handleiding
pythagoras
inhoudsopgave 1 2 3 4 5
de grote lijn applets bespreking per paragraaf tijdsplan materialen voor een klassengesprek
handleiding
pythagoras
handleiding
1
pythagoras
de grote lijn hoofdlijn
de zijlijn
De oppervlakte van rechthoekige driehoeken. Van een rechthoekige driehoek de lengte van de schuine zijde berekenen als de lengtes van de twee rechthoekszijden bekend zijn (twee natuurlijke getallen) . De 3-4-5-driehoek.
De stelling van Pythagoras met bewijs. Het omgekeerde van de stelling van Pythagoras.
Enkele oefeningen in het rekenen met wortels. Een knippuzzel die een ander bewijs van ‘Pythagoras’ kan leveren.
Andere bewijzen voor de stelling van Pythagoras in groepsonderzoekjes.
Oefenopgaven. De 45-45-90-driehoek en de 30-60-90-driehoek. Pythagoras in de ruimte. Onderzoek Pythagoreïsche drietallen. De oppervlakte van parallellogrammen. De oppervlakte van driehoeken.
Oppervlakte en gelijkvormigheid. Oppervlakte van cirkels.
Test jezelf (op de computer). Zwaartelijnen in een driehoek. Een ‘flash-bewijs’ van de stelling van Pythagoras.
handleiding
pythagoras
handleiding
2
pythagoras
applets
\ill100{opparm1.fig} bij 3.1 EenCABRI-applet, opgenomen in de hoofdtekst. Je kunt een zijde van een parallellogram verschuiven evenwijdig aan de overstaande zijde. Te zien is dat de oppervlakte constant blijft. \ill100{opparm2.fig} bij 3.1 CABRI-applet, opgenomen in de hoofdtekst. Met deze applet kun je begrijpen dat de oppervlakte van een parallelogram inderdaad gelijk is aan het product van basis en hoogte. \ill100{oppdriehoek1.fig} bij 3.4 CABRI-applet, opgenomen in de hoofdtekst. Je kunt een punt P bewegen evenwijdig aan de overstaande zijde. Te zien is dat de oppervlakte constant blijft. \ill100{oppdriehoek2.fig} bij 3.4 CABRI-applet, opgenomen in het antwoord. Deze applet geeft de reden waarom de oppervlakte niet verandert, door de driehoek aan te vullen tot een parallellogram. flashapplet bij 7.1 Deze flashapplet is gebaseerd op het bewijs van Hermann Baravalle voor de stelling van Pythagoras. De leerlingen kunnen in zes stappen puur aanschouwelijk begrijpen dat de oppervlakte van de twee vierkanten op de rechthoekszijden gelijk is aan de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde.
handleiding
pythagoras
handleiding
3
pythagoras
bespreking per paragraaf
de stelling van Pythagoras De oppervlakte van rechthoekige driehoeken is de helft van de oppervlakte van de rechthoek die daarbij hoort. Als de lengtes van de rechthoekszijden natuurlijke getallen zijn, kun je met vier rechthoekige driehoeken een roostervierkant leggen. In het midden blijft dan een kleiner vierkant over. Daarvan kun je de oppervlakte berekenen en dus de lengte van de schuine zijde van de rechthoekige driehoeken. Dit preludeert op het eerste algemene bewijs van de stelling van Pythagoras. De bijzondere rol van een 3-4-5-driehoek wordt belicht. Bij het toepassen van de 3-4-5-driehoek, zoals de Egyptenaren deden, wordt het omgekeerde van de stelling van Pythagoras gebruikt. De stelling van Pythagoras en ook het omgekeerde daarvan worden geformuleerd. Het eerste bewijs van de stelling is puur een generalisatie van de rekenwijze die de leerlingen in het eerste deel van de paragraaf hebben toegepast. Andere bewijzen voor de stelling in groepsonderzoekjes. Er zijn vier plaatjes in de tekst opgenomen, die bij telkens een ander bewijs van de stelling horen. De leerlingen kunnen in groepjes proberen zo’n bewijs uit te werken. Vervolgens kunnen ze die aan elkaar presenteren. Pythagoras toegepast De tweede paragraaf bevat oefenopgaven. In deze opgaven komen ook de 45-45-90-driehoek en de 30-60-90-driehoek aan de orde. Bovendien wordt de stelling toegepast om de diagonaal van een balk te berekenen. (Pythagoras in de ruimte.) In een onderzoekje worden de leerlingen aangespoord om zelf pythagoreïsche drietallen te vinden. De gevolgde methode is ook geschikt om dergelijke viertallen, ja zelfs ntallen te maken. oppervlakte De oppervlakte van parallellogrammen is gelijk aan het product van basis en hoogte. Dit wordt bewezen met CABRI-applets. De oppervlakte van een driehoek is de helft van het product van basis en hoogte. Het verband tussen oppervlakte en gelijkvormigheid komt aan de orde. De formule voor de oppervlakte van cirkels wordt met een gedachtenexperiment afgeleid.
handleiding
pythagoras
handleiding
pythagoras
test jezelf In twee serie van vijf opgaven kunnen de leerlingen testen in hoeverre ze de stof onder de knie hebben. (Deze opgaven vervangen het papieren ‘Test jezelf’.) Daarbij is een puntentelling gemaakt. Bij elke opgave is een vakje om het antwoord in te vullen. Bovendien is er een hint beschikbaar en tenslotte kunnen ze het antwoord opvragen. De hint vragen kost punten, evenals een antwoord corrigeren. Wanneer de leerlingen het antwoord opvragen kunnen ze voor dat onderdeel geen punten meer krijgen. Een teller houdt de score bij. zwaartelijnen in een driehoek Als extra materiaal is er een paragraaf over zwaartelijnen opgenomen. Nog één bewijs voor de stelling van Pythagoras Ter afsluiting van dit hoofdstuk dient een ‘flash-bewijs’ van de stelling van Pythagoras dat geheel berust op het schuiven met parallellogrammen zonder de oppervlakte te veranderen.
4
Tijdsplan de stelling van Pythagoras Pythagoras toegepast oppervlakte test jezelf 1 test jezelf 2 toets
handleiding
pythagoras
3 lessen 3 lessen 3 lessen 1 les 1 les 1 les
handleiding
5
pythagoras
materialen voor een klassengesprek
gereedschappen 1 oppervlakte van roosterfiguren
2 stelling van Pythagoras
3 omgekeerde stelling van Pythagoras
4 Pythagoras in de ruimte
5 45-45-90-driehoek 30-60-90-driehoek
6 oppervlakte en hoogte van kegels
7 pythagoreïsche drietallen
8 oppervlakte van parallellogrammen
9 oppervlakte van driehoeken
10 oppervlakte en omtrek van cirkels
11 oppervlakte en gelijkvormigheid
12 in 3-hoek met geg. zijden hoogtes ber.
Vragen ●
Je hebt een kabel van 100 meter lang strak gespannen tussen de punten A en B. Je hebt ook een touw van 101 meter lang met de uiteinden bevestigd in A en B. Het midden van het touw trek je zover mogelijk van de kabel weg, naar het punt C. Hoever ligt C van de kabel af? (Laat leerlingen eerst een vermoeden uitspreken voor ze gaan rekenen. De uitkomst zal hen verbazen.)
●
Een zinvolle toepassing die goed aansluit bij het hoofdstuk en ook geschikt is voor een klassengesprek, is het berekenen van de afstand tot de horizon. Bijvoorbeeld: Hoe ver kun je kijken vanaf een toren van 100 meter hoog? Neem aan: de aarde is een bol met straal 6400 km; je ogen bevinden zich 100 meter boven het aardoppervlak; je kijkt langs rechte lijnen. Neem als lengte-eenheid 1 hm (100 m). Dan geldt:
OH 2 = OM 2 − MH 2 = 640012 − 64000 2 = 128001 Dus OH = 128001 ≈ 358 Je kunt dus bijna 36 km ver weg kijken.
handleiding
pythagoras
handleiding
pythagoras
hoofdzaken De stelling van Pythagoras, de omgekeerde stelling van Pythagoras en de stelling van Pythagoras in de ruimte. De twee bijzondere rechthoekige driehoeken (45-45-90 en 30-60-90) De oppervlakte van een parallellogram, van een driehoek en van een cirkel. De verandering van de oppervlakte van een figuur bij vergroting met een factor k.
samenhang Hoe bereken je de oppervlakte van vliegers, ruiten en trapezia? Vragen die met zandloperfiguren in een parallellogram of in een balk kunnen worden opgelost. Vragen over hoogtelijnen in driehoeken zijn belangrijk als voorbereiding voor goniometrie.
leerling-opgaven Bedenk een opgave over een meetkundige figuur waarin zowel een 45-45-90-driehoek als een 30-60-90-driehoek verwerkt zijn. Maak een opgave waarin zowel de stelling van Pythagoras als de omgekeerde stelling van Pythagoras nodig zijn. Zorg ervoor dat er mooie getallen uitkomen. Bedenk een opgave waarin je de oppervlakte van een interessante vierhoek moet berekenen.
handleiding
pythagoras
