Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady

Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť 

 je číselná posloupnost. Pro všechna   položme 

. Posloupnost 

 nazýváme  posloupnost částečných součtů  řady 

.

Definice (Součet číselné řady). Nechť 

 je číselná posloupnost. Existuje­li limita 

řady a značíme 

. Je­li navíc 

Neexistuje­li limita  Buďte 

, 

, kde 

, říkáme, že  řada 

, říkáme, že řada 

 je posloupnost částečných součtů řady 

 konverguje; je­li 

 či 

, nazýváme ji  součtem této

, říkáme, že řada 

 podstatně diverguje.

  osciluje. Řady podstatně divergentní a oscilující nazýváme souhrnně divergentní.

 dvě číselné posloupnosti. Říkáme, že řady 

  a 

 mají  stejný charakter,  pokud obě dvě současně podstatně divergují, obě

dvě současně oscilují, nebo obě dvě současně konvergují. Příklad (Geometrická řada).  Geometrická řada 

 konverguje právě tehdy, když 

Řešení. Podle vzorce pro součet prvních 

Konečná limita výrazu vpravo pro 

.

 členů geometrické posloupnosti je částečný součet roven

 existuje právě tehdy, když 

. ☐

Příklad (Harmonická řada  Řada 

).

 je podstatně divergentní.

Řešení. Tento výsledek jsme již ukázali v kapitole o posloupnostech. ☐

Příklad (Řada  Řada 

).

 osciluje.

Řešení. Posloupnost částečných součtů 

 má tvar 

, její limita proto neexistuje. ☐

Věta (Linearita řad). Buď 

 (resp. 

), nechť jsou dány číselné posloupnosti 

, 

. Pak 

 a 

 za

předpokladu, že pravé strany mají smysl. Důkaz. Věta plyne z věty o aritmetice limit posloupností. ☐

Věta (O součtu komplexní řady). Nechť 

 je komplexní posloupnost. Řada 

takovém případě platí 

 konverguje právě tehdy, když konvergují reálné řady 

 a 

, a pro její součet v

.

Důkaz. Věta plyne z věty o limitě komplexní posloupnosti. ☐

Věta (O modifikaci konečného počtu členů řady).  Přidáním, vynecháním či změnou konečného počtu členů číselné posloupnosti  Důkaz. Z věty o aritmetice limit je jasné, že dvě posloupnosti  dvě nevlastní limitu, nebo limita obou neexistuje.

 a 

 se nezmění charakter řady 

.

, kde   je libovolná konstanta, buď obě dvě mají vlastní limitu, nebo obě ☐

1. Sčítání řad Příklad (Součet řady 

).

Dokažme, že

Řešení. Z Moivrovy věty je

odkud pro   liché substitucí 

 a porovnáním imaginárních částí dostaneme identitu

Do této identity dosadíme za   postupně čísla  čísla 

, 

; na levé straně vyjde vždy  . Protože je funkce 

 jsou pro uvedená   navzájem různá, takže polynom  ­tého stupně 

 na intervalu 

 prostá,

 má právě tato čísla (a žádná jiná) za

své kořeny. Jejich záporně vzatý součet je podle Vietova vzorce roven koeficientu u 

­ní mocniny, proto platí

odkud přičtením   dostaneme

a protože 

 na 

 (což lze snadno ukázat např. zderivováním), na tomto intervalu platí i

resp. i

Odtud dostaneme

Úpravou dostaneme nerovnost

ze které již plyne limitním přechodem 

 podle věty o limitě sevřené posloupnosti zadané tvrzení. ☐

 

2. Uzávorkování řad Definice (Uzávorkování řady). Nechť  

 je číselná posloupnost, nechť 

řada 

 vznikla  uzávorkováním řady 

 je ostře rostoucí posloupnost přirozených čísel. Položme   (pomocí 

, 

, atd. Pak říkáme, že

).

Věta (O uzávorkování řady). Je­li řada 

 konvergentní nebo podstatně divergentní, každá řada z ní vzniklá uzávorkováním má stejný charakter a stejný součet.

Důkaz. Věta plyne z věty o limitě vybrané posloupnosti. ☐

Věta (O uzávorkování řady s omezeným počtem sčítanců v závorce). Nechť 

 je číselná posloupnost, nechť řada 

tak, že pro všechna   platí  Důkaz. Označme jako 

 vznikla uzávorkováním řady 

. Pak řady 

 a 

 posloupnost částečných součtů řady 

 pomocí 

. Nechť 

 a nechť existuje 

 mají stejný charakter a v případě konvergence i stejný součet. , jako 

 posloupnost částečných součtů řady 

. Je 

 pro všechna

. Tvrzení věty plyne z faktu, že 

 je pokryta vybranými posloupnostmi  .

, 

, 

, ...,  ☐

 

3. Konvergence řad Věta (Nutná podmínka konvergence řady). Nechť řada 

 konverguje. Pak 

Důkaz. Nechť 

 je posloupnost částečných součtů řady 

resp.   tak, že 

. . Pak 

 pro všechna 

. Podle předpokladu existuje číslo 

. Z věty o limitě rozdílu dostaneme 

. ☐

Věta (Bolzano­Cauchyova podmínka pro konvergenci řady). Řada 

 konverguje 

Důkaz. Nechť 

 platí

 je posloupnost částečných součtů řady 

. Podle Bolzanovy­Cauchyovy podmínky pro konvergenci číselné posloupnosti 

konverguje právě tehdy, když

což je zřejmě ekvivalentní podmínce ( ). ☐

Věta (O absolutní konvergenci řady). Konverguje­li řada 

, pak konverguje i řada 

 a pro jejich součty platí nerovnost

Důkaz. Věta plyne z Bolzanovy­Cauchyovy podmínky a z trojúhelníkové nerovnosti

☐

Definice (Absolutní konvergence řady). Konverguje­li řada 

, říkáme, že řada 

 konverguje  absolutně. Konverguje­li řada 

 a diverguje­li řada 

, říkáme, že řada 

 konverguje  neabsolutně.

3.1. Řady s kladnými členy Věta (Srovnávací kritérium pro číselné řady (nelimitní tvar)). Nechť pro všechna   je  . Pak platí: 1. Konverguje­li řada  2. Diverguje­li řada  Důkaz. 1. Pro všechna 

odkud limitním přechodem 

, konverguje také řada  , diverguje také řada 

. .

 je

 dostaneme

přitom limitní přechod je možné provést (limity na obou stranách nerovnosti existují), neboť posloupnosti částečných součtů příslušné oběma řadám jsou rostoucí. Podle předpokladu je limita vpravo konečná, tedy i limita vlevo musí být konečná. 2. Tvrzení je ekvivalentní tvrzení v bodu 1, neboť pro libovolné dva výroky   je  .

☐

Poznámka. Je zřejmé, že podmínku  platnosti. Podobně je tomu i u dalších kritérií.

 v předpokladu lze zaměnit slabší podmínkou 

 a tvrzení zůstane v

Věta (Srovnávací kritérium pro číselné řady (limitní tvar)). Nechť pro všechna 

 platí 

 a 

Důkaz. 1. Konvergenci řady   a 

. Nechť existuje limita 

. Pak platí:

1. Je­li 

 a 

 konverguje, pak i 

2. Je­li 

 a 

 diverguje, pak i 

 dokážeme pomocí BCP. Zvolme libovolné 

 konverguje.  diverguje.

. Pak z konvergence 

 plyne, že existuje 

 tak, že pro všechna 

 je

Z definice limity existuje 

Pro libovolná 

 a 

 tak, že pro všechna 

 je pak i

Odtud plyne konvergence řady  2. Protože 

, je 

posloupnosti 

 a 

 je

.  a 

 je od jistého členu nenulová. Z věty o limitě podílu 

. Tvrzení plyne z bodu 1, zaměníme­li roli

. ☐

Věta (Odmocninové (Cauchyovo) kritérium). Nechť pro všechna   platí  . Pak platí: 1. a) Existuje­li číslo 

 tak, že 

, pak 

  b) Platí­li pro nekonečně mnoho indexů   vztah 

Důkaz. 1. a) Pro všechna 

, řada 

2. a) Platí­li 

, řada 

 konverguje.

  b) Platí­li 

, řada 

 diverguje.

 je 

b) Pro nekonečně mnoho indexů   platí 

. Přitom řada 

 konverguje.  diverguje.

 konverguje, tvrzení proto plyne ze srovnávacího kritéria.

. Nemůže být proto splněna nutná podmínka konvergence 

, řada tedy diverguje.

2. a) Z definice limity plyne, že existuje   tak, že od jistého členu je  . Tvrzení proto plyne z bodu 1. a). b) Podobně jako v 1. b) nemůže být splněna nutná podmínka konvergence, řada diverguje.  ☐

Lemma (Srovnání podílů po sobě následujících členů). Nechť 

, 

 jsou posloupnosti kladných čísel a pro všechna   platí  1. Konverguje­li řada  2. Diverguje­li řada 

Důkaz. Pro libovolné 

. Pak: , konverguje také řada  , diverguje také řada 

. .

 z předpokladu postupně dostaneme:

 takže stačí použít nelimitní tvar srovnávacího kritéria. ☐

Věta (Podílové (d'Alembertovo) kritérium). Nechť pro všechna   platí  . Pak:

1. a)

Existuje­li číslo 

 tak, že pro všechna 

  b) Pokud pro všechna 

 platí 

 je 

, řada 

2. a) Je­li 

, řada 

 konverguje.

  b) Je­li 

, řada 

 diverguje.

Důkaz. 1. a) Z předpokladu plyne, že pro všechna 

, řada 

 konverguje.

 diverguje.

 je 

, tvrzení proto dostaneme srovnáním s konvergentní geometrickou řadou 

. b) Z předpokladu plyne, že  řady 

, řada 

 pro všechna  . Posloupnost 

 je tedy rostoucí, takže nemůže být splněna nutná podmínka pro konvergenci

 proto diverguje.

2. a) Z definice limity dostaneme, že 

, proto tvrzení plyne z bodu 1. a) s přihlédnutím k poznámce o

předpokladech. b) Podobně jako v bodu a) z definice limity dostaneme, že od jistého členu je splněna podmínka 

 a dále stejně jako v 1. b). ☐

Věta (Integrální kritérium). Nechť   je nezáporná klesající funkce v  Důkaz. Pro všechna 

 a 

. Pak platí: 

 konverguje právě tehdy, když konverguje zobecněný Riemannův integrál 

.

 je zřejmě

Díky monotonii je   integrovatelná, integrací dostaneme nerovnosti

neboli

Sečtením uvedených nerovností pro 

 dostaneme

Nyní provedeme limitní přechod  : limity sum na levé a pravé straně existují, neboť posloupnosti částečných součtů jsou rostoucí, limita integrálu uprostřed podle Heineovy věty existuje, neboť   je nezáporná a tedy integrál jakožto funkce horní meze je rostoucí. Dostaneme

Pokud je součet řady vpravo konečný, musí být konečná i hodnota zobecněného integrálu uprostřed, pokud je konečný integrál uprostřed, musí být konečný součet řady vlevo – tím jsou současně dokázány obě implikace. ☐

Příklad (Řada 

).

Vyšetřeme konvergenci řady 

, kde 

.

Řešení. Podle integrálního kritéria řada konverguje právě tehdy, když konverguje zobecněný Riemannův integrál 

, což je pro 

. ☐

Příklad (Řada  Řada 

).

 diverguje.

Řešení. Podle integrálního kritéria stačí ukázat divergenci integrálu 

. Provedeme substituci

Podle věty o substituci pro zobecněný Riemannův integrál tento integrál diverguje právě tehdy, když diverguje integrál  integrál je divergentní, je tím divergence původní řady dokázána.

 Protože poslední ☐

Věta (Raabeovo kritérium). Nechť  pro všechna   platí  . Pak platí: 1. a) Existuje­li číslo 

 tak, že pro všechna 

 je 

, pak 

    b) Je­li pro všechna   splněna podmínka 

, pak řada 

2. a) Pokud 

, řada 

 konverguje.

    b) Pokud 

, řada 

 diverguje.

Důkaz. 1. a) Zvolme libovolně 

. Označme 

jistého členu platí podmínka 

, což je ekvivalentní podmínce

Výraz na levé straně je podle předpokladu 

. Podle příkladu řada 

 konverguje.

 diverguje.

 konverguje. Pro konvergenci řady 

 stačí ukázat, že od

, dokážeme­li proto, že limita výrazu na pravé straně je menší než  , důkaz bude hotov. Máme

Na poslední limitu použijeme l'Hôpitalovo pravidlo a dostaneme

Protože  , věta je tím dokázána. b) Podmínka z předpokladu je ekvivalentní podmínce

kde 

. Řada 

 přitom diverguje (harmonická řada), proto podle srovnávacího kritéria s podíly konverguje i řada 

.

2. a, b) Z definice limity plyne, že od jistého členu jsou splněny přepoklady v bodech 1. a), b).  ☐

Věta (Gaussovo kritérium). Nechť pro všechna   platí 

. Nechť existují konstanty 

, 

, 

  a omezená číselná posloupnost 

 tak, že pro všechna   platí

Pak: 1. Je­li 

, řada 

 konverguje.

2. Je­li 

, řada 

 diverguje.

Důkaz. Protože

případy  Je­li 

případy 

 a  , je 

 plynou z limitní verze podílového kritéria.

 resp. 

Zbývá tedy dokázat divergenci řady 

 plynou z limitní verze Raabeova kritéria.  pro případ 

kritéria dokázat, že od jistého členu je

Poslední nerovnost je ekvivalentní nerovnosti

která jde ještě upravit na tvar

. Označme 

. Řada 

 diverguje. Stačí podle srovnávacího

Tato nerovnost je od jistého členu jistě splněna, neboť (díky omezenosti 

)

☐

 

3.2. Řady se střídavými znaménky Definice (Řada se střídavými znaménky). Buď 

 reálná posloupnost, nechť platí 

. Pak říkáme, že 

 je řada se střídavými znaménky.

Poznámka. Efektivně to znamená, že řada se střídavými znaménky má tvar buď 

, nebo 

, kde 

.

Věta (Leibnizovo kritérium pro řady se střídavými znaménky). Nechť  Důkaz. 

 je klesající posloupnost kladných čísel. Pak řada 

 konverguje právě tehdy, když 

.

: jedná se o nutnou podmínku konvergence řady.

: označme 

 částečný součet uvažované řady. Pak pro všechna 

Z monotonie posloupnosti 

Proto 

 je

 vyplývá, že

 je rostoucí a 

díky předpokladu 

 klesající posloupnost. Jejich limity tedy existují. Protože

 musí být

Zároveň společná limita musí být díky rozdílnému druhu monotonie obou posloupností reálná. Z pokrývací věty dostaneme pak existenci konečné limity posloupnosti  , tedy konvergenci příslušné řady. ☐

Věta (Modifikované Raabeovo kritérium). Nechť pro všechna   platí  . Pak: 1. a) Existuje­li 

 tak, že pro všechna 

    b) Je­li pro všechna 

 a 

, pak řada  , řada 

2. a) Je­li 

, řada 

 konverguje.

    b) Je­li 

, řada 

 diverguje.

Důkaz. 1. a) K důkazu konvergence řady 

proto  dostaneme

 výraz 

 je 

 konverguje.

 diverguje.

 použijeme Leibnizovo kritérium. Z předpoladu vyplývá, že pro všechna   je 

 je tedy klesající posloupnost. Musí mít proto limitu. Vynásobíme­li nerovnosti ( ) pro 

, kde 

,

Kdyby 

, musela by být kladná, neboť 

 je nezáporná posloupnost. V takovém případě by

přitom ale podle věty o limitě podílu

což je spor. Je tedy 

 a podle Leibnizova kritéria 

b) Z předpokladu plyne 

 pro všechna 

, 

 konverguje.

 je tedy rostoucí posloupnost, proto nemůže mít za limitu nulu, řada 

diverguje. 2. a), b) Z definice limity plyne, že od jistého členu jsou splněny přepoklady v bodech 1. a), b).  ☐

  Věta (Modifikované Gaussovo kritérium). Nechť pro všechna   platí 

, nechť existují konstanty 

, 

, 

 a omezená posloupnost 

 tak, že pro všechna   platí

Pak: 1. Je­li 

, řada 

2. Je­li 

 konverguje absolutně.

, řada 

3. Je­li 

 konverguje neabsolutně.

, řada 

 diverguje.

Důkaz. 1. Případy plynou z Raabeova kritéria. 2. Konvergence řady  3. Pokud 

 plyne z modifikovaného Raabeova kritéria. Divergence řady 

, je 

 a tedy 

, řada  Pokud je 

 je od jistého členu rostoucí. Tím pádem nemůže být splněna nutná podmínka konvergence 

 proto diverguje. , je 

 a tedy od jistého členu je 

rostoucí, nemůže být splněna nutná podmínka konvergence, řada  Pokud je 

, což opět znamená, že 

 je od jistého členu

 diverguje.

, je

Označme 

Z toho plyne, že   je na 

. Je

 ostře klesající a na 

 je omezená, jistě existuje 

 ostře rostoucí. Přitom 

 tak, že pro všechna 

Sečteme­li nerovnosti ( ) pro 

Limita pravé strany pro 

 plyne z Gaussova kritéria.

 je 

, kde 

. Pro 

, proto 

 pro všechna 

. Protože 

 proto

, dostaneme

 je konečná, označme ji  . Dostaneme

odkud plyne, že nemůže být splněna nutná podmínka konvergence 

. ☐

 

3.3. Řady s obecnými členy

Věta (Dirichletovo kritérium pro konvergenci řad). Nechť řada 

 má omezenou posloupnost částečných součtů. Nechť 

Důkaz. Předpokládejme například, že  všechna  ,   platilo

 je monotónní posloupnost a 

. Pak 

 je klesající nezáporná posloupnost. K důkazu užijeme BCP. Zvolme 

Sumu v nerovnosti upravíme: označme 

. Podle předpokladu existuje 

 tak, že 

 konverguje.

 a hledejme 

 tak, aby pro

 pro všechna  . Máme

odkud

Existence 

 tedy plyne z předpokladu 

. ☐

Věta (Abelovo kritérium pro konvergenci řad). Nechť řada 

 konverguje. Nechť 

 je monotónní omezená posloupnost. Pak řada 

Důkaz. Z monotonie plyne existence limity posloupnosti 

, označme ji  . Protože 

 konverguje.

 je omezená, je 

. Řadu 

 pak lze zapsat jako

součet dvou konvergentních řad

přičemž první řada konverguje podle Dirichletova kritéria a druhá z předpokladu věty. ☐

Příklad (Řada 

).

Podle Dirichletova kritéria řada 

 konverguje, neboť 

 je monotónní posloupnost s nulovou limitou a řada 

 má omezenou

posloupnost částečných součtů.

4. Přerovnání řad Definice (Přerovnání řady). Buď 

 číselná posloupnost, 

 bijekce. Říkáme, že řada 

 vznikla z řady 

 přerovnáním.

Věta (O absolutně konvergentní přerovnané řadě). Nechť 

 absolutně konverguje. Pak každá řada 

Důkaz. Předpokládejme nejprve, že 

 vzniklá z řady 

 přerovnáním je také absolutně konvergentní a má stejný součet.

. Pak

tedy posloupnost částečných součtů přerovnané řady je shora omezená, takže konverguje a z limitního přechodu plyne, že

Zaměníme­li roli původní a přerovnané řady, dostaneme opačnou nerovnost. Celkově tedy

Předpokládejme nyní, že 

. Označme

Platí tedy

Řady 

 a 

 jsou řady s nezápornými členy, které (absolutně) konvergují, neboť jsou to součty resp. rozdíly (podělené dvěma) dvou

konvergentních řad. Dají se tedy (dle důkazu výše) přerovnat bez změny součtu. Dostaneme tak 

což znamená, že řadu 

 lze přerovnat bez změny součtu. Přitom je absolutně konvergentní, neboť

Dokažme tvrzení konečně pro obecnou komplexní posloupnost 

kde 

. Posloupnosti 

 a 

. Rozložíme

 jsou díky nerovnostem

absolutně konvergentní, tudíž je lze přerovnat (podle předchozího) bez změny součtu, takže platí

 Přerovnaná posloupnost je absolutně konvergentní, neboť

☐

Věta (O přerovnání neabsolutně konvergentní reálné řady). Buď 

 neabsolutně konvergentní reálná řada. Nechť 

. Pak existuje přerovnání řady 

 takové, že jeho součet je  . Existuje také přerovnání

řady, které osciluje. Důkaz. Označme

Protože 

 konverguje neabsolutně, je nutně 

hledané přerovnání slovně. Buď nejprve  . Nalezneme nejprve první takové 

, tedy řady 

 jsou podstatně divergentní, mají součet 

. Popíšeme

 tak, aby

To jinými slovy znamená, že vybíráme nejprve kladné členy z posloupnosti   tak, že

To jinými slovy znamená, že vybíráme záporné členy z posloupnosti  menší než  . Poté nalezneme opět první   takové, že   a

Takto postupujeme stále dál, až nagenerujeme posloupnosti 

 i 

 a 

 tak dlouho, až jejich součet přesáhne  . Poté nalezneme první takové 

 tak dlouho, dokud jejich součet (spolu s prvními 

 nezápornými členy) není

. Zkonstruované přerovnání přitom musí konvergovat k  , neboť

Pokud  , nalezneme nejprve   tak, aby součet prvních   nezáporných členů posloupnosti   přesáhl číslo  . Poté přičteme jeden záporný člen. Následně přičítáme kladné tak dlouho, až součet přesáhne číslo  . Pak opět přičteme jeden člen záporný, atd. Takto zkonstruované přerovnání

má zřejmě součet  . Přerovnání divergující k   sestrojíme podobně. Konečně přerovnání, které osciluje, se sestrojí následujícím způsobem: nejprve sčítáme nezáporné členy   tak dlouho, až jejich součet přesáhne číslo  . Poté přičítáme nekladné členy tak dlouho, až je součet menší než  . Poté opět přičítáme nezáporné členy, až součet přesáhne  , atd. Takto zkonstruované přerovnání zřejmě osciluje. ☐

 

5. Součin řad Definition (Součin řad). Nechť 

, 

 jsou číselné posloupnosti, nechť 

. Říkáme, že řada 

 je součinem řad 

 a 

 je bijekce. Označme 

, 

, 

 pro všechna 

.

Věta (O součinu absolutně konvergentních řad). Nechť 

 a 

 jsou absolutně konvergentní řady. Pak jejich součin 

Důkaz. Označme 

řada 

 je absolutně konvergentní a má součet 

.

. Pak

 je proto absolutně konvergentní. Lze ji bez změny součtu libovolně přerovnat a uzávorkovat. Platí proto

kde

takže

☐

Definice (Součinová řada). Nechť 

, 

 jsou číselné posloupnosti, nechť 

. Pak říkáme, že 

 je součinová řada řad 

 a 

.

Věta (O součinu absolutně konvergentní a konvergentní řady). Nechť 

 konverguje absolutně a 

Důkaz. Nechť 

 konverguje. Pak součinová řada těchto dvou řad konverguje k číslu 

 je ona součinová řada a 

 její částečný součet. Označme 

všechna   platí 

odkud

Z předpokladů věty plyne, že

Zároveň jistě existuje 

Zvolme 

 tak, že

 a najděme příslušná 

, 

 z podmínek výše. Je­li 

, je pak

, 

. , 

, 

. Pak pro

odkud plyne

z čehož dostaneme 

což je tvrzení věty. ☐

Příklad. Ukažme, že pokud řady 

, 

 konvergují, součinová řada nemusí konvergovat.

Řešení. Položme

Pak součinová řada je 

, kde

a protože

dostaneme odhad

takže nemůže být 

. Součinová řada proto diverguje. ☐