Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK
PRAKTIKUM I. Úloha č.p p IIp p p Název:p pStudium p p p p p p p p p p p p harmonických p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pkmitů p p p p p p p p pmechanického p p p p p p p p p p p p p p p p p p p poscilátoru pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp Pracoval: p p p p p p p p p p p Lukáš p p p p p p p p pVejmelka p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p stud. skup. p p p p p p p p p p p FMUZV p p p p p p p p p p p p p(73) p p p p p p p p p p p p p p p p p dne p p p p p p p p p p p p p20.2.2013 pppppppppppppppppppppppp Odevzdal dne: p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
Možný počet bodů Práce při měření
0–5
Teoretická část
0–1
Výsledky měření
0–8
Diskuse výsledků
0–4
Závěr
0–1
Seznam použité literatury
0–1
Celkem
max. 20
Posuzoval: p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p dne p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
Udělený počet bodů
1
Zadání úlohy 1. Změřte tuhost k pěti pružin metodou statickou. 2. Sestrojte graf závislosti prodloužení pružiny na působící síle y0 = y0 (F ) 3. Změřte tuhost k pěti pružin metodou dynamickou. 4. Z doby kmitu tělesa známé hmotnosti a výchylky pružiny po zavěšení tohoto tělesa určete místní tíhové zrychlení g. √ q 1 5. Sestrojte grafy závislostí: ω = f k , ω=f m . 6. Při zpracování použijte lineární regresi.
2
Teoretický úvod měření
Tuhostí pružiny intuitivně chápeme její „schopnost bránit se natahování či stlačováníÿ. Pro jednoduchost se budeme pohybovat pouze v oblasti deformací, kde je velikost síly F potřebná k prodloužení pružiny o y přímoúměrná tomuto prodloužení, tj. F = ky. Tuhost pružiny k tak můžeme dle definice chápat jako velikost síly F , kterou potřebujeme k jejímu prodloužení o jeden metr. To však platí pouze u idealizované lineární pružiny [3]. Proto se při měření reálných pružin budeme pohybovat pouze v oblastech deformací, kde je podmínka linearity splněna. Pro úplnost dodejme, že okamžitá výchylka y harmonického oscilátoru s nulovou počáteční fází kmitající úhlovou frekvencí ω s amplitudou ym je rovna y(t) = ym sin(ωt) [3].
Metoda statická Statická metoda měření tuhosti pružiny vychází z rovnováhy sil. Po zavěšení závaží dojde k prodloužení pružiny o y0 , následně je závaží v klidu. Na závaží hmotnosti m visící na pružině o neznámé tuhosti k v tíhovém poli Země působí tíhová síla G a pružina silou F . Zanedbáme-li vztlakovou sílu a hmotnost pružiny, lze na základě podmínky rovnováhy a síly pružiny [3] pro prodloužení y0 pružiny psát y0 =
g G = · m = A · m. k k
(1)
Na základě naměřených dat y0 a m pro různá závaží jsme schopni pomocí metod regresní analýzy získat konstantu A a posléze i tuhost pružiny k. V celém referátu k značí tuhost pružiny [N · m−1 ], G tíhovou sílu působící na závaží [N], y0 prodloužení . pružiny při zavěšení závaží [m], m hmotnost závaží [kg] a g = 9,81 m · s−2 je tíhové zrychlení.
Metoda dynamická V případě měření metodou dynamickou necháme na pružině kmitat závaží vhodné hmotnosti. Změříme čas t, za který oscilátor vykoná q n kmitů. Závaží vykonává harmonický kmitavý pohyb [3], jehož úhlová frekvence ω lze vyjádřit jako ω =
k m.
Neboť ω =
2π T
aT =
t n,
jsou snadno měřitelné veličiny m a t vázány vztahem
√ 2πn √ t = √ · m = B · m. k
(2)
Na základě naměřených dat t a m pro různá závaží jsme schopni pomocí metod regresní analýzy získat konstantu B a posléze i tuhost pružiny k.
Tíhové zrychlení Z naměřených dvojic veličin, konkrétně prodloužení y0 z metody statické a násobku periody t = nT z metody dynamické pro jednotlivá závaží, lze určit tíhové zrychlení g v místě měření. Dle vztahu (9) v [3] jsou veličiny t a y0 vázány vztahem 2πn √ √ (3) t = √ · y0 = C y0 . g Na základě dostatečného množství dat jsme schopni pomocí metod regresní analýzy konstantu C a posléze i tíhové zrychlení g zjistit.
2
2.1
Použité přístroje, měřidla, pomůcky a hodnoty
Na měření vertikální výchylky závaží použijeme katetometr, jehož přesnost, viz tabulka 1, bude mít pro výslednou nejistotu měření největší význam. Pro výpočet tak bude stačit znát hmotnosti závaží s přesností na 1 g. Tabulka 1: Použité měřící přístroje a jejich mezní chyby měření. Měřidlo/veličina veličina[jednotka] mezní chyba zdroj −3 Katetometr y0 [m] 1 · 10 m [3] Go!Motion detektor t[s] 0,04 s vzork. frekv. Hmotnost závaží m[kg] 1 · 10−4 kg odhad
Pro výpočet tuhosti pružiny dle statické metody budu používat hodnotu tíhového zrychlení g = 9,81 m · s−2 , relativní zaokrouhlovací chyba ηg = 5 · 10−5 [2]. n-násobek periody T bude měřen pomocí detektoru Go!Motion v rozhraní Data logger. Jako zátěž budou použity různé kombinace hmotností ze sady závaží 10 g, 20 g, 30 g, 50 g, 100 g, 500 g.
2.2
Popis postupu vlastního měření
Pokus bude probíhat s pěti pružinami a škálou různých hmotností závaží. • Přípravíme stojan pro zavěšení zkoumaných pružin. • Nastavíme správnou vodorovnou i svislou polohu katetometru pomocí. Statická metoda 1. Zavěsíme zkoumanou pružinu. 2. Namíříme katetometr na závěs pružiny. 3. Zavěsíme příslušné závaží o hmotnosti m. 4. Odečteme prodloužení y0 pružiny. 5. Postup opakujeme pro další závaží. Dynamická metoda 1. Zavěsíme zkoumanou pružinu. 2. Zavěsíme příslušné závaží o hmotnosti m. 3. Závaží – oscilátor – uvedeme do kmitavého pohybu. 4. Změříme čas t, za který oscilátor vykoná n kmitů. 5. Postup opakujeme pro další závaží.
3 3.1
Výsledky měření Laboratorní podmínky
Teplota v laboratoři: 22,3 ◦ C Atmosférický tlak: 990,5 hPa Vlhkost vzduchu: 25,4 %
3.2
Naměřené hodnoty
Naměřené hodnoty ze statické i dynamické metody jsou zachyceny v souhrnné tabulce 2.
3
Tabulka 2: Naměřené hodnoty prodloužení y0 a n-násobku period t pro jednotlivé hmotnosti závaží m. Hmotnost závaží Pružina A Pružina B Pružina C Pružina D Pružina E m[g] y0 [cm] t[s] y0 [cm] t[s] y0 [cm] t[s] y0 [cm] t[s] y0 [cm] t[s] 0 0 0 0 0 0 10 2,48 3,64 20 1,12 5,08 2,55 3,44 30 1,65 2,76 8,28 6,08 0,80 2,00 3,85 4,12 0,26 1,08 50 2,85 3,60 14,07 7,76 1,40 2,04 6,60 5,28 1,36 70 4,45 3,74 19,70 9,16 2,00 3,04 9,31 6,20 0,35 1,72 100 6,10 4,56 28,32 10,84 3,01 3,64 13,35 7,36 0,89 2,28 120 7,55 33,95 3,63 130 8,29 5,84 3,94 17,37 1,26 150 9,44 6,24 4,55 4,40 9,00 180 11,40 6,76 5,55 200 12,60 6,48 6,16 5,08 10,36 2,85 5,00 250 15,90 7,20 7,74 280 17,70 300 19,03 8,76 9,45 6,20 6,92 6,47 6,92 350 22,30 9,40 11,05 400 25,45 9,68 12,48 6,76 10,46 8,08 500 14,23 9,04
Poznámka k naměřeným hodnotám v tabulce 2. • Přesnost měření katetometrem není pro dané vzdálenosti při běžném provozu laboratoře lepší než 1 mm. Čas byl odečítán z grafického výstupu y = f (t) sonaru Go!Motion, kde byla použita maximální vzorkovací frekvence 25 Hz, čemuž odpovídá nejistota v měření času 0, 04 s. • Záměrně bylo naměřeno více dat. Některé rozsahy dat nejsou danými metodami snadno měřitelné – vysoká perioda kmitu, příliš malé výchylky. Taková data nejsou do statistického výpočtu zahrnuta a jsou považovány za hrubé chyby. • Počet period v čase t je n = 10.
3.3
Způsob zpracování dat
Metoda statická Z naměřených hmotností m a výchylek y0 pro danou pružinu vytvoříme graf závislosti y0 = f (m). Grafem proložíme regresní přímku procházející počátkem dle rovnice (1). Ze směrnice A této přímky a znalosti tíhového zrychlení g vypočítáme tuhost k dané pružiny. Graf závislosti y0 = y0 (F ) Hmotnosti zatížení m vynásobíme tíhovým zrychlení g, čímž získáme velikost působících sil F . Vykreslíme graf závislosti výchylek y0 na působící síle F . Proložíme vhodnou regresní přímku, pro lineární oblast pružin lze očekávat lineární závislost. Podle grafu lze také určit, v kterém oboru zatížení se pružina „chováÿ lineárně. Metoda dynamická Z naměřených hmotností m a časů t pro danou pružinu vytvoříme graf závislosti t = f (m). Grafem proložíme mocninou křivku dle rovnice (2). Z regresního koeficientu B a znalosti počtu kmitů n vypočítáme tuhost k dané pružiny. Tíhové zrychlení Z naměřených dvojic prodloužení y0 a času n-násobku periody t všech pružin vykreslíme graf závislosti t = f (y0 ). Proložíme regresní křivku dle rovnice (3). Z regresního koeficientu C vypočítáme s pomocí počtu kmitu n hledané tíhové zrychlení g.
4
Grafy závislostí ω = f
√ q 1 k , ω=f m
√ q 1 Závislosti ω = f k (resp. ω = f m ) lze očekávat lineární. Směrnice regresních přímek budou odpovídat √ √1 (resp. k). Směrnice obsahují k (resp. m), které budou parametry kmitavého pohybu. Čím větší bude m parametr m (resp. k), tím bude úhlová frekvence ω menší (resp. větší). Závislosti s regresními přímkami budou pro své paramatery zakresleny v jednom grafu.
3.4
Zpracování dat
Vypočtené regresní koeficienty a jejich chyby z programu QtiPlot jsou v tabulce 3. Veličiny příslušící pružinám A,B,C,D,E jsou po řadě indexovány i = 1, 2, . . . , 5. Tabulka 3: Tabulky výstupních dat z regresní analýzy dat programem QtiPlot. Regresní koeficienty Ai statické metody Regresní koeficienty Bi statické metody 1 A1 = (0, 6340 ± 0, 0017) m · kg−1 B1 = (15, 35 ± 0, 29) s · kg− 2 1 A2 = (2, 8237 ± 0, 0093) m · kg−1 B2 = (34, 72 ± 0, 24) s · kg− 2 1 A3 = (0, 3111 ± 0, 0015) m · kg−1 B3 = (11, 16 ± 0, 39) s · kg− 2 1 A4 = (1, 3318 ± 0, 0044) m · kg−1 B4 = (23, 33 ± 0, 10) s · kg− 2 1 A5 = (0, 243 ± 0, 022) m · kg−1 B5 = (9, 7 ± 1, 7) s · kg− 2 1
C = (19, 97 ± 0, 18) s · m− 2
Regresní koeficient C
Tuhosti k1,2,...,5 podle statické metody vypočítáme pomocí poslední rovnosti z (1) ki =
g . Ai
(4)
Tuhosti k1,2,...,5 podle dynamické metody vypočítáme pomocí poslední rovnosti z (2) ki =
2πn Bi
2 .
(5)
Tíhové zrychlení g vypočítáme podle poslední rovnosti z (3) g=
2πn C
2 .
(6)
Výpočet nejistoty měření V rovnicích (4), (5), (6) vystupují vlastní regresní koeficienty, jejichž odchylky známe a veličiny n a g. Počet period známe přesně, chyba měření času a hmotnostní odchylky jsou zahrnuty v regresních datech. Relativní chyby regresních koeficientů jsou o několik řádu vyšší, zaokrouhlovací chyba tíhového zrychlení g by se v kvadratickém zákonu hromadění chyb projevila minimálně, lze ji zanedbat. Ve všech případech vypočteme nejprve relativní chybu η koeficientů A/B a pomocí ní vypočteme absolutní chybu ε hledaných tuhostí (resp. tíhového zrychlení), tj. εki = ηA/B · ki , εg = ηC · g.
3.5
Číslené výsledky měření
Tuhosti pružin ki Výsledné tuhosti pružin i s mezními chybami jsou v tabulce 4. Změřené tuhosti pružin z obou metod jsou uspokojivě porovnatelné. Nejhůře vyšla pružina s největší tuhostí – pružina E – jejíž nejistota je příliš velká. Důvody daných chyb se věnuji v části diskuze výsledků. Místní tíhové zrychlení g Zrychlení je uvedeno v tabulce 5. 5
Tabulka Pružina A B C D E
4: Tabulky tuhostí pružin vypočítaných na základě dat z obou metod. Statická metoda Dynamická metoda Pravděp. k1 = (15, 47 ± 0, 13) N · m−1 k1 = (16, 7 ± 0, 9) N · m−1 P ≈1 k2 = (3, 47 ± 0, 04) N · m−1 k2 = (3, 27 ± 0, 07) N · m−1 P ≈ 1 k3 = (31, 5 ± 0, 6) N · m−1 k3 = (32 ± 3) N · m−1 P ≈1 k4 = (7, 37 ± 0, 12) N · m−1 k4 = (7, 25 ± 0, 09) N · m−1 P ≈ 1 k5 = (40 ± 11) N · m−1 k5 = (42 ± 22) N · m−1 P ≈1
Tabulka 5: Místní tíhové zrychlení. Hodnota Pravděp. g = (9, 90 ± 0, 09) m · s−2 P ≈ 0,68
3.6
Grafické výsledky měření
Poznámka.: Ve všech grafech protokolu jsou křivky v grafech regresní proložení příslušných závislostí, v legendách většiny grafů nejsou pro přehlednost jejich popisy i rovnice uváděny. V grafech nejsou zakresleny chybové úsečky, předpokládáme, že chyby měření jsou menší než velikost označujících značek. Graf 1: Statická metoda - závislosti y0 = y0 (m)
35 Pružina Pružina Pružina Pružina Pružina
30
y0 [cm]
25
A B C D E
20 15 10 5 0 0
100
200
300 m[g]
6
400
500
Graf 2: Závislost výchylky y0 na působící síle F = mg
Pružina Pružina Pružina Pružina Pružina
40 35 30
A B C D E
y0 [cm]
25 20 15 10 5 0 0
1
2
3
4
5
F [N]
Graf 3: Dynamická metoda - závislosti t = t(m)
14
12
10
t[s]
8
6
Pružina Pružina Pružina Pružina Pružina
4
2
A B C D E
0
0
100
200
300
m[g] 7
400
500
Graf 4: Závislost času t na výchylce y0
12 Pružiny A,B,C,D,E √ regrese t = C y0
10
t[s]
8
6
4
2
0 0
5
10
15
y0[cm]
8
20
25
30
√ Graf 5: Závislost ω = f ( k) s parametrem m
35
30 g 100 g 150 g 300 g
30
ω s−1
25 20 15 10 5 0 0
1
Graf 6: Závislost ω = f
50
q 1 m
3
4
√ k N · m−1
5
6
7
s parametrem k
Pružina C Pružina D Pružina E
40
ω[s−1 ]
2
30 20 10 0 0
0,005
0,01 q
9
0,015 1 − 12 ] m [g
0,02
4
Diskuze výsledků
Velkou chybu do měření vnáší měřící metody v oblastech rychlých kmitů a malých výchylek u pružin s velkou tuhostí. To je patrno z grafických výsledků, viz grafy 1, 2 a 3. Největší odchylky od regresní křivky jsou pro nejtužší pružiny E a C v oblastech malých prodloužení a zatížení. Tuhost měřených pružin nebyla známa, nelze tedy porovnat. Tíhové zrychlení se podařilo změřit úspěšně, neboť tabelovaná hodnota [4] tíhového zrychlení leží v části intervalu nejistoty naměřené hodnoty, viz výsledek z tabulky 5. q √ 1 Dle teoretických předpokladů byly očekávány závislosti y0 = y0 (m), y0 = y0 (F ), ω = f ( k) a ω = f m lineární, závislost t = f (y0 ) a t = f (m) mocninné. Správnost teoretických předpokladů dokazuje rozložení dat kolem příslušných regresních křivek v grafech 1– 6. Z grafu 2 je navíc možné pozorovat obtížnost měření nejtužší pružiny E. Většina dvojic intervalů nejistot pro jednotlivé pružiny z obou metod se překrývá. Zbylé případy jsou způsobeny použitím regresní analýzy, která předpokládá, že veličiny jsou určeny se stále stejnou chybou, což nemohlo být zcela splněno. Parametrické grafy závislostí úhlové frekvence na tuhosti (resp. hmotnosti) bohužel neobsahují velké množství dat. Při měření je problém měřit větší rozsah dat s překrývajícími se hmotnostmi. Zdrojem chyb je malá přesnost měření katetometrem, vyšší nepřesnost je způsobena pohybem osob v laboratoři. Svůj vliv může mít i různý prohyb sledované části pružiny v závislosti na zatížení. Zkreslení měřených veličin způsobuje i současné zavěšení více závaží vedle sebe, kdy oscilátor přestane kmitat v jedné přímce. Pro přesnější měření by bylo nutno v případě nutnosti kombinovat závaží je zavěsit pod sebe. Limitující je i vzorkovací frekvence senzoru pohybu. Velkým vliv má lidský činitel, především únava a nepozornost laboranta. Lepších výsledků by bylo možné dosáhnout okamžitým zanášením veličin do grafu a porovnáváním s regresní křivkou. Oblasti s velkým rozptylem by se přeměřily, třeba i s větší hustotou proměření oblastí zátěží. Pro vyšší zatíženích méně tuhých pružin nestačila výška stojanu, což zhoršovala i skutečnost, že používaný sonar nesnímá pohyb ve vzdálenosti do 15 cm nad čidlem.
5
Závěr
Hlavním cílem bylo změřit tuhost pěti pružin statickou i dynamickou metodou. Výsledky obou metod zachycuje tabulka 6. Pružinou s největší tuhostí byla pružina E, následovaly pružiny C, A, D a pružinou s nejmenší tuhostí byla pružina B. Na základě grafických i číselných výsledků je zřejmé, že slabinou obou metod je malá zátěž tužších pružin. Měření periody kmitu pomocí sonaru je oproti použití stopek velké zpřesnění v oblastech kmitů s vysokou frekvencí, kde lidské smysly zaostávají. Tíhové zrychlení bylo změřeno g = (9, 90 ± 0, 27) m · s−2 P ≈ 1. Metoda určení tíhového zrychlení pomocí prodloužení pružiny a periody kmitu je navzdory jednoduchosti provedení i obyčejnosti měřících přístrojů poměrně přesná.
Pružina A B C D E
Tabulka 6: Tabulka změřených tuhostí pružin A,B,C,D,E Statická metoda Dynamická metoda k1 = (15, 47 ± 0, 13) N · m−1 k1 = (16, 7 ± 0, 9) N · m−1 k2 = (3, 47 ± 0, 04) N · m−1 k2 = (3, 27 ± 0, 07) N · m−1 −1 k3 = (31, 5 ± 0, 6) N · m k3 = (32 ± 3) N · m−1 −1 k4 = (7, 37 ± 0, 12) N · m k4 = (7, 25 ± 0, 09) N · m−1 −1 k5 = (40 ± 11) N · m k5 = (42 ± 22) N · m−1
Pravděp. P ≈1 P ≈1 P ≈1 P ≈1 P ≈1
Seznam použité literatury [1] Brož J. a kol: Základy fysikálních měření. SPN, Praha 1967, st. 2.5.1, čl. 2.6.1.1. [2] Englich, J.: Úvod do praktické fyziky I. MATFYZPRESS, Praha 2006, st. 110, 112. [3] Valentová, H.: Fyzikální praktikum, studijní text, MFF UK. (11.2.2013). http://physics.mff.cuni.cz/vyuka/zfp/txt_102.pdf [4] Mikulčák, J a kol : Matematické fyzikální a chemické tabulky. Prometheus, Praha 1988, str. 209.
10
