Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Rovnice

RNDr. Yvetta Bartáková

Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Rovnice kombinatorické

VY_32_INOVACE_05_1_19_M2

Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Skupiny prvků, kde záleží na pořadí Bez opakování Počet Vk( n) všech k-členných variací z n prvků je: Vk(n) = n · (n − 1) · (n − 2) · … · (n − (k – 1)). Je-li n = k, pak variace bez opakování n-té třídy z n prvků se nazývají permutace bez opakování: Vn(n) = P(n) = n! Pro každé přirozené číslo n definujeme: n! = n · (n − 1) · (n – 2) · … 3 · 2 · 1

0! = 1 …dodefinováno

n! Vk(n) = n  k !

1

S opakováním Počet V'k(n) všech k-členných variací z n prvků je: V'k(n) = nk Počet P'(k1, k2, …, kn) permutací z n prvků, v nichž se jednotlivé prvky opakují

k1  k 2  ....  k n !

k1, k2, …, kn-krát, je: P'(k1, k2, …, kn) =

k1! k 2 ! ......  k n !

Pozn.: k-členné variace bez opakování z n prvků existují jen pro k ≤ n, ale variace s opakováním existují i pro k > n

2

Př. 1. Pro přípustné hodnoty n řešte rovnici: V2 n  2  V2 n  1  22

n  2n  3  n  1  n  22 n 2  5n  6  n 2  n  22 2n 2  4n  16  0

/ levou stranu rovnice upravíme podle vzorce / závorky roznásobíme / dopočteme kvadratickou rovnici

n 2  2n  8  0

n  4n  2  0 n1  4  n2  2

Podmínky:

n  2  2  n 1  2

Df  n  N , n  4

/ z řešení vybereme ta, která vyhovují

podmínce K  4

3

Př. 2. Počet variací třetí třídy z n prvků bez opakování je o 225 menší než počet variací třetí třídy s opakováním vytvořených z těchto prvků. Určete počet prvků. Df  n  N , n  3 V3 n  225  V3/ n

n n  1n  2  225  n 3 n 3  3n 2  2n  225  n 3 3n 2  2n  225  0

n1, 2 

/ sestavíme rovnici / upravíme dle vzorců / závorky roznásobíme / dopočteme kvadratickou rovnici

2  4  4  3  225 2  52  6 6

n1  9; n2  

25  Df 3

/ z řešení vybereme ta, která vyhovují Df

Počet prvků je 9.

4

Př. 3. Řešte rovnici:

6 x  5 ! x  3 ! 20 x  4 !

x 5  0 x 3 0 x 4  0

Podmínky:

Df  x  N , x  5 6 x  5! x  3!2 x  4! 0

x  5! 6  x  3x  4  2x  4  0 x  5! 6  x 2  7 x  12  2x  8  0 x  5!  x 2  9x  14  0

/ rovnici vynásobíme x  4! / vytkneme výraz

x  5!

/ upravíme závorku / převedeme na součin

 x  5! x  7x  2  0

x  5! 0 vždy; K  7

x1  7; x2  2  Df

5

Př. 4. Zvětší-li se počet prvků o 2, zvětší se počet permutací bez opakování 90krát. Určete původní počet prvků. Pn  2  90  Pn

/ sestavíme rovnici

n  2! 90n!

/ upravíme dle vzorců

n  2n  1n! 90n!

/ levou stranu rovnice rozepíšeme na součin

n 2  3n  2  90 n 2  3n  88  0

/ rovnici vydělíme výrazem n! 0 / řešíme kvadratickou rovnici převedením na součin

n  11n  8  0 n1  11; n2  8

Podmínky:

n2  0n  0 Df  N

/ z řešení vybereme ta, která vyhovují Df

6

Původní počet prvků je 8. Př. 5. Řešte rovnici: V2 x  5  12 Př. 6. Kolik prvků dá dohromady 132 variací druhé třídy bez opakování? Př. 7. Určete počet prvků, je-li počet variací druhé třídy bez opakování 20krát menší než počet variací čtvrté třídy bez opakování. Př. 8. Počet variací třetí třídy bez opakování z daných prvků je k počtu variací třetí třídy s opakováním z těchto prvků v poměru 21:32. Kolik je dáno prvků?

7

Př. 9. Pro přípustné hodnoty x řešte rovnice: a) x  1!16x  1! x!

x  3!x  1!  3 x  2! b)

x  1!  x  2 c) x  3!

d)

2 x  1!  3x !  x  1!  50 2x! e) 2 x ! 3x  1!

x! x!   14 x     x  3 ! 2 x  2 ! f)

x  2!  2  x!

x!  3! x  2!

8

Př. 10. Zmenší-li se počet prvků o 2, zmenší se počet permutací bez opakování 20krát. Určete původní počet prvků. Procvičování: 1. Maturitní minimum – sbírka úloh pro SŠ, Prometheus, str.85-86, př.1.4, 4.5, 5.1, 5.2 2. Sbírka úloh z M pro SOŠ, SOU a nástavbové studium, Hudcová – Kubíčková, Prométheus, str. 200-202, př. 8-10, 20-25

9

Skupiny prvků, kde nezáleží na pořadí Bez opakování Počet Ck(n) všech k-členných kombinací z n prvků je (pro všechna celá nezáporná čísla n, k, kde k ≤ n):

Vk ( n) Ck(n) = P(k )

 n n!    Ck(n) =  k  n  k ! k!

10

 n   n      Pro všechna celá nezáporná čísla n, k, k ≤ n, platí:  n  k   k 

Prázdnou množinu (k = 0) lze z libovolné n-prvkové množiny vybrat vždy jen jediným způsobem, proto pro všechna přirozená čísla n platí: C0(n) = 1.

11

S opakováním Počet C'k(n) všech k-členných kombinací z n prvků je:

 n  k  1   k   C'k(n) =

Př. 1. Řešte rovnici: C2 x  6  10

 x  6    10  2 

/ levou stranu rovnice upravíme podle vzorce

n C k n     k 

12

x  6x  7  10

Vk ( n) / levou stranu rovnice upravíme na tvar P(k )

x 2  13x  42  20

/ dopočteme kvadratickou rovnici

2 1

x 2  13x  22  0

x  11x  2  0 x1  11  x2  2

Podmínka:

x6  2





Df  x  Z 0 , x  8

/ z řešení vybereme ta, která vyhovují

podmínce K  11

13

Př. 2. Zvětší-li se počet prvků o 8, zvětší se počet kombinací druhé třídy bez opakování 11krát. Určete počet prvků. C2 n  8  11  C2 n

/ sestavíme rovnici

 n  8 n    11   2   2

/ upravíme dle vzorců

n  8n  7  11 nn  1 2

2

n 2  15n  56  11n 2  11n

/ řešíme kvadratickou rovnici

10n 2  26n  56  0 5n 2  13n  28  0

n1, 2 

13  169  4  5  28 13  27   n1  4; n2  1,4 10 10

14

Podmínky:

n8  2n  2





Df  n  Z 0 ; n  2

/ z řešení vybereme ta, která

vyhovují Df Původní počet prvků je 4.

15

Př. 3. Řešte rovnici:

 x  2   5  7   x   3   8                    x  4   3  7   x  2   2   0 

x2 x    5    3       1        1  x  2   x  4   2   x   x  2   1 

/ kombinační čísla upravíme dle vzorce

 n   n      n  k  k   x  2 5  4  x      3 2  2   2 

Vk ( n) / upravíme dle vzorce P(k )

x  2x  3  10  xx  1  3 2

2

x 2  5x  6  14  x 2  x 2x 2  6x  8  0 x 2  3x  4  0

16

x  4x  1  0 x1  4  x2  1

Podmínky:

x2  2 x  2





Df  x  Z 0 , x  4

/ z řešení vybereme ta, která vyhovují

podmínce K  4

17

Př. 4. Řešte rovnice: a) C2 x   28

10  12    x    b)  4   6 

 1   2   3   3   3   3   x      x                c)  1   2   0   1   2   3 

 5 2  2  8  7   x  x     :    0  2  4  3 d)  0 

Př. 5. Určete počet prvků, je-li počet kombinací druhé třídy bez opakování z těchto prvků 91. Př. 6. Zmenší-li se počet prvků o 1, zmenší se počet kombinací třetí třídy bez opakování z těchto prvků o 45. Určete původní počet prvků.

18

Př. 7. Řešte rovnice:  x  1  x        21 3   3 a) 

 x   x  1  6   4             2 x  3   4  0 b)   

 6   x  1  6   x  2   4                5 x  1 4 x  1          2 c)

 x   x  x  1  x  2    3     2       6   x  3 2 1 0         d)

2x  1!  x  4!     x  1   x  3 !   3 e)

 x  x  3!     x 2  14 x  1   x  2 !  f) 

 x  8  x  x   x  1  x       2          5   x  7 1 0 x x  1           g)

19

Procvičování: 1. Maturitní minimum – sbírka úloh pro SŠ, Prometheus, str. 85-86, př. 2.4, 6.1, 6.2 2. Sbírka úloh z M pro SOŠ, SOU a nástavbové studium, Hudcová – Kubíčková, Prométheus, str. 205- 207, př. 30-33, 45-48

20