Geometrie
RNDr. Yvetta Bartáková
Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Objemy a povrchy těles – rotační válec a kužel
VY_32_INOVACE_05_3_17_M2
Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Objemy a povrchy těles A) Rotační válec - je těleso, které vznikne otáčením obdélníku kolem přímky, která obsahuje jednu jeho stranu nebo osu V Sp v 2 Objem: V r v
S 2 S p S pl S 2 r 2 2 r v Povrch: S 2 r r v
1
B) Rotační kužel - je těleso, které vznikne otáčením pravoúhlého trojúhelníku kolem přímky, která obsahuje jednu jeho odvěsnu nebo otáčením rovnoramenného trojúhelníku kolem jeho osy 1 Sp v 3 1 V r 2v 3 Objem: V
S S p S pl S r2 r s Povrch: S r r s
2
Příklad 1 Určete rozměry válcové nádoby o objemu 5 litrů, jestliže výška nádoby se rovná polovině průměru podstavy. v = r; V = 5 litrů = 5 dm3 V S p v r 2v
5 r2 r 5 r3
r3 v3
5
5
Válcová nádoba má rozměry:
rv3
5
dm
. 3
Příklad 2 Vypočtěte objem a povrch pravidelného rotačního kužele o výšce 10 cm, jehož strana má od roviny podstavy odchylku 30o.
v v sin ; tg s r
s 20 cm; r
10 3 3
30 3
s
v v ;r sin tg
s
10 10 ;r sin 30 tg 30
10 3cm
2 1 1 1 V S p v r 2 v 10 3 10 1000 3 3 3
4
2
S S p S pl r 2 r s 10 3 10 3 20 100 3 2 3
3 2 Pravidelný rotační kužel má objem V 1000 cm a povrch S 100 3 2 3 cm .
5
Příklady 1. Nálevka má tvar rovnostranného kužele. Vypočítejte obsah plochy smáčené vodou v případě, že do nálevky nalijete 3 litry vody. 2. Osovým řezem válce je obdélník s úhlopříčkou délky 20 cm. Výška válce je dvakrát větší než průměr podstavy. Vypočtěte objem válce v litrech. 3. Vypočtěte poloměr podstavy a objem rotačního kužele, jestliže rozvinutý plášť je kruhová výseč s poloměrem 3 cm a středovým úhlem 120 o. 4. Určete rozměry rovnostranného válce o objemu 1 litr. 5. Kužel s poloměrem podstavy 4 cm a výškou 6 cm je rozdělen rovinou rovnoběžnou s podstavou na dvě části téhož objemu. Vypočtěte: a) poloměr kružnice, která je řezem; b) poměr, ve kterém rovina řezu dělí výšku. 6. Osovým řezem válce je čtverec o obsahu 25 cm 2. Vypočtěte povrch válce.
6
Úlohy na procvičování: 1. Nádoba z umělé hmoty tvaru válce má průměr dna 2 dm. Jak vysoká musí být nádoba, aby se do ní vešlo 5 litrů vody? 2. Kolik litrů vody se vejde do válcové nádoby s průměrem dna 2 dm, je-li vysoká 1,5 m. Nádoba je naplněna po okraj. 3. Na list papíru o rozměrech 16 cm a 18 cm máme nakreslit síť válce s poloměrem r = 2,5 cm a výškou v = 7,7 cm a vystřihnout. Vypočtěte procento odpadu. 4. Jaký objem má válcová nádoba na dětskou přesnídávku, která má vnitřní průměr 0,68 dm a výšku 45 mm? Výsledek vyjádřete v desetinách decilitru. 5. Silo tvaru válce o rozměrech d = 3,8 m a v = 92 dm je naplněno na 72%. Kolik krychlových metrů siláže je v něm uskladněno? 6. Jaká je výška válce o průměru 1 metru, jestliže po naplnění vodou ze 65% je v něm 1531 litrů vody? 7
7. Vypočítej průměr dna válcové nádoby s objemem 1,5 litrů, která je vysoká 35 cm? 8. Klempíř měl zhotovit trubku s průměrem 9,8 cm. Mohl ji zhotovit z plechového obdélníku s rozměry 30 cm a 27 cm. 9. Kolik pozinkovaného plechu je třeba na zhotovení okapových rour na pět domků vysokých 8 m, jestliže průměr roury je 12 cm a na spoje a zahnutí je třeba přidat 5 %? 4 Sud na 2 hl je naplněn ze 5 vodou. Vypočítej průměr dna sudu,
10. jestliže voda sahá do výšky 80 cm. Kolik m2 plechu je třeba na výrobu takového sudu, musí-li se přidat 8 % na spoje a zahnutí? 11. Kolem kruhového zahradního bazénu o průměru 7,5 m se má vybetonovat 1 m široký chodník o tloušťce 15 cm. Kolik m 3 betonu bude třeba namíchat? Kolik cementu se spotřebuje, jestliže se na 1 m 3 betonu spotřebuje 200 kg cementu? 8
12. Rotační kužel má poloměr podstavy r = 4,5 cm a výšku v = 7,2 cm. Vypočítejte povrch. 13. Objem rotačního kužele je 307,72 cm 3 a průměr podstavy je 14 cm. Vypočítejte výšku kužele a jeho povrch. 14. Z kusu plechu tvaru polokruhu s poloměrem s = 8 cm byla sletována nálevka ve tvaru pláště rotačního kužele. Vypočítejte poloměr jeho podstavy a jeho výšku. 15. Plášť rotačního kužele má obsah 248 cm2 . Poloměr podstavy daného kužele je r = 8 cm. Vypočtěte objem kužele. 16. Vypočtěte povrch a objem rotačního kužele, jehož obvod podstavy je 125,6 cm a strana má délku 25 cm. 17. Povrch kužele je 235,5 cm2 . Osovým řezem kužele je rovnostranný trojúhelník. Vypočtěte objem kužele.
9
18. Strana rotačního kužele má délku 3,5 cm, poloměr podstavy kužele je 2,1 cm. Vypočítejte objem kužele a velikost úhlu, který svírá strana kužele a jeho výška. 19. Vypočítejte povrch a objem rotačního kužele, jehož osový řez má při vrcholu úhel velikosti 82 a délka strany kužele je 4,7 cm. 20.
Je dán rotační kužel s vrcholem V, S je střed jeho podstavy, X
libovolný bod podstavné kružnice. Platí: povrch kužele.
SV 9,2 cm, SXV 64
. Vypočítejte
21. Těleso je složeno z rotačního válce a rotačního kužele se shodnými podstavami. Válec má poloměr r = 15 cm a výšku v = 80 cm. Strana kužele svírá s výškou úhel 30 . Vypočtěte povrch a objem tohoto složeného tělesa. 22. Rotační kužel má průměr 20 cm a jeho strana svírá s rovinou podstavy úhel 25 . Jaký je objem rotačního kužele? 10
23. Objem rotačního kužele je 9,42 cm3 , přičemž výška je rovna 10 cm. Jaký úhel svírá strana kužele s rovinou podstavy? 24. Hromada písku má tvar rotačního kužele o průměru 2 m. Jak velká je strana této hromady, jestliže svírá s výškou úhel 2150´ . 25. Špice střechy kostela má tvar kužele o výšce 3 m, výška se stranou kužele svírá úhel 1830´ . Jaké množství barvy bude potřeba na její natření, jestliže na natření 100 cm2 střechy je potřeba 6 ml barvy? 26. Strana rotačního kužele, který má výšku 12,6 cm, svírá s podstavou úhel 32 . Vypočtěte povrch tělesa. 27. V jaké výšce musíme rozřezat vodorovným řezem kužel na dvě části o stejném objemu, jestliže poloměr podstavy r = 252 cm a úhel, který svírá strana kužele s podstavou 45 ? 28. Jak vysoký je válec, jehož plášť má obsah rovný obsahu jeho podstavy. Vypočtěte jeho objem. 29.
Vypočtěte objem kužele, jehož plášť je čtvrtkruh s poloměrem 20 cm. 11
30. Vypočtěte objem válce, jehož plášť je čtverec se stranou dlouhou 20 cm. 31. Obvod podstavy rotačního válce je tak velký, jako jeho výška. Jaký je průměr a výška válce o objemu 1 litr? 32. Vnější obvod mosazné trubky 30 cm dlouhé měří 3,2 cm. Její hmotnost je 47,5 g a hustota mosazi je 8500 kg/m3. Jaká je tloušťka stěny trubky? 33. Kolik nafty je ve vodorovné nádrži ve tvaru rotačního válce o výšce 10 m, když šířka hladiny je 1 m a hladina je 20 cm pod horní stranou válce? 34. Objem kužele je 1000 mm3, obsah osového řezu je 100 mm2. Vypočtěte povrch kužele. 35. Z kruhového plechu o průměru délky 1 m je třeba vystřihnout část o středovém úhlu o velikosti 150 , svinout a sletovat do tvaru kužele. a) Vypočtěte velikost pláště kužele. b) Jak bude kužel vysoký?
12
Výsledky: 1. 1,6 dm; 2. 47,12 litrů; 3. 44,367 %; 4. 1,6 dl; 5.75 m3; 6. 3 m; 7. d = 7,39 cm; 8. Ne; 9. 15,834 m2; 10. d = 5,046 dm; 2,1452 m2; 11. 4,006 m3; 801,106 kg; 12. 183,65 cm2; 13. v = 6 cm; 356,69 cm2; 14. r = 4 cm; v = 6,93 cm; 15. 387,2 cm3; 16. 2825,35 cm2; 6282,43 cm3; 17. 226,5 cm3; 18. 12,93 cm3; 3652´12´´; 19. 75,398 cm2; 35,3 cm3; 20. 207,54 cm2; 21. 9660,39 cm2; 62670,24 cm3; 22. 488,3 cm3; 23. 8434´55´´ ; 24. 2,69 m; 25. 6 l; r3 r v ,V 2 2 ; 29. 506,97 cm3; 30. 636,62 cm3; 26. 2783,58 cm2; 27. 52 cm; 28.
31. d = 0,74 dm; v = 2,325 dm; 32. 0,6 mm; 33. 15,138 m3; 34. 711,645 mm2; 35. 0,327 m2; v = 0,4545 m 13
Procvičování: 1. Maturitní minimum – sbírka úloh pro SŠ, Prometheus, str.83, př.7.1, 7.2 2. Sbírka úloh z M pro OA a SOŠ, J.Klodner, str. 94-95 , př. 1-15; str. 96-97 , př. 1-10
14
