(MS.3) SUBRUANG CONINVARIAN DARI MATRIKS KUADRAT KOMPLEKS

PROSIDING Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011

ISSN : 2087-5290. Vol 2, November 2011

(MS.3) SUBRUANG CONINVARIAN DARI MATRIKS KUADRAT KOMPLEKS Euis Hartini Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Padjadjaran, Jl. Raya Bandung-Sumedang KM. 21 Jatinangor Email : [email protected]

Abstrak ( ), diperoleh skalar Di dalam persamaan = , di mana matriks C adalah nilai coneigen dari nilai dan adalah vektor coneigen (vektor coninvarian) dari ( ) mempunyai vektor coninvarian. yang berkaitan dengan . Tidak setiap matriks di Dengan demikian, didefinisikan subruang ℒ dan ℒ subruang coninvarian dari matriks jika ℒ ∁ ℒ dengan ℒ = { |x ℒ } di mana adalah konjugat dari vektor kolom x. ( ) ( ≥ 3) mempunyai Pada paper ini akan dibuktikan untuk setiap matriks subruang coninvarian dimensi-1 atau 2. Sedangkan untuk matriks normal konjugat ( ) , jika setiap subruang coninvarian dari maka berlaku juga subruang coninvarian dari . Kata Kunci : Nilai coneigen, vektor coninvarian, subruang coninvarian, dan matriks normal konjugat.

1. PENDAHULUAN Sebarang vektor lapangan

kedalam

yang ditransformasikan oleh matriks kuadrat

, sehingga

=

karakteristik atau vektor eigen dari

berordo

×

atas

, di mana disebut vektor invarian atau vektor yang berkaitan dengan skalar (nilai eigen) dari

matriks . Untuk menentukan

nilai eigen dari matriks

persamaan karakteristik det( berkaitan dengan yaitu ( Menurut sifat jika ×

dan jika

,

,

,…,

berordo

− ) = 0 dan untuk menentukan

×

, yaitu melalui

vektor invarian yang

− ) = 0. ,…,

adalah nilai eigen yang berlainan dari matriks

berordo

merupakan vektor-vektor invarian tak nol yang masing-masing

berkaitan dengan nilai eigennya, maka { } untuk i= 1, 2, … , adalah bebas linier. Jika eigen dari

berordo

×

maka rank

invarian yang berkaitan dengan Selanjutnya untuk skalar

−

adalah

nilai

− 1 dan dimensi ruang vektor

adalah 1. ∈

dan vektor tak nol

coneigen dan vektor coninvarian yang berkaitan dengan Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011

∈

masing-masing disebut nilai

dari matriks

∈

( ), berlaku 258

PROSIDING Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011 =


̅ . Di dalam ruang vektor yang skalarnya bilangan real disebut ruang vektor real dan

ruang vektor yang skalarnya kompleks disebut suatu ruang vektor kompleks. Dengan demikian di dalam ruang vektor yang skalarnya coneigen invarian dari matriks kuadrat kompleks disebut ruang vektor coneigen invarian matriks kuadrat kompleks. 2. PEMBAHASAN Dalam pembahasan paper ini diberikan definisi-definisi untuk menunjang pembuktian teorema berikutnya, yaitu sebagai berikut Definisi 1. Kenormalan suatu matriks kuadrat ∗

=

(1)

Definisi 2. Suatu matriks ∗

=

adalah

∗

∈

( ) dikatakan normal konjugat jika

∗

(2)

Misalkan matriks ,

∈

( ) dikatakan consingular jika

=

untuk matriks

nonsingluar. Didefinisikan matriks perkalian berikut ini. = ̅ dan

̅=

=

(3)

Karena tidak setiap matriks di

( ) mempunyai vektor coneigen maka didefinisikan

berikut ini : Definisi 3. Subruang ℒ ∈

( ) jika

dengan ℒ = { |x

dan ℒ subruang coninvarian dari matriks ℒ∁ ℒ

ℒ } di mana

(4) adalah konjugat dari vektor kolom x.

Hal khusus, jika dimensi ℒ = 1 , maka untuk setiap vektor tak nol x ∈ ℒ disebut vektor coneigen (vektor coninvarian) dari . Berikut ini contoh dari Definisi 3.

Contoh 1. 1+ maka 3 − 2 −1 − − )= = ( − 2)( − 3) − 2 = −1 + −3

= det (

2 1−

−5 +4

= ( − 1)( − 4)

=0 Jadi, nilai coneigen matriks A adalah

Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011

= 1 dan

=4

259



−1 −1 − 0 = diperoleh = (−1 − ) dan = . −1 + −2 0 −1 − (−1 − ) Jadi, = = merupakan ruang eigen ( ruang solusi/ coninvarian) yang 1 −1 − berdimensi satu dengan basis = , u merupakan vektor coninvarian dari A. 1 2 −1 − 0 Untuk = = 4 maka = diperoleh = dan = . Jadi, −1 + 1 0 Untuk

=

=

= 1 , maka

=

merupakan ruang eigen (ruang solusi/coninvarian) yang berdimensi satu

1

dengan basis

=

, v merupakan vektor coninvarian dari A. 1

Dengan demikian, Jadi, berlaku

ℒ=

2 1−

1+ 3

−1 − 1

=

−1 −1 + dan ℒ = 1 1

ℒ∁ ℒ.

Sebagai dasar pada subruang coninvarian diberikan teorema berikut ini. Teorema 1. Untuk setiap matriks

( ) ( ≥ 3) mempunyai subruang coninvarian

dimensi 1 atau 2. Bukti : Misalkan

merupakan vektor eigen = ̅

untuk suatu λ

dengan

=

(5)

. Didefinisikan

=

(6)

Andaikan dan adalah bergantung linier, yaitu =

̅

Untuk suatu

(7) , maka

adalah vektor coninvarian dari

dan ℒ =

{ } merupakan

subruang coninvarian dimensi-1. Persamaan (7) akan berlaku = ̅

=| |

, sedangkan persamaan (5) nilai eigen

nonnegatif. Diasumsikan bahwa dan ditulis sebagai

=

merupakan bilangan

adalah bebas linier. Maka persamaan (6) dapat

dan persamaan (5) dapat ditulis sebagai berikut

= ̅ ̅,

(8)

hal ini berarti ℒ = span{x, y} adalah subruang coninvarian dimensi-2 dari

.

Sehingga didapat hubungan matriks berikut ini ̅ A{ , } = { , } 0 . 1 0 Dengan

vektor eigen dari

(9)

dari persamaan(6) dan perkalian persamaan (8) dengan

diperoleh Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011

260

̅

PROSIDING Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011 = ̅ Jadi vektor


= ̅ .

=

(10)

berkaitan dengan nilai eigen , dan vektor

berkaitan ̅ . Dengan demikian ℒ

subruang dimensi-2, dalam hal ini subruang invarian dari invarian

dibangun oleh dua

vektor eigen yaitu pasangan nilai eigen konjugat kompleks. Jika

≠ 0 maka dari (9) berlaku

= √ dan untuk (6) dapat didefinisikan

=

(11)

Maka diperoleh =

,

=

dan [

]=[

]

0

̅ . 0

(12)

Diberikan contoh untuk matriks berordo 3 x 3 atas bilangan kompleks. Contoh 2. −1 1 = − 1 untuk menentukan nilai coninvarian dari matriks A dengan melalui 1 −1 +1 −1 det ( − ) = 0 yaitu =0 −1 − −1 − +1 ⇒ ( + 1)( − 1)( + 1) + ⇒

+ ⇒

+

− ( − 1) −

( + 1) −

( + 1) = 0

=0 ( + 1) = 0

Jadi, nilai coninvarian dari A adalah 1 Untuk

= 0 maka

−1 −1 −

−1 − 1

= 0 dan

= −1

0 = 0 diperoleh 0

= 1,

= 0, dan

= 1. Jadi,

1 = 0 merupakan ruang eigen (ruang solusi/coninvarian) yang berdimensi satu dengan 1 1 basis = 0 , u merupakan vektor coninvarian dari A. 1 0 −1 0 Untuk = 1 maka = 0 diperoleh = − , = 1, dan = 0. Jadi, −2 − −1 − 0 0 − = 1 merupakan ruang eigen (ruang solusi/coninvarian) yang berdimensi satu dengan 0 − basis = 1 , v merupakan vektor coninvarian dari A. 0


261



≤⋯≤

) dari suatu

Selanjutnya akan diberikan matriks normal konjugat ℵ , di mana jika

ℵ maka

Sifat 1. Misalkan matriks

( ). Jika

∈ =

,...,

…….

(

submatriks dari baris , … ,

∈

≤

ℵ maka

,…,

ℵ dan

ℵ . Sifat subruang coninvarian dari

ℵ diberikan pada teorema

berikut ini. Teorema 2. Jika untuk setiap subruang coninvarian dari subruang coninvarian dari

ℵ maka berlaku juga

.

Bukti : Misalkan ℒ merupakan subruang coninvarian dimensi- dari (1 ≤

≤ ) . Misalkan basis ortonomal

merupakan elemen ruang

dan didefinisikan

,…,

di ℒ dan =[

=

…

,…,

,

,…,

],

= Partisi

yang bersesuaian dengan

(13) ∶

= dimana

adalah blok =

× . Dari (13) dapat ditulis

.

(14)

maka menurut definisi subruang coninvarian Misalkan

= 0.

ℵ berlaku (13)

= 0. dari (13), diperoleh = dan =

(15)

Persamaan (15) berarti ℒ adalah subruang coninvarian dari

.

Contoh 3. 2 1− 2 1− maka = 1− 2 1− 2 2 1− 2 1+ = = , dan ̅ = = ∗ 1− 2 1+ 2 2 1− 2 1+ Jadi, ∗ = 1− 2 1+ 2 =

∗

∗

=

∗

̅=

2 1−

1− 2


2 1+

=

,

∗

=

=

2 1+

1+ 2

,

1+ 2

262

PROSIDING Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011 Dengan demikian

∗

=

∗


, sehingga A merupakan matriks normal conjugate.

Selanjutnya, untuk menentukan nilai coneigen dan vektor invariant dari matriks di atas diperoleh det (λI − ) = 0 ⇒

− 2 −1 + = ( − 2) – (−1 + ) = 0 1+ −2 ⇒ ( − 2) + (−1 + ) (( − 2) − (−1 + ) = 0

Jadi, nilai-nilai coneigen dari matriks A adalah − 2 = −1 + ⇒ Untuk

− 2 = −(−1 + ) ⇒

= + 3 dan

= +1

= − +3

− + 1 −1 + −1 + − +1 − Jadi, = =

=

0 maka diperoleh 0

= − dan

=

−1 merupakan ruang eigen (ruang solusi/coninvarian) yang 1 −1 berdimensi satu dengan basis = , u merupakan vektor coninvarian dari A. 1 Untuk

= +3

+1 −1 +

−1 + +1 − = =

=

0 maka diperoleh 0

= − dan

=

−1 merupakan ruang eigen (ruang solusi/coninvarian) yang 1 −1 berdimensi satu dengan basis = , v merupakan vektor coninvarian dari A. 1 Jadi,

Karena A matriks normal conjugate, maka nilai coneigen dan vektor coninvarian dari matriks

sama halnya dengan nilai coneigen dan vektor coninvarian dari matriks A.

3. KESIMPULAN Untuk setiap matriks A berordo 2 x 2 atas bilangan komplek mempunyai subruang coninvarian berdimensi -1. Sedangkan untuk setiap matriks A berordo n x n atas bilangan kompleks dengan n ≥ 3 mempunyai subruang coninvarian berdimensi -1 atau 2. Untuk A matriks normal conjugate, subruang coninvarian

sama halnya dengan

subruang coninvarian A.

4.

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard, 2000, Dasar—dasar Aljabar Linear, diterjemkan pleh Ir. Hari Suminto, Interaksara, Batam Ayres, Frank ,Jr.PhD, 1994, Matriks, diterjemahkan oleh I Nyoman Susila, Erlangga, JakartaFaϐbender,H dan Ikramov ,Kh. D.,2006, Some observation on the Youla form and conjugate-normal matrices. http://www.icm.tu-bs.de/~hfassben/papers/youla.pdf (diakses pada bulan Juni 2011) Faϐbender, H, dan Kh. D. Ikramov, 30 November 2007, Conjugate-normal matrices A Survey. http://www.icm.tu- bs.de/~hfassben/papers/youla.pdf (diakses pada bulan Juni 2011)


263

(MS.3) SUBRUANG CONINVARIAN DARI MATRIKS KUADRAT KOMPLEKS

Recommend Documents