Posloupnosti Posloupnost v matematice je řada čísel. Je přesně určeno pořadí čísel, je tedy dáno, které číslo je první, druhé atd. V řadě čísel může ale nemusí být nějaký systém. Posloupnost můžeme určit několika různými způsoby:
1. Výčet prvků: Například jednoduchá posloupnost sudých čísel by se výčtem dala zapsat takto: 2, 2.
4, 6, 8, 10...
Vzorec pro n-tý člen:
Stejná posloupnost 2,
4, 6, 8, 10... by se dala zapsat takto:
an = 2n. Dolní index n nám značí, který člen posloupnosti zrovna máme na mysli. Například zápis a3 znamená třetí člen posloupnosti.
3. Rekurentní vzorec: Člen posloupnosti určíme pomocí jednoho nebo více předcházejících členů. Posloupnost sudých čísel tedy lze rekurentně zapsat takto:
an+1 = an + 2, aby byl zápis jednoznačný, je třeba určit počáteční podmínku: a1
= 2;
4. Graficky: Grafem posloupnosti je vždy množina izolovaných bodů.
Aritmetická posloupnostje posloupnost, kdy je mezi jednotlivými členy stálý rozdíl. Rozdíl, o kolik je jednotlivé prvky posloupnosti odlišují, se nazývá diference (značíme d). Například již zmiňovaná posloupnost sudých čísel je aritmetická s diferencí rovnou dvěma. Každý následující člen je o dvě větší než předcházející.
+2 2
+2 4
6
atd.
Vzorcem by se tedy aritmetická posloupnost dala zapsat takto:
an + 1 = a n + d . Obecný vzorec pro výpočet n-tého členu aritmetické posloupnosti je poté
an = a1 + (n − 1)d. Vzoreček pro výpočet součtu prvních n členů je:
Sn = (n / 2) * (a1 + an). Druhý vzorec pak popisuje způsob, jak vypočítat diferenci či libovolný člen posloupnosti, pokud neznáte první člen:
ar − as = (r − s)d.
a n = a 1 + (n − 1)d Vzorečky ještě všechny pohromadě
jednou
d … diference aritmetické posloupnosti sn … součet prvních n-členů posloupnosti
a r = a s + (r − s )d
sn =
n (a 1 + a n ) 2
Příklady: 1)
Jaké hodnoty bude mít prvních 6 členů 2) aritmetické posloupnosti? a 1 = −1; d = 3 a 1 = −1
a 2 = −1 + (2 − 1) ⋅ 3 = −1 + 3 = 2
a 3 = −1 + (3 − 1) ⋅ 3 = −1 + 6 = 5
a 4 = −1 + (4 − 1) ⋅ 3 = −1 + 9 = 8
a 5 = −1 + (5 − 1) ⋅ 3 = −1 + 12 = 11
a 6 = −1 + (6 − 1) ⋅ 3 = −1 + 15 = 14
Jaký bude 1. člen a diference posloupnosti? a 2 + a 6 = 32 a 4 + a 5 = 36 a 1 + d + a 1 + 5d = 32 a 1 + 3d + a 1 + 4d = 36 2a 1 + 6d = 32 ⇒ a 1 =
32 − 6d = 16 − 3d 2
2a 1 + 7d = 36
2(16 − 3d ) + 7d = 36 32 − 6d + 7d = 36 d = 36 − 32 d=4 a 1 = 16 − 3 ⋅ 4 = 16 − 12 = 4
3)
Pátý člen aritmetické posloupnosti je 4) roven 11, devátý 19. Kolik členů je třeba sečíst, aby byl jejich součet 440? a r = a s + (r − s ) ⋅ d 19 = 11 + (9 − 5) ⋅ d d =2
a5 = a1 + (n − 1) ⋅ d
11 = a1 + (5 − 1) ⋅ 2 a1 = 3
n ⋅ (a n + a1 ) 2 n 440 = ⋅ (a1 + (n − 1) ⋅ d + a1 ) 2 n 440 = ⋅ (3 + 2n − 2 + 3) 2 n = 200 sn =
Nejmenší vnitřní úhel mnohoúhelníku je 117°, největší 171°. Velikost úhlů tvoří aritmetickou posloupnost. Kolik má mnohoúhelník stran a jek velké má vnitřní úhly. n = počet stran, Pro n = 3 ⇒ 1⋅180° n = 4 ⇒ 360° = 2⋅180° n = 5 ⇒ 540° = 3⋅180° n = 6 ⇒ 720° = 4⋅180° n =…⇒ (n-2)⋅180° s n = (n − 2 ) ⋅ 180° n ⋅ (α 1 + α n ) 2 (n − 2) ⋅ 180° = n ⋅ (α 1 + α n ) 2 n 180°n − 360° = (117° + 171°) 2 180°n − 360° = 144°n n = 10 sn =
α n = α 1 + (n − 1) ⋅ d 171° = 117° + 9d d = 6°
α 2 = α1 + d α 2 = 117° + 6° = 123° α 3 ° = 129° α 4 = 135° α 5 = 141° M α 10 = 171°
Příklad: Vypočtěte součet všech trojciferných čísel dělitelných třemi Řešení : Čísla 3, 6 9, ...... atd. tvoří aritmetickou posloupnost s diferencí d = 3. Tato úloha se tedy týká aritmetické posloupnosti a to součtu aritmetické posloupnosti. Pro dosazení do vzorce musíme ale napřed určit vedle d = 3 ještě a1, an , n Pro určení a1 a an je nutné si vzpomenout, že všechna čísla dělitelná 3 jsou taková, jejichž ciferný součet je dělitelný 3 Nejnižší trojciferné číslo je 100 Nejnižší trojciferné číslo dělitelné 3 je tedy 102. Nejvyšší trojciferné číslo je 999 . To je také dělitelné 3 Aritmetická řada má tedy a1 = 102 a an = 999 Zbývá vypočítat n a potom po dosazení do vzorce vypočítat sn Výsledek : sn = 165 150
Geometrická posloupnostje posloupnost, u které je každý následující člen násobkem členu předcházejícího. Číslu, kterým násobíme se říká kvocient (značíme q). Geometrická posloupnost je například řada čísel
2 4 8 16 32 64
atd.
kvocient by zde byl dvě.
x2 2
x2 4
8
Geometrická posloupnost se dá vyjádřit vzorcem
an + 1 = a n × q
(vynásobíte jeden člen kvocientem a dostanete následující člen) Vzorec pro obecný člen goniometrické posloupnosti poté je
an = a 1 × q n − 1 . Vzorec pro součet prvních n členů je v tabulce.
Vzorečky ještě jednou všechny pohromadě q … kvocient geometrické posloupnosti sn … součet prvních n-členů posloupnosti ± … + nárůst, - pokles
a n = a 1 ⋅ q n −1 a r = a s ⋅ q r −s qn −1 s n = a1 ⋅ q −1 q ⎞ ⎛ a n = a 0 ⋅ ⎜1 ± ⎟ ⎝ 100 ⎠
n
1)
Jaké hodnoty bude mít prvních 5 členů geometrické posloupnosti?
2)
Vypočtěte a1 , q = ? a1 + a 4 = 195 a 2 + a3 = 60 a1 + a1 ⋅ q 3 = 195 a1 ⋅ q + a1 ⋅ q 2 = 60
(
)
a1 ⋅ (1 + q ) ⋅ 1 − q + q 2 = 195 a1 ⋅ (1 + q ) ⋅ q
= 60
195 60 = 2 q 1− q + q 60 − 60q + 60q 2 = 195q 60q 2 − 255q + 60 = 0 255 ± 255 2 − 4 ⋅ 60 ⋅ 60 255 ± 225 = = 120 120 30 1 a1 ⋅ (1 + q1 ) ⋅ q1 = 60 = 120 4 =〈 a1 ⋅ 5 ⋅ 4 = 60 480 =4 a1 = 3 120 a1 ⋅ (1 + q 2 ) ⋅ q 2 = 60
q1, 2 =
5 1 a1 ⋅ ⋅ = 60 4 4 a1 = 19
3)
Za jak dlouho nastřádáme 90 000 Kč při ukládání částky 2000 Kč na počátku každého roku při 2% úrokování? qn −1 2% ⇒ q = 1,02 s n = a1 ⋅ q −1 90000 = 2000 ⋅ 45 =
1,02 n − 1 1,02 − 1
1,02 n − 1 0,02
0,9 = 1,02 n − 1 1,02 n = 1,9 log 1,02 n = log 1,9 n= 4)
⋅ log 1,9 = 32,4 = 32 log 1,02
Jedním tažením drátu se zmenší průměr drátu o 10%. Jaký průměr bude mít drát s původním průměrem 6mm po osmi taženích? q = 10%
d 0 = 6mm n=8 q ⎞ ⎛ d 8 = d 0 ⋅ ⎜1 − ⎟ ⎝ 100 ⎠
8
d 8 = 6 ⋅ (1 − 0,1)
8
d 8 = 2,58mm 5)
Počet obyvatel města vzrostl za 10 let z 56 000 na 72 800. Jaký byl roční přírůstek obyvatel v procentech? Počet obyvatel města vzrostl za 10 let z 56 000 na 72 800. Jaký byl roční přírůstek obyvatel v procentech? n = 10
a 0 = 56000 a n = 72800
q 100 q 10 1,3 − 1 = 100 10 1,3 − 1 ⋅ 100 = q 10
q = ? an
q ⎞ ⎛ = a 0 ⋅ ⎜1 + ⎟ 100 ⎠ ⎝
n
q ⎞ ⎛ 72800 = 56000 ⋅ ⎜ 1 + ⎟ 100 ⎠ ⎝ q ⎞ ⎛ 1, 3 = ⎜ 1 + ⎟ 100 ⎠ ⎝
10
1,3 = 1 +
(
10
q = 2,65
)
Použitá literatura http://matematika.havrlant.net/posloupnosti http://www.vysokeskoly.cz/maturitniotazky/otazky/m atematika/AritmetickaPosloupnost.htm
Následující stránky doporučuji: http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/ posloupnosti/index.htm
