Oddˇelen´ı fyzik´aln´ıch praktik pˇri Kabinetu v´yuky obecn´e fyziky MFF UK
PRAKTIKUM . . . ´ Uloha ˇc. p p p p p p p p p p p p p p p N´ azev: p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p Pracoval: p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p stud. skup. p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p dne p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p Odevzdal dne: p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
Moˇzn´y poˇcet bod˚ u Pr´ ace pˇri mˇeˇren´ı
0–5
Teoretick´ a ˇc´ ast
0–1
V´ysledky mˇeˇren´ı
0–8
Diskuse v´ysledk˚ u
0–4
Z´ avˇer
0–1
Seznam pouˇzit´e literatury
0–1
Celkem
max. 20
Posuzoval: p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p dne p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
Udˇelen´y poˇcet bod˚ u
Pracovn´ı u ´ koly 1. Urˇcete rychlost ˇs´ıˇren´ı pod´eln´ ych zvukov´ ych vln v mosazn´e tyˇci metodou Kundtovy trubice. Z namˇeˇren´e rychlosti zvuku stanovte modul pruˇznosti v tahu E materi´alu tyˇce. 2. Zmˇeˇrte rychlost zvuku ve vzduchu a v oxidu uhliˇcit´em pomoc´ı uzavˇren´eho reson´atoru. V´ ysledky mˇeˇren´ı zpracujte metodou lin´ arn´ı regrese a graficky zn´azornˇete. 3. Vypoˇc´ıtejte Poissonovu konstantu κ oxidu uhliˇcit´eho z namˇeˇren´e rychlosti zvuku.
1
Teoretick´ aˇ c´ ast Rychlost ˇs´ıˇren´ı zvuku c je spjata s d´elkou zvukov´e vlny λ a jej´ım kmitoˇctem ν vztahem: c = λν
(1)
Kundtova trubice [1] Metodou Kundtovy trubice lze v plynech zviditelnit polohu uzl˚ u a kmiten stojat´ ych zvukov´ ych vln. Trubice je z jedn´e strany opatˇrena pevn´ ym uz´ avˇerem a je vysyp´ana korkov´ ym pr´aˇskem. Na druh´e stranˇe je um´ıstˇena zkouman´ a tyˇc, zakonˇcena korkov´ ym p´ıstem, kterou pod´elnˇe rozkmit´av´ame pomoc´ı nakalafunovan´eho hadˇr´ıku. Poloha trubice je nastaviteln´ a a umoˇzn ˇuje n´ am tak naleznout vhodn´e uspoˇr´ad´an´ı pro rezonanci stojat´ ych vln. Pokud se n´am to podaˇr´ı, vytvoˇr´ı pr´ aˇsek v trubici obrazce tvaru sinusoidy s jasnˇe patrn´ ymi polohami kmiten (pr´aˇsek je rozmet´ an) a uzl˚ u (pr´ aˇsek nen´ı rozmet´ an). Vzd´ alenost dvou vedlejˇs´ıch uzl˚ u je rovna polovinˇe vlnov´e d´elky. Pˇri upevnˇen´ı tyˇce pˇresnˇe uprostˇred, je ta schopna vyd´ avat zvuk jedn´e frekvence s vlnovou d´elkou dvojn´asobku d´elky tyˇce l: λ1 = 2l
(2)
λ1 je d´elka vlny ˇs´ıˇr´ıc´ı se tyˇc´ı. Rezonance a viditeln´ y obrazec v tyˇci je nejzˇretelnˇejˇs´ı, kdyˇz d´elka trubice je cel´ ym n´ asobkem p˚ ulvln ˇs´ıˇr´ıc´ıch se vzduchem v trubici.
Pˇri ˇs´ıˇren´ı dvˇema prostˇred´ımi zachov´ av´ a zvukov´a vlna sv˚ uj kmitoˇcet ν. Pro rychlost ˇs´ıˇren´ı zvuku v tyˇci c1 , ve vzduchu c2 a odpov´ıdaj´ıc´ı vlnov´e d´elky plat´ı podle (1): c2 c1 = λ1 λ2
(3)
Pˇri znalosti rychlosti zvuku ve vzduchu c2 m˚ uˇzeme zmˇeˇren´ım d´elky tyˇce l a obrazce v trubici zjistit vlnov´e d´elky, a toho pouˇz´ıt k urˇcen´ı rychlosti zvuku v tyˇci podle (3). Zvukov´e vlny se v plynech ˇs´ıˇr´ı rychlost´ı c urˇcenou vzorcem: r p c= κ ρ
(4)
kde κ je Poissonova konstanta, p tlak plynu a ρ jeho hustota. Pˇri nepˇr´ıliˇs vysok´em tlaku, lze tuto rychlost s dosazen´ım ze stavov´e rovnice vyj´ adˇrit v z´ avislosti na teplotˇe t a hodnot´ach p0 , ρ0 pˇri t = 0 °C. Pro rychlost zvuku v such´em vzduchu tak dostaneme vztah: c = (331.82 + 0.61 · t)m.s−1
(5)
Pˇri 50 % vlhkosti a teplotˇe 20 °C okoln´ıho vzduchu: c = (344.36 + 0.63(t − 20))m.s−1
(6)
Modul pruˇ znosti E tyˇ ce Pro tenkou tyˇc plat´ı: s c=
E ρ
(7)
kde E je modul pruˇznosti tyˇce v tahu a ρ jej´ı hustota. Dohled´an´ım hustoty pouˇzit´e tyˇce v tabulk´ach tak m˚ uˇzeme z tohoto vztahu urˇcit jej´ı modul pruˇznosti E.
2
Uzavˇ ren´ y rezon´ ator [1] Uzavˇren´ y rezon´ ator je soustava dvou souos´ ych trubic, kter´e se mohou do sebe zasouvat, popˇr. vysouvat a tvoˇrit tak r˚ uznˇe dlouh´ y uzavˇren´ y v´ alec. Na jednom jeho konci je telefonn´ı sluch´atko nap´ajen´e t´onov´ ym gener´atorem regulovateln´e frekvence, na druh´e stranˇe je zvuk sn´ım´an mikrofonem, kter´ y sign´al pˇren´aˇs´ı na mikroamp´ermetr. Rezon´ ator je doplnˇen o ventily pro pˇr´ıvod a uzavˇren´ı zkouman´ ych plyn˚ u. Rychlost zvukov´e vlny m˚ uˇzeme urˇcit dvoj´ım zp˚ usobem. Pˇri konstantn´ı frekvenci ν vys´ılan´eho zvuku nastavujeme d´elku rezon´ atoru, aby doˇslo k rezonanci. Pˇri n´ı je proud sn´ıman´ y mikroamp´ermetrem maxim´aln´ı. Rozd´ıl d´elek rezon´ atoru l1 − l2 bˇehem dvou sousedn´ıch rez. je roven polovinˇe d´elky zvukov´e vlny. Pro rychlost c tak dost´av´ ame: c = 2(l1 − l2 )ν
(8)
Druh´ y zp˚ usob je nastavit konstantn´ı d´elku rezon´ atoru l a mˇenit frekvenci zvuku ν. Rezonance nast´av´a u frekvenc´ı, pˇri kter´ ych se do d´elky rezon´ atoru l vejde pr´ avˇe celistv´ y n´asobek odpov´ıdaj´ıc´ıch p˚ ulvln λ/2. Pˇri dosazen´ı do (1) tak z´ısk´ ame: 2l (9) c= ν k kde k = 1, 2, 3, . . . a ν frekvence, pˇri nichˇz doch´ az´ı k rezonanci. Mˇeˇren´ı druh´ ym zp˚ usobem prob´ıh´ a tak, ˇze nejprve nalezneme z´akladn´ı frekvenci (odhadem a pak pˇresn´ ym odeˇcten´ım hodnoty pˇri rezonanci), kdy odpov´ıdaj´ıc´ı p˚ ulvlna se do d´elky rezon´atoru l vejde pr´avˇe jednou. Frekvenci pak navyˇsujeme o hodnotu z´ akladn´ı, pˇriˇcemˇz pˇresn´ y u ´daj vˇzdy urˇc´ıme podle rezonance, kdy mikroamp´ermetr ukazuje nejv´ıce. Pˇred samotn´ ym mˇeˇren´ım rychlosti zvuku ve vzduchu je nutn´e z rezon´atoru vyfoukat pomoc´ı bal´ onku zbyl´ y oxid uhliˇcit´ y. (Stejnˇe tak rezon´ ator profouknout oxidem uhliˇcit´ ym pˇred mˇeˇren´ım rychlosti v oxidu uhl.) Pro pouˇzit´ı prv´eho zp˚ usobu je d˚ uleˇzit´e naj´ıt vhodnou frekvenci, pˇri n´ıˇz se do rozsahu nastaviteln´ ych d´elek rezon´ atoru vejdou alespoˇ n tˇri rezonance. Prv´ y zp˚ usob lze pouˇz´ıt pouze pro mˇeˇren´ı rychlosti ve vzduchu. Naplnˇen CO2 je rezon´ ator utˇesnˇen a zmˇenou jeho d´elky by se mˇenil i tlak plynu uvnitˇr. Poissonova konstanta Poissonovu konstantu κ oxidu uhliˇcit´eho z´ısk´ ame ze zmˇeˇren´e rychlosti zvuku ze vztahu (4) pˇri dosazen´ı ze stavov´e rovnice id. plynu: s r p RT (10) c= κ = κ ρ µ kde µ je molekulov´ a hmotnost plynu. Pro oxid uhliˇcit´ y zn´ame atomovou hmotnost kysl´ıku αO = 16.0 a uhl´ıku αC = 12.0, tedy µCO2 = 0.044 kg.mol−1 . Pouˇ zit´ e pˇ r´ıstroje a pom˚ ucky P´ asov´ y metr Ke zmˇeˇren´ı d´elky tyˇce l a trubice s obrazci. Odhadnut´a chyba 0.1 cm. korkov´ a drˇt, kalafuna, hadˇr´ık, drˇz´ aky a u ´chyty na tyˇc a trubici. Trubice uzavˇ ren´ eho rezon´ atoru T´ onov´ y gener´ ator
S nastavitelnou d´elkou rezon´atoru l v rozmez´ı 70 aˇz 86 cm s chybou 0.1 cm.
S nastavitelnou frekvenc´ı zvukov´eho sign´alu ν, chyba ∆ν = 1 Hz.
mikrofon s pˇripojen´ ym mikroamp´ermetrem k zjiˇstˇen´ı rezonance, bal´onek k profouknut´ı rezon´atoru, tlakov´e n´adoby plnˇen´e CO2
3
2
V´ ysledky mˇ eˇ ren´ı Tam kde nebude uvedeno jinak, jsou chyby nepˇr´ımo mˇeˇren´ ych veliˇcin poˇc´ıt´any podle: s 2 2 ∂A ∂A A(x, y, . . .) = ∆x + ∆y + . . . ∂x ∂y
(11)
Podm´ınky mˇ eˇ ren´ı a z´ akl. pouˇ z´ıvan´ e konstanty Plynov´ a konstanta Teplota okoln´ıho vzduchu Vlhkost okoln´ıho vzduchu
R = 8.314 J.K−1 .mol−1 t = (24.5 ± 0.1) °C (24 ± 0.2) %
Rychlost zvuku v tyˇ ci Parametry tyˇ ce a namˇ eˇ ren´ e hodnoty D´elka tyˇce Poˇcet p˚ ulvln v trubici D´elka trubice Hustota mosazi [2]
l = (151.0 ± 0.5) cm 5 (5/2)λ2 = (76 ± 1) cm ρmosaz = 8300 aˇz 8600 kg.m−3
Chyba mˇeˇren´ ych d´elek byla lehce nadhodnocena s ohledem na nepˇresn´e odeˇc´ıt´an´ı ze stupnice metru, pˇr´ıp. pˇresnosti nastaven´ı. Vzhledem k tomu, ˇze vlhkost okoln´ıho vzduchu byla 25 % dopoˇcetl jsem odpov´ıdaj´ıc´ı rychlost zvuku v nˇem c2 podle obou vztah˚ u (5) a (6), abych zjistil jak moc se od sebe liˇs´ı: c2(5) = (346.77 ± 0.06) m.s−1 c2(6) = (347.20 ± 0.06) m.s−1 Pˇredpokl´ ad´ am, ˇze skuteˇcn´ a rychlost c2 leˇz´ı nˇekde v intervalu mezi nimi, tak jsem z nich spoˇcetl aritmetick´ y pr˚ umˇer a stat. chybu nav´ yˇsil o 0.5 m.s−1 , coˇz je jejich rozd´ıl: c2 = (346.98 ± 0.56) m.s−1 Do vztahu (3) pak dosad´ım zjiˇstˇenou rychlost ve vzduchu c2 , vyj´adˇrenou d´elku vlny λ2 z d´elky pˇeti p˚ ulvln v trubici a λ1 vlnovou d´elku v tyˇci z jej´ı d´elky l podle (2). Dopoˇctu tak rychlost v tyˇci c1 : c1 = (3446 ± 47) m.s−1 Modul pruˇ znosti v tahu E tyˇ ce Z rovnice (7) vyj´ adˇr´ım modul E: E = c2 ρ
(12)
Pak dosad´ım zjiˇstˇenou rychlost zvuku c1 a hustotu mosazi nalezenou v tabulk´ach [2], spoˇctu tak Emosaz . Vzhledem k rozmez´ı hustot, kter´e se nach´ az´ı v tabulk´ ach, jsem hodnotu E spoˇcetl pro jeho krajn´ı body, tedy 8300 a 8600 kg.m−3 , a urˇcil tak interval, ve kter´em se nach´az´ı E: Emosaz,min = (9.9 ± 0.3) x1010 Pa Emosaz,max = (10.2 ± 0.3) x1010 Pa
Mˇ eˇ ren´ı rychlosti zvuku ve vzduchu pomoc´ı uzav. rezon´ atoru Nejprve rozeberme v´ ysledky mˇeˇren´ı rychlosti zvuku pˇri konstantn´ı frekvenci sign´alu. Ta byla zvolena ν = 2203 Hz. l1 [cm] 86.0 86.0
l2 [cm] 78.1 78.1
l3 [cm] 70.3 70.2
∆l [cm] 7.9 ± 0.1 7.9 ± 0.1
Tabulka 1: Namˇeˇren´e d´elky rezon´ atoru pˇri rezonanc´ıch l a pr˚ umˇern´a vzd´alenost dvou nejbliˇzˇs´ıch ∆l. Z tabulky 1 zjiˇsˇtujeme, ˇze rozd´ıl d´elek rezon´ atoru mezi dvˇemi nejbliˇzˇs´ımi rezonancemi je: ∆l = (7.9 ± 0.1) cm To n´ am staˇc´ı dosadit do (9) a z´ısk´ av´ ame rychlost zvuku ve vzduchu: c3 = (348 ± 6) m.s−1 4
V´ ysledky mˇeˇren´ı pˇri konstantn´ı d´elce rezon´ atoru l = 80 cm jsou v tabulce 2. Samotn´a chyba pˇr´ıstroje generuj´ıc´ıho zvukov´ y sign´ al dan´e frekvence je velice mal´ a, nejv´ıce 1 Hz. Vzhledem k tomu, ˇze nelze na amp´ermetru a ostatn´ıch pˇr´ıstroj´ıch vˇzdy pˇresnˇe stanovit moment rezonance, bylo mˇeˇren´ı provedeno nˇekolikr´at (2x, 3x, pro niˇzˇs´ı frek. i 5x) s c´ılem zjistit nakolik je mˇeˇren´ı replikovateln´e. K m´emu pˇrekvapen´ı se pˇri opakov´an´ı hodnoty v drtiv´e vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u neliˇsily o v´ıc neˇz pr´ avˇe nejmenˇs´ı d´ıl dig. ukazatele, tedy onen 1 Hz. Proto jsem chybu frekvence ν ani nenadhodnocoval. k ν [Hz]
1 211
2 434
3 647
4 867
5 1074
6 1291
7 1509
8 1720
9 1933
10 2149
11 2368
12 2583
Tabulka 2: Namˇeˇren´e frekvence sign´ alu ν ˇs´ıˇr´ıc´ıho se vzduchem v rezon´atoru, pˇri nichˇz doˇslo k rezonanci, tj. kdy se do d´elky l vejde pr´ avˇe k p˚ ulvln.
Data zpracov´ av´ ame line´ arn´ı regres´ı, metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u. K tomu poslouˇz´ı rovnice (9), kterou uprav´ıme: ν=
c k → Ak + B 2l
(13)
Zjist´ıme konstantu u ´mˇernosti Avzduch , chybu v´ aˇzen´ım chybou ν. Z t´e pak dopoˇcteme hledanou rychlost zvuku ve vzduchu c4 : Avzduch = (215 ± 0.3) Hz c4 = (344.0 ± 0.6) m.s−1
Mˇ eˇ ren´ı rychlosti zvuku v oxidu uhliˇ cit´ em pomoc´ı uzav. rezon´ atoru k ν [Hz]
1 162
2 336
3 500
4 673
5 838
6 1006
7 1178
8 1345
9 1508
10 1679
11 1849
12 2014
13 2179
14 2351
15 2520
Tabulka 3: Namˇeˇren´e frekvence sign´ alu ν ˇs´ıˇr´ıc´ıho se oxidem uhliˇcit´ ym v rezon´atoru, pˇri nichˇz doˇslo k rezonanci, tj. kdy se do d´elky l vejde pr´ avˇe k p˚ ulvln.
Zpracov´ an´ı je zcela shodn´e s pˇredchoz´ım pˇr´ıpadem. Hled´ame konstantu ACO2 , z n´ıˇz vyj´adˇr´ıme pomoc´ı l = 80 cm k´ yˇzenou rychlost zvuku v oxidu uhliˇcit´em c5 . ACO2 = (168.1 ± 0.1) Hz c5 = (268.9 ± 0.4) m.s−1 Obˇe mˇeˇren´ı ilustruje graf na obr. 1. Data byla zpracov´ana a graf sestrojen pomoc´ı programu R 2.10.1.
Poissonova konstanta pro oxid uhliˇ cit´ y Ze znalosti atomov´ ych rel. hmotnost´ı uhl´ıku a kysl´ıku jsme uˇz v teoretick´e ˇc´asti urˇcili mol´arn´ı hmotnost CO2 jako µ = 0.044 kg.mol−1 . Teplotu t, pˇri kter´e prob´ıhalo mˇeˇren´ı (tedy ide´alnˇe i teplota plynu v rez.) pˇrevedeme na termodynamickou T = (297.7 ± 0.1) K. Poissonovu konstantu κ dostaneme z (10): κ=
c2 µ RT
Za c dosad´ıme namˇeˇrenou rychlost zvuku v oxidu uhl. c5 a dost´av´ame: κ = (1.2858 ± 0.0036)
5
(14)
Obr. 1: Graf z´ avislosti rezonanˇcn´ı frekvence ν na poˇctu p˚ ulvln k uzavˇren´ ych v rezon´atoru.
3
Diskuse v´ ysledk˚ u
Jednotliv´e namˇeˇren´e rychlosti zvuku ve vzduchu c2 , c3 a c4 pˇri dan´ ych podm´ınk´ach si navz´ajem teoreticky neodporuj´ı a pokud se nepˇrekr´ yvaj´ı pˇr´ımo sv´ ymi chybov´ ymi intervaly, tak alespoˇ n jejich trojn´asobky. Tento mal´ y rozptyl m˚ uˇze b´ yt zp˚ usoben´ y napˇr´ıklad t´ım, ˇze bˇehem mˇeˇren´ı do laboratoˇre stˇr´ıdavˇe sv´ıtilo slun´ıˇcko a teplota vzduchu se tak mohla nepatrnˇe liˇsit (hovoˇr´ıme-li o c3 a c4 ), v pˇr´ıpadˇe c2 , kter´e je poˇc´ıt´ano teoreticky, pak m˚ uˇze nav´ıc j´ıt o ˇspatnou aproximac´ı aritmetick´ ym pr˚ umˇerem a tedy skuteˇcn´a hodnota se bl´ıˇz´ı sp´ıˇse t´e vyˇsˇs´ı, oznaˇcen´e jako c2(6) , poˇc´ıtan´e podle (6) (viz. v´ ysledky). Tabelovan´e hodnoty rychlosti zvuku ve vzduchu pak ˇcin´ı podle [2] 343.6 m.s−1 pro teplotu 20 °C a 355.1 m.s−1 pro 40 °C pˇri norm´aln´ım tlaku, takˇze z´ıskan´e hodnoty by mˇely leˇzet nˇekde mezi, bl´ıˇze hodnotˇe pˇri 20 °C, coˇz splˇ nuj´ı. Rychlosti pro teploty mezi 20 a 40 °C a pro r˚ uzn´e vlhkosti vzduchu [2] neuv´ ad´ı. Neboˇt v tabulk´ ach [2] se takt´eˇz nenach´ az´ı hodnota rychlosti zvuku v mosazi, mnou namˇeˇren´e c1 mohu akor´ at porovnat s jin´ ymi slitinami, popˇr. kovy, jimˇz ˇr´ adovˇe odpov´ıd´a. Ovˇsem z c1 poˇc´ıtan´ y modul pruˇznosti v tahu mosazi Emosaz (resp. interval, ve kter´em by se mˇel nach´azet [Emosaz,min , Emosaz,max ]) se velmi pˇeknˇe shoduje s tabelovan´ ym 9.9 x1010 Pa. Zmˇeˇrenou rychlost zvuku v oxidu uhliˇcit´em porovn´am opˇet pouze ˇr´adovˇe s tabelovanou hodnotu 260.3 m.s−1 pˇri 0 °C [2]. Namˇeˇren´ a c5 je vˇetˇs´ı, coˇz je teoreticky spr´avnˇe. Poissonova konstanta κ pro oxid uhliˇcit´ y pˇri 20 °C je tamt´eˇz uvedena jako 1.293.
4
Z´ avˇ er
Byla zmˇeˇrena rychlost zvuku v mosazn´e tyˇci c1 = (3446 ± 47) m.s−1 metodou Kundtovy trubice a n´aslednˇe urˇcen jej´ı modul pruˇznosti v tahu Emosaz jako (9.9 ± 0.3) x1010 Pa aˇz (10.2 ± 0.3) x1010 Pa.
6
Pomoc´ı uzavˇren´eho rezon´ atoru byla urˇcena rychlost zvuku ve vzduchu metodami pˇri konstantn´ı frekvenci zvuk. sign´ alu: c3 = (348±6) m.s−1 (mˇeˇren´ı zaznamen´ av´ a tabulka 1); a pˇri konstantn´ı d´elce rezon´atoru: c4 = (344.0 ± 0.6) m.s−1 (tabulka 2 a graf na obr. 1); stejn´ ym zp˚ usobem pak i rychlost zvuku v oxidu uhliˇcit´em c5 = (268.9 ± 0.4) m.s−1 (tabulka 3 a graf na obr. 1). Nakonec byla zjiˇstˇena i Poissonova konstanta pro oxid uhliˇcit´ y κ = (1.2858 ± 0.0036).
5
Literatura
Pouˇ zit´ a literatura [1] Studijn´ı text, X Rychlost ˇs´ıˇren´ı zvuku, http://physics.mff.cuni.cz/vyuka/zfp/ [2] J. Broˇz, V. Roskovec, M. Valouch: Fyzik´aln´ı a matematick´e tabulky, SNTL, Praha 1980
7
