Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK
PRAKTIKUM III. Úloha č.p p 6p p p p p Název: p p p pStudium p p p p p p p p p p p p p p pohybových p p p p p p p p p p p p p p p p p pjevů p p p p p p p pvp p plaserovém p p p p p p p p p p p p p p p p psvazku pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp Pracoval:p p p p p p p p p p Lukáš p p p p p p p p p p pVejmelka p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p obor (kruh) p p p p p p p p p p FMUZV p p p p p p p p p p p p p p p(73) p p p p p p p p p p p p p p p p dne p p p p p p p p p10.3.2014 pppppppppppppppppppppppppppp Odevzdal dne:p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
Připomínky opravujícího:
Možný počet bodů Práce při měření
0–5
Teoretická část
0–1
Výsledky měření
0–8
Diskuse výsledků
0–4
Závěr
0–1
Seznam použité literatury
0–1
Celkem
max. 20
Posuzoval:p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p dne p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
Udělený počet bodů
1
Zadání úlohy 1. Ze změřeného ohybového obrazce zobrazeného na milimetrovém papíru určete mřížkovou konstantu mřížky. 2. Pomocí aparatury proměřte ohybové obrazce: mřížky, 1 vybrané štěrbiny, 1 vybrané dvojštěrbiny. Zpracováním měření určete parametry použitých difrakčních prvků. 3. Okalibrujte mikroskopový okulár s použitím metody lineární regrese, odhadněte relativní chybu kalibrace. 4. Mikroskopem změřte parametry všech použitých difrakčních prvků. 5. Výsledky měření v úkolech č.1, č.2 a č.4 srovnejte a diskutujte, v kterém případě jsou spočtené parametry zatíženy nejmenší chybou.
2
Teoretický úvod měření
V této úloze budeme zkoumat ohybové obrazce vznikající osvětlením mřížky, štěrbiny a dvojštěrbiny laserovým svazkem. Z poloh maxim nebo minimim ohybových obrazců vypočítáme parametry ohybových prvků. Zjištěné hodnoty porovnáme s hodnotami určenými pomocí mikroskopu.
Ohyb na štěrbině Rozložení intenzity na stínítku při tzv. Fraunhoferově ohybu, kdy paprsky na stínítko dopadají téměř rovnoběžně, udává pro štěrbinu šířky b analytický vztah [1] α sin2 πbx sin2 πb sin λ lλ (1) I(α) = I0 , pro α 1: I(x) = I0 , πb sin α 2 πbx 2 λ
lλ
kde α je úhel difrakce a l je vzdálenost stínítka. Minima intenzity dává podmínka x≈k
lλ , b
k ∈ Z.
(2)
Ohyb na dvojštěrbině Při Fraunhoferově ohybu na dvojštěrbině platí pro rozložení intenzity analytický vztah [1]
I(α) = I0
sin2
πb sin α λ πb sin α 2 λ
2
cos
πa sin α λ
,
pro α 1: I(x) = I0
sin2
πbx lλ πbx 2 lλ
cos2
πax lλ
,
(3)
kde a značí vzdálenost štěrbin. Kromě minim (2) dostáváme další minima x≈
2k + 1 lλ , 2 a
2
k ∈ Z.
(4)
Ohyb na mřížce Pro Fraunhoferův ohyb na mřížce se vzdáleností vrypů a je difrakční obrazec dán vztahem
I(α) = I0
sin2
πb sin α λ πb sin α 2 λ
α sin2 N πa sin λ , α sin2 πa sin λ
pro α 1: I(x) = I0
sin2
πbx lλ πbx 2 lλ
sin2 N πax lλ , sin2 πax lλ
(5)
kde N je počet osvětlených šterbin. Průběh nabývá ostrých maxim pro [1] x≈k
2.1
lλ , a
k ∈ Z.
(6)
Použité přístroje, měřidla, pomůcky
Optická mřížka na průchod, diapozitiv se štěrbinami A/B/C, diapozitiv s dvojštěrbinami A/B/C, laser TESLA III. tř. červený 632, 8 nm, optický systém Adegon 50, spojka s ohniskovou dálkou 1 m, stínítko, milimetrový papír, pojízdný detektor intenzity s převodníkem, PC, mikroskop, kalibrační sklo, absorbční filtry, optická lavice s příslušenství.
2.2
Důležité hodnoty, konstanty, vlastnosti
Důležité hodnoty pro výpočet nebo látkové konstanty pro porovnání výsledků. Vlnová délka HeNe laseru: λ = 632,8 nm , [2] Vzdálenost stínítko (detektor) – spojka: l = (1000 ± 5) mm
2.3
Popis postupu vlastního měření
Seřídíme optický systém Adegon 50 tak, aby byla divergence laserového svazku co nejmenší. Clonou nastavíme optimální šířku svazku. Pro měření ohybových obrazců nastavíme detektor do úrovně difrakčního obrazce. Ohyb na mřížce – milimetrový papír Kolmo na optickou lavici umístíme stínítko s milimetrovým papírem tak, aby leželo v ohniskové rovině spojky. Mezi laser a čočku umístíme optickou mřížku. Mřížku natočíme, aby ohybový obrazec ležel v linii milimetrového papíru, na němž následně vyznačíme polohy maxim. Měření ohybových obrazců Roli stínítka předchozí části bude nyní hrát pojízdný detektor intenzity světla. Měřit budeme štěrbinu, dvojštěrbinu a mřížku. Nastavíme polohu středu ohybového obrazce a spustíme proceduru měření. Pokud je vstup signálu přebuzen, je naměřený obrazec ořezán. Je-li třeba znát polohy maxim, je nutno intenzitu světla zeslabit přiložením filtrů. Potřebujeme-li naopak oblast minim ve větším rozlišením, intenzitu snižovat nebudeme. Měření provádíme v zatemněné neosvětlené místnosti. Kalibrace mikroskopu Okulár mikroskopu obsahuje zaměřovací kříž s dílkovou stupnicí. K určení velikosti těchto dílků vložíme kalibrační sklo s udaným měřítkem. Zjistíme kolik dílků odpovídá 0,1 mm, 0,2 mm 0,3 mm, atd. kalibračního skla. 3
Určení parametrů ohybových prvků pomocí mikroskopu Změříme šířku štěrbiny v několika místech, kde byla laserovým svazkem osvětlována. Obdobně naměříme polohy krajů obou štěrbin použité dvojštěrbiny. V případě mřížky určujeme počet dílků připadající na 1, 2, 3, . . . vrypy.
Obrázek 1: Uspořádání měřící aparatury k vytvoření difrakčních obrazců. (Zdroj [1])
Na obrázku 1 značí soustava čoček C1 , C2 optický systém Adagon 50, C je spojná čočka, S stínítko a B místo pro difrakční prvky.
3
Výsledky měření
3.1
Laboratorní podmínky
Teplota v laboratoři: 22,6 ◦ C.
3.2
Atmosférický tlak: 1002,4 hPa.
Vlhkost vzduchu: 32,0 %.
Způsob zpracování dat
Z poloh difrakčních maxim z ohybu na mřížce bude určena mřížková konstanta s pomocí lineární regrese. Polohy maxim z ohybového obrazce budou určeny přímým odečtem z grafu. Takto získané polohy budou podrobeny lineární regresi. Parametry štěrbiny a dvojštěrbiny budou určeny buď fitací funkcí (1), (3) (+ posunovací konstanty), nebo odečtem příslušných minim a lineární regresí podle (2) a (4). Z dat kalibrace mikroskopu určíme kalibrační konstantu pomocí lineární regrese. Naměřené parametry ohybových prvků v dílcích statisticky zpracujeme, v případě mřížky užijeme lineární regrese. Pomocí kalibrační konstanty pak dílky přepočítáme na jednotky délky. Chyby jsou dány chybami regresních koeficientů, statistickými chybami měřeného souboru a mezní chybou veličin.
3.3
Naměřené hodnoty
Naměřené a zpracované hodnoty udávají tabulky 1 až 8.
4
Tabulka 1: Maxima mřížky z mm papíru. Č. maxima Souřadnice x[mm] δ[mm] -11 3,0 1 -10 15,5 1 -9 28,5 1 -8 41,0 1 -7 54,0 1 -6 66,5 1 -5 79,5 1 -4 92,5 1 -3 105,0 1 -2 117,5 1 -1 130,0 1 0 142,5 1 1 155,5 1 2 168,0 1 3 180,0 1 4 194,0 1 5 205,5 1 6 219,5 1 7 231,5 1 8 244,0 1 9 257,0 1 10 270,0 1 11 282,0 1
Tabulka 2: Maxima mřížky z ohyb. obrazce. Č. maxima Souřadnice x[mm] δ[mm] -2 -24,264 0,002 -1 -12,129 0,001 0 0,026 0,001 1 12,187 0,001 2 24,330 0,002
5
Tabulka 3: Ohyb. obrazec dvojštěrbiny A. Minima funkce sin2 ϕ/ϕ2 Č. minima Souřadnice x[mm] δ[mm] -2 -10,450 0,3 -1 -5,203 0,2 1 5,434 0,2 2 10,417 0,3 Minima funkce cos2 ϕ Č. minima Souřadnice x[mm] δ[mm] 1 -9,702 0,1 2 -8,756 0,1 3 -7,733 0,1 4 -6,644 0,1 5 -5,643 0,1 6 -4,780 0,1 7 -3,663 0,1 8 -2,640 0,1 9 -1,562 0,1 10 -0,495 0,1 11 0,616 0,1 12 1,672 0,1 13 2,640 0,1 14 3,619 0,1 15 4,785 0,1 16 5,797 0,1 17 6,831 0,1 18 7,810 0,1 19 8,844 0,1 20 9,878 0,1
Tabulka 4: Kalibrace mikroskopu. Kalibr. měřítko [mm] Okulár[dílky] 0,0 0,37 0,1 0,99 0,2 1,59 0,3 2,19 0,4 2,82 0,5 3,41 0,6 4,04 0,7 4,64 0,8 5,25 0,9 5,85 1,0 6,47 1,1 7,07 1,2 7,68 1,3 8,29
6
Tabulka 5: Mřížka pod mikroskopem. Číslo vrypu Souřadnice [dílek] 1 0,23 2 0,52 3 0,85 4 1,17 5 1,47 6 1,78 7 2,11 8 2,42 9 2,76 10 3,08 11 3,38 12 3,69 13 4,00 14 4,33 15 4,64
Tabulka 6: Štěrbina B pod mikroskopem. w1 [dílky] w2 [dílky] w2 − w1 [dílky] 3,29 4,52 1,23 4,46 5,66 1,20 5,69 6,91 1,22 6,95 8,14 1,19 2,96 4,17 1,21 4,12 5,49 1,37
Tabulka 7: Souřadnice po řadě levé a pravé hrany první a druhé štěrbiny dvojštěrbiny A. z1 [díl.] z2 [díl.] z3 [díl.] z4 [díl.] z2 − z1 [díl.] z4 − z3 [díl.] z3 − z1 [díl.] z4 − z2 [díl.] 0,17 0,87 3,85 4,57 0,70 0,72 3,68 3,70 3,04 3,74 6,68 7,43 0,70 0,75 3,64 3,69 3,65 4,34 7,32 8,11 0,69 0,79 3,67 3,77 1,75 2,49 5,52 6,13 0,74 0,61 3,77 3,64 3,89 4,63 7,54 8,27 0,74 0,73 3,65 3,64
7
3.4
Zpracování dat, číselné a jiné výsledky
Parametr mřížky z maxim na milimetrovém papíře Naměřené souřadnice jednotlivých maxim jsou v tabulce 1. Vzdálenost vrypů jsme určili ze směrnice s fitované lineární funkce programem QtiPlot a porovnáním s (6). lλ = (0,0499 ± 0,0006) mm, P ≈ 1. s Odtud pak mřížkový parametr (počet vrypů na jednotku délky) am =
−1 a−1 m = (20,05 ± 0,22) mm ,
P ≈ 1.
Parametr mřížky z difrakčního obrazce K určení poloh maxim ohybového obrazce mřížky (tabulka 2) užijeme funkcionalitu „multipeakÿ gaussovského typu programu QtiPlot. Vzdálenost vrypů jsme určili ze směrnice s fitované lineární funkce závislosti určených poloh maxim na jejich řádu programem QtiPlot a porovnáním s (6). lλ = (0,0521 ± 0,0005) mm, P ≈ 1. s Odtud pak mřížkový parametr (počet vrypů na jednotku délky) am 0 =
−1 a−1 m0 = (19,19 ± 0,19) mm ,
P ≈ 1.
Parametr štěrbiny B z difrakčního obrazce Fitací funkce typu (1) s uvážením možného posunu v obou osách naměřenému průběhu intenzity programem QtiPlot získáme násobící konstantu r v argumentu. Z ní pak určíme šířku štěrbiny b=
rλ = (0,2004 ± 0,0009) mm, π
P ≈ 1.
Parametr dvojštěrbiny A z difrakčního obrazce Zde fitace funkce typu (3) selhala. Byla proto z grafu 4 odečtena minima obou ohybových funkcí v součinu (3), viz tabulka 3. Parametry a, b byly určeny ze směrnic s1 a s2 získaných lineární regresí závislostí x = x(k) a x = x(k + 1/2) podle podmínek pro minima (2) a (4). bk =
lλ = (0,120 ± 0,006) mm, s1
P ≈ 1.
ak =
lλ = (0,610 ± 0,009) mm, s2
P ≈ 1.
Kalibrace mikroskopu Naměřená data jsou v tabulce 4. Lineární regresí závislosti počtu dílků na délce kalibru programem QtiP lot jsme získali jako převrácenou hodnotu směrnice kalibrační koeficient , který odpovídá délce jednoho dílku okulárového měřítka. = (0,164 ± 0,002) mm · dílek−1 ,
8
P ≈ 1.
Určení parametru mřížky mikroskopem Naměřená data jsou v tabulce 5. Lineární regresí získáme směrnici τ , která odpovídá počtu dílků vzdálenosti sousedních vrypů. Parametr mřížky je pak a00m
−1
=
1 = (19,26 ± 0,12) mm−1 , τ
P ≈ 1.
Určení parametru štěrbiny B mikroskopem Naměřená data jsou v tabulce 6. Statistickým zpracováním naměřených dat získáme šířku štěrbiny v dílcích, kterou přenásobíme kalibrační konstantou . Získáme b0| = (0,203 ± 0,015) mm,
P ≈ 1.
Určení parametrů dvojštěrbiny A mikroskopem Naměřená data jsou v tabulce 7. Z naměřených dílkových souřadnic vypočítáme vzdálenosti a šířky štěrbin. Tato data statisticky zpracujeme, čímž získáme oba parametry v dílcích. Přenásobením kalibrační konstantou získáme hodnoty b0k = (0,118 ± 0,008) mm,
P ≈ 1,
a0k = (0,605 ± 0,008) mm,
P ≈ 1.
Určení relativní chyby kalibrace Kalibrační konstanta mikroskopu byla určena jako převrácená hodnota směrnice proložené přímky, viz graf 5. Její relativní chyba je dána relativní chybou tohoto regresního koeficientu. Přepočítáme-li statistickou chybu směrnice na chybu mezní, dostáváme relativní chybu kalibrace 1,2%.
9
Grafické výsledky měření
Graf 1: Závislost polohy maxim na jejich řádu (mřížka) 300 Experimentální body Lineární regrese
souřadnice x[mm]
250 200 150 100 50 0 −10
−5
0 Řád maxima
5
10
Graf 2: Ohybový obrazec mřížky relativní intenzita [1]
3.5
Experiment. body
200 150 100 50 0 −30
−20
−10
0 x[mm]
10
10
20
30
Graf 3: Ohybový obrazec štěrbiny B
relativní intenzita [1]
250
Exp. body Reg. proložení
200 150 100 50 0 −10
−5
0 x[mm]
5
10
Graf 4: Ohybový obrazec dvojštěrbiny A
relativní intenzita [1]
250 Celek Při přebuzení
200 150 100 50 0 −10
−5
0 x[mm]
11
5
10
Graf 5: Kalibrace mikroskopu stupnice okuláru [dílky]
10 Experiment. body Lineární regrese
8 6 4 2 0 0
0,5 1 kalibrační stupnice x[mm]
1,5
Graf 6: Minima ohybového obrazce dvojštěrbiny A 20 souřadnice x[mm]
15 10 5 0 −5
Minima fce cos2 ϕ Minima fce sin2 ψ/ψ 2 Lineární regrese
−10 −15 0
5
10 15 číslo minima
12
20
25
4
Diskuze výsledků
Porovnání přesnosti jednotlivých metod obsahuje tabulka 8. Zatímco u mikroskopické metody je relativní chyba určení tím větší, čím menší rozměry prvku jsou, u metody ohybových obrazců je tomu naopak – se zmenšováním štěrbin se ohybový obrazec rozšiřuje. Výrazné relativní chyby mikroskopické metody jsou tak u šířky štěrbin štěrbiny B a dvojštěrbiny A (malé rozměry). U mikroskopem měřené mřížky byla užita metoda lineární regrese, proto je chyba vzhledem ke zmíněným malá. V případě mřížky dává nejmenší nejistotu měření mikroskop, dálší je metoda z ohybového obrazce a nejméně přesná je dle očekávání metoda odečítání maxim z milimetrového papíru. V případě štěrbiny a dvojštěrbiny je přesnější metoda ohybových obrazců s výjimkou určování vzdáleností štěrbin dvojštěrbiny, kde je metoda mikroskopu přesnější. Statistické chyby určení rozměrů prvků mikroskopem zahrnují rozdílnosti parametrů v jednotlivých místech osvětlovaných částí ohybových prvků. Naměřené hodnoty představují průměrné hodnoty rozměrů užívané části ohybového prvku. Minima ohybového obrazce dvojštěrbiny A byla odečítána z dat, které byly získány bez použití filtrů – ořezaná část v grafu 4, z důvodu lepšího rozlišení. Metoda určení mřížkové konstanty z ohybového obrazce by byla zřejmě mnohem přesnější, bylo-li by možné naměřit i vyšší jak druhá maxima.
Tabulka 8: Tabulka k porovnání výsledků použitých metod. Ohybový prvek Popis parametru Mřížka
Vzdálenost vrypů
Štěrbina B
Šířka štěrbiny Šířka štěrbiny
Dvojštěrbina A Vzdálenost štěrbin
Metoda určení Maxima z mm papíru Maxima z ohyb. obraz. Mikroskop Fit ohyb. obrazce Mikroskop Minima z ohyb. obraz. Mikroskop Minima z ohyb. obraz. Mikroskop
13
Parametr Chyba −1 (20,1 ± 0,2) mm 1,1 % −1 (19,2 ± 0,2) mm 1,0 % (19,3 ± 0,1) mm−1 0,6 % (0,201 ± 0,001) mm 0,4 % (0,203 ± 0,015) mm 7,3 % (0,120 ± 0,006) mm 4,9 % (0,118 ± 0,008) mm 6,6 % (0,610 ± 0,009) mm 1,5 % (0,605 ± 0,008) mm 1,3 %
5
Závěr
Mřížkovou konstantu (tj. počet vrypů v jednotce délky) mřížky jsme určili z maxim na milimetrovém papíře, zpracováním ohybového obrazce a analýzou pod mikroskopem. Dostali jsme po řadě a zaokrouhlení na celé vrypy výsledky −1 a−1 m = (20 ± 1) mm ,
a0m
P ≈ 1,
−1
= (19 ± 1) mm−1 ,
P ≈ 1,
−1
= (19 ± 1) mm−1 ,
P ≈ 1.
a00m
Šířka štěrbiny B byla určena jak z ohybového obrazce, tak analýzou mikroskopem. Dostali jsme hodnoty po řadě b| = (0,201 ± 0,001) mm,
P ≈ 1,
b0| = (0,203 ± 0,015) mm,
P ≈ 1.
Parametry dvojštěrbiny A byly určeny z minim ohybového obrazce i přímým měřením pod mikroskopem s následujícími výsledky ak = (0,610 ± 0,009) mm,
P ≈ 1.
bk = (0,120 ± 0,006) mm,
P ≈ 1.
a0k = (0,605 ± 0,008) mm,
P ≈ 1.
b0k = (0,118 ± 0,008) mm,
P ≈ 1,
Pro širší štěrbiny a větší parametry je výhodnější užít metody mikroskopické, pro užší a menší lze s výhodou užít metodu ohybových obrazců.
Seznam použité literatury [1] ZFP III MFF UK Praha: Fyzikální praktikum, studijní text. (15.3.2014). http://physics.mff.cuni.cz/vyuka/zfp/zadani/txt_303 [2] Wikipedia, internetová encyklopedie: Helium-neon laser. (15.3.2014). http://en.wikipedia.org/wiki/Helium-neon_laser
14
