Geometrie
RNDr. Yvetta Bartáková
Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Objemy a povrchy těles – koule, kulová plocha a jejich části
VY_32_INOVACE_05_3_19_M2
Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Objemy a povrchy těles A) Koule - je těleso, které vznikne rotací kruhu kolem přímky, která obsahuje jeho průměr - je množina bodů v prostoru, jejichž vzdálenost od bodu S je menší nebo rovna r B) Kulová plocha - je těleso, které vznikne rotací kružnice kolem přímky, která obsahuje její průměr - je množina bodů v prostoru, jejichž vzdálenost od bodu S je rovna r
1
4 3
Objem: V r 3
Povrch: S 4 r 2
2
C) Části koule - Kulová úseč je průnik koule a poloprostoru s hraniční rovinou, jejíž vzdálenost od středu je menší než poloměr
Objem: V h3r12 h 2 1 6
Povrch: S 2 r h r12
3
- Kulová vrstva je průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž vzdálenosti od středu koule jsou menší než poloměr - Kulová výseč je sjednocení kulové úseče a rotačního kuželu s podstavou shodnou s podstavou úseče a vrcholem ve středu koule
Objem:
1 V h 3r12 3r22 h 2 6
Povrch:
S 2 r h r12 r22
V
2 h r 2 3
S 2 r h r1 r
4
D) Části kulové plochy - Kulový vrchlík je průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční rovinou, jejíž vzdálenost od středu je menší než poloměr ( S 2 r h ) - Kulový pás je průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž vzdálenosti od středu koule jsou menší než poloměr ( S 2 r h )
5
Příklad 1 Válcová nádoba o poloměru 3 cm je naplněna vodou. Určete, kolik vody vytlačí koule o poloměru 5 cm, vložená na válcovou nádobu, a jak velký je povrch suché části koule.
r 2 r12 r v
2
25 9 5 v
2
16 25 10v v 2 0 v 2 10v 9
0 v 9 v 1 v1 9 v2 1 v 5 v 1
6
V
v
3r
2 1
v2
6 1 3 9 1 14 cm 3 V 6 3
S 4 r 2 2 r v S 4 25 2 5 1
S 90 cm 2
Koule vytlačí
14 cm 3 vody a povrch suché části koule je 90 cm 2 . 3
7
Příklad 2 Kolik km2 měří mírné pásmo na Zemi? Mírné pásmo se rozprostírá mezi obratníkem Raka ( 2327´ severní zeměpisné šířky) a polárním kruhem ( 6633´ severní zeměpisné šířky), poloměr Země je 6378 km.
h1 r h1 6378 sin 2327´ 2538,116km
sin 2327´
h2 r h2 6378 sin 6633´ 5851,226km
sin 6633´
h h2 h1 h 3313,11 km
8
S 2 r h S 2 6378 3313,11
S 42 262 031,16 km2
S 1,328 10 8 km2
Mírné pásmo na Zemi měří
S 1,328 108 km2 .
9
Příklady 1. Jakou hmotnost má kulečníková koule ze slonoviny, je-li délka její hlavní kružnice 16 cm a hustota 19200kg / m3 . 2. Do rovnostranného válce je vepsána koule a kužel. Podstava kužele je shodná s podstavou válce a vrchol je ve středu druhé podstavy. Určete poměr objemů těchto tří těles. 3. Jakou část zemského povrchu vidíme z výšky 350 km nad Zemí? 4. Krychli opište a vepište kouli. Vypočtěte poměr objemů koule opsané, krychle a koule vepsané. 5. Určete objem kulové úseče, jejíž výška je 73 cm, je-li obsah jejího vrchlíku 288 dm2.
10
Úlohy na procvičování: Př.1. Skleněná kulička má čtyřnásobný poloměr než kulička hliněná. Kolikrát má skleněná kulička větší povrch, kolikrát má větší objem? Př.2. Vypočtěte objem kulové vrstvy 18 cm vysoké. Průměr dolní podstavy je 80 cm, průměr horní podstavy je 60 cm. Př.3. Vypočtěte povrch a objem kulové výseče, když kulová úseč, která je částí výseče, má poloměr podstavy 6 cm a výšku v = 2 cm. Př.4. Vypočtěte objem kulové vrstvy, která zbude z polokoule po odříznutí úseče o výšce v = 3 cm. Výška polokoule je 10 cm. 11
Př.5. Jakou hmotnost má kovové těleso ve tvaru činky složené ze dvou koulí o průměru 6 cm a příčky tvaru válce o průměru 1,5 cm a výšce 13 cm? Hustota tělesa je 8100 kg/ m3. Př.6. Vypočtěte povrch kulové úseče, znáte-li její objem 141,4 cm3 a výšku 3 cm. Př.7. Plynojem tvoří válec vysoký 16 m o průměru 28 m, který je nahoře uzavřen kulovým vrchlíkem. Střed kulové plochy leží 4 m pod dnem válce. a) Vypočtěte poloměr kulové plochy a výšku vrchlíku. b) Jaký je objem plynojemu? Př.8. Dvě koule o poloměrech r1 = 13 cm, r2 = 14 cm mají středy S1, S2, jejichž vzdálenost je s = 20 cm. Určete povrch tělesa, které je společnou částí obou koulí.
12
Př.9. Z jaké výše vidí letec povrch Země o rozloze 200000 km 2? Př.10. V jaké výšce je nutno protnout polokouli o poloměru 12 cm rovinou rovnoběžnou s její podstavou, aby obsah vrchlíku byl dvakrát větší než obsah pásu? Př.11. Určete povrch a objem kulové úseče, je-li poloměr koule 5 cm a poloměr řezu 3 cm. Př.12. Určete povrch a hmotnost dvojvypuklé čočky o průměru 10 cm, je-li poloměr křivosti jedné kulové plochy 10 cm a poloměr druhé 8 cm. ( 3500 kg / m ) 3
13
Př.13. Ze dvou koulí o poloměrech 1 cm a 5 cm je ulita koule. Určete její poloměr a povrch. Př.14. Určete velikost středového úhlu, který přísluší vrchlíku, jehož obsah je jednou pětinou povrchu koule. Př.15. Určete obsah vrchlíku, příslušného středovému úhlu 120 , je-li poloměr kruhové hrany 10 cm. Př.16. Z koule o poloměru 8 cm je oddělena úseč, jejíž výška je jednou třetinou průměru koule. Určete povrch kulové úseče. Př.17. Nalijeme-li do nádoby tvaru polokoule 2 litry vody, naplní se do výšky 6 cm. Určete poloměr polokoule. 14
Př.18. Rotační kužel má výšku 80 cm. Jeho strana určuje s výškou odchylku 60 . Určete objem kulové úseče, která doplňuje tento kužel na kulovou výseč. Př.19. Určete objem kulové vrstvy, která vznikne z polokoule o poloměru 5 cm odříznutím úseče o výšce 1,5 cm. Př.20. Kouli o poloměru 3 cm je opsán rovnostranný kužel. Středem koule veďte rovinu rovnoběžnou s rovinou podstavy kužele. Určete objem tělesa, které vznikne z komolého kužele vyjmutím polokoule.
15
Výsledky: 1. 16krát; 64krát; 2. 73,7 dm3; 3. S = 314,15 cm2; V = 418,879 cm3; 4. 1839,926 cm3; 5. 2,018 kg; 6. 197,939 cm2; 7. a) r = 24,413 m; v = 4,413 m; b) 11255,69 m 3; 8. 592,66 cm2; 9. 5 km; 10. 4 cm od podstavy; 11. V
14 cm 3 , S 19 cm 2 V 162 cm 3 , S 81 cm 2 3 ; 12. S = 172,39 cm2;
m = 440 g; 13. r = 5,013 cm; S = 315,833 cm2; 14. 10615´37´´; 15. S
16.
400 cm 2 3 ; S
1280 cm 2 3 9 ; 17. 19,68 cm; 18. 2680,8 dm3; 19. 230 cm3; 20. 39 cm
16
Procvičování: 1. Maturitní minimum – sbírka úloh pro SŠ, Prometheus, str.83-84, př.7.4, 7.5 2. Sbírka úloh z M pro OA a SOŠ, J.Klodner, str. str. 98 , př. 1-15
17
