pm,-l =-Cmia;" *=I ;=I j = l 2 i,l 2 ; s ,=I dengan 17ii adalah panjang, a; koefisien aliran , v?)dan bagian real dan imajiner nilai eigen, dari qxle ke-i dengan r7zi > 2. ,?-I P ",,-I ~ v5 i
<-cc ($,)Z
c c (@)Z
,up)
bagian real dan iniajiner nilai eigen dari cycle ke-i engan panjang lebili besar 2, maka dari fakta balwa "-1 ;u,(c -v;)= i a j = t r ~ ' k=l
*=I
dan n-l
CV;
Bulcti: (i) Berdasarkan persamaan (22), maka
<@A2,
k=I
sehingga n-l
p
k=I
i=I
P x m p ; = 2C C v(): pms-l
2 ~ vriC(wAi4~ -PA;)= 21;.
P
=
(7
$y[&)Y-(,.fl] i=l ;=I
i=l
p
i=l ,.=I
i=l
4-1
P
m,-t
r 2;=I1 C Lp)p r i=l ;=I1&))Z. (=I
sehingga
Jadi "-1
p
~ 1 , ;5
1
r=l
"5-1
i=l ;=I
(+))?
P
= LCmia:
2 i=I
1 P mt-l
r -C
2 ;=I
c b!j)Y.
;=I
(ii) Jika tiap cycle ke-i, i=l,..., p menlpunyai koefisien alinn yang salna dan misalkan nt; adalal) panjangnya, a; koefisien a l i v(j)dan pili)
Suatu model kompartemental &pat ditulis dalain bentuk persamaan diferensial
panjang cycle terpanjang dari digraf.
Jika
t7A- --(*A)2 < 0 , maka ada bagian imajiner nilai x=Ax+b 17-1 A yang tak nol. eigen dengan A adalah ~natrikskompartemental. Pada niatriks A yang bersesuaian dengan Diasu~nsikanbahwa ~natriksA bersifat SCCM (Strorzgly Connected Closed Models). Jika A ko~ubinasi cvcle, jika tiap cycle mempunyai ~nerepresentasikandigmf dengan cycle terpanjang .koefisien aliran yang salna, maka jumlah kuadrat kurang dari atau sama dengan dua, maka semua nilai eigen yang imajiner dari matriks kombinasi nilai eigen A bemilai real. Jika cycle terpanjang cycle akan kurang dari atau sama dengan juinlali lebih dari dua. inaka a& nilai eigen A=-p+iv dari kuadrat iiilai eigen yang i~najinerdari matriks tiap cvcle. iT A yang memenuhi lvl tan- S p , di~nanam adalall ill
DAPTAR PUSTAKA Anderson, D. H. 1983. Compartmei~tnlModeling and Tracer Kinetics. Springer-Verlag, Berlin.
Noble, B. 1969. Applied Linear Algebra. Prentice Hall, Inc., New Jersey.
Anton, H. 1995.Aljabar Linear Elementer. Ed. ke5. Terjemahan PaoN Silaban & I Nyoman Susila Erlangga, Jakarta.
Oltsaviri, Y. 1997. Peran Sifat-sifat Matriks Tak Negatif dalam Model Dinamik Leontief. Skripsi. Jurusan Matematika FMlPA IPB, Bogor (tidak dipublikasikan).
Eisenfeld, J., W. F. Belb & S. M. Grundy. 1984. The Role of Nomeal Eigenvalues in Tbe Identification of Cycle in a Colnparhnental System. A4ntheinatical Biosciences. 71:41-55. Hall, H.S. & S.R Knight. 1964. Higher Algebra. Maclllillan & Co.. Ltd. London.
Patiouras, J. D ,1987. Peubah Kompleks untuk Ilr~izi~vnn h 7 Insinyur. Terjemalm Wibisono Gunawan. Erlangga, Jakarta. Thulasirarnan, K. & M. M. S. Swamy. 1992. Graphs: Theoy and -4 lgoritl~ins.Jolm Wiley & Sons, Inc, New York.
Hearon, J.2. 1963. Tl~eorenlson Lmear System. Annals New York Academy of Sciences. 108:36- Walter G. G. 1984. Eigenvalues and Structure of 68. Conlpartmental Models. Motl?ematicnl Bioscier~ces.71: 181-199. Kellogg, R B., & A. B. Stephens. 1978. Conlplex Eigenvalues of a Non-Negative Matrix with Waltel; G. G. 1985. On Complex Eigenvalues of a Specified Graph. Linear Algebra and. Its Comparhnental Models. Mathematical Applications. 20:179-187. Biosciences. 75:143-157. Marcus, M. & H. Mine. 1964.A Survey of Matrix T h e o y and Matrix Inequalities. Allyn and Bacon, Boston.
