Matematika II
3.5. Fyzikální aplikace
3.5. Fyzikální aplikace Cíle
Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Předpokládané znalosti
Předpokládáme, že jste si prostudovali zavedení pojmu určitý integrál (kapitola 2.1). Dále předpokládáme, že znáte základní metody výpočtu určitého integrálu. Výklad
Jak již bylo uvedeno v úvodu 3. kapitoly, existuje nepřeberné množství problémů, při jejichž řešení je používán integrální počet. V průběhu studia se seznámíte s použitím integrálů ve fyzice a v dalších odborných předmětech. V této kapitole se omezíme pouze na jednoduché aplikace v mechanice. Půjde o výpočet statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti hmotných křivek a rovinných oblastí. V obecném případě, kdy veličiny závisí na dvou nebo třech proměnných se k výpočtu používají dvojné nebo trojné integrály. Podrobnosti naleznete v textu Matematika III. Těžiště a moment setrvačnosti soustavy hmotných bodů
Připomeňme si, jak je v mechanice definován statický moment a moment setrvačnosti. Uvažujme v rovině jeden hmotný bod A = ( x, y ) s hmotností m.
Obr. 3.5.1. Hmotný bod A v rovině Statický moment hmotného bodu k libovolné ose o je dán vztahem So = rm
a moment setrvačnosti uvedeného bodu při jeho rotaci kolem osy o je - 194 -
Matematika II
3.5. Fyzikální aplikace
Io = r 2 m , kde r je vzdálenost bodu od osy o (obr. 3.5.1). Pokud je uvažovanou osou osa x, je r = y a pro osu y je r = x . Mějme v rovině soustavu hmotných bodů Ai = ( xi , yi ) s hmotnostmi mi , i = 1,..., n . n
Celková hmotnost soustavy bude
m = ∑ mi , i =1
n
statický moment k ose x bude
S x = ∑ yi mi , i =1 n
statický moment k ose y bude
S y = ∑ xi mi i =1 n
a momenty setrvačnosti budou
Ix = ∑
i =1
yi2 mi
n
, I y = ∑ xi2 mi . i =1
Těžiště T = (ξ ,η ) je bod s touto vlastností: Kdyby do něj byla soustředěna všechna hmota soustavy, pak by tento bod měl stejné statické momenty k souřadnicovým osám, jako daná soustava hmotných bodů. Tedy pro těžiště platí
ξ m = S y a ηm = Sx . Odtud dostáváme pro souřadnice těžiště vztahy ξ =
Sy
S , η= x. m m
Při výpočtu souřadnic těžiště hmotné křivky nebo rovinné oblasti budeme postupovat jako při zavedení určitého integrálu. Křivku (oblast) rozdělíme na malé elementy. Statické momenty (hmotnost) dostaneme jako součet statických momentů (hmotností) těchto elementů. Limitním přechodem pro n → ∞ přejdou sumy na integrály. Těžiště a moment setrvačnosti rovinné křivky
Křivku v rovině si můžeme představit jako kus drátu z materiálu, který má konstantní délkovou hustotu σ . Chceme nalézt souřadnice těžiště této křivky (obr. 3.5.2).
- 195 -
Matematika II
3.5. Fyzikální aplikace
Obr. 3.5.2. Těžiště rovinné křivky Předpokládejme, že je křivka dána parametrickými rovnicemi x = ϕ (t ) , y = ψ (t ) ,
t ∈< α , β > , přičemž funkce ϕ (t ) a ψ (t ) mají spojité derivace na intervalu < α , β > . β
Její délka (věta 3.2.2) je s =
2 2 ∫ [ϕ ′(t )] + [ψ ′(t )]
dt .
α
Hmotnost křivky dostaneme jako součin délky a hustoty: β
m =σs =σ ∫
[ϕ ′(t )]2 + [ψ ′(t )]2
dt .
α
Křivku můžeme aproximovat lomenou čárou složenou z úseček Δsi , i = 1, 2,...., n . Úsečky budou mít hmotnosti
mi = σ Δsi , i = 1, 2,...., n . V případě malých elementů si
můžeme představit, že hmotnost je soustředěna do jednoho bodu Ai = ( xi , yi ) , který leží na dané úsečce Δsi , i = 1, 2,...., n . Statické momenty této lomené čáry budou n
n
i =1
i =1
n
n
i =1
i =1
S x = ∑ yi mi = σ ∑ yi Δsi , S y = ∑ xi mi = σ ∑ xi Δsi . Je zřejmé, že pro zvětšující se počet úseček budeme dostávat přesnější aproximace statických momentů. Pro n → ∞ dostaneme (analogicky jako v kap. 3.2.) β
2
2
2
2
S x = σ ∫ ψ (t ) [ϕ ′(t ) ] + [ψ ′(t ) ] dt , α
β
S y = σ ∫ ϕ (t ) [ϕ ′(t )] + [ψ ′(t ) ] dt . α
- 196 -
Matematika II
3.5. Fyzikální aplikace
Podobně odvodíme vztahy pro momenty setrvačnosti při rotaci kolem osy x, resp. y. Věta 3.5.1.
Nechť je křivka dána parametrickými rovnicemi x = ϕ (t ) , y = ψ (t ) , t ∈< α , β > , přičemž funkce ϕ (t ) a ψ (t ) mají spojité derivace na intervalu < α , β > . Je-li délková hustota σ křivky konstantní, pak má křivka hmotnost β
m =σ ∫
[ϕ ′(t )]2 + [ψ ′(t )]2
dt .
α
Pro statické momenty platí: β
2
2
2
2
S x = σ ∫ ψ (t ) [ϕ ′(t ) ] + [ψ ′(t ) ] dt , α
β
S y = σ ∫ ϕ (t ) [ϕ ′(t )] + [ψ ′(t ) ] dt . α
Momenty setrvačnosti této křivky dostaneme ze vztahů: β
2
2
2
2
I x = σ ∫ ψ 2 (t ) [ϕ ′(t ) ] + [ψ ′(t ) ] dt , α
β
I y = σ ∫ ϕ 2 (t ) [ϕ ′(t ) ] + [ψ ′(t ) ] dt . α
Těžiště T = (ξ ,η ) má souřadnice ξ =
Sy
S , η= x. m m
Je-li speciálně křivka grafem funkce y = f ( x) s konstantní délkovou hustotou, pak je
ds = 1 + [ f ′( x) ] dx (věta 3.2.1). Dostáváme následující modifikaci věty 3.5.1. 2
Věta 3.5.2.
Nechť je hmotná křivka určená explicitní rovnicí y = f ( x) se spojitou derivaci f ′( x) na intervalu < a, b > a konstantní délkovou hustotou σ . Pak má křivka hmotnost b
2
m = σ ∫ 1 + [ f ′( x) ]
dx .
a
Pro statické momenty platí:
- 197 -
Matematika II
3.5. Fyzikální aplikace b
2
S x = σ ∫ f ( x) 1 + [ f ′( x) ] dx , a
b
2
S y = σ ∫ x 1 + [ f ′( x) ] dx . a
Momenty setrvačnosti této křivky dostaneme ze vztahů: b
2 I x = σ ∫ f 2 ( x) 1 + [ f ′( x) ] dx , a
b
2
I y = σ ∫ x 2 1 + [ f ′( x) ] dx . a
Těžiště T = (ξ ,η ) má souřadnice ξ =
Sy
S , η= x. m m
Těžiště a moment setrvačnosti rovinné oblasti
Uvažujme hmotnou rovinnou oblast ohraničenou zdola grafem funkce g ( x) , shora grafem funkce f ( x) , ( g ( x) ≤ f ( x) ) pro x ∈< a, b > . Předpokládejme, že je plošná hustota σ v každém bodě tohoto obrazce konstantní. Hmotnost rovinné oblasti dostaneme jako součin obsahu plochy oblasti (věta 3.1.2) a hustoty: b
m = σ ∫ ( f ( x) − g ( x) ) dx a
Analogicky jako při zavedení určitého integrálu (kapitola 2.1) rozdělíme obrazec rovnoběžkami s osou y na n „proužků“ (obr. 3.5.3). Každý proužek můžeme aproximovat úzkým obdélníčkem šířky Δxi , i = 1, 2,...., n , který je zdola ohraničený funkční hodnotou
g ( xi ) a shora funkční hodnotou f ( xi ) . Tento obdélníček nahradíme těžištěm Ai = ( xi , yi ) ležícím ve středu obdélníčku. Pro obdélníček bude yi = soustředíme hmotnost celého obdélníčku.
- 198 -
f ( xi ) + g ( xi ) . Do tohoto bodu 2
Matematika II
3.5. Fyzikální aplikace
Obr. 3.5.3. Těžiště rovinné oblasti Hmotnost i - tého obdélníčku bude mi = σ [ f ( xi ) − g ( xi ) ] Δxi , i = 1, 2,...., n .
Statické momenty celé oblasti budou přibližně rovny n
n
f ( xi ) + g ( xi ) 1 n [ f ( xi ) − g ( xi )] Δxi = σ ∑ ⎡⎣ f 2 ( xi ) − g 2 ( xi ) ⎤⎦ Δxi , 2 2 i =1 i =1
S x = ∑ yi mi = σ ∑ i =1 n
n
i =1
i =1
S y = ∑ xi mi = σ ∑ xi [ f ( xi ) − g ( xi ) ] Δxi . Je zřejmé, že pro zvětšující se počet obdélníčků budeme dostávat přesnější aproximace statických momentů. Pro n → ∞ a Δxi → 0 dostaneme limitním přechodem Sx = σ
b
1 ⎡ 2 f ( x) − g 2 ( x) ⎤ dx , ∫ ⎣ ⎦ 2 a
b
S y = σ ∫ x [ f ( x) − g ( x) ] dx . a
Podobně odvodíme vztahy pro momenty setrvačnosti při rotaci kolem osy x, resp. y.
Věta 3.5.3.
Nechť je hmotná rovinná oblast ohraničena křivkami g ( x) a f ( x) , kde g ( x) ≤ f ( x) na intervalu < a, b > . Pak hmotnost této oblasti s konstantní plošnou hustotou σ je b
m = σ ∫ [ f ( x) − g ( x) ] dx . a
- 199 -
Matematika II
3.5. Fyzikální aplikace
Pro statické momenty platí: b
1 S x = σ ∫ ⎡ f 2 ( x) − g 2 ( x) ⎤ dx , ⎦ 2 ⎣ a
b
S y = σ ∫ x [ f ( x) − g ( x) ] dx . a
Momenty setrvačnosti této rovinné oblasti dostaneme ze vztahů: Ix = σ
b
1 ⎡ 3 f ( x) − g 3 ( x) ⎤ dx , ∫ ⎣ ⎦ 3 a
b
I y = σ ∫ x 2 [ f ( x) − g ( x) ] dx . a
Těžiště T = (ξ ,η ) má souřadnice ξ =
Sy
S , η= x. m m
Řešené úlohy
Příklad 3.5.1. Vypočtěte souřadnice těžiště homogenní půlkružnice x 2 + y 2 = r 2 , y ≥ 0 . Řešení:
Parametrické rovnice půlkružnice jsou (viz příklad 3.2.2): x = r cos t ,
y = r sin t , t ∈< 0, π > .
Obr. 3.5.4. Souřadnice těžiště homogenní půlkružnice Je-li délková hustota σ konstantní, je hmotnost rovna součinu hustoty a délky půlkružnice:
m =σs =σ
1 2π r = σ π r . 2
- 200 -
Matematika II
3.5. Fyzikální aplikace
Statické momenty jsou: π
π
2 2 S x = σ ∫ ψ (t ) [ϕ ′(t )] + [ψ ′(t ) ] dt = σ ∫ r sin t 0
=σr
2
[ −r sin t ] + [ r cos t ]
dt = σ r
2
π
[ − cos t ]0
0
= σ 2r , π
α
2
2
[ −r sin t ] + [ r cos t ]
dt = σ r
2
0
π
[sin t ]0
∫ sin t dt =
2
2 2 S y = σ ∫ ϕ (t ) [ϕ ′(t ) ] + [ψ ′(t ) ] dt = σ ∫ r cos t
=σr
2
0
π
β
2
2
π
∫ cos t dt =
0
= 0.
Těžiště T = (ξ ,η ) má souřadnice
ξ=
S σ 2r 2 2r . = =0 aη= x = m σπ r π m
Sy
2r
T = (0,
π
).
Poznámka
Statický moment S y jsme nemuseli počítat, protože je evidentní, že pro danou půlkružnici musí těžiště ležet na ose y, a tedy je S y = 0 .
Příklad 3.5.2. Vypočtěte momenty setrvačnosti homogenní půlkružnice z příkladu 3.5.2
k souřadnicovým osám. Řešení:
Moment setrvačnosti půlkružnice k ose x: β
2
2
π
I x = σ ∫ ψ (t ) [ϕ ′(t ) ] + [ψ ′(t ) ] dt = σ ∫ r 2 sin 2 t 2
α
=σr
3
[ −r sin t ]2 + [ r cos t ]2
dt =
0
π
∫ sin
0
2
t dt = σ r
π
3 1 − cos 2t
∫
0
2
σ r3 ⎡
π
sin 2t ⎤ σ π r3 . dt = t− = 2 2 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 0
Moment setrvačnosti půlkružnice k ose y: β
π
2 2 I y = σ ∫ ϕ (t ) [ϕ ′(t ) ] + [ψ ′(t ) ] dt = σ ∫ r 2 cos 2 t 2
α
[ −r sin t ]2 + [ r cos t ]2
0
π
π
0
0
= σ r 3 ∫ cos 2 t dt = σ r 3 ∫
π
1 + cos 2t σ r 3 ⎡ sin 2t ⎤ σ π r3 . dt = t + = 2 2 2 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 0 - 201 -
dt =
Matematika II
3.5. Fyzikální aplikace
Příklad 3.5.3. Vypočtěte souřadnice těžiště trojúhelníka s vrcholy O = (0, 0) , A = (0,1) a
B = (2, 0) . Řešení:
Strana AB daného trojúhelníka leží na přímce
y −1 =
0 −1 x ( x − 0) , tj. y = 1 − . 2 2−0
Rovinná oblast je ohraničena shora grafem funkce f ( x) = 1 −
x a zdola grafem funkce 2
g ( x) = 0 obr. 3.5.5.
Obr. 3.5.5. Těžiště trojúhelníka Je-li plošná hustota σ konstantní, je hmotnost rovna součinu hustoty a obsahu trojúhelníka:
m =σP =σ
1 2 ⋅1 = σ . 2
Statické momenty jsou (připomínáme, že g ( x) = 0 ): Sx = σ
b 2 2 1 1 x 2 1 x2 2 = σ − = σ − + f x dx dx x ( ) (1 ) (1 ) dx = 2∫ 2∫ 2 2∫ 4
0
a
0
2
1⎡ x 2 x3 ⎤ 1 2 1 = σ ⎢x − + ⎥ = σ (2 − 2 + ) = σ . 3 2 ⎣⎢ 2 12 ⎦⎥ 2 3 0
b
2
2
a
0
0
x x2 S y = σ ∫ x f ( x) dx = σ ∫ x (1 − ) dx = σ ∫ ( x − ) dx = σ 2 2 2 ⎡ 4⎤ = σ ⎢2 − ⎥ = σ . 3 ⎣ 3⎦ Těžiště T = (ξ ,η ) má souřadnice 2 1 σ S 2 1 aη= x = 3= . = 3= ξ= m m σ σ 3 3 Sy
σ
- 202 -
2
⎡ x 2 x3 ⎤ ⎢ − ⎥ = 6 ⎥⎦ ⎣⎢ 2 0
Matematika II
3.5. Fyzikální aplikace
2 1 T = ( , ). 3 3 Poznámka
Těžiště trojúhelníka leží v průsečíku těžnic (spojnic vrcholů a středů stran). Těžiště rozděluje těžnici v poměru 1:2. Z podobných trojúhelníků je zřejmé, že x – ová souřadnice těžiště musí ležet v
1 1 1 2 strany OB a y – ová souřadnice těžiště musí ležet v strany OA. Proto ξ = 2 = 3 3 3 3
1 1 a η = 1= . 3 3
Příklad 3.5.4. Vypočtěte momenty setrvačnosti homogenního trojúhelníka z příkladu 3.5.3
při rotaci kolem osy x, resp. y. Řešení:
Moment setrvačnosti trojúhelníka k ose x: b
2
2
a
0
0
1 3 1 x 3 1 x x 2 x3 I x = σ ∫ f ( x) dx = σ ∫ (1 − ) dx = σ ∫ (1 − 3 + 3 − ) dx = 3 3 2 3 2 4 8 2 1⎡ x 2 x3 x 4 ⎤ 1 1 11 1 = σ ⎢x − 3 + − ⎥ = σ (2 − 3 + 2 − ) = σ =σ . 3 ⎢⎣ 4 4 32 ⎥⎦ 3 2 32 6 0
Moment setrvačnosti trojúhelníka k ose y: b
2
2
a
0
0
x x3 I y = σ ∫ x 2 f ( x) dx = σ ∫ x 2 (1 − ) dx = σ ∫ ( x 2 − ) dx = σ 2 2
2
⎡ x3 x 4 ⎤ ⎢ − ⎥ = 8 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 0
2 ⎡8 ⎤ = σ ⎢ − 2⎥ = σ . 3 ⎣3 ⎦ Příklad 3.5.5. Vypočtěte souřadnice těžiště rovinného obrazce ohraničeného křivkou
y = 6 x − x 2 a osou x. Řešení:
Grafem paraboly y = 6 x − x 2 jsme se podrobně zabývali v příkladu 3.1.1. Parabola protíná osu x v bodech x = 0 a x = 6 .
- 203 -
Matematika II
3.5. Fyzikální aplikace
Rovinná oblast je ohraničena shora křivkou f ( x) = 6 x − x 2 a zdola křivkou g ( x) = 0 obr. 3.5.6.
Obr. 3.5.6. Těžiště rovinného obrazce ohraničeného křivkou y = 6 x − x 2 a osou x Je-li plošná hustota σ konstantní, je hmotnost rovna součinu hustoty a plochy oblasti ohraničené parabolou a osou x: 6
6
⎡ 2 x3 ⎤ P = σ ∫ (6 x − x )dx = σ ⎢3x − ⎥ = σ (108 − 2 ⋅ 36) = 36 σ . 3 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 0 2
Statické momenty jsou (připomínáme, že g ( x) = 0 ): Sx = σ
b
6
6
a
0
0
1 1 1 f 2 ( x) dx = σ ∫ (6 x − x 2 )2 dx = σ ∫ (36 x 2 − 12 x3 + x 4 ) dx = ∫ 2 2 2
6 5 ⎤6 1⎡ 3 1⎡ 3 x2 ⎤ 1 36 4 x = σ ⎢12 x − 3 x + ⎥ = σ ⎢ x (12 − 3 x + ) ⎥ = σ 63 (12 − 18 + ) = 2 ⎣⎢ 5 ⎦⎥ 2 ⎢⎣ 5 ⎦⎥ 2 5 0 0
6 648 = σ 108 = σ , 5 5 b
6
6
6
⎡ 3 x4 ⎤ S y = σ ∫ x f ( x) dx = σ ∫ x (6 x − x ) dx = σ ∫ (6 x − x ) dx = σ ⎢ 2 x − ⎥ = 4 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 0 a 0 2
⎡ 64 ⎤ 3 = σ ⎢ 2 ⋅ 63 − ⎥ = σ 63 (2 − ) = 108σ . 4 ⎥⎦ 2 ⎢⎣
Těžiště T = (ξ ,η ) má souřadnice 648 S 108 σ 5 = 18 . = =3 a η = x = ξ= 5 36 σ m m σ 36
σ
Sy
T = (3,
18 ). 5 - 204 -
2
3
Matematika II
3.5. Fyzikální aplikace
Poznámka
Statický moment S y jsme nemuseli počítat. Protože je obrazec souměrný podle osy x = 3 , musí těžiště ležet na této ose, x - ová souřadnice těžiště musí být ξ = 3 .
Kontrolní otázky
1. Uveďte vztah pro statický moment a moment setrvačnosti hmotného bodu. 2. Uveďte vztahy pro výpočet statických momentů a momentů setrvačnosti hmotné křivky dané parametrickými rovnicemi. 3. Jak vypočtete souřadnice těžiště homogenní hmotné křivky dané parametrickými rovnicemi? 4. Uveďte vztahy pro výpočet statických momentů a momentů setrvačnosti hmotné křivky dané explicitní rovnicí. 5. Uveďte vztahy pro výpočet statických momentů a momentů setrvačnosti hmotné rovinné oblasti hraničené křivkami g ( x) a f ( x) , kde g ( x) ≤ f ( x) na intervalu < a, b > . 6. Uveďte vztahy pro výpočet statických momentů a momentů setrvačnosti hmotné rovinné oblasti hraničené grafem spojité funkce f ( x) ≥ 0 a osou x na intervalu < a, b > . 7. Jak vypočtete souřadnice těžiště homogenní hmotné rovinné oblasti ohraničené křivkami
g ( x) a f ( x) , kde g ( x) ≤ f ( x) na intervalu < a, b > ?
Úlohy k samostatnému řešení
1. Vypočtěte souřadnice těžiště homogenního rovinného obrazce ohraničeného křivkami
a)
y = 2 x − x2 ;
b)
y 2 = 6 x; x = 5
c)
y 2 = 4 x; x = 0;
d)
2 y = x2 ; 2 x = y2
e)
y = x2 ;
f)
y = sin x;
y = 0; 0 ≤ x ≤ π
g)
y = sin x;
y=
y=
y=0
y=4
2 1 + x2
2x
π
;
y=0
- 205 -
Matematika II
3.5. Fyzikální aplikace
1 y = ; 0≤ x≤π 2
h)
y = sin x;
i)
x 2 + y 2 = 4;
y≥0
2. Vypočtěte souřadnice těžiště homogenního rovinného obrazce
a) ohraničeného cykloidou x = 3 ( t − sin t ) , y = 3 (1 − cos t ) , 0 ≤ t ≤ 2π a osou x . b) který leží v prvním kvadrantu a jeho hranici tvoří asteroida
2 2 3 x + y3 = 4
a obě
souřadné osy. c) ohraničeného křivkou x = t 2 − t , y = t 3 + t 2 a osou x . 3. Vypočtěte souřadnice těžiště homogenního oblouku dané křivky:
a)
x2 y = − + 2; − 2 ≤ x ≤ 2 2
b)
y=
c)
t3 x=t , y=t− ; 0≤t ≤ 3 3
d)
x = 2 cos t , y = 2sin t ; −
e)
x = 3cos3 t , y = 3sin 3 t; 0 ≤ t ≤ π
f)
x = 2 ( t − sin t ) , y = 2 (1 − cos t ) ; 0 ≤ t ≤ 2π
g)
x = cos t + t sin t , y = sin t − t cos t ; 0 ≤ x ≤ π
x2 1 − ln x; 1 ≤ x ≤ 2 4 2 2
π 6
≤t≤
π 6
Výsledky úloh k samostatnému řešení
⎛ 2⎞ 1. a) ⎜ 1; ⎟ ; ⎝ 5⎠
b) ( 3;0 ) ;
⎛ 4π ( 4π + 3) 5π ⎞ ; g) ⎜⎜ ⎟; 6 (π + 4 ) ⎟⎠ ⎝ π +4
⎛6 ⎞ c) ⎜ ;3 ⎟ ; ⎝5 ⎠
⎛9 9⎞ d) ⎜ ; ⎟ ; ⎝ 10 10 ⎠
⎛ π 3 3 + 2π h) ⎜⎜ ; ⎝ 2 24 3 − 8π
- 206 -
⎞ ⎟⎟ ; ⎠
⎛ 15π + 24 ⎞ e) ⎜ 0; ⎟; ⎝ 30π − 20 ⎠ ⎛ 8 i) ⎜ 0; ⎝ 3π
⎞ ⎟. ⎠
⎛π π ⎞ f) ⎜ ; ⎟ ; ⎝2 8⎠
5⎞ ⎛ 2. a) ⎜ 3π ; ⎟ ; 2⎠ ⎝
Matematika II
3.5. Fyzikální aplikace
⎛ 2048 2048 ⎞ ; b) ⎜ ⎟; ⎝ 315π 315π ⎠
⎛ 83 9 ⎞ c) ⎜ ; ⎟. ⎝ 77 154 ⎠
3. a) ( 0;0,971) ;
(
b) (1,52;0,397 ) ;
⎛7 3⎞ c) ⎜⎜ ; ⎟⎟ ; ⎝5 4 ⎠
)
⎛ 2 π2 −6 ⎞ 8⎞ 6⎟ ⎛6 ⎞ ⎛ 6⎞ ⎛ ⎜ ; ⎟. d) ⎜ ;0 ⎟ ; e) ⎜ 0; ⎟ ; f) ⎜ 2π ; ⎟ ; g) ⎜ 2 3⎠ π⎟ ⎝π ⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ π ⎜ ⎝ ⎠
Kontrolní test
1. Vypočtěte moment setrvačnosti vzhledem k ose y homogenní hmotné oblasti ohraničené křivkami y =
2 1+ x
2
,
18 a) σ ( + π ) , 5 2
y = x2.
18 b) σ ( − π ) , 5
18 π c) σ ( − ) , 5 2
18 π d) σ ( + ) . 5 2
Vypočtěte moment setrvačnosti vzhledem k ose y homogenního hmotného oblouku
1 křivky dané parametricky x = t 2 , y = t − t 3 pro 0 ≤ t ≤ 3 . 3 a)
198 σ 3, 35
b)
189 σ 3, 35
c)
108 σ 3, 35
d)
156 σ 3. 35
3) Vypočtěte statický moment vzhledem k ose x homogenního hmotného oblouku křivky
y = x3 pro 0 ≤ x ≤ 1 . a)
σ 54
(10 10 + 1) ,
b)
σ 54
(10 10 − 1) , c)
σ 108
(10 10 − 1) ,
d)
σ 108
(10 10 + 1) .
4) Vypočtěte moment setrvačnosti homogenní hmotné oblasti tvaru rovnoramenného trojúhelníka výšky v a základny velikosti a vzhledem k jeho základně. a)
1 σ av3 , 2
b)
1 σ av 2 , 4
c)
1 σ av3 , 4
d)
1 σ av 2 . 2
5) Vypočtěte moment setrvačnosti homogenní hmotné oblasti ohraničené elipsou
x2 a2 a)
+
y2 b2
= 1, 0 < b < a konst. vzhledem k její hlavní ose.
1 σπ ab3 , 4
b)
1 σπ a3b , 4
c)
1 σπ ab3 , 2
d)
1 σπ a3b . 2
6) Vypočtěte moment setrvačnosti homogenního hmotného oblouku křivky y = pro 1 ≤ x ≤ e vzhledem k ose y. - 207 -
x2 1 − ln x 4 2
Matematika II
a) c)
σ 8
σ 8
3.5. Fyzikální aplikace
(e4 + 2e2 − 2) ,
b)
(e4 + 2e2 − 3) ,
d)
σ 8
σ 8
(e4 + 2e2 + 3) , (e4 + 2e2 + 2) .
7) Vypočtěte souřadnice těžiště homogenního hmotného oblouku asteroidy
x = a cos3 t , y = a sin 3 t , a > 0 konst. pro 0 ≤ t ≤ π . ⎛ 1 ⎞ a) ⎜ 0, a ⎟ , ⎝ 5 ⎠
⎛ 3 ⎞ b) ⎜ 0, a ⎟ , ⎝ 5 ⎠
⎛2 ⎞ c) ⎜ a, 0 ⎟ , ⎝5 ⎠
⎛ 2 ⎞ d) ⎜ 0, a ⎟ . ⎝ 5 ⎠
8) Vypočtěte souřadnice těžiště homogenní hmotné oblasti ohraničené křivkami y = sin x a
y=
1 pro x maximálně z intervalu ( 0, π ) . 2
⎛ π 3 3 + 2π ⎞ a) ⎜⎜ , ⎟⎟ , ⎝ 2 8(3 3 − π ) ⎠
⎛ π 8(3 3 − π ) ⎞ b) ⎜⎜ , ⎟⎟ , ⎝ 2 3 3 + 2π ⎠
⎛ 3 3 + 2π π ⎞ c) ⎜⎜ , ⎟⎟ , ⎝ 8(3 3 − π ) 2 ⎠
⎛ 8(3 3 − π ) π ⎞ d) ⎜⎜ , ⎟⎟ . ⎝ 3 3 + 2π 2 ⎠
9) Vypočtěte souřadnice těžiště homogenní hmotné oblasti ohraničené křivkami x = 1 a
y 2 = x3 . ⎛ 5⎞ a) ⎜ 0, ⎟ , ⎝ 7⎠
⎛5 ⎞ b) ⎜ , 0 ⎟ , ⎝7 ⎠
⎛4 ⎞ c) ⎜ , 0 ⎟ , ⎝7 ⎠
⎛ 4⎞ d) ⎜ 0, ⎟ . ⎝ 7⎠
1 10) Vypočtěte souřadnice těžiště homogenního hmotného oblouku křivky x = t 2 , y = t − t 3 3 pro 0 ≤ t ≤ 3 . ⎛ 3 7⎞ a) ⎜⎜ , ⎟⎟ , ⎝ 4 5⎠
⎛5 3⎞ b) ⎜⎜ , ⎟⎟ , ⎝7 3 ⎠
⎛ 3 5⎞ c) ⎜⎜ , ⎟⎟ , ⎝ 3 7⎠
⎛7 3⎞ ⎜⎜ , ⎟⎟ . 5 4 ⎝ ⎠
. Výsledky testu
1. b); 2. a); 3. b); 4. c); 5. a); 6. c); 7. d); 8. a); 9. b); 10. d).
- 208 -
d)
Matematika II
3.5. Fyzikální aplikace
Průvodce studiem
Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudovat kapitolu 3.5 znovu. Shrnutí lekce
Integrální počet je používán v mnoha disciplínách i tam, kde bychom to neočekávali (např. ekonomie). V této kapitole jsme se omezili na jednoduché aplikace v mechanice. Odvodili jsme vztahy pro výpočet statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti křivek a rovinných oblastí. Při výpočtech jsme se omezili na homogenní křivky a oblasti s konstantní hustotou. S výpočty statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti křivek v prostoru, rovinných oblastí, těles i v případech, kdy se hustota spojitě mění, se seznámíte v Matematice III. Za nejdůležitější v této kapitole považujeme metodu, jak lze odvodit potřebné vztahy. Z fyzikálních zákonů se odvodí vztahy pro velmi malé elementy. Provede se součet hodnot pro všechny elementy. Limitním přechodem pro počet elementů n → ∞ přejdou sumy na integrály. Pochopením tohoto principu můžete odvozovat vztahy pro další veličiny. Stejným způsobem postupovali i tvůrci integrálního počtu Newton a Leibniz.
- 209 -
Matematika II
3.5. Fyzikální aplikace
Místo pro poznámky
- 210 -
