Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1
Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze
ZS 2014/2015
(FIT ČVUT)
BI-PST, Cvičení č. 1
ZS 2014/2015
1 / 14
Podmínky získání zápočtu Aktivní účast na cvičeních a povinné absolvování nejméně 4 testů. Během cvičení bude 6 testů po 4 bodech, započítá se nejlepších 5 výsledků, dohromady lze získat celkem 20 bodů. Vypracování a odevzdání domácích úkolů po 10 bodech - celkem až 20 bodů. Celkově je nutné ze cvičení získat alespoň 20 bodů ze 40 možných. Testy budou na náhodně zvolených cvičeních z materiálů i z předchozích přednášek, ne pouze ze cvičení!
(FIT ČVUT)
BI-PST, Cvičení č. 1
ZS 2014/2015
2 / 14
Pravděpodobnost × Statistika
Teorie pravděpodobnosti - matematická disciplína zabývající se popisem náhodných jevů. Tj. jevů které jsou (třeba jen z pozice pozorovatele) nedeterministické. Znám obsah krabice 60% červených kuliček
Vytáhnu náhodně 30 krát po sobě kuličku −→
Odhaduji výsledek
P(20 z 30 je červených) = =
(FIT ČVUT)
BI-PST, Cvičení č. 1
30 20
0.620 0.410 = 0.1152
ZS 2014/2015
3 / 14
Pravděpodobnost × Statistika
Matematická statistika - zabývá se teoretickým rozborem získávání a analýzy empirických dat obsahujících nahodilost. Tj. na základě dat hledá vlastnosti náhodné veličiny. Neznám obsah krabice
Vytáhnu náhodně 30 krát po sobě kuličku
Znám výsledek
←−
20 z 30 je červených
Kolik procent kuliček v krabici je červených?
(FIT ČVUT)
BI-PST, Cvičení č. 1
ZS 2014/2015
4 / 14
Pravděpodobnost × Statistika Matematická statistika - zabývá se teoretickým rozborem získávání a analýzy empirických dat obsahujících nahodilost. Tj. na základě dat hledá vlastnosti náhodné veličiny. Neznám obsah krabice
Vytáhnu náhodně 30 krát po sobě kuličku
Znám výsledek
←−
20 z 30 je červených
Kolik procent kuliček v krabici je červených? Bodový odhad: 2/3 = 66.67% Intervalový odhad: s 95% spolehlivostí 48.76% − 84.57%
(FIT ČVUT)
BI-PST, Cvičení č. 1
ZS 2014/2015
4 / 14
Pravděpodobnost × Statistika Matematická statistika - zabývá se teoretickým rozborem získávání a analýzy empirických dat obsahujících nahodilost. Tj. na základě dat hledá vlastnosti náhodné veličiny. Neznám obsah krabice
Vytáhnu náhodně 30 krát po sobě kuličku
Znám výsledek
←−
20 z 30 je červených
Kolik procent kuliček v krabici je červených? Testování hypotéz: Je v krabičce 40% červených kuliček? Protože důvěřujeme intervalovému odhadu tak závěr s 95% jistotou NE. (FIT ČVUT)
BI-PST, Cvičení č. 1
ZS 2014/2015
4 / 14
Příklad 1.1
Chevalier de Mere Dva lidé hrají turnaj složený ze série her. Každou z nich s pravděpodobností 50% vyhraje jeden nebo druhý z nich (hod mincí). V turnaji vítězí ten kdo první vyhrál 6 her. Bohužel jsou nuceni turnaj předčasně ukončit za situace 1. vyhrál 5 her a 2. pouze 3 Jakým způsobem si mají co nejspravedlivěji rozdělit výhru?
(FIT ČVUT)
BI-PST, Cvičení č. 1
ZS 2014/2015
5 / 14
Příklad 1.2 Monty Hall Show
Za třemi dveřmi jsou náhodně schované 2 kozy a jedno auto. Uvaděč ví kde je auto. Hráč zvolí jedny dveře. Uvaděč potom otevře ze zbylých 2 dveří ty, ve kterých je koza. Poté uvaděč hráče vybídne, aby případně změnil svoji volbu (nyní už může vybírat pouze ze 2 dveří). Dveře, které nakonec vybere, se otevřou a pokud je za nimi auto vyhrál ho. Vyplatí se hráči výběr dveří změnit? (FIT ČVUT)
BI-PST, Cvičení č. 1
ZS 2014/2015
6 / 14
Příklad 1.3
Dva hráči hrají hru se 2 mincemi. Jestliže padne PO (pana, orel) nebo OP vyhraje první hráč. Jestliže padne PP nebo OO vyhraje druhý hráč. Určete pravděpodobnost, že první hráč vyhraje pokud: a) pravděpodobnost, že padne hlava je P(P) = 0.5. b) pravděpodobnost, že padne hlava je P(P) = p ∈ (0, 1). Pro kterou hodnotu p = P(P) má první hráč největší pravděpodobnost výhry?
(FIT ČVUT)
BI-PST, Cvičení č. 1
ZS 2014/2015
7 / 14
Příklad 1.4
Dva lidé hrají hru při které se dvakrát hází neznámou mincí. Jestliže padne PO vyhrává první hráč. Jestliže OP vyhrává druhý hráč. Pokud padne PP nebo OO, hází se znovu (opět dvojhod). Určete pravděpodobnosti výher obou hráčů a pravděpodobnost, že hra neskončí.
(FIT ČVUT)
BI-PST, Cvičení č. 1
ZS 2014/2015
8 / 14
Příklad 1.5
Budeme dvakrát házet kostkou. Předpokládejme, že jsou hody nezávislé a každé číslo může padnout se stejnou pravděpodobností. Určete pravděpodobnost s jakou je rozdíl prvního a druhého hodu roven 1, tj. P(1. − 2. = 1).
(FIT ČVUT)
BI-PST, Cvičení č. 1
ZS 2014/2015
9 / 14
Příklad 1.6
Jaká je pravděpodobnost, že při dvou hodech „poctivou“ 6-ti stěnnou kostkou bude maximum z hodů větší nebo rovno 5?
(FIT ČVUT)
BI-PST, Cvičení č. 1
ZS 2014/2015
10 / 14
Příklad 1.7 Student si musí vybrat přesně 2 ze tří volitelných předmětů: kreslení, francouzština, matematika. Víme, že si vybere kreslení s pravděpodobností 5/8 francouzštinu s pravděpodobností 5/8 kreslení a současně francouzštinu s pravděpodobností 1/4 Jaká je pravděpodobnost, že si vybere a) matematiku? b) kreslení nebo matematiku?
(FIT ČVUT)
BI-PST, Cvičení č. 1
ZS 2014/2015
11 / 14
Příklad 1.8 Pro daný experiment zapište výběrový prostor Ω a vyjádřete množinově následující jevy: a) Hod mincí: i) výsledek je panna ii) výsledek není orel iii) výsledek je panna nebo orel
b) Hod kostkou: i) výsledek je číslo 3 ii) výsledek je liché číslo iii) výsledek je větší než 3
(FIT ČVUT)
BI-PST, Cvičení č. 1
ZS 2014/2015
12 / 14
Příklad 1.9 Dokažte, že a) pro jevy A a B platí
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). b) pro jevy A, B a C platí
P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C )− − P(A ∩ B) − P(B ∩ C ) − P(C ∩ A)+ + P(A ∩ B ∩ C ).
(FIT ČVUT)
BI-PST, Cvičení č. 1
ZS 2014/2015
13 / 14
