Č Í S E L N É
R e á l n á
č í s l a
− √3 𝜋
-
R
R a c i o n á l n í
Iracionální čísla
√2
M N O Ž I N Y
č í s l a
-
Q
č í s l a
-
Z
C e l á
5 − ; −2,99 3
Záporná čísla
Nula
Přirozená čísla - N
. . . . -4, -3, -2, -1
0
1, 2, 3, 4, 5, . . . .
Seznam některých matematických symbolů a značek
kulaté; hranaté; aZ a N
úhlové ;{složené závorky} Z
a je prvkem množiny Z; a leží v Z
A B
a není prvkem množiny N; a neleží v N množina A je rovna množině B A je podmnožinou B
A B
průnik množin A a B
A B
sjednocení množin A a B
A=B
doplněk množiny Z
Ø prázdná množina
pq pq
a |< 𝐾𝐿𝑀|
AB
A \ B rozdíl množin A–B
platí p a zároveň q platí p nebo q absolutní hodnota čísla a velikost úhlu KLM délka úsečky AB, vzdálenost dvou bodů AB
Zápis množiny výčtem prvků
C = {3; 4; 5; 6; 7} množina obsahuje pět přirozených čísel C {x N ; x 3 x 8} jiný zápis stejné množiny C {x N ; 3 x 7} Podmnožiny reálných čísel se zapisují pomocí intervalů. Zápis množiny
P {x R; x 5} P {x R; x 5} P {x R; x 5} P {x R; x 5}
Zápis intervalem
x 5; x 5;
x ;5
x ; 5
Zápis množiny
Zápis intervalem
P {x R; x 3 x 4}
x 3;4
P {x R; x 3 x 4}
x 3;4
P {x R; x 3 x 4} P {x R; x 3 x 4}
x 3; 4
x 3;4
Příklady zápisu některých specifických množin:
𝑅 + = (0; ∞)
𝑅0+ = ⟨0; ∞)
𝑁 0 = {0; 1; 2; 3; … . }
𝑍0− = {… ; −2; −1; 0} str. 1
Výsledky některých cvičení jsou uvedeny za příklady v závorkách.
[ ] { } ( )
1. Početní operace s celými a racionálními čísly, absolutní hodnota. Poměr. Trojčlenka. Procenta.
2. Mocniny a odmocniny Mocniny s celočíselným exponentem Odmocniny Mocniny s racionálním exponentem
3. Výrazy Lomené výrazy Mnohočleny
4. Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Lineární rovnice, řešení soustav rovnic Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Soustavy nerovnic Nerovnice v podílovém a součinovém tvaru, kvadratické rovnice, Kvadratické nerovnice
5. Planimetrie Trojúhelník, Pythagorova věta Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku Euklidovy věty Řešení obecného trojúhelníku – sinová a kosinová věta Obvody , obsahy rovinných útvarů Mnohoúhelníky
6. Stereometrie Hranol
Válec, jehlan, kužel, koule Komolý jehlan, komolý kužel
7. Funkce Funkce, definiční obor, obor hodnot, graf funkce Lineární funkce Kvadratické a mocninné funkce Exponenciální funkce Logaritmická funkce Goniometrické funkce Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Goniometrické rovnice
8. Posloupnosti Aritmetická posloupnost, Geometrická posloupnost Užití GP, složené úrokování
9. Kombinatorika, statistika, pravděpodobnost
3 5
6 7 8 9
10 11 13
14 14 15 16 17 18
19 19 20 21 21 22 23
24 24 25 26
27 27 29 31 31 32 34 34 35
36 36 37 38
39
Permutace, variace, Kombinace Statistika Pravděpodobnost
39 40 41 44
10. Analytická geometrie
45
Souřadnice bodu v rovině, délka úsečky Vektory Rovnice přímky – parametrické, obecná Vzájemná poloha přímek Vzdálenost bodu od přímky
11. Tabulky, vzorce
45 45 47 48 49
52
str. 2
1. Množiny. Početní operace s celými a racionálními čísly, absolutní hodnota. 1. Zapište množinu A výčtem prvků. a) A {x N ;2,3 x 3,5}
{1,2,3}
b) A {x Z ;2,3 x 3}
{2,1,0,1,2}
c) A {x Z ;3 x 3} d) A {x Z ;2 x 3}
{1,2} {1,0,1,2,3}
2. Zapište jedním intervalem a) 7;1 3;3
b) 2;5 0;8
c) 4;2 1;7
d) 3;4 0;8
f) 7;3 5;
e) ; 3 2; 5
g) 6; 2 2; 4
h) ; 0 0; {𝑎) (−7; 3⟩ 𝑏) ⟨0; 5) 𝑐) ⟨1; 2) 𝑑) (−3; 8⟩ 𝑒)〈−2; 3〉 𝑓) (−7; ∞) 𝑔) ∅ ℎ) 𝑅} 3. Zapište jako intervaly: a) {𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥 ≥ −6} b) {𝑥 ∈ 𝑅; −4 < 𝑥 ≤ 7} c) {𝑥 ∈ 𝑅; −1 ≤ 𝑥 < 1} d) {𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥 ≤ 0} {𝑎)⟨−6; ∞) 𝑏) (−4; 7⟩ 𝑐) ⟨−1; 1) 𝑑) (−∞; 0⟩} 4. Zakreslete dané množiny na číselné osy a) x R; x < 17
b) x R; 20 < x < 7
e) x R;14 x < 20
f) x R;48 x
d) x R; x 25
c) x R; 1,25 < x 10
5. Zapište dané intervaly jako množiny. Např.: 2; x R; x 2 a) 3; 0
b) 1;3
c) 0; 2
d) 11;1
e) 0;
f) 0;2
g) ;0
h) ; 4
[𝑎) {𝑥 ∈ 𝑅; −3 ≤ 𝑥 < 0} b) {𝑥 ∈ 𝑅; −1 < 𝑥 < 3} c) {𝑥 ∈ 𝑅; 0 ≤ 𝑥 ≤ √2} d) {𝑥 ∈ 𝑅; −11 ≤ 𝑥 ≤ 1}] 𝑒) {𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥 ≥ 0} f) {𝑥 ∈ 𝑅 + ; 𝑥 < 2} g) {𝑥 ∈ 𝑅 − } h) {𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥 ≤ 4} 6. Najděte průnik a sjednocení dvou daných množin (intervalů): a) 1;3 0;
b) 1;3 〈−2; −0,1)
d) (−∞; −10) 11;1
e) 〈−2; −1) 11;1
1
1
g) {𝑥 ∈ 𝑅 + ; 𝑥 ≤ 2} 〈−11; 4〉
c) 5;2 0; 2
f) (−∞; 0〉 〈0,02; ∞) 4
h) {𝑥 ∈ 𝑅; −1 ≤ 𝑥 ≤ 7} 〈−2; 0,5) i) (−∞; 0〉 〈−2; ∞)
{𝑎) ∩= 〈0; 3) ∪= (−1; −∞) 𝑏) ∩= (−1; −0,1) ∪= 〈−2; 3) 𝑐) ∩= 〈0; √2〉 ∪= (−5; 2)} {𝑑) ∩= 〈−11; −10) ∪= (−∞; 1〉 𝑒) ∩= 〈−2; −1) ∪= 〈−11; 1〉 𝑓) ∩= ∅ ∪= 𝑅\(0; 0,02)} 1 1 4 {𝑔) ∩= (0; ⟩ ∪= (−11; 〉 ℎ) ∩= 〈−1; 0,5) ∪= 〈−2; 〉 𝑖) ∩= 〈−2; 0〉 ∪= 𝑅} 4 2 7 7. Vypočítejte hodnoty výrazů bez použití kalkulátoru: a) – 0,7 .5 – 0,1.(20 – 25) = [-3] b) (–8 –2):0,5 – [1 – 2.(–3)] = [-27] c) 3.(–13) + 2,4:0,06 = [1] d) –3–2–(0,24 – 0,8.0,3).15 = [-5] e) –8,1:(–0,09) – 2.[1 – (125 – 5.5):(–10)] = [68] f) 0,1 – 10.[(–0,9).1,1 + (– 4 – 2).(–0,1)]= [4] g) (–0,04):(–0,5) – 0,1.[(–8).(–0,1) + (– 1 – 1):0,01] = [20] str. 3
h) 10 – 0,01.[(– 50 – 50).0,1 + (– 101 + 1):(–0,1)] = [0,1] i) 1 + [8 – 3.(4:0,8 – 6.0,5)] = [3] 8. Vypočítejte hodnoty výrazů bez použití kalkulátoru: a) 0,1 . [5.0,06 – (2:0,5 – 3.0,9)] = [-0,1] b)│(4,2 : 0,7 – 6 . 0,05).(–10) │= c) │(–20 + 12). (–3) + 2.(–8 – 7)│.0,5 = [3] d)│10.(–6)│ – 2.[│–5│.(–5) + 4.│–4│] = e) [│–3 –6│.(–2) + 4.│–20 + 13│]:(–10) = [-1] f) (3,2 : 0,8 – 5 . 0,04). │–100│ = g)│–6.(–8) + (–4).12│ + (1 – 8.0,05) = [0,6] h)│10.(–6) – 2.[–5.(–8) + 4.(–4)]│ = i) 7 2 14 7 2 7 6 8
19
j) 7 10 5 1 3. 4
[57] [78] [380] [108]
9
9. Vypočítejte a výsledek uveď v základním tvaru, případně převeďte na smíšené číslo: 1 7 8 7 2 2 3 a) : b) 1 : 0,3 c) 1 : 5 5 4 4 12 3 2 4 1 1 18 1 11 1 5 3 d) : e) . 2 1 0,75 f) 2 . 6 22 3 2 9 4 12 2 3
1 1 2 1 g) 1 . 7 5 11 2 [𝑎) − 1 𝑏) −
1
h) |−3.2 6 + 0,75.2|
1 4 2 1 3 𝑐) 𝑑) − 1 𝑒)3 𝑓)1 𝑔) ℎ)5] 3 5 3 2 10
10. Vypočítejte a výsledek uveďte v základním tvaru, případně převeďte na smíšené číslo: 14 3 7 1 15 2 4 1 : :6 a) 0,8 b) c) : 3 4 20 120 5 8 4 9 15
3 2 1 1 d) : 1 1 4 3 2 3 g)
6 4 5 1 . 1 1 5 7 6 3
[𝑎)8 𝑏)
e)
3 2 1 1 :1 1 4 3 2 3
f)
3 1 4 3 h) 2 1 : 4 5 8 8
2 1 1 1 : 1 1 3 4 2 3
1 1 3 i) 1 : 1 2 4 4
1 1 1 19 5 2 1 𝑐) 𝑑) 𝑒)2 𝑓) − 𝑔)1 ℎ) − 𝑖) 1 ] 3 9 2 36 6 7 5
11. Vypočítejte a výsledek uveďte v základním tvaru, případně převeďte na smíšené číslo: 1 4 2 0,5 2 0,4. 1 1 5 3 6 [1] 3 a) [12] b) [− 6] c) 4 1 1 5 3 3 .1 3,3 : 1 3 2 6 10 5 1 3 4 2 7 5 4 : 2 0,9 1 : 0,1 2 6 3 5 5 1 9 [− 14] 4 [1] d) [36] e) f) 39 5 2 1 1 1 3 3 4.2 2 6 3 4 3 6 12. V kantýně se na obědy platí zálohy. Každý strávník zaplatil jinou částku. Obědy jsou každý den za jednotnou cenu. Na konci měsíce probíhá vyúčtování. Vedoucí si částky zapisuje do tabulky, kterou na konci měsíce polila kávou a některé údaje byly nečitelné. Je na vás, abyste je doplnili. Jméno strávníka
Počet odebraných obědů
Karel Práskal
Záloha 400,-
Helena Modráčková Hedvika Borovská
11 10
Jiří Smetana Jaroslav Mlíko
15 20
Doplatek 48,-
Zbývá vrátit 0,48,-
20,500,1000,-
0,-
20,-
str. 4
13. Hodnotitelé testů jsou schopni opravit jeden test za 12 minut. Jeden hodnotitel může opravovat testy max. 4 hodiny denně, dostane za jeden den hrubou mzdu 650 Kč. V rámci celokrajského testování žáků 9. tříd bylo nutno opravit 10 000 testů za 4 dny. I. Kolik bylo zapotřebí hodnotitelů, aby byly testy opraveny včas? [125] II. Jaká byla čistá mzda hodnotitelů pokud jim byla odečtena 15% daň? [2210] III. Jaké byly finanční náklady na opravování testů? [325 000]
Poměr 1. Zvětšete číslo 60 v poměru 8:3 {160} 2. Zmenšete číslo 96 v poměru 5:6 {80} 3. Dva stroje mají výkonnost v poměru 6:7. Dohromady vyrobí za hodinu 325 součástek. Kolik vyrobí první stroj za hodinu, kolik vyrobí druhý? {150 a 175} 4. Jana a Petr společně nasbírali 57 kg jahod. Petr byl dvakrát výkonnější než Jana. Kolik každý nasbíral? {38kg,19kg} 5. Otec a syn mají výšku v poměru 7:6. Otec měří 189 cm. Kolik měří syn? {162 cm} 6. V omáčce je smetana a žloutky v poměru 3:1. Smetany je v omáčce 126 g, kolik g žloutků je v omáčce? {42g} 7. V těstě je mouka a tuk v poměru 3:2. Pokud máme 1,5 kg mouky, kolik potřebujeme tuku? {1 kg} 8. Dvě vesnice vzdálené 7,5 km, jsou na mapě vzdáleny 15 cm. Jaké je měřítko mapy? {1:50 000} 9. Jak jsou na mapě s měřítkem 1:2 500 000 vzdálena dvě místa, ve skutečnosti vzdálená 150 km? {6 cm} 10. Plán s měřítkem 1:500 znázorňuje dva domy 7 cm od sebe. Kolik metrů to je ve skutečnosti? {35 m}
Trojčlenka 1. Na 15 porcí guláše potřebujeme 2,5 kg masa. Kolik kg masa musíme mít na 100 porcí? {16,7 kg} 2. Čtyři kuchaři uvařili slavnostní oběd za 2 hodiny. Jak dlouho by jim to trvalo, kdyby byli pouze tři a pracovali stejným tempem? {2 hod 40 min} 3. V pěti pecích stihneme upéct koláče za 2 hodiny. Jak dlouho bude trvat upečení stejného množství, pokud máme k dispozici jen 4 pece? {2 hod 30 min} 4. Osm zedníků stihne omítnout dům za 30 hodin. Kolik zedníků potřebujeme abychom dům omítli za 24 hodin? {10} 5. Na 20 porcí španělského ptáčka potřebujeme 4 kg masa. Kolik kg masa musíme koupit na 75 porcí? {15kg} 7. Čtyři kamarádi stihli očesat strom jablek za 45 minut. Jak dlouho by jim to trvalo, kdyby byli pouze tři? {1h} 8. 6 strojů za den naplní 2400 lahví. Kolik strojů budeme potřebovat, chceme–li za den naplnit 8000 lahví? {20} 9. 5 strojů na výrobu tyčinek zvládne upéct 100 kg tyčinek za 3 hodiny. Za jakou dobu stejné množství tyčinek upeče 6 strojů? {2,5 hod} 10. Stroje na balení čokolád zvládnou za jednu směnu – 8 hodin zabalit 2 800 čokolád. Kolik čokolád zvládnout zabalit za 20 hodin? {7 000} 11. Odvoz brambor třemi nákladními vozy trval 6 hodin. Jak dlouho by trvalo odvezení stejného množství brambor se dvěma vozy? {9}
Procenta 1. 2. 3. 4.
Pavel na brigádě odpracoval sedm desetin plánované doby. Kolik procent doby mu ještě zbývá? {30%} Jana čte knihu a přečetla již dvě pětiny knihy. Kolik % jí zbývá přečíst ? {60%} Eva napsala již tři osminy plánovaného rozsahu seminární práce. Kolik procent práce jí zbývá napsat? {62,5%} Petr měl rok na svém kontě uloženo 12 000 Kč. Roční úrok byl 1,5%. Kolik měl po připsání úroků na knížce za rok? {12 180 Kč} 5. Termínovaný vklad je úročen 2,5%. Jaký bude úrok za rok, jestliže uložíme 120 000 Kč? {3 000 Kč} 6. Koupili jsme 7 kg masa. Připravili jsme 35 porcí po 150 gramech. Kolik % hmotnosti masa se ztratilo vařením? {25%} 7. Máme 8,5 kg syrového masa, vařením ztrácí maso 25% své hmotnosti. Kolik 150 gramových porcí připravíme z tohoto množství po uvaření? {42} str. 5
8. Boty stály původně 1800 Kč, pak byly zlevněny o 22%. Kolik stály po zlevnění. {1 404 Kč} 9. Do školy chodí 520 žáků, z toho je 55% dívek. Kolik chodí do školy dívek a kolik chlapců? {d=286, ch=234} 10. Máme 12 kg syrového masa, vařením ztrácí maso 25% své hmotnosti. Kolik 200 gramových porcí připravíme z tohoto množství po uvaření? {45} 11. Plynová trouba byla zdražena ze 9 812 Kč na 10 499 Kč. O kolik % byla zdražena? {7%} 12. Hrubá mzda činila 22 550 Kč. Sociální a zdravotní pojištění činí 12,5 %. Kolik odvedl pracovník na sociálním a zdravotním pojištění? {2 819 Kč} 13. Koupili jsme 3 kg kuřecího masa, uvařili jsme z něj 22 porcí po 120 gramech. Kolik % masa se ztratilo vařením? {12%} 14. Na půl kila rybí pomazánky jsme spotřebovali 300 g sardinek, 50 g taveného sýru, 70 g cibule a zbytek tvoří okurky. Vypočítejte kolik % sardinek, sýru, cibule a okurek tvoří pomazánku. {60%, 10%, 14%, 16%} 15. Ve škole mělo 24 žáků vyznamenání, což je 8% celkového počtu žáků. Kolik celkem žáků studuje ve škole? {300} 16. Ve škole studuje 369 číšníků, což je 41% všech žáků školy. Kolik má škola celkem žáků? {900} 17. V New Yorku žije 14 950 000 obyvatel, což je 5% obyvatel USA. Kolik obyvatel mají USA? {299 000 000} 18. Eva vyhrála 2 800 000 Kč. Daň z výhry je 15%. Kolik Evě zůstalo po zaplacení daně? {2 380 000 Kč} 19. Tržby v obchodě byly 375 000 Kč. Norma nezaviněného manka je stanovena 0,15 % z tržeb. Kolik činí nezaviněné manko? {562,50 Kč} 20. Ve třídě mělo 6 žáků vyznamenání, což je 18,75 % celkového počtu žáků. Vypočítejte kolik žáků nemělo vyznamenání. {26}
2. Mocniny a odmocniny 1. Vypočítejte bez použití kalkulátoru:
a) 0,52 =
b) 0,12 =
c) 0,92 =
d) 0,15 =
e) 1,52 =
c) 125.12 =
d) 25.22.23 = e) 112.13 =
f) 0,23 =
g) 0,24 =
f) 79.7 =
g) 9.92 =
2. Součin zapište jako mocninu:
a) 32.33 =
b) 84.83 =
3. Vypočítejte bez použití kalkulátoru:
0,36
0,0225
a) 4900
40000
810000
14400
b) 1,21
1,96
0,0001
0,000001
3
1000
3
8
0,027
3
0,008
3
1000000
c)
27
3
d) 3 56
3
0,001
5
0,00001
4
88
6
12 6 5 100000
4. Vypočítejte bez použití kalkulátoru: a) 2 3 .4 0,0001 [–7,1] 3
3
5
1010
7
114
13 52 .3 0,001 [–3,5]
2
2 b) 20 2,25.6 1000000 [–415] 90 19. 0,25 144 [–10,5]
c) 0,13. 106 0,5 [0,75]
0,12. 10 4 0,8 [0,36]
2
14 14 14 d) 10.4 39.4 3 9.4 [64] 4 .4
2
7.6 25 3.6 25 4.6 25 [1] 613.613
3
24 3. 12 [–4] 3 3
e) f)
3
4 .3 250
162 [1] 2
13 52.3 0,1
6
g)
[–1,25]
3
2 .3 4
450 [–13] 2
4 1 . 49 36 [170]
502 1,21.4 10000 [–2511]
80 15. 0,49 196 [–12,3] 7.510 3.510 2.510 [8] 55.55
2.2 22 3.2 22 4.2 22 [8] 29.210 3 3
81 72 . 2 [–9] 3
24 10 . 5 0,1 [–6] 90 19. 36 16 [401] 15
4
0
19
4
4
23 23.6
0,118 [–8,008] str. 6
62
4 2 ; ; 16 81 36 64
82
5. Jsou výsledky přirozená čísla?
2
{ne; ne; ano}
Mocniny s celočíselným exponentem n (1 N 10 n Z ) 1. Daná čísla napište ve tvaru N.10 0,000 002 =
[2.10-6]
542 000 000 = [5,42.108]
150 000 000 000 =
[1,5.1011]
0,000 000 000 3 =
[3.10-10]
0,000 000 000 11=
[1,1.10-10]
230 000 000 =
[2,3.108]
2. Vypočítejte bez kalkulátoru: (převeďte na tvar N.10n) 0,000 000 000 24 : 6 000 000 000 = [4.10-20]
25 000 000 000 . 0,000 000 000 4 =
[10]
[2.1017]
15 000 000 000 : 0,000 000 05 =
[3.1017]
2,3.1025 + 7.1024 =
[3.1025]
1,2.1047. 5.1013 =
[6.1060]
15.1022 + 2,1.1023 – 260.1021 =
[1023]
4.10-19 . 0,5.1025 =
[2.106]
8.10-8 + 2,2.10-7 =
[3.10-7]
21.10-11 + 7,9.10-10 =
[10-9]
8 000 000 000 : 0, 000 000 04 = 3. Vypočítejte bez kalkulátoru:
25a 8 . y 1.4 y 4. a) 50 y 2 . y 1 5
b) 2
a 2 .b 3 a 5 .d 4 c) 1 3 6 c . d b
6 12 x 64 x10 1000 x 9 x 20 2 22 2 x 2 3 7 6x x 200 x x
5 a 3a 2a 5 .a
d) 2. a
3 2
2 3
6
3 2
2 3
2
[–a6]
5. Upravte výrazy a výsledky uveďte jako mocniny s kladnými exponenty
7.1111 3.1111 1111 [11] a) 112.119 3
3
2
1 1 b) (0,2) (0,1) 5 [−100067] 2 10 2
2
3
2
3 3 10 c) (0,9) 1 [− 27] 2 2
3 3 4 d) 2 7 9
511.57 2 e) 0 15 5 5 .5
[− 125]
0,4 5.0,4 2 2 f) 0,4 6.0,4 3
2.22 2.23 g) 41 4 2
[5] 2
1
21 51 : 1 2 5 2
2 2 4 c) 0,4 .5 4. 0,1 10.
0
1
]
23
[8]
2
2 1 5. 7 3 5
{92,5}
51 31 51.31 1 1 151 7 151. 7
7. Dokažte, že platí
5−5 .155 .4−7
27
80 27 1638 29
2 7
65 .8−6
182
4
1
8. a)
[−
3
4
3 3 6. a) 15. 33 .x 50 3 2
5.22 2.52 b) 5 2 2 2
0
=
[2]
b)
213 .44 65 .14 3
=
1
[ 9]
str. 7
12 4.8 2.2 4 9. a) 213.14 3 15 10 4 c) 10 .13 10
{6}
b)
10
d)
2
4
2,7.10 3.4.10 8 e) 9.10 4
12.10
0,5 3 2 1 3 6
2
3 2
2 f) 5.0,2 5.0,2
8
g) 8.24 + 9.23 – 5.24 – 11.23 =
23 : 4 2 32 33
{2}
2
{126}
{32}
Odmocniny 1. Vypočítejte (částečně odmocněte): a)
28 7 63 [0]
b)
2 8 50 [8 2 ]
c)
8 2 2 3 18 [13 2 ]
d)
12 2 27 3 75 [11 3 ]
e)
( a 6b 9 ) 2 [ a 4b 6 ]
3
f)
4
l)
3
3
1 45.3 40 6
k6 j) 5 k
i)
5
8.5 4 [2]
k
2
5
11
3
3
3
1
[
8 4 8 84
2 2 5 [ ] 5 5
b)
x ] x
f)
3
3
4
1 4
[
x3 j)
x ] x
12 [2 6 ] 6
3 2. 2 8 . 7 [7 4. 21]
d)
20 4. 5 5
2 5a 2 5.5 a 2 [ 2 2 ] 3 g) h) 5 2 2 a 3 a
6 3 2 3 . 18 6 3 3
3. Upravte výrazy, neodmocňujte: √2. (√50 − √8) = [6]
7 4.
c)
4 8 3 4 6 m) 16a . b 8a b
128 2 250 54 4. 16 5. 2 3
x i)
g)
125.5 7.3 40 10.3 5 4.3 320 2.3 625 5.3 5
2. Usměrněte zlomky 4 [ 2] a) 8 e)
a 7 .8 a 5 .8 a 4 [a 2 ] 5.3 5
3 2 4 3 3 h) a . a a k)
8
k)
5 2. 2 4. 10 13 3 2. 2 5
√3(√4 + √3 − 2 + √12) =
5 3. 7 5
[9]
[16 4. 5 ]
3. 2 2 2 3 . 2 3 [1,5 6 ]
str. 8
Mocniny s racionálním exponentem 1. Převeďte na mocniny a vypočítejte: 3
a)
6 1 x x5 x x 6 x
y
d) 5
3
y. y
y
e)
x
h)
3
g)
5
x 1. x 3 x 3
3 a 5 i) 1 a . a
z
4
5
z3
z
3
10
12 5 x 1 x x x. x 12 x 7
c)
4
f)
5
3
7
15
5
b)
y. y 4 3
5
a
j)
y . y
a
2
.
3
b
3
.
3
3
y
1 2
y .y b a
y.5 y 2 1
y
y5 3
12 10 1 x 12 2 14 x x
x .x x
x 6
a 6
5
2. Převeďte na odmocniny a vypočítejte 1 a) 8
2 3
4
1
b) 3.4 1
4 2 9 2 16 c) a a a 0,5
d) 2.0,01
1 2
25 a
1 2
1 2
1
2.0,008 3 160, 25 0,160,5 16
9 5 .a 2 a 20 6 1
5 27 4 3.0,001 50 6
1 3
1 2
1 3
c 4 . c 2 . . 10 7 3 c 3 3
2. 2
3. Zjednodušte
5
3 4
c 2
5
4. Upravte 9 1 a8 a) 4 a.3 a : 6 a 2 3 a .18 a 1 9 a 1 9 a a
c) f)
5
x 4 .3 x 2
x 15
2
d)
2 .3 2 1 3 16 . 8 2
b)
e)
6
x.
1 x
x 4
5.3 3 3 6. 5 18 3 2.18 3 : 6 2 3. 3 2
3 a 1 6 b. 3 a 1 a.3 b 1 : 3 b 2 . a 6 b : b 5 6 b b
str. 9
3. Výrazy U všech příkladů, kde se vyskytuje proměnná ve jmenovateli, uvádějte podmínky řešitelnosti (jmenovatel musí být různý od nuly).
x 2 (10 x ) 1. Vypočítejte hodnotu výrazu pro: a) x = 3 b) x = –2 x3 [𝑎)
16 27
c) x = –1
d) x = –4
15 32
𝑝𝑜𝑑𝑚. : 𝑥 ≠ 0]
𝑏) 2 𝑐) 12 𝑑)
2. Upravte výrazy: a) 7y-2.10y4 + 20y3.7y-1 – 30y.9y = b) 3x-10.8x7 – 2x10.2x-13 – 3x-6.9x3 = c) 3a-1.8a-1 + 2a8.2a-10 – 3a-3.9a = d) y4.10y + 12y3.5y2 – y5 = 3. Vydělte výrazy: 74 y 6 125 x 7 12a 4 25 x 7 81m8 4a 6 25 x 6 5 x 7 2 y5 9m 4 4. Vydělte a upravte výrazy: 12a 7 12a 9 600a 4 150a 40a 9 34a10 54a16 18a 2 3 2 a 1 a) { } b) { a14 } 4a 4 2a 9 120a 30a 8a 5 17a10 9a 2 9a 2 c)
35 x 12 72 x 5 63x 5 50 x 2 { 2 x 10 4 x 4 } 5 x 2 8x 7 x 5 10 x 6 3
3
3
3
d) 100b3 12b3 500b3 81b9 { 3b 6 6 } 25b
2b
50b
9b
5. Upravte výrazy: {5𝑥 2 . (5𝑥 3 − 7)} a) 2x.(5x4 – 7x) + 3x2.(5x3 – 7) = {2𝑏𝑥 2 } b) 4b.(x2 + 4x – 9) – 2b.(x2 + 8x – 18) = 2 2 2 2 {2𝑥 3 } c) 3.(4x + x) + 2x.(x – 6x) + 6.(2x – x) – 2.(6x – 1,5x) = {10𝑎2 . (𝑎2 − 4)} d) (5a3 – 7a).3a – 15.(a4 + a2) – 2a.(2a – 5a3) = {6} e) 14y8 – 2y.(8y7 – 1) – 2y – (– 2y8 – 6) = 2 2 2 2 {−4𝑏 2 . (𝑏 + 9)} f) (5b + 2b).(–1b) + (2b – 7b).3 + 5b.(3b – 8b) – 7b.(2b – 3) = 6. Upravte výrazy: {−4𝑥} a) (2x2 – 2x).(x + 1) = b) (3a – 1).(a + 1) – (2a – 1) = {3𝑎2 } {5𝑥} c) (3x + 1).(4x – 1) + (6x + 1).(1 – 2x) = {7. (2𝑎 + 1)} d) (a + 10).(a + 1) – (a – 1).(a – 3) = 7. Upravte výrazy podle vzorců: a) (1,4y + 12).(1,4y – 12) = (40x – 0,1).(40x + 0,1) = (1,1 + 60a).(1,1 – 60a)= b) (0,9y + 10).(0,9y – 10) = (20x – 0,5).(20x + 0,5) = (1,3b + a).(1,3b – a) = c) (3z – 6)2 = (6x – 1)2 = (9y – 2)2 = d) (10a – 1)2 = (8b + 3)2 = (y + 0,5)2 = 3 2 5 2 e) (b + 1) = (x + 1) = (a4 + 1)2 = f) (5y7 + 1).(5y7 – 1) = (0,9a8 + 13).(0,9a8 – 13) = (15x2 + 1).(15x2 – 1) = 8. Upravte výrazy: a) (2y – 4)2 + (y + 2)2 = b) (7z – 2)2 + (z + 10)2 = c) (10a – 1)2 + (2a + 1)2 = 2 2 2 2 d) (3b – 8) + (b + 7) = e) (12x – 2) – (x + 3) = f) (z – 2)2 – (z – 1)2 = 9. Rozložte výraz na součin vytýkáním před závorku: a) 56x5 + 16x4 = 144a2 – 12a – 24 = 32a3 – 24a2 + 8a = b) 225c3 + 150c2 + 15c = 14x8 – 14x7 + 196x5 = 72y6 – 36y5 – 18y4 = 10. Vytkněte číslo –1 před závorku x–1= 4c + 5 = 9–x= 7y + 8 = 3–y= 14x2 – y = str. 10
11. Zjednodušte výrazy a výsledek upravte vytýkáním před závorku: {2𝑦. (𝑦 + 11)} a) 4y.(y + 3) + y.(10 – 2y) = {−5𝑎(𝑎 + 1)} b) 7a.(2 + a) – 4a.(3a + 5) + a = {50(𝑥 + 𝑦)} c) 5.(6x + 8y) – (– 10y – 20x) = 2 {𝑧(𝑧 + 2)} d) 3z.(z +1) – 2.(z + z) = {5𝑥(𝑥 + 3)} e) (x + 3).( x + 1) + (4x – 1).(x + 3) = 2 2 2 2 {9𝑦 2 (𝑦 2 − 𝑦 + 1)} f) (y + 4y).(2y – y ) + (2y – y).(5y – y) = {3(3𝑎2 − 6𝑎 − 1)} g) (7a + 2).(a – 5) + (2a + 1).(a + 7) = {𝑥(𝑥 − 1)} h) (2x + 1).( x – 1) – (x – 1).(x + 1) = 12. Rozložte výraz na součin podle vzorce: 100x2 – 225 = x4 – 1 = 0,16 – 900y2 = a10 – 10 000 = 225x4 – y6 = 4 2 2 6 2 169a – 81b = 225x – 36 = 0,25a – 400 = 0,16x – 2500 = x8 – 1 = 13. Rozložte výraz na součin podle vzorců: w2 – w + 0,25 = c2 – 100c + 2500 = 9a2 – 12a + 4 = 16x2 – 48x + 36 = 64m2 + 96mn + 36n2 = x2 – 4xy + 4y2 = 100a2 – 20ab + b2 = 4x2 + 28x + 49 = 14. Rozložte výraz na součin dvou závorek: a) 2a2 + 2a + 5a + 5 = 2ax + 2bx – a – b = 3ax + 2ay + 3x + 2y = b) 2a + 2b – ax – bx = 6 + 3y – 2x – xy = y + 1 – xy – x = c) rs – 3r + 3 – s = ab – 4a – 12 + 3b = 14y – 2xy + x – 7 = 2 d) 4a – a – ab + 4b = 2ax – 2bx – by + ay = 6x2 + 4xy – 15x – 10y = e) 35x – 7x2 – 5 + x = xy – x – y + 1 = 4x – 4xy + 3y – 3y2 = 𝑎) (𝑎 + 1)(2𝑎 + 5); (2𝑥 − 1)(𝑎 + 𝑏); (𝑎 + 1)(3𝑥 + 2𝑦) 𝑏) (𝑎 + 𝑏)(2 − 𝑥); (3 − 𝑥)(2 + 𝑦); (𝑦 + 1)(1 − 𝑥) { 𝑐) (𝑟 − 1)(𝑠 − 3); (𝑎 + 3)(𝑏 − 4); (2𝑦 − 1)(7 − 𝑥) 𝑑) (4 − 𝑎)(𝑎 + 𝑏); (2𝑥 + 𝑦)(𝑎 − 𝑏); (3𝑥 + 2𝑦)(2𝑥 − 5) } 𝑒) (7𝑥 − 1)(5 − 𝑥); (𝑥 − 1)(𝑦 − 1); (4𝑥 + 3𝑦)(1 − 𝑦)
Lomené výrazy Vykraťte zlomek - upravte lomené výrazy a stanovte podmínky: 55 y 4 8x 11y 8 45x 4 y 2 4x4 y 4 4x4 y5 z 6 6 x 4 yz 12a 4b 3 6 x.4 x8 .2 x b) 18a 3b 4 10 x 4 .2.3x 5 18x8 y 8 x8 y 6 20 x 3 y 6 z 6 18 x 2 yz 2 2. Upravte výrazy krácením ve zlomku (nejprve upravte vytýkáním před závorku): 4 1. a) 4 x
45 x12 9 x14
4 y2 16 y 3
26a 4 13a 3
40c 9 8c10
a)
18 y 5 6 y 3 6 y3
5m 2 25m 3 5m 2
16a 5 8a 3 8a 3
8a 2 24a 3 4a 2
b)
20 y 8y 4 y2
7a 3 21a 14a 2
8 y3 6 y 2 2y
16 x 5 24 x 3 8x 2
{𝑎) 3𝑦 2 − 1;
1 5𝑚−1
; 2𝑎2 − 1;
2 6𝑎+1
; 𝑏)
5 2−𝑦
;
1 𝑎(3𝑎−2)
25a 4b 35ab10
3 y 3 .5 y.8 y 2 4 y.2 y 2 .2
; 𝑦(4𝑦 − 3); 𝑥(2𝑥 2 − 3)}
3. Upravte výrazy krácením ve zlomku (nejprve upravte vytýkáním před závorku): 16a 40 a) 4a 10
12b 16 15b 20
8m 2 16m 3m 6
2x 4 4 x 2 8x
9 y 2 18 y b) 3y 6
4x 5 16ax 20a
a2 5 3a 5 15a 3
a8 1 2a 9 2a
2y 4 c) 4 y2 8y
5 x 4 15 x 2 x2 3
7 y 4 28 y 3 2 y3 8 y2
5a 6 35a 5 3a 2 21a
{𝑎) 4;
y2 6 y 6 y 36
4 8𝑚 1 𝑦 1 1 1 1 7𝑦 5𝑎4 2 ; ; ; 𝑏) 3𝑦; ; ; 𝑐) ; 5𝑥 ; ; } 5 3 2𝑥 6 4𝑎 3𝑎3 2𝑎 2𝑦 2 3 str. 11
4. Upravte lomené výrazy: 2k 1 } {− 𝑘+2 2 k 4
a 3 9 3a
{− }
4m 8 {−4} 2m
z2 4 2z
{− }
1 3
1 2
21 7b b3
{−7}
5k 2k 10
{− }
8c 16 2c
{−8}
x y 7 y 7x
{− }
1 2
1 7
1 y y 2y 1
{
6 2a 3 a
{2}
2
−1
𝑦−1
}
5. Upravte lomené výrazy (upravte vytýkáním před závorku a rozkladem na součin pomocí vzorců):
y2 9 a) 4 y 12 e)
𝑦+3
{
4
2x 7 b) { 1 } 4 x 2 49 2𝑥+7
}
a 0,5 { 1 } a 2 0,25 𝑎+0,5
f)
3 x 15 3 x 2 75
{
1
𝑥+5
}
3 y c) 2 y 9
g)
4a 2 1 2a 1
{
1
𝑦−3
4 y 2 64 {2(𝑦 − 4)} d) 2y 8
}
{2𝑎 − 1}
h)
4x 8 8 x 2 32
1
{
}
2(𝑥+2)
6. Upravte lomené výrazy (upravte vytýkáním před závorku a rozkladem na součin pomocí vzorců):
x2 6x 9 a) x3 d)
b 10 2 b 20b 100
9 x 2 25 9 x 2 30 x 25 7. Upravte výrazy: g)
{𝑥 + 3}
3𝑥−5 3𝑥+5
y2 2 y 1 y2 y
{
}
h)
2ay 3a 8 y 12 4ay 6a 16 y 24
2x 2 x 1 4x 4 3 5 x 5 2 x 10 x 3 d) 10 5 2 2x 4 2x 4x 6 g) 4 12 6 2y 4 2y 4y 6 j) 2 6 3
a)
𝑥+5
{
30
}
𝑥
{ } 5
{2}
{4}
x 2 2x 6 3 6 a 4 2a 3a 2 e) 5 20 10 y 1 3y 6 2 y 2 h) 2 3 4 3α 4 α 6α 4 k) 4 2 8
b)
1
𝑎+5
e)
𝑏−10
{
{
}
1
{
a5 b) 2 a 10a 25
}
x 2 18 x 81 c) x 9
{𝑥 − 9}
f)
3a 15 a 10a 25
{
{}
i)
xa 3a 4 x 12 3a 3 xa x
{
1
c)
𝑦+1 𝑦
}
1 2
{} 3
{1}
{𝑦 + 2}
𝛼+1
{
2
2
z 4 2z 3 5 10 y 4 2y 3 f) 10 20 d 2 2d 6 i) 4 8
3
𝑎−5
𝑎−4 𝑎+1
}
}
1
{− } 2
1
{− } 4
1
{} 4
}
U následujících příkladů: upravte výrazy a uveďte podmínky řešitelnosti (jmenovatel musí být různý od nuly):
3x 9x 8. a) : 2 x 1 x 1
𝑥−1
{
3
; 𝑥 ≠ ±1}
c)
y 19 2 y 2 . y 1 19 y
e)
12 w 6w 𝑤 : {𝑤∓10 ; 𝑤 ≠ 0; ±10} 2 w 100 w 10
x2 1 x 1 g) : 2x 2 2
9. a)
6a 12 2a 6 3a a
x 1 x c) 2 x x 2x
{−2; 𝑥 ≠ 19; −1}
{1; 𝑎 ≠ ±1}
2
{ ; 𝑎 ≠ 0} 𝑎
1
{ ; 𝑎 ≠ 0} 2
a 2 a2 4 : 6 b) a5 a d)
z 2 10 z 25 3z 9 . z 3 z 5
f)
b 2 81 b 9 : 5b 45 5
y2 2 y 1 y 1 : h) y 1 y
𝑎
{
𝑎−2
; 𝑎 ≠ 0; ±2}
{3(𝑧 + 5); 𝑎 ≠ 3; −5}
{1; 𝑏 ≠; ±9}
{𝑦; 𝑦 ≠ 0; −1}
z 4 4 z 20 z 5z
{ ; 𝑧 ≠ 0}
3a 2a 2 1 1 a d) 3a 2 3 a
{ ; 𝑎 ≠ 0}
b)
1 5
2
𝑎
str. 12
e)
4 2y 2 y 1
g)
2a 8 1 a 8a 16 a 4
{
i)
y 2 7 y 12 1 2 y 6y 9 y 3
{1; 𝑎 ≠ 3}
{
2
𝑦+1
f)
; 𝑦 ≠ −1}
2
1
𝑎−4
; 𝑎 ≠ 4}
3 6 4y 1 2 y 3 y 9 y 3
{0; 𝑎 ≠ ±3}
h)
4 y 20 2 y 10 y 25 y 5
{
j)
x 1 x 1 x2 5 x 1 3 3x 3
{1; 𝑥 ≠ 1}
2
2
𝑦+5
; 𝑦 ≠ −5}
10.
k 2 k 2 2k 1 k 2
11.
a b a b 1 b2 2 a b a b . b 1 2 a 2 b2 1 1 2 2 b a b2 b
2aa b, b 0
12.
y 2 2x x2 1 2 .1 x y y 2 x4 y4 x2 y2
x y x, y 0, x y x y
13.
x x 3 1 1 : 2 x 3 3 x 9 x
6 2 x, x 3
14.
2 4 2y 1 1 : 2 2 y 2 y 4 y 2 y 4 y 2
yy 2
15.
4 1 14k k 2 k 6 36 k 2 1 1 6k
5 k , k 5, k 6 6 k
{k 2}, k 2
Mnohočleny 1. Dělte a uveďte podmínky pro dělitele, správnost výsledků ověřte vynásobením dosazením a) (10 + 6a3 – 13a2 – 9a) : (2a – 5) = {3a2 , a 2,5} b) ( x x 7 x 3) : ( x 3)
2 { x 2 x 1, x 3 }
c) (11a2 – 5a + 2a3 – 24) : (2a – 3) =
{ a 2 7a 8 , a
d) ( y y 3 y 3) : ( y 1)
2 { y 3 , y 1 }
e) (15 x 23x 4) : (5 x 1)
{ 3x 4 , x 0,2 }
f) (20 x 14 x 6) : (3 10 x)
{ 2 x 2 , x 0,3 }
g) (3x x 2 x x 1) : ( x x 1)
{ 3x 2 2 x 1 }
3
2
3
2
2
2
4
3
2
2
3 } 2
str. 13
4. Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Lineární rovnice U všech příkladů, kde se vyskytuje neznámá ve jmenovateli, uvádějte podmínky řešitelnosti (jmenovatel musí být různý od nuly).
1. Řešte rovnice a proveďte zkoušku a) c 2 c 4 b) a a 4 a 1 3 5 6 3 5 2
e) 1 2 x 5 x 6
5
d) n 3 2 n 4
g) z 2 1 2 z 2
h) x 3 x 5 1
3
f) 1 y 0,7 y 2 y
3
c) x x x x 1
2
2
6
2
2
i) 1 y 1 5 y
j) 2 x 1 1 4 0,5 x
l) 3 (a 1) a 1 1 a a 1
m) 2b 1
o) 0 1 (2 y ) 4 2 y y
p)
r) a 1 a a 1 a 0,2
s) x 1 2 x 2 3x 3 2 x 1
4
2
12
4
3
2
5
3
2
3 12
4
2
5
6
5
4
2 b 3 1 b 2 3 2
1 x 3 1 2 x 6 2 x 5 4 2 3 3
5
3
k) x 1 x x 2 3x x
3
4
4
2
8
8
12
12
n) 1 y 1 2 1 y 1 12
q)
8
12
1 x 3 1 x 2 1 2 x 1 3 4 2
12
2. Pro které reálné hodnoty neznámé není rovnice definována? Určete množinu všech řešení rovnice. a)
8 3y 6 y 2 7 5 4 y 6 10 y 15 6 2 y 3
c)
7 10 3 2 a 3 a 9 a 3
[a = 2,2]
d)
3x 7 5 x 25 3 x .3 2 0 x 5 x x 5x
e)
6 z 2(4 z 3) z 2 1 z z 1 1 z
[z = R –1, 1 ]
f)
4 (5 p 2) p 5p [p =1, p 6, p –6] 2 6 p 36 p 6 p
g)
53 2x 1 3 2x [x= , x5, x2] 4 16 5 x x2
i)
5 10 7 y 7 y 1 y 1
b) 2
[y= – 33,y 1,5]
h)
6 y 1 4 3 y 5 4y 2y 5
x5 x3 x 7 x5
[x = 5,8 x 7, x5] [x= –5, x 0, x 5]
5 5 [y = –15, y , y ] 2 4
[y = 4, y 1, y –1]
Řešení soustav rovnic
Řešte soustavy rovnic, proveďte zkoušku .
1) a) 3x + 2y = 4 x–y =8
b) 3x + 5y = 18 4x – 2y = – 2
c) 4x + 2y = 12 – 6x – 3y = – 18
d) 2x – y = – 5 x + 4y = 11
e) x + y = 4 x+y=5
f) 12x – y = 3 4x + 5y = – 15
g) x + y = 7 x–y=1
h) x – y = – 5 y–x=5
5 y 6x 3y 13 2x 3 y 5 y 6x 12 2x 4 6
4x 2 2)
[x = 5, y = 6]
str. 14
3) 5(y + 2) = – 3(x – 3) + 7 3(y + 2) + 23 = 5(x – 3)
[x = 7, y = – 3]
5 x 3 y 2 y 3x x 1 3 5 4) 4x 3 y 3y 2x y 1 2 3 1 3 1 4 : 1 a ab b ab 5) a 3. b 3 ab 2
[x = 3, y = 2]
[a= – 11, b= – 4] a 0, b 0
6) (x + 1)2 + (y + 1)2 + 10 = x(x + 6) + y(y + 6) (x + 1)2 – (y – 1)2 + 8 = x(x – 6) – y(y – 6)
b2 a2 2 3 3 7) a b b3 6 2
[x = 1, y = 2]
b a 2b a 3 4 2 2a b 3a 5b 3 5 2
8 [a = 1, b = 5]
8)
[a = 12, b = 6]
Slovní úlohy řešené pomocí rovnic 1. V parku rostou lípy, javory, smrky a borovice. Lip je dvakrát více než javorů, smrků je o patnáct více než lip a borovic je dvakrát více než smrků. Dohromady je tam 225 stromů. Kolik kterých druhů roste v parku? 2. V prodejně měli žlutá, červená, modrá a zelená trička. Žlutých byla 1 15
1 10
celkového počtu, modrých byla
1
celkového počtu, zelených byla 5 celkového počtu a červených bylo 95 ks. Vypočítejte kolik triček bylo celkem v prodejně a kolik kterých barev. 3. Petr spotřeboval při vaření ¾ celkového množství brambor, zůstalo mu ¾ kg brambor. Kolik kg spotřeboval a kolik bylo celkem kg brambor? 4. Jana si koupila tričko a čepici. Platila 700 Kč. Tričko bylo o 1 dražší než čepice. Kolik stálo tričko a čepice? 3
5. Obvod trojúhelníku je 15,5 cm. Strana a je o 2 cm delší než strana b. Strana c je dvakrát menší než strana a. Kolik měří která strana? 6. Žáci při úpravě okolí školy vysázeli první den
1 3
celkového počtu stromků, druhý den
2 5
zbytku a třetí den
144 stromků. Kolik jich celkem vysázeli? (360 stromů) 7. Součástka měla před opracováním hmotnost 168 g. Jakou hmotnost měla součástka opracovaná, je-li hmotnost odpadu dvacetkrát menší než hmotnost opracované součástky? (160 g) 8. Otci je 42 let. Jeho třem dcerám je 16, 13 a 5 let. Za kolik let se bude věk otce rovnat součtu let jeho dcer? (4) 9. V trojúhelníku ABC je velikost vnitřního úhlu pětkrát menší než velikost vnitřního úhlu . Úhel α je třikrát větší než . Určete velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC. (60°, 100°, 20°) 10. V trojúhelníku ABC je velikost vnitřního úhlu o 55° větší než velikost vnitřního úhlu . Úhel α je dvakrát menší než . Určete velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC. (25°, 105°, 50°) 11. Při úpravě terénu pro stavbu věžového domu pracují 3 stavební čety. První četa by práci vykonala za 12 dní, druhá za 20 dní, třetí za 15 dní. Za jak dlouho splní celý úkol společně? (5 dní) 12. Autobus městské dopravy přepravil za první dvě hodiny od počátku směny 380 cestujících. Kolik cestujících musí průměrně přepravit za každou další hodinu své devítihodinové směny, aby přepravil celkem 1920 cestujících? (220) 13. Košile stojí 150 Kč, tričko dvaapůlkrát méně. Kolik triček je možno koupit za 240 Kč? (4) str. 15
14. Hotový chléb má hmotnost o 45 % větší než mouka, ze které je vyroben. Kolik mouky se spotřebuje na výrobu 60 dvoukilogramových bochníků? (asi 82,8 kg) 15. Vypočtěte stranu čtverce , jestliže zvětšíme jednu stranu čtverce o 10 cm a druhou zmenšíme o 8 cm a dostaneme tak obdélník, který má týž plošný obsah jako původní čtverec. (40 cm) 16. Dva obchody měly stejnou tržbu. První zvýšil tržbu o 6 %, druhý o 11 %. Oba obchody měly dohromady tržbu 54 250 Kč. Jaká byla původní tržba obchodu? (25 000 Kč) 17. Na večírek přišlo třikrát více chlapců než děvčat. Po odchodu 8 chlapců a 8 děvčat zbylo na večírku pětkrát více chlapců než děvčat. Kolik chlapců a kolik děvčat přišlo na večírek? (16 dívek, 48 chlapců) 18. Firma si účtuje za vybavení kanceláře žaluziemi celkem 2 650 Kč. Z dodacího listu je patrné, že žaluzie byly o 954 Kč dražší než jejich instalace. Kolik procent z účtované částky tvoří instalace žaluzií? (32 %) 19. Na rodinnou oslavu přichystali dvakrát více lahví piva než vína. Po hodině, kdy se vypilo 10 lahví piv a 10 lahví vína, zůstalo čtyřikrát více lahví piva než vína. Kolik lahví piva bylo připraveno na oslavu? (30 lahví)
Slovní úlohy řešené pomocí soustavy dvou rovnic 20. Do 26 lahví, z nichž některé jsou půllitrové a některé mají objem 0,7 l, máme uskladnit 15 l malinového sirupu. Kolik musíme mít lahví půllitrových a kolik o objemu 0,7 l ? (10 ks→7 dl, 16 ks→5 dl) 21. Účetní měla v pokladně v hotovosti 1 750 Kč ve 23 bankovkách, zčásti padesátikorunových, zčásti stokorunových. Kolik bylo kterých bankovek? (12 ks→100, 11ks→50) 22. 54 Kč jsme zaplatili ve dvoukorunách a pětikorunách. Dohromady máme 15 mincí. Kolik jsme měli pětikorun a kolik dvoukorun? (8 ks→5 Kč, 7ks→2 Kč) 23. Na školním výletě spali chlapci v chatkách a platili 200 Kč za noc, dívky spaly v hotelu a platily 250 Kč za noc. Dohromady bylo 22 chlapců a dívek, celkem všichni zaplatili 4 900 Kč. Kolik bylo chlapců a kolik dívek? (10 dívek, 12 chlapců) 24. Káva v kelímku stojí 7 Kč. Káva je o 6 Kč dražší než kelímek. Kolik stojí kelímek? (0,50 Kč)
Soustavy nerovnic
Řešte soustavy nerovnic v R
1)
2 – (x + 2).(x – 3) 4x – x(x – 5)
x 2x 1 x 2 2 3 6
{𝑥 ∈ ⟨1; ∞)}
2)
6x – (4x + 1)2 2x(5 – 8x) + 5
x 2 2x 1 3 0 4 12 8
{𝑥 ∈ {−0,5}}
2 1 1 x( x 2) (2 x 2 4) 3 2 3
3.
3)
4) 5) 6) 7) 8) 9)
3 4y 7 y 4 3 5 2 1 .(3 + 3a) (2a – 1 ).3 2 5 5(4 – y) + y (4 – y).2 3
3.(2 – a) – 2a + 3 –4(a – 1) 𝑥+2 3 𝑎+2 3
<𝑥 ≤3− ≥1<𝑎−
𝑥−3 2 1−𝑎 2
9 x2 .2 – 0,6 5 5
(4 – y).5 +
5 y (4 – y).2 3
{𝑥 ∈ (−
11 8
; 0)}
{𝑦 ∈ ⟨9; ∞)}
2a – 5 (a–1 ).3
{𝑎 ∈ ⟨−2; 1)}
7 y 3 4y –3 4 2 5
{𝑦 ∈ (9; ∞)}
(3a – 1) + 2(3a + 1) (2a + 1).3
2
{𝑎 ∈ (−1; 3)} {𝑥 ∈ (1; 3⟩} {𝑎 ∈ (1; ∞)}
str. 16
Nerovnice v podílovém a součinovém tvaru 1. a)
3x 1 1 > 0 { x 2; } b) 0 x2 2
2. a)
2x 1 >1 x2
{𝑥 ∈ (−∞; −2) ∪(1; ∞)}
b)
x5 0 x 1
3. a)
15 x 0 x6
{𝑥 ∈ (−∞; 6) ∪⟨15; ∞)}
b)
x2 2 {𝑥 ∈ ⟨−6; −2)} x2
{ x ;
1 } 3
4. a) (x – 2).(x + 4) 0 {𝑥 ∈ (−∞; −4⟩ ∪⟨2; ∞)} 5. a) (2x – 3).(7 – 3x) 0
c)
2y 5 0 { x ;2,5 } 10
{x (1;5)}
b) (x + 6).(x – 3) 0
3 7 { x ; } 2 3
řešte v R
{𝑥 ∈ 〈−6; 3〉}
b) (x – 3).(x + 5) 0 {𝑥 ∈ (−∞; −5) ∪(3; ∞)}
Kvadratické rovnice 1. Řešte kvadratické rovnice pomocí diskriminantu, správnost řešení ověřte zkouškou: a) 2 x 2 5 x 3 0
100 x 2 30 x 2 0
10 x 2 9 x 1
b) 20 x 2 5 x 3
x 2 3x 2 0
10 x 2 x 10
c) 2 x 2 112 30 x
3x 2 6 x 45
x 2 144 24 x
d) 2 x 2 8 0
3x 2 6 x 0
5x 2 4x
e) 𝑥 −
7 𝑥
= 3
2
2𝑥
𝑥
11
f) 1,5𝑥 + 2𝑥 = 3
−
6 11𝑥
3𝑥 −
1 12𝑥
=1 =0
2. Řešte kvadratické rovnice pomocí Viètových vzorců, správnost řešení ověřte zkouškou: Ř𝑒š𝑒𝑛í (𝑘𝑜ř𝑒𝑛𝑦) 𝑘𝑣𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖𝑐𝑘é 𝑟𝑜𝑣𝑛𝑖𝑐𝑒: 1𝑥 2 + 𝒃𝑥 + 𝒄 = 0 ∎ − 𝒃 = 𝑥1 + 𝑥2 ∎ 𝒄 = 𝑥1 . 𝑥2
x2 2x 8 0 x2 x 2 0 a) x 2 8 x 15 0 x 2 x 42 0 x 2 5 x 24 0 b) x 2 x 110 0 3. Uveďte typ rovnice a řešte je bez použití diskriminantu: 2x2 – 162 = 0 [ryze kvadratická, x1 = +9 x2 = –9] 8 3x2 + 8x = 0 [bez absolutního členu x1 = 0, x2 = − 3] x2 + 8x – 33 = 0 [normovaná x1 = –11 x2 = 3] –x2 + 121 = 0 [ryze kvadr. x1 = 11 x2 = –11] 8 –5x2 + 8x = 0 [bez abs.členu. x1 = 0 x2 = 5]
9𝑥 2 = 1
1
[ryze kvadratická, x1,2 = ± 3 ] 1
9𝑥 2 = 3𝑥 [bez abs. členu, x1 = 3 x2 = 0] 4. Sestavte normovanou kvadratickou rovnici o kořenech x1 , x2 a přesvědčte se o správnosti: x1 = 5 x2 = – 6 [x2 + x – 30 = 0] x1 = –1 x2 = 2 [x2 – x – 2 = 0] x1 = 10 x2 = 1 [x2 – 11x +10 = 0] 5. Kvadratická rovnice má jeden kořen x1 = 2, druhý kořen má hodnotu čísla převráceného. Sestavte rovnici, která má takovéto 2 kořeny. [2x2 – 5x + 2 = 0] 6. Hodnota diskriminantu následující rovnice je 16. Určete hodnoty parametru m. (𝑥 − 4)(𝑥 + 𝑚) = 0 [m1 = 0 ; m2 = 24] Sestavte pak takovou rovnici. [x2 – 4x = 0 ; x2 + 20x – 96 = 0] str. 17
7. Kraťte zlomek a uveďte podmínky x2 x 6 a) [x–3, x –2] x2
8x 2 6 x 5 c) 15 32 x 16 x 2 e)
100 x 2 30 x 2 3 20 x 100 x 2
b)
x2 x 6 d) 2 3x 4 x 4
2x 1 5 3 [ , x , x ] 4x 3 4 4
[
10 x 2 11x 3 2x 1
[5x+3, x –0,5]
[
x3 2 , x –2, x ] 3x 2 3
x 0,2 x 0,1 x –0,3] x 0,3
8. Určete b, c tak, aby čísla x1 = 3, x2 = – 0,5 byla kořeny kvadratické rovnice 2x2 + bx + c = 0 [b = –5, c = –3] 9. Určete v kvadratické rovnici ax2 + bx + 5 = 0 koeficienty a, b tak, aby kořeny této rovnice byla čísla x1 = 5 x2 = 0,5 [a = 2, b = –11] 10. Určete v kvadratické rovnici ax2 + 3x + c = 0 čísla a, c tak, aby jejím jediným kořenem bylo číslo 2. [a = – 0,75, c = –3] 11. V rovnici x 2 bx 12 0 s neznámou x je jeden kořen x1 = – 2. Určete koeficient b a druhý kořen. 4 3.( x 7) x 1 12. Řešte danou rovnici v R : 2 x x 3x x3 13. Řešte soustavu lineární a kvadratické rovnice a) x2 – 3y2 = –2 b) x2 + x +2y = 14 c) x2 + y2 = 10 x–y=2 x + 2y = – 2 x – 2y + 5 = 0 [x1=1 y1=-1; x2=5 y2=3] [x1=-4 y1=1; x2=4 y2=-3] [x1=-3 y1=1; x2=1 y2=3] d)
x2 + 4y2 = 16 x – 2y + 4 = 0 [x1=-4 y1=0; x2=0 y2=2]
e)
9x2 – 4y2 = 36 f) x+y–2=0 [x1=-5,2 y1=7,2; x2=2 y2=0]
x2 + 9y2 = 9 x + 3y – 3 = 0 [x1=3 y1=0; x2=0 y2=1]
Kvadratické nerovnice Kvadratický trojčlen ax2 + bx + c nejprve rozložte na součin dvou závorek (x – x1).(x – x2), kde x1, x2 jsou kořeny kv. rovnice. Pak řešíme jako nerovnici v součinovém tvaru. 1 1. 3x2 – 7x + 2 0 x ; 2; 3 2. 5x2 – 3x – 2 0
2 ,1 x 5
3. 2x2 + 5 3x2 + x – 1
x ; 3 2;
4.
x2 – x – 6 0
x 2,3
str. 18
5. Planimetrie Trojúhelník,
Pythagorova věta
1. V trojúhelníku jsou dány velikosti dvou úhlů γ = 36°55 ´ = 29°45´. Vypočítejte velikost úhlu . 2. V rovnoramenném trojúhelníku je dána velikosti úhlu, který svírá základna a rameno = 55°55´. Vypočítejte velikost úhlu , γ. 3. V rovnoramenném trojúhelníku je dána velikosti úhlu, který svírají ramena γ = 15°20´. Vypočítejte velikost úhlu , . 4. Obvod rovnoramenného trojúhelníku je 474 m, základna je o 48 m delší než rameno. Vypočítejte délky stran trojúhelníku. 5. Vypočítejte obsah trojúhelníku, v němž je dána délka jedné strany a k ní příslušná výška: a) a = 18 cm, v a = 10,5 cm
b) b = 39,4 dm, v b = 168 cm
6. Střecha nad transformátorem je tvořena čtyřmi shodnými trojúhelníky. Délka strany každého z nich je 3,6 m, příslušná výška je 2 m. Vypočítejte obsah střechy. 7. Obvod rovnoramenného trojúhelníku je 1 m. Základna má délku 45 cm. Vypočítejte délku ramen tohoto trojúhelníku. 8. Rozhodněte, zda trojúhelník s následujícími délkami stran je pravoúhlý: a) 11 m, 60 m, 61 m b) 16 dm, 30 dm, 34 dm c) 7 m, 9 m, 11 m 9. Vypočítejte délku odvěsny a v pravoúhlém trojúhelníku ABC. Přepona c = 11,5 cm, odvěsna b = 9,2 cm. 10. Vypočítejte délku odvěsny b v pravoúhlém trojúhelníku ABC. Přepona c = 16 dm, odvěsna a = 9,6 dm. 11. Rovnoramenný trojúhelník KLM má ramena délky k, l (k = l) a základnu délky m. Výška k základně má délku v. Vypočítejte zbývající údaj, je-li dáno: a) m = 12 dm, k = 10 dm b) k = 13 cm, v = 12 cm c) v = 8,5 cm, m = 62 mm 12. Základna rovnoramenného trojúhelníku má délku 6 m, příslušná výška 4 m. Vypočítejte obvod tohoto trojúhelníku. 13. Rovnoramenný trojúhelník má základnu dlouhou 16 cm, jeho rameno je o 1 cm delší než základna. Vypočítejte obsah tohoto trojúhelníku. 14. Vypočítejte obvod a obsah pravoúhlého trojúhelníku XYZ s pravým úhlem u vrcholu X. |XY| = 2,4 cm, |YZ| = 0,4 dm 15. Vypočítejte obvod a obsah pravoúhlého trojúhelníku XYZ s pravým úhlem u vrcholu X. |XZ| = 48 mm, |YZ| = 6 cm 16. Stožár antény vysoké 120 m, je upevněn čtyřmi lany u vrcholu a lano je ukotveno v zemi 50 metrů od paty stožáru. Vypočítejte kolik metrů lana se spotřebovalo na všechna 4 lana? 17. Žebřík je dlouhý 8 metrů a je opřen o zeď ve vzdálenosti 2 metry. Do jaké výšky sahá? 18. Rovnostranný trojúhelník má stranu a = 8,4 cm. Vypočítejte výšku trojúhelníku a jeho obvod i obsah. 19. Rovnostranný trojúhelník má výšku va = 15 dm. Vypočítejte délku strany trojúhelníku a jeho obvod i obsah. 20. Vypočítejte délku kanalizačního potrubí, které ve směru úhlopříčky spojuje dva rohy obdélníkového nádvoří s rozměry 45 m a 26 m. 21. Při průzkumném vrtu upevnili vrtnou věž vysokou 22,5 m lany tak, že jejich konce byly přivázány k zemi ve vzdálenosti 7,2 m od paty věže. Jak dlouhá byla lana? 22. Vypočítejte výšku štítu domu. Štít má tvar rovnoramenného trojúhelníku se základnou 8,4 m a s rameny délek 6,5 m. 23. Z kmene stromu byl vytesán trám obdélníkového průřezu o rozměrech 50 mm a 120 mm. Jaký nejmenší průměr musel mít kmen? 24. Ocelový komín vysoký 27 m je ve dvou třetinách své výšky upoután 4 stejně dlouhými ocelovými lany, jejichž konce jsou upevněny ve vzdálenosti 13 m od paty komína. Kolik metrů lana je třeba na upoutání komína, jestliže zakotvení si vyžádalo navíc 5 % jeho délky? 25. Kosočtverec ABCD má stranu a = 20 cm, úhlopříčku f = BD = 24 cm. Vypočtěte délku úhlopříčky e =AC. str. 19
[
1) 113°20´ 2) 𝛽 = 55°55´ 𝛾 = 68°10´ 3)𝛼 = 𝛽 = 82°20´ 4)142, 142, 190𝑚 5) 94,5𝑐𝑚2 ; 331𝑑𝑚2 6) 14,4𝑚2 7) 27,5𝑐𝑚 8) 𝑎)𝑎𝑛𝑜 𝑏)𝑎𝑛𝑜 𝑐)𝑛𝑒 9) 6,9𝑐𝑚 10) 12,8𝑑𝑚 11) 𝑎) 𝑣 = 8𝑐𝑚 𝑏) 𝑚 = 10𝑐𝑚 𝑐) 𝑘 = 9𝑐𝑚 12) 16𝑐𝑚 13) 120𝑐𝑚2 14) 3,84𝑐𝑚2 ; 9,6𝑐𝑚 15) 8,64𝑐𝑚2 ; 14,4𝑐𝑚 16) 520𝑚 17) 7,75𝑚 18) 15,3𝑐𝑚2 ; 25,2𝑐𝑚
]
19) ≅ 130𝑑𝑚2 ; ≅ 52𝑑𝑚 20) 52𝑚 21) 23,6𝑚 22) ≅ 5𝑚 23) 13𝑐𝑚 24) 93,25𝑚 25) 32𝑐𝑚
Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku 1. Vypočítejte délku přepony v trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je dáno: a) 𝛼 = 45°, a = 9 dm b) 𝛼= 15°, b = 35 mm [12,7 dm; 36 mm] 2. V pravoúhlém trojúhelníku ABC známe velikost ostrého úhlu a délku přepony c. Vypočítejte délky jeho odvěsen. a) = 35°, c = 8 cm b) 𝜶 = 70°, c = 6 m [a) a = 6,6 cm; b = 4,6cm b) a = 5,6 m; b = 2,1m] 3. Rovnoramenný trojúhelník má výšku 10 cm a úhel u základny je 65°. Vypočítejte obvod trojúhelníku. [31,3 cm]
4. Rovnoramenný trojúhelník má rameno dlouhé 8 cm a úhel u základny je 30°. Vypočítejte obvod a obsah trojúhelníku. [S≅ 27,7 𝑐𝑚2] 5. Rovnoramenný trojúhelník má základnu dlouhou 12 cm a úhel, který svírají ramena je 50°. Vypočítejte obvod trojúhelníku. [40,4 𝑐𝑚 77,4 𝑐𝑚2 ] 6. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky: a) 2 m, 6 m b) 6 cm, 0,8 dm c) 185 mm, 32,4 cm [18°26´ 71°34´]
[36°52´ 53°8´]
[29°43´ 60°17´]
7. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů pravoúhlého trojúhelníku, je-li dána délka přepony a jedné odvěsny a) 12 cm, 13 cm b) 24 dm, 2,5 m c) 8,5 dm, 57 cm [67°22´ 22°38´]
[73°44´ 16°16´]
[42° 48°]
8. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů pravoúhlého trojúhelníku, mají-li jeho strany délky: a) 12 cm, 16 cm, 20 cm [36°52´ 53°8´] b) 25 dm, 6 m, 650 cm [22°37´ 67°23´] 9. Jak velký úhel svírá v obdélníku strana a = 13 cm s úhlopříčkou u = 15,5 cm? [33°] 10. Určete velikost úhlu při základně rovnoramenného trojúhelníku, má-li trojúhelník strany a = 24 cm, b = c = 18 cm. [48°11´] 11. Jak vysoký je komín, vidíme-li jeho vrchol ze vzdálenosti 60 m pod úhlem 40°? [50 m] 12. Dvojitý žebřík má každé rameno 4 m dlouhé. Určete velikost úhlu rozevření žebříku, jestliže jeho spodní konce jsou od sebe 2,2 m. Do jaké výšky žebřík dosahuje? [32°, 3,8 m] 13. Lanová dráha rovnoměrně stoupá. Úhel stoupání je 25°. Výškový rozdíl mezi oběma koncovými stanicemi je 300 metrů. Vypočítejte délku lanové dráhy. [710 m] 14. Určete obsah obdélníku, je–li délka úhlopříčky u = 36 cm a úhel úhlopříček je 26°30´. [a = asi 35 cm, b = asi 8,3 cm, S = asi 290,5 cm2]
15. Vypočítejte obvod a obsah pravoúhlého Δ, je–li součet odvěsen a + b = 35 cm a úhel = 36°52´. [c = 25 cm, o = 60 cm, S = 150 cm2]
16. Určete obsah pravoúhlého lichoběžníku ABCD, je–li a = 66 cm, c = 18 cm a jestliže je jeho kosé rameno o 36 cm delší než rameno kolmé na základny a, c. [v = 14 cm, S = 588 cm2 ] 17. Určete vzdálenost dvou rovnoběžných tětiv délek 6 cm a 10 cm v dané kružnici k(S, r = 6cm). [v1 = 1,88 cm, v2 = 8,512 cm]
18. Řešte pravoúhlý Δ ABC, jestliže úhel ABC = 90°, c = 10 cm, a = 8 cm. [b = 12,8 cm, 51°20´, 38°39´] 19. Výška schodiště z jednoho patra do druhého je 3,27 m , sklon schodiště je 25°, šířka 1 schodu je 0,27 m, určete počet schodů tohoto schodiště. [asi 28 schodů] 20. Schodiště s 50 schody má výšku 9 m a sklon 24°. Vypočtěte výšku a šířku jednoho schodu. [v =18 cm, š = 40 cm]
21. Důlní chodba má délku 25 m, výškový rozdíl mezi oběma jejími konci 5,3 m. Vypočtěte její sklon. [12°14´] 22. Silnice stoupá rovnoměrně o 12 m na 1000 m. Vypočtěte úhel jejího stoupání. [0°41´] 23. Vypočtěte výškový rozdíl dvou stanic lanovky, jestliže její stoupání je 67 0/00 a délka jednoduchého lana je 930 m. [62,2 m]
str. 20
Euklidovy věty Pří k la d y 1 – 6 : V yp o č ítej te d é l k y v šec h s tr a n, v ý š k u v c , ús e k y na p řep o n ě, p o k ud nej so u zad á n y.
1. Pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem u vrcholu C má odvěsnu a = 12 cm, vc = 60 mm. {b = 7 cm, c = 13,9 cm, ca = 10,4 cm , cb = 3,5 cm} 2. Pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C, má úhel α = 35° a úsek přepony ca = 6 cm. {a = 10,5 cm, b = 15 cm, c = 18,3 cm vc = 8,6 cm , cb = 3,5 cm} 3. Pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem u vrcholu C má odvěsnu b = 10 cm, vc = 70 mm. {a = 9,8 cm, c = 14 cm, ca = 6,9 cm , cb = 7,1 cm} 4. Pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C, má úhel β = 22° a úsek přepony cb = 5 cm. {a = 34 cm, c = 35,6 cm, ca = 30,6 cm, b = 13,4 cm} 5. Pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem u vrcholu C má odvěsnu a = 25 cm, vc = 7 cm. {b = 7,2 cm, c = 26 cm, ca = 24 cm , cb = 2 cm} 6. Pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C, má úhel α = 25° a úsek přepony ca = 14 cm. {a = 33,1 cm, b = 71 cm, c = 78,2 cm, ca = 14 cm , cb = 64,2 cm} 7. Vypočtěte délku tětivy v kružnici k(S; 5,5 cm), je-li vzdálenost středu S od tětivy rovna v = 2,3 cm. {t = 10 cm}
8. Jak velké úseky vytíná výška va na přeponě a v pravoúhlém troj. ABC, je-li přepona a = 20 cm, va = 8 cm. {16 cm, 4 cm}
9. V pravoúhlém Δ ABC je dána odvěsna a = 14 cm a poloměr vepsané kružnice = 5 cm. Vypočtěte strany b, c. {b = 22,5 cm, c = 26,5 cm } 10. Základny rovnoramenného lichoběžníku ABCD jsou a = 15 dm, c = 12 dm, rameno b = 4 dm. Vypočtěte jeho vnitřní úhly. {17° 17° 163° 163°} 11. V obdélníku ABCD je dáno: a = AB = 8 cm, b = BC = 6 cm vypočti vzdálenost vrcholu B od úhlopříčky u = AC. {4,8 cm} 12. Obdélník ABCD: a = AB = 8 cm, u = BD = 10 cm, vypočti vzdálenost vrcholu A od úhlopříčky u = BD. {4,8 cm}
Řešení obecného trojúhelníku sinová věta
a b c sin sin sin
kosinová věta
a2 = b2 + c2 –2bc.cos𝛼 b2 = a2 + c2 –2ac.cos𝛽 c2 = a2 + b2 –2ab.cos𝛾
U všech příkladů : náčrt, obecné řešení, výpočet. 1. V Δ ABC známe velikost strany a = 52 cm a vnitřní úhly o velikosti = 63°14´, = 57°43´ Určete velikost zbývajících stran b, c a velikost úhlu . {b = asi 54 cm, c = asi 51 cm, = 59°} 2. V Δ ABC je dáno: a =13 cm, b = 14 cm, c =15 cm. Vypočtěte vnitřní úhly Δ a jeho obsah. {=53°08´, =59°29´, = 67°23´, S=84 cm2 } 3. Cíl C je pozorován ze dvou pozorovatelen A, B, které jsou od sebe vzdáleny 975 m, přitom úhel BAC = 63°, úhel ABC = 48°. Vypočtěte vzdálenost AC. {776 m } 4. Dvě důlní štoly vycházejí ze stejného místa P v šachtě a svírají úhel o velikosti 51°45´. Délky štol jsou : PQ = 479 m, PR = 796 m. Vypočtěte délku spojovací štoly QR. {625 m } 5. Tři kružnice o průměrech 6 cm, 10 cm, 14 cm se navzájem dotýkají vně. Určete všechny úhly, které svírají středné. (Spojnice středů kružnic.) {83°, 56°, 41°} 6. Řešte Δ ABC, je–li dáno : a = 65, b = 46 = 42°35´ {c=90,9; =28°37´; =108°48´} c = 210, = 62°32´, = 48°56´ { =68°32´; a=200,2; b=170,1} a = 16, b = 25, c = 36 {=22°20´; =36°25´; =121°15´}
str. 21
Obvody, obsahy rovinných útvarů Vypočítejte obvod a obsah obdélníku se stranou a = 17 cm, b = 32 cm. Vypočítejte délku úhlopříčky. Vypočítejte obvod a obsah čtverce se stranou a = 6 m. Vypočítejte délku úhlopříčky. Vypočítejte obvod obdélníku se stranou a = 25 dm, když je dáno S = 12,5 m2. Vypočítejte obsah obdélníku se stranou a = 3,2 cm, když je dáno O = 12 cm. Pokoj má rozměry 5 m a 3,5 m. Kolik bude stát koberec do pokoje, jestliže 1 m2 stojí 220 Kč. Pole má tvar obdélníku s rozměry 720 m a 290 m. Na 1 m2 je třeba 18 g osiva. Kolik tun osiva je třeba k osetí tohoto pole? 7. Pozemek k výstavbě nových domů má tvar obdélníku o délce 380 m a šířce 240 m. Obec se rozhodla zvětšit tento pozemek přidáním cesty široké 5 m, která vede podél kratší strany pozemku. Jakou výměru bude mít zvětšený pozemek? 8. Plechová střecha nad garáží má tvar obdélníku s rozměry 7,5 m a 4 m. Kolik kilogramů barvy se spotřebuje na její nátěr, jestliže 1 kg barvy vystačí na natření 6 čtverečných metrů plechu? 9. Kolik čtvercových dlaždic se stranou délky 25 cm je třeba na vydláždění místnosti tvaru čtverce, která má stranu dlouhou 6,75 m? 10. Vypočítejte obvod a obsah obdélníku KLMN se stranami k = 0,45 dm, l = 25 mm. Vypočítejte délku úhlopříčky obdélníku. 11. Vypočtěte délku strany kosočtverce, jestliže úhlopříčky mají délky 126 mm a 32 mm. 12. Dřevěnou desku tvaru rovnoběžníku se stranou 70 cm a příslušnou výškou 40 cm mají žáci v dílně rozdělit na dvě části tvaru trojúhelníku podle úhlopříčky. Jaký obsah má každá z těchto částí? 13. *V rovnoběžníku ABCD se středem S má strana AB velikost a = 5 cm, úhel ABS je pravý a úhlopříčka BD má velikost f = 12 cm. Proveďte náčrtek. Vypočtěte obvod. Vypočítejte velikost vnitřního úhlu rovnoběžníku ABCD při vrcholu A. Zaokrouhlete na stupně. 1. 2. 3. 4. 5. 6.
1) 544 𝑐𝑚2 ; 98 𝑐𝑚; 𝑢 = 36,2 𝑐𝑚; 2) 𝑂 = 24 𝑚; 𝑢 = 8,5 𝑚; 3) 15 𝑚; 4) 8,96 𝑐𝑚2 ; 5) 3850 𝐾č; 6) 𝑎𝑠𝑖 3,8 𝑡; 7) 92 400 𝑚2 ; [ 8) 5 𝑘𝑔; 9) 729; 10) 𝑆 = 1125 𝑚𝑚2 ; 𝑂 = 140 𝑚𝑚; 𝑢 = 51,5 𝑚𝑚; 11) 65 𝑚𝑚; 12) 1400 𝑐𝑚2 ; 13) 𝑂 = 36 𝑐𝑚; 𝛼 = 67° ]
14. Určete průměr kruhu, který má obsah: a) 16 cm2 b) 28 dm2 c) 25 mm2 d) 18 m2 15. Vypočtěte obsah kruhu, který má obvod: a) 10 cm b) 5 mm c) 12,56 dm d) 31,4 m 2 2 16. Vypočtěte obvod kruhu, který má obsah: a) 28,26 dm b) 50,2 m 17. Vypočítejte průměr a obsah příčného kruhového řezu kmenem buku, jehož obvod je 314 cm. 18. Trojnásobek obvodu kruhu se rovná 2 km. Vypočítejte poloměr kruhu. 19. Představte si, že na pilovém kotouči s průměrem 42 cm je jeden zub obarven bílou barvou. Jak dlouhou dráhu opíše hrot tohoto zubu za 1 minutu, jestliže se kotouč za tuto dobu otočí 825krát? 20. Průměr kruhu je 20 cm. Vypočti šířku mezikruží, jehož obsah je 235,5 cm2. [ 14) 4,5 𝑐𝑚; 6 𝑑𝑚; 5,6 𝑚𝑚; 4,8 𝑚; 15) 8𝑐𝑚2 ; 2 𝑚𝑚2 ; 12,56 𝑑𝑚2 ; 78,5 𝑚2 ; 16) 18,8 𝑑𝑚; 25,1 𝑚; [ 17) 𝑑 = 1 𝑚; 𝑆 = 78,5 𝑑𝑚2 ; 18) 106 𝑚; 19) 𝑎𝑠𝑖 1 𝑘𝑚; 20) 5 𝑐𝑚 ]
]
21. Rovnoramenný lichoběžník má stranu a = 2 dm, b = 6 cm, c = 100 mm. Vypočítejte obvod a obsah. 22. Rovnoramenný lichoběžník má stranu b = 5 cm, c = 15 cm. Úhel, který svírá základna s ramenem je 30°. Vypočítejte obvod a obsah lichoběžníku. 23. Základny pravoúhlého lichoběžníku ABCD s pravým úhlem při vrcholu A mají délky 92 cm a 76 cm, jeho výška se rovná 63 cm. Vypočítejte délku ramene b. 24. Pravoúhlý lichoběžník má základny o délkách 3 cm a 6,2 cm, kratší rameno 2,5 cm. Vypočtěte délku druhého ramene. 25. Rovnoramenný lichoběžník má stranu a = 6 dm, c = 40 cm. Úhel, který svírá základna s ramenem je 60°. Vypočítejte obvod a obsah lichoběžníku. 26. Rovnoramenný lichoběžník má stranu v = 8 cm, c = 1 dm. Úhel, který svírá základna s ramenem je 45°. Vypočítejte obvod a obsah lichoběžníku. 27. Zahrada má dva protější ploty rovnoběžné o délkách 52,6 m a 84 m. Vzdálenost plotů je 38 m. Vypočtěte výměru zahrady a vyjádřete ji v hektarech. Výsledek zaokrouhlete na 2 desetinná místa. str. 22
28. Lichoběžník ABCD má základny a, c, výšku v a obsah S. Vypočítejte výšku v, je-li dáno: a) S = 29,34 dm2, a = 9,9 dm, c = 6,4 dm b) S = 15,84 m2, a = 6,4 m, c = 3,5 m 29. Obvod rovnoramenného lichoběžníku, jehož jedna základna má stejnou délku jako rameno, se rovná 3,29 m. Druhá základna má délku 95 cm. Vypočítejte délky zbývajících stran lichoběžníku. 30. Určete obsah pravoúhlého lichoběžníku ABCD , jestliže jeho kosé rameno je o 36 cm delší než rameno na základny a, c. Délky základen jsou : a = 66 cm c = 18 cm. [1 092 cm2] 31. Oplocený pozemek má tvar lichoběžníku, kde velikosti rovnoběžných stran jsou 106 m a 72 m, vzdálenost těchto stran je 46 m a velikost úhlu mezi základnou a jedním ramenem je 57°. Vypočti obsah pozemku v hektarech a délku plotu. [0,409 ha, 279 m] 32. Do čtverce je vepsán kruh, jehož obsah je 12,56 cm2. Vypočítejte obvod a obsah tohoto čtverce. 33. Do kruhu je vepsán čtverec. Obsah čtverce je 225 cm2. Vypočítejte obvod a obsah kruhu. 34. Do kruhu je vepsán obdélník se stranou a = 16 cm. Obsah kruhu je 314 cm2. Vypočítejte obvod a obsah obdélníku. 35. Do čtverce je vepsán kruh, obvod čtverce je 12 dm. Vypočítejte obvod a obsah kruhu. 36. Do kruhu je vepsán čtverec. Obvod kruhu je 62,8 cm. Vypočítejte obvod a obsah čtverce. 37. Do kruhu je vepsán obdélník se stranou b = 10 cm. Obvod obdélníku je 30 cm. Vypočítejte obvod a obsah kruhu. 38. Do čtverce je vepsán kruh, obvod kruhu je 31,4 cm. Vypočítejte obvod a obsah čtverce. 39. Do kruhu je vepsán čtverec. Obsah kruhu je 452,16 cm2. Vypočítejte obvod a obsah čtverce. 40. Do kruhu je vepsán obdélník se stranou a = 11 cm. Obsah obdélníku je 33 cm. Vypočítejte obvod a obsah kruhu. 41. Vypočítejte obsah kruhu, jehož obvod se rovná obvodu čtverce se stranou délky a = 3,52 dm. 42. Kruh má stejný obsah jako čtverec, jehož obvod je 338,4 m. Vypočítejte průměr kruhu.
Mnohoúhelníky Postup: vypočteme obsah a obvod 1 trojúhelníku a násobíme počtem trojúhelníků (1. až 3. př.) (využití Pythagorovy věty, goniometrických funkcí ostrého úhlu, obvody, obsahy rovinných obrazců). Proveďte náčrt.
1. Strana pravidelného n-úhelníku je 20 cm. Vypočítejte obvod a obsah. a) pravidelného osmiúhelníku b) pravidelného šestiúhelníku c) pravidelného pětiúhelníku d) pravidelného dvanáctiúhelníku. 2. Poloměr kružnice opsané r = 12 cm. Vypočítejte obvod a obsah. a) pravidelného osmiúhelníku b) pravidelného šestiúhelníku c) pravidelného pětiúhelníku 3. Poloměr kružnice vepsané = 10 cm. Vypočítejte obvod a obsah. a) pravidelného osmiúhelníku b) pravidelného šestiúhelníku c) pravidelného pětiúhelníku
str. 23
6. Stereometrie Hranol, kvádr, krychle 1. Kvádr, jehož hrany mají délky 8 m, 9 m, má stejný objem jako krychle, jejíž hrana má délku 6 m. Vypočítejte třetí rozměr kvádru. 2. Jaký je povrch krychle v m2, je-li její objem: a) 512 cm3 b) 0,1 m3 3. Jaký je objem krychle v m3, je-li její povrch: a) 384 dm2 b) 13,50 m2 4. Jakou hmotnost má závaží tvaru krychle, je-li vyrobeno z oceli o hustotě 7800 kg . m–3 a délka jeho hrany je 5 cm? 5. Trám ze smrkového dřeva má tvar kvádru s rozměry 5 m, 3 dm a 2 dm. 1 dm3 smrkového dřeva má hmotnost 0,5 kg. Vypočítejte hmotnost trámu. 6. Plavecký bazén je dlouhý 33 m, široký 12 m a hluboký 2 m. V naplněném bazénu je hloubka vody 1,8 m. Vypočítejte kolik hektolitrů vody je v plném bazénu, kolik čtverečných metrů dlaždic je potřeba na obložení dna a stěn bazénu. 7. Vodojem má tvar kvádru, jehož spodní stěna je čtverec. Délka strany čtverce je 2,5 m. Ve vodojemu je 25 m3 vody. Do jaké výšky sahá voda? 8. Kanál na položení potrubí má délku 390 m, šířku 28 dm a hloubku 220 cm. Bagrista vybagroval za jednu hodinu 22 m3. Jak dlouho mu trvalo vyhloubení kanálu? 9. Tabule okenního skla má rozměry 2 m, 2 m a 5 mm. 1 dm3 skla má hmotnost 2,5 kg. Vypočítejte hmotnost jedné skleněné tabule. 10. V bazénu tvaru kvádru je 1 500 hl vody. Určete rozměry dna, je-li hloubka vody 250 cm a jeden rozměr dna je o 4 m větší než druhý. (a = 6 m, b = 10 m) 11. Kolik hl vody se vejde do nádrže tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu s podstavnou hranou 60 m a výškou 1,8 m. Kolik m2 plechu se spotřebuje na tuto nádrž, počítáme–li 18% na spoje. (64800 hl, 4354,56 m2) 12. Pokoj má rozměry 6 m, 4,5 m a výšku 3,5 m. Kolik bude stát barva jestliže stěny a strop natíráme dvakrát a 1 kg barvy stojí 83 Kč a vystačí na 20 m2 nátěru? 13. Jímka na plyn má tvar hranolu se čtvercovou podstavou. Výška jímky je 18 m, dno má stranu 6,5 m. Vypočítejte kolik m3 plynu se vejde do jímky. Vypočítejte kolik Kč bude stát barva, jestliže se na natření vnějších i vnitřních stěn jímky spotřebuje na 1,5 m2 plochy 1 kg barvy. 1 kg barvy stojí 120 Kč. 14. Kolik litrů vody je v akváriu tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu o vnitřních rozměrech 9 (90 𝑙) a = 0,5 m, v = 40 cm, je-li naplněno do 10 svého celkového objemu? 15. Vypočítejte povrch a objem hranolu o výšce v = 5 dm s podstavou ve tvaru kosočtverce se stranou a = 8,5 cm a výškou kosočtverce v = 5 cm. 16. Vypočítejte povrch a objem hranolu o výšce 1 m s podstavou ve tvaru rovnostranného trojúhelníku se stranou a = 0,5 m. 17. Vypočítejte povrch hranolu o výšce v = 1 dm s podstavou ve tvaru rovnoramenného trojúhelníku se stranami a = b = 45 mm, c = 75 mm. 18. Vypočítejte povrch a objem pravidelného trojbokého hranolu, jehož podstavná hrana a tělesová výška mají délku 15 cm. 19. Trojboký hranol, jehož podstavou je pravoúhlý trojúhelník s přeponou o délce 1,3 m a odvěsnou dlouhou 50 cm, má objem 120 dm3. Vypočítejte výšku tohoto hranolu a jeho povrch. 20. Vypočtěte obsah pláště a objem trojbokého hranolu o výšce 0,5 m, je-li jeho podstava pravoúhlý trojúhelník s odvěsnou délky 1,6 dm a přeponou délky 20 cm. 21. Skleněný pravidelný trojboký hranol má hmotnost 129,9 g. Jak vysoký je hranol, je–li délka hrany podstavy 2 cm a hustota skla je 2,5 g/cm3? (29,9 cm) 22. Přivaděč vody do nádrže má průřez tvaru rovnoramenného lichoběžníku o délkách základen 0,6 m a 0,9 m a hloubka přivaděče je 0,4 m. Kolik vody se jím při plné průtočnosti přivede za 1 minutu, teče-li voda rychlostí 1,6 m/s ? str. 24
Válec 1. Vypočítejte výšku válce, jehož objem V = 9,42 l , r = 10 cm. 2. Do naplněného sudu se vejde 500 litrů vody a má průměr 45 cm. Jakou má výšku? 3. Sud má tvar válce a výšku 1,2 m, průměr sudu je 60 cm. Plníme ho půllitrovou lahví až po okraj. Kolikrát budeme muset takovou láhev vylít do sudu než bude plný po okraj ? 4. Nádoba tvaru válce s průměrem dna 1,8 m obsahuje 22 hektolitrů vody. Do jaké výšky sahá voda? 5. Bazén má kruhovité dno s průměrem 6 m. Jak je hluboký jestliže se plnil po okraj 25 hodin a voda přitékala rychlostí 1130 litrů za hodinu? 6. Ze sudu tvaru válce vytéká dírkou voda rychlostí 3 cl za sekundu. Za kolik hodin se plný sud vyprázdní, jestliže má výšku 1,5 m a průměr 1 m. 7. Varný kotel tvaru válce má průměr podstavy 80 cm a hloubku 70 cm. Vypočítejte kolik litrů polévky se v něm dá uvařit pokud je naplněn 15 cm pod okraj. 8. Vejde se do hrnečku tvaru válce s průměrem dna 8,5 cm a výškou 9 cm půl litru mléka? 9. Vypočtěte přibližnou hmotnost zlaté olympijské medaile, má-li průměr 6 cm a průměrnou tloušťku 3 mm. Hustota zlata je 19 290 kg/m3. 10. Jakou hmotnost má 1 000 m měděného drátu o průměru 5 mm, je-li hustota mědi 8,8 g/cm3? 11. Kolik hl vody se vejde do válce, jehož plášť rozvinutý do roviny má tvar čtverce. Obsah pláště je 81dm2. (0,6 hl) 12. Vypočtěte rozměry válcové nádoby o objemu 5 l, je–li její výška rovna čtyřnásobku poloměru podstavy. 5 13. Kolik litrů vody je v nádobě tvaru válce, jejíž průměr je 28 cm a výška 60 cm, sahá–li voda do 6 výšky? (30,8 l)
Jehlan, kužel 1. Pravidelný čtyřboký jehlan má objem 212 cm3 a podstavnou hranu a = 7,2 cm. Vypočtěte jeho povrch. (v =12,3 cm, S = 236,16 cm2)
2. Vypočtěte objem a povrch pravidelného šestibokého jehlanu o podstavné hraně a = 1,8 m a tělesové výšce v = 2,4 m. (V = 6,7392 m3, S = 23,9 m2 ) 3. Vypočtěte objem a povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu , je-li stěnová výška vs = 12 cm a svírá s rovinou podstavy úhel 60°. (a = 12 cm, vt = 10,4 cm, V = 499,2 cm3, S=432 cm2) 4. Kolik m2 plechu je třeba na pokrytí věže tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li podstavná hrana 10 m, odchylka boční stěny od roviny podstavy je 68° a počítá-li se s odpadem 10%. (vs= 13,3 m, S = 292,6 m2) 5. Věž tvaru kužele má obvod podstavy 9,42 m a výšku 2 m. Kolik m2 plechu je třeba na pokrytí věže. (11,8 m2) 6. Strana kužele svírá s rovinou podstavy úhel 60°. Vypočti objem kužele, je-li jeho povrch 50 cm2. (r = 2,3 cm, v = 4 cm, V = 22,2 cm3)
7. Vypočti objem a povrch kužele, je–li úhel při vrcholu 64°20´ a průměr podstavy d = 24 cm. (v = 19,08 cm, s = 22,5 cm, V = 2878,8 cm3 , S = 1300,6 cm2 )
8. Objem kužele je 1 000 cm3, obsah osového řezu je 100 cm2. Vypočti povrch kužele. (r = 9,55 cm, s = 14,2 cm, S=712,6 cm2 )
Koule 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Vypočítejte objem a povrch koule o poloměru 3 cm. Vypočítejte povrch a objem polokoule o průměru 20 cm. Koule má objem 5 litrů. Vypočítejte její průměr. Jaký objem má koule o povrchu 10 m2. V lehké atletice při vrhu koulí používají muži kouli o hmotnosti 7,5 kg a ženy 5 kg. Hustota oceli je 7800 kg/m3. O kolik mm je průměr koule pro muže větší než průměr koule pro ženy? (asi 15,4 mm) Objem duté koule je 3 432 cm3. Jaký je její vnitřní průměr, když tloušťka stěny je 3 cm? (8 cm)
str. 25
Komolý jehlan, komolý kužel
– vzorce v příloze – náčrt, obecné řešení, výpočet
1. V pravidelném čtyřbokém komolém jehlanu jsou dány podstavné hrany : a1 = 20 cm, a2 = 8 cm a tělesová výška v = 17 cm. Vypočti objem a povrch. (V = 3536 cm3 , S = 1473,68 cm2) 2. Vypočtěte objem a povrch pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu, jsou–li délky podstavných hran 10 cm a 5 cm. Plášť má obsah 540 cm2. (V=1038,3 cm3 , S=665 cm2)
3. Povrch komolého kužele je S = 7697 m2, průměry podstav jsou 56 m a 42 m. Určete jeho výšku a objem. (v = 24 m, V = 45565,7 m3)
4. Kolik plechu bude zapotřebí na otevřenou nádobu tvaru komolého kužele, jsou–li průměry podstav 30 cm a 18 cm, výška je 15 cm a počítá se 5% na odpad. (S = asi 1549 cm2) 5. Nádoba z plechu ve tvaru pravidelného komolého jehlanu má horní hranu 22 cm, dolní hranu 10 cm a výšku 8 cm. Vypočítejte hmotnost nádoby, když 1 m2 má hmotnost 13 kg. (96,2 g) 6. Jakou výšku má těleso tvaru rotačního komolého kužele, jsou-li poloměry podstav 4 m a 3 m, objem 465 m3? (12 m) 7. Povrch rotačního komolého kužele je S = 7 697 m2, průměry podstav jsou 56 m a 42 m. Určete výšku kužele. (24 m) 8. Budova má tvar komolého jehlanu s podstavou čtverce. Je vysoká 80 m. U země má šířku 100 m. Sklon zdí se zemí je 70°. Na střeše bude podlaha z mramorových desek o rozměrech 50 x 50 cm. Kolik mramorových desek bude zapotřebí? (7 056) 9. Mrakodrap má tvar kom. kužele. Dolní průměr je 60 m, horní 20 m. Obsah pláště je 12 811 m2. Vypočítejte kolik podlaží má budova, když jedno podlaží má výšku 3,7 m. (27 podl.) 10. Jak dlouho se vypouští bazén ve tvaru komolého kužele hluboký 2 m? Průměr bazénu na hladině je 10 m, průměr dna je 8 m. Voda vytéká rychlostí 15 litrů za sekundu. Kolik bude stát nátěr dna a stěn bazénu, když nátěr 1 m2 stojí 55 kč? (2 h 21 min, 6 245 kč)
str. 26
7. Funkce Pravoúhlý systém souřadnic Oxy 1. Narýsujte souřadnicový systém Oxy a pak body A[–1; 2]
B[2; –1]
2. Rozhodněte, ve kterém kvadrantu se nachází body A[0,2; 2 ] {𝑘𝑣𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑦: 𝐴: 1. , 𝐵: 3. , 𝐶: 4. , 𝐷: 2. }
C[0; –3]
B[–1; –5]
D[–1,5; 0]
C[2; –1]
D[–2; 3]
Funkce, definiční obor, obor hodnot, graf funkce 1. Určete, které z bodů A, B, C, D jsou body funkce: a) y
x2 4 x2
A[–2; –1]
B[7; 3]
C[–1; 1]
D[3; 5 ]
b) y
x 2 10 2x 3
A[0; 3 ]
B[4; 1,2 ]
C[1; 3]
D[2; 6 ]
c) y
x2 2 x2
A[–2; 1,5]
B[5; 3]
C[1; 3 ]
D[3; 11 ]
A[0; 2 ]
B[–1; 0]
C[2; 0]
D[–2; 3]
A[0; –6]
B[–2; 9]
C[2; –3]
D[4; 0]
B[–3; 0]
C[5; 0]
D[4; –1]
d) y x 2 x 2 3 x 12 e) y 2
f) y x 2 x 15 A[0; –15] 2. Určete obor hodnot H(f) funkce 2
a) y x 2 , je-li D( f ) 1; 2
b) y
5x 3 , je-li D( f ) 1;2 2
3x 2 , je-li D( f ) 2;4 4 U všech funkcí zjistěte funkční hodnotu v bodě f (–1) a f (1) 2x 4 a) y f (1) 0,4 / f (1) 1,2 5
c) y 3.
2 b) y 2.( x 5) 8
c) y
3 2x 1
f (1) 1/ f (1) 3
2 d) y ( x 3) 4
e) y f)
f (1) 64 / f (1) 24
27 2 ( x 2)3
y ( x 2)3 1
g) y ( x 1) 9 2
1 1 x4 1 y ( x 2) 2
f (1) 0 / f (1) 12 f (1) 3 / f (1) 29 f (1) 2 / f (1) 28 f (1) 5 / f (1) 9
h) y
f (1) 0 / f (1) 0
i)
1 f (1) / f (1) 1 9
j)
y
3 2 x2
f (1) 5 / f (1) 1
str. 27
4. Zjisti, zda u všech zadaných funkcí patří číslo 10 do oboru hodnot. 10 H ( f ) nebo 10 H ( f ) Definiční obor u všech funkcí : D(f) 2; x3 2 2x 4 b) y 5
a) y
2 c) y 2.( x 5) 8
d) y
3 2x 1
2 e) y ( x 3) 6
f)
y
128 8 ( x 2) 3
3 g) y ( x 1) 2 2 h) y ( x 1) 9
i) j)
11 1 x4 1 y 9 ( x 1) 2
y
10 H ( f ) 10 H ( f ) 10 H ( f ) 10 H ( f )
10 H ( f ) 10 H ( f ) 10 H ( f ) 10 H ( f ) 10 H ( f ) 10 H ( f )
3 10 H ( f ) 2 x2 Zjisti souřadnice průsečíků grafu funkce s osami x a y. x3 a) y X 3;0, Y 0;1,5 2
k) y
5.
b) y
2x 4 5
4 X 2;0, Y 0; 5
2 c) y 2.( x 5) 8
d) y
2 1 x 1
2 e) y ( x 3) 4
f)
y
16 2 ( x 2)3
X13;0, X 2 7;0, Y 0;42 X 1;0, Y 0;1 X1 5;0, X 2 1;0, Y 0;5 X 4;0, Y 0;4
3 g) y ( x 2) 1
X 1;0, Y 0;7
h) y ( x 1) 9
X1 2;0, X 2 4;0, Y 0;8
2
i)
y
1 1 ( x 1) 4
X1 2;0, X 2 0;0, Y 0;0
j)
y
1 ( x 2) 2
1 X není ,Y 0; 4
4 2 x2
X 0;0, Y 0;0
k) y
str. 28
str. 29
6. Určete D(f) – definiční obor funkce: Nutno znát řešení lineárních nerovnic v podílovém a součinovém tvaru, řešení kvadratických nerovnic!!! x6 a) y [D(f) = R\4] 6 x 24 1 b) y 2 [D(f) = R\3, –8] x 5 x 24 c) y x 2 8 x 33 1 d) y 2 x 8x 9
[D(f) = R\(–3,11)]
e) y x 2 x 30
[D(f)=R\ (–5,6)]
[D(f)= R\ –9, 1]
1 x 1 x5 g) y x2 f) y
[D(f)= (–,1) ] [D(f)=R\(–5, 2]
Lineární funkce 1. Funkce f je dána rovnici 4x – 2y + 10 = 0 a) převeďte rovnici funkce f na tvar: y = ax + b b) vypočítejte hodnoty funkce f v bodech 2; 0 a –1 c) doplňte následující tabulku :
x y
3
0,5 7
1
d) Vypočítejte souřadnice průsečíku grafu funkce f se souřadnicovými osami (pokud existují) e) Sestrojte graf funkce f f) Určete pro která x R má funkce f nezáporné hodnoty. 2. Přiřaďte každému bodu správnou variantu odpovědi.
A[–2;–1] B[–2;0] C[2;1] D[0;–1] E[2;–1] F[–2;1]
1. 2. 3. 4. 5. 6.
leží v I. kvadrantu leží v II. kvadrantu leží v III. kvadrantu leží v IV. kvadrantu leží na ose x leží na ose y
A B C D E F
3. Funkce je určena rovnicí y = – 2x + 3. 1 Vypočtěte funkční hodnoty f(0); f(1); f(3); f(10); f(–1); f(–3); f(–12); f(− 2); f(–1,5); f(0,5). 4. Určete koeficienty a, b a zapište názvy funkcí určených rovnicemi, uveďte, zda je funkce určená danou rovnicí rostoucí, klesající nebo konstantní: a) y = 3x + 5 b) y = 0,5x c) y = –2 d) y = 1 – 3x e) y = 6x – 1 f) y = –3x + 2
g) y = –0,5x
h) y = 5
i) y =
2 x+1 3
5. Rovnice funkcí převeďte na tvar y = ax + b, zapište koeficienty a, b: a) 2x + y = 0 b) x – y = 0 c) y – x + 5 = 0 y –1=0 3 4 g) y – 5 = 0 3
d)
e) –3x + y = 1 3
h) 5 + 4 y =0
6. Sestrojte grafy funkcí určených rovnicemi: a) y = x b) y = – x d) y = x – 1 e) y = – x + 1
f) 6x + 4y = 12 i) y + 2 = 3x c) y = x + 1 f) y = – x – 1 str. 30
7. Sestrojte grafy funkcí nebo jejich částí pro uvedené definiční obory. K danému definičnímu oboru určete měřením v grafu obor hodnot funkce H(f). Uveďte, zda je funkce rostoucí, klesající nebo konstantní. Funkce jsou určeny rovnicí: a) 𝑦 = −𝑥 ; 𝐷(𝑓) = (−∞; 0〉 b) 𝑦 = 𝑥 + 2 ; 𝐷(𝑓) = 𝑅 𝑥 c) 𝑦 = 2 ; 𝐷(𝑓) = (0; 4〉 d) 𝑦 = 3 − 𝑥 ; 𝐷(𝑓) = 〈−3; 1) 8. Sestrojte grafy funkcí nebo jejich částí pro uvedené definiční obory. K danému definičnímu oboru určete měřením v grafu obor hodnot funkce H(f). Uveďte, zda je funkce rostoucí, klesající nebo konstantní. Funkce jsou určeny rovnicemi: a) y = 3x – 1 D( f ) 5;5 b) y = – 2x + 2 D( f ) 3; 2x 1 D( f ) ; 3 c) y 5 x 10 D( f ) 1;4 d) y 2 x3 e) y f) y 1,5 x D ( f ) R D( f ) R 4 9. Zjistěte výpočtem, jaká je vzájemná poloha bodů a grafů funkcí určených rovnicemi, (zda bod je bodem 3 x funkce): A3; 0 B–3; 1 C6; –0,5 y 4 10. Zjistěte výpočtem, jaká je vzájemná poloha bodů a grafů funkcí určených rovnicemi, (zda bod je bodem x funkce): A10; 6 B2; 2 C0,5; 3,5 y 1 2 11. Zjistěte výpočtem, jaká je vzájemná poloha bodů a grafů funkcí určených rovnicemi, (zda bod je bodem funkce): 𝑦 = 4𝑥 − 5 A[0; 3] B[1; –1] C[–2; –13] D[–3; 17] 12. Zjistěte výpočtem, jaká je vzájemná poloha bodů a grafů funkcí určených rovnicemi, (zda bod je bodem funkce): y = 0,5x + 1 A[2; 3] B[–2; 7] C[0; 1] 13. Zjistěte výpočtem, jaká je vzájemná poloha bodů a grafů funkcí určených rovnicemi, (zda bod je bodem funkce): y = – x + 3 A[–1; 7] B[–2; 7] C[1; 4] 14. V rovnici funkce určete: a) číslo a tak, aby bod M 1, –1 ležel na grafu funkce určené rovnicí y = ax + 4 𝟑𝒙 b) číslo b tak, aby graf funkce určené rovnicí 𝒚 = 𝟐 + 𝒃 procházel bodem P–4, 2.
15. Funkce je určena rovnicí y = ax + 6. Vypočtěte číslo a tak, aby graf funkce procházel daným bodem: a) G 5; 11 b) H –25; 9 c) J 0,5; –5 d) M 2; 0 16. Bod A [1; 5] je bodem funkce y = ax + 4. Vypočítejte koeficient a. 17. Bod Z [2; 5] je bodem funkce y = 3x + b. Vypočítejte koeficient b. 18. Bod X [4; 7] je bodem funkce y = ax – 3. Vypočítejte koeficient a. 19. Bod M [8; 12] je bodem funkce y = ax + 4. Vypočítejte koeficient a. 20. Bod A [–1; 5] je bodem funkce y = – 3x + b. Vypočítejte koeficient b. 21. Zjisti rovnici lineární funkce, která je zadána dvěma body A[2; 3], B[–2; 4] 22. Zjisti rovnici lineární funkce, která je zadána dvěma body X[0; 8], Y[–4; 0] 23. Zjisti rovnici lineární funkce, která je zadána dvěma body M[5; 5], N[1; 1] 24. Vyjádřete následující závislosti jako funkce a zapište je rovnicí funkce: a) Závislost obvodu čtverce na délce jeho strany. b) Závislost délky drátu na teplotě, jestliže se drát o délce 120 m při ohřátí o 1 °C prodlouží o 0,014 m. c) Závislost stavu krmiva na čase, jestliže se ze zásoby 10 tun denně zkrmí 280 kg. d) Závislost ujeté dráhy vlaku na čase, jestliže při výjezdu ze stanice měl již za sebou ujetých 60 km a dále jel průměrnou rychlostí 30 km/h. 27. V zemědělském závodě je zásoba 2 000 litrů nafty. Denně se z ní pro provoz vozidel spotřebuje 150 litrů. Zapište rovnicí závislost stavu zásoby nafty na počtu dní. Sestrojte graf této závislosti. Z grafu určete: Na kolik dnů nafta vystačí? Jaká bude zásoba po osmi dnech? Kolikátý den musí být objednána nová nafta, objednává-li se při poklesu zásoby na čtvrtinu původního množství? 28. Průměrná spotřeba Škoda Felície je 7 litrů benzinu na 100 kilometrů. Před cestou má řidič v nádrži 38 litrů. a) Sestavte rovnici závislosti množství benzinu v nádrži (v litrech) na počtu ujetých kilometrů. b) Po kolika ujetých kilometrech zbývá řidiči v nádrži ještě 5 litrů? str. 31
Kvadratické a mocninné funkce 1. Stanovte průsečíky grafu funkce s osami x, y 2 2 a) y 2 x 9 x 5 b) y 2 x 19 x 10 2 c) y 10 x 7 x 3
2 d) y 5x 9 x 2
e) y x 3x 2
f) y x x 30
2
2
2. Zjistěte průsečíky grafu funkce s osami x, y, pak upravte rovnici kvadratické funkce tak, abyste určili souřadnice vrcholu. Poté graf funkce načrtněte. a) y = x2 – 10x + 28 b) y = x2 – 8x + 18 2 c) y = x + 6x + 5 d) y = x2 + 14x + 44 e) y = x2 – 4x + 3 f) y = x2 + 8x + 12 3. Načrtni graf funkce a u všech funkcí zjisti funkční hodnotu f(2) a průsečík s osou y y ( x 1) 2 2
y ( x 5)3 2
y
1 x2
y
1 3 x2
4. Načrtni graf funkce a u všech funkcí zjisti funkční hodnotu f(1) a průsečík s osou y 1 1 y ( x 2)3 4 y ( x 4) 2 3 y y 1 2 x 3 ( x 5) 5. Načrtni graf funkce a u všech funkcí zjisti funkční hodnotu f(–1) a průsečík s osou y 1 1 y ( x 2)5 1 y ( x 1) 2 2 y y 2 x2 ( x 1) 2 6. Načrtni graf funkce a u všech funkcí zjisti funkční hodnotu f(–3) a průsečík s osou y 1 1 y ( x 2)5 y ( x 1) 2 1 y y 3 x ( x 1) 2 7. Vypočítejte souřadnice průsečíků kvadratické a lineární funkce: {A[4; 3] B[2; −1] } a) 𝑓1 : 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 𝑎 𝑓2 : 𝑦 = 2𝑥 − 5 2 {A[1; 0] B[−5; 12] } b) 𝑓1 : 𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 − 3 𝑎 𝑓2 : 𝑦 = −2𝑥 + 2 2 {A[2; 0] B[0,25; −3,5] } c) 𝑓1 : 𝑦 = 8𝑥 − 16𝑥 𝑎 𝑓2 : 𝑦 = 2𝑥 − 4 2 {A[−3; 12] B[1; 0] } d) 𝑓1 : 𝑦 = 𝑥 − 𝑥 𝑎 𝑓2 : 𝑦 = 3 − 3𝑥 2 {A[−2; 3] B[1; 0] } e) 𝑓1 : 𝑦 = 𝑥 − 1 𝑎 𝑓2 : 𝑦 = −𝑥 + 1 2 {A[1; 1] B[−1; −1] } f) 𝑓1 : 𝑦 = −𝑥 + 2 𝑎 𝑓2 : 𝑦 = 𝑥
Exponenciální funkce 1. Na základě náčrtku grafu exponenciální funkce rozhodni o pravdivosti tvrzení a) 0,5–2 >1 {ano} b) 50,25 <1 {ne} c) 0,60,3 <1 {ano}
d) 3,5–0,5 >1 {ne}
6 , 24
6 , 24
3 7 e) >1 {ne} f) >1 {ne} 7 3 2. Využijte vlastností exp. fce a porovnejte exponenty p a r – načrtněte graf p
2 2 a) [pr] b) 13 13 3. Pro která a je exp. funkce rostoucí? 1,5p
1,5r
r
[pr]
c) 0,12p 0,12r
[pr]
3a 1 1 y { a ; } 2 3 4. Pro která a je exp. funkce klesající? x
6a y 5
x
{ a 6;1 }
str. 32
5. Řešte exponenciální rovnice, proveďte zkoušku 1 1 1 (3 x ) 3 . 7 x. .49 x 1 3 27 7 1 8 x. .64 x 1 8
1 (2 x ) 4 .0,25 2
(4 x ) 2 .0,25 16
6. Řeš exponenciální rovnice, a) 2x+2 – 2x = 24 c) 121x = 22 + 9.11x e) 32x+1 – 3. 3x+2 = 3x – 9 g) 25x = 0,2 – 4. 5x–1
25.5 x.
1 2 x. .4 x 1 8
1 1 53
(5 x ) 3 .0,2
proveďte zkoušku (použijte substituci např.: 2x = y) [x = 3] b) 52x – 3.5x = 10 [x = 1] d) 2x+3 – 112 = 2x [x1 = –1, x2 = 2] f) 4x + 7. 2x–2 = 0,5 [x = –1]
Logaritmická funkce
1 25
[x = 1] [x = 4] [x = –2]
rovnice y = logax, a R+ – 1, D(f) = (0,+),
H(f)= R
1. Určete logaritmus a) log 1 6
1 36
c) log 7 1
b) log 12 144
[ a) 2 b) 2 c) 0 2. Určete logaritmus
1 12
f) log 49 7
e) log 1 125 5
d) –1 e) –3 f) 0,5 ]
a) log 100 log 4 16
b) log 9 81 log 2 16 [6]
[4]
d) log 12 144 log 3 27 [–1] g) 5 log 7
d) log 12
e) 2 log 0,01 log 8
c) log 10000 log 5 25 [2]
1 [–6] 64
f) log 5
1 1 3 log 1 [12] 125 32 2
1 3 log 1 25 [–11] 7 5
3. Určete číslo x, y, a (definice logaritmu) b) log 2 x 3
c) log a
f) log a 8 3
g) log11 11 = y
h) log x = –3
k) log a 8 2
l) log
3
x2
d) log 3 x 1
1 4 16
a) log5 x = 2
m) log 3 x
e)
1 y 100 10
i) log 1 1 2
log a
j) log a
n)
1 2 16 log a
1 1 1 1 1 1 =0,125 c) =0,5 d) e) 10 f) g) h) i) 2 j) 4 k) 8 2 3 2 2 1000 4. Určete definiční obor logaritmické funkce: x 2x a) y = log [ D( f ) ;0 ] b) y = log 5 5 4 4 c) y = log [ D( f ) 1; ] d) y = log (2 x) x 1 3 2x 3 5 2x 3 e) y = log [ D( f ) ( , ) ] f) y = log 2x 5 2 2 5 x 2 g) y = log [ D( f ) ;0 1; ] h) y log x 2 x 1 x 1 5. Načrtni graf log. funkce, zjisti zda body A, B, C leží na grafu funkce
[ a) 25 b)
1 3 1000
1 2 25
1
8 l) 3 m) 3 n) 5 ] [ D( f ) 0; ] [ D( f ) R ] [ D( f ) 1,5; ] [ D( f ) R ]
a) y log 3 x 2
A[1; –2]
B[9; 0]
C[27; 2]
{,,}
b) y log 2 ( x 2)
A[1; –2]
B[4; 1]
C[10; 3]
{,,}
c) y log 4 ( x 12) 1 d) y log( 2 x 10) 3
A[-20; 2] A[45; –1]
B[4; 1] B[0; –2]
C[52; 2] C[–4,5; –3]
{,,} {,,}
str. 33
6. Zjisti průsečíky logaritmické funkce s osami x, y a) y log 3 x 1
{ X[3; 0]
Y[neex.] }
b) y log 2 ( x 8)
{ X[–7; 0]
Y[0; 3] }
{ X[–2; 0] Y[0; 1] } c) y log 2 ( x 4) 1 7. Na základě grafu log. funkce rozhodni o pravdivosti tvrzení a) log2 7 log2 6 {ano} b) log0,5 3 log0,5 4 {ne} c) log0,2 0,75 0 {ne} d) log5 8 log5 14 {ano} e) log3 1,1 0 {ano} 8. Na základě grafu log. funkce zapiš vztah pro proměnné x , y a) log4 x log4 y b) log0,3 x log0,3 y {x y} c) log x log y {x y} 9. Určete logaritmus výrazu (zlogaritmujte) 2a a) 3xy [ log 3 log x log y ] b) [ log 2 log a log b ] b 3 a4 a4 c) [ 4 log a 3 log b ] d) [ 4 log a 1 log x ] 3 b 3 2 x e)
.c 3 .x
{x y}
[ log 3 log c log x log 5 1 log 6 ]
5. 6
2
10. Odlogaritmujte: a)
log a 5 log x log 7
a.x 5 [ log ] 7
b)
1 log 7 3 log x 2 log y log 5 log z 2
7 x3 y 2 [ log ] 5 z
c)
3 1 log 8 9 log 8 x log 8 6 log 8 y log 8 z 5 3
3 5 [ log 8 54. x ] y.3 z
11. Vypočítejte (nejprve odlogaritmujte, použijte věty o logaritmech) a) log 6 4 log 6 9
[2]
d) log 3 54 log 3 2 log 3 4 [3] f) log 5 2 log 5 500 log 5 8 [3] 12. Vyřešte rovnice: a) 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔5 4 = 1
[x = 20]
c) 𝑙𝑜𝑔3 2 + 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = 2 e) 𝑙𝑜𝑔8 𝑥 − 5 = 𝑙𝑜𝑔1 8
[x = 4,5] [x = 64]
2
b) log 2 40 log 2 5 [3]
c) log 40 log 25
e) log 2 6 log 2 12 [–1]
f) log 2 25 log 2 100 [–2]
5 9 1 3 log 1 log 1 3 9 3 5 3 5
g) 2 log 1
b) 𝑙𝑜𝑔7 𝑥 − 4 = 𝑙𝑜𝑔1 16
[3]
[–2] [x = 49]
4
d) 𝑙𝑜𝑔2 10 − 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = −2 [x = 40] 1 f) 𝑙𝑜𝑔𝑥 − 3 = 𝑙𝑜𝑔 10 [x = 100]
str. 34
Goniometrické funkce 1. Zjistěte z tabulek bez použití kalkulátorů: sin 225° = cos 135° = sin (–1080°) = cos 855° = 3 5 sin = cos = 2 6 7𝜋 4𝜋 𝑠𝑖𝑛 (− 6 ) = 𝑐𝑜𝑠 (− 3 ) = 2. Vypočtěte bez použití kalkulátorů
tg 135° = tg (–45°) = tg = 2 9𝜋 𝑡𝑔 (− 4 ) =
cotg 225° = cotg (–765°) = 19 cotg = 2 7𝜋 𝑐𝑜𝑡𝑔 (− 4 ) =
sin225°.cos(–45°) .sin – sin 240°.cos135°+
6 4 cos135°.sin225° + cos210°.sin120°– cos240°. sin150°= sin30°.cos30° –
[0] [0] [ 3 3 7) ]
2 sin45°+ tg(–60°) – 6cos360°=
4
3.(cos45°).2 – (sin60° + tg30°) – 2.cos + sin2𝜋 = 2 3. Vypočtěte bez použití kalkulátorů tg 45°+ cotg 300°+ tg 210°+ cotg 225°+ tg 135°=
[
7 ] 12
[1] [–2 – 3. 3 ] [2,5]
3.tg 120°+ cotg 135°– 2tg 225°+ 2cos 300°= tg 210°. °cotg 210°– sin 240°. tg 240°= 5 3 5 7 tg cot g tg cot g tg 4 3 4 4 6
[1]
Vztahy mezi goniometrickými funkcemi
– vzorce v tabulkách
1. Zjednodušte výrazy: a) 1 – cos2x . tg2x =
c) (sinx – cosx )2 + 2sinx.cosx – tgx . cotg = 5 sin 2 x e) [–5(1+cosx) cos x 1 cos x g) 2tgx cos 2 x 1 sin 2 x [2] sin x 2. Zjednodušte výrazy: a)
2tgx 1 tg 2 x
cot g 2 x 1 c) 1 tg 2 x 1 tg 2 x e) 1 tg 2 x
[0]
sin x sin 3 x .tgx f) cos 3 x cos x
[–1] [2sin2x] [–1]
[sin2x]
b)
cot g 2 x.tgx tg 2 x = tgx
1 sin 2 x
[cotg2x]
d) tg x. cos x 1 cos x
[2sin2x]
[cos2x]
f)
1 cos 2 x sin 2 x g) 1 cos 2 x sin 2 x
[tgx]
1 sin x cos 2 x cos x sin 2 x
[–tgx]
i)
1 cos 2 x d) c) tg2x . cos2x + 1 – cos2x =
b) tg 2 x
[cos2x]
cos 2 x sin 2 x [–sinx] k) cos x sïnx cos x
2
2
2
sin x 1 cos x 1 cos x sin x
[
2 ] sin x
1 cos 2 x cos 2 x 1 2 1 [tg2x] h) 2 2 1 tg x 1 cot g x cos x (cos x.tgx) 2 1 j) [–1] cos 2 x l)
1 cot g 2 x 1 tg 2 x
[cotg x]
str. 35
sin 2 x 1 cos 2 x m) . cot gx 1 cos 2 x sin 2 x
[2]
Goniometrické rovnice 1.
sinx + 2 = 3 – sinx
2.
4tgx = tgx +
3.
–cosx – 4 = 3cosx
[180° + k.180° nebo + k. ]
4.
cos(–x) = 3cosx + 2
[135° + k.360°, 225° + k.360°]
5.
3cosx = 2sin2x
[60° + k.360°, 300° + k.360°]
6.
2sinx = 2sin2x – 3cos2x
[90° + k.360°, 217° + k.360°, 323° + k.360°]
7.
sin 2x = (sinx – cosx)2
[15° + k.360°, 75° + k.360°]
8.
tgx +
9.
2sin2 x + 7cosx –5 = 0
[60° + k.360°, 300° + k.360°]
10.
2cosx = 1+ 4cosx
[
11.
cos2x – cosx = 0
[0°, 90°, 270° + k.360°]
12.
cos2 x – 2sinx +2 = 0
[90° + k.360°]
13.
6sin2x + cosx –5 = 0
[60°, 300°, 109°, 251° + k.360°]
14.
3
cos x 2 1 sin x
2.sin x 2 sin x. cos x 0
[30° + k.360°, 180° + k360°] [
k nebo 30° + k.180°] 6
[60° + k.360°, 300° + k.360°]
2 4 2k , 2k ] 3 3
[0° + k.180°, 45° + k.360°, 315° + k.360°]
15.
cos x.tgx cos x 0
[90° + k.180°, 135° + k.180°]
16.
cos 2 x 7 cos x 2 8
[180° + k.360°]
17.
sin 2 x 3 sin x 2 2
[90° + k.360°]
str. 36
8. Posloupnosti 1. Určete člen posloupnosti a2; a3; a10: ∞ 𝑛2 −𝑛3 ) 𝑛−1 𝑛=2
[–4; –9; –100]
𝑎𝑛 = (
𝑛
2. Určete první 3 členy posloupnosti: (2𝑛 + 4 )
[2,25; 4,5; 8,75]
3. Určete kolikátý člen posloupnosti má hodnotu 10. a) (2𝑛 − 6)
b) (
𝑛2 −5 2
c) (𝑛2 − 5𝑛 + 16)
)
[a)8; b)5; c) 2; 3]
4. Vypočtěte hodnoty daných členů posloupnosti dané rekurentně: 1 a n 1 a n 2 2
a1 2
a2; a3; a4 = ?
[–3; –0,5; –1,75]
an 2an 1 1
a3 7
a1; a5 = ?
[2,5; 25]
an2 3an1 an
a3 1; a4 4
a1; a5 = ?
[20; 13]
Aritmetická posloupnost
(AP) – je dána 1. členem a diferencí – diference (d) – rozdíl dvou po sobě jdoucích
členů každý následující ( předcházející) člen je o d větší (menší)
1. V aritmetické posloupnosti určete prvních 5 členů je-li dáno: a) a1 = 5 ; d = 3 [5; 8; 11; 14; 17] b) a3 = –6 ; d = 8 [–6; 2; 10; 18; 26] c) a2 = 1,5 ; d = –0,3 d) a4 = 5 ; a9 = 1,5 e) a7 = 2,2 ; a14 = –1,3
[1,5; 1,2; 0,9; 0,6; 0,3] [7,1; 6,4; 5,7; 5; 4,3] [–0,8; –0,3; 0,2; 0,7; 1,2]
2. Určete 10. člen v AP je-li dáno: a1 = –20, a20 = –67,5 3. V AP je dáno : a) a12 = 10, d = –2 b) a18 =4, d= –
1 5
c) a14 = 3, a23 =21
[−42,5]
určete první 4 členy [32, 30, 28, 26] určete a8 , a33
[a33= 1
určete S15.
[S15 = –135]
a8 = 6]
4. V aritmetické posloupnosti je : a1 = 6, S10 = 195. Určete a10, d, a31
[a10 = 33, d = 3, a31 = 96]
5. V aritmetické posloupnosti je : a1 = 6, S10 = 195. Určete a10, d, a31
[a10 = 33, d = 3, a31 = 96]
6. Vypočítejte součet členů aritmetické posloupnosti, když je dáno: a) a4 = 2,9 a10 = 7,1 S15 = ? [85,5] b)
a3 = 29
a11 = 49
S5 = ?
[145]
c)
a1 = –14
a6 = –15
S10 = ?
[–149]
d)
a6 = –20
a16 = –60
S20 = ?
[–760]
7. Vypočítejte S8, když je dáno: a) a8 = 5,4 a4 = 2,6 (23,6) b)
a7 = –100 a9 = –130 (–500)
str. 37
8. Vypočítejte a) S10, když je dáno: a3 + a6 = 6 b) c)
S11, když je dáno: a1 + a3 = 5 S5, když je dáno: a1 + a5 =30
a5 + a7 = 0
[S10 = 10]
a4 + a8 = 1 a3 + a4 =36
[S11 = 5,5] [S5 = 75]
9. Kolik členů posloupnosti nám dá součet Sn , když známe: a)
Sn = 28
a2 = 2
b)
Sn = 39,2
a3 = 4,5
c)
Sn = 0
a8 = 0
a5 = 32
[n = 4]
a8 = 10
[n = 7]
a10 = 1
[n = 15]
10. V AP platí: d = –12, an = 15 Určete, kolik prvních členů má součet 456.
[n=8] 247 ] 6
11. Vypočtěte součet všech členů konečné AP :
2 5 2 , ,1,.......,3 . 3 6 3
12. Kolik prvních členů AP dává součet
a) 250, je-li a3 = 5, d = 1? b) 87, je-li a5 = 22, a6 = 27
[n = 20] [n = 6]
c) 130, je-li a1 = 4, d=2
[n = 10]
[n = 19, S19 =
13. Mezi čísla 7 a 51 vložte tolik čísel, aby vznikla AP. Součet daných a vložených čísel je 348. Určete vložená čísla. [a1 = 7, d = 4, vložená čísla: 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47] 14. V devítičlenné aritmetické posloupnosti je prostřední člen 25 a součet dvou posledních je 85. Určete součet všech členů posloupnosti. [225] 15. Vypočtěte součet všech sudých dvouciferných čísel. [2430] 16. Vypočtěte součet všech lichých trojciferných čísel. [247 500]
Geometrická posloupnost
GP : je určena prvním členem a kvocientem q – kvocient – podíl dvou po sobě
jdoucích členů, každý následující (předcházející) člen je q krát větší (q krát menší)
1. V GP je dáno: a1 =16, q =
1 1 , an = . Určete n, Sn. 2 8
[n = 8, S8 = 31 7 ] 8
2. a2 = 0,3 a4 = 0,108 Vypočítejte S5
[S5 = 1,1528]
3. a2 = 1,2 a5 = 0,0096 Vypočítejte S3
[S3 = 7,44]
4. a1 = –10 a4 = 80 Vypočítejte S4
[S4 = 50]
5. Zjisti a1 a q pokud platí: 2a1 – a3 = 20
2a2 – a4 = –40
[a1 = –10 q = –2]
6. a1 = 1 a4 = 0,125 Kolik členů dává součet Sn = 1,75
[n = 3]
7. a3 = 4,5 a6 = 121,5 Kolik členů dává součet Sn = 20
[n = 4]
8. a2 = 110 a4 = 13310 Kolik členů dává součet Sn = 120
[n = 2]
9. V GP platí :
a) a1 + a2 + a3 =35
a4 + a5 + a6 = 280 Urči a1, q.
[a1 = 5, q = 2]
b) a2 – a4 = 60
a1 – a3 = 15 Určete prvních 5 členů.
[q = 4, a1 = –1, –4, –16, –64…]
c) a3 – a1 +16 = 0
a4 – a2 +48 =0 Vypočti S3.
[a1 = –2, q = 3, S3 = –26]
postup řešení: každý člen vyjádříme pomoci 1. členu a kvocientu q, řešíme pak soustavu rovnic o dvou neznámých
10. Mezi čísla
2 a 162 vložte 4 čísla tak, aby s danými tvořila po sobě jdoucí členy GP. [2, 6, 18, 54] 3 str. 38
11. První člen šestičlenné GP je 5, poslední 160. Vypočtěte součet členů GP.
[315]
1 a5 = 0,27, q= – , určete a8 . 3
[a8 = –0,01]
b)
a4 = –16, a5 = 32, určete prvních 5 členů
[2, –4, 8, –16, 32]
c)
a1 = 6, q = 0,25, určete S4.
[S4= 255 ]
12. V GP je dáno: a)
32
d)
a1 = 9, q = 0,1, určete a8, S5.
[a8 = 9.10–7, S5 = 9,9999]
e)
a2 = –12, a5 = 96, určete q, a8, S6 .
[q = 2, a8 = –768, S6 = 378]
13. GP tvoří 5 čísel předposlední člen je 5 a prostřední 10. Vypočtěte součet prvních tří členů. [70]
Užití GP, složené úrokování 1. Počet obyvatel města vzrostl za 12 let ze 75 000 na 94 800. O kolik % se průměrně zvyšoval za jeden rok? 2. Původní cena stroje byla 800 000 Kč. Jakou cenu má stroj po 20 letech při 10% amortizaci? [97 262 Kč] 3. Na účtu s 6% úrokem máme uloženo 10 000 Kč. Na účet již nebudeme nic ukládat ani vybírat. a) Kolik Kč bude na účtu za 5 let?
[13 382Kč]
b) Za kolik let se částka 10000 Kč zdvojnásobí?
[asi 12 let]
c) Na kolik % by se musel vklad uložit, aby se zdvojnásobil za 5 let?
[p=14,87%]
4. Délky hran kvádru tvoří po sobě jdoucí členy geom. posloupnosti. Nejkratší hrana měří 2 cm. Objem kvádru je jeden litr. Zjisti délku ostatních hran. [2, 10, 50] 5. Na VŠ se hlásí 1920 uchazečů. Přijímací řízení se koná v několika kolech tak, že do dalšího kola postupuje vždy polovina uchazečů. Kolik musí škola uskutečnit kol, aby přijala pouze 30 uchazečů? [6] 6. Za kolik hodin se bakterie množící se dělením rozmnožily z 5 000 na 1 280 000. Počet bakterií se zdvojnásobí za hodinu. [8] 7. Ve vesnici se za dva roky zvýšil počet obyvatel ze 100 na 121. Jaký byl průměrný procentuální roční přírůstek? [10 %] 8. Roční úrok je 4 %. Úrokovací období jsou 3 měsíce. Za kolik let se nám vklad zdvojnásobí? [20,5 let] 9. Plat se zvýšil z 10 000 Kč na 13 400 za 6 let. Jaký byl roční % nárůst? 10. Za kolik let se Janovi zvýšil vklad z 250 000 Kč na 388 000 Kč, když roční úrok byl 3,5 % a zúročovaní období bylo 1 rok? 11. Za kolik let vzrostla cena tuny obilí z 3 000 Kč na 5 125 Kč, když bereme roční nárůst 5,5 %? [10 let] 12. Jaký byl roční úrok v bance, když za 3 roky jsme uspořili ze 50 000 Kč na 56 650 Kč? [5 %]
str. 39
9. Kombinatorika, statistika, pravděpodobnost Permutace
P(n) – permutace z n prvků, tvoříme uspořádané n–tice z n prvků. P(n)= n! P(5)=5!=5.4.3.2.1
1. Zjednodušte: n 2! 2 n 1! n! n 3! (n 1) ! n ! a) b) n 1! n 2! n! (n 2) ! (n 2) ! (n 1) ! n! (n 2) ! 2.(n 1) ! (k 6) ! c) d) (n 2) ! n! (n 1) ! (k 8) !(k 2 49) ( x 1) ! ( x 2) ! x.( x 2) ! ( p 1) ! ( p 5) ! ( p 5) ! e) f) ( x 2) ! x! ( x 1) ! ( p 1) ! ( p 4) ! ( p 7) ! 2. Vyřešte rovnice: (n 2)! ( x 6) ! 2 (n 1)! 2 x 16 x 28 5 a) b) c) [x = 2] ( x 4) ! n! (n 4)! n! ( n 2) ! 90 n 2 3n 2 [n = 5] e) d) [n = 10] n! (n 2)! 3. Kolika způsoby můžeme v knihovně seřadit 12 knih vedle sebe? 4. Kolik je pěticiferných čísel vytvořených z čísel 0, 1, 2, 3, 4 ? 5. Kolik různých přirozených trojciferných čísel větších než 30 lze sestavit z číslic 2, 4, 6 tak, aby se žádná číslice neopakovala? [4] 6. Kolik čtyřciferných přirozených čísel větších než 1 500 lze zapsat číslicemi 0, 1, 2, 3, jestliže se v čísle žádná číslice neopakuje? [12] 7. Kolik různých šesticiferných čísel lze zapsat číslicemi 0, 2, 3, 5, 7, 9, nemá–li se žádná číslice opakovat. [600] 8. Vypočtěte a) V(3,8) – P(4)= [312] b) 6V(2,10)– P(4) = [516] c) 2P(3) – 3V(3,4) – P(2) = [–62] 9. Zvětší–li se počet prvků o 2 , zvětší se počet permutací 110krát. Určete počet prvků. Proveď zkoušku. [9] 10. Zvětší–li se počet prvků n o dva, zvětší se počet permutací 72krát. Určete n. [n=7]
Variace
V ( k , n ) – variace k–té třídy z n prvků – tvoříme uspořádané k–tice z n prvků
𝑛!
. 𝑉 (𝑘; 𝑛) = (𝑛−𝑘)!
Kolika způsoby seřadíme do pětic písmena A, B, C, D, E, F, H? Kolik čtyřciferných lichých čísel vytvoříme z číslic 5, 6, 7, 8, 9 ? Kolik je trojciferných čísel vytvořených z číslic 0, 1, 3, 5 ? Kolika způsoby seřadíme ve trojicích tyto symboly ? Kolik sudých trojciferných čísel vytvoříme z číslic 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ? Kolik je dvojciferných čísel vytvořených z čísel 0, 1, 2, 3, 4 ? Kolik jednociferných až čtyřciferných přirozených čísel lze zapsat číslicemi 0, 1, 2, 3, jestliže se v čísle žádná číslice neopakuje? 8. 7 kamarádů si slíbilo, že si pošlou vzájemně pohlednice z prázdnin. Kolik pohlednic bylo posláno? (42) 9. Kolikerým způsobem může aranžérka vystavit vodorovně vedle sebe 5 různých šampónů? (120) 10. Bezpečnostní kód se tvoří z písmen K L M N O P Q a všech číslic. Kód obsahuje nejprve 3 písmena pak 3 číslice, žádný znak se neopakuje. Např.: KQM487. Kolik je variací bezpečnostního kódu? 11. Kolik různých přirozených dvojciferných čísel lze sestavit z číslic 1,5,7,9 tak, že v dvojciferném čísle nejsou žádné 2 číslice stejné? [12] 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
str. 40
12. Kolik jednociferných až pěticiferných čísel lze sestavit z číslic 0,2,4,5,8,9, jestliže se v čísle žádná číslice neopakuje. [1031] 13. Kolik prvků dá 30 variací druhé třídy? 14. Z kolika prvků lze vytvořit a) 72 b) 42 variací druhé třídy? [9, 7] 15. Variací druhé třídy z n prvků je šestkrát méně než variací třetí třídy stejného počtu prvků. Z kolika prvků jsou tyto variace?
Kombinace
K ( k , n ) Kombinace k–té třídy z n prvků – tvoříme k–prvkové podmnožiny z n prvků.
n n! K(k, n) = k k!(n k )!
n k
– kombinační číslo
1. Vypočtěte: a) K(2,8) + K(3,4) =
25 c) 3.K(3,5) + P(5) – = 2
[32]
[–150]
3 b) K(1,6) – K(4,4) + = [8] 2 13 12 23 25 d) 11 10 0 25
[12]
15 10 15 20 [10] 13 7 2 19 2. Při setkání absolventů školy jedné třídy se absolventi přivítali stiskem rukou. Kolik bylo celkem stisknutí rukou, jestliže se sešlo 26 absolventů? [325] 3. Kolik různých 5-členných sportovních družstev lze sestavit z 8 nejlepších sportovců třídy? [56] 4. Kolik šachistů se zúčastnilo turnaje, jestliže víme, že každý účastník sehrál s každým z ostatních po jedné partii a odehrálo se 55 partií. [11] 5. Kolik možností tahů je ve hře šťastných deset, kde se losuje 10 čísel z 80 ? [1 646 492 110 120] 6. V cukrárně mají 11 druhů zákusků, Jana chce koupit 7 různých kusů. Kolik má možností? [330] 7. V divadelním souboru je 10 mužů a 8 žen. V divadelní hře účinkují 3 muži a 2 ženy, kolik je možností obsazení hry? [3 360] 8. Na letní tábor přijelo 24 chlapců a 12 dívek. V soutěži mají vytvořit družstva, kde jsou 2 chlapci a jedna dívka. Kolik je možností? [3312] 9. Ve třídě je 18 chlapců a 9 dívek, do soutěže mají vytvořit družstvo složené ze 3 chlapců a 2 dívek. Kolik je možností? [29 376] 10. Kolikerým způsobem je možno sestavit 4člennou delegaci ze třídy o 10 chlapcích a 18 dívkách, mají–li být v delegaci a) 2 chlapci a 2 dívky [6885] b) 1 chlapec a 3 dívky [8160] c) 3 chlapci a 1 dívka [2160] 11. V kódu je na prvním místě jedno z písmen A,B,C nebo D. Na dalších dvou pozicích je libovolné dvojciferné číslo od 11 do 99. (Existují např. kódy A22, D45 apod.). Určete počet všech takto vytvořených kódů. [356]
e)
12. Z kolika prvků lze vytvořit a) 36 b) 66 kombinací druhé třídy? [9, 12] 13. Zmenší–li se počet prvků o 4, zmenší se počet kombinací druhé třídy z těchto prvků třikrát. Kolik je prvků? [10] 14. Zvětší–li se počet prvků o 4, zvětší se počet kombinací druhé třídy z těchto prvků o 30. Kolik je prvků? [6] 15. Zmenší–li se počet prvků o 5, zmenší se počet kombinací druhé třídy z těchto prvků o 25. Kolik je prvků? [8]
str. 41
Statistika 1.
V jedné firmě byl zpracován statistický soubor zaměstnanců. Statistickým znakem byla výše měsíčního platu. Hodnoty statistického znaku byly rozděleny do intervalů, u každého je dána četnost hodnoty znaku. Nejprve spočítej rozsah souboru. Vypočítejte kolik se celkem vydá měsíčně ve firmě za výplaty. Spočítej relativní četnosti jednotlivých hodnot, aritmetický průměr, modus a medián těchto hodnot.
2.
Graf znázorňuje četnost známek z matematiky. Zjistěte z grafu četnost statistického souboru, četnost jednotlivých známek, relativní četnost, aritmetický průměr, medián a modus.
3.
Klasifikaci žáků NS2 z matematiky vyjadřuje následující tabulka: a) Jaká je průměrná známka z matematiky ve třídě (zaokrouhlete na setiny)? b) Kolik chlapců má lepší známku z matematiky, než je průměrná známka dívek?
4. Ve škole byl zkoumány dva statistické soubory žáků. Statistickým znakem byla hmotnost. Hodnoty statistického znaku byly rozděleny do intervalů, u každého je dána četnost hodnoty znaku. Spočítej nejprve rozsahy souborů. Vypočítejte průměrnou hmotnost chlapců i dívek. Spočítej relativní četnosti jednotlivých hodnot, modus a medián hodnot.
četnost výše platu 34 9 000 - 17 000 25 17 000 - 25 000 3 25 000 - 33 000 1 33 000 - 41 000 1 41 000 - 49 000 2 49 000 - 57 000 5 57 000 - 65 000
Klasifikace Počet dívek Počet chlapců
1 1 1
2 3 2 5 7 7
4 4 4
5 0 1
tělesná hmotnost žáků kg chlapci dívky 1 25 40 - 50 11 40 50 - 60 119 36 60 - 70 72 15 70 - 80 42 10 80 - 90 18 2 90 - 100 3 1 100 - 110 1 0 110 - 120
str. 42
5.
V tabulce je uveden počet prodaných aut
Počet prodaných aut
v jednotlivých měsících. Vypočítejte relativní
leden
14
únor
30
březen
45
duben
70
květen
83
červen
74
červenec
60
srpen
32
září
25
říjen
18
listopad
10
prosinec
19
četnosti v jednotlivých měsících, průměrný měsíční prodej, modus a medián.
relativní četnost
%
celkem
6.
Každý student třetího ročníku si vybral právě dva ze čtyř nabízených seminářů A-D. Rozdělení studentů je uvedeno v tabulce. Čísla udávají počty žáků v jednotlivých dvojicích seminářů. (Například semináře A a současně C navštěvuje 16 studentů). V poslední sloupci jsou uvedeny celkové počty studentů v jednotlivých seminářích. a) Doplňte všechna prázdná políčka tabulky. Počet studentů A B C D Celkem b) Přístup do počítačové sítě mají všichni studenti, v seminářích kteří navštěvují seminář A nebo seminář B. Kolik A 16 0 studentů má přístup do počítačové sítě? B 10 15 7 32 c) Kolik studentů navštěvuje třetí ročníky? C 16 D 19
7. Ve statistickém šetření bylo zjišťováno, kolikrát ročně chodí studenti jedné třídy do knihovny. Výsledky byly zapisovány do tabulky četností návštěv. Z tabulky se ztratil poslední údaj o počtu studentů, kteří navštěvují knihovnu 6 až 8 krát za rok. Vypočítejte tento údaj, pokud víte, že aritmetický průměr vyšel přesně 2 návštěvy na jednoho studenta za rok. Počet návštěv Počet studentů 0–2 16 3–5 3 6–8
Průměrná hodnota 𝑥̅ =2
str. 43
8.
Statistickým souborem byli žáci dvou tříd. Statistickým znakem byl počet cigaret, které denně vykouří. Zjistěte průměrnou spotřebu cigaret na žáka, rel. četnost jednotlivých kategorií, pak zjistěte modus a medián. Vypočtěte kolik Kč prokouří průměrně student- kuřák za měsíc a rok, kolik kg dehtu projde jeho plícemi za rok. 1 cig = 10 mg dehtu.
9. Uvedený graf udává počty neprospívajících žáků a počty nedostatečných, které dostali na vysvědčení. I. II. III. IV. V.
Zjisti kolik žáků z celkového počtu ve škole neprospělo. (51) Zjisti průměrný počet pětek u těchto neprospívajících žáků. (4 nedostatečné) Zjisti medián. (3 nedostatečné) Zjisti modus. (1 nedostatečná) Kolik žáků mělo 4 a více nedostatečných? (16) Počty nedostatečných ve škole 16
15
14 12
10 10
9
Počet žáků 8 6 4
3
3
3
2
2
2
1
1 0
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0 11
12
13
Počet nedostatečných
str. 44
Pravděpodobnost 1. Jaká je pravděpodobnost že při hodu hrací kostkou padne třikrát za sebou šestka?
[0,005]
2. Jaká je pravděpodobnost že při hodu hrací kostkou padne číslo větší než 4?
[0,33]
3. V tombole je 1000 losů. Jakou pravděpodobnost výhry má účastník, který si koupil 5 losů?
[0,005]
4. Ve třídě je 15 dívek a 12 chlapců. Vylosujeme tři žáky. Jaká je pravděpodobnost že to budou: a) 2 chlapci a 1 dívka [0,34] b) 3 dívky [0,16] 5. Student ovládá učivo ČJ na 86%, M na 95%, Ek na 100%, OP na 90%. Jaká je pravděpodobnost, že: a) neprospěje z Ek [0] b) prospěje ze všech čtyř předmětů [0,74] c) neprospěje z M a zároveň z OP [0,005] d) prospěje z Ek a M a neprospěje z ČJ a OP [0,013] 6. Ve třídě je 20 žáků z toho 8 dívek. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném losování 5 žáků, a) budou samé dívky b) budou jen chlapci c) bude 1 dívka a 4 chlapci d) 2 dívky a 3 chlapci
[0,0036] [0,051] [0,255] [0,397]
7. Ve skupině je 7 dívek a 6 chlapců. Jaká je pravděpodobnost, že při výběru trojice a) budou aspoň dvě děvčata [0,44 + 0,12 = 0,56] b) budou aspoň dva chlapci [0,44] 8. Hodíme deseti mincemi. Jaká je pravděpodobnost, že spadnou všechny na stejnou stranu.
[0,00098]
9. Z 32 karet je 16 červených a 16 černých karet. Jaká je pravděpodobnost, že když vybereme 4 karty bude: a) 1 červená, 3 černé [0,25] b) 4 černé [0,05] c) 2 červené, 2 černé [0,4] 10. Ve skupině dětí jsou chlapci a dívky. Mezi dívkami jsou blondýnky a tmavovlásky, mezi chlapci taktéž blonďáci a tmavovlasí. Děti s jinou barvou vlasů se nevyskytují. Děti soutěží v běhu. Pravděpodobnost, že vyhraje dívka je 0,3. Pravděpodobnost, že vyhrají blonďaté děti je 0,4. Pravděpodobnost, že vyhraje blonďatý kluk je 0,3. Jaká je pravděpodobnost, že vyhraje tmavovlasá dívka? [0,2] Jaká je pravděpodobnost, že vyhraje nějaký chlapec?
[0,7]
Jaká je pravděpodobnost, že vyhraje tmavovlasé dítě?
[0,6]
Jaká je pravděpodobnost, že vyhraje tmavovlasý chlapec?
[0,4]
str. 45
10. Analytická geometrie Souřadnice bodu v rovině, délka úsečky 2 2 Délka úsečky AB: A = x , y B = x , y vhodný popis souřadnic bodů AB = xB x A yB y A A
A
B
B
Souřadnice středu úsečky AB: S[xs;ys]
xs
x A xB 2
ys
y A yB 2
1. Vypočtěte délku dané úsečky a souřadnice jejího středu a) AB, A3,4, B5,2,
{2. 2 , S 4,3}
b) CD, C3,0, D4,10 c) KL, K–4,–1, L5,–1
{ 101 , S3,5; 5} {9, S 0,5; –1}
d) PQ, P 3 ,–1, Q– 3 ,1 {4, S 0,0} 2. Vypočítejte vzdálenost dvou bodů S, P. Bod S je středem úsečky AB a bod P je středem úsečky CD. A[7;3], B[–5;–3], C[–4;7], D[0;1] {5} 3. Strany čtverce ABCD jsou rovnoběžné s osami xy. Jsou dány body A[–2;1], B[3;1]. Vypočítejte délku úhlopříčky AC. {5√2} 4. Bod S je středem úsečky AB. Vypočítejte souřadnice bodu A, pokud známe B[–4;3], S[5;2]. {[14; 1]} 5. Je dán jeden krajní bod a střed S úsečky. Určete souřadnice druhého krajního bodu úsečky e) AB, A –3,6, S–1,4 {1,2} f) PQ, Q 3;0,8, S–1; 0,5 {–5; 0,2} g) TU, T–4,2, S–0,5;–1,5 {3,–5} 6. MN je průměr kružnice k. Vypočtěte souřadnice jejího středu a poloměr, je–li M–3,2;6, N–7,2;–3,5. {r =5,15; S–5,2;1,25} 7. Vypočtěte obsah a obvod pravoúhlého Δ ABC, je–li A5,5;–2,5, B –3,5, C–3;–2,5. {S = 31,88j2, O = 27,34j} 8. Je dán Δ ABC : A–6,6;1,2 B3,4;–5,6 C2,8;4,2 . Vypočtěte délky jeho těžnic. {ta = 9,88, tb = 9,85, tc = 7,77} 9. V rovnoběžníku KLMN jsou dány souřadnice vrcholů K–6,–3 L–1,–3 M2,5 N–3,5. Určete délky úhlopříček a souřadnice jejich průsečíku P. {KM = 8 2 , LN = 2 17 , P–2,1} {E[1,5; 0]} Na ose x určete bod E tak, aby byl stejně vzdálen od bodů F–1,5;1 a G2,5;3. 11. Vypočtěte souřadnice bodu A, který má od bodů B4,6 a C4,2 vzdálenost d=3 . {𝐴1 [4 + √5; 4], 𝐴2 [4 − √5; 4]}
Vektory
( vektory v následujících cvičeních, jsou označovány buď klasickým způsobem
𝑢 ⃗ , nebo tučnou kurzívou 𝒖)
1. Je dán vektor v (–3; 4) v = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = B–A A [5; –3] {5} a) Vypočítejte velikost vektoru v {[2; 1]} b) Vypočítejte souřadnice koncového bodu B {ano; ne} c) rozhodněte, zda vektory u(–1,5; 2), w(2; 12) jsou s daným vektorem v rovnoběžné. 2. Vypočtěte souřadnice vektoru daného dvěma body a určete jeho velikost. Načrtněte v kartézské soustavě souřadnic Oxy. a) u = AB, A–4; –5, B2; 1 {(6,6) , 62} b) p = PQ, P–4; 2, Q–1; –3 {(3,–5) , 34} c) c = CD, C–2; 3, D–3; 23 {(–1, 3), 2} d) e = EF, E0; –6, F–2; 0 {(–2,6), 210} 3. Jsou dány souřadnice vektoru a jeho umístění. Určete neznámé souřadnice. {𝑥 = 1; 𝑦 = 1} a) ⃗ = (–4; 4) , 𝒛 𝒛 ⃗ = AB, A5; –3, Bx; y {𝑥 = 1; 𝑦 = −11} ⃗ = (–5; 6) , 𝒖 ⃗ = CD, Cx; y, D–4; –5 b) 𝒖 4. Určete, zda jsou vektory kolineární (rovnoběžné), v kladném případě určete k a)
⃗ = (–5,6), 𝒗 ⃗ = (2,–2,4) 𝒖
{k = –2,5}
b)
⃗⃗ = (0,75;–5) ⃗𝒉 = (0,6; –4) 𝒈
5 4
{k = } str. 46
5. Určete neznámou souřadnici vektoru tak, aby vektory byly kolineární (rovnoběžné) a) u = (5,–3), v = (v1, 27)
{v1 = –45}
b) e = (7,–2), f = (–2, f2)
{f2 =
4 } 7
2 1 3 1 1 3 c) w = ( , w2 ), s = ( , ) {w2 = } d) k = ( k1, – ), m = (–2, ) {k1 = 2 3} 3 2 20 5 3 3 6. Vypočtěte skalární součin vektorů a) a = (–3,–1), b = (4,–2) b) a = AB , b = CD A–1,4, B2,2, C0,2, D–4,0 c) u = (–3 , 2 ) k =KL, K0,0, L3 ,– 2 7. Určete, zda jsou vektory k sobě kolmé 8 a) a = (–4,5), b = (2, ) [jsou kolmé] b) c = (5,–6), d = (–1, 3) [nejsou kolmé] 5 8. Určete neznámou souřadnici tak, aby vektory byly navzájem kolmé 4 3 3 , 2), d = (d1 , a) c = ( ) {d1 = 1} b) a = (8, c2 ), d = ( – 0,5; 3) {c2 = } 3 2 4 5 1 c) e = (1, –5), f = ( , f2 ) {f2 = } 7 7 d) u = EF, v = AC, E1,2, F–1,0, A2,–1, Cx,3 {x = –2} 9. Určete velikost úhlu vektorů a) a = (3, –5), b = (10, 6) [90°] b) c = (2 , –1) d = (–2, 2 ) [180°]
10. Vektor x je dán body AB vektor y je dán body CD . Vypočítejte úhel těchto vektorů. a) A [3; –4] B [–1;–1] C [0; –5] D [8;1] b) A [0; 4] B [1;1] C [1; 2] D [8;1] c) A [–3; 4] B [1;–1] C [2; 3] D [2;1] 11. Je dán vektor u(3;5) . Určete první souřadnici vektoru v( x;6) tak, aby vektory u a v byly navzájem kolmé. 12. Napište souřadnice vektoru kolmého k danému vektoru. Uveďte alespoň dvě řešení. Načrtněte v kartézské soustavě souřadnic Oxy 3 a) a = (5,4) b) c = ( , – 5) c) e = OA, A–4,2, d) f = PQ, P–4,–1, Q3,2, 2 2 3 13. Určete neznámou souřadnici m tak, aby vektory a = (m, –2), b = (–1, 3) svíraly úhel {m= – } 3 3 14. ΔKLM je dán body K–4; –2, L8; –2, M8; 3, a) Určete, zda Δ KLM je rovnoramenný {KL=12, LM=5 MK=13 není} b) Určete, zda Δ KLM je pravoúhlý (užijte Pythagorovu větu) {je pravoúhlý} c) Vypočtěte délku těžnice vedenou vrcholem M {tm = 61} d) Vypočtěte velikost vnitřních úhlů ΔKLM {22°37´,90°,67°23´} e) Vypočtěte obvod a obsah ΔKLM. {O=30 j S=360 j2} 15. ΔRST je dán body R–8; 1, S5; 0, T1; 4, . Vypočtěte: a) délky stran {170, 4.2, 3.10} b) těžnici vedenou vrcholem R {S3,2, tr = 122} c) velikost úhlu při vrcholu T {asi 116°} d) obvod Δ RST {28,18} 16. Určete souřadnici x bodu T x; 6 tak, aby ΔTUV byl pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu U, je–li U2; 3 , V–2; 1 {xT = 0,5}
str. 47
Parametrické rovnice přímky x = a1 + t . s1 y = a2 + t . s 2
x,y souřadnice libovolného bodu na přímce t – parametr, s1,s2 –souřadnice směrového vektoru přímky a1, a2 souřadnice konkrétního bodu A, pomocí kterého tvoříme rovnice
1. Určete souřadnice směrového vektoru přímky dané 2 body 1
6
a) s = MN, M–2; 3 N4; 5 {s = (6; 2)} b) s = GH, G–6,5;–1,2 H 2 , 5 2. Napište parametrické rovnice přímky, je–li dán její bod A a směrový vektor s: a) A5; –6, s = (3; 2) {x = 5 + 3t, y= – 6 + 2t} b) A–4; 0, s = (1; – 2 ) {x = – 4 + t, y= – t 2 } 3. Napište parametrické rovnice přímky, která prochází 2 body: a) A 2; 4, B4; 9 {x = 2 + 2t, y = 4+5t} b) A 0; –4, B–2; 0 {x = – 2t, y = – 4+4t} 4. Zjistěte, zda body A, B leží na přímce p: a) p: x = –2 + 6t, y = 2 + 4t, A10; 10 , B10; 8 b) p: x = –1 + t, y = 10 + 4t A–7; –14 , B–1; –8
Obecná rovnice přímky
{s = (7,0)}
{Ap, B p} {Ap, B p}
ax + by + c = 0
a,b souřadnice normálového vektoru přímky. n = (a,b) x,y souřadnice bodu na přímce
Je–li a=0 přímka je rovnoběžná s osou x. Je–li b=0 přímka je rovnoběžná s osou y. Je–li c=0 přímka prochází počátkem soustavy souřadnic. Rovnice osy x: y=0 Rovnice osy y: x=0
1. Určete souřadnice normálového vektoru přímky určené směrovým vektorem a) s = (–5; 4) {n=(4; 5), n=(–4; –5)} b) s = (2; –5) {n=(–5; –2) , n=(5; 2)} 2. Přímka je dána obecnou rovnicí. Určete její normálový a směrový vektor. a) –3x + y + 2 = 0 {n = (–3; 1), s = (1; 3)} b) 5x – y – 1 = 0 {n = (5; –1), s = (1; 5)} 3. Určete obecnou rovnici přímky p: (řešíme soustavu rovnic tím, že vyloučíme parametr t a rovnice sečteme) a) p: x = 3 – 4t, y = 2 + 3t {3x + 4y – 17 = 0} b) p: x = –3t, y = 4 + 5t {5x + 3y – 12 = 0} c) p: x = 1 + t, y = – 0,4t {0,4x + y – 0,4 = 0} 4. Určete obecnou rovnici přímky p, která prochází body K a L a) K2; –1, L3; –2 {x + y – 1 = 0} b) K–7; 8, L3; –2 {x + y – 1 = 0} c) K3; 2, L–1; 4 {x + 2y – 7 = 0} 5. Narýsujte přímky, které jsou dány rovnicemi: a) 3x – 5y + 15 = 0 postup: najdeme souřadnice 2 bodů přímky z její rovnice tak, že zvolíme jednu souřadnici libovolně b) 6x – 5y – 30 = 0 a druhou vypočteme z rovnice, nebo určíme souřadnice 1 bodu přímky a souřadnice směrového vektoru. 6. Je dána rovnice přímky p: 3x – 4y + 6 = 0 a) Ověřte početně, zda body M2; 3, N–3; 1 leží na dané přímce. {Mp, N p} b) Napište parametrické rovnice přímky p {x=2+4t; y=3+3t} 7. Δ je určen vrcholy A–4; 2, B8; 4, C0; 8 . Vypočtěte rovnice jeho těžnic. {x + 2y = 0, 7x – 10y –16 = 0, 11x – 2y – 16 = 0} 8. Rovnoběžník je určen vrcholy A–4; –2, B2; –4, C10; 2. Vypočtěte obecné rovnice jeho úhlopříček. {2x – 7y – 6 = 0, 4x – y – 12 = 0} 9. Zjistěte, zda bod M7,3 leží na ose úsečky AB, A2; 6, B4; –2. {osa o: x – 4y + 5 = 0, Mo} 10. Napište obecné rovnice strany c, těžnice tc a výšky vc v Δ ABC, A3; 2, B–5; 4, C–2; 7. {c: x + 4y – 11 = 0, t: 4x + y + 1 = 0, v: 4x – y + 15 = 0} 11. Určete rovnici přímky, která prochází tb v Δ ABC: A1; –1, B5; 1, C–3; 7. {x + 3y – 8 = 0} 12. Najděte obecné rovnice všech středních příček Δ ABC, A1; 0, B4; –3, C–8; 0. {2x + 2y + 7 = 0, 2x + 8y +7 = 0, 2y + 3 = 0} 13. Určete rovnice přímek, na nichž leží strany rovnoběžníku ABCD, jestliže A–6; 2 B7; –5 C5; 2 {7x + 13y + 16 = 0, 7x + 2y – 39 = 0, 7x + 13y – 61 = 0, 7x + 2y + 38 = 0} str. 48
Vzájemná poloha přímek Rovnice přímek p1, p2 Rovnoběžky splývající : p1 = p2
P1 : a1x + b1y + c1=0 P2 : a2x + b2y + c2=0 a1=k.a2 b1=k.b2 c1=k.c2
a1=k.a2 b1=k.b2 c1 k.c2 a1 a2 + b1b2 = 0 (skalární součin) Různoběžky kolmé: p1 p2 Různoběžky, nejsou kolmé Neplatí ani jedna z výše uvedených podmínek Jsou–li přímky rovnoběžné, pak jsou rovnoběžné i jejich směrové (normálové) vektory. Jsou–li přímky různoběžné, pak mají společný bod tzv. průsečík, jehož souřadnice určíme tak, že řešíme soustavu 2 rovnic (obecné rovnice přímek) o 2 neznámých. Rovnoběžky různé: p1 ║ p2
1 řešení – přímky jsou různoběžné 0 řešení – přímky jsou rovnoběžné různé
1. Určete jaký úhel svírají dvě přímky p1 a p2. a) p1 : 4x + 2y + 1 = 0 b) p1 : x – 2y – 1 = 0 c) p1 : x + 2y + 1 = 0 d) p1 : 0,5x + 2y – 5 = 0 e) p1 : x + y = 0 f) p1 : 5x + 2y = 0 g) p1 : x = 1 + 2t, y = 4 – t h) p1 : x = 1 + 6t, y = 3t
řešení– přímky jsou splývající
p2 : 2x + y + 8 = 0 p2 : 2x – y + 8 = 0 p2 : x + y – 8 = 0 p2 : 2x + 8y – 5 = 0 p2 : x – 8 = 0 p2 : 3x – 2y + 8 = 0 p2 : 3x – y + 1 = 0 p2 : x = 3 – 2t, y = 1 + 4t
{rovnoběžky, 0°} {37°} {18°26´} {rovnoběžky, 0°} {45°} {12°} {82°} {kolmé, 90°}
2. Určete vzájemnou polohu přímek m1 a m2 (podle koeficientů rovnic), pokud jsou přímky různoběžné nebo kolmé, určete souřadnice průsečíku. Pokud jsou různoběžné určete úhel, který svírají přímky. 3x 1 a) m1 : 6x – 8y – 3 = 0 m2 : y = {rovnoběžky} 4 4 b) m1 : x – 2y – 4 = 0 m2 : x = 1 + t, y = –4 + 3t {45°, P[2;-1]} c) m1 : x = 3 – 2t, y = –2 + 5t m2 : 5x + 2y –11 = 0 {totožné} d) m1 : x – 2y – 3 = 0 m2 : 2x + y – 11 = 0 {kolmé, P[5;1]} e) m1 : 2x – 2y – 1 = 0 m2 : – x + y + 0,5 = 0 {totožné} f) m1 : 8x – 4y – 1 = 0 m2 : x + 2y + 0,5 = 0 {kolmé, P[0;-0,25]} g) m1 : 4y – 8 = 0 m2 : x – y = 0 {45°, P[2;2]} h) m1 : x + 2y + 1 = 0 m2 : 2x + y + 8 = 0 {37°, P[-5;2]} i) m1 : 0,5x + 2y – 5 = 0 m2 : 2x + 8y – 5 = 0 {rovnoběžné} 3. Bodem M3,–5 veďte přímku. Uveďte parametrické rovnice hledaných přímek. Přímky načrtněte. a) rovnoběžnou s přímkou p: x = 1 + 3t, y = 3 + 5t {x = 3 + 3t, y = –5 + 5t} b) kolmou k přímce r: x = – 1 + 2t, y = 2 – 7t {x = 3 + 7t, y = –5 + 2t} 4. Napište obecné rovnice přímek, které procházejí vrcholy Δ a jsou rovnoběžné s protilehlou stranou a) P9; 7, Q–7; –3, R0; –6 {3x + 7y – 76 = 0, 13x – 9y + 64 =0, 5x – 8y – 48 = 0} b) M–1; 7, N–8; 5, O0; 0 {2x – 7y = 0, 5x + 8y – 51 = 0, 7x + y + 51 = 0} 3 5. Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici přímky, která prochází bodem A [2; − 2] a je : a)
kolmá na přímku p: 3x – 4y – 12 = 0
{x = 2 + 3t, y = 3 – 4t, 8x + 6y – 7 = 0} 2
b) rovnoběžná s přímkou p {x = 2 + 4t, y = –1,5 + 3t, 3x – 4y – 12 = 0} 6. Určete obecnou rovnici přímky m, která prochází daným bodem a je║s přímkou p: a) p: 3x – y – 2 = 0, B1; –4, Bm {3x – y – 7 = 0} b) p: – 6x + 5y – 7 = 0 C0; 0, Cm {–6x + 5y = 0} c) p: x = 3 + 2t, y = 2 – 4t, D–3; –5, Dm {2x + y + 11 = 0} 7. Určete obecnou rovnici přímky r, která prochází daným bodem P a je kolmá k přímce p: a) p: 2x + 7y = 0, P–1; –4 {7x – 2y – 1 = 0} b) p: 1,5x + 2y + 3 = 0 P–2; –3 {2x – 1,5y – 0,5= 0} c) p: x+y+1=0 P[1; 1] {x – y = 0} d) p: 3x + y – 32 = 0 P[6; 0] {x – 3y – 6 = 0} 8. Napište parametrické rovnice přímky a, která prochází bodem C2,5 a je║s přímkou EF, E3; 7, F–4; 9. Rozhodněte početně, zda body K–5; 7 a L–1; 3 leží na přímce a. {x = 2 – 7t, y = 5 + 2t. Ka, L a} str. 49
9. Přímka je dána parametrickým vyjádřením p: x = 2 – 3t, y = 2 + 2t. Napište parametrickou a obecnou rovnici přímky, která prochází bodem M1; 2 a je a) rovnoběžná s přímkou p [x = 1 – 3t, y = 2 + 2t, 2x + 3y – 8 = 0] 4 b) kolmá na přímku p [x = 1 + 3 t, y = 2 + 2t, 3x – 2y + 1 = 0] 10. Napište obecnou rovnici přímky, která prochází průsečíkem přímek o rovnicích 4x – 4y – 12 = 0 a je a) rovnoběžná s přímkou EF E 4; –5, F4; 6 6x + 2y – 50 = 0 b) kolmá k přímce EF 11. Stanovte rovnici přímky, která prochází průsečíkem P přímek a, b, kde a: x – y – 3 = 0, b: 2x + 3y – 11 = 0 a zároveň a) je rovnoběžná s přímkou p : x + 2y – 5 = 0 {x + 2y – 6 = 0} b) prochází bodem M–1; 1 {y – 1 = 0} c) je kolmá k přímce q: 5x – 4y – 20 = 0 {4x + 5y – 21 = 0} 12. Napište parametrické rovnice přímky p, která je rovnoběžná s přímkou m a prochází bodem M a) m: x = 3 – 4t, y = –5 + t, M–1; 6 {p: x = –1– 4t, y = 6 + t} b) m: x = 1 + t, y = 5 + t, M1; 1 {p: x = 1 + t, y = 1 + t} c) m: x = 2t, y = –5 + 3t, M–3; 6 {p: x = –3 + 2t, y = 6 + 3t} 13. Přímka p je dána bodem P3; –5 a směrovým vektorem s = (–4; 1) a) Určete, zda body A–5; –3 , B2; –1 leží na dané přímce {t = 2, Ap, t=4, t=0,25, B p} b) Napište parametrické rovnice přímky m, která je rovnoběžná s p a prochází bodem M–1; 6 {x = – 1 – 4t, y = 6 + t} c) Napište parametrické rovnice přímky n, která prochází počátkem soustavy souřadnic a je kolmá k přímce p. {x = t, y = 4t}
Vzdálenost bodu od přímky Vzdálenost bodu M od přímky p Mp am1 bm2 c m1, m2 – souřadnice bodu M a,b – souřadnice normálového vektoru 2 2 a b
1. Určete vzdálenost bodu M od přímky p: a) p: 3x – 4y – 14 = 0 M2; 7] c) p: 2x – y + 2 = 0 M–2; –1]
b) d)
p: x – 3y = 0 p: 4x – 2y – 2 = 0
M7; –1] M–2; 0] {𝑎) 7,2; 𝑏) √10; 𝑐)
2. Určete vzdálenost daných bodů od přímky p: a) p: 3x – 4y – 14 = 0, B0; 0 b) p: x = –1 + 2t, y = 3 – 5t R1; –2 c) p: x = 1 – 4t, y = 2 + 3t A[2; –5] d) p prochází body P–4; 5, Q11; –3 od bodu M5; 7
√5 ; 𝑑) √5} 5
{2,8} {0, Rp } {5} {6}
3. Vypočtěte délky všech výšek v Δ ABC a pak jeho obsah √2 ,S 2 24√26
a)
A5; 2, B1; 5, C–2; 1
{vc = va = 5, vb =
b)
A–4; 1, B5; –2, C–3; 6
{va = 3 2 , vb =
4. Určete vzdálenost rovnoběžek a) p1 : 3x – 2y – 4 = 0 b) p1 : x + y + 6 = 0 c) d)
p1 : y = – 2x + 5 p1 : x = 4 + 4t, y = – 3t
13
= 12,5j2}
, vc = 1,6 10 , S = 8j2}
p2 : 3x – 2y + 2 = 0 p2 : x + y – 4 = 0
{1,66} {5 2 }
p2 : y = – 2x – 1 p2 : y = – 0,75x
{1,2 5 } {2,4}
str. 50
Přílohy: P L A N I M E T R I E
1°= 60´ (minut)
Velikost úhlů se měří ve stupních Rozdělení úhlů
1´= 60´´ (vteřin)
nulový úhel ostrý úhel pravý úhel tupý úhel přímý úhel
0° 0°– 90° 90° 90°– 180° 180°
Součet
velikosti
všech
tří
úhlů
v jakémkoliv trojúhelníku je vždy 180°
Rozdělení trojúhelníků podle velikosti stran
podle velikosti úhlů
různostranné rovnoramenné rovnostranné
– všechny strany různě dlouhé – dvě strany stejně dlouhé – ramena – všechny tři strany stejně dlouhé
O a bc
ostroúhlé tupoúhlé pravoúhlé
– všechny úhly jsou ostré – jeden úhel je tupý – jeden úhel je pravý
Pravoúhlý – a,b – odvěsny
S
a.va b.vb c.vc 2 2 2 a.b 2
S
TROJÚHELNÍK Obecný –
S s.(s a).( s b).( s c) s 1 O 2
V PRAVOÚHLÉM TROJÚHELNÍKU PLATÍ 2 2 2 PYTHAGOROVA VĚTA: c = a + b Strana c se nazývá přepona a leží vždy naproti pravému úhlu, je nejdelší. Strany a, b se nazývají odvěsny. Součet druhých mocnin odvěsen se rovná druhé mocnině přepony. EUKLIDOVY VĚTY:
v 2 ca .cb
a 2 ca .c
b 2 cb .c
GONIOMETRICKÉ FUNKCE sin =
protilehlá přeponě
sinus = udává poměr protilehlé odvěsny ku přeponě
cos =
přilehlá přeponě
kosinus = udává poměr přilehlé odvěsny ku přeponě
tg =
protilehlá přilehlé
tangens = udává poměr protilehlé odvěsny ku přilehlé odvěsně
protilehlá odvěsna
.
přilehlá odvěsna
Tabulka některých hodnot goniometrických funkcí:
s t u p n ě ° funkce
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
SIN COS TG
0,087
0,174
0,259
0,342
0,423
0,5
0,574
0,643
0,707
0,766
0,819
0,866
0,906
0,94
0,966
0,985
0,996
0,996
0,985
0,966
0,94
0,906
0,866
0,819
0,766
0,707
0,643
0,574
0,500
0,423
0,342
0,259
0,174
0,087
0,087
0,176
0,268
0,364
0,466
0,577
0,7
0,839
1
1,192
1,428
1,732
2,145
2,747
3,732
5,671
11,43
OBVOD A OBSAH ČTYŘÚHELNÍKŮ A KRUHU Obvod
Obsah
čtverec
O = 4.a
S = a.a = a2
obdélník
O = 2.(a + b)
S = a.b
kruh
kosočtverec
O = 4.a
S = a.va
d
kosodélník
O = 2.(a + b)
S = a.va = b.vb
kruh
O = 2πr
S = πr
O = a+b+c+d
(a c).v S 2
lichoběžník
lichoběžník c
r
d
b v
2
a
str. 51
TĚLESA S 6.a 2 Krychle
Kvádr
V a3
V abc S 2.(ab bc ac ) S p obsah podstavy S pl obsah pláště
Hranol
V S p .v
S 2.S p S pl
Rotační válec
V S p .v r 2v
S pl 2rv S 2.S p S pl S S p S pl
Jehlan
V
S p .v 3
S pl rs Rotační kužel
S S p S pl V
S p .v 3
S S1 S 2 S pl Komolý jehlan
S pl lichoběžníky v V ( S1 S1S 2 S 2 ) 3
S S1 S 2 S pl Komolý rotační kužel
S pl s (r1 r2 ) v V ( S1 S1S 2 S 2 ) 3
str. 52
Goniometrické funkce – základní vztahy, vzorce a hodnoty sin cos tg α = cotg α = sin α na ose y cos α na ose x cos sin
α
0° 0
sin α
0
cos α
1
tg α
0
cotg α
X
30° 6 1 2
3 2 3 3
3
45° 4 2 2 2 2
60° 3 3 2 1 2
90° 2
180°
270° 3 2
360°
1
0
–1
0
0
–1
0
1
1
3
X
0
X
0
1
3 3
0
X
0
X
2
perioda
sin(x+k.360°)=sinx
cos(x+k.360°)=cos x
tg(x+k.180°)=tg x
cotg(x+k.180°)=cotgx
sudá/lichá
sin(–x) = – sin x
cos(–x) = cos x
tg(–x) = – tg x
cotg(–x) = – cotg x
II. III. IV. (90°;180°) (180°;270°) (270°;360°) sin x + – – cos x – – + tg x – + – cotg x – + – hodnoty funkcí úhlu x pomocí hodnot úhlu α z I. kvadrantu X α =x α = 180°– x α = x – 180° α = 360°– x 2 2 sin x + cos x = 1 sin 2x = 2.sinx.cos x vzorce tg x.cotg x = 1 cos 2x = cos2x – sin2x kvadranty
I. (0°;90°) + + + +
Tabulky a uvedené vzorce nejsou kompletní, jde o výběr nejzákladnějších pomůcek pro výpočet příkladů. Při řešení některých cvičení je nutné použít Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školu.
str. 53
