Aritmeticka ´ posloupnost 1. Zjistˇete vzorec posloupnosti 6; 3; 2; 3/2; 1,2; 1; 6/7; 3/4;. . . 2. V aritmetick´e posloupnosti z dan´ ych u ´daj˚ u vypoˇc´ıtejte naznaˇcen´e hodnoty: { a4 = 11 a1 =? a1 = 2 (a) n =? d =? (d) d = 3 a5 = 14 an =? Sn = 77 { a20 = 35 7 a25 =? (b) a1 = − 3 an =? a55 = 55 (e) d = 23 S n =? n = 10 a1 = 450 { n =? S5 = 60 (c) d = −24 a1 =? Sn =? (f) d =? S10 = 170 an = 210 3. V aritmetick´e posloupnosti urˇcete prvn´ı ˇclen a diferenci: { { { a1 + a3 = 2 a1 + a2 = 5 a4 + a5 + a7 + a8 = 10 (c) (e) (a) 2 2 a2 + a7 = −8 a1 + a2 = 13 a21 : a1 = 2 { { { a2 − a1 = 6 a3 = 2a4 a4 · a5 = −5 (b) (f) (d) a20 − a18 = 15 a4 + a5 = 4 a2 = −a8 4. Kolik prvn´ıch ˇclen˚ u aritmetick´e posloupnosti d´av´a souˇcet 112? a3 = −4, d = 2 5. V aritmetick´e posloupnosti je a2 = 11 a a4 = 17. Urˇcete a1 . 6. Urˇcete souˇcet prvn´ıch tˇriceti ˇclen˚ u aritmetick´e posloupnosti s a1 = 2 a d = 1. u posloupnosti 7. V aritmetick´e posloupnosti je a5 = 11 a a9 = 19. Kolik prvn´ıch ˇclen˚ mus´ıme seˇc´ıst, aby souˇcet byl 440? ˇ 8. Ctvrt´ y ˇclen aritmetick´e posloupnosti je 16, osm´ y 24. Kolik ˇclen˚ u je tˇreba seˇc´ıst, aby jejich souˇcet byl 90? 9. Mezi ˇc´ısla
3 2
a 5 vloˇzte ˇsest ˇc´ısel tak, aby vznikla aritmetick´a posloupnost.
10. Mezi ˇc´ısla –5 a 4 vloˇzte dalˇs´ı ˇc´ısla tak, aby vznikla aritmetick´a posloupnost se souˇctem –6, 5. Urˇcete poˇcet vloˇzen´ ych ˇclen˚ u. 1
Aritmeticka ´ posloupnost 11. V aritmetick´e posloupnosti 30, 27, 24, ... najdˇete ˇclen, kter´ y se rovn´a osminˇe souˇctu pˇredch´azej´ıc´ıch. 12. V aritmetick´e posloupnosti, kter´a m´a prvn´ı ˇclen a1 = 3 plat´ı, ˇze souˇcet prvn´ıch osmi ˇclen˚ u je dvakr´at vˇetˇs´ı neˇz souˇcet prvn´ıch pˇeti ˇclen˚ u. Urˇcete difernci posloupnosti. 13. Souˇcin tˇr´ı po sobˇe jdouc´ıch ˇclen˚ u aritmetick´e posloupnosti se rovn´a jejich souˇctu. Urˇcete je, kdyˇz diference je d = 13 . 3 u 14. Pro aritmetickou posloupnost plat´ı: a3 + a9 = 8. Urˇcete souˇcet prvn´ıch 11-ti ˇclen˚ posloupnosti. 15. Aritmetick´a posloupnost m´a a1 = 2, an = 186 a diferenci 4. Vypoˇc´ıtejte poˇcet ˇclen˚ u posloupnosti n. y ˇclen aritmetickˇe posloupnosti je 2 a des´at´ y ˇclen je 26. Urˇcete souˇcet prvn´ıch 16. Druh´ 15-ti ˇclen˚ u posloupnosti. 17. Urˇcete ˇctvrt´ y ˇclen aritmetick´e posloupnosti, jej´ıˇz druh´ y ˇclen je −4 a osm´ y ˇclen je 32. √ 18. Urˇcete y ˇclen a4 aritmetick´e posloupnosti (re´aln´ ych ˇc´ısel), je-li a2 = 2, √ ˇctvrt´ √ a5 = 2 + 3 3. ˇ ısla x, 19. C´ je x?
3x 2
+ 8,
5x 2
+ 1 tvoˇr´ı po sobˇe jdouc´ı ˇcleny aritmetickˇe posloupnosti. Kolik
20. Pro kter´e hodnoty parametru a ∈ R tvoˇr´ı ˇc´ısla log2 (a2 − 4), log2 (a + 2) a log2 3 tˇri za sebou jdouc´ı ˇcleny aritmetick´e posloupnosti? 21. Urˇcete prvn´ıch pˇet ˇclen˚ u aritmetick´e posloupnosti a v´ yraz pro n-t´ y ˇclen, je-li souˇcet prvn´ıch n ˇclen˚ u aritmetick´e posloupnosti d´an v´ yrazem: Sn = 3n2 − n. 22. Souˇcet prvn´ıch n ˇclen˚ u aritmetick´e posloupnosti je Sn = n2 + 2n. Urˇcete dev´at´ y ˇclen. 23. Souˇcet prvn´ıch n ˇclen˚ u aritmetick´e posloupnosti je Sn = 6n − n2 . Urˇcete jeden´act´ y ˇclen. 24. Je d´ana posloupnost ˇc´ısel. Souˇcet prvn´ıch n ˇclen˚ u posloupnosti je Sn = 5n2 + 6n. Urˇcete souˇcet a3 + a4 + a5 =. 2
Aritmeticka ´ posloupnost 25. Aritmetick´a posloupnost je dan´a vzorcem an = 555−7n. Urˇcete nejmenˇs´ı hodnotu n, pro kter´e je souˇcet prvn´ıch n ˇclen˚ u Sn < 0. 26. V aritmetick´e posloupnosti plat´ı: a1 = −7, a2 = −5. Kolik jejich prvn´ıch ˇclen˚ u mus´ıme seˇc´ıst, aby souˇcet byl nula? 27. Prvn´ı ˇctyˇri za sebou jdouc´ı ˇcleny aritmetick´e posloupnosti jsou a, 2a, b, a − b − 6. Urˇcete st´ y ˇclen. ( ) 1 . 28. Urˇcete souˇcet prvn´ıch 20-ti ˇclen˚ u posloupnosti an = log 4n 29. Je d´ana posloupnost 1, −2, 3, −4, 5, −6,. . . , n(−1)n+1 . Vypoˇc´ıtejte pr˚ umˇer prvn´ıch 300 ˇclen˚ u. 30. Urˇcete souˇcet (a)
3 2
+ 62 + 92 + · · · + 150 =
(b) −3 + 4 + 11 + · · · + 697 (c) −2 + 2 + 6 + 10 + · · · + 902 = (d) −1 + 3 + 7 + 11 + · · · + 1999 = (e) (1 − 2 + 3) + (4 − 5 + 6) + (7 − 8 + 9) + .....(2008 − 2009 + 2010) =. 31. Vypoˇc´ıtejte: i · i2 · i3 · i4 · · · i64 = ˇ ste rovnici pro n ∈ N 32. Reˇ 1 − 2 + 3 − 4 + · · · + (n − 2) − (n − 1) + n = 2001 33. Urˇcete nejvˇetˇs´ı n ∈ R, pro kter´e plat´ı 1 + 2 + 3 + · · · + n ≤ 200. 34. Dˇeln´ık vyrob´ı za den 26 souˇca´stek. Kdyby zvyˇsoval v´ ykon dennˇe o 1 souˇc´astku, kolik vyrob´ı za 18 dn´ı? 35. Jarda m´a dvoukorunov´e mince. Uspoˇra´dal je do lichobˇeˇzn´ıku tak, ˇze kaˇzd´a n´asleduj´ıc´ı ˇrada m´a o jednu mince m´enˇe. V prvn´ı ˇradˇe bylo 90 minc´ı, v posledn´ı ˇradˇe 3 mince. Kolik m´a Jarda penˇez?
3
Aritmeticka ´ posloupnost 36. V soutˇeˇzi byly za prvn´ıch 6 m´ıst vyplaceny odmˇeny v celkov´e hodnotˇe 2400 Kˇc. Nejvyˇsˇs´ı odmˇena byla za prvn´ı m´ısto, za dalˇs´ı um´ıstˇen´ı se odmˇeny postupnˇe sniˇzovaly, vˇzdy o stejnou ˇca´stku. Kolik bylo vyplaceno za 1. a 6. m´ısto dohromady? 37. Sto dolar˚ u m´ame rozdˇelit pˇeti dˇeln´ık˚ um tak, aby druh´ y dˇeln´ık dostal o tolik dolar˚ u v´ıce neˇz prvn´ı, o kolik tˇret´ı dostal v´ıce neˇz druh´ y, ˇctvrt´ y neˇz tˇret´ı a p´at´ y neˇz ˇctvrt´ y. Prvn´ı dva dˇeln´ıci maj´ı dostat sedmkr´at m´enˇe dolar˚ u neˇz ostatn´ı tˇri. Kolik dolar˚ u m´a dostat kaˇzd´ y dˇeln´ık? 38. Parta dˇet´ı vlezla do zahrady a dˇeti zaˇcaly trhat jablka. Prvn´ı utrhlo jedno jablko, druh´e dvˇe a kaˇzd´e dalˇs´ı o jedno jablko v´ıce neˇz to pˇredch´azej´ıc´ı. Potom se vˇsichni, kdo trhali jablka, rozdˇelili rovn´ ym d´ılem a kaˇzd´ y dostal ˇsest jablek. Kolik dˇet´ı trhalo jablka? 39. Roku 1620 zaˇcal pan Rich ukl´adat do banky pen´ıze. Kaˇzd´ y rok uloˇzil tolik liber, jak´ y byl rok (tj. roku 1620 uloˇzil 1620 liber, roku 1621 uloˇzil 1621 liber atd.). V t´eto ˇcinnosti pokraˇcuj´ı jeho potomkov´e dodnes. Kolik penˇez mˇeli v bance v roce 2000? 40. Od sv´ ych des´at´ ych narozenin dost´av´a Arnold od rodiˇc˚ u kapesn´e. Kaˇzd´ y mˇes´ıc dostane dvakr´at tolik Euro, kolik je mu let. Kolik penˇez mˇel naˇstˇreno den pˇred 18. narozeninami, kdyˇz ˇsetˇr´ı 25 % toho, co dostane? 41. 31 knih je seˇrazeno do ˇrady od nejlevnˇejˇs´ı (vlevo) po nejdraˇzˇs´ı (vpravo). Rozd´ıl ceny dvou sousedn´ıch knih je vˇzdy 2 Kˇc. Za cenu, kterou m´a nejdraˇzˇs´ı kniha, m˚ uˇzeme koupit prostˇredn´ı knihu a k n´ı sousedn´ı knihu. Kolik stoj´ı nejlevnˇejˇs´ı kniha? 42. Jednotliv´e d´ıly sedmid´ıln´eho rom´anu byly vyd´av´any v dev´ıtilet´ ych intervalech. Kdyˇz byl vyd´an sedm´ y d´ıl, byl souˇcet rok˚ u vyd´an´ı jednotliv´ ych d´ıl˚ u 13 601. Ve kter´em roce byl vyd´an p´at´ y d´ıl? 43. Lupiˇci prvn´ı den ukradli z 1. trezoru urˇcit´e mnoˇzstv´ı penˇez. Druh´ y den ukradli z 2. trezoru dvakr´at v´ıce penˇez, tˇret´ı den ze 3. trezoru tˇrikr´at v´ıce penˇez atd. aˇz st´ y den ze 100. trezoru ukradli 100kr´at v´ıce penˇez a v trezoru z˚ ustala 1 Kˇc. Pˇritom ve vˇsech trezorech z˚ ustalo dohromady 24 850 Kˇc. Kolik penˇez bylo p˚ uvodnˇe v kaˇzd´em trezoru, kdyˇz ve vˇsech trezorech bylo p˚ uvodnˇe stejn´e mnoˇzstv´ı penˇez? 44. V n´ahrdeln´ıku 33 perel je prostˇredn´ı perla nejdraˇzˇs´ı ze vˇsech. Zaˇcneme-li z jednoho konce, je kaˇzd´a perla o 100$ draˇzˇs´ı neˇz pˇredchoz´ı aˇz k prostˇredn´ı perle. 4
Aritmeticka ´ posloupnost Z druh´eho konce je kaˇzd´a perla o 150$ draˇzˇs´ı neˇz pˇredchoz´ı aˇz k prostˇredn´ı perle. Cel´ y n´ahrdeln´ık stoj´ı 65000$. Kolik stoj´ı prostˇredn´ı perla? 45. V ZOO si pˇripravili k nakrmen´ı 31 lv˚ u z´asobu ovc´ı. Jeden lev sn´ı 10 ovc´ı za t´ yden. Jenˇze lvi onemocnˇeli nezn´amou nemoc´ı a kaˇzd´ y t´ yden jeden lev zemˇrel. Z´asoba ovc´ı tak vydrˇzela dvojn´asobnou dobu, neˇz bylo p˚ uvodnˇe napl´anov´ano. Kolik mˇeli pˇripraveno ovc´ı a na kolik t´ ydn˚ u mˇeli p˚ uvodnˇe staˇcit? 46. Turista stoupaj´ıc´ı na horu vystoupal za prvn´ı hodinu do v´ yˇsky 800 m. Kaˇzdou dalˇs´ı hodinu pak zdol´a v´ yˇsku o 25 m menˇs´ı neˇz pˇredch´azej´ıc´ı hodinu. Za kolik hodin se dostane na vrchol ve v´ yˇsce 5700 m? 47. Strany pravo´ uhl´eho troj´ uheln´ıka tvoˇr´ı aritmetickou posloupnost. Urˇcete je, kdyˇz obsah troj´ uheln´ıka je 6 dm2 . 48. D´elky stran pravo´ uhl´eho troj´ uheln´ıku tvoˇr´ı 3 po sobˇe jdouc´ı ˇcleny aritmetick´e posloupnosti. Delˇs´ı odvˇesna m´a d´elku 28 dm. Urˇcete obvod a obsah troj´ uhelniku. 49. Vnitˇrn´ı u ´hly v konvexn´ım ˇctyˇru ´heln´ıku tvoˇr´ı aritmetickou posloupnost. Nejvˇetˇs´ı u ´hel je o 15◦ menˇs´ı neˇz dvojn´asobek nejmenˇs´ıho u ´hlu. Urˇcete velikost nejvˇetˇs´ıho u ´hlu. 50. Vnitˇrn´ı u ´hly v konvexn´ım ˇctyˇru ´heln´ıku tvoˇr´ı aritmetickou posloupnost. Nejvˇetˇs´ı u ´hel je dvakr´at vˇetˇs´ı neˇz nejmenˇs´ı u ´hel. Urˇcete velikost nejvˇetˇs´ıho u ´hlu. ´hly konvexn´ıho dev´ıti´ uheln´ıku tvoˇr´ı aritmetickou posloupnost. Nejmenˇs´ı 51. Vnitˇrn´ı u u ´hel je 112◦ . Jak velk´ y je nejvˇetˇs´ı u ´lel? 52. Vnitˇrn´ı u ´hly konvexn´ıho n-´ uheln´ıku tvoˇr´ı aritmetickou posloupnost s diferenc´ı 5◦ . Nejmenˇs´ı u ´hel je 120◦ . Urˇcete poˇcet stran n-´ uheln´ıka. 53. Objem kv´adru je 612 cm3 . D´elky jeho hran jsou tˇri po sobˇe jdouc´ı ˇcleny aritmetick´e posloupnosti. D´elka jedn´e z hran je 9 cm. Porovnejte povrchy kv´adr˚ u, kter´e tyto podm´ınky splˇ nuj´ı. 54. Urˇcete souˇcet vˇsech pˇrirozen´ ych ˇc´ısel od 1 do 2008. 55. Urˇcete souˇcet vˇsech lich´ ych pˇrirozen´ ych ˇc´ısel menˇs´ıch neˇz 150. 56. Kolik cel´ ych ˇc´ısel mezi 100 a 1000 je dˇeliteln´ ych sedmi? 57. Urˇcete souˇcet vˇsech ˇc´ısel od jedne do 100, kter´a nejsou dˇeliteln´a ˇctyˇrmi. 5
Aritmeticka ´ posloupnost 58. Urˇcete souˇcet vˇsech pˇrirozen´ ych ˇc´ısel menˇs´ıch neˇz 45, kter´a nejsou dˇeliteln´a tˇremi. 59. Urˇcete poˇcet ˇctyˇrcifern´ ych pˇrirozen´ ych ˇc´ısel, kter´a jsou dˇeliteln´a tˇremi nebo sedmi. 60. Nejvˇetˇs´ı ze sedmi za sebou jdouc´ıch sud´ ych ˇc´ısel je dvakr´at vˇetˇs´ı neˇz nejmenˇs´ı ˇc´ıslo. Kolik je nejmenˇs´ı ˇc´ıslo? 61. Souˇcet tˇret´ıho a ˇctvrt´eho ˇclenu posloupnosti po sobˇe jdouc´ıch pˇrirozen´ ych ˇc´ısel je 47. Najdˇete souˇcet prvn´ıch pˇeti ˇclen˚ u posloupnosti. 62. Souˇcet prvn´ıch 50-ti ˇclen˚ u aritmetiek´e posloupnosti je 200. Souˇcett druh´ ych 50-ti ˇclen˚ u t´eto posloupnosti je 2700. Jak´ y je prvn´ı ˇclen posloupnosti? ˇ ısla 1, 26 a 36 jsou tˇri ˇcleny aritmetick´e posloupnosti. Je mezi nimi uveden prvn´ı 63. C´ i posledn´ı ˇclen posloupnosti. Urˇcete nejvyˇsˇs´ı moˇznou diferenci posloupnosti. 64. Mezi ˇc´ısla 1 aˇz 13 jsou vloˇzena ˇc´ısla, jejichˇz souˇcet je 49. Pˇritom dan´a ˇc´ısla spolu s vloˇzen´ ymi ˇcleny tvoˇr´ı aritmetickou posloupnost. Urˇcete posloupnost vzorcem pro n-t´ y ˇclen. 65. Mezi ˇc´ısla 14 a 12 vloˇzte tˇri ˇc´ısla tak, aby vˇsech pˇet ˇc´ısel tvoˇrilo aritmetickou posloupnost. Jak´ y je souˇcet tˇr´ı vloˇzen´ ych ˇc´ısel? 66. Ve kter´e aritmetick´e posloupnosti o deseti ˇclenech je souˇcet prostˇredn´ıch dvou ˇclen˚ u 55 a souˇcin krajn´ıch ˇclen˚ u 250? 67. Souˇcet prvn´ıch pˇeti ˇclen˚ u aritmetick´e posloupnosti je 40 a souˇcet prvn´ıch deseti ˇclen˚ u je 155. Urˇcete souˇcet prvn´ıch patn´acti ˇclen˚ u. 68. Souˇcet prvn´ıch osmi ˇclen˚ u aritmetick´e posloupnosti cel´ ych ˇc´ısel je 100. Zn´asob´ımeli osm´ y ˇclen souˇctem vˇsech pˇredch´azej´ıc´ıch ˇclen˚ u, obdrˇz´ıme ˇc´ıslo 1771. Urˇcete tuto posloupnost. 69. Napiˇste ˇc´ıslo 55 jako souˇcet nˇekolika pˇrirozen´ ych ˇc´ısel tak, aby kaˇzd´e n´asleduj´ıc´ı ˇc´ıslo bylo o 4 vˇetˇs´ı neˇz pˇredch´azej´ıc´ı. ych ˇc´ısel, 70. Najdˇete vˇsechny mnoˇziny dvou nebo v´ıce za sebou jdouc´ıch pˇrirozen´ jejichˇz souˇcet je 100. 71. Napiˇste vˇsechny zp˚ usoby, kter´ ymi m˚ uˇzeme napsat ˇc´ıslo 1986 jakou souˇcet po sobˇe jdouc´ıch pˇrirozen´ ych ˇc´ısel.
6
Aritmeticka ´ posloupnost 72. Souˇcet nˇekolika pˇrirozen´ ych, po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel je 2000. Jestliˇze m je prvn´ı ˇclen posloupnosti, urˇcete nejmenˇs´ı moˇznou hodnotu ˇc´ısla m. 73. Je d´ana rostouc´ı aritmetick´a posloupnost, kter´a m´a lich´ y poˇcet ˇclen˚ u. Prostˇredn´ı ˇclen je 302. Kdyˇz z posloupnosti odstran´ıme 4 nejvˇetˇs´ı ˇcleny, bude prostˇredn´ı ˇclen 296. Urˇcete diferenci posloupnosti. 74. Posloupnost pˇeti za sebou jdouc´ıch ˇc´ısel m´a takovou vlastnost, ˇze souˇcet druh´ ych mocnin prvn´ıch tˇr´ı ˇclen˚ u se rovn´a souˇctu druh´ ych mocnin posledn´ıch dvou ˇclen˚ u. Urˇcete vˇsechny takov´e posloupnosti. 75. Je d´ana posloupnost an = (−1)n · 9n. Urˇcete, pro kter´e n je souˇcet prvn´ıch n ˇclen˚ u 180. 76. Koˇreny rovnice x4 − 10x2 + a = 0 tvoˇr´ı ˇctyˇri za sebou jdouc´ı ˇcleny aritmetick´e posloupnosti. Urˇcete hodnotu parametru a. 77. Nezn´am´ y vandal vytrhl z knihy jeden list. Souˇcet ˇc´ısel zb´ yvaj´ıc´ıch stran je 13000. Kolik stran mˇela kn´ıˇzka? Jak´a ˇc´ısla byla na vytrˇzen´em listu? 78. V jin´e knize nˇekdo vytrhl z prvn´ı poloviny knihy dva sousedn´ı listy. Souˇcet ˇc´ısel zb´ yvaj´ıc´ıch stran je 1054. Kolik stran mˇela kn´ıˇzka? Jak´a ˇc´ısla byla na vytrˇzen´ ych listech?
7
