Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK
PRAKTIKUM I. Úloha č. pXVI pppppp Název:p p pStudium p p p p p p p p p p p p p Brownova p p p p p p p p p p p p p p p ppohybu ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp Pracoval: p p p p p p p p p p p p p Lukáš p p p p p p p p p pVejmelka p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p stud. skup. p p p p p p p p p p p p p pFMUZV p p p p p p p p p p p p p(73) p p p p p p p p p p p p p p dne p p p p p p p p p p p p p p 20.3.2013 ppppppppppppppppppppppp Odevzdal dne:p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
Možný počet bodů Práce při měření
0–5
Teoretická část
0–1
Výsledky měření
0–8
Diskuse výsledků
0–4
Závěr
0–1
Seznam použité literatury
0–1
Celkem
max. 20
Posuzoval: p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p dne p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
Udělený počet bodů
1
Zadání úlohy 1. Experimentálně ověřte platnost Einsteinova vztahu pro střední kvadratické posunutí částice s¯2 při Brownově pohybu. 2. Určete aktivitu Brownova pohybu A částic latexu ve vodě za pokojové teploty. 3. Vypočtěte Avogadrovu konstantu NA .
2
Teoretický úvod měření
Brownův pohyb nese jméno skotského botanika R. Browna, neboť právě on jako první mikroskopem pozoroval neustálý chaotický pohyb rostlinných pylových částeček vznášejících se v kapalině a vyzkoumal, že tento pohyb nemůže být pohybem „živýmÿ a že se jedná o zprostředkované nahlédnutí k existenci pohybu na molekulární úrovni. Brownův pohyb se tak stal jedním z důležitých průkazných pilířů kinetické teorie látky – látky tvoři částice vykonávající tzv. tepelný pohyb [4]. Brownovým pohybem tedy rozumíme pohyb malých částeček v kapalině nebo plynu, které v důsledku účinků nevyrušujících se srážek s částicemi tekutiny vykonávají chaotický neuspořádaný pohyb. Experimentálně je ukázáno, že intenzita tohoto pohybu je úměrná termodynamické teplotě, klesá s viskozitou tekutiny a je tím větší, čím menší je rozměr částeček. Při měření je třeba volit dostatečně malé kuličky, aby se fluktuace srážek projevila, ale současně dostatečně velké, aby je bylo možné – např. optickým mikroskopem, pozorovat. V praxi se proto používají kuličky o velikosti řádově 1 µm [4]. Při zkoumání Brownova pohybu se používají částice ve tvaru kuliček, neboť pro takovou částici lze s užitím Stokesovy odporové síly snadno sestavit pohybovou rovnici a s pomocí ekvipartičního teorému odvodit vztah pro střední kvadratické posunutí částice [4].
Zavedení potřebných veličin a vztahů Z předpokladu, že žádný směr pohybu částic není preferován, plyne, že střední posunutí ve všech směrech částic je nulové. Z tohoto důvodů pro posuzování Brownova pohybu zavádíme střední kvadratické posunutí. Pro suspenzi o dynamické viskozitě η a teplotě T dokonalých kuliček o poloměru r lze z pohybové rovnice a ekvipartičního teorému odvodit velikost středního kvadratického posunutí ve směru jedné osy ve tvaru (Einsteinův vztah) [4] x ¯2 =
1 Rm T · t = A · t. 3π NA rη
(1)
Rm – univerzální plynová konstanta [J · K−1 · mol−1 ], NA – Avogadrova konstanta [mol−1 ], T – termodynamická teplota suspenze [K], r – poloměr brownovské částice [m], η – dynamická viskozita suspenze [Pa · s] t – čas posunutí [s].
A=
1 Rm T 3π NA rη
(2)
Souhrné konstantě A ve vztahu (1) říkáme aktivita Brownova pohybu [3]. Všimněme si, že aktivita Brownova pohybu je určena kromě konstant NA a Rm také teplotou suspenze T , její viskozitou η a poloměrem kuliček r. Historicky bylo měření Brownova pohybu metodou ke stanovení Boltzmanovy konstanty kB , neboť pro ni platí Rm = NA ·kB a hodnota univerzální plynové konstanty byla známa. [4]
2
Uvažujme pohyb v rovině. Jsou-li oba směry pohybu částice stejně pravděpodobné (nedochází k preferovanému tečení), platí x ¯2 = y¯2 . Střední kvadratické posunutí v rovině je pak s použitím Einsteinova vztahu (1) rovno s¯2 = x ¯2 + y¯2 = 2¯ x2 = 2A · t.
(3)
Cílem měření bude ze vztahů (1) a (2) vypočítat Avogadrovu konstantu NA . Při měření v praxi nejsou podmínky, za kterých je vztah odvozen, přesně splněny. Aby výpočet konstanty byl co nejpřesnější, je třeba provádět měření více a vybrat takové, kde co nejlépe přibližně platí [3] s¯2t : s¯22t : s¯23t : . . . = t : 2t : 3t : . . . ,
(4)
kde s¯22t (resp. s¯23t ) jsou kvadráty vzdáleností bodů i a i + 2 (resp. i a i + 3) po sobě zachycených v časovém kroku t. K výpočtu Avogadrovy konstanty z aktivity Brownova pohybu je třeba znát dynamickou viskozitu η zkoumané suspenze. Ta lze v našem případě vyjádřit přibližně pomocí vztahu [3] . η = ηR · ηH2 O = (1 + 2,5 ϕ) · ηH2 0 ,
(5)
kde ϕ je objemový podíl částic v suspenzi.
2.1
Použité přístroje, měřidla, pomůcky
Trinokulární mikroskop MOTIC, kamera, PC s videokartou a softwarem (program Brown), pravítko, zvukový signalizátor času, tiskárna, Brownův roztok (latexové částečky), laboratorní míchadlo vzorků, ze sítě řízené stopky, podložní sklo, krycí sklíčka a další pomůcky (lihová fixa, destilovaná voda, papírové ubrousky), snímek latexových částeček z elektronovéhu mikroskopu s měřítkem. Tabulka 1: Použité měřící přístroje a jejich mezní chyby měření. Měřidlo Veličina[jednotka] Mezní chyba Pozn. −3 Pravítko d[m] 10 odhad Stopky t[s] 0,3 reakční doba
2.2
Důležité hodnoty, konstanty, vlastnosti
Důležité hodnoty pro výpočet nebo látkové konstanty pro porovnání výsledků. Univerzální plynová konstanta: RM = 8,314510 J · K−1 · mol−1 [2] Tabulková hodnota Avogadrovy konstanty: NA = 6,0221367 · 1023 mol−1 [2] Dynamická viskozita vody při teplotě vzorku: ηH2 O = 0,921 · 10−3 Pa · s [5]
2.3
Popis postupu vlastního měření
Příprava měření Před vlastním měřením je třeba připravit roztok tak, aby jej bylo možné sledovat pomocí optického mikroskopu. Na důkladně omyté podložní sklíčko kápneme do lihovou fixou vyznačené oblasti kapku dobře protřepaného roztoku destilované vody s částicemi latexu, jehož objemový poměr ϕ je znám. Kapku omezíme umístěním bočních krycích skel a takto vytvořené „pilířeÿ překryjeme dalším krycím sklíčkem. Před umístěním vzorku do mikroskopu přístroj vhodně nastavíme (clona, kondenzor) a optimalizujeme velikost obrazu snímaného kamerou do počítače. Ještě před zkoumáním vzorku vložíme kalibrační sklo a předáme programu Brown informaci o aktuálním zvětšení. Po té vložíme připravený 3
vzorek, s pomocí stop lihových fix na podložním skle zaostříme a postupně s průběžným doostřováním měníme objektivy až k dosáhnutí největšího zvětšení. Dále nalezneme oblast s reprezentativní Brownovskou částicí – není „slepanaÿ z více částí, nepohybuje se preferovaným směrem, atp. Pro lepší další zachycování poloh částic ještě použijeme digitální zvětšení ROI video signálu zachytávajícího programu. Nyní může měření započnout. Sledování pohybu částice Zapneme sběr dat programu Brown a laboratorní „metronomÿ a v jeho udávaných krocích zachycujeme polohy částice kliknutím do snímané roviny. Změříme nejméně 25 poloh částic. Po naměření posoudíme, zda-li je splněn Einsteinův vztah na základě přibližné platnosti vztahu (4). Zkontrolujeme graf vektorů posunutí, zda-li nedocházelo k výraznějšímu tečení vzorku. Měření provádíme dokud není vztah (4) přiměřeně splněn. Nalezení rozměru Brownovské částice Pevná část v použitém suspenzi je tvořena téměř kulovými částečkami latexu. Jejich statistický rozměr je třeba určit ze snímku souboru částic z elektronového mikroskopu, který je opatřen měřítkem. Při měření postačí pro každou částici změřit průměr jeden. Nalezení časového kroku Pro nalezení přesnější časového kroku t změříme několikrát čas trvání 10 kroků.
3 3.1
Výsledky měření Laboratorní podmínky
Teplota v laboratoři: 23,3 ◦ C Atmosférický tlak: 976,8 hPa Vlhkost vzduchu: 30 %
3.2
Způsob zpracování dat
Určení časového kroku Máme naměřno pět hodnot t0 trvání deseti časových kroků t. Časový krok tak bude určen vztahem t = t0 /10. Nejpravděpodobnějšíh hodnotu desetinásobku časového kroku vypočítáme jako aritmetický průměr. Chyba určení bude zahrnovat statistickou chybu a chybu měření přístrojem (viz tabulka 1). Průměr kulových částic Uvažujme, že snímek z elektronového mikroskopu zachycuje reprezentativní vzorek latexových částeček. Naměříme průměry jednotlivých „koulíÿ. Nejpravděpodobnější hodnotou průměru pak bude aritmetický průměr. Velikost průměru přepočítáme s pomocí měřítka snímku na reálný rozměr. Částice snímku, které mají rozmělněné okraje do souboru zahrnuty nebudou. Chyba určení průměru bude dána statistickou chybou a chybou měření přístrojem (odhad v tabulce 1). Výpočet aktivity Brownova pohybu Ze vztahu (3) vyjádříme hledanou aktivitu jako A=
5¯ s2 s¯2 = 0 . 2t t
(6)
Její nejistotu vypočítáme s pomocí statistické chyby vypočtené programem Brown a nejistotou určení časového kroku. 4
Výpočet Avogadrovy konstanty Ze vztahů (2), (3) a (5), byla-li dostatečně splněna rovnice (4) pro Avogadrovu konstantu, uvážíme-li d = 2r plyne NA =
RM tT 4 . 2 3π s¯ ηH2 O (1 + 2,5ϕ)d
(7)
Chyba určení Avogadrovy konstanty bude určena jako chyba nepřímého měření s pomocí zákona kvadratického hromadění chyb. Zakokrouhlovací chybu univerzální plynové konstanty RM a viskozity vody ηH2 O bude zanedbána.
3.3
Naměřené hodnoty
Naměřené hodnoty potřebné k výpočtům hledaných veličin a konstant jsou společně s jejich statistickým zpracováním zachyceny v tabulkách 2, 3 a 4. Tabulka 3 zachycuje výstupní hodnoty dvou z šesti měření programem Brown, u kterých se nevyskytovalo výrazné tečení či nebyla naměřena dvojčástice. Absolutní chyby dědí jednotku ze záhlaví tabulky, relativní chyby jsou bezrozměrné. Ve všech tabulkách mají tyto označení následující významy: x ¯ – nejpravděpodobnější hodnota veličiny x, sx¯s – statistická směrodatná odchylka veličiny x, ρx¯s – relativní statistická chyba veličiny x, P ≈ 0,68, ρx¯p – relativní chyba měření přístrojem veličiny x, P ≈ 0,68, ρx¯ – celková relativní chyba měření veličiny x, P ≈ 0,68.
Tabulka 2: Výpočet času t0 . Číslo měření Čas t’[s] 1. 47,9 2. 48,0 3. 48,1 4. 48,0 5. 47,9 0 ¯ t [s] 47,98 st¯0 s [s] 0,017 ρt¯0 s 0,00035 ρt¯0 p 0,0063 ρt¯0 0,0021
Tabulka 3: Výstup dat výběrů z měření z programu Brown. Měření Poměr stř. kvadr. posunutí s¯2 [µm2 ] Pro výpočet NA A. 1 : 1,71 : 2,44 : 2,81 13 ± 2 NE B. 1 : 1,90 : 2,94 : 3,59 23 ± 3 ANO
Změřené / odečtené hodnoty Teplota prostředí v bezprostřední blízkosti vzorku: T = [(273,15 + 23,5) ± 0,05] K, Měřítko snímku souboru částic z el. mikroskopu: 6,15 cm ' 1 µm.
5
Tabulka 4: Stat. vyšetřování latexových Číslo měření d0 [cm] Číslo měření 1. 2,85 17. 2. 2,7 18. 3. 2,9 19. 4. 2,1 20. 5. 2,6 21. 6. 2,3 22. 7. 2,55 23. 8. 2,8 24. 9. 2,55 25. 10. 2,75 26. 11. 2,3 27. 12. 2,55 28. 13. 2,6 29. 14. 2,45 30. 15. 2,45 31. 16. 2,2 0 ¯ d [cm] 2,58 ρd¯0 p sd¯0 s [cm] 0,0079 ρd¯0 ρd¯0 s 0,0031
kuliček. d0 [cm] 2,75 2,65 2,85 2,55 2,8 2,3 2,55 2,45 2,7 2,7 2,7 2,6 2,95 2,8 1,85 0,013 0,013
Neměřené – přejaté hodnoty (zadání úlohy, tabulky) Dynamická viskozita destilované vody při teplotě T : ηH2 O = 0,921 · 10−3 Pa · s, 1 Objemový podíl částic latexu v suspenzi: ϕ = 10000 .
3.4
Zpracování dat a číselné výsledky
Určení časového kroku Naměřená data trvání desetinásobku t0 časového kroku t jsou v tabulce 2. Statistickým zpracováním získáme nejpravděpodbnější velikost násobku t0 časového kroku. Chyba určení je dána odmocninou součtu druhých mocnin statistické směrodatné odchylky a chyby měření (viz tabulka 1). t¯0 = 47,98 s, ρt¯0 = 0,0021. Průměr kulových částic Naměřená data průměrů kuliček na snímku z elektronového mikroskopu jsou v tabulce 4. Statistickým zpracováním získáme nejpravděpodbnější velikost průměru d0 . Chyba určení je dána odmocninou součtu druhých mocnin statistické směrodatné odchylky a chyby měření (viz odhad tabulka 1). d¯0 = 2,58 cm, ρ0d¯0 = 0,013. Reálný průměr je pak roven d¯0 [cm] · 1 µm = 4,20 · 10−7 m. d¯ = 6, 15 cm
6
0,1 Do chyby reálného průměru se promítne i chyba změření měřítka ( 13 6,15 ). Chyba určení reálného průměru je tedy ρd¯0 = 0,014.
Výpočet aktivity Brownova pohybu K výpočtu použijeme vztah (6). Násobek t0 časového kroku je v tabulce 2, hodnoty středního kvadratického posunutí s¯2 jsou v tabulce 3. 5¯ s2A = 1,35 µm2 · s−1 , t0 5¯ s2 AB = 0B = 2,40 µm2 · s−1 . t
AA =
Přitom aktivita AA měření A je třeba brát vzhledem k dostatečnému nesplění (4) brát s rezervou. Chyby určení aktivit AA a AB vypočítáme s pomocí zákona hromadění chyb. Relativní chyby určení q ρAA = ρt¯0 2 + ρs¯2 2 = 0,15, A q ρAB = ρt¯0 2 + ρs¯2 2 = 0,13. B
A jim odpovídající chyby absolutní (P ≈ 0,68) εAA = ρAA · AA = 0,21 µm2 · s−1 , εAB = ρAB · AB = 0,31 µm2 · s−1 . (8) Výpočet Avogadrovy konstanty Avogadrovu konstantu vypočítáme na základě vztahu (7), kam budeme dosazovat nejpravděpodobnější hodnoty měřených veličin. Pro výpočet Avogadrovy konstanty využijeme hodnoty měření B, neboť u nich je nejlépe splněn Einsteinův vztah a nedocházelo zde k výraznému tečení. + 23,5) 4 · 8,31451 · 47,98 4RM tT 10 (273,15 = = 5,27 · 1023 mol−1 . 2 2,5 3π¯ sB ηH2 O (1 + 2,5ϕ)d −12 −3 −7 1 + 10000 4,2 · 10 3π · 23 · 10 · 0,921 · 10 (9) Chybu určíme pomocí kvadratického zákona hromadění chyb
NA =
ρNA =
q ρt¯0 2 + ρT¯ 2 + ρs¯2 2 + ρd¯2 + ρpc 2 , B
kde ρpc je chyba zachycení polohy částice na obrazovce počítače v okamžicích daných signalizátorem 5 času. Její velikost (P ≈ 0,68) odhaduji ρpc = 31 · 23 , vzhledem k dílkům v grafu na monitoru a omezenosti smyslů laboranta. Relativní a abslutní chyba určení Avogadrovy konstanty tedy je ρNA = 0,15 εNA = ρNA · NA = 0,77 · 1023 mol−1 .
7
3.5
Číselné výsledky měření
Výsledné aktivity Brownova pohybu, vypočtené pro měření A a B AA = (1,35 ± 0,63) µm2 · s−1 ,
P ≈ 1,
AB = (2,40 ± 0,93) µm2 · s−1 ,
P ≈ 1.
Avogadrova konstanta byla vypočítána z dat měření B NA = (5,27 ± 0,77) · 1023 mol−1 ,
3.6
P ≈ 0,68.
Grafické výsledky měření
Trajektorie, resp. polohy sledované částice v časových krocích, jsou přiloženy na konci protokolu. Pro obě měření jsou také přiloženy grafy rozložení vektorů posunutí, z kterých je možné poznat tendence tečení v určitých směrech. V obou vybraných měření A i B jsou symptomy tečení ze všech měření minimální. K protokolu přiložené listy Měření A: trajektorie, rozložení vektorů posunutí (List 1, 2) Měření B: trajektorie, rozložení vektorů posunutí (List 3, 4) Snímek latexových částeček z elektron. mikroskopu (List 5) Poznámkový a pracovní list s ostatními daty (List 6)
4
Diskuze výsledků
Tabulky [2] udávají hodnotu Avogadrovy konstanty 6,022·1023 mol−1 . Udávaná hodnota leží ve spodní části intervalu nejistoty naměřené hodnoty. Měření považuji vzhledem k řádové shodě výsledku za úspěšné. Největšími zdroji chyb, které způsobily podhodnocení velikosti Avogadrovy konstanty, jsou zřejmě chybné určení průměru kuliček, viskozity suspenze a nepřesnost určování polohy způsobená lidským činitelem. V [3] se udává, že v praxi bývá viskozita menší, než udává vztah (5). Při určení průměru kuliček se statisticky zpracovává velký soubor kuliček, zatímco měření probíhá pro minimální počet. Pro lepší výsledky by bylo možné provést měření více a výsledky statisticky zpracovat, pak by použití této střední hodnoty průměrů bylo více odůvodněné. Určování polohy částice v daném okamžiku na obrazovce počítače klade vysoké požadavky na smysly člověka, pro lepší výsledky by bylo třeba použít software, který by polohu částice ze snímaného videa mapoval automaticky. Více než konkrétní přesná čísla aktivity Brownova pohybu nás může zajímat předevím jejich řád. Ten vychází v jednotkách µm2 · s−1 .
5
Závěr
Z dat měření, u kterého byl nejlépe splněn Einsteinův vztah, jsme vypočítali Avogadrovu konstantu NA = (5,3 ± 0,8) · 1023 mol−1 ,
P ≈ 0,68.
Bylo zjištěno, že aktivita Brownova pohybu je řádově µm2 · s−1 , to znamená, že střední hodnota kvadrátu vzdálenosti, kterou částice urazí za 1 sekundu, je řádově v µm2 .
8
Seznam použité literatury [1] Brož J. a kol: Základy fysikálních měření. SPN, Praha 1967, kap. 8.1. [2] Mikulčák, J a kol: Matematické fyzikální a chemické tabulky. Prometheus, Praha 1988, str. 139., str. 185. [3] H. Valentová: Fyzikální praktikum, studijní text, MFF UK. (18.3.2013). http://physics.mff.cuni.cz/vyuka/zfp/txt_116.pdf [4] Mikulčák, J a kol: Molekulová fyzika. Academia, Praha 1922, str. 124., str. 125. [5] ONLINE: Výpočet dynamické viskozity vody v závislosti na teplotě. (23.3.2013). http://www.peacesoftware.de/einigewerte/
9
