Funkce
RNDR. Yvetta Bartáková
Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Derivace funkce
VY_32_INOVACE_05_2_20_M2
Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu x0 . Existuje-li lim xx
0
f x f x0 , x x0
nazýváme ji derivací funkce f v bodě x0 . Zapisujeme: f ´x0 . Geometrický význam derivace funkce v bodě: První derivace je směrnicí tečny t ke grafu funkce f v bodě x0 . Tečna v bodě T x0 ; y0 má rovnici: y y0 f ´x0 x x0
1
Platí: - Má-li funkce f v bodě x0 derivaci, je v tomto bodě spojitá. - Jestliže funkce f a g mají v bodě x0 derivaci, má v tomto bodě derivaci i součet, rozdíl, součin a podíl funkcí a platí: a) f g ´ f ´ g´
b) f g ´ f ´ g´
c) f g ´ f ´g f g´
d) ´ g
f
f ´g f g´ g x 0 g2
e) c f ´ c f ´ c R - Jestliže funkce v = g(x) má v bodě x0 derivaci a y = f(v) má derivaci v bodě v0 g x0 , pak má složená funkce y = f(g(x)) derivaci v bodě x0 a platí :
f g x0 ´ f ´g x0 g´x0 . 2
Derivace elementárních funkcí Funkce
Derivace funkce
Definiční obor funkce
y c, c R
y´ 0
xR
y xn , n N
y´ n x n1
xR
y xk , k Z
y´ k x k 1
x R 0
y xr , r R
y´ r x r 1
x R
y ex
y´ e x
xR
y a x , a 0, a 0
y´ a x ln a
xR
y ln x y log a x, a 0, a 0
y´
1 x
x R
y´
1 x ln a
x R
3
y = sin x
y´= cos x
xR
y = cos x
y´ = - sin x
xR
y = tg x
y´
y = cotg x
y´
1 cos 2 x 1 sin 2 x
x R k kZ 2 x R k kZ
4
Příklad 1 Vypočtěte derivace zadaných funkcí v libovolném bodě jejich definičního oboru. a) y 2 x cos x Využijeme větu o derivaci součinu. y´ 2 cos x 2 x sin x 2 cos x x sin x
b) y
sin x 3x
Využijeme větu o derivaci podílu. y´
cos x 3x sin x 3 3 x cos x sin x x cos x sin x 9x 2 9x 2 3x 2
c) y ln 3 2 x 5
Využijeme větu o derivaci složené funkce. y´
1 2 2 3 2x 2x 3
d) y
x 5 1
1 Funkci přepíšeme do tvaru y x 2 a využijeme větu o derivaci mocninné funkce. 5 1
1 1 1 y´ x 2 5 2 10 x
e) y log 3 x 2 Využijeme větu o derivaci složené funkce. y´
1 2 2x x ln 3 x ln 3 2
6
Užití derivací: - při vyšetřování průběhu funkcí - výpočtu některých limit funkcí - určování extrémních obvodů a obsahů rovinných útvarů nebo objemů a povrchů těles
7
Při vyšetřování průběhu funkcí platí věty: a) Má-li funkce f v každém bodě intervalu (a,b) kladnou derivaci, je v tomto intervalu rostoucí. b) Má-li funkce f v každém bodě intervalu (a,b) zápornou derivaci, je v tomto intervalu klesající. c) Má-li funkce f v bodě x0 lokální extrém a existuje-li v tomto bodě derivace f ´x0 , pak platí: f ´x0 0 .
8
d) Jestliže v každém bodě x intervalu (a,b) platí, že f ´´x0 0 , pak je funkce f v intervalu (a,b) konvexní. e) Jestliže v každém bodě x intervalu (a,b) platí, že f ´´x0 0 , pak je funkce f v intervalu (a,b) konkávní. f) Nechť funkce f má v bodě x0 derivaci. Mění-li se v tomto bodě znaménko druhé derivace, nazýváme bod x0 inflexní bod funkce f.
9
Příklad 2 Napište rovnici tečny a normály ke křivce y x 2 3x 5 v bodě T 2,1 . 1 2
1 2
Vypočteme 1. derivaci funkce: y´ 2 x 3 x 3 1.
derivace v dotykovém bodě je směrnicí tečny: y´2 2 3 1 kt
2.
pro směrnici normály platí: k n
Tečna t :
y 1 1x 2 y x 3
1 kn 1 kt
Normála n :
y 1 1x 2 y x 1
10
Příklad 3 Určete monotónnost a extrémy funkce f : y x 3
x4 . 4
Vypočteme 1. derivaci funkce: y´ 3x 2 4 x 3 3x 2 x 3 x 2 3 x 1 4
1.
první derivace nabývá nezáporných hodnot pro x 3; , proto v tomto intervalu roste
2.
3.
první derivace nabývá záporných hodnot pro x ; 3 , je spojitá v bodě – 3, proto pro x ; 3 funkce klesá body podezřelé z extrému jsou 0 a -3, ale znaménková změna nastává pouze u bodu -3 z minus na plus, proto má funkce v bodě 3;6,75 lokální minimum
11
Příklady 1) Vypočtěte hodnotu derivace funkce 1; 2.
f : y x 2 2x 1
pro x = -2; -1; 0;
2) Vypočtěte hodnotu derivace funkce f v průsečících jejího graf s osou x. a) f : y x 2 x 6 b) f : y
x2 1 x2
c) f : y
x 2 5x 6 x
12
3) Vypočtěte hodnotu derivace funkce f v daných bodech. a) f : y
x 1 ; x 1; 0; 1 x2
b) f : y
x 2 2x 3 ; x 2; 1; 4 x
c) f : y
sin x ;x ; x 4 2
3
d) f : y sin x cos x; x ; 3
2
13
4) Najděte rovnici tečny a normály funkce f v bodech, které mají danou souřadnici x. a) f : y x 3 ; x 2; x 1 b) f : y
x 1 ; x 1; x 3 x 1
c) f : y sin 2 x; x ; x 3
3 4
14
5) Vypočtěte úhel, který svírají tečny funkce f v bodech, které mají danou souřadnici x. a) f : y x 2 2 x 3; x1 3; x2 1 b) f : y
x2 3 ; x1 0; x2 2 x 1
c) f : y
x ; x1 2; x2 4 x 1 2
15
6) Najděte rovnice tečen funkce f, které s osou x svírají úhel a) f : y
x ; x 1 4
b) f : y
x2 3 ; x 4
.
7) Vypočtěte derivaci funkce: a) y x 2 3x 1
3
b) y x 2 1 x 3 2 3
2
c) y 2 x 2 1 x 2 1 d)
x y
2
x 1 2x 1
2
8) U daných funkcí určete monotónnost a extrémy. a) y 3x 2 2 x 5
b) y 2 x 2 4 x 1 16
1 3
1 2
c) y x 3 3x 2 9 x 1
d) y x 3 x 2 2 x 1
e) y sin 2 x; x 0;2
f) y cos 3x ; x 0;
4
17
Příklady na procvičení: Vypočtěte derivaci funkce: Př. 1. y 1 x 3 Př. 2. y x 3 2
5
Př. 3. y x 4 6 x 2 7
3
Př. 4. y x 1x 22 x 3
Př. 5. y
1 a x2 2
18
Př. 6. y
1 5 x 2
Př. 7. y 1 x 2
Př. 8. y a 2 x 2
Př. 9. y x 1 x 2
Př. 10. y x 1 x 2
2
19
Př. 11. y
Př. 12. y
Př. 13. y
x2 1 1 x 2
x x a 2
,a0
1 x a2 x2
,a0
Př. 14. y x 1 x 2 1
Př. 15. y x x
20
Př. 16. y e
1 ln x
Př. 17. y ln x 1 x 2
Př. 18. y ln x sin x 1 x 2
Př. 19. y ln
1 sin x 1 sin x
1 3
Př. 20. y ln 3 x 3
Př. 21. y 3x 2 1
2
21
2 Př. 22. y x 2 x 2
3
Př. 23. y 3x 22 x 1 Př. 24. y x 2 sin x Př. 25. y 3 cos 2 x cos 3 x 1 3
1 6
Př. 26. y sin 3 x sin 6 3x
Př. 27. y cos x 1 sin 3 x
22
Př. 28. y
1 1 sin 6 3x sin 8 3x 18 24
Př. 29. y
x 1 x 1
Př. 30. y
x2 x 2 x3
Př. 31. y
x3 x 1 x3
Př. 32. y
1 x 1 2
23
Př. 33. y 3 x
Př. 34. y
2 x 3 x x
1 3 x 2x x
Př. 35. y
1 x 1
Př. 36. y
x 3 x 1 x
Př. 37. y x 3 x
4x x x x
24
Př. 38. y
x 1 x 1
Př. 39. y
x x 1 x 1 x
Př. 40. y
1 1 3 5 x 2
Př. 41. y x 3 x 1
4
Př. 42. y
x x 1 2
25
Př. 43. y x 3 1 x 2 1 5
Př. 44.
x y x
1
6
5
2
1 1
2
5
1
Př. 45. y x 3 1 Př. 46. y x 1
Př. 47. y
1 1 x2
26
Př. 48. y
b 2 a x2 a
Př. 49. y 1 x
Př. 50. y x 1 x 2
Př. 51. y
x2 1 1 x2 1 1
Př. 52. y x 2 Př. 53. Určete rovnice tečen ke křivce y x 3 x 2 2 x v průsečících křivky s osou x. 27
Př. 54. Ve kterém bodě má parabola y 2 x 2 3x 1 tečnu a) se směrovým úhlem 45 ; b) rovnoběžnou s přímkou 5x – y + 3 = 0; c) kolmou na přímku x – 3y + 2 = 0. Př. 55. Určete definiční obor daných funkcí a 1. derivaci : a) f : y x 2 x 2 3x 5 b) g : y
2 x 1 x
c) h : y
cos x 1 sin x
d) k : y 3 x 2 1 e) l : y sinx 2 1 28
Př. 56. Najděte rovnici tečny elipsy x 2 4 y 2 16 v bodě T 2; 3 . Př. 57. Určete rovnice tečen ke křivce y x 3 x 2 6 x v průsečících křivky s osou x. Př. 58. Je dána parabola y x 2 4 x 3 . a) Určete dotykový bod a rovnici tečny paraboly, která má směrový úhel 45 . b) Pomocí derivace určete vrchol paraboly.
29
Př. 59. Je dána parabola y 0,5x 2 3x 1. a) Určete rovnici tečny paraboly v bodě T 2; ? . b) Ve kterém bodě má parabola tečnu se směrovým úhlem 60 ? c) Ve kterém bodě má parabola tečnu rovnoběžnou s přímkou 5x – y – 2 = 0 ? x 2 2x Př. 60. Určete rovnici tečny grafu funkce f : y 2 v bodě T 1; ? . x 4
30
Př. 61. Určete derivaci funkce v libovolném bodě intervalů, z nichž se skládá definiční obor: a) f : y 3 x 2 x 2 1 b) g : y
1 x x
c) h : y
1 cos x 1 cos x
d) k : y
1 1 x2
e) l : y sin x f) m : y sin x Př. 62. Napište rovnici tečny hyperboly x 2 9 y 2 9 v bodě T 9;2 2 .
31
Př. 63. Určete rovnici tečny křivky x 2 y 2 6 x 2 y 15 0 v bodě T 1;2 .
Př. 64. Určete rovnici tečny grafu funkce f : y
sin x cos x v bodě T ; ? . sin x cos x 4
32
Výsledky: 2 2 3 2 4 2 1. 31 x ; 2. 15x x 2 ; 3. 12 xx 3x 6 x 7 ;
4
2
2x
x
2
3 2 2 2 2 4. 2x 22 x 8x 7; 5. a x ; 6. 5 x ; 7. 1 x ; 8. 2
2 2x 2 1
10.
a
x
1 x 2 ; 11. 1 x ; 12. 3
2x 2 x 1
14.
2x 1
2
a
3
1
e x 1 ; 15. 4 x x x ; 16. x ln 2 x ; 17. 2
a 2 x 2 ; 9.
1 x2 ;
1
1 x cot gx 1 x ; 18. x 1 x2 ; 2
3 ln 2 x 3 1 2 2 2 x ; 21. 12 x 3x 1 ; 22. 6x 1 x 2 x 2 ; 23. 19. cos x ; 20.
2x 2 1
2 2 2 ; 13. x a x a x ; 2
1 ln x
2 x 1
x
3x 29 x 4 ;
2 x 2 sin x cos x x ; 25. 3 sin x cos xcos x 2 ; 26. sin 2 x cos x 3 sin 5 3x cos 3x ; 24. 33
sin x 5 sin 3 x 3 sin x 2 2 1 sin 3 x
27.
2 x 3 3x 2 1
31.
1 x
3 2
35. 2 x
1
2 5 3 ; 28. sin 3x cos 3x ; 29. x 1 ; 30.
2x
1
2
x 1 ; 36. 2 x x
39. 2 x x 1
2
3
; 32. x 1 ; 33. 2 x 2
1
2
1 2x x
2
2
3x
3
x2
2
x
47.
1 x
2 3
; 48.
5
x 32 ;
6 1 1 3 2 4 x 2 x x ; 34. 2 x x 2 x ;
43 x 2 3 4 x 4 x ; 38. ; 37. 3
1 x2
x
1
2
x 1 ;
1 x2
1
2 3 2 ; 40. 2 x x ; 41. 43x 1x x 1 ; 42. x 1 ; 3
43. 3xx 1 x 1 9 x 5x 4; 44. 4
3
x 2 6x 5
3
20 x x 2 1
x
2
5
4
2
2
3x 2
1
1 1 ; 45. 2 x 1 ; 46. 2 x 1 ;
bx
1
a a2 x2
; 49. 4 x 1 x ; 50.
3
x 1 x2 2 1 x2
;
34
2x
51.
x2 1
x
2
1
2
1 1 ; 52. 2 x 2 ;
53. t1 : 2 x y 0; t 2 : 6 x y 12 0; t3 : 3x y 3 0 ; 1 1 3 a)T ,2; b)T ,1; c)T ,1 2 2 2 ; 54.
55.
a) Df R0 , y´
10 x 2 9 x 5 2 x
; b) Df R0 1, y´
1
x 1 x
2
;
2x 3 x 2 1 1 c) Df R k , y´ ; d ) Df R, y´ ; e) Df 2 , 2 , y´ 2 x cos x 2 1 2 kZ 1 cos x 3 x 1
56. t : x 2 3 y 8 0 ; 57. t1 : 6 x y 0; t 2 : 15x y 45 0; t3 : 10 x y 20 0 ; 58. 5 3 a)T , , t : 4 x 4 y 13 0; b)V 2,1 2 4 ; 59. a) x – y – 1 = 0, b)T 3 3,2 ; c)T 2,9;
35
3
60. 2x – 9y + 1 = 0; 61. a) cos x
e) 2 sin x , f)
2 sin x x 1 x x 14 x 2 1 2 2 3x , b) 2 x , c) 1 cos x , d)
cos x 2 x ; 62. x 2 2 y 1 0 ; 63. 4 x 3 y 10 0 ; 64.
x y
x
1 x
2 3
4
,
0
36
Procvičování: Maturitní minimum – sbírka úloh pro SŠ, Prometheus, str. 127-131, př. 3.1-8.8
37
