Pozn´ amky k ekonomick´ emu ukazateli IRR (Remarks on the economic criterion – the Internal Rate of Return ) Carmen Simersk´a
IRR ... vnitˇrn´ı m´ıra v´ynosnosti, vnitˇrn´ı v´ynosov´e procento, v´ynos do splatnosti...
Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
FM
→ 1. numer. probl´em: IRR, RPSN
Od 1. 1. 2002 z´akonem 321/2001 Sb. povinnost uv´adˇet ˇc´ıslo RPSN. Citace: Roˇ cn´ı procentn´ı sazba n´ aklad˚ u na spotˇrebitelsk´y u´vˇer se vypoˇc´ıt´a podle n´asleduj´ıc´ıho vzorce k=m X k=1
0
0
kX =m A0k0 Ak = (1 + i)tk (1 + i)tk0 0
(1)
k =1
V´ yznam p´ısmen a symbol˚ u: k je poˇradov´e ˇc´ıslo p˚ ujˇcky t´eˇze osoby, k 0 je ˇc´ıslo spl´atky Ak je v´ yˇse p˚ ujˇcky ˇc´ıslo k, A0k0 je v´ yˇse spl´atky ˇc´ıslo k 0 P znaˇc´ı celkov´ y souhrn, m je ˇc´ıslo posledn´ı p˚ ujˇcky, m0 je ˇc´ıslo posledn´ı spl´atky tk je interval, vyj´adˇren´ y v poˇctu rok˚ u a ve zlomc´ıch roku, ode dne p˚ ujˇcky ˇc. 1 do dn˚ u n´asledn´ ych p˚ ujˇcek ˇc. 2 aˇz m, tk0 je interval, vyj´adˇren´ y v poˇctu rok˚ u a ve zlomc´ıch roku, ode dne p˚ ujˇcky ˇc. 1 do dn˚ u spl´atek nebo u ´hrad poplatk˚ u ˇc. 1 aˇz m0 i je hledan´a roˇcn´ı procentn´ı sazba n´aklad˚ u na spotˇrebitelsk´ yu ´vˇer, kterou je moˇzno vypoˇc´ıtat (bud’ algebraicky nebo numericky opakovan´ ymi aproximacemi na poˇc´ıtaˇci), jestliˇze jsou hodnoty ostatn´ıch veliˇcin rovnice zn´amy bud’ ze smlouvy nebo odjinud. ... Pro d´elku roku se pouˇz´ıv´a 365 dn˚ u, 365,25 dne nebo (v pˇrestupn´ ych letech) 366 dn˚ u, 52 t´ ydn˚ u nebo 12 mˇes´ıc˚ u stejn´e d´elky. Pro pr˚ umˇernou d´elku tohoto mˇes´ıce se pˇredpokl´ad´a 30,41666 dn˚ u (tj. 365/12). Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
Penˇ eˇ zn´ı toky Ctj ∈ Q, j = 0, ..., J , ... pohyby penˇez (pˇr´ıjmy, spl´atky, poplatky) v ˇcas. okamˇzic´ıch (ve dnech) 0 ≤ t0 < t1 < · · · < tJ , kde tj v letech (v n´asobc´ıch
1 365 -tiny)
investiˇcn´ıch projekt˚ u nebo finanˇcn´ıch transakc´ı. Ctj ...vztah k referenˇ cn´ımu datu (souˇc. ˇcas. pozice nebo t0 = 0 ) Ctj > 0 ... pˇr´ıjem, Ctj < 0 ...v´ydaj. Z´apis: C = (Ct0 , ..., CtJ ) . Projekt je J-tice penˇeˇzn´ıch tok˚ u C , pro kterou Ct0 6= 0, CtJ 6= 0 a kde vektor C obsahuje alespoˇn jednu kladnou a alespoˇn jednu z´apornou sloˇzku. Pravideln´ y projekt je projekt B = (B0, ..., Bn) v pravideln´ych obdob´ıch (roˇcnˇe, pololetnˇe,...,dennˇe) s frekvenc´ı m kr´at roˇcnˇe, {tj }n0 = { mj }n0 . Plat´ı: Kaˇzd´y projekt C lze zapsat jako pravideln´y projekt B . (C → B pravideln´y projekt denn´ı, ve dnech, kdy toky neexistuj´ı: Bk = 0) Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
Jednoduch´ y projekt je pravideln´y projekt B, kde : B0 < 0 (resp. B0 > 0) a Bk > 0 (resp. Bk < 0) pro ∀ k = 1, ..., n . Ekonomick´e ukazatele projektu: nav´yˇsen´ı, souˇcasn´a hodnota, IRR. P Nav´ yˇ sen´ı (absolutn´ı): Suma = Jj=0 Ctj . Souˇ casn´ a hodnota P V (present value) projektu C je souˇcet vˇsech diskontovan´ych penˇeˇzn´ıch tok˚ u k referenˇcn´ımu datu: P V (i) = P V (C, i) =
J X j=0
Ctj , (1 + i)tj
kde i je dan´a u´rokov´a m´ıra za u´roˇcen´e obdob´ı. 1 je tzv. diskontn´ı faktor sloˇzen´eho u´roˇcen´ı. ν = 1+i n X Bk Pro projekt B: P V (B, i) = , k referenˇcn´ımu datu t0 = 0 . (1 + i)k k=0 (P V > 0 ... dobr´e) Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
Projekt z pohledu dluˇzn´ıka/vˇeˇritele ↔ 2 projekty C1 = −C2 P V (i) , ( Suma = P V (0))... pro dluˇzn´ıka/vˇeˇritele aˇz na znam´enko, IRR (RP SN ) pro dluˇzn´ıka/vˇeˇritele totoˇzn´y pojem. ↓ Vnitˇ rn´ı v´ ynosov´ e procento IRR projektu B u´roˇcen´eho m kr´at roˇcnˇe je roˇcn´ı m´ıra IRR = i∗ · m , kde i∗ ∈ (−1, ∞) ˇreˇs´ı rovnici P V (B, i) = 0 , B s roˇcn´ım u´rokov´ym obdob´ım, tj. n X k=0
Bk = 0. (1 + i∗)k
(Tedy IRR je roˇcn´ı m´ıra v´ynosnosti, pˇri n´ıˇz se diskontovan´e pˇr´ıjmy rovnaj´ı diskontovan´ym v´ydaj˚ um.) Ekonomick´ e pravidlo IRR: Je-li i∗ > i a z´aroveˇ n PV je klesaj´ıc´ı funkc´ı m´ıry zisku, pak investuj! Je-li i∗ < i a z´aroveˇ n PV je rostouc´ı funkc´ı m´ıry zisku, pak investuj! i ... obvykl´ au ´rokov´a m´ıra podobn´ych projekt˚ u. Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
´ d´ale projekty B, m = 1 , B0 < 0 , tj. prvn´ı tok investiˇcn´ı ´ Umluva: BUO ( C → B, vyˇsetˇrovat IRR = i∗ pro B). Definice IRR pˇreformulovan´a pro toto B ↑ : Je to takov´e i∗, ˇze ... ∗
Def. 1 ... i ∈ (−1, ∞) je koˇrenem fce P V (i) = Def. 2 ... i∗ =
1 ν∗ − ∗
Pn
Bk k=0 (1+i)k
1, kde ν ∗ ∈ (0, ∞) je koˇrenem g(ν) =
Def. 3 ... i∗ = x − 1, kde x∗ ∈ (0, ∞) je koˇrenem h(x) =
. Pn
k k=0 Bk ν . Pn n−k . k=0 Bk x
Plat´ı: Definice ↑ jsou ekvivalentn´ı. Probl´em nalezen´ı koˇren˚ u polynomu g nebo h (vyˇsˇs´ıho stupnˇe): • Lokalizace koˇren˚ u (krit´eria) • Algoritmy pro v´ypoˇcet IRR (Newtonova, Bairstowova metoda, tabulkov´e kalkul´atory) • Interpretace v´ysledk˚ u pro ekonomick´e vyuˇzit´ı (v´ıce/v´ıcen´asobn´e IRR) Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
HISTORIE ukazatele IRR • J.M.Keyness, The general theory of employment, interest and money, 1935, (The marginal efficiency of capital MEC =IRR) • J.H.Lorie, L.J.Savage, Three Problems in Capital Rationing, Journal of Business, 1955; D.Teichroew, A.A.Robichek, M.Montalbano, An analysis of criteria..., Management Science, 1965 (projekty jednoduch´e/nejednoduch´e) IRR m´ a smysl, pokud je jedin´e → kriteria • Pravidla pro lokalizaci koˇren˚ u: – Jestliˇze P V (0) > 0 a B0 < 0 ⇒ ∃ IRR v (0, ∞) . – Descartesovo pravidlo ∗ Vˇ eta 1 (Descartes) Poˇcet kladn´ych koˇren˚ u (vˇcetnˇe n´ asobnosti) polynomu p je bud’ roven poˇctu znam´enkov´ych zmˇen v posloupnosti jeho koeficient˚ u nebo je o sud´y poˇcet menˇs´ı. Descartsova vˇeta ⇒ Jednoduch´y projekt m´a pr´avˇe jedno IRR. Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
– Jeanovo pravidlo ← Budan-Fourier ∗ Vˇ eta 2 (Budan-Fourier) Bud’ α < β a necht’ g(α) g(β) 6= 0. Pak poˇcet koˇren˚ u (vˇcetnˇe n´ asobnosti) polynomu g v < α, β > je roven ˇc´ıslu σ(α) − σ(β), kde σ(x) je poˇcet znam´enkov´ych zmˇen v posloupnosti g(ν), g 0(ν), . . . , g (n)(ν), nebo je o sud´y poˇcet menˇs´ı. W. H. Jean, On Multiple rates of return, Journal of Finance, 1968 – Kaplanovo pravidlo ← Sturm ∗ Vˇ eta 3 (Sturm) Bud’ α < β a necht’ g(α) g(β) 6= 0. Pak poˇcet navz´ ajem r˚ uzn´ych koˇren˚ u polynomu g leˇz´ıc´ıch v < α, β > je roven ˇc´ıslu σ(α) − σ(β), kde σ(x) je poˇcet znam´enkov´ych zmˇen v posloupnosti g(x), g 0(x), g3(x), . . . , gm(x) vznikl´e Euklidov´ym algoritmem. S. Kaplan, A note on ..., Journal of industrial Engineering, 1965 – pravidla: C.Nostrom 1972, C.de Faro 1978 ← Vincentova vˇeta pro jednoznaˇcnost IRR v < 0, ∞), E.M.Bezza 1981 ,... Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
– Soperovo pravidlo ∗ Vˇ eta 4 Jestliˇze je i∗ IRR projektu B = (B0, ..., Bn) a plat´ı i X Bk (1 + i∗)i−k < 0 , ∀ i = 0, ..., n − 1 , ∗
k=0
potom i je jedin´ym IRR projektu v intervalu (−1, ∞). C. S. Soper, The MEC: A further note, Economic Journal, 1959 S. Gronchi, 1986: podm´ınky lze rozˇs´ıˇrit na splnˇen´ı n nerovnost´ı i X
Bk (1 + i∗)i−k ≤ 0,
∀i = 0, ..., n − 1 .
(S − G)
k=0
Nejsou to podm´ınky nutn´e ( PROT=protipˇr´ıklad : ∃ ! IRR): B0 B1 B2 B3 IRR[%] PROT -100 270 -270 170 70 nejsou splnˇeny (S − G) podm´ınky: B0(1 + 0, 7) + B1 = 100 > 0
Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
(S − G) podm´ınky jsou ekonomicky smyslupln´e: Plat´ı (Gronchi 1986): i∗ je IRR projektu B ⇔ projekt B lze jednoznaˇcnˇe rozdˇelit na uspoˇr´adan´e dvojice jednoperiodick´ych operac´ı A = {(aii−1, aii), i = 1, ..., n} takov´ych, ˇze • aii = −(1 + i∗)aii−1,
i = 1, ..., n
• a10 = B0 • aii + ai+1 = Bi, i
i = 1, ..., n − 1
• ann = Bn . Nav´ıc ai+1 = i
Pi
k=0 Bk (1
+ i∗)i−k ,
i = 0, ..., n − 1
(S − G) souˇcty.
Tedy, IRR = i∗ je u´rokov´a m´ıra, kterou lze st´ale konstantnˇe aplikovat na urˇcit´e po sobˇe jdouc´ı operace, na kter´e m˚ uˇzeme projekt B rozloˇzit. Jsou to pouze operace (aii−1 > 0, aii < 0) ... finanˇcn´ı nebo (aii−1 < 0, aii > 0) ... investiˇcn´ı nebo (aii−1 = 0, aii = 0) ... pr´azdn´e. Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
(S − G) podm´ınky ⇔ vˇsechny operace jsou investiˇcn´ı nebo pr´azdn´e. Interpretace v´ysledk˚ u: (S − G) podm´ınky ⇒ {i < i∗ ⇒ P V (i) > 0} a {i > i∗ ⇒ P V (i) < 0} Nutno rozhodovat tak´e podle hodnoty P V (i). U pˇr´ıklad˚ u GRP1, GRP2 jsou splnˇeny (S − G) podm´ınky. Pro i < 0, 1 bychom mˇeli preferovat GRP1, ale pro i > 0, 1 bychom mˇeli preferovat GRP2. B0 B1 B2 B3 IRR[%] GRP1 -100 20 0 144 20 GRP2 -100 -80 230 12 20 v´ıce koˇren˚ u (IRR)?? v´ıcen´asobn´e koˇreny (IRR)??
Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
Jak vypoˇc´ıtat RP SN u spotˇrebitelsk´eho u´vˇeru: Spotˇrebitelsk´y u´vˇer → seˇrad´ıme Ak a A0k0 (pˇr´ıjmy, v´ydaje v rovnici (1)) podle ˇcasu → projekt C , urˇc´ıme m (vˇetˇsinou m = 12), → pravideln´y projekt B u´roˇcen´y m kr´at roˇcnˇe → B s roˇcn´ım u´roˇcen´ım → i∗ RP SN = (1 + i∗)m − 1
Finanˇcn´ı funkce v EXCELu: ˇ ´ ˇ PV...CIST A.SOU CHODNOTA , ´ IRR u pravideln´ych projekt˚ u...M´IRA.VYNOSNOSTI (IRR), RPSN u nepravideln´ych projekt˚ u...XIRR .
Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
