Handleiding
ruimte
inhoudsopgave 1 2 3 4 5
de grote lijn applets bespreking per paragraaf tijdsplan materialen voor een klassengesprek
handleiding
ruimte
handleiding
1
ruimte
de grote lijn
de zijlijn
hoofdlijn Kennismaken met verschillende soorten ruimtelijke figuren: kubus en bol, prisma’s, piramides en kegels.
Bouwplaten en uitslagen van prisma’s, piramides en kegels. Draadmodellen, doorzichtige en ondoorzichtige tekeningen. Oefenen met aanzichten van kubusbouwsels Grensvlakken, ribben, diagonaalvlakken, binnen- en buitendiagonalen in veel-vlakken.
Het metrieke stelsel.
Onmogelijke figuren. Een uitstapje naar de Escher-site
De oppervlakte van een rechthoek. De inhoud van een balk. Engelse maten, oude maten Het effect van vergroten op oppervlakte en inhoud.
Regelmatige veelvlakken; hierin ribben, hoeken en zijvlakken tellen.
Uitslagen van kegel en cilinder.
Afgeknotte veelvlakken. Geodetische koepels (applet). Onderzoekjes.
handleiding
ruimte
handleiding
2
ruimte
applets Aanzichten van kubushuisjes bij 1.9 FI-applet. Oppervlaktematen omrekenen bij 2.4 Visualisering van de samenhang van oppervlaktematen. Inhoudsmaten omrekenen bij 2.5 Visualisering van de samenhang van inhoudsmaten. Uitslagen van regelmatige veelvlakken bij 3.4 FI-applet. Veelvlakken bij 3.8 FI-applet.
3
bespreking per paragraaf
ruimtelijke figuren De paragraaf begint met een introductie van de belangrijke ruimtelijke vormen. Daarvan worden ook de namen geleerd. Er wordt verband gelegd met ruimtelijke vormen uit de omgeving. De leerlingen krijgen gelegenheid om te oefenen met verschillende manieren van tekenen (doorzichtig en ondoorzichtig), ze maken kennis met bouwplaten en uitslagen. In een applet kunnen ze oefenen met aanzichten van kubushuisjes. De kubus wordt wat grondiger verkend: diagonaalvlakken, binnen- en buitendiagonalen en nog een enkel puzzelvraagje over de kubus. Ter motivatie is er een uitstapje naar onmogelijke figuren, met name is er een link naar de Escher-site.
het metrieke stelsel De meter en de daarvan afgeleide lengte-, oppervlakte- en inhoudsmaten komen aan de orde. In de opgaven komen ook Engelse maten en oude Nederlandse maten aan de orde. Er wordt netjes geformuleerd hoe de eenheden van oppervlakte en inhoud gekoppeld zijn aan de lengte-eenheid. Daarna gaat het over het effect van vergroten op oppervlakte en inhoud.
regelmatige veelvlakken In deze paragraaf gaat het over regelmatige veelvlakken. Je kunt makkelijk het aantal hoekpunten en ribben tellen door van de regelmaat gebruik te maken. Van regelmatige veelvlakken kun je bouwplaten maken. Dat kan ook van cilinders en kegels, maar bij een bol gaat dat niet. Na even te hebben stilgestaan bij cilinders en kegels gaat het verder over de vraag hoe je regelmatige veelvlakken als uitgangspunt kunt nemen om bollen te benaderen. Dat gebeurt enerzijds door regelmatige veelvlakken af te knotten en anderzijds met geodetische koepels. Het Freudenthal Instituut heeft daar een zeer mooie applet over handleiding
ruimte
ruimte
handleiding ontwikkeld, waarmee de leerlingen zeker een tijdje moeten spelen. Het gaat om kennismaking en blikverruiming ter motivatie, niet om een uitputtende behandeling van afgeknotte regelmatige veelvlakken en geodetische koepels.
handleiding
ruimte
handleiding
ruimte
onderzoek Onderzoek 1: de kantelende kubus. Naast het onderzoeken van de mogelijkheden gaat het om het vergroten van ruimtelijk voorstellingsvermogen. Je kunt door te kantelen elk aantal ogen boven krijgen. Je kunt de kubus ook zo kantelen dat die op een buurhokje met hetzelfde aantal ogen boven komt te liggen als waarmee je begon. Als je deze twee inzichten combineert, dan begrijp je dat je vanuit elke startpositie elke andere positie kunt bereiken door te kantelen. Onderzoek 2: De tetrakubuspuzzel. De leerlingen zien nog een keer dat de inhoud acht keer zo groot wordt als je de afmetingen verdubbelt. Je kunt iedere grote vorm krijgen met de acht kleine vormpjes. Bij de meeste gaat dat vrij simpel, maar een enkele is lastig. Laat ze maar puzzelen. Onderzoek 3: Thiéry in de ruimte. Nu gaat het nog een keer over de meerduidigheid van sommige plaatjes. De tekening van de titelpagina van hoofdstuk 2 heeft zo’n effect hopelijk al opgeroepen. Met de bouwplaat van de ruimtelijke Thiéry-figuur komt er nog een nieuwe interpretatie bij. Daar kunnen ze van leren dat je altijd duidelijke plaatjes moet maken en daar zo nodig nog een toelichting bij moet geven.
4
tijdsplan ruimtelijke figuren het metrieke stelsel regelmatige veelvlakken onderzoek proeftoets toets
handleiding
ruimte
3 lessen 3 lessen 3 lessen 1 les 1 les 1 les
handleiding
5
ruimte
materialen voor een klassengesprek
gereedschappen 1 namen van ruimtelijke figuren
2 regelmatige veelvlakken
3 afgeknotte veelvlakken
4 manieren om ribben en hoeken te tellen
5 het metrieke stelsel
6 Engelse lengtematen
7 bouwplaten
8 uitslagen
Vragen ●
Hoe bereken je de oppervlakte van een rechthoek als je de lengtes van de zijden kent? En de inhoud van een balk? (Het gaat erom dat de leerlingen zelf opmerken dat je moet werken met een samenhangend stelsel van lengte-, oppervlakte- en inhoudsmaten.)
●
De veelvlakken die in dit hoofdstuk aan de orde zijn geweest, zijn allemaal convex. Voor dergelijke veelvlakken geldt de stelling van Euler: h + z = r + 2, waarbij h, z en r respectievelijk de aantallen hoekpunten, zijvlakken en ribben zijn. In een klasssengesprek kunnen de leerlingen bijvoorbeeld terugkijken naar de regelmatige veelvlakken en zoeken naar de hierboven genoemde betrekking. Als die gevonden is, kunnen ze de betrekking controleren bij een aantal van de niet regelmatige convexe veelvlakken die in het hoofdstuk aan de orde zijn geweest.
●
Het verschil tussen een uitslag en een bouwplaat zit in de plakrandjes. Bij elk veelvlak kun je verschillende uitslagen maken en dus ook verschillende bouwplaten. Vraag: hebben alle bouwplaten van een veelvlak evenveel plakrandjes? En zo ja, hoe kun je het aantal plakrandjes afleiden uit het aantal en de vorm van de zijvlakken?
●
Welke Engelse maten ken je nog? Wat is het verband daartussen? Hoe bereken je de grootte van een zeemijl, uitgedrukt in meters? Hoe is de samenhang tussen liter en hectare en het metrieke stelsel?
●
Welk probleem kun je krijgen als je ruimtelijke figuren in een vlak plaatje tekent? Geef een voorbeeld. (Meerduidigheid van het plaatje).
Je hebt een kegelvormige puntmuts en je wilt hem in twee kleuren schilderen: rood en groen. Het rode en het blauwe stuk moeten dezelfde oppervlakte hebben. Hoe kun je dat doen? (Niet alleen op de simpele manier, maar een beetje leuk.)
●
handleiding
ruimte
handleiding
ruimte
●
Anticiperen op irrationale getallen. In hoofdstuk 2: passen en meten heb je een vierkant gevouwen tot een half zo groot vierkant en een ster in stukjes geknipt en er drie kleinere mee gelegd. Met welke factoren zijn die ster en dat vierkant verkleind? Probeer die te benaderen op 1 decimaal nauwkeurig. Hoe zit dat bij “het kleine vierkantje in het midden”, waarmee hoofdstuk 2 begon?
●
Nog eens de puntmuts: Je verdeelt hem in een rode kegel aan de top en een groene afgeknotte kegel aan de onderrand. Hoe vind je de grens tussen rood en groen?
hoofdzaken Zeg kort: Hoe de oppervlakte van een figuur verandert, als de afmetingen 5 keer zo groot worden. Geldt dat ook voor de oppervlakte van een ruimtelijke figuur? Hoe verandert de inhoud van een ruimtelijke figuur als de afmetingen vijf keer zo groot worden? Hoe bereken je snel het aantal vierkante meters in een vierkante kilometer? En het aantal kubieke centimeters in een kubieke meter?
samenhang tussen speciale veelvlakken Teken een pijl van algemeen naar bijzonder veelvlak prisma
reg. veelvl.
bol
geode balk
leerling-opgaven Maak een opgave over het omrekenen van oppervlakte- en inhoudsmaten. Maak een opgave over afgeknotte veelvlakken.
handleiding
ruimte
kubus
