Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS
INHOUD
2.1
De stelling van Pythagoras formuleren 2.2 Meetkundige voorstellingen 2.3 De stelling van Pythagoras bewijzen 2.4 Rekenen met Pythagoras 2.5 Constructies 2.6 Pythagoras in de ruimte Studiewijzer
98 106 109 113 125 129 134
97
Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS 2.1
De stelling van Pythagoras formuleren
2.1.1
Op onderzoek Vul de tabel verder in. b a
1 b c
a c
4
2
c c
b c
a
a
a 5
3 b
b
driehoek
a (mm)
b (mm)
c (mm)
䉭1
48
39
84
䉭2
16
12
20
䉭3
32
24
40
䉭4
40
96
104
䉭5
40
32
61
a2
b2
c2
a2 + b2
Wat stel je vast als je de laatste twee kolommen vergelijkt?
2.1.2
Benamingen in een rechthoekige driehoek
1
Een rechthoekige driehoek bestaat uit
2
• twee rechthoekszijden (vormen een rechte hoek)
:
• een schuine zijde of hypothenusa
:
3 4 5 98
en
c a
b
2.1.3
De stelling van Pythagoras
Stelling In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan
c a
b
In symbolen: a 2 + b 2 = c 2 (waarbij a en b de rechthoekszijden zijn en c de schuine zijde is) Drie natuurlijke getallen a, b en c (elk verschillend van 0) die aan de voorwaarde a 2 + b 2 = c 2 voldoen, noem je Pythagorische drietallen of Pythagorische getallen. Het eenvoudigste Pythagorische drietal is 3, 4 en 5. De stelling van Pythagoras geldt ook omgekeerd. Stelling
Als in een driehoek de som van de kwadraten van de twee kortste zijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde, dan is de driehoek
.
De 3-4-5-regel Pythagorische drietallen worden gebruikt om een rechte hoek te bepalen. • Bind op gelijke afstand knopen in een touw. Zo verkrijg je gelijke knoopafstanden. • Vorm met het touw een driehoek waarvan een zijde drie knoopafstanden heeft; een zijde vier knoopafstanden heeft; een zijde vijf knoopafstanden heeft. • Zo verkrijg je een rechthoekige driehoek en kun je een rechte hoek uitzetten.
Pythagoras is geboren op het Griekse eiland Samos, vermoedelijk in 569 v.Chr. In 518 v.Chr. verliet hij, omwille van politieke geschillen, zijn geboorteplaats. Hij vestigde zich in het Zuid-Italiaanse Croton, waar hij zijn beroemde filosofische school stichtte. Zijn volgelingen werden ‘mathematikoi’ genoemd, of ook wel ‘Pythagoreeërs’ en vormden een gemeenschap met strenge leefregels. Enkele van de basisprincipes van de gemeenschap waren: • wiskunde is het wezen van alles; • bepaalde symbolen hebben een religieuze waarde; • alle leden zweren volledige trouw en geheimhouding; • er zijn geen persoonlijke bezittingen; • iedereen is vegetarisch. De mathematikoi geloofden dus dat alles met getallen te vatten was. Enkele wiskundige hoogtepunten van de Pythagoreeërs: • het meetkundig oplossen van vergelijkingen; • de ontdekking van de irrationale getallen; • studie van regelmatige veelvlakken. Of de ‘stelling van Pythagoras’ ooit door hemzelf of een van zijn volgelingen is bewezen, is twijfelachtig. In elk geval was deze eigenschap van rechthoekige driehoeken al eerder bekend bij de Babyloniërs, de Indiërs en de Chinezen. In 508 v.Chr. werd de gemeenschap in Croton bedreigd en Pythagoras vluchtte naar Metapontium, waar hij wellicht enkele jaren later overleed.
Hoofdstuk 2
DE STELLING VAN PYTHAGORAS
99
Oefeningen REEKS A 1
2
Kleur het vak met de passende lengte van de schuine zijde c zodat de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is. a
b
c
a)
3 cm
4 cm
5 cm
6 cm
7 cm
b)
5 dm
12 dm
15 dm
14 dm
13 dm
c)
60 mm
80 mm
90 mm
100 mm
110 mm
d)
20 m
21 m
27 m
29 m
31 m
e)
9 cm
12 cm
15 cm
18 cm
21 cm
Formuleer bij de volgende driehoeken, indien mogelijk, de stelling van Pythagoras. a)
d) k c
b
j
l
a
b)
e) m d
e o n
f
c)
f) g
r
h i
2 3 4 5 100
q p
1
3
Onderzoek of de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is. Zet een vinkje. a
b
c
rechthoekig
niet rechthoekig
a)
6 cm
8 cm
10 cm
❒
❒
b)
5 cm
12 cm
13 cm
❒
❒
c)
9 mm
13 mm
15 mm
❒
❒
d)
20 cm
48 cm
54 cm
❒
❒
e)
18 m
24 m
30 m
❒
❒
REEKS B 4
Bereken de zijden van de volgende rechthoekige driehoeken. Gebruik een touw met een aantal knopen op gelijke knoopafstand. knoopafstand
a)
rechthoekszijde:
3
stukken van
2 cm
rechthoekszijde:
4
stukken van
2 cm
stukken van
2 cm
stukken van
5 cm
stukken van
5 cm
schuine zijde:
b)
rechthoekszijde:
3
rechthoekszijde:
c)
d)
schuine zijde:
5
stukken van
5 cm
rechthoekszijde:
3
stukken van
15 mm
rechthoekszijde:
4
stukken van
15 mm
schuine zijde:
stukken van
15 mm
rechthoekszijde:
stukken van
7 cm
rechthoekszijde:
4
stukken van
7 cm
schuine zijde:
5
stukken van
7 cm
Hoofdstuk 2
DE STELLING VAN PYTHAGORAS
lengte van de zijden
101
5
Bewijs zonder te meten. a) Parallellogram PLAK is een rechthoek.
b) Parallellogram KLAP is een ruit. D = 16 cm d = 12 cm
P
L
K 10 cm
17 m
8m
L
P 15 m
K
A
A
6
Toon aan zonder geodriehoek dat a ⊥ b. Gebruik de 3-4-5-regel. a
b
7
Bereken de schuine zijde met de 3-4-5-regel. a) rechthoekszijde: 60 cm = 3 ⴢ 20 cm
c) rechthoekszijde: 12 dm =
rechthoekszijde: 80 cm = 4 ⴢ 20 cm
rechthoekszijde: 16 dm =
schuine zijde:
schuine zijde:
b) rechthoekszijde: 15 m = 1
d) rechthoekszijde: 90 mm =
rechthoekszijde: 20 m =
rechthoekszijde: 120 mm =
schuine zijde:
schuine zijde:
2 3 4 5 102
8
9
Onderzoek of de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is. Zet een vinkje. a
b
c
rechthoekig
niet rechthoekig
a)
2 mm
2,1 mm
2,9 mm
❒
❒
b)
4 cm
7,5 cm
8,5 cm
❒
❒
c)
0,12 m
0,35 m
0,37 m
❒
❒
d)
2,1 cm
2,8 cm
3,4 cm
❒
❒
e)
1,4 cm
4,8 cm
5 cm
❒
❒
rechthoekig
niet rechthoekig
Onderzoek of de nABC rechthoekig is. Zet een vinkje. zijden
10
a)
16 m
34 m
30 m
❒
❒
b)
4,5 cm
7,5 cm
6 cm
❒
❒
c)
2,7 dm
3,6 dm
4,8 dm
❒
❒
d)
18 cm
32 cm
24 cm
❒
❒
e)
78 m
30 m
72 m
❒
❒
Los op. a)
Om in het park een voetbalpleintje af te bakenen, stapt Stijn twintig passen af in de breedte en zestig in de lengte. Pedro vertrouwt het niet helemaal en vraagt Stijn eens diagonaal over het veld te stappen. Stijn telt 67 passen. Is hun voetbalplein rechthoekig?
Antwoord: b)
Pa wil een tuinhuis achter in de tuin. Hij graaft een rechthoekige kuil van 3,6 m bij 4,8 m voor de grondplaat. Om te controleren of zijn put wel rechthoekig is, meet hij de diagonaal. Die is zes meter. Is de kuil rechthoekig?
Antwoord:
Hoofdstuk 2
DE STELLING VAN PYTHAGORAS
103
REEKS C 11
Primitieve Pythagorische drietallen zijn Pythagorische drietallen die geen natuurlijke veelvouden zijn van andere Pythagorische drietallen. Voorbeeld: 9, 12 en 15 is een Pythagorisch drietal, maar niet primitief. Enkele van de kleinste primitieve Pythagorische drietallen zijn: 3
4
5
5
12 13
8
15 17
7
24 25
9
40 41
12 35 37
Om zelf primitieve Pythagorische drietallen op te stellen, ga je als volgt te werk. Kies twee, van 0 verschillende, natuurlijke getallen m en n waarbij m > n. a = 2 mn
b = m2 – n2
Voorbeeld Stel m = 5 en n = 3 a= b= c= Controle:
Bewijs. gegeven m en n zijn natuurlijke getallen, verschillend van 0 en m > n a = 2 mn b = m2 – n2 c = m2 + n2 te bewijzen a2 + b2 = c2 bewijs
1 2 3 4 5 104
besluit
c = m2 + n2
12
Stel Pythagorische drietallen op. a
a)
42
b)
40
c)
30
d)
150
e)
210
b
c
berekeningen
Het vermoeden van De Fermat Er blijken oneindig veel natuurlijke getallen a, b en c te bestaan die voldoen aan de vergelijking a 2 + b 2 = c 2. De Franse wiskundige Pierre de Fermat (1601-1665) vroeg zich af of er ook van nul verschillende, natuurlijke getallen te vinden zijn die voldoen aan de formule a n + b n = c n, voor waarden van n groter dan 2.
Pierre de Fermat
Hij vond er geen en schreef in de kantlijn van een van zijn boeken dat de vergelijking onoplosbaar is. De Fermat beweerde een bewijs te hebben voor dit theorema, maar dat werd nooit gevonden. Men is dus nooit zeker geweest over het bestaan van het bewijs, laat staan over de juistheid ervan. Gedurende 300 jaar probeerde men het theorema te bewijzen, zonder succes. Het duurde tot in 1994. Toen slaagde de Britse wiskundige Andrew Wiles erin om een sluitend bewijs te vinden.
Andrew Wiles
Pierre de Fermat stond samen met Pascal aan de wieg van de kansrekening en is ook bekend door het ‘beginsel van Fermat’.
Hoofdstuk 2
DE STELLING VAN PYTHAGORAS
105
Studiewijzer DE STELLING VAN PYTHAGORAS 2.1 De stelling van Pythagoras formuleren KENNEN In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde. Als in een driehoek de som van de kwadraten van de twee kortste zijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde, dan is de driehoek rechthoekig. KUNNEN De stelling van Pythagoras formuleren. 2.2 Meetkundige voorstellingen KUNNEN De stelling van Pythagoras gebruiken bij berekeningen van lengten in meetkundige situaties (zijden van een rechthoekige driehoek, zijden en diagonalen van een vierhoek, ...). 2.3 De stelling van Pythagoras bewijzen KUNNEN De stelling van Pythagoras bewijzen. 2.4 Rekenen met Pythagoras KUNNEN De stelling van Pythagoras gebruiken in bewijzen en vraagstukken. 2.5 Constructies KUNNEN De stelling van Pythagoras gebruiken in constructies van lijnstukken met een bepaalde lengte. 2.6 Pythagoras in de ruimte KUNNEN De stelling van Pythagoras gebruiken in ruimtelijke situaties (diagonalen kubus en balk, hoogte piramide, ...).
Contractwerk
1 2 3 4 5 134
