P R Ó B A É R E T T S É G I
M E G O L D Á S A :
M A T E M A T I K A ,
K Ö Z É P
S Z I N T
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
FELADATSOR MEGOLDÁSA I. rész 1.1.) a) igaz,
b) hamis.
1.2.) A helyes megoldás: b) R = 2r 1.3.) 3 2 x = 27 = 33 ,
ahonnan
2 x = 3 , tehát x =
3 . 2
1.4.) Az oszlopdiagramból kiolvasható, hogy a két üzem termelése között a legnagyobb különbség a 7. hónapban volt. 1.5.) Mivel az f ( x) = sin x függvény értékkészlete: f ( x) = sin x − 2 függvény értékkészlete: − 3 ≤ f ( x) ≤ −1 .
− 1 ≤ f ( x) ≤ 1 ,
ezért az
1.6.) A megadott egyenes egy irányvektora: v(-3; 4), így a keresett egyenes egyenlete: 4 x + 3 y = 25 1.7.) Ha a + b = 9 és a − b = 3 , akkor a = 6 , b = 3 . Ekkor a c átfogó Pitagorasz tétele alapján: c = 6 2 + 3 2 = 45 . 1.8.) Összesen 36 db kétjegyű szám keletkezhet a megadott módon. Ezek között 4 db 4 1 = . négyzetszám lehetséges: a 16, 25, 36, 64. Tehát a keresett valószínűség: 36 9 1.9.) A család nettó jövedelme a fizetésemelések után: 120000 ⋅ 1,15 + 95000 ⋅ 1,1 = 138 + 104,5 = 242500 . Ft. 1.10.)
116
EGÉSZ
ÉVES
ÉS
I NTEZÍ V
ÉRETTSÉGI
ELÕKÉSZÍ TÕ
TA NFOLYAMOK
P R Ó B A É R E T T S É G I
M E G O L D Á S A :
M A T E M A T I K A ,
K Ö Z É P
S Z I N T
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
1.11.) A keresett P pont az AD oldal P felezőpontja:
II/A rész 1.12.) A feladat szövege alapján készítsük el, majd elemezzük a következő ábrát!
a) Ahhoz, hogy megállapítsuk a város lakóinak a számát, a négyzet x oldalát kell kiszámítanunk. A VQE és VPT háromszögek nyilvánvalóan hasonlók, hiszen oldalaik párhuzamos helyzetűek. Így felírhatjuk a megfelelő oldalak arányának egyenlőségét: x 2 2 = 10,5 = 10,5 , 4 x + x = 42 , azaz x 2 + 8 x − 84 = 0 , 4 4+ x+4 8+ x 2 − 8 ± 64 + 336 − 8 ± 20 x1, 2 = = , x1 = −14 , x 2 = 6 . 2 2 A negatív megoldás nem lehetséges, így azt kaptuk, hogy a négyzet oldala 6 km, így a város területe 36 km2. Tehát a lakók száma – figyelembe véve az adott népsűrűséget -: 36 ⋅ 860 = 30960 fő b) Az őrtoronynak az északi kaputól való távolságát a PTÉ derékszögű háromszögből kapjuk meg Pitagorasz tételének segítségével: PÉ = 10,5 2 + 10 2 = 14,5 km. 1.13.) a)
DFT-BUDA PEST,
www.dft.hu,
[email protected];
(06-1)
473-0769
117
P R Ó B A É R E T T S É G I
M E G O L D Á S A :
M A T E M A T I K A ,
K Ö Z É P
S Z I N T
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
f ( x) = log 2 ( x − 1)
A kitűzött egyenlet értelmezési tartománya: x > 7 . A logaritmus megfelelő x2 −1 log 2 = log 2 ( x 2 − 7) , azonosságának felhasználásával az egyenlet így írható: x +1 2 x −1 ahonnan a logaritmus egy-egyértelműségéből az adódik: = x2 − 7 , azaz x +1 ( x − 1)( x + 1) = x2 − 7 . x +1 1 ± 1 + 24 x1, 2 = Mivel x ≠ −1 , így kapjuk: x − 1 = x 2 − 7 , vagyis x2 − x − 6 = 0 , , 2 ahonnan x1 = 3 , x 2 = −2 . A negatív gyök nem felel meg a kikötésnek, így az egyedül szóba jöhető megoldás: x = 3 . Ez az érték valóban kielégíti az eredeti egyenletet. b)
1.14.) Felhasználva a trigonometrikus területet: 90 =
24 ⋅ 15 ⋅ sin α , ahonnan 2
1 , tehát α = 30° vagy α = 150° . 2 a) Ennek megfelelően a háromszög harmadik oldala a koszinusz tétel alapján: BC 2 = 24 2 + 15 2 − 2 ⋅ 24 ⋅ 15 ⋅ cos 30° , vagy BC 2 = 24 2 + 15 2 − 2 ⋅ 24 ⋅ 15 ⋅ cos150° Innen a harmadik oldalra az adódik: BC ≈ 13,35 vagy BC ≈ 37,7 . b) Ha az A-ból induló magasság a háromszöget két háromszögre bontja, akkor az A-nál levő szög nem lehet a hegyes szög, hiszen ekkor – amint az könnyen kiszámolható – a 24-gyel szemközt tompa szög lenne, így az A-ból induló magasság a háromszögön kívül esne. Tehát ez esetben α = 150° (lásd ábra) sin α =
118
EGÉSZ
ÉVES
ÉS
I NTEZÍ V
ÉRETTSÉGI
ELÕKÉSZÍ TÕ
TA NFOLYAMOK
P R Ó B A É R E T T S É G I
M E G O L D Á S A :
M A T E M A T I K A ,
K Ö Z É P
S Z I N T
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
Az ATB és ATC háromszögek területeinek aránya egyenlő a BT és TC szakaszok arányával. E két háromszögre felírva Pitagorasz tételét: 15 2 − x 2 = 24 2 − (37,7 − x) 2 , 15 2 − x 2 = 24 2 − 37,7 2 + 75,4 x − x 2 , ahonnan x ≈ 14,2 . 14,2 Tehát az ATB és ATC háromszögek területeinek aránya: ≈ 0,604 . 37,7 − 14,2 Ezek szerint a kisebbik háromszög területe a nagyobbiknak a 60,4%-a.
II/B rész 1.15.)
a)
A négyzetgyök alatt teljes négyzet szerepel, így
( x − 5) 2 = 12 ,
azaz
x − 5 = 12 , x − 5 = 12 vagy x − 5 = −12 . Ennek megfelelően az eredeti egyenlet megoldása: x1 = 17 , x 2 = −7 .
b) Ha bevezetjük a 4 x = a jelölést, akkor egyenletünk így alakul: a a 2 + a + 3 ⋅ = 23 , ahonnan 4a 2 + 7 a − 92 = 0 , 4 46 − 7 ± 49 + 1472 − 7 ± 39 a1, 2 = = , a1 = − , a 2 = 4 . 8 8 8 A negatív megoldás nyilván nem jöhet számításba, így kapjuk: 4 x = 4 , ahonnan x = 1 . 1.16.) a) Készítsünk egy halmazábrát!
DFT-BUDA PEST,
www.dft.hu,
[email protected];
(06-1)
473-0769
119
P R Ó B A É R E T T S É G I
M E G O L D Á S A :
M A T E M A T I K A ,
K Ö Z É P
S Z I N T
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
A feltételekből x + y = 25 − 8 = 17 , így a csak fuvolán játszó tanulók száma: 28 − 17 = 11 b) Az évfolyamra járók száma: 32 + 36 + 28 − 8 − ( x + y ) = 88 − ( x + y ) = 88 − 17 = 71 . c) Ha a 71 diákot 7 csoportba kell osztanunk aszerint, hogy ki milyen napon született (hétfő, kedd, szerda, …stb.). Ha nem lenne olyan csoport, melyben legalább 11 diák kerül, akkor minden csoportba legfeljebb 10 diák kerül, így a diákok száma legfeljebb 10 ⋅ 7 = 70 lenne. Ezek szerint valóban valamelyik csoportba legalább 11 diáknak kell lennie. 1.17.) Készítsünk ábrát a feladat szövege alapján:
a) A vízszint-emelkedés térfogata megegyezik egy olyan szabályos tetraéder térfogatával, melynek minden éle 5 cm. Az a élű szabályos tetraéder m magassága könnyen kiszámolható (lásd ábra) a DTC derékszögű háromszögből
Mivel a magasság T talppontja az ABC háromszög magasság- és egyben súlypontja, ezért 2 része, azaz a CT befogó az a oldalú szabályos háromszög magasságának 3 2 a 3 a 3 = . CT = ⋅ 3 2 3
3a 2 a 2 , = 9 3 5 2 ⋅ 3 5 2 1 125 2 így a tetraéder V térfogata: V = ⋅ ⋅ = . 4 12 3 3
Ezzel az m magasságra: m = a 2 −
Ezek szerint a vízszint-emelkedés térfogatára: 8 2 ⋅ π ⋅ x =
120
EGÉSZ
ÉVES
ÉS
I NTEZÍ V
125 2 , 12
ÉRETTSÉGI
ELÕKÉSZÍ TÕ
TA NFOLYAMOK
P R Ó B A É R E T T S É G I
M E G O L D Á S A :
M A T E M A T I K A ,
K Ö Z É P
S Z I N T
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
ahonnan a vízszint-emelkedés x ≈ 0,0733 cm. b)
Három db tetraéder esetén az y vízszint-emelkedés: 8 2 ⋅ π ⋅ y = 3 ⋅
125 2 , ahonnan 12
y ≈ 0,22 cm. Ha tehát a víz 3 db tetraéder beejtése esetén még nem csordul ki, akkor a vízszint magassága legfeljebb 19,78 cm lehet.
DFT-BUDA PEST,
www.dft.hu,
[email protected];
(06-1)
473-0769
121
