Rovnice
RNDr. Yvetta Bartáková
Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Grafické řešení soustav rovnic a nerovnic
VY_32_INOVACE_05_1_20_M2
Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Soustavy lineárních rovnic Soustavou rovnic nazýváme několik rovnic o větším počtu neznámých, které musí platit současně. Řešením soustavy rovnic o n neznámých x1 , x2 ,......xn je každá uspořádaná n-tice čísel x1 , x2 ,......xn z daného číselného oboru patřící současně do množiny kořenů všech rovnic soustavy. Grafické řešení je založeno na grafickém znázornění všech řešení rovnic (tedy dvou nebo více přímek) do jedné kartézské soustavy souřadnic. Poznámka: Pokud se jedná o soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x a y, řešením je uspořádaná dvojice čísel x, y , která vyhovuje oběma rovnicím.
1
Př. 1. V RxR řešte graficky soustavu rovnic: Rovnice upravíme na tvar lineární funkce:
3x 5 y 1 0, x y 3 0 .
y
3 1 x a y x 3 5 5
.
Do jedné soustavy souřadnic znázorníme grafy obou přímek. Funkci
f :y
C0;3, D3;0.
3 1 x 5 5 pomocí bodů A 2;1, B3;2 a funkci g : y x 3 pomocí bodů
2
Souřadnice průsečíku P obou přímek určují jediné řešení soustavy rovnic. Početně ověříme správnost řešení. K výpočtu použijeme srovnávací metodu:
3 1 x x 3 5 5 3 x 1 5 x 15 8 x 14 x
7 4
7 y 3 4 5 y 4
7 5 K ; 4 4
Poznámka: Jedná-li se o přímky rovnoběžné, nemá soustava žádné řešení, a
pokud jsou přímky totožné, má soustava nekonečně mnoho řešení x, f x x R .
3
Př. 2. V RxR řešte graficky soustavy rovnic: 7 x 3 y 15 a) 5 x 6 y 27
2x 3 y 5
c) 4 x 6 y 10
x 5y 7
b) x 5 y 6 3x 2 y 20 d) 2 x 3 y 20
Procvičování: 1. Sbírka úloh z M pro nižší ročníky víceletých gymnázií a pro 2. stupeň ZŠ, Geometrie a funkce, Fortuna, str. 213, př. 15 2. Sbírka úloh z M pro OA a SOŠ, J. Klodner, str. 35, př. 1; 2 3. Maturitní minimum – sbírka úloh pro SŠ, Prometheus, str. 33, př. 6.1 4
Soustavy lineárních a kvadratických rovnic Grafické řešení je založeno na grafickém znázornění všech řešení rovnic (tedy jedné nebo i více přímek a kuželosečky) do jedné kartézské soustavy souřadnic. Pokud se jedná o soustavu lineární rovnice a rovnice kvadratické o dvou neznámých x a y, mohou vyjít tato řešení, která vyhovují oběma rovnicím: 1. jedna uspořádaná dvojice čísel x, y , pak má přímka s kuželosečkou 1 společný bod 2. dvě uspořádané dvojice čísel x, y , pak má přímka s kuželosečkou 2 společné body 3. žádné řešení, kuželosečka nemá s přímkou žádný společný bod. 5
Př. 1. V RxR řešte graficky soustavu rovnic:
x y 5 0, x 2 y 2 25 .
První rovnici upravíme na tvar lineární funkce: y x 5 , grafem bude přímka. Druhá rovnice představuje rovnici kružnice se středem S 0;0 a poloměrem 5. Do jedné soustavy souřadnic znázorníme grafy obou rovnic. Funkci f : y x 5 pomocí bodů A5;0, B0;5 a kružnici k: S 0;0; r 5 .
6
Souřadnice průsečíků A, B přímky a kružnice určují dvě řešení soustavy rovnic. Početně ověříme správnost řešení. K výpočtu použijeme dosazovací metodu ( z lineární rovnice vyjádříme neznámou y a dosadíme do rovnice kvadratické ). Po výpočtu neznámých x, dopočteme příslušné hodnoty y. x 2 x 5 25 2
2 x 2 10 x 0 2 x x 5 0 x1 0 x 2 5
x1 0; y1 5 x 2 5; y 2 0
K 0;5; 5;0
7
Př. 2. V RxR řešte graficky soustavy rovnic: 2 a) x y 2 0, x y 0
b) x y 0, xy 4
2 2 c) x y 5, x y 5
2 2 d) 2 x 3 y 6, 4 x 9 y 36
Procvičování: 1. Sbírka úloh z M pro SOŠ, SOU a nástavbové studium, Hudcová – Kubíčková, Prométheus, str. 79, př. 40 2. Sbírka úloh z M pro OA a SOŠ, J.Klodner, str. 42 - 43 , př. 1-11 (kromě př.9), 26 3. Maturitní minimum – sbírka úloh pro SŠ, Prometheus, str. 32, př. 3.1, 3.2
8
Soustavy lineárních nerovnic o jedné neznámé Soustavou nerovnic nazýváme několik nerovnic, které musí platit současně. Množina kořenů soustavy je průnikem množin kořenů všech nerovnic soustavy. Grafické řešení je založeno na znázornění všech řešení nerovnic na jednu číselnou osu a určení jejich průniku. Výsledkem mohou být konstanty, intervaly nebo prázdná množina.
9
Př. 1. V R řešte soustavu nerovnic:
2x 1 1 x 7 3x x 10 x 3 2x 6 .
Vyřešíme každou nerovnici zvlášť: 2x 1 1 x 2x 2 1 x 3x 3 x 1
7 3x x 10 3 4x 3 x 4
x 3 2x 6 x3
Všechna řešení znázorníme na jednu číselnou osu a určíme průnik.
3 K ;1 4
10
Př. 2. V R řešte soustavy nerovnic: x2 x 6 1 x 1 2x x x 3 6 b) 3x
a) 3x 8 x 6 2x 2
x2 9 0 2 c) x 3x 4 0
e)
x
1 3 x
2 x4 5
d) 3 2 x 4 10 2 x 3 x 1 2 1 f) x 1
11
Procvičování: 1. Sbírka úloh z M pro nižší ročníky víceletých gymnázií a pro 2. stupeň ZŠ, Početní úlohy, Fortuna, str. 171-172; př. 3, 4, 6, 7 2. Maturitní minimum – sbírka úloh pro SŠ, Prometheus, str.28-29, př.5.1-5.4 3. Sbírka úloh z M pro OA a SOŠ, J.Klodner, str. 31 , př. 5, 6, 7 4. Sbírka úloh z M pro SOŠ, SOU a nástavbové studium, Hudcová – Kubíčková, Prométheus, str. 57-58, př.5
12
Soustavy nerovnic se dvěma neznámými Každou nerovnici upravíme osamostatněním y, graficky zobrazíme jako polorovinu do kartézské soustavy souřadnic (s hraniční přímkou nebo bez ní) a průnik všech jednotlivých výsledků nerovnic (polorovin) je řešením soustavy.
13
3x 2 y 1
Př. 1. V RxR řešte soustavu nerovnic:
x y 0 .
Osamostatníme v obou nerovnicích neznámou y a získáme nerovnice určující poloroviny. y
3x 1 yx 2
První polorovina obsahuje hraniční přímku s určujícími body A1;1, B 1;2 .
Druhá polorovina je bez hraniční přímky, kterou je osa 1. a 3. kvadrantu. Do obou řešení (polorovin) patří body nad hraničními přímkami. Obě poloroviny zobrazíme do jedné soustavy souřadnic a určíme průnik.
14
Početně určíme x-ovou souřadnici průsečíku hraničních přímek bodu R. 3x 1 x 2 3x 1 2 x x
1 5
1 1 R ; 5 5
Průnikem obou řešení je rovinný úhel JRB bez ramene RJ. 1 3 x 1 1 K x, y , x ; y x, y , x ; y x 5 2 5 Zapíšeme výsledek:
15
Př. 2. V RxR řešte soustavy nerovnic:
x 3y 0
3x y 7 x 2y 0
a) x 3 y 5
b) x 5 y 7
xy 0 c) x 2 y 3 0
y 1 x 1 d) y 2 x 2
2
Procvičování: Maturitní minimum – sbírka úloh pro SŠ, Prometheus, str. 33, př.6.2, 6.4a
16
Soustavy rovnic a nerovnic se dvěma neznámými Každou rovnici nebo nerovnici upravíme osamostatněním y, graficky zobrazíme jako přímku nebo polorovinu do kartézské soustavy souřadnic a průnik všech jednotlivých výsledků nerovnic je řešením soustavy.
17
x 2y 5
Př. 1. V RxR řešte soustavu rovnice a nerovnice:
3x y 1 .
Osamostatníme v rovnici i nerovnici neznámou y. y
x5 y 3x 1 2
Rovnice představuje přímku, která je určena body A1;2, B5;0 . Nerovnice určuje polorovinu s hraniční přímkou, na které leží body C0;1, A1;2 . Do poloroviny patří body pod hraniční přímkou. Přímku i polorovinu zobrazíme do jedné soustavy souřadnic a určíme průnik.
18
Průsečíkem přímky AB s hraniční přímkou poloroviny je bod A1;2 . Průnikem obou řešení je polopřímka AH. x 5 K x, y , x ;1 y 2 Zapíšeme výsledek:
19
Př. 2. V RxR řešte soustavu rovnice a nerovnice: x y 5
2x y 4
a) y 2 0
b) 2 x y 2
x 1 x y 3 0 c) y 2 x 3
y3 0 1 x 2
d) 2 x 3 y 6 0
Procvičování: Maturitní minimum – sbírka úloh pro SŠ, Prometheus, str. 33, př. 6.3
20
Soustavy rovnic a nerovnic v množině C Absolutní hodnota komplexního čísla je rovna vzdálenosti jeho obrazu v Gaussově rovině od počátku soustavy souřadnic. Absolutní hodnota rozdílu komplexních čísel určuje jejich vzdálenost v Gaussově rovině.
21
Př. 1. V Gaussově rovině zobrazte množinu všech komplexních čísel z, pro něž platí: z i 3 z i z 1
.
První rovnice znamená, že hledaná komplexní čísla z, mají mít vzdálenost od čísla i rovnu 3. Leží tedy na kružnici se středem v bodě i a s poloměrem 3. Druhá nerovnice vyžaduje, aby vzdálenost hledaného komplexního čísla z od čísla i byla větší nebo rovna než od čísla (-1), které představuje nulový bod druhé absolutní hodnoty. Hledané body leží v polorovině s hraniční přímkou, která je osou úsečky s koncovými body i a (-1), a vnitřním bodem (-1).
22
Obě množiny zobrazíme do jedné Gaussovy roviny a určíme jejich průnik. Řešením jsou ty body na kruhovém oblouku s krajními body E a F, které leží ve vyznačené polorovině.
23
Př. 2. V Gaussově rovině zobrazte množinu všech komplexních čísel z, pro něž platí: a)
z 2 z i z 1
b)
5 z 6 8i z i z 2 3i
c)
1 z 3i 2 4 z i 3
d)
z 2 i 4 z 1 3i z 2i
24
Procvičování: 1. Maturitní minimum – sbírka úloh pro SŠ, Prometheus, str. 143, př. 6.1 2. Sbírka úloh z M pro SOŠ, SOU a nástavbové studium, Hudcová – Kubíčková, Prométheus, str. 187, př. 24
25
